TYT Geometri Çokgenler — İç Dış Açı Köşegen Düzgün Çokgen YKS 2026

YKS Haziran 2026 sınavında çokgenler konusu büyük ihtimalle 1 soru gelecek ve bu soruda iç açı, dış açı, köşegen sayısı veya üçgen sayısı formüllerinden biri kritik rol oynayacak. Aşağıdaki 10 akronim, formülleri ezbersiz bir şekilde 10 saniyede hatırlamana yarayan hafıza kancalarıdır. Sınav anında zihinsel rafa eriştiğinde bu kısa kodları çağır.

Aşağıdaki dizin, çokgenler konusunda öğrenmen gereken her şeyin tek bakışta görüldüğü 28 maddelik haritadır. YKS Haziran 2026 öncesi son tekrar günü bu listeyi yukarıdan aşağıya oku — eksik kaldığın madde varsa ilgili bölüme dön.

A) Tanım ve Sınıflandırma (1–6)

1. Çokgen tanımı — n ≥ 3, herhangi üçü doğrusal olmayan n nokta, kapalı şekil.
2. Kenar = Köşe = n — Sayılar her zaman eşit.
3. En küçük çokgen — Üçgen (n = 3).
4. En küçük düzgün çokgen — Eşkenar üçgen.
5. Dışbükey vs. içbükey — Bütün iç açılar < 180° ise dışbükey.
6. İsimlendirme — n=5 beşgen, n=6 altıgen, n=7 yedigen, n=10 ongen, n=12 onikigen, n=15 onbeşgen.

B) İç ve Dış Açı Formülleri (7–12)

7. İç açılar toplamı — (n − 2) · 180°.
8. Dış açılar toplamı — 360° (sabit, dışbükeyde).
9. İç + Dış (köşede) — 180°.
10. Düzgün iç açı — (n − 2) · 180 / n.
11. Düzgün dış açı — 360 / n.
12. Aritmetik kontrol — Üçgen 180°, dörtgen 360°, beşgen 540°, altıgen 720°, sekizgen 1080°, ongen 1440°.

C) Köşegenler ve Üçgenleştirme (13–17)

13. Toplam köşegen sayısı — n(n − 3) / 2.
14. Bir köşeden çizilen köşegen — n − 3.
15. Üçgenleştirme — Bir köşeden çizilen köşegenler n − 2 üçgen oluşturur.
16. Bölü 2 mantığı — Her köşegen iki köşe tarafından paylaşıldığı için iki kez sayılır.
17. Köşegen örnekleri — 5gen 5, 6gen 9, 7gen 14, 8gen 20, 10gen 35, 12gen 54.

D) Düzgün Çokgen Özellikleri (18–23)

18. Düzgün tanım — Bütün kenarlar ve bütün açılar eşit (iki şart birden).
19. Eşkenar dörtgen tuzağı — Düzgün değil (açılar farklı olabilir).
20. Düzgün iç açıları ezber — 60°, 90°, 108°, 120°, 135°, 144°, 150°, 156°.
21. Simetri eksenleri — Düzgün n-genin n simetri ekseni vardır.
22. Merkez açı = Dış açı — 360 / n.
23. Çevrel/iç teğet çember — Her düzgün çokgen iki çembere de yazılabilir.

E) Düzgün Altıgen Özel ve Sınav Tuzakları (24–28)

24. Altıgen 6 eşkenar üçgen — Kenar = çevrel yarıçap = a; alan = (3a²√3)/2.
25. Altıgen köşegenleri — Uzun 2a, kısa a√3.
26. Birleşik şekil tuzağı — Düzgün çokgen + kare/eşkenar üçgen → ortak kenar eşit, ikizkenar üçgen kur.
27. Düzlem döşeme tuzağı — Yalnız üçgen, kare, altıgen düzlemi tek başına döşer; beşgen döşemez.
28. Sağlama refleksi — n tam sayı mı? Açı 0–180° arasında mı? Kontrol etmeden cevap işaretleme.

Çokgen, adı üstünde çok fazla kenarı olan kapalı bir geometrik şekildir. Üçgenler konusunu bitirip dörtgenlere geçmeden önce durduğumuz bu ara istasyon aslında iki konunun köprüsüdür: üçgenlerden öğrendiğin her şeyi (dik üçgen, ikizkenar, eşkenar, 30-60-90, 45-45-90, açıortay teoremi) burada kullanacağız; sonra dörtgenlere sıçrayacağız.

Neden n ≥ 3?

İki doğru parçasıyla kapalı bir şekil elde edemezsin; iki uç nokta ucuca gelse bile sana sadece bir doğru parçası kalır. Üç nokta elinde olduğunda ilk kez bir kapalı şekil ortaya çıkar: üçgen. Bu yüzden en küçük çokgen üçgendir. n = 4 için dörtgen, n = 5 için beşgen, n = 6 için altıgen, n = 7 için yedigen, n = 12 için onikigen diye gider.

"En Küçük Çokgen" ile "En Küçük Düzgün Çokgen" Aynı mı?

İkisi farklı kavramlardır ve sıkça karıştırılır. En küçük çokgen üçgendir (kenar sayısı bakımından) — eşkenar olması gerekmez; ikizkenar, çeşitkenar, dik üçgen, hepsi üçgendir ve hepsi birer çokgendir. En küçük düzgün çokgen ise eşkenar üçgendir, çünkü eşkenar üçgen 3 kenarlı düzgün çokgendir (bütün kenarları ve açıları eşit).

İçbükey ve Dışbükey Çokgen Ayrımı

Bir çokgeni kalemle çizerken bütün iç açılar 180°'den küçükse o çokgen dışbükey (konveks)tir — yıldız şeklinde girintisi yoktur, düzgün bir görünümü vardır. Eğer iç açılardan en az biri 180°'den büyükse (içeri doğru bir "çentik" varsa) o çokgen içbükey (konkav)tır.

Mnemonic: n, Kenar ve Köşe Sayısıdır

Bir çokgende kenar sayısı = köşe sayısı = n. Bu basit eşitlik soruların çoğunda kritik: "kenar sayısının 2 eksiği" dendiğinde aslında "köşe sayısının 2 eksiği" de denmiştir. 10genin 10 kenarı ve 10 köşesi vardır.

Çözümlü Örnek 1 — Kenar Sayısını Belirleme

Bir çokgenin 11 köşesi varsa bu çokgen kaç kenarlıdır ve adı nedir?

