TYT Geometri — Dönüşüm Geometrisi

Dönüşüm geometrisi, bir noktanın ya da bir şeklin koordinat düzlemi üzerinde belirli bir kurala göre yerinin değiştirilmesidir. TYT'de sana gelecek soruların neredeyse tamamı üç temel dönüşüm üzerine kuruludur: öteleme (kayma), yansıma (simetri/ayna) ve dönme (açısal döndürme). Üçünün de ortak özelliği şudur: şeklin boyu ve biçimi asla değişmez; sadece konumu ya da yönü değişir.

Genel Karşılaştırma

Dönüşüm	Ne Değişir?	Ne Değişmez?	Sabit Kalan
Öteleme	Konum	Yön, boy, biçim	Hiçbir nokta (tamamı kayar)
Yansıma	Yön (sağ-sol)	Boy, biçim	Yansıma doğrusu üzerindeki her nokta
Dönme	Yön (açısal)	Boy, biçim	Dönme merkezi

Neden Önemli?

TYT'de dönüşüm geometrisi genellikle 1 soru olarak karşına çıkar. 2019 YKS değişikliğinden itibaren yanlış cevaplar doğruları götürmediği için bu soruyu bilmiyorsan bile işaretleme refleksin olmalı — ama bilirsen çok kolay bir puan olur. AYT Matematik'te analitik geometri başlığı altında net 1 sorudan pay alır; üniversite sıralamasında 20-30 binlik farkı bu tarz "kolay ama yorumlu" sorular yapar.

Öteleme, bir noktanın (ya da şeklin) analitik düzlem üzerinde belirli bir yönde ve miktarda yer değiştirmesidir. Ötelemede şekil kayar, boyu ve biçimi hiç değişmez, yönü de değişmez.

Genel Kural

A(x, y) noktasının x yönünde a birim, y yönünde b birim ötelenmesi:   A′(x + a, y + b)

Yönlere Göre İşaretler

Yön	Değişen Bileşen	Nasıl Değişir?
x ekseni pozitif yön (sağ)	Apsis (x)	x + a (artar)
x ekseni negatif yön (sol)	Apsis (x)	x − a (azalır)
y ekseni pozitif yön (yukarı)	Ordinat (y)	y + b (artar)
y ekseni negatif yön (aşağı)	Ordinat (y)	y − b (azalır)

Önemli Not — Sadece Tek Eksende Öteleme Doğrultuyu Değiştirmez

Bir noktayı sadece x ekseni boyunca ötelersen (sağa ya da sola), ordinat değişmediği için nokta aynı yatay doğru üzerinde kalır; doğrultu değişmez. Aynı şekilde yalnız y ekseni yönündeki öteleme de apsisi değiştirmez, nokta aynı dikey doğru üzerinde kalır. Doğrultunun değişmesi için hem x hem y bileşeninin değişmesi gerekir.

Çözümlü Örnek 1 — Klasik Öteleme

A(3, −4) noktası x ekseni yönünde negatif yönde 2 birim, y ekseni yönünde pozitif yönde 3 birim ötelenerek A′ noktası elde ediliyor. A′ noktasının koordinatlarının çarpımı kaçtır?

1. x: 3 − 2 = 1.
2. y: −4 + 3 = −1.
3. A′ (1, −1) → koordinatların çarpımı: 1 · (−1) = −1.

Çözümlü Örnek 2 — Harfli Öteleme

A(a − 8, b + 2) noktası x ekseni yönünde pozitif yönde 6 birim ötelenince B(4, n) noktasına, ardından y ekseni yönünde negatif yönde 10 birim ötelenince (4, −7) noktasına geliyor. a · b çarpımı kaçtır?

1. İlk öteleme x yönünde: apsis a − 8 + 6 = a − 2, bu 4'e eşit → a = 6.
2. Ordinat değişmedi: n = b + 2.
3. İkinci öteleme y yönünde: n − 10 = −7 → n = 3.
4. b + 2 = 3 → b = 1.
5. a · b = 6 · 1 = 6.

Çözümlü Örnek 3 — Üçgenin Ötelenmesi ve Ağırlık Merkezi

Köşeleri A(0, 5), B(−3, 3), C(2, 1) olan ABC üçgeni y ekseninde negatif yönde 2 birim, x ekseninde pozitif yönde 3 birim ötelenince oluşan A′B′C′ üçgeninin ağırlık merkezinin koordinatları nedir?

Pratik: Tüm köşeleri ayrı ayrı öteleme yerine önce ağırlık merkezini bul, sonra onu ötele.

1. Ağırlık merkezi: apsisler toplamı (0 − 3 + 2) / 3 = −1/3, ordinatlar toplamı (5 + 3 + 1) / 3 = 3. G(−1/3, 3).
2. Ötele: x yönü +3, y yönü −2.
3. G′: (−1/3 + 3, 3 − 2) = (8/3, 1).

