TYT Geometri — Çember Analitiği

Çember analitiği aslında tek bir fikrin tekrar tekrar kullanımından ibarettir: iki nokta arasındaki uzaklık formülü. Analitik düzlem üzerine bir çember çizdiğinde, merkezinden çemberin üzerindeki herhangi bir noktaya olan uzaklık sabit bir değerdir — ve bu değere yarıçap deriz. Çemberin tanımı da zaten budur: "Düzlemde sabit bir noktaya (merkeze) eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri."

Standart Form — Ezberin Özü

İki taraftaki kareköklerden kurtulmak için her iki tarafın karesini alırız:

(x − a)² + (y − b)² = r²

İşte çemberin standart denklemi. Bu üç şeyi söyler: (x − ?) parantezindeki sayı merkezin apsisi; (y − ?) parantezindeki sayı merkezin ordinatı; eşitliğin sağındaki sayı da yarıçabın karesidir.

Mnemonik — Standart Form

Çözümlü Örnek 1 — Temel Uygulama

Merkezi M(−3, 2) ve yarıçapı 4 birim olan çemberin denklemi nedir?

1. Merkezin apsisi −3, dolayısıyla parantez (x − (−3))² = (x + 3)².
2. Merkezin ordinatı 2, dolayısıyla parantez (y − 2)².
3. Yarıçap 4, karesi 16.
4. Denklem: (x + 3)² + (y − 2)² = 16.

Çözümlü Örnek 2 — Ters Yönde: Denklemden Merkez ve Yarıçap

(x − 2)² + (y + 4)² = 25 denkleminin merkezi ve yarıçapı nedir?

1. (x − 2)² → merkezin apsisi 2.
2. (y + 4)² = (y − (−4))² → merkezin ordinatı −4.
3. r² = 25 → r = 5. (Yarıçap daima pozitif olan karekök.)
4. Merkez M(2, −4), yarıçap 5.

Çember analitiğinde bazı özel konumlar tekrar tekrar karşımıza çıkar. Bunları ayrıca ezberlemeye gerek yok; standart formdaki (a, b) ve r'yi doğru yerleştirmek yeterli. Ama sık çıktıkları için kalıbı görmek zaman kazandırır.

Orijin Merkezli (Merkezil) Çember

Merkez (0, 0) ise denklem şu hâle sadeleşir:

x² + y² = r²

Yarıçapı 1 olan orijin merkezli çembere ayrıca birim çember denir; trigonometride temel araçtır: x² + y² = 1.

Eksen Üstünde Merkezli Çember

Merkez x ekseni üstündeyse ordinat 0'dır: M(a, 0) → (x − a)² + y² = r².

Merkez y ekseni üstündeyse apsis 0'dır: M(0, b) → x² + (y − b)² = r².

Eksenlere Teğet Çemberler

Bir çember hem x hem y eksenine teğetse, merkezden eksenlere inen dikler yarıçapa eşittir. Çünkü merkezden teğet doğruya inen dik, her zaman yarıçap kadardır.

Bölge	Merkez	Denklem
1. bölge (+x, +y)	(r, r)	(x − r)² + (y − r)² = r²
2. bölge (−x, +y)	(−r, r)	(x + r)² + (y − r)² = r²
3. bölge (−x, −y)	(−r, −r)	(x + r)² + (y + r)² = r²
4. bölge (+x, −y)	(r, −r)	(x − r)² + (y + r)² = r²

Çözümlü Örnek 3 — Eksenlere Teğet

1. bölgede eksenlere teğet, yarıçapı 5 birim olan çemberin denklemi nedir?

1. 1. bölgede eksenlere teğet çemberin merkezi (r, r) = (5, 5).
2. (x − 5)² + (y − 5)² = 5² = 25.

Çözümlü Örnek 4 — Yatay Teğetler Arasında Sıkışan Çember

y = 5 ve y = −3 doğrularına teğet, merkezi y = x + 3 doğrusu üzerinde bulunan çemberin denklemi nedir?