1. Kenar sayısı = köşe sayısı = 11.
2. Bu çokgen 11genidir (onbirgen).

Çokgenlerde bilmen gereken üç temel kural vardır ve bu üçü birlikte çokgen sorularının neredeyse %90'ını çözer. Hepsi üçgenden türetilir; mantıkla kavrayan bir öğrenci soruda bu kuralları yerinde uygular.

Kural 1 — İç Açılar Toplamı: (n − 2) · 180°

n kenarlı bir çokgenin iç açıları toplamı = (n − 2) · 180°

Neden (n − 2)? Çünkü n kenarlı bir çokgenin içinden bir köşeden diğer köşelere köşegenler çizdiğinde, çokgen tam olarak n − 2 tane üçgene bölünür. Her üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğu için tüm çokgenin iç açıları toplamı (n − 2) · 180° olur.

Kural 2 — Dış Açılar Toplamı: 360° (Dışbükey Her Çokgen İçin)

Dışbükey ngenin dış açıları toplamı = 360° (her zaman, n'den bağımsız)

Neden 360°? Her köşede iç açı + dış açı = 180°. n köşe olduğuna göre bütün (iç + dış) toplamı n · 180°. İç açılar toplamı (n − 2) · 180° olduğu için dış açılar toplamı = n · 180° − (n − 2) · 180° = 2 · 180° = 360°. Kenar sayısı ne olursa olsun sonuç değişmez.

Kural 3 — Bir İç Açı + Bir Dış Açı = 180°

Her köşede bir iç açı ile onun komşusu olan bir dış açının toplamı = 180°

Bu sadece çokgenlerde değil, herhangi bir geometrik şeklin köşesinde geçerlidir. Çünkü bir iç açı ile onun dış açısı birbirini tamamlayarak bir "doğru" oluşturur. Bir doğrunun ölçüsü 180° olduğu için iç + dış = 180°.

Mnemonic: İÇi (n−2)·180, DIŞı 360, Köşede 180

Üçü sözel olarak kafada kalsın diye: "İç açılar kenar sayısının 2 eksiği çarpı 180; dış açılar her zaman 360; tek bir köşede iç ile dış 180."

Aritmetik Doğrulama — Formülü Kontrol Et

Dikkat edersen dörtgenin iç açıları toplamı 360° — yani bir dörtgenin bütün iç açılarını topladığında bir "tam açı" elde ediyorsun. Bu bilgi kare, dikdörtgen, paralelkenar gibi dörtgenlerde hep işine yarayacak.

Çözümlü Örnek 1 — 12gen İç Açıları Kaç Dik Açı Yapar?

Bir onikigenin iç açıları toplamı kaç dik açı yapar?

1. 12gen için iç açılar toplamı = (12 − 2) · 180 = 10 · 180 = 1800°.
2. "Dik açı" 90°'dir; kaç tane 90° var: 1800 / 90 = 20 dik açı.

Çözümlü Örnek 2 — İç Açılar Toplamı Dış Açılar Toplamının 4 Katı

Bir çokgenin iç açıları toplamı, dış açıları toplamının 4 katı ise bu çokgen kaç kenarlıdır?

1. İç = (n − 2)·180, Dış = 360.
2. (n − 2)·180 = 4 · 360 → (n − 2)·180 = 1440.
3. n − 2 = 8 → n = 10. Bu çokgen bir ongendir (10 kenarlı).

Çokgen sorularının en sık tekrarlanan kalıbı şudur: "Bazı iç açıları verilir, diğerleri eşittir, kaç kenarlıdır?" Bu tarz sorularda iç açılardan hareket edemezsin (çünkü kaç tane eşit iç açı olduğunu bilmezsin). Çözüm: dış açılara döner, hepsinin toplamının 360° olduğunu kullanırsın. Bu kalıbı örneklerle yerleştirelim.

Çözümlü Örnek 1 — Üç İç Açı Verilmiş, Gerisi Eşit

Bir çokgenin 3 iç açısının ölçüleri 100°, 120° ve 130°'dir. Diğer bütün iç açılar birbirine eşit ve 170° ise bu çokgen kaç kenarlıdır?

1. Verilen iç açıların dış açılarını bul: 180 − 100 = 80°; 180 − 120 = 60°; 180 − 130 = 50°.
2. 170°'lik iç açının dış açısı: 180 − 170 = 10°.
3. Eşit olan iç açıların sayısına x diyelim. O halde bu x tane dış açının her biri 10°'dir ve toplam katkısı 10x olur.
4. Toplam dış açı = 80 + 60 + 50 + 10x = 360 → 190 + 10x = 360 → 10x = 170 → x = 17.
5. Çokgenin toplam köşe (= kenar) sayısı: verilen 3 köşe + eşit olan 17 köşe = 20 kenar.

Çözümlü Örnek 2 — Beşgen Üstüne Dış Açı Sorusu

ABCDE bir beşgendir (düzgün değil). A, B ve C köşelerinin dış açıları a, b ve c olsun. Eğer E köşesinin iç açısı 90° ve D köşesinin iç açısı 120° ise a + b + c kaç derecedir?

1. E'nin dış açısı: 180 − 90 = 90°.
2. D'nin dış açısı: 180 − 120 = 60°.
3. Beşgenin 5 dış açısının toplamı 360°: a + b + c + 90 + 60 = 360 → a + b + c = 210°.

Çözümlü Örnek 3 — Bir Dış Açısı Verilmiş, Çokgen Kaç Kenarlı?

Bir düzgün çokgenin bir iç açısı, bir dış açısının 5 katıdır. Bu çokgen kaç kenarlıdır?

1. Dış açıya x dersek iç açı 5x olur.
2. İç + Dış = 180 → 5x + x = 180 → 6x = 180 → x = 30°.
3. Düzgün çokgende bir dış açı = 360 / n → 30 = 360 / n → n = 12.
4. Bu çokgen onikigen (12 kenarlı).

Çözümlü Örnek 4 — İç Açı 156° Olan Düzgün Çokgen

Bir düzgün çokgenin bir iç açısı 156° ise bu çokgen kaç kenarlıdır?

1. Dış açı = 180 − 156 = 24°.
2. n = 360 / 24 = 15. Düzgün onbeşgen.

Yardımcı Formül Kartı — Düzgün Çokgenlerde Açılar

Bir çokgendeki köşegen, iki farklı köşeyi birleştiren ve kenar olmayan doğru parçalarıdır. Yani bir köşeyi onun komşu köşeleriyle birleştirirsen kenar elde edersin; komşusu olmayan köşeyle birleştirirsen köşegen olur.

Bir Köşeden Çizilen Köşegen Sayısı

n kenarlı çokgenin bir köşesinden çizilebilecek köşegen sayısı = n − 3

Neden n − 3? Bir köşeden toplam n − 1 diğer köşeye doğru parçası çizebilirsin. Ama bunlardan 2'si (hemen sağında ve solundaki komşu köşeler) kenar oluşturur, köşegen değildir. Kendisine doğru parça çizilemez. Dolayısıyla: (n − 1) − 2 = n − 3 köşegen.

Çokgenin Toplam Köşegen Sayısı

n kenarlı çokgende toplam köşegen sayısı = n(n − 3) / 2

Neden bölü 2? Çünkü her köşegen iki köşe tarafından paylaşılır. Eğer tek tek saysaydık her köşegeni iki kez sayardık. Bu yüzden toplam sayı n · (n − 3)'ün yarısıdır.

Aritmetik Doğrulama

Çözümlü Örnek 1 — Ardışık Üç Köşeden Köşegen Sayısı

Bir ongenin (10 kenarlı çokgen) ardışık üç köşesinden toplam en fazla kaç farklı köşegen çizilir?

1. Bir köşeden çizilebilecek köşegen sayısı: n − 3 = 10 − 3 = 7.
2. Üç köşeden kaba tahmin: 3 · 7 = 21.
3. Ama ardışık köşeler arasında bazı köşegenler paylaşılıyor. Köşeleri 1, 2, 3 olarak numaralayalım:
   • 1'den çizilen köşegenler: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 köşelerine (ama komşularına değil) — yani 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (7 tane; 10 da komşudur).
   • 3'ten çizilen köşegenler: 1, 5, 6, 7, 8, 9, 10 — dikkat: 1'e giden köşegen aslında 1'den 3'e giden köşegenle aynı.
4. 1 ↔ 3 köşegeni tekrar sayıldığı için 21'den 1 çıkar: 20 farklı köşegen.

Çözümlü Örnek 2 — Köşegen Sayısı Verilmiş, Kenar Sayısı?

Bir çokgenin toplam 35 köşegeni varsa bu çokgen kaç kenarlıdır?

1. n(n − 3)/2 = 35 → n(n − 3) = 70.
2. n² − 3n − 70 = 0.
3. Çarpanlara ayır: (n − 10)(n + 7) = 0 → n = 10 veya n = −7.
4. n pozitif olmalı: n = 10. Ongen (10 kenarlı).

Bütün kenarları birbirine eşit ve bütün açıları birbirine eşit olan çokgene düzgün çokgen denir. Bu iki koşulun her ikisinin birden sağlanması gerekir; tek başına yeterli değildir.

Düzgün Çokgenin Anahtar Özellikleri

• Bütün kenarlar eşit: a birim kenar uzunluğu her kenarda aynı.
• Bütün iç açılar eşit: Her iç açı = (n−2)·180/n.
• Bütün dış açılar eşit: Her dış açı = 360/n.
• Bütün köşegenler (belirli tipte olanlar) eşit: Düzgün beşgende 5 köşegen birbirine eşittir; düzgün altıgende iki farklı uzunlukta köşegen vardır (ama kendi aralarında eşit).
• Bir çevrel çemberi vardır: Bütün köşelerden geçen tek bir çember çizilebilir. Merkez noktası çokgenin ağırlık merkezidir.
• Bir iç teğet çemberi vardır: Bütün kenarlara teğet olan tek bir çember vardır; merkez yine ağırlık merkezidir.
• Simetri eksenleri vardır: Düzgün ngenin tam n tane simetri ekseni vardır.

Simetri Ekseni — Kenar Sayısı Tek mi Çift mi?

Düzgün çokgenlerin simetri eksenleri kenar sayısının tek ya da çift olmasına göre farklı davranır:

Simetri Ekseninin Üç Görevi

Düzgün çokgende herhangi bir simetri ekseni üç görevi birden yerine getirir:

1. Geldiği kenarı iki eşit parçaya böler (dikey orta dikme).
2. Kenara dik gelir (90°'lik açı).
3. Geldiği köşedeki iç açıyı iki eşit parçaya böler (açıortay).

Çözümlü Örnek — Yırtık Kağıt Sorusu

Bir kağıda düzgün çokgen çizilmiştir. Kaza sonucu kağıdın bir kısmı yırtılmıştır. Kalan kısmın üstündeki bir doğru parçası AB, hem çokgenin bir köşegenidir hem de bir açıortayıdır. AB'nin sol tarafında 5 tam kenar görünüyorsa çokgen kaç kenarlıdır?

1. AB açıortay ise simetri ekseni olmak zorunda.
2. Simetri ekseni çokgeni iki eşit parçaya böldüğü için sol tarafta 5 kenar varsa sağ tarafta da 5 kenar vardır.
3. Toplam: 5 + 5 = 10 kenar. Ongen.

Paralellik — Çift Kenarlı Düzgün Çokgenlerde

Kenar sayısı çift olan düzgün çokgenlerde (dörtgen, altıgen, sekizgen, onikigen...), karşılıklı iki kenar paraleldir. Örneğin düzgün altıgenin karşılıklı iki kenarı birbirine paraleldir. Bu paralelliği z kuralı (iç ters açılar eşit) ile ispatlayabilirsin: iki iç açı eşit olduğu için alternatif kenarlar paraleldir.

Kenar sayısı tek olan düzgün çokgenlerde (üçgen, beşgen, yedigen...) karşılıklı kenar yoktur — bir kenarın karşısında bir köşe bulunur. Bu yüzden paralellik sadece çift kenarlılar için geçerlidir.

Düzgün çokgenlerin en güçlü ama en sık kaçırılan özelliği şudur: Bir kenarın görüldüğü açı, o kenarın ait olduğu çokgenin dış açısına eşittir. Birden fazla kenar görülüyorsa bu açı katlanır. Bu, çevrel çemberden gelen bir sonuçtur ve ÖSYM'nin sevdiği bir kazanımdır.

Neden İşe Yarar?

Çevrel çember üzerindeki bir yayın merkez açısı ile çevre açısı arasında çevre açı = merkez açı / 2 ilişkisi vardır. Düzgün çokgende her kenar eşit olduğu için her kenarın karşı yayı da eşittir. Dolayısıyla:

• Çevre açıdan (bir köşeden) bakıldığında bir kenarın gördüğü açı = merkez açı / 2 = (360/n) / 2 = 180/n.
• İki kenar birlikte görüldüğünde: 2 · (180/n) = 360/n = dış açı.
• Üç kenar birlikte görüldüğünde: 3 · (180/n) = 540/n.

Yani bir köşeden bir kenarı gören açıya α dersen, iki kenarı gören açı 2α, üç kenarı gören açı 3α olur. Bu α, 2α, 3α dizisi TYT'de sürekli karşımıza çıkar.

Çözümlü Örnek 1 — Düzgün Çokgenin Bir Köşesinden Açı Kurma

Bir düzgün çokgenin bir iç açısı 120° olarak verilmiştir. Bir köşeden başka bir köşeye çizilen doğrular ve oluşan iç üçgende şu açılar görünmektedir: 120°, ve köşegenin kolları bir kenarı (α) ve iki kenarı (2α) görüyor. α kaç derecedir ve bu çokgen kaç kenarlıdır?

1. İç açı 120° → dış açı 60° → n = 360/60 = 6. Düzgün altıgen.
2. Bir kenarın gördüğü açı = dış açı / 2 = 60/2 = 30°.
3. Yani α = 30°, 2α = 60°.

Çözümlü Örnek 2 — Kaç Kenarlı Bulma (Transcript Sorusu)

Şekilde düzgün çokgenin bir kenarı uzatılmış, dış açı 60° verilmiş. Çokgenin bir köşesinden çizilen bir doğru bir kenarı göstermekte, başka bir doğru iki kenarı göstermektedir. Açı verileri: bir açı 60°, ve ikizkenar üçgende x + 2x = 60° dış açıyı veriyor. Çokgen kaç kenarlıdır?

1. Bir kenarı gören açı = x, iki kenarı gören açı = 2x. Üçünün dış açı üçgeninde toplamı: x + 2x = 3x = 60 (verilen dış açı) → x = 20°.
2. İkizkenar üçgenden yansıyarak dış açı = 2x = 40°. (Çünkü x iki ayrı yerde görünüyor ve ikizkenardan yansıtılıyor.)
3. Dış açı 40° ise n = 360 / 40 = 9. Düzgün dokuzgen.

Çözümlü Örnek 3 — Eşkenar Üçgen Aramacası

Bir düzgün altıgen ve içine yerleştirilmiş bir kare, birer kenarı çakışık olacak şekilde bulunuyor. Altıgenin bir iç açısı 120°, karenin bir iç açısı 90°. Aralarında kalan açı 360 − 120 − 90 = 150° olur. Bu 150°'lik açı tepe açısı olan bir ikizkenar üçgendedir (çünkü altıgenin bir kenarı = karenin bir kenarı — ortak kenar kazanımı). İkizkenar üçgende taban açıları eşit ve (180 − 150)/2 = 15°.

Buradaki kritik çıkarım: altıgen + kare birleşiminde ikizkenar üçgenin tepe açısı 150°, taban açıları 15°'dir. Benzer birleşimler:

ÖSYM'nin son yıllarda en sık uyguladığı çokgen sorusu kalıbı: iki (ya da daha fazla) düzgün çokgen, birer kenarları çakışık olacak şekilde yan yana ya da iç içe çizilir. Sana aradaki bir açı ya da uzunluk sorulur. Bu tarz soruların anahtarı ortak kenar kazanımıdır.

Neden İşe Yarar?

Çünkü düzgün çokgenlerin kendi içinde bütün kenarları eşittir. Bir kenarın uzunluğu belli olunca zincirleme olarak diğer çokgenin de bütün kenarlarının uzunluğu belirlenir. Sonuç: aralarındaki üçgenlerin iki kenarı eşit olur → ikizkenar üçgen yakalanır.

Çözümlü Örnek 1 — Düzgün Beşgen + Eşkenar Üçgen

ABCDE düzgün beşgen ve ABF eşkenar üçgendir. AB ikisinin de ortak kenarıdır. F köşesinin C köşesine doğru çizilen FC doğrusunun beşgenle olan α açısı kaç derecedir?

1. Eşkenar üçgenin iç açıları 60°: açı A (F tarafında) = 60°, açı B (F tarafında) = 60°.
2. Düzgün beşgenin iç açıları 108°: A köşesinin tüm iç açısı 108°.
3. A köşesinde eşkenar üçgen 60° kullandığına göre geri kalan açı (FA ile AE arası) = 108 − 60 = 48°.
4. Ortak kenar kazanımı: AF = AB (eşkenarın kenarı) = AE (beşgenin kenarı). Yani üçgen FAE ikizkenar (AF = AE).
5. Bu ikizkenar üçgende tepe açısı 48°, taban açıları eşit → (180 − 48)/2 = 66°.
6. C köşesi tamamı 108°'dir. 66° + α = 108 → α = 42°.

Çözümlü Örnek 2 — Düzgün Altıgen + Kare

Düzgün altıgenin FA kenarı aynı zamanda ABKL karesinin bir kenarıdır. K köşesi ile altıgenin diğer köşelerinden çizilen bir doğrunun yaptığı α açısı kaçtır?

1. Karenin bir iç açısı 90°.
2. Altıgenin bir iç açısı 120°.
3. A köşesindeki toplam açı 360°. Kare 90° + altıgen 120° = 210° kullandı. Geri kalan = 360 − 210 = 150°.
4. FA = kare kenarı = altıgen kenarı (ortak kenar). İki kol eşit olan ikizkenar üçgenin tepe açısı 150°.
5. Taban açıları: (180 − 150)/2 = 15°. α = 15°.

Çözümlü Örnek 3 — Düzgün Beşgen + Kare + Eşkenar Üçgen (Sınav Kalıbı)

ABCDE düzgün beşgen, ABKL kare, AEF eşkenar üçgen olmak üzere iç içe yerleştirilmişlerdir. A köşesinden bakıldığında L, F ve ara açı görünmektedir. α kaç derecedir?

1. Beşgenin A iç açısı 108°, karenin 90°, eşkenar üçgenin 60°.
2. A köşesindeki toplam: 360°. Karenin 90° + eşkenarın 60° + beşgenin 108° = 258°.
3. Geriye kalan (L ile F arası) = 360 − 258 = 102°.
4. Ortak kenar kazanımı: AL (kare kenarı) = AB = AE (beşgen kenarı) = AF (eşkenar kenarı). Üçgen ALF'de iki kenar eşit (AL = AF), ikizkenar üçgen.
5. Tepe açısı 102°, taban açıları: (180 − 102)/2 = 39°. α = 39° (yorumlamaya göre).

Düzgün beşgen, TYT'de tek başına en çok soru çıkan düzgün çokgendir. Hem açı özelliklerinden hem de köşegen-simetri ekseni ilişkisinden sorular gelir.

Kimlik Kartı — Düzgün Beşgen

• Kenar sayısı: n = 5
• Dış açı: 360 / 5 = 72°
• İç açı: 180 − 72 = 108°
• İç açılar toplamı: (5 − 2) · 180 = 540°
• Köşegen sayısı: 5 · 2 / 2 = 5 (yıldız şeklinde oluşturur)
• Simetri ekseni: 5 (her biri bir köşeden karşı kenarın ortasına)
• Merkez açı (ağırlık merkezinden bir kenarı görme): 360 / 5 = 72°

Düzgün Beşgenin 108°'lik İç Açısı Sorularda Nasıl Çıkar?

Bir köşeden karşı iki köşeye köşegen çizdiğinde iç açıyı 3 eşit parçaya (36°−36°−36°) bölersin. Çünkü her köşegen bir kenarı kapladığı için 72/2 = 36°'lik çevre açı yapar. 3 · 36 = 108° (iç açının tamamı).

Bütün Köşegenler Eşittir

Düzgün beşgende AB köşegeni ile AC köşegeni eşittir; tüm 5 köşegen birbirine eşittir. Aralarında bir yıldız (beşli yıldız) şekli oluştururlar. İçeride oluşan 5 küçük üçgen eşkenar değildir ama hep ikizkenar üçgenlerdir (36°−72°−72° tipinde).

Çözümlü Örnek 1 — Altın Üçgen Sorusu

Düzgün beşgende köşegenler bir yıldız oluşturur. Merkez üçgenin iç açıları kaçtır?

1. Köşegenler her iç açıyı 36−36−36 olarak böler.
2. Bir köşegenin bir ucundaki açı, başka bir köşegenin ucuyla birleşince oluşan iç üçgen: 36°, 36°, (180 − 72) = 108° değil.
3. Merkez üçgenin iç açıları: 72°, 72°, 36° (altın üçgen). Altın oran φ = 1.618... bu üçgenin kenar oranlarında görünür.

Çözümlü Örnek 2 — Köşegen Uzunluğu Eşitliği

ABCDE düzgün beşgendir. EC = 6 birim ise AC kaç birimdir?

1. Düzgün beşgende bütün köşegenler birbirine eşittir.
2. EC = AC = 6 birim.

Çözümlü Örnek 3 — ABCDE Beşgen, ABK Kare, Alfa Bulma

ABCDE düzgün beşgen, ABKL kare, AEF eşkenar üçgen. A köşesindeki boşlukta bulunan alfa açısı kaçtır?

1. Beşgen iç açısı 108°, kare 90°, eşkenar 60°.
2. A köşesinde: kare + eşkenar = 90 + 60 = 150°. Geri kalan (boşluk) = 360 − 150 − 108 = 102°. Bu boşlukta (K ile F arasında) üçgen oluşur.
3. Ortak kenar: AK (karenin) = AB = AE (beşgenin) = AF (eşkenarın). Yani AK = AF → üçgen AKF ikizkenar.
4. Tepe açı 102°, taban açıları (180 − 102)/2 = 39°.
5. α = 39° (veya tasarıma göre başka bir değer).

Çözümlü Örnek 4 — Simetri Ekseni ve Yükseklik

Düzgün beşgende simetri ekseni aynı zamanda yüksekliktir. Eğer beşgenin bir köşesinden karşı kenara indirilen dikme (= simetri ekseni) 15 birim ise, bu dikme üzerindeki iki parçanın toplamı kaç birimdir?

1. Düzgün beşgende bütün simetri eksenleri birbirine eşittir.
2. Herhangi bir simetri ekseni yine 15 birim uzunluğunda olur.
3. Bu eksen boyunca iki nokta arası mesafelerin toplamı = 15 birim (eksenin tamamı).

Düzgün altıgen, geometrinin "müthiş" şekillerinden biridir. 6 eşkenar üçgenin birleşmesinden oluşur ve bu özellik alan hesaplarından açılara kadar pek çok soruyu kolaylaştırır.

Kimlik Kartı — Düzgün Altıgen

• Kenar sayısı: n = 6
• Dış açı: 360 / 6 = 60°
• İç açı: 180 − 60 = 120°
• İç açılar toplamı: (6 − 2) · 180 = 720°
• Köşegen sayısı: 6 · 3 / 2 = 9
• Simetri ekseni: 6 (3'ü karşıt köşelerden, 3'ü karşıt kenarların orta noktalarından)
• Merkez açı: 60°
• Eşkenar üçgen sayısı (merkezden çizildiğinde): 6

Altıgen = 6 Eşkenar Üçgen

Düzgün altıgenin merkezinden (ağırlık merkezinden) her köşeye doğru parçalar çizdiğinde altıgen tam olarak 6 eşkenar üçgene bölünür. Bunun sebebi:

1. Merkezden çıkan her doğru parçası altıgenin yarıçapıdır — yani çevrel çember yarıçapı (R).
2. Her üçgenin tepe açısı (merkezde) = 60° (çünkü 360 / 6 = 60).
3. Her üçgenin iki kenarı R, taban açıları (180 − 60)/2 = 60° → üç açı da 60° → eşkenar üçgen.
4. Sonuç: altıgenin kenarı = yarıçap = R. Altıgenin tüm kenarları ve yarıçapları eşittir.

Düzgün Altıgenin Alanı

Bir kenarı a olan eşkenar üçgenin alanı a²√3 / 4'tür. Düzgün altıgen 6 eşkenar üçgenin toplamıdır:

Alan(altıgen) = 6 · (a²√3 / 4) = (3a²√3) / 2

Köşegenler — İki Tip

Düzgün altıgende iki farklı köşegen uzunluğu vardır:

• Kısa köşegen (bir köşe atlayarak): a√3. Bu köşegen çokgenin iki eşkenar üçgenini keser.
• Uzun köşegen (iki köşe atlayarak, karşı köşeye): 2a. Altıgenin tam ortasından geçer, merkezden geçer.

Aritmetik doğrulama: Uzun köşegen = 2 · yarıçap = 2a (çünkü yarıçap = kenar = a). Kısa köşegen = 60°−90°−30° dik üçgende: 30°−60°−90° üçgeninde hipotenüs a olunca uzun dik kenar a√3/2. Altıgende iki eşkenar üçgenin tepeleri arası = 2 · (a√3/2) = a√3. ✓

Çözümlü Örnek 1 — Alan Üzerinden Kenar Bulma

Bir düzgün altıgenin alanı 54√3 birim karedir. Bir kenarı kaç birimdir?

1. Alan formülü: (3a²√3)/2 = 54√3.
2. 3a²/2 = 54 → 3a² = 108 → a² = 36 → a = 6 birim.

Çözümlü Örnek 2 — Altıgen + Kare (2022 TYT Tarzı Tel Uzaması)

Düzgün altıgen biçimindeki bir tablonun A, C ve E köşelerine bağlı 1 birim uzunluğunda esnek bir tel var. Tablonun içinde ABCD kare biçiminde ikinci bir tablo da A ve B köşelerinden çiviyle bağlanmıştır. D ve C'deki çiviler çıktığında kare tablo A-B ekseni etrafında dönerek aşağı düşer. Telin uzaması ne kadardır?

1. Altıgenin iç açısı 120°, kare 90°.
2. A köşesinde: altıgen 120° + kare 90° = 210°. Geri kalan (aşağıdaki kare kenarı kalıntısı) = 360 − 210 = 150°. Taban açıları: (180 − 150)/2 = 15°.
3. İndirilen dikmeden 15−75−90 üçgenleri oluşur. 15°'nin karşısı 1/2 (karenin yarım kenarı) ise, 30−60−90 yardımcı üçgenleriyle 75°'nin karşısı hesaplanır.
4. 75°'nin karşısı: √3/2 + 1/2 birim (iki parça toplamı).
5. Yeni telin uzunluğu: 2 · (√3/2 + 1/2) = √3 + 1 + yan uzunluk = 2 + √3.
6. Uzama: (2 + √3) − 1 = 1 + √3 birim.

Çözümlü Örnek 3 — Altıgenin Köşegeniyle Üçgen

ABCDEF düzgün altıgeninin uzun köşegeni AD = 10 birim ise bir kenarı kaç birimdir ve alanı kaçtır?

1. Uzun köşegen = 2a → 2a = 10 → a = 5 birim.
2. Alan = (3 · 5² · √3) / 2 = (75√3) / 2 = 37.5√3 birim kare.

Her düzgün çokgenin bir çevrel çemberi vardır. Bu çember bütün köşelerden geçer ve merkez noktası çokgenin ağırlık merkezidir. Çevrel çember kavramı, düzgün çokgen sorularının "gizli" anahtarıdır.

Merkez Açı = Dış Açı

Düzgün ngenin merkezinden iki komşu köşeye çizilen doğrular arasındaki merkez açı = 360 / n = dış açı

Bu özdeşlik kritiktir: "Bir düzgün çokgenin merkezden görülen bir kenarının açısı, aynı zamanda o çokgenin dış açısıdır." Dış açı kolayca 360/n ile hesaplanır; tersine, merkez açı bilindiğinde kenar sayısı bulunur.

Neden Böyledir?

Merkezden bütün köşelere doğru parçaları çizersen çokgen n tane eş ikizkenar üçgene bölünür (her üçgenin iki kenarı yarıçapa eşittir). Bu ikizkenar üçgenlerin merkezdeki tepe açıları toplamı 360° olmalıdır (merkezde tam açı). Her biri eşit olduğu için her bir tepe açısı = 360/n = dış açı.

Çözümlü Örnek 1 — Merkez Açı → Kenar Sayısı

Bir düzgün çokgenin ağırlık merkezinden iki komşu köşesine çizilen doğrular arasındaki açı 40°'dir. Bu çokgen kaç kenarlıdır?

1. Merkez açı = 360 / n → 40 = 360 / n.
2. n = 360 / 40 = 9. Düzgün dokuzgen.

Çözümlü Örnek 2 — Bir Kenarı Gören Açı

ABCDE düzgün beşgen ve O ağırlık merkezi. BOC açısı kaç derecedir?

1. Merkez açı = 360 / 5 = 72°. BOC = 72°.

Çözümlü Örnek 3 — İki Kenar Atlamalı Merkez Açı

Düzgün ongen ABCDEFGHIJ ve O merkez. AOC açısı kaç derecedir?

1. Ongenin bir merkez açısı = 360 / 10 = 36°.
2. A ile C arasında 2 kenar var (B atlandı) → merkez açı = 2 · 36 = 72°.

Çevre Açı = Merkez Açı / 2

Düzgün çokgenin çevrel çemberinde bir yay, merkezden bakıldığında α° görünüyorsa, aynı yay çokgenin başka bir köşesinden bakıldığında α/2 ° görünür.

Bu yüzden: bir köşeden bakıldığında bir kenar (bir yay) = (360/n)/2 = 180/n görünür. Birden fazla kenar bakıldığında bu açı katlanır.

Çözümlü Örnek 4 — Çevre Açıdan Kenar Sayısı

Bir düzgün çokgenin bir köşesinden bakıldığında bir kenarın gördüğü açı 12° ise bu çokgen kaç kenarlıdır?

1. Çevre açı = 180 / n → 12 = 180 / n.
2. n = 180 / 12 = 15. Düzgün onbeşgen.

Çözümlü Örnek 5 — Ağırlık Merkezi Sorusu (Transcript)

ABCDE düzgün beşgen, O ağırlık merkezi. EF = 2A, AF = A olmak üzere boyalı bölge 11 birim kare ise beşgenin alanı nedir?

1. O merkezinden köşelere çizilen 5 ikizkenar üçgen eş alanlıdır (her biri S).
2. Alan ilişkilerinden S = 2 → üçgen alanlarını parça parça hesapla.
3. Ayrıntılı hesap sonucu beşgenin toplam alanı = 30 birim kare.

ÖSYM'nin sevdiği ikinci bir kalıp: düzgün çokgenleri yan yana dizerek bir kapalı bölge oluşturma. Bir çokgenin etrafına başka düzgün çokgenler yerleştirilirse ya da birkaç düzgün çokgen kenarlarıyla çakışarak hücre oluşturuyorsa, açıların toplamından bilgiler çıkarılır.

Çevre Döşeme Sorusu Kalıbı

"Düzgün beşgen biçiminde n tane fayans, birer kenarları çakışacak şekilde yan yana dizildiğinde kapalı bir düzgün çokgen oluşuyor. n kaçtır?"

Çözüm Stratejisi

1. Dış çokgenin iç açısını bul (içeride iki düzgün beşgen buluşuyorsa).
2. İki beşgenin iç açıları toplamı: 108 + 108 = 216°.
3. 360°'den çıkar: 360 − 216 = 144° — bu dış çokgenin iç açısıdır.
4. Dış açı: 180 − 144 = 36°.
5. Dış çokgenin kenar sayısı: 360 / 36 = 10. Yani 10 beşgen bir araya geldiğinde düzgün ongen oluşur.

Çözümlü Örnek 1 — Beşgen Fayans Sorusu

Düzgün beşgen biçiminde n tane fayans birer kenarları çakışacak şekilde dizilerek kapalı bir düzgün çokgen oluşturuyor. n kaçtır?

1. Her iç köşede iki beşgen buluşur: 108 + 108 = 216°.
2. Dış çokgenin iç açısı: 360 − 216 = 144°.
3. Dış çokgenin dış açısı: 180 − 144 = 36°.
4. Kenar sayısı: 360 / 36 = 10. Çevresel ongen oluşur, 10 beşgen kullanılır.

Çözümlü Örnek 2 — İç İçe Çokgen Sorusu

Kırmızı renkli bir düzgün çokgenin içine kenarları çokgenin kenarlarıyla çakışık olacak şekilde birer düzgün beşgen ve düzgün altıgen çizilmiştir. Oluşan iki açıdan biri x ve diğeri y'dir. 5x = 4y ise kırmızı çokgen kaç kenarlıdır?

1. Ortak açıya z diyelim.
2. x + z = 108 (beşgenin iç açısı); y + z = 120 (altıgenin iç açısı).
3. Çıkar: y − x = 120 − 108 = 12.
4. 5x = 4y → x = 4k, y = 5k (k sabit). y − x = k = 12.
5. x = 48°, y = 60°.
6. Kırmızı çokgenin bir iç açısı: y + z + x = 120 + x = 120 + 48 = 168°.
7. Dış açı: 180 − 168 = 12°. Kenar sayısı: 360 / 12 = 30. 30 kenarlı.

Çözümlü Örnek 3 — Üç Şekilli Birleşim (Mor Soru)

Mavi renkli düzgün çokgenin üzerine kenarları bu çokgenin kenarlarıyla çakışacak şekilde eşkenar üçgen, kare ve düzgün beşgen çizilmiştir. Karenin eşkenar üçgenle oluşturduğu açı, beşgenle oluşturduğu açının 5 katıdır. Mavi çokgen kaç kenarlıdır?

1. Eşkenar üçgen iç açı 60°, kare 90°, beşgen 108°.
2. Yeşil açıya x, kırmızı açıya 5x. İki tarafta:
   • Sağ taraf: 60 + 90 + 5x = çokgenin iç açısının yarısı (belirli bir geometri) − bu geometri kurgusuna göre sol ve sağ iç açılar eşit.
   • Sol taraf: 90 + 108 + x.
3. Eşitlikten: 150 + 5x = 198 + x → 4x = 48 → x = 12°.
4. Sağ iç açı: 150 + 5·12 = 210 (360'dan çıkarıldığında kalan = 150° iç açı).
5. Çokgenin iç açısı = 150° → dış açı = 30° → n = 12. Onikigen.

Çevresel Döşeme İçin Uyumluluk Kuralı

Düzgün çokgenlerle düzlemin tamamı kaplanabilmesi (tuğla gibi dizilmesi) için iç açıların 360°'yi tam bölmesi gerekir:

• Üçgen: 60° × 6 = 360° ✓ (bir noktada 6 üçgen)
• Kare: 90° × 4 = 360° ✓ (bir noktada 4 kare)
• Altıgen: 120° × 3 = 360° ✓ (bir noktada 3 altıgen — arı peteği)
• Beşgen: 108° × ? = 360 (tam bölmez) — beşgen tek başına düzlemi döşeyemez

Bu yüzden arı peteğinin altıgen şeklinde olması mantıklıdır: altıgenler düzlemi hiç boşluk bırakmadan doldurur.

Çokgen sorularının ÖSYM tarzını anlamak için geçmiş yıl sorularına bakmak şart. İki kritik yıl var: 2019 MSÜ (düzgün ongen + onbeşgen birleşimi) ve 2022 TYT (altıgen + kare tel sorusu). Her iki soru da birleşik düzgün çokgen açı/uzunluk kalıbına uyar.

2019 MSÜ — Düzgün Ongen + Düzgün Onbeşgen

Şekilde bir kenara birer kenarları ortak olan düzgün 10genin ve düzgün 15genin bir bölümü ile bu çokgenlerin birer köşesini birleştiren mavi renkli doğru parçası verilmiştir. Buna göre x kaç derecedir?

Çözüm

1. Düzgün ongen: bir dış açı = 360/10 = 36°, bir iç açı = 180 − 36 = 144°.
2. Düzgün onbeşgen: bir dış açı = 360/15 = 24°, bir iç açı = 180 − 24 = 156°.
3. İki çokgen bir kenarla çakışıktır. Ortak kenarın iki ucundaki açılar toplamı: 144° (ongenden) + 156° (onbeşgenden) = 300°.
4. 360°'den kalan iç açı: 360 − 300 = 60°. Bu 60°'lik açı, ortak kenarın iki ucunun arasında kalır.
5. Ortak kenar kazanımı: Ongenin kenarı = onbeşgenin kenarı. Dolayısıyla tepe açısı 60° olan ikizkenar üçgen → eşkenar üçgen!
6. Eşkenar üçgen özelliğiyle: her açı 60°. 144° (ongen iç açısı) üzerinde 60° = 204°. Devam eden ikizkenar üçgende tepe açısı: 360 − 204 = 156°.
7. Taban açıları: (180 − 156)/2 = 12°. x = 12°.

2022 TYT — Düzgün Altıgen + Kare (Tel Uzaması)

Aşağıda verilen düzgün altıgen biçimindeki bir tablo içerisinde, A ve B köşelerinden dönebilen ABCD kare biçiminde bir tablo vardır. Tabloların A, C ve E köşelerine bağlı 1 birim uzunluğunda esnek bir tel vardır. Kare biçimindeki tablonun D ve C köşelerindeki çiviler çıkınca aşağıdaki görüntü oluşmaktadır. Tel kaç birim uzamıştır?

Çözüm

1. Düzgün altıgenin iç açısı 120°, karenin 90°.
2. A köşesinde: altıgen 120° + kare 90° = 210°. Aşağıdaki kalan bölgede 360 − 210 = 150°.
3. Ortak kenar: karenin bir kenarı = altıgenin bir kenarı. İkizkenar üçgen tepe açısı 150°, taban açıları (180 − 150)/2 = 15°.
4. Kare düştüğünde oluşan yeni konumda, karenin kenarı altıgenin simetri eksenine dik olmayan bir açı yapar.
5. İç yapıda 15°−75°−90° üçgenleri oluşur. Yardımcı dikme indirildiğinde 30°−60°−90° üçgeni çıkar.
6. 30°'nin karşısı 1/2 olduğu için 60°'nin karşısı √3/2. Toplam uzunluk: √3/2 + 1/2 birim (bir yan).
7. İki simetrik yan: 2 · (√3/2 + 1/2) = √3 + 1 = 1 + √3 birim.
8. Yeni tel uzunluğu: 1 (ilk tel) + ilave yan = 2 + √3. Uzama = (2 + √3) − 1 = 1 + √3 birim.

Strateji Çıkarımı — Geçmiş Soruların Ortak Özellikleri

Benzerlik ve Eşit Kenarlı Köşegenler

Düzgün çokgende aynı sayıda kenarı atlayarak çizilen köşegenler birbirine eşittir. Örneğin ABCDEFGH düzgün sekizgeninde:

• AC, BD, CE, DF, EG, FH, GA, HB — hepsi eşit (birer köşe atlar).
• AD, BE, CF, DG, EH, FA, GB, HC — hepsi eşit (iki köşe atlar).
• AE, BF, CG, DH — hepsi eşit (üç köşe atlar, karşıt köşeye gider, en uzun).

Çokgen sorularında öğrencilerin en sık yaptığı hataları ve sınav gününde uygulayacağın 4 adımlı stratejiyi tek bir yerde toparladık.

Sık Yapılan Hatalar — 6 Klasik Tuzak

Hata 1 — Köşegen Sayısı Formülünde Bölü 2'yi Unutmak

Yanlış: 10genin köşegeni = 10 · 7 = 70.

Doğru: n(n − 3)/2 = 10 · 7 / 2 = 35. Her köşegen iki köşe tarafından sayıldığı için bölü 2 zorunludur.

Hata 2 — Dış Açılar Toplamı n'ye Göre Değişir Sanmak

Yanlış: "Beşgenin dış açılar toplamı (5−2)·180·(?) bir şey olmalı."

Doğru: Dışbükey her çokgenin dış açılar toplamı her zaman 360°. Kenar sayısına bağlı değildir.

Hata 3 — Eşkenar Dörtgen Düzgün Çokgen Sanmak

Yanlış: "Eşkenar dörtgen bütün kenarları eşit → düzgün dörtgen." → hayır, kare düzgün dörtgendir.

Doğru: Düzgün olmak için bütün kenarlar ve bütün açılar eşit olmalı. Eşkenar dörtgende açılar eşit olmak zorunda değildir.

Hata 4 — Merkez Açı ile Çevre Açıyı Karıştırmak

Yanlış: "Bir köşeden bakıldığında bir kenar 360/n görünür."

Doğru: Bir köşeden (çevre açı) bakıldığında bir kenar 180/n görünür. Merkezden (merkez açı) bakıldığında 360/n görünür. Çevre açı = merkez açı / 2.

Hata 5 — Ortak Kenarı Fark Etmemek

Yanlış: Birleşik şekil sorularında iki çokgenin kenarlarını ayrı ayrı düşünmek.

Doğru: İki düzgün çokgen bir kenarla çakıştığında o kenar her ikisine de aittir; yani iki çokgenin tüm kenar uzunlukları eşit olur. Bu, aralarındaki üçgenleri ikizkenar yapar ve soruyu sen de çözebilirsin.

Hata 6 — Simetri Eksenini Sadece Açıortay Sanmak

Yanlış: "Bu doğru açıortay ama başka bir özelliği yok."

Doğru: Düzgün çokgende simetri ekseni aynı anda açıortay, dik kenarortay ve yüksekliktir. Üçünü birden kullanabilirsin.

Sınav Günü — 4 Altın Adım

1. Tanı koy (3 saniye):
   • Soru "kaç kenarlı?" mı soruyor → dış açıyı bul, n = 360/dış.
   • Soru "açı değeri" mi? → iç açı (n−2)·180/n veya 180 − (360/n) ile başla.
   • Soru "uzunluk" mu? → düzgün çokgenin kenarı = yarıçap (altıgende), simetri ekseni özellikleri.
   • Soru "alan" mı? → altıgende 6 eşkenar üçgen, beşgende merkez üçgenleri.
2. İç açı değerlerini yerleştir (5 saniye): Beşgen 108°, altıgen 120°, kare 90°, eşkenar üçgen 60°, sekizgen 135°, ongen 144°, onikigen 150°, onbeşgen 156°.
3. Ortak kenar kazanımını yakala (5 saniye): Birden fazla düzgün çokgen bir kenarla çakışmış mı? Aralarındaki üçgenler ikizkenar mı? 60° tepe açılı ikizkenar → eşkenar üçgen.
4. Son kontrol (5 saniye): "Kaç kenarlı?" cevabın tam sayı mı? İç açılar toplamı (n−2)·180 ile bulduğun n uyuyor mu? Aritmetik doğrulama yap.

Tanı Kartı — Soru Tipi ↔ Strateji

Özet Formül Kartı