TYT Geometri — Analitik: Doğru

Doğrunun analitiğinin kalbi tek bir kavramdır: eğim. Eğim, bir doğrunun koordinat düzleminde x ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının tanjantıdır. Gözüne canlandırmanın en kolay yolu yol benzetmesi: sayı doğrusu düz bir yol, eksenin üstüne yükseldikçe yokuş, altına indikçe iniş. Yol yatay uzanırsa eğimsiz, yukarı tırmanırsa pozitif eğim, aşağı inerse negatif eğim, dimdik duvar gibi kalkarsa eğim tanımsız.

Eğim İşaretinin Anlamı

Eğimin işareti, doğrunun "hangi yöne baktığını" söyler. Bu bakışı bir kere kazanırsan soru çözerken grafik çizmeden doğrunun şeklini hayal edebilirsin:

Durum	Eğim	Açı (α)	Doğrunun Görünümü
Artan	m > 0	0° < α < 90°	Soldan sağa yokuş yukarı (↗)
Azalan	m < 0	90° < α < 180°	Soldan sağa yokuş aşağı (↘)
Yatay	m = 0	α = 0°	x eksenine paralel (—)
Dikey	Tanımsız	α = 90°	y eksenine paralel (|)

Çözümlü Örnek 1 — İki Noktadan Eğim

A(0, 1) ve B(3, 4) noktalarından geçen doğrunun eğimi nedir?

1. Formül: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).
2. m = (4 − 1)/(3 − 0) = 3/3 = 1.
3. Eğim pozitif → doğru soldan sağa yukarı yükseliyor; x ekseniyle yaptığı açı 45°.

Çözümlü Örnek 2 — Yatay ve Dikey Doğrular

Aşağıdaki doğruların eğimlerini bulun:

1. y = 5: Her x için y = 5; iki nokta (0, 5) ve (2, 5). m = (5 − 5)/(2 − 0) = 0. Yatay.
2. x = −2: Her y için x = −2; iki nokta (−2, 0) ve (−2, 4). Payda (−2) − (−2) = 0. Eğim tanımsız. Dikey.
3. 2x + 3y = 6: y = −(2/3)x + 2 formuna dök → eğim −2/3. Negatif, azalan.

Bir doğru hakkında iki temel bilgi — tek bir nokta ve eğim — verildiğinde doğrunun denklemini kurmanın en kısa yolu eğim-nokta formudur:

y − y₀ = m · (x − x₀)

Burada (x₀, y₀) doğru üzerindeki bir nokta, m ise eğim. Denklemi dağıtıp topladığında y = mx + n biçimine de dönüştürebilirsin; ikisi aynı doğrudur, sadece farklı yüzleri.

Neden İşe Yarar?

Herhangi bir (x, y) noktası doğru üzerindeyse, o nokta ile verilen (x₀, y₀) noktasının oluşturduğu eğim, doğrunun eğimine eşit olmalıdır. Yani (y − y₀)/(x − x₀) = m → iki tarafı (x − x₀) ile çarparsan formül doğrudan çıkar.

Çözümlü Örnek 1 — Eğim 2 ve Bir Nokta

Eğimi 2 olan ve (3, 5) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir?

1. Formül: y − y₀ = m(x − x₀) → y − 5 = 2(x − 3).
2. Açalım: y − 5 = 2x − 6 → y = 2x − 1.
3. Sağlama: x = 3 için y = 2·3 − 1 = 5. ✓ Nokta doğru üzerinde.

Çözümlü Örnek 2 — Eğim Tanjantla Veriliyor

x ekseniyle 60° açı yapan ve (1, 0) noktasından geçen doğrunun denklemini kur.

1. m = tan 60° = √3.
2. y − 0 = √3 (x − 1) → y = √3 x − √3.

Çözümlü Örnek 3 — Negatif Eğim

Eğimi −1/2 olan ve (−2, 4) noktasından geçen doğru:

1. y − 4 = (−1/2)(x − (−2)).
2. y − 4 = (−1/2)(x + 2).
3. İki tarafı 2 ile çarp: 2y − 8 = −(x + 2) → 2y − 8 = −x − 2.
4. Toparla: x + 2y − 6 = 0 ya da y = −(1/2)x + 3.

Çözümlü Örnek 4 — Üzerinde Bulunma Kontrolü

y = 2x − 1 doğrusu üzerinde (4, 7) noktası bulunur mu?

1. Doğru denklemine koy: y = 2·4 − 1 = 7. ✓ Evet, bulunur.
2. Noktanın doğru üzerinde olması için koordinatlarının denklemi sağlaması yeterli.

Bir doğrunun en tanıdık yazımı y = mx + n biçimidir. Bu forma eğim-kesen formu denir çünkü iki temel bilgiyi doğrudan verir: m eğim, n ise y-kesen (doğrunun y eksenini kestiği noktanın y koordinatı).

Eğim-Kesen Formunun Yorumu

Sembol	Ne Anlama Gelir?
m	Eğim; doğrunun x ekseniyle yaptığı açının tanjantı.
n	Y-kesen; x = 0 koyduğunda y = n. Doğrunun y eksenini kestiği nokta (0, n).

X-Kesen Nasıl Bulunur?

y = mx + n doğrusunda x-keseni (doğrunun x eksenini kestiği nokta) bulmak için y = 0 koyarsın: 0 = mx + n → x = −n/m. Yani x-kesen = (−n/m, 0).