Çözümlü Örnek 4 — Paralelkenar Alanı

A(4, 6) ve B(−2, 5) noktalarının x ekseni yönünde pozitif yönde 2 birim ötelenmesiyle C ve D noktaları elde ediliyor. Köşeleri A, B, C, D noktaları olan dörtgenin alanı kaç birim karedir?

1. A → C(6, 6), B → D(0, 5).
2. Öteleme yönü x ekseni boyunca olduğu için AC ve BD kenarları birbirine paralel ve her biri 2 birim. Dörtgen paralelkenardır; tabanı 2.
3. Yüksekliği: A ile B'nin ordinatları arasındaki fark |6 − 5| = 1.
4. Alan: 2 · 1 = 2 birim kare.

Yansıma, bir noktanın bir doğruya göre ayna görüntüsüdür. Doğru, ayna görevi görür. Yansımada nokta ile görüntüsünün doğruya olan uzaklıkları eşit, doğruya olan dikme ise ortak.

Temel Yansımalar — Formül Tablosu

Yansıma Doğrusu	(x, y) →	Ne Değişir?
x ekseni (y = 0)	(x, −y)	Ordinat işaret değiştirir
y ekseni (x = 0)	(−x, y)	Apsis işaret değiştirir
Orijin (0, 0)	(−x, −y)	Hem apsis hem ordinat işaret değiştirir
y = x doğrusu	(y, x)	Apsis ile ordinat yer değiştirir
y = −x doğrusu	(−y, −x)	Yer değişir + işaret değişir

Neden y = x ve y = −x Böyle?

y = x doğrusu 45° eğimli bir doğrudur. Bu doğrunun üzerindeki her noktanın apsisi ile ordinatı eşittir. Dolayısıyla bir (a, b) noktasının y = x'e göre simetriğinde 45°-45°-90° özel üçgeninin eşlik özelliğinden apsisle ordinat yer değiştirir: (b, a). y = −x ise orijin etrafında 90° dönmüş hali olduğu için hem yer değiştirir hem işaret değiştirir: (−b, −a).

Orijine Göre Yansıma = 180° Dönme

Bir noktanın orijine göre yansıması, aslında orijin etrafında 180° döndürülmesi ile aynı sonucu verir. Yani A(3, 4)'ün orijine göre yansıması da 180° dönmesi de (−3, −4)'tür. Bunu unutma — TYT'de iki farklı ifadeyle aynı soru sorulabiliyor.

Çözümlü Örnek 1 — İki Kademeli Yansıma

A(3, 4) noktasının x eksenine göre yansıması B, B'nin y eksenine göre yansıması C'dir. |AC| kaçtır?

1. A → x eksenine yansıma: B(3, −4).
2. B → y eksenine yansıma: C(−3, −4).
3. |AC|: apsisler farkı 3 − (−3) = 6, ordinatlar farkı 4 − (−4) = 8.
4. |AC| = √(6² + 8²) = √100 = 10 (klasik 6-8-10 dik üçgeni).

Çözümlü Örnek 2 — y = x'e ve y = −x'e Yansıma

A(−2, 6) noktasının y = −x doğrusuna göre simetriği B, B'nin x = 3 doğrusuna göre yansıması C'dir. C'nin koordinatları toplamı kaçtır?

1. A(−2, 6) → y = −x yansıma: yer değiştir + işaret değiştir → B(−6, 2).
2. B(−6, 2)'nin x = 3'e yansıması: ordinat değişmez (2), apsis 2 · 3 − (−6) = 12.
3. C(12, 2) → koordinatları toplamı: 14.

Çözümlü Örnek 3 — En Kısa Yol (Ayna Görevi)

A(3, 8) ve B(0, 11) ile y = x doğrusu üzerinde bir C noktası veriliyor. |AC| + |BC| toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Teknik: Bir doğrunun aynı tarafındaki iki noktadan geçip doğru üzerinde buluşan en kısa yol, bir noktanın doğruya göre yansımasını alıp iki nokta arasını düz çizgi ile birleştirmekle bulunur.

1. A(3, 8)'ün y = x'e göre simetriği A′(8, 3).
2. En kısa yol |A′B|: apsisler farkı 8 − 0 = 8, ordinatlar farkı 3 − 11 = −8.
3. |A′B| = √(64 + 64) = √128 = 8√2.

Dönme, bir noktanın sabit bir merkez (genellikle orijin) etrafında belirli bir açıyla döndürülmesidir. TYT'de dönme merkezi neredeyse her zaman orijindir.

Yön Kuralı

• Pozitif yön = saat yönünün tersi (CCW — matematiksel pozitif).
• Negatif yön = saat yönü (CW).