1. Yatay iki teğet arasındaki mesafe 5 − (−3) = 8; bu çapa eşit → r = 4.
2. Merkez, iki teğetin ortasındaki yatay çizgi üstünde: (5 + (−3))/2 = 1 → ordinat y = 1.
3. Merkez y = x + 3 üzerinde olmalı → 1 = x + 3 → x = −2.
4. Merkez M(−2, 1), r = 4.
5. Denklem: (x + 2)² + (y − 1)² = 16.

Çember üzerinde karşılıklı iki nokta verildiğinde, bu iki nokta birbirinden en uzak iki nokta ise bir çap oluştururlar. Çap iki yarıçapın birleşimi olduğu için, çapın orta noktası çemberin merkezine denk gelir.

İzlenecek Adımlar

1. Orta nokta formülü ile çapın iki ucunu kullanarak merkez koordinatlarını bul. M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).
2. İki nokta arası uzaklık formülü ile çap uzunluğunu bul, sonra 2'ye bölerek yarıçabı elde et. Ya da doğrudan merkez ile uçlardan birinin arasını yarıçap say.
3. Standart forma yerleştir: (x − a)² + (y − b)² = r².

Çözümlü Örnek 5 — Çapı Veren İki Nokta

A(4, 7) ve B(6, −1) noktalarını çap kabul eden çemberin denklemi nedir?

1. Merkez (orta nokta): ((4 + 6)/2, (7 + (−1))/2) = (5, 3).
2. Yarıçap (merkez ile A arasındaki uzaklık): r = √((5 − 4)² + (3 − 7)²) = √(1 + 16) = √17.
3. r² = 17.
4. Denklem: (x − 5)² + (y − 3)² = 17.

Çapı Gören Çevre Açı 90° Oyunu

Çember geometrisinden gelen bir bilgiyi analitikte de kullanıyoruz: Çapı gören çevre açı 90°'dir. Yani çember üzerinde üç nokta verildiğinde, bu üç noktadan biri dik açı oluşturuyorsa o köşenin karşısındaki kenar çaptır.

Çözümlü Örnek 6 — Dik Üçgenin Çevrel Çemberi

2x + y − 12 = 0 doğrusunun koordinat eksenleriyle oluşturduğu üçgenin çevrel çemberinin denklemi nedir?

1. Doğru x eksenini y = 0 ile keser: 2x = 12 → x = 6 → A(6, 0).
2. Doğru y eksenini x = 0 ile keser: y = 12 → B(0, 12).
3. Orijin O(0, 0) de üçgenin bir köşesi; orijindeki açı dik. Dolayısıyla AB çap olur.
4. Merkez (orta nokta): ((6 + 0)/2, (0 + 12)/2) = (3, 6).
5. Çap uzunluğu: √(36 + 144) = √180 = 6√5. Yarıçap: 3√5, r² = 45.
6. Denklem: (x − 3)² + (y − 6)² = 45.

Standart formdaki (x − a)² + (y − b)² = r² denklemini açtığımızda, tüm kareli terimlerin kare açılımını yaparız. Ortaya şu kalıp çıkar:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Buradaki D, E, F sabitleridir. Açılım üzerinden eşleştirdiğimizde şu özdeşliklere ulaşırız:

• D = −2a → a = −D/2
• E = −2b → b = −E/2
• F = a² + b² − r² → r² = a² + b² − F

Merkez ve Yarıçap — Formüller

Mnemonik — Merkez Formülü

Çözümlü Örnek 7 — Formül Yöntemi

x² + y² − 4x + 6y + 4 = 0 denkleminin merkezi ve yarıçapı nedir?

1. D = −4, E = 6, F = 4.
2. Merkezin apsisi: −D/2 = −(−4)/2 = 2.
3. Merkezin ordinatı: −E/2 = −6/2 = −3.
4. Yarıçap: r = (1/2) · √((−4)² + 6² − 4·4) = (1/2) · √(16 + 36 − 16) = (1/2) · √36 = (1/2) · 6 = 3.
5. Merkez M(2, −3), yarıçap 3.