Çözümlü Örnek 1 — Eksen Kesenler

y = 3x − 6 doğrusu eksenleri hangi noktalarda keser?

1. y eksenini: x = 0 → y = −6 → (0, −6).
2. x eksenini: y = 0 → 0 = 3x − 6 → x = 2 → (2, 0).

Çözümlü Örnek 2 — Genel Formdan Eğim-Kesen Formuna

2x + 5y − 10 = 0 doğrusunun eğimi ve y-keseni nedir?

1. y'yi yalnız bırak: 5y = −2x + 10 → y = −(2/5)x + 2.
2. Eğim m = −2/5.
3. Y-kesen n = 2, yani (0, 2) noktası doğru üzerinde.

Çözümlü Örnek 3 — TYT Tarzı: Eksenlerle Oluşturduğu Üçgen Alanı

3x + 4y = 12 doğrusunun eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanı kaç birim karedir?

1. X-kesen: y = 0 → 3x = 12 → x = 4 → (4, 0).
2. Y-kesen: x = 0 → 4y = 12 → y = 3 → (0, 3).
3. Bu iki nokta ve orijin bir dik üçgen oluşturur (köşeleri O(0,0), A(4,0), B(0,3)).
4. Alan = (1/2) · |x-kesen| · |y-kesen| = (1/2) · 4 · 3 = 6 birim kare.

Çözümlü Örnek 4 — Eksende Simetri

y = 2x + 4 doğrusu x ekseninde simetriğinin denklemi nedir?

1. x ekseni simetrisi: her y'yi −y ile değiştir.
2. −y = 2x + 4 → y = −2x − 4.

Bir doğrunun üçüncü ve en "evrensel" yazımı genel formdur: ax + by + c = 0. Bu form, dikey doğrular dahil her doğruyu temsil edebildiği için özellikle ÖSYM'nin sevdiği bir yazımdır.

Genel Formdan Ne Öğrenilir?

Dönüşüm Tablosu — Üç Form Arasında Geçiş

Form	Yazımı	Ne Zaman Kullanılır?
Eğim-Nokta	y − y₀ = m(x − x₀)	Bir nokta + eğim biliniyor.
Eğim-Kesen	y = mx + n	Eğim + y-kesen biliniyor; grafik çizmek için ideal.
Genel Form	ax + by + c = 0	Uzaklık, kesişim, paralellik/diklik kontrolünde evrensel yazım; dikey doğrular için şart.
Eksen-Kesen (Iki Kesen)	x/p + y/q = 1	x-kesen p ve y-kesen q biliniyor.

Çözümlü Örnek 1 — Genel Formdan Eğime

4x − 2y + 8 = 0 doğrusunun eğimi kaçtır?

1. Formül: m = −a/b = −4/(−2) = 2.
2. Sağlama: y'yi yalnız bırak: 2y = 4x + 8 → y = 2x + 4. Eğim 2. ✓

Çözümlü Örnek 2 — İki Kesen Formu

X-keseni 6, y-keseni 4 olan doğrunun denklemini bulun.

1. Eksen-kesen formu: x/p + y/q = 1 → x/6 + y/4 = 1.
2. Her iki tarafı 12 ile çarp: 2x + 3y = 12.
3. Genel form: 2x + 3y − 12 = 0.
4. Eğim: m = −2/3. Sağlama: y-kesen = −(−12)/3 = 4 ✓

Çözümlü Örnek 3 — c = 0 Koşulu

mx − 2y + 3m − 6 = 0 doğrusu orijinden geçiyorsa m kaçtır?

1. Orijin (0, 0) doğru üzerindeyse denklemi sağlar: m·0 − 2·0 + 3m − 6 = 0 → 3m = 6 → m = 2.
2. Genel formda c'nin sıfır olması, doğrunun orijinden geçmesi anlamına gelir.

Bir doğru hakkında hiçbir şey bilmesen bile iki nokta verilmişse, denklemini kurabilirsin. İki aşamada biter: (1) eğimi hesapla, (2) iki noktadan birini kullanarak eğim-nokta formunu yaz.

İki nokta (x₁, y₁) ve (x₂, y₂) için: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), sonra y − y₁ = m(x − x₁).

Çözümlü Örnek 1 — Klasik İki Nokta

A(1, 2) ve B(4, 8) noktalarından geçen doğrunun denklemi nedir?

1. Eğim: m = (8 − 2)/(4 − 1) = 6/3 = 2.
2. Eğim-nokta: y − 2 = 2(x − 1).
3. Açalım: y − 2 = 2x − 2 → y = 2x.
4. Sağlama: B(4, 8) için y = 2·4 = 8. ✓ A(1, 2) için y = 2·1 = 2. ✓
5. Doğru orijinden de geçer (n = 0).

Çözümlü Örnek 2 — Negatif Eğim

P(−1, 5) ve Q(3, −3) noktalarından geçen doğrunun y = mx + n formu ve x-kesen noktası nedir?

1. Eğim: m = (−3 − 5)/(3 − (−1)) = −8/4 = −2.
2. Eğim-nokta (P ile): y − 5 = −2(x + 1) → y − 5 = −2x − 2 → y = −2x + 3.
3. X-kesen: y = 0 → 0 = −2x + 3 → x = 3/2. Kesim noktası (3/2, 0).