Özel Açı Dönüşüm Formülleri (Orijin Etrafında)

Açı (pozitif yön)	(x, y) →	Açıklama
90°	(−y, x)	Apsis-ordinat yer değişir, yeni apsis eksi alır
180°	(−x, −y)	Her iki bileşen eksi (orijine göre simetri ile aynı)
270° (= −90°)	(y, −x)	Apsis-ordinat yer değişir, yeni ordinat eksi alır
360°	(x, y)	Tam tur; değişmez

Aritmetik Doğrulama — (3, 4) ile

Genel Dönme Formülü (Herhangi Bir α Açısı İçin)

(x, y) → (x · cos α − y · sin α,   x · sin α + y · cos α)

Bu formül özel açıların (90°, 180°, 270°) üzerinde sağlaması yapılabilir:

• α = 90° → cos 90° = 0, sin 90° = 1 → (x · 0 − y · 1, x · 1 + y · 0) = (−y, x) ✓
• α = 180° → cos 180° = −1, sin 180° = 0 → (−x, −y) ✓
• α = 270° → cos 270° = 0, sin 270° = −1 → (y, −x) ✓

360°'den Büyük Açılar: Mod 360

Sana 450° dönme soruluyorsa 360°'yi çıkar: 450 − 360 = 90°. Sonuç 90° dönme ile aynıdır. Aynı şekilde 540° = 180°, 720° = 360° = 0° (değişmez).

Çözümlü Örnek 1 — 450° Dönme

Bir L şeklindeki şekil saat yönünde 450° döndürülürse aşağıdakilerden hangisi elde edilir?

1. 450° = 360° + 90°. Tam bir tur iptal, kalan 90°.
2. Saat yönünde 90° dönme = pozitif yönde 270° dönme.
3. Sonuç: şekil saat yönünde 90° döndürülmüş hali.

Çözümlü Örnek 2 — 180° Dönme ve Öteleme Birleşimi

Köşeleri (3, −2), (1, 3), (−3, −4) olan ABC üçgeni önce orijin etrafında pozitif yönde 180° döndürülüyor, sonra x ekseni yönünde 4 birim sola, y ekseni yönünde 6 birim yukarı ötelenerek yeni üçgen elde ediliyor. Yeni köşelerin koordinatları toplamı kaçtır?

1. 180° dönme (eksi ile çarp): (−3, 2), (−1, −3), (3, 4).
2. Ötele (x: −4, y: +6): (−7, 8), (−5, 3), (−1, 10).
3. Apsisler toplamı: −7 − 5 − 1 = −13.
4. Ordinatlar toplamı: 8 + 3 + 10 = 21.
5. Tüm koordinatlar toplamı: −13 + 21 = 8.

Çözümlü Örnek 3 — 45° Dönme (Özel Açı Gerektirir)

A(−√2, √2) noktasının orijin etrafında pozitif yönde 45° döndürülmesiyle oluşan nokta nedir?

1. Formül: x′ = x · cos 45° − y · sin 45°.
2. cos 45° = sin 45° = √2/2.
3. x′ = (−√2)(√2/2) − (√2)(√2/2) = −1 − 1 = −2.
4. y′ = (−√2)(√2/2) + (√2)(√2/2) = −1 + 1 = 0.
5. Sonuç: A′(−2, 0).

Dönüşümler genelde noktayı başka bir yere götürür; ama bazı özel noktalar yerinde kalır. Bu özel noktaları bilmek, iki temel nedenle kritiktir: (i) kontrol amaçlı sağlama yapabilirsin, (ii) TYT'de "dönüşüm sonrası hangi nokta değişmez?" tipi sorular karşına çıkar.

Her Dönüşüm İçin Sabit Noktalar

Dönüşüm	Sabit Kalan	Niçin?
Öteleme (a, b ≠ 0)	Hiçbir nokta sabit değil	Her nokta a ve b kadar kayar
x eksenine yansıma	x ekseni üzerindeki her nokta	Yansıma doğrusu üzerinde ordinat zaten 0; (x, −y) = (x, y) olur
y eksenine yansıma	y ekseni üzerindeki her nokta	x = 0 → (−x, y) = (0, y) değişmez
y = x'e yansıma	y = x doğrusu üzerindeki her nokta	Üzerindeki (a, a)'nın yansıması (a, a)
Orijine göre yansıma	Sadece orijin (0, 0)	(0, 0)'ın yansıması (0, 0)
Orijin etrafında dönme	Sadece orijin (0, 0)	Dönme merkezi döndürülse bile aynı yerde kalır
Herhangi bir doğruya yansıma	Yansıma doğrusu üzerindeki her nokta	Nokta doğru üzerindeyse kendi görüntüsü

Önemli Sonuç: Yansıma Kendisiyse Nokta Doğru Üzerindedir

Bir noktanın bir doğruya göre yansıması yine aynı nokta ise, o nokta doğrunun üzerindedir. Bu, TYT sorularında sıkça kullanılan bir tekniktir.