Alternatif Yol — Tam Kareye Tamamlama

Formül unutulduğunda ya da farklı bir yol tercih edildiğinde, tam kareye tamamlama yöntemi devreye girer. x² − 4x ifadesini (x − 2)² yapmak için yanına +4 ekler, denklemin dengesini bozmamak için aynı miktarı −4 olarak çıkarırsın.

Yukarıdaki örneği bu yolla çözelim:

1. x² − 4x = (x − 2)² − 4
2. y² + 6y = (y + 3)² − 9
3. Yerlerine yazınca: (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 + 4 = 0
4. Sabitleri topla: −4 − 9 + 4 = −9
5. (x − 2)² + (y + 3)² = 9
6. Merkez M(2, −3), yarıçap 3 — aynı sonuca vardık.

Her x² + y² + Dx + Ey + F = 0 formundaki denklem çember olmaz. Çünkü formülden elde edilen r² değeri negatif çıkabilir, sıfır çıkabilir ya da pozitif çıkabilir. Buna göre üç durum vardır:

Burada delta (Δ) olarak tanımlanan değer Δ = D² + E² − 4F'dir. Çünkü yarıçap formülündeki kökün içindeki değer budur.

Üç Durum

Koşul	Sonuç	Geometrik Anlam
Δ > 0	r > 0	Gerçek bir çember belirtir.
Δ = 0	r = 0	Sadece merkez noktadan ibaret (dejenere çember).
Δ < 0	r² < 0	Hiçbir gerçek nokta yok; çember değildir.

Genişletilmiş Genel Form İçin Üç Şart

Denklemin daha genel hâli Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 iken, bu denklemin çember belirtmesi için şu üç şartın hepsi sağlanmalıdır:

1. Katsayı eşitliği: A = C olmalı (ve her ikisi de sıfırdan farklı).
2. xy terimi yok: B = 0 olmalı. Çünkü standart açılımda xy terimi hiç oluşmaz.
3. Pozitif yarıçap: Denklemi A'ya (ya da C'ye) böldükten sonra Δ = D² + E² − 4F > 0 olmalı.

Çözümlü Örnek 8 — Nokta Belirten Denklem

x² + y² − 4x + 6y + k + 4 = 0 denklemi bir nokta belirtmektedir. k kaçtır?

1. Nokta belirtme koşulu: Δ = 0.
2. D = −4, E = 6, F = k + 4.
3. Δ = (−4)² + 6² − 4(k + 4) = 16 + 36 − 4k − 16 = 36 − 4k.
4. 36 − 4k = 0 → k = 9.

Çözümlü Örnek 9 — Çember Belirtme Şartı

(a − 3)x² + (b − 2)xy + 7y² + Dx + Ey + F = 0 denkleminin çember belirtmesi için a ve b kaçtır?

1. xy katsayısı sıfır olmalı: b − 2 = 0 → b = 2.
2. x² ve y² katsayıları eşit olmalı: a − 3 = 7 → a = 10.

Bir P(x₀, y₀) noktası verildiğinde, bu noktanın çembere göre konumu üç olasılıklıdır: çemberin üzerindedir, içindedir ya da dışındadır. Bunu kontrol etmek için P'nin koordinatlarını çember denkleminde yerine yazar ve sonucu yarıçabın karesiyle kıyaslarız.

Standart Forma Göre Konum

Çember: (x − a)² + (y − b)² = r².

P(x₀, y₀)'ı yerine yazınca (x₀ − a)² + (y₀ − b)² = D² oluşur; burada D, P'nin merkeze olan uzaklığıdır.

Koşul	Konum
(x₀ − a)² + (y₀ − b)² < r²	Nokta çemberin içindedir.
(x₀ − a)² + (y₀ − b)² = r²	Nokta çemberin üzerindedir.
(x₀ − a)² + (y₀ − b)² > r²	Nokta çemberin dışındadır.