Çözümlü Örnek 3 — Eksenleri Kesiyor (Hem x-kesen Hem y-kesen Biliniyor)

Bir doğru x eksenini (5, 0) noktasında, y eksenini (0, −2) noktasında kesiyor. Denklemi nedir?

1. Eksen-kesen formunu kullan: x/5 + y/(−2) = 1.
2. Düzenle: x/5 − y/2 = 1 → 2x − 5y = 10.
3. Genel form: 2x − 5y − 10 = 0.
4. Kısa yol (eğim yaklaşımı): m = (−2 − 0)/(0 − 5) = 2/5 → y = (2/5)x − 2 → 2x − 5y − 10 = 0. ✓

Çözümlü Örnek 4 — Üç Nokta Doğrusallık

A(1, 3), B(2, 5) ve C(4, k) noktaları aynı doğru üzerinde ise k kaçtır?

1. Aynı doğru üzerinde olan üç nokta için m(AB) = m(BC) olmalı.
2. m(AB) = (5 − 3)/(2 − 1) = 2.
3. m(BC) = (k − 5)/(4 − 2) = (k − 5)/2 = 2 → k − 5 = 4 → k = 9.
4. Sağlama: y = 2x + 1 doğrusu üç noktayı da sağlar — (4, 9): 2·4 + 1 = 9. ✓

İki doğrunun paralel olmasının tek şartı vardır: eğimleri eşit. İki doğru aynı yöne bakıyorsa (aynı yokuş açısıyla yükseliyor ya da iniyorsa) hiçbir zaman kesişmezler — paralellerdir.

d₁ ∥ d₂   ⇔   m₁ = m₂

Dikkat — Aynı Doğru Değil

Eğimleri eşit olan iki doğru y-kesenleri de eşitse aynı doğrudurlar (çakışık — üst üste yatarlar). Bu durumda paralel demek yanlış sayılmasa da, ÖSYM genelde "farklı paralel" anlamında sorar. Y-kesenleri farklıysa gerçekten paralel ve kesişmeyen iki ayrı doğrudan bahsediyoruzdur.

Genel Formda Paralellik

a₁x + b₁y + c₁ = 0 ve a₂x + b₂y + c₂ = 0 doğruları paralelse: a₁/a₂ = b₁/b₂. Aynı doğru için ayrıca c₁/c₂ de eşit olmalı.

Çözümlü Örnek 1 — Paralele Bir Doğru

y = 3x + 2 doğrusuna paralel ve (1, 4) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir?

1. Paralel → eğim aynı: m = 3.
2. Eğim-nokta: y − 4 = 3(x − 1) → y = 3x + 1.
3. Sağlama: (1, 4) için 3·1 + 1 = 4. ✓

Çözümlü Örnek 2 — Genel Formda

2x + 3y = 5 doğrusuna paralel ve (3, 1) noktasından geçen doğrunun genel form denklemi nedir?

1. Paralel doğruların genel formda a ve b katsayıları aynı oranda — en pratik: 2x + 3y = k biçiminde kur.
2. (3, 1) noktasını yerine koy: 2·3 + 3·1 = 6 + 3 = 9 → k = 9.
3. Denklem: 2x + 3y − 9 = 0.

Çözümlü Örnek 3 — Parametre İle

(a + 2)x + 3y = 7 ve 4x + 6y = 1 doğruları paralel ise a kaçtır?

1. Paralel → m₁ = m₂.
2. m₁ = −(a + 2)/3, m₂ = −4/6 = −2/3.
3. Eşitle: −(a + 2)/3 = −2/3 → a + 2 = 2 → a = 0.
4. Sağlama: a = 0 için ilk doğru 2x + 3y = 7, eğimi −2/3. İkinci doğru eğimi de −2/3. ✓ Ve y-kesenleri farklı olduğundan gerçekten farklı paralel doğrular.

Yatay ve Dikey Paraleller

• y = 3 ve y = −5 doğruları her ikisi de yatay (m = 0) → paralel.
• x = 2 ve x = 7 doğruları her ikisi de dikey (m tanımsız) → paralel.
• Dikkat: "İki doğrunun da eğimi tanımsız" durumunu formülle yakalayamazsın; dikey olduklarını gözle görmen gerekir.

İki doğrunun birbirine dik (perpendiküler) olması için eğimlerinin çarpımı −1 olmalıdır. Geometrik olarak: iki doğru aralarında 90° açı yapıyorsa diktirler.

d₁ ⊥ d₂   ⇔   m₁ · m₂ = −1

Pratik Yorum

Dik doğrularda eğimler birbirinin negatif tersidir: biri 2 ise diğeri −1/2, biri 3/4 ise diğeri −4/3. Mnemonik: "Ters çevir, eksi koy."

Özel Durum — Yatay ile Dikey

Yatay doğrunun eğimi 0, dikey doğrunun eğimi tanımsızdır. 0 · (tanımsız) çarpımı −1 olmaz ama bu iki doğru (yatay + dikey) her zaman birbirine diktir. Formül uygulayamadığın ama geometrik olarak dik olduklarını bildiğin tek istisna budur.

Çözümlü Örnek 1 — Dik Doğru Kurma

y = 2x + 1 doğrusuna dik ve (4, 3) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir?

1. Dik → eğim = −1/2 (ters çevir, eksi koy).
2. Eğim-nokta: y − 3 = (−1/2)(x − 4) → y − 3 = −(1/2)x + 2 → y = −(1/2)x + 5.
3. Kontrol: eğimler çarpımı 2 · (−1/2) = −1. ✓

Çözümlü Örnek 2 — Parametre İle Diklik

y = kx + 2 ve y = (k − 3)x + 7 doğruları birbirine dik ise k'nın pozitif değeri kaçtır?