Çözümlü Örnek — Sabit Nokta Tespiti

A(k, −2k + 3) noktasının 2x − 3y − 7 = 0 doğrusuna göre yansıması kendisidir. k değeri kaçtır? |AO| kaç birimdir?

1. Yansıma kendisi → A, doğrunun üzerinde. Denklemini sağlar.
2. Yerine yaz: 2k − 3(−2k + 3) − 7 = 0.
3. Aç: 2k + 6k − 9 − 7 = 0 → 8k − 16 = 0 → k = 2.
4. A(2, −1).
5. |AO| = √(2² + (−1)²) = √5.

Dönmede Sabit Nokta = Dönme Merkezi

Orijin etrafında döndürme yapıldığında yalnızca orijin yerinde kalır. Soru "orijin etrafında döndürüldüğünde yerinde kalan nokta kaçtır?" diye sorarsa cevap doğrudan (0, 0)'dır.

Ek: y = x ve y = −x Üzerindeki Noktalar İçin Pratik

y = x üzerindeki (a, a) noktasının y = x'e göre yansıması yine (a, a); y = −x'e göre yansıması ise (−a, −a) olur. Yani y = x üzerindeki bir nokta için y = −x'e yansıma orijine göre yansıma ile aynı sonucu verir. Böyle durumlar TYT'de güzel kısayol sağlar.

Eksenlerden farklı yatay ya da düşey doğrulara (örn. x = 5, y = −3) göre yansıma, orta nokta mantığıyla kolayca bulunur.

Genel Formül

Mantığı: Orta Nokta

A ile A′ arasında x = k doğrusu orta yol olur. Yani apsislerin ortalaması k'ya eşit: (x + x′) / 2 = k → x′ = 2k − x.

Pratik Yol — Artış Miktarından

Ezberlemeden yapmak istersen: noktadan doğruya kadar olan mesafe kadar doğrunun öteki tarafına git. Örneğin A(8, 2)'nin x = 2'ye göre yansıması: 8'den 2'ye 6 birim azalış; 6 birim daha azalt → 2 − 6 = −4. Yeni nokta A′(−4, 2). Formülle: 2 · 2 − 8 = −4. ✓

Çözümlü Örnek 1 — x = k'ya Yansıma

A(k, −2) noktasının x = 5 doğrusuna göre yansıması B(8, n)'dir. k · n kaçtır?

1. x = 5'e yansımada ordinat değişmez → n = −2.
2. Apsis: (k + 8) / 2 = 5 → k + 8 = 10 → k = 2.
3. k · n = 2 · (−2) = −4.

Çözümlü Örnek 2 — y = k'ya Yansıma

A(1, 3) noktasının y = b doğrusuna göre yansıması olan nokta 3x + 4y − 7 = 0 doğrusu üzerindedir. b değeri kaçtır?

1. A'nın y = b'ye yansıması: apsis 1, ordinat 2b − 3. Yani A′(1, 2b − 3).
2. A′ denklemi sağlar: 3 · 1 + 4 · (2b − 3) − 7 = 0.
3. Aç: 3 + 8b − 12 − 7 = 0 → 8b − 16 = 0 → b = 2.

Çözümlü Örnek 3 — Çok Adımlı Uygulama

A(k, −2k + 3) → x = 5 yansıması → B(8, n). P(n, k) noktasının y = 3'e göre yansıması P′'dür. P′ koordinatları nedir?

1. Önceki örnekten k = 2, n = −2.
2. P(−2, 2).
3. y = 3'e yansıma: apsis değişmez (−2), ordinat 2 · 3 − 2 = 4.
4. P′(−2, 4).

Eğimi 1 veya −1 Olan Doğrulara Pratik Yol

Eğim y = x + c ya da y = −x + c şeklinde ±1 olan doğrularda, noktanın koordinatlarını denkleme sırayla yerine yazarak yansıma bulunabilir.

Doğru denklemi y = mx + n ya da ax + by + c = 0 şeklinde olduğunda (ve eğim ±1 değilse) yansımayı bulmak için iki koşul kullanılır:

1. Orta nokta koşulu: A ile A′ arasındaki orta nokta, verilen doğru üzerindedir (denklemi sağlar).
2. Diklik koşulu: A ile A′ noktalarından geçen doğru, verilen doğruya diktir (eğimler çarpımı −1).

Çözümlü Örnek 1 — Klasik Genel Yansıma

A(1, −1) noktasının x + 2y − 9 = 0 doğrusuna göre yansıması olan A′ noktasının koordinatları nedir?

1. Doğrunun eğimi: x + 2y − 9 = 0 → y = (−1/2) x + 9/2 → m_d = −1/2.
2. AA′ doğrusunun eğimi: diklik → m · (−1/2) = −1 → m = 2.
3. Orta nokta: M((1 + x′)/2, (−1 + y′)/2). Bunu (a, b) diye adlandır.
4. M, doğru üzerinde: a + 2b − 9 = 0.
5. A ile M'den geçen doğrunun eğimi 2: (b − (−1))/(a − 1) = 2 → b + 1 = 2a − 2 → 2a − b = 3.
6. İki denklem: a + 2b = 9 ve 2a − b = 3. İkinciyi 2 ile çarp: 4a − 2b = 6. Topla: 5a = 15 → a = 3, b = 3.
7. M(3, 3) orta nokta. A′: (1 + x′)/2 = 3 → x′ = 5. (−1 + y′)/2 = 3 → y′ = 7.
8. A′(5, 7).

Çözümlü Örnek 2 — Sadece Mesafe Soruluyorsa (Kısa Yol)

A(1, 5) noktasının 3x − 4y − 3 = 0 doğrusuna göre yansıması B'dir. |AB| kaçtır?

Teknik: Bir noktanın bir doğruya göre yansımasıyla kendisi arasındaki mesafe, noktanın doğruya olan uzaklığının iki katı'dır. Yani yeni nokta ile uğraşmana gerek yok; nokta-doğru uzaklığını bulup 2 ile çarpman yeter.

1. Nokta-doğru uzaklığı: d = |3 · 1 − 4 · 5 − 3| / √(3² + 4²) = |3 − 20 − 3| / 5 = |−20| / 5 = 4.
2. |AB| = 2d = 8.

Çözümlü Örnek 3 — Simetrik Nokta Soruları

A(3, 7) ve B(−5, 1) noktaları D doğrusuna göre simetriktir. D doğrusunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

1. AB doğrusunun eğimi: (7 − 1)/(3 − (−5)) = 6/8 = 3/4.
2. D doğrusunun eğimi: dik olduğu için −4/3.
3. A ile B'nin orta noktası: ((3 − 5)/2, (7 + 1)/2) = (−1, 4). D bu noktadan geçer.
4. D denklemi: y − 4 = (−4/3)(x − (−1)) → y = (−4/3) x − 4/3 + 4 = (−4/3) x + 8/3.
5. y eksenini kesme: x = 0 → y = 8/3.

Bir A noktasının bir M noktasına göre simetriği (yansıması) demek; M'nin A ile simetrik noktanın tam ortasında olması demektir. M orta noktadır.

Formül

A(x₁, y₁)'nin M(a, b)'ye göre simetriği: A′(2a − x₁, 2b − y₁)

Neden?

Orta nokta formülünden: (x₁ + x₂) / 2 = a → x₂ = 2a − x₁. Aynı şey y koordinatı için de geçerli.

Özel Durum: Orijine Göre Simetri

M = (0, 0) ise: A(x, y) → A′(−x, −y). Bu aynı zamanda orijin etrafında 180° dönme ile özdeştir.

Çözümlü Örnek 1 — Klasik Orta Nokta Kullanımı

A(1, 7) noktasının B(3, −4) noktasına göre simetriği C'dir. C'nin koordinatları nedir?

1. B orta nokta: (x + 1)/2 = 3 → x = 5; (y + 7)/2 = −4 → y = −15.
2. C(5, −15).

Çözümlü Örnek 2 — Artış Miktarından Pratik

A(8, 2) noktasının B(2, 3)'e göre simetriği D'dir. D'yi bul.

Pratik: A'dan B'ye giderken apsis 8 → 2 (6 azaldı), ordinat 2 → 3 (1 arttı). Aynı değişimi B'den sonra tekrarla:

• Apsis: 2 − 6 = −4.
• Ordinat: 3 + 1 = 4.
• D(−4, 4).

Çözümlü Örnek 3 — İki Kademeli Simetri

A(2, 3), B(4, 1) olmak üzere |AB|'nin orta noktasının orijine göre simetriği C, y eksenine göre simetriği D ise |CD| kaç birimdir?

1. AB orta noktası: ((2 + 4)/2, (3 + 1)/2) = (3, 2).
2. Orijine göre simetriği C(−3, −2).
3. y eksenine göre simetriği D(−3, 2).
4. |CD|: aynı apsis → ordinatlar farkı |2 − (−2)| = 4.

Buraya kadar noktanın yansıması üzerinde durduk. Şimdi doğrunun yansımasına geçiyoruz. Bir doğrunun yansıması da yine bir doğrudur; kilit gözlem şu: öteleme gibi düşün — paralellik korunur.

Doğrunun Noktaya Göre Yansıması: Paralel Doğru

Bir D doğrusunun bir P noktasına göre yansıması olan D′ doğrusu, D'ye paraleldir. Yani eğimleri aynıdır; sadece sabit terim farklıdır.