Çözümlü Örnek 10 — Konum Testi

Merkezi M(2, 3) ve yarıçabı 5 olan çember için (x − 2)² + (y − 3)² = 25. O(0, 0) noktası bu çembere göre nerede?

1. (0 − 2)² + (0 − 3)² = 4 + 9 = 13.
2. 13 < 25, yani r² = 25'ten küçük.
3. O(0, 0) çemberin içindedir.

Çözümlü Örnek 11 — Parametre Bulma

A(3, 1) noktası x² + y² − 6x + my + n = 0 çemberi üzerindedir ve yarıçap 5 birimdir. m + n kaçtır?

1. A çember üzerinde → denklemi sağlar: 3² + 1² − 6·3 + m·1 + n = 0 → 9 + 1 − 18 + m + n = 0 → m + n = 8.
2. Yarıçap formülü: r = (1/2)√((−6)² + m² − 4n) = 5 → √(36 + m² − 4n) = 10.
3. Her iki tarafın karesi: 36 + m² − 4n = 100 → m² − 4n = 64.
4. Birinci denklemden n = 8 − m; ikinciye koy: m² − 4(8 − m) = 64 → m² + 4m − 96 = 0.
5. Çarpanlara ayır: (m + 12)(m − 8) = 0 → m = −12 veya m = 8.
6. Sorunun şartına göre uygun değer seçilir; m + n sorulduğu için her durumda 8.

Bir çemberin x eksenini kestiği noktaları bulmak için y = 0, y eksenini kestiği noktaları bulmak için x = 0 yazılır. Kalan ifade ikinci dereceden bir denklem olur; çözümleri kesişim noktalarının apsis/ordinatlarıdır.

Kiriş Uzunluğu Hesabı

Çember x veya y eksenini iki noktada kesiyorsa, bu iki nokta arasındaki mesafeye o eksen üzerindeki kiriş denir. Kiriş uzunluğu, iki kesim noktasının ilgili koordinatları arasındaki farkın mutlak değeridir (çünkü diğer koordinatları aynıdır).

Çözümlü Örnek 12 — Eksen Kesişim Noktaları

(x − 4)² + (y + 2)² = 25 çemberinin y eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı nedir?

1. y eksenini kesiyor → x = 0.
2. (0 − 4)² + (y + 2)² = 25 → 16 + (y + 2)² = 25 → (y + 2)² = 9.
3. y + 2 = 3 → y = 1; y + 2 = −3 → y = −5.
4. Toplam: 1 + (−5) = −4.

Çözümlü Örnek 13 — Kiriş Uzunluğu

Aynı çemberin x ekseni üzerinde ayırdığı kiriş uzunluğu nedir?

1. x ekseninden kesim → y = 0.
2. (x − 4)² + (0 + 2)² = 25 → (x − 4)² + 4 = 25 → (x − 4)² = 21.
3. x = 4 + √21 ve x = 4 − √21.
4. Kiriş uzunluğu: (4 + √21) − (4 − √21) = 2√21.

Çözümlü Örnek 14 — Merkezden Kirişe Dik

Çember x eksenini 8,0 noktasında teğet olarak kesiyor ve y eksenini 0,4 noktasında kesiyor. Çemberin yarıçabı nedir?

1. x eksenine x = 8'de teğet → merkezin apsisi 8, merkezden teğete inen dik yarıçap (dikey yöndedir) → merkez (8, r).
2. Çember (0, 4)'ten geçiyor: (0 − 8)² + (4 − r)² = r² → 64 + 16 − 8r + r² = r² → 80 = 8r → r = 10.

Bir doğru ile bir çemberin birbirlerine göre üç olası durumu vardır: ayrık (hiç kesmez), teğet (tek noktada dokunur), kesen (iki noktada geçer). Bu durumu anlamak için iki temel yaklaşım vardır.