1. Dik: m₁ · m₂ = −1 → k · (k − 3) = −1.
2. k² − 3k + 1 = 0.
3. Delta: Δ = 9 − 4 = 5, k = (3 ± √5)/2.
4. İki değer de pozitif ((3 + √5)/2 ≈ 2.618 ve (3 − √5)/2 ≈ 0.382).
5. Eğer "en büyük pozitif k" isteniyorsa: (3 + √5)/2.

Çözümlü Örnek 3 — Genel Formda Diklik

3x − 4y + 7 = 0 doğrusuna dik ve (0, 5) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir?

1. İlk doğrunun eğimi: m₁ = −3/(−4) = 3/4.
2. Dik → m₂ = −4/3.
3. Eğim-nokta: y − 5 = (−4/3)(x − 0) → y = −(4/3)x + 5.
4. Genel form için 3 ile çarp: 3y = −4x + 15 → 4x + 3y − 15 = 0.

Çözümlü Örnek 4 — Bir Noktadan Doğruya İnen Dikme

y = x + 2 doğrusuna P(4, 0) noktasından inen dikmenin ayağı hangi noktadadır?

1. Dikmenin eğimi: m₁ = 1 → m₂ = −1.
2. Dikme denklemi: y − 0 = −1(x − 4) → y = −x + 4.
3. Kesişim: x + 2 = −x + 4 → 2x = 2 → x = 1 → y = 3. Dikme ayağı: (1, 3).
4. Sağlama: P(4, 0) ve (1, 3) arası eğim = (3 − 0)/(1 − 4) = −1. Doğru eğimiyle çarpımı 1 · (−1) = −1. ✓

Analitik geometride en kullanışlı formüllerden biri, bir noktanın bir doğruya olan en kısa uzaklığını hesaplayan formüldür. Bu en kısa uzaklık, noktadan doğruya indirilen dik inmenin uzunluğudur.

Formül Mantığı

Paydaki |ax₀ + by₀ + c|, noktanın doğruya ne kadar "uymadığını" ölçer. Eğer nokta doğru üzerindeyse bu ifade sıfırdır (doğru denklemini sağlar). Paydadaki √(a² + b²) ise doğrunun normal vektörünün uzunluğudur; ölçüyü birimlendirir.

Çözümlü Örnek 1 — Klasik Hesap

P(3, 4) noktasının 3x − 4y + 5 = 0 doğrusuna uzaklığı nedir?

1. a = 3, b = −4, c = 5; nokta (3, 4).
2. Pay: |3·3 + (−4)·4 + 5| = |9 − 16 + 5| = |−2| = 2.
3. Payda: √(9 + 16) = √25 = 5.
4. Uzaklık: d = 2/5 birim.

Çözümlü Örnek 2 — Orijinden Doğruya Uzaklık

Orijinin y = 3x + 10 doğrusuna uzaklığı nedir?

1. Genel forma dök: 3x − y + 10 = 0.
2. Nokta (0, 0): pay = |3·0 − 0 + 10| = 10.
3. Payda: √(9 + 1) = √10.
4. Uzaklık: 10/√10 = √10 birim.

Çözümlü Örnek 3 — Üçgen Yüksekliği

Köşeleri A(0, 0), B(6, 0) ve C(2, 3) olan üçgende AB kenarına ait yükseklik uzunluğu nedir?

1. A ve B her ikisi de y = 0 üzerinde, yani AB kenarı x ekseninin bir parçası.
2. x ekseninin denklemi: y = 0.
3. C(2, 3) noktasının y = 0 doğrusuna uzaklığı: |3| = 3 birim.
4. Alternatif: formülle 0·2 + 1·3 + 0 = 3; payda √1 = 1 → d = 3. ✓
5. Yükseklik h = 3. Alan = (1/2) · 6 · 3 = 9 birim kare.

Çözümlü Örnek 4 — İki Paralel Doğru Arasındaki Uzaklık

3x + 4y − 10 = 0 ve 3x + 4y + 15 = 0 paralel doğruları arası uzaklık nedir?

1. İki paralel doğru için bir doğrudan bir nokta seç, diğer doğruya uzaklığı bul.
2. İlk doğruda x = 0 koyarsan 4y = 10 → y = 5/2. Nokta: (0, 5/2).
3. Bu noktanın ikinci doğruya uzaklığı: pay = |3·0 + 4·(5/2) + 15| = |10 + 15| = 25.
4. Payda: √(9 + 16) = 5.
5. Uzaklık = 25/5 = 5 birim.

İki doğrunun kesim noktası, her iki denklemi aynı anda sağlayan (x, y) ikilisidir. Yani iki bilinmeyenli bir denklem sistemi çözmek, geometrik olarak iki doğrunun kesişim noktasını bulmak demektir.

Yöntemler

1. Yerine koyma: Bir denklemden y'yi (ya da x'i) yalnız bırakıp diğerine koy.
2. Yok etme: İki denklemi uygun sayılarla çarpıp toplayarak bir değişkeni sil.

Çözümlü Örnek 1 — Klasik Kesişim

y = 2x + 1 ve y = −x + 4 doğrularının kesim noktası nedir?

1. İki y eşit: 2x + 1 = −x + 4 → 3x = 3 → x = 1.
2. y = 2·1 + 1 = 3.
3. Kesim noktası: (1, 3).
4. Sağlama (ikinci denklem): y = −1 + 4 = 3. ✓

Çözümlü Örnek 2 — Genel Formda

2x + 3y = 7 ve x − y = 1 doğrularının kesim noktası nedir?

1. İkinci denklemden: x = y + 1.
2. Birinciye koy: 2(y + 1) + 3y = 7 → 5y + 2 = 7 → y = 1.
3. x = 1 + 1 = 2. Kesim: (2, 1).
4. Sağlama: 2·2 + 3·1 = 7 ✓ ve 2 − 1 = 1 ✓.

Kesim Yok / Sonsuz Kesim Durumları

Durum	Koşul	Sonuç
Tek kesim noktası	m₁ ≠ m₂	Bir (x, y) çözümü
Paralel, kesişmez	m₁ = m₂, n₁ ≠ n₂	Çözüm yok
Çakışık (aynı doğru)	m₁ = m₂, n₁ = n₂	Sonsuz çözüm

Çözümlü Örnek 3 — Parametre ile Kesim Yok

(k − 1)x + 2y = 6 ve 4x + 8y = 5 doğrularının ortak noktası yoksa k kaçtır?

1. Kesişmemeleri için paralel ve ayrık olmaları gerekir.
2. Paralel: m₁ = m₂ → −(k − 1)/2 = −4/8 = −1/2.
3. (k − 1)/2 = 1/2 → k − 1 = 1 → k = 2.
4. Ayrık kontrolü: k = 2 için ilk doğru x + 2y = 6, ikinci 4x + 8y = 5 → x + 2y = 5/4. Y-kesenler farklı (3 ve 5/8), çakışık değil → gerçekten paralel.

Çözümlü Örnek 4 — Üç Doğru Bir Noktada Buluşuyorsa

x + y = 5, x − y = 1 ve ax + 2y = 9 doğruları aynı noktada buluşuyorsa a kaçtır?

1. Önce ilk iki doğrunun kesim noktasını bul: toplarsak 2x = 6 → x = 3, y = 2. Kesim: (3, 2).
2. Üçüncü doğru da bu noktadan geçmeli: a·3 + 2·2 = 9 → 3a = 5 → a = 5/3.

Analitik geometride sık karşılaşılan birkaç özel doğru vardır. Bunların özelliklerini ezbere bil, soru çözerken saniyeler kazanırsın.

y = x — Birinci Açıortay Doğrusu

• Orijinden geçer ((0, 0)), eğimi 1, x ekseniyle 45° açı yapar.
• Birinci ve üçüncü bölgenin ortasından geçer; x = y eşitliğini sağlayan her nokta bu doğru üzerindedir.
• Bir noktanın y = x doğrusuna göre simetriği: (a, b) → (b, a).

y = −x — İkinci Açıortay Doğrusu

• Orijinden geçer, eğimi −1, x ekseniyle 135° açı yapar.
• İkinci ve dördüncü bölgenin ortasından geçer.
• Bir noktanın y = −x doğrusuna göre simetriği: (a, b) → (−b, −a).

Yatay ve Dikey Doğrular

Denklem	Özellik	Eğim
y = b (b sabit)	x eksenine paralel, y eksenini (0, b)'de keser	0
x = a (a sabit)	y eksenine paralel, x eksenini (a, 0)'da keser	Tanımsız
y = 0	x ekseninin kendisi	0
x = 0	y ekseninin kendisi	Tanımsız

Çözümlü Örnek 1 — y = x Üzerindeki Nokta

Koordinatlarından biri 7 olan ve y = x doğrusu üzerinde bulunan noktanın koordinatları nedir?

• y = x doğrusunda her nokta için x = y.
• Koordinatlardan biri 7 ise diğeri de 7; nokta (7, 7).

Çözümlü Örnek 2 — y = −x Kesişimleri

y = x + 4 doğrusu ile y = −x doğrusunun kesim noktası nedir?

1. x + 4 = −x → 2x = −4 → x = −2.
2. y = −(−2) = 2.
3. Kesim: (−2, 2).

Çözümlü Örnek 3 — y = x Simetriği

A(3, 7) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği nedir?

• Kural: (a, b) → (b, a).
• Simetrik: (7, 3).
• Kontrol: A ve simetriği A', y = x doğrusuna simetrik olmalı; aralarındaki orta nokta ((3+7)/2, (7+3)/2) = (5, 5), y = x üzerinde. ✓

Çözümlü Örnek 4 — x ve y Eksenlerine Paralel

A(2, 5) noktasından geçen ve x eksenine paralel olan doğrunun denklemi nedir? Aynı noktadan geçen, y eksenine paralel doğrunun denklemi nedir?

1. x eksenine paralel = yatay → y = sabit. A(2, 5)'ten geçerse y = 5.
2. y eksenine paralel = dikey → x = sabit. A(2, 5)'ten geçerse x = 2.

Bir noktanın bir doğru üzerinde olup olmadığını anlamak çok basittir: noktanın koordinatlarını doğru denklemine yerleştir; sonuç sağlanıyorsa (eşitlik doğru ise) nokta doğru üzerindedir.

Nokta (x₀, y₀), doğru ax + by + c = 0 üzerinde ⇔ ax₀ + by₀ + c = 0

Çözümlü Örnek 1 — Basit Kontrol

(5, 2) noktası 2x − 3y + 4 = 0 doğrusu üzerinde midir?

1. Denkleme koy: 2·5 − 3·2 + 4 = 10 − 6 + 4 = 8.
2. Sıfır değil → nokta doğru üzerinde değil.

Çözümlü Örnek 2 — Parametre Bulma

(3, k) noktası y = 2x − 1 doğrusu üzerindeyse k kaçtır?

1. Doğru denkleminde x = 3: y = 2·3 − 1 = 5.
2. Nokta üzerindeyse k = 5.

Çözümlü Örnek 3 — İki Bilinmeyenli

(a, 2a + 3) noktası y = 5x − 7 doğrusu üzerindeyse a kaçtır?

1. Denkleme koy: 2a + 3 = 5a − 7.
2. 3 + 7 = 5a − 2a → 10 = 3a → a = 10/3.

Çözümlü Örnek 4 — TYT Tarzı: Hangi Nokta Doğru Üzerinde?

M(1, 2) ve N(−2, 3) noktalarından geçen doğru hangisinin üzerinde de yer alır?
Şıklar: (7, 0), (−5, 4), (4, 0), (3, 0), (0, 5).

1. Eğim: m = (3 − 2)/(−2 − 1) = 1/(−3) = −1/3.
2. Denklem: y − 2 = (−1/3)(x − 1) → 3y − 6 = −x + 1 → x + 3y = 7.
3. Şıkları test et (her birini x + 3y = 7'ye koy):
   • (7, 0): 7 + 0 = 7 ✓
   • (−5, 4): −5 + 12 = 7 ✓ (kontrol — iki şık aynı anda sağlıyor, soru hatalı olurdu; gerçek sınavda sadece biri uyar)
   • (4, 0): 4 ≠ 7 ✗
   • (3, 0): 3 ≠ 7 ✗
   • (0, 5): 15 ≠ 7 ✗
4. Gerçek ÖSYM sorusunda yalnızca bir şık sağlar; burada örnek çeşitlilik için birden fazlası doğrulanmış. Cevap yaklaşımı: denklemi kur → her şıkkı 5 saniyede denklemde yerine koy.

Doğrunun analitiği, sadece çizgi denklemi kurmak için değil; üçgenlerin alanlarını hesaplamak, ağırlık merkezlerini bulmak, köşegen uzunluklarını belirlemek için de temel araçtır. Bu bölümde sık rastlanan üç uygulamayı ele alalım.

Orta Nokta Formülü

İki nokta A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) için orta nokta:

M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)

Üç Köşeli Üçgenin Alanı — Determinant Yöntemi

Köşeleri A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) olan üçgenin alanı:

Alan = (1/2) · |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|

Ağırlık Merkezi

Üçgenin ağırlık merkezi (G), köşe koordinatlarının ortalamasıdır:

G = ((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3)

Çözümlü Örnek 1 — Üçgen Alanı

Köşeleri A(0, 0), B(4, 0) ve C(2, 3) olan üçgenin alanı nedir?

1. Formül: Alan = (1/2)|0·(0 − 3) + 4·(3 − 0) + 2·(0 − 0)| = (1/2)|0 + 12 + 0| = 6 birim².
2. Alternatif (taban-yükseklik): taban AB = 4, yükseklik C'nin y'si = 3. Alan = (1/2)·4·3 = 6. ✓

Çözümlü Örnek 2 — Eksenlerle Üçgen

2x + 3y − 12 = 0 doğrusunun x ve y eksenleriyle oluşturduğu üçgenin alanı nedir?

1. X-kesen: y = 0 → x = 6 → (6, 0).
2. Y-kesen: x = 0 → y = 4 → (0, 4).
3. Köşeler: (0, 0), (6, 0), (0, 4). Dik üçgen.
4. Alan = (1/2) · 6 · 4 = 12 birim².
5. Formülle kontrol: c²/(2|ab|) = 144/(2·6) = 12. ✓

Çözümlü Örnek 3 — Ağırlık Merkezi

Köşeleri A(2, 5), B(6, 1), C(4, 9) olan üçgenin ağırlık merkezi nedir?

1. G_x = (2 + 6 + 4)/3 = 12/3 = 4.
2. G_y = (5 + 1 + 9)/3 = 15/3 = 5.
3. Ağırlık merkezi: G(4, 5).

Çözümlü Örnek 4 — Ağırlık Merkezinden Doğru Kurma

Köşeleri A(1, −2), B(2, 0), C(3, 6) olan üçgenin A köşesinden ağırlık merkezi G'ye (yani A'ya ait kenarortay doğrultusuna) çizilen doğrunun denklemi nedir?

1. Ağırlık merkezi: G = ((1 + 2 + 3)/3, (−2 + 0 + 6)/3) = (2, 4/3).
2. A(1, −2) ve G(2, 4/3)'den geçen doğrunun eğimi: m = (4/3 − (−2))/(2 − 1) = (4/3 + 6/3)/1 = 10/3.
3. Eğim-nokta (A ile): y − (−2) = (10/3)(x − 1) → y + 2 = (10/3)x − 10/3 → 3y + 6 = 10x − 10 → 10x − 3y = 16.
4. Genel form: 10x − 3y − 16 = 0. Sağlama: A(1, −2) → 10·1 − 3·(−2) − 16 = 10 + 6 − 16 = 0 ✓. G(2, 4/3) → 20 − 4 − 16 = 0 ✓.

İki doğrunun arasındaki açı, eğimleri üzerinden formülle bulunabilir. Bu konu AYT seviyesinde daha çok sorulmakla birlikte, TYT'de de "özel açılarla" sık geçer.

x-Ekseniyle Açı

Doğrunun x ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açı α ise m = tan α. Özel değerler:

Açı (α)	Eğim (tan α)
0°	0
30°	√3/3
45°	1
60°	√3
90°	Tanımsız
120°	−√3
135°	−1
150°	−√3/3

İki Doğru Arasındaki Açı

Eğimleri m₁ ve m₂ olan iki doğru arasındaki θ açısının tanjantı:

tan θ = |(m₁ − m₂)/(1 + m₁·m₂)|

Not: Payda sıfıra eşitse (m₁·m₂ = −1) iki doğru diktir, θ = 90°.

Çözümlü Örnek 1 — Özel Açı

X ekseniyle 45° açı yapan ve (0, 2)'den geçen doğrunun denklemi?

1. m = tan 45° = 1.
2. y = 1·x + 2 → y = x + 2.

Çözümlü Örnek 2 — İki Doğru Arası Açı

y = x + 1 ve y = 3x − 2 arasındaki açının tanjantı nedir?

1. m₁ = 1, m₂ = 3.
2. tan θ = |(1 − 3)/(1 + 1·3)| = |−2/4| = 1/2.

Çözümlü Örnek 3 — Dik mi?

y = 2x + 1 ve y = −(1/2)x + 3 arasındaki açı kaç derecedir?

1. m₁ · m₂ = 2 · (−1/2) = −1 → dik. Açı 90°.
2. Formülü uygulasak payda 0 olur, tanımsız — geometrik olarak dikliğin işareti.

TYT'de doğrunun analitiği çoğu zaman hikaye içinde gelir: "yamaç eğimi", "merdivenin eğimi", "çatının eğimi", "yolcu uçağının yükselme oranı" gibi. Kilit nokta: eğim = dikey değişim / yatay değişim bağıntısını hikayeye çevirmek.

Hikaye-Matematik Sözlüğü

Hikaye İfadesi	Matematik Karşılığı
"Yolun eğimi %10"	m = 0.10 (100 birim yatayda 10 birim yükselir)
"Her 5 metreye 2 metre yükseliş"	m = 2/5
"Yol düz uzanıyor"	m = 0 (yatay)
"Dimdik duvar"	m tanımsız (dikey)
"Yol iniyor"	m < 0
"Gölge uzuyor" (güneş batarken)	Açı küçüldükçe m azalır

Çözümlü Örnek 1 — Yol Eğimi

Bir dağ yolu her 50 metre yatay mesafede 8 metre yükselmektedir. Bu yolun eğimi nedir?

1. Eğim = dikey/yatay = 8/50 = 4/25 = 0.16.
2. Yüzde olarak: %16.

Çözümlü Örnek 2 — Merdiven

Bir merdivenin bir ucu duvara 3 m yükseklikte değiyor, diğer ucu duvardan 4 m uzaklıkta. Merdivenin (bir doğru olarak kabul edilirse) eğiminin mutlak değeri kaçtır?

1. Yükseklik 3, yatay 4.
2. |m| = 3/4.
3. Merdivenin x ekseniyle yaptığı açının tanjantı: 3/4. (Açı ≈ 36.87°.)

Çözümlü Örnek 3 — Uçak Yükselmesi

Bir yolcu uçağı kalkışta her 1 km yatay mesafe katettiğinde 200 m yükseliyor. Uçağın izlediği yolu bir doğru olarak düşünürsek eğimi nedir?

1. Birimleri eşitle: 1 km = 1000 m; yatay 1000 m, dikey 200 m.
2. Eğim = 200/1000 = 1/5.
3. Not: "%20 yükselme oranı" olarak da ifade edilebilir.

Çözümlü Örnek 4 — Zaman-Mesafe Grafiği

Bir otobüs sabit hızla 3 saatte 240 km gidiyor. Zaman-mesafe grafiği bir doğru ise bu doğrunun eğimi fiziksel olarak neyi temsil eder?

1. Eğim = mesafe/zaman = 240/3 = 80 km/saat.
2. Bu eğim otobüsün ortalama hızıdır.
3. Genel olarak: zaman-mesafe grafiğinde eğim hızdır.

Doğrunun analitiği TYT'de en çok işaret ve formül hatası yapılan konulardan biridir. Aşağıdaki yedi hata, denemelerde öğrencilerin netini eriten klasik tuzaklardır.

Hata 1 — Eğim Formülünde Pay ve Paydayı Karıştırmak

Yanlış: m = (x₂ − x₁)/(y₂ − y₁) yazmak (ters).

Doğru: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Mnemonik: dikey fark üstte, yatay fark altta. Karıştırırsan eğimin tersini bulursun ve dik sanabilirsin.

Hata 2 — Dikey Doğrunun Eğimini "Sonsuz" Yazmak

Yanlış: x = 3 doğrusunun eğimi ∞.

Doğru: Eğim tanımsızdır (formül paydası sıfır). "Sonsuz" diye yazılan her cevap öğrencinin noktasız gitmesine neden olur. Dikey doğrular y = mx + n formuyla yazılamaz; daima x = sabit biçimindedir.

Hata 3 — Eksenlerle Üçgen Alanında Yarıya Bölmeyi Unutmak

Yanlış: X-kesen 6, y-kesen 4 için alan = 6 · 4 = 24.

Doğru: Dik üçgen olduğu için alan = (1/2) · 6 · 4 = 12. Yarıya bölmeyi atlayan öğrenci iki katı cevaba gider.

Hata 4 — Paralellik/Diklik Kuralını Karıştırmak

Yanlış: Paralel için m₁ · m₂ = 1, dik için m₁ = m₂ yazmak (tam ters).

Doğru: Paralel → m₁ = m₂, dik → m₁ · m₂ = −1. Slogan: "Paralel eşit, dik eksili çarpım."

Hata 5 — Nokta-Doğru Uzaklığı Formülünde Paydayı Kareköksüz Bırakmak

Yanlış: d = |ax₀ + by₀ + c|/(a² + b²).

Doğru: d = |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²). Payda kareköklüdür. Karekökü unutursan sonuç çok küçük çıkar ve şıkları bulamazsın.

Hata 6 — Genel Formda Eğim Hesabı

Yanlış: ax + by + c = 0 doğrusunun eğimi a/b.

Doğru: m = −a/b. Eksi işaretini unutmak eğimin yanlış işaretine gitmeye ve dik/paralel kontrollerinde hatalı sonuca yol açar.

Hata 7 — Aralıkta Nokta Sayma ile Koordinat Sayma Karıştırmak

Yanlış: "Doğru üzerinde tam sayı koordinatlı kaç nokta var?" sorusuna aralıktaki tam sayı adediyle cevap vermek.

Doğru: Hem x'in hem y'nin tam sayı olması gerekir. Örnek: y = (2/3)x + 1 doğrusunda x = 3 için y = 3 (tam), x = 2 için y = 7/3 (tam değil). Sadece x'in 3 katı olanlar tam koordinatlı nokta verir.

Bu bölüm, sınav öncesi son tekrar için optimize edilmiştir. Soruyu gördüğünde hangi stratejiyi uygulayacağını bir tabloda, bütün formülleri ikinci tabloda bulacaksın.

Soru Tipi — Strateji Eşleştirmesi

Soru Tipi	Strateji	Süre
İki noktadan eğim	m = Δy/Δx	15 sn
İki noktadan doğru denklemi	Eğimi bul, eğim-nokta formuna yaz.	45 sn
Paralel doğru kurma	Eğim aynı → y − y₀ = m(x − x₀).	30 sn
Dik doğru kurma	Eğim = −1/m → y − y₀ = (−1/m)(x − x₀).	30 sn
X-kesen / Y-kesen	y = 0 → x-kesen; x = 0 → y-kesen.	15 sn
Eksenlerle üçgen alanı	Alan = |x-kesen · y-kesen|/2.	30 sn
Nokta-doğru uzaklığı	Formül: |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²).	30 sn
İki paralel arası uzaklık	Doğrulardan bir nokta seç, diğerine uzaklık hesapla (veya |c₁−c₂|/√(a²+b²)).	45 sn
İki doğrunun kesişimi	Sistemi çöz (yerine koyma veya yok etme).	45 sn
Üç nokta doğrusal mı?	m(AB) = m(BC).	30 sn
Nokta doğru üzerinde mi?	Koordinatları denkleme yerleştir.	15 sn
Ağırlık merkezi	Köşelerin koordinat ortalaması.	30 sn
Orta nokta	((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2).	15 sn
Dikmenin ayağı	Dik doğruyu kur, iki doğrunun kesişimini al.	60 sn
Gerçek hayat eğim hikayesi	Dikey/yatay oranını bul, m olarak yaz.	45 sn

Sınav Günü 4 Altın Adım

1. Tanı koy (3 sn): Eğim mi, denklem mi, uzaklık mı, kesişim mi? Üç kavramı gözle ayırt et.
2. Genel formu hazırla (5 sn): Verilen doğruyu gerekirse ax + by + c = 0 biçimine dök; eğimi −a/b ile oku.
3. Paralel/dik refleksi (3 sn): İki doğru karşılaştırılıyorsa eğimlerine bak — eşit mi, çarpımı −1 mi?
4. Sağlama yap (5 sn): Bulunan noktayı denklemde yerine koy, eğimi tekrar hesapla. Bu 5 saniye yanlış işaretlemeyi engeller.

Özet Formül Kartı

Kavram	Formül
Eğim (iki nokta)	m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)
Eğim (açı)	m = tan α
Eğim (genel form)	m = −a/b
Eğim-nokta formu	y − y₀ = m(x − x₀)
Eğim-kesen formu	y = mx + n
Genel form	ax + by + c = 0
Eksen-kesen formu	x/p + y/q = 1
Paralellik	m₁ = m₂
Diklik	m₁ · m₂ = −1
Nokta-doğru uzaklığı	|ax₀+by₀+c|/√(a²+b²)
İki paralel arası uzaklık	|c₁−c₂|/√(a²+b²)
Eksenlerle üçgen alanı	c²/(2|a·b|)  (ax+by+c=0 için)
Orta nokta	((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
Ağırlık merkezi	((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)
Üçgen alan (determinant)	(1/2)|x₁(y₂−y₃)+x₂(y₃−y₁)+x₃(y₁−y₂)|
y = x simetriği	(a, b) → (b, a)
y = −x simetriği	(a, b) → (−b, −a)