Çözümlü Örnek 1 — Paralel Mesafe Yöntemi

2x − 3y + 5 = 0 doğrusunun A(6, 7) noktasına göre yansıması olan doğrunun denklemi nedir?

1. A'dan geçen ve verilen doğruya paralel olan yardımcı doğru: 2x − 3y + C₂ = 0. A(6, 7)'yi yerine yaz: 12 − 21 + C₂ = 0 → C₂ = 9.
2. 2x − 3y + 9 = 0 (yardımcı) — bu doğrunun sabit terimi 9; verilen doğrununki 5. Fark: 4.
3. Yansıma doğrusu, yardımcı doğrunun diğer tarafında aynı fark kadar uzakta: sabit terim 9 + 4 = 13.
4. Yansıma doğrusu: 2x − 3y + 13 = 0.

Alternatif: Nokta Alarak (Orta Nokta)

Verilen doğru üzerinden bir nokta seç (örn. x = 2 için y = 3, yani (2, 3)). Bu noktanın A(6, 7)'ye göre simetriğini bul: (10, 11). Yeni doğrunun denklemi bu yeni noktadan geçer ve eğimi aynı kalır (paralel). 2x − 3y + C₁ = 0, (10, 11)'i yerine yaz: 20 − 33 + C₁ = 0 → C₁ = 13. Aynı cevap: 2x − 3y + 13 = 0. ✓

Doğrunun Paralel Doğruya Göre Yansıması

D₁ ve D₂ paralel doğrular olsun. D₁'in D₂'ye göre yansıması olan D′₁, D₂'nin öteki tarafında D₁ ile aynı mesafede ve yine paraleldir.

Çözümlü Örnek 2 — Paralel Doğruya Yansıma

3x + 4y − 24 = 0 doğrusunun 3x + 4y − 12 = 0 doğrusuna göre simetriği olan doğrunun denklemi nedir?

1. Sabit terimler: −24 ve −12. Fark: 12.
2. −24'ten −12'ye +12 birim arttı; simetri +12 daha arttırır → sabit terim 0.
3. Yansıma doğrusu: 3x + 4y = 0.

Kesişen İki Doğrunun Birbirine Yansıması: Eğim Kuralı

Bir D₁ doğrusunun x eksenine göre yansıması D₂ ise: D₁'in eğimi m ise D₂'nin eğimi −m. Yani eğimler birbirinin eksilisidir (çarpımı −1 değil! dik değiller, simetrikler).

Çözümlü Örnek 3 — x Eksenine Göre Yansıyan Doğru

Bir D₁ doğrusu A(12, 9)'dan geçiyor; x eksenine göre yansıması D₂ doğrusu C(a, −6)'dan geçiyor. a kaçtır? (İki doğru orijinden geçmektedir.)

1. D₁'in eğimi (O'dan A'ya): m₁ = 9/12 = 3/4.
2. D₂'nin eğimi: m₂ = −3/4.
3. D₂ üzerinde (a, −6): −6/a = −3/4 → 3a = 24 → a = 8.

Doğruların y = x ve y = −x'e göre yansıması, noktalardaki mantığın aynısıdır: denklemde x yerine y, y yerine x yazılır (y = x için) ya da ayrıca işaret değiştirilir (y = −x için).

Kural Özeti

Yansıma Doğrusu	ax + by + c = 0 →
x ekseni	ax − by + c = 0
y ekseni	−ax + by + c = 0
Orijin	−ax − by + c = 0 (yani ax + by − c = 0)
y = x	ay + bx + c = 0 (x ile y yer değişti)
y = −x	−ay − bx + c = 0 (yer + işaret)

Çözümlü Örnek 1 — y = x'e Göre

2x − 5y − 14 = 0 doğrusunun y = x doğrusuna göre yansıması olan doğrunun denklemi nedir?

1. x → y, y → x: 2y − 5x − 14 = 0, ya da −5x + 2y − 14 = 0.

Çözümlü Örnek 2 — y = −x'e Göre

2x + y + 4 = 0 doğrusunun y = −x doğrusuna göre simetriği olan doğrunun x eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır?

1. x → −y, y → −x: 2(−y) + (−x) + 4 = 0 → −2y − x + 4 = 0.
2. x eksenini keser → y = 0 yaz: −x + 4 = 0 → x = 4.

Çözümlü Örnek 3 — y = x'e Yansıyan Doğru Üzerindeki Noktadan K Bulma

Bir doğrunun y = −x'e göre yansıması olan doğru P(2, m) noktasından geçiyor. Verilen orijinal doğru 2x − y + 4 = 0. m değeri kaçtır?

1. P(2, m)'nin y = −x'e göre yansıması P′(−m, −2).
2. P′, orijinal doğru üzerinde: 2(−m) − (−2) + 4 = 0.
3. −2m + 2 + 4 = 0 → 2m = 6 → m = 3.

Birden fazla dönüşüm art arda uygulandığında (örn. "önce ötele, sonra yansıt" gibi) dönüşümlerin sırası kritikdir. Bazı dönüşümlerin sırası değişirse sonuç da değişir. Bazıları için değişmez. TYT'de bu fark soruldu mu, şaşırıp yanlış yapmak kolay.

Sıra Değiştiğinde Sonuç Değişen Durumlar

Sıra Değişse de Sonuç Aynı Olan Durumlar

• İki öteleme: Önce (+a, 0), sonra (0, +b) = Önce (0, +b), sonra (+a, 0). Sonuç: (x + a, y + b).
• Ters dönmeler: Orijin etrafında 90° + 90° = 180° (hangi sırayla yapılırsa yapılsın).
• Aynı doğruya iki yansıma: İki yansıma üst üste = özdeşlik (A → A).

Çözümlü Örnek 1 — Üçgenin Döndürülüp Ötelenmesi

Köşeleri A(3, −2), B(1, 3), C(−3, −4) olan üçgen önce orijin etrafında pozitif yönde 180° döndürülüyor, sonra x ekseninde 4 birim sola, y ekseninde 6 birim yukarı ötelenerek yeni üçgen A′B′C′ elde ediliyor. Yeni köşelerin koordinatları toplamı kaçtır?

1. 180° dönme: (−3, 2), (−1, −3), (3, 4).
2. Ötele (x: −4, y: +6): (−7, 8), (−5, 3), (−1, 10).
3. Toplam: (−7 − 5 − 1) + (8 + 3 + 10) = −13 + 21 = 8.

Çözümlü Örnek 2 — İki Kademeli Yansıma: KAL Açısı

AB ışını ile AC ışını 40°'lik bir açı yapacak şekilde A'da kesişiyor. Açının iç bölgesinde alınan bir P noktasının AB'ye göre simetriği K, AC'ye göre simetriği L ise ∠KAL kaç derecedir?

Teori: Bir noktanın kesişen iki doğruya göre ardışık yansımalarında, yansımaların sonucunda oluşan açı iki doğru arasındaki açının iki katı'dır.

1. ∠BAC = 40° (veri).
2. Simetriden: |AP| = |AK| = |AL|.
3. ∠BAP = ∠BAK ve ∠CAP = ∠CAL (yansıma açıları eşit).
4. ∠KAL = ∠KAB + ∠BAC + ∠CAL = ∠BAP + 40° + ∠CAP.
5. ∠BAP + ∠CAP = 40°.
6. ∠KAL = 40° + 40° = 80°.

Çözümlü Örnek 3 — Paralelkenar Ötelenip Yansıtılması

Birim kareli kağıtta köşeleri A(−4, −2), B(−4, 2), C(4, 2), D(4, −2) olan dikdörtgen biçimindeki paralelkenar, x ekseninde 3 birim sağa, y ekseninde 2 birim yukarı ötelenerek yeni paralelkenar elde ediliyor. Yeni paralelkenarın ağırlık merkezinin y eksenine göre simetriği hangi noktadır?

1. Orijinal ağırlık merkezi: köşegenlerin kesişimi (0, 0).
2. Ötele: (3, 2).
3. y eksenine yansıt: (−3, 2).

Dönüşüm geometrisi her ne kadar kolay görünse de küçük işaret hataları soruyu anında kaybettirir. Aşağıdaki altı tuzak, TYT denemelerinde en çok karşılaşılan hatalardır.

Hata 1 — Pozitif/Negatif Yön Karıştırmak

Yanlış: "Negatif yönde 2 birim ötele" ifadesini apsise +2 ekleyerek yapmak.

Doğru: Negatif yön azalmak demektir. Apsisten 2 çıkar. Yön kelimesini hep işaretin kaynağı olarak düşün: pozitif yön = artı, negatif yön = eksi.

Hata 2 — y = x ile y = −x Yansımasını Karıştırmak

Yanlış: (3, 4)'ün y = −x'e göre yansımasını (−4, 3) yazmak (ki bu 90° dönme).

Doğru: y = −x'e göre yansıma: yer değiştir + işaret değiştir → (3, 4) → (−4, −3).

Hata 3 — 90° Dönmede İşaret Yerini Karıştırmak

Yanlış: (3, 4)'ün pozitif yönde 90° dönmesini (4, −3) yazmak (ki bu 270° ya da −90°).

Doğru: Pozitif yönde 90° → (−y, x) → (−4, 3). Saat yönünün tersi olduğunu hatırla; (3, 4) birinci bölgede, 90° sola döndüğünde ikinci bölgeye geçer (apsis negatif olur).

Hata 4 — Eğimlerin Eksilisi ile Çarpımı −1 Olanı Karıştırmak

Yanlış: "x eksenine göre yansıyan iki doğrunun eğimleri çarpımı −1" demek (ki bu dik doğrular kuralı).

Doğru: Kesişen iki doğru bir doğruya göre simetrik ise eğimleri birbirinin eksilisidir: m ve −m. Dik doğrularda ise m ve −1/m olur.

Hata 5 — x = k Yansımasında Ordinatı Değiştirmek

Yanlış: A(8, 2)'nin x = 2'ye göre yansımasını (−4, −2) yazmak.

Doğru: x = k'ya göre yansıma yalnız apsisi değiştirir. Ordinat aynen kalır → (−4, 2).

Hata 6 — Dönmede 360°'nin Katlarını Göz Ardı Etmek

Yanlış: 450° dönme sorusunda tam açı olarak 450°'yi kullanmak.

Doğru: 360° çıkar → 90°. Tam tur atıldı, kalan net dönme o kadar. 720° → 0° (değişmez), 540° → 180°.

Mnemonik — Tuzak Kaçırma Kartı

• Öteleme = kay: yön pozitifse artır, negatifse azalt. Biçim değişmez.
• Yansıma = ayna: hangi doğruya ayna koyuluyorsa o doğrunun üzerindeki noktalar sabit kalır.
• Dönme = saat: pozitif yön saatin tersi. Aksini diyen soru "saat yönünde" demişse işaretini ters çevir.

TYT'de karşına çıkabilecek tüm dönüşüm geometrisi soru tipleri ve her biri için uygulaman gereken strateji aşağıdaki tabloda. Sınav öncesi son tekrar için kullan.

Soru Tipi — Strateji Eşleştirmesi

Soru Tipi	Strateji	Süre
Noktayı ötele	Yönleri işaretle, apsise ve ordinata doğrudan ekle/çıkar.	20 sn
Şekli/üçgeni ötele	Ağırlık merkezini veya tek köşeyi ötele, diğerlerini şekilden çıkart.	30 sn
Eksene göre yansıma	Formül tablosundan seç: x için (x, −y), y için (−x, y).	15 sn
y = x veya y = −x yansıma	Yer değiştir (+ işaret değiştir).	15 sn
Orijine göre yansıma	Her iki bileşenin işaretini değiştir (= 180° dönme).	10 sn
x = k veya y = k yansıma	2k − x veya 2k − y formülü.	30 sn
Genel doğruya yansıma	Orta nokta + diklik iki denklem kur.	90 sn
90°/180°/270° dönme	Özel formülleri ezbere kullan.	15 sn
Genel açı dönmesi	Dönme formülü (cos/sin).	60 sn
360°'den büyük açı	Mod 360 al, kalanı kullan.	10 sn
Noktanın noktaya simetriği	Orta nokta formülü (2a − x, 2b − y).	20 sn
Doğrunun noktaya yansıması	Paralellik + sabit terim farkının iki katı.	60 sn
Kompozit dönüşüm	Sırayla uygula; her adımda sonucu yaz.	60 sn
En kısa yol (ayna mantığı)	Bir noktanın doğruya göre yansımasını al; iki nokta arasını düz çizgi.	45 sn
Kesişen iki doğruya ardışık yansıma	Dönme dönüşümüne dönüştür, açı 2 katı.	30 sn

Sınav Günü 4 Altın Adım

1. Tanı koy (3 sn): Soru öteleme mi, yansıma mı, dönme mi? Kompozit mi (birden fazla dönüşüm)?
2. Yönü doğrula (2 sn): Pozitif mi negatif mi? Saat yönünde mi tersi mi? Yönün işaretini anla.
3. Hızlı formül seç (5 sn): Yukarıdaki tablodan seç. Özel açı/eksen varsa formülü ezberden kullan.
4. Sağlama yap (5 sn): Sonucun mantıklı bölgeye düştüğünü kontrol et. (3, 4)'ten bahsediyorsan sonuç hangi bölgede olmalıydı?

Özet Formül Kartı

Dönüşüm	Formül
Öteleme (a, b)	(x, y) → (x + a, y + b)
x eksenine yansıma	(x, y) → (x, −y)
y eksenine yansıma	(x, y) → (−x, y)
Orijine yansıma (= 180° dönme)	(x, y) → (−x, −y)
y = x'e yansıma	(x, y) → (y, x)
y = −x'e yansıma	(x, y) → (−y, −x)
x = k'ya yansıma	(x, y) → (2k − x, y)
y = k'ya yansıma	(x, y) → (x, 2k − y)
Orijin etrafında 90° dönme	(x, y) → (−y, x)
180° dönme	(x, y) → (−x, −y)
270° dönme	(x, y) → (y, −x)
M(a, b)'ye göre simetri	(x, y) → (2a − x, 2b − y)
Genel α dönme	(x cos α − y sin α, x sin α + y cos α)
Yansıma mesafe	|AB| = 2 · (A'nın doğruya uzaklığı)