Yöntem 1 — Merkez-Doğru Uzaklığı ile Yarıçap Kıyaslaması

Çemberin merkezi M, doğru d. h, M'den d'ye olan dik uzaklık olsun:

Koşul	Durum
h > r	Ayrık (kesmez)
h = r	Teğet (tek noktada dokunur)
h < r	Kesen (iki noktada keser)

Mnemonik — Teğetlik

Nokta-Doğru Uzaklığı Formülü (Hatırlatma)

ax + by + c = 0 doğrusu ile (x₀, y₀) noktası arasındaki dik uzaklık:

h = |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²)

Yöntem 2 — Denklem Sistemini Ortak Çözme

Doğrunun denkleminden y (ya da x) çekilip çemberin denkleminde yerine yazılır. Elde edilen ikinci dereceden denklemin deltasına bakılır:

• Δ > 0: İki farklı gerçek kök → iki kesişim noktası (kesen doğru).
• Δ = 0: Çakışık iki kök → tek kesişim noktası (teğet).
• Δ < 0: Gerçek kök yok → hiç kesişim noktası yok (ayrık).

Çözümlü Örnek 15 — y Eksenine Teğet

x² + y² − 6x + 10y + n = 0 çemberi y eksenine teğettir. n kaçtır?

1. Merkezin apsisi: −D/2 = −(−6)/2 = 3. y eksenine teğet → merkezin apsisinin mutlak değeri = yarıçap → r = 3.
2. Yarıçap formülü: 3 = (1/2)√(36 + 100 − 4n) → 6 = √(136 − 4n) → 36 = 136 − 4n → n = 25.

Çözümlü Örnek 16 — Kesişim Noktaları

(x − 3)² + (y)² = 26 çemberi ile y = x + 3 doğrusunun kesişim noktalarının koordinatlarının toplamı nedir?

1. y = x + 3'ü çember denkleminde yerine yaz: (x − 3)² + (x + 3)² = 26.
2. Aç: x² − 6x + 9 + x² + 6x + 9 = 26 → 2x² + 18 = 26 → x² = 4 → x = 2 veya x = −2.
3. x = 2 → y = 5; x = −2 → y = 1. Kesişim noktaları: (2, 5) ve (−2, 1).
4. Koordinatlar toplamı: 2 + 5 + (−2) + 1 = 6.

Çözümlü Örnek 17 — 2021 AYT Kalıbı

x² + y² − 26x + 144 = 0 çemberini y = mx doğrusu iki farklı noktada kesmektedir. m hangi aralıktadır?

1. y = mx'i çemberde yerine yaz: x² + m²x² − 26x + 144 = 0 → (1 + m²)x² − 26x + 144 = 0.
2. İki farklı nokta → Δ > 0: 26² − 4(1 + m²)·144 > 0 → 676 − 576 − 576m² > 0 → 100 > 576m².
3. m² < 100/576 = 25/144 → |m| < 5/12 → −5/12 < m < 5/12.

Çember analitiğinde teğet denkleminin tek kurtarıcı özelliği şudur: Teğet noktasında merkezden çizilen yarıçap, teğete diktir. Dolayısıyla merkezi ve teğet noktasını birleştiren doğru ile teğet doğrusu dik kesişir; eğimleri çarpımı −1'dir.

Teğet Denklemini Kurma — Adım Adım

1. Çemberin merkezini M(a, b) olarak belirle.
2. Teğet noktası T(x₀, y₀) verilmiştir. MT yarıçaptır; MT'nin eğimini hesapla: m_MT = (y₀ − b)/(x₀ − a).
3. Teğet doğrusu MT'ye dik: m_teğet = −1/m_MT.
4. Teğet doğrusu T(x₀, y₀) noktasından geçer. Nokta-eğim formuyla denklemi yaz: y − y₀ = m_teğet (x − x₀).

Mnemonik — Teğet Denklemi

Çözümlü Örnek 18 — Teğet Denklemi

(x − 2)² + (y + 1)² = r² çemberi üzerindeki T(5, 4) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi nedir?

1. Merkez M(2, −1).
2. MT eğimi: (4 − (−1))/(5 − 2) = 5/3.
3. Teğet eğimi: −3/5.
4. Teğet, T(5, 4)'ten geçiyor: y − 4 = −(3/5)(x − 5).
5. Düzenle: y = −(3/5)x + 3 + 4 = −(3/5)x + 7.
6. Ya da: 3x + 5y − 35 = 0.

Çözümlü Örnek 19 — Teğet Uzaklığı Üzerinden Parametre

3x + 4y + n = 0 doğrusu, merkezi M(2, 1) ve yarıçabı 2 olan çembere teğettir. n'nin alabileceği değerler toplamı nedir?

1. Teğet koşulu → M'nin doğruya uzaklığı = r = 2.
2. Nokta-doğru uzaklığı: |3·2 + 4·1 + n| / √(3² + 4²) = 2.
3. |10 + n| / 5 = 2 → |10 + n| = 10.
4. 10 + n = 10 → n = 0 veya 10 + n = −10 → n = −20.
5. Toplam: 0 + (−20) = −20.

Çözümlü Örnek 20 — Dıştan Bir Noktadan Çizilen Teğet

(x + 3)² + (y − 2)² = 4 çemberine dışarıdan P(2, 4) noktasından çekilen teğet T noktasında değmektedir. PT uzunluğu nedir?

1. Merkez M(−3, 2), yarıçap r = 2.
2. MP uzaklığı: √((2 − (−3))² + (4 − 2)²) = √(25 + 4) = √29.
3. MT = r = 2, MT ⊥ PT. Pisagor: MP² = MT² + PT² → 29 = 4 + PT² → PT² = 25 → PT = 5.

Aynı düzlemdeki iki çemberin konumu, merkezler arası uzaklık ile yarıçapların toplamı ve farkı arasındaki ilişkiye göre beş farklı kategoride incelenir.

Merkezler: M₁ ve M₂, yarıçaplar: r₁ ve r₂ (r₁ > r₂ kabul edersek), merkezler arası uzaklık: d = |M₁M₂|.

Beş Durum Tablosu

Durum	Koşul	Ortak Nokta
Dıştan ayrık	d > r₁ + r₂	0
Dıştan teğet	d = r₁ + r₂	1
Kesişen	r₁ − r₂ < d < r₁ + r₂	2
İçten teğet	d = r₁ − r₂	1
İçten ayrık (iç içe)	d < r₁ − r₂	0

Mnemonik — Konum Kuralı

İki Çember Arası En Kısa Mesafe

Dıştan ayrık iki çember verildiğinde, bunların birbirine en yakın iki noktası arasındaki mesafeyi bulmak için d − r₁ − r₂ hesaplanır. Çünkü merkezleri birleştiren doğru üzerindeki iki yarıçap, iki ucu tanımlar.

Çözümlü Örnek 21 — İki Çember Arasında En Kısa Uzaklık

x² + y² = 1 ve x² + y² − 6x + 8y + 21 = 0 çemberleri arasındaki en kısa uzaklık nedir?

1. Birinci çember: merkez O(0, 0), yarıçap r₁ = 1.
2. İkinci çember: D = −6, E = 8, F = 21 → merkez (3, −4); yarıçap r₂ = (1/2)√(36 + 64 − 84) = (1/2)·√16 = 2.
3. Merkezler arası uzaklık: d = √(9 + 16) = 5 (3-4-5 üçgeninden).
4. r₁ + r₂ = 3 < 5 = d → dıştan ayrık.
5. En kısa mesafe: d − r₁ − r₂ = 5 − 1 − 2 = 2.

Çözümlü Örnek 22 — İçten Teğet Çember

Merkezi M(7, 0) ve yarıçabı r olan çember, merkezi orijinde ve yarıçabı 8 olan çembere içten teğettir. r kaçtır?

1. Büyük çember: merkez (0, 0), R = 8.
2. Küçük çember: merkez (7, 0), yarıçap r.
3. Merkezler arası uzaklık: d = √(49) = 7.
4. İçten teğet: d = R − r → 7 = 8 − r → r = 1.

Çözümlü Örnek 23 — 2022 AYT Kalıbı: Eksenlere Teğet İki Çember

1. bölgede x ve y eksenlerine teğet olan iki farklı çember A(1, 2) noktasından geçmektedir. Çemberlerin yarıçaplarının toplamı nedir?

1. 1. bölgede eksenlere teğet → merkez (r, r).
2. A(1, 2) çember üzerinde: (1 − r)² + (2 − r)² = r².
3. Aç: 1 − 2r + r² + 4 − 4r + r² = r² → r² − 6r + 5 = 0.
4. Çarpanlara ayır: (r − 1)(r − 5) = 0 → r₁ = 1, r₂ = 5.
5. Yarıçaplar toplamı: 1 + 5 = 6.

Çözümlü Örnek 24 — Kirişler Dörtgeni

x² + y² + 6x − 4y − 23 = 0 ve (x − 5)² + (y + 4)² = r² çemberlerinin merkezleri O₁, O₂ ve kesişim noktaları A, B'dir. O₁AO₂B bir kirişler dörtgenidir. r kaçtır?

1. İlk çember: D = 6, E = −4, F = −23 → merkez O₁(−3, 2); r₁ = (1/2)√(36 + 16 + 92) = (1/2)√144 = 6.
2. İkinci çember: merkez O₂(5, −4), yarıçap r.
3. Merkezler arası uzaklık: √((5 − (−3))² + (−4 − 2)²) = √(64 + 36) = √100 = 10 (6-8-10 üçgeninden).
4. Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların toplamı 180°'dir. O₁AO₂B dörtgeninde O₁A = r₁ = 6, O₁B = 6, O₂A = O₂B = r. Karşılıklı köşe açılarının toplamı 180° olduğundan A ve B köşelerinde dik açılar oluşur.
5. Dik açı → Pisagor: r₁² + r² = d² → 36 + r² = 100 → r² = 64 → r = 8.

TYT ve AYT'de son yıllarda çember analitiği soruları "kuru formül" yerine günlük hayata taşınmış senaryolarla geliyor. Sanat galerisindeki tablo, bahçedeki çember çizimleri, kağıt katlama hikayeleri gibi. Kalıp aynıdır: önce şekli analitik düzleme oturt, sonra tanıdık özellikleri uygula.

Çözümlü Örnek 25 — Kare İçine Yerleştirilmiş Çember

Dik koordinat düzleminde ABCD bir karedir. Çember, karenin CD kenarına G noktasında teğet; E ve F noktaları çember üzerinde. A(4, 4), B(8, 4), F(8, 5), C(8, 8). Çemberin merkezinin koordinatları toplamı nedir?

1. A(4, 4) ve B(8, 4) → AB uzunluğu 4. Kare olduğu için bir kenar 4 birim.
2. F(8, 5): BF uzunluğu |5 − 4| = 1.
3. Çember AB kirişini keser; merkezin apsisi AB kirişinin orta noktasının apsisine eşit (dik kirişler eşit bölündüğü için): (4 + 8)/2 = 6.
4. Aynı çember BC kirişini keser; F(8, 5) noktası çember üzerinde, B(8, 4) ile arasındaki 1 birimlik kısım 2'ye bölünür (kiriş iki eşit parça) → merkezin ordinatı 4 + (toplam BC kesim)/2 şeklinde hesaplanarak 6,5 olarak bulunur (tam hesap: BC'nin kiriş uzunluğu 3, merkezden dik 1,5 bölünür).
5. Merkez (6, 6.5). Koordinatlar toplamı: 6 + 6,5 = 12,5.

Çözümlü Örnek 26 — Esneyen İp Problemi

A(0, 12) noktasına bir ucu sabitlenen esneyebilen ip, merkezi M(12, 3) olan ve yarıçabı 3 olan çemberin merkezine bağlıdır (şekil 1). Çember hareket edip 3. bölgede eksenlere teğet hale geldiğinde (şekil 2), ipin yeni uzunluğu ile eski uzunluğu arasındaki fark nedir?

1. Başlangıç uzunluğu: AM = √((12 − 0)² + (3 − 12)²) = √(144 + 81) = √225 = 15. İp ilk halinde 15 birim.
2. Son hal: çember 3. bölgede eksenlere teğet → merkez (−3, −3) (yarıçap sabit 3).
3. Son uzunluk: A'dan yeni merkeze: √((0 − (−3))² + (12 − (−3))²) = √(9 + 225) = √234.
4. Fark: √234 − 15.

Çözümlü Örnek 27 — Köşegenler Dik: Yamuk Alanı

x² + y² − 10x − 2y − 24 = 0 çemberi koordinat eksenlerini dört noktada (K, L, M, N) keser. Bu noktaların oluşturduğu dörtgenin alanı nedir?

1. Merkez: (−D/2, −E/2) = (5, 1). Yarıçap: (1/2)√(100 + 4 + 96) = (1/2)√200 = 5√2.
2. y = 0: x² − 10x − 24 = 0 → (x − 12)(x + 2) = 0 → x = 12, −2. Yani K(12, 0) ve M(−2, 0). KM = 14.
3. x = 0: y² − 2y − 24 = 0 → (y − 6)(y + 4) = 0 → y = 6, −4. Yani L(0, 6) ve N(0, −4). LN = 10.
4. Köşegenler x ve y eksenleri olduğu için dik kesişir.
5. Alan = (köşegenler çarpımı)/2 = (14 · 10)/2 = 70.

Çözümlü Örnek 28 — İki Eş Çember Yan Yana

Duvardaki dikdörtgen tabloya eş iki çember yerleştirilmiştir. İlk çember M₁ merkezli: x² + y² − 8x − 10y + 40 = 0. İkinci çemberin denklemi nedir? (Çemberler yatay olarak yan yana konumlanmış ve eş.)

1. İlk çember: D = −8, E = −10, F = 40 → merkez M₁(4, 5); yarıçap r = (1/2)√(64 + 100 − 160) = (1/2)√4 = 1.
2. Eş çemberler dıştan teğet: merkezler arası mesafe = 2r = 2.
3. Yatay dizilim → M₂'nin apsisi 4 + 2 = 6, ordinatı aynı 5.
4. M₂(6, 5), yarıçap 1. Denklem: (x − 6)² + (y − 5)² = 1.

Çember analitiği konusunun çoğu yanlışı, formülün kendisinden değil formülü uygularken işaret, katsayı ve karekök hatalarından gelir. Son yılların TYT/AYT çıkmış sorularında en sık karşılaşılan tuzakları ve kaçınma yollarını burada topluyoruz.

Karıştırılan Kavramlar Tablosu

Yanlış	Doğru
(x − 3)² → merkezin apsisi −3	(x − 3)² → merkezin apsisi +3
r² = 16 → r = 16	r² = 16 → r = 4
Genel formda merkez (D/2, E/2)	Merkez (−D/2, −E/2) (eksili!)
Yarıçap = √(D² + E² − 4F)	Yarıçap = (1/2)√(D² + E² − 4F)
2x² + 2y² + ... = 0 → formülü direkt uygula	Önce katsayılara böl, sonra formüle koy
İçten teğet: d = r₁ + r₂	İçten teğet: d = r₁ − r₂ (büyüğün farkı!)
Teğet denkleminde merkezden teğet noktasına eğim alınır	Teğetin eğimi o eğimin negatif tersi'dir

Edge Case 1 — Genel Formda r² Negatif Çıkıyor

x² + y² + 2x + 4y + 10 = 0 denklemi için yarıçap hesabı: r = (1/2)√(4 + 16 − 40) = (1/2)√(−20). Karekök içi negatif. Bu durumda çember yoktur; denklem boş bir kümedir. Formülü uygulamaya çalışıp "imajiner yarıçap" yazma hatası yapma.

Edge Case 2 — Tam Kareye Tamamlamada Sabit Hatası

x² − 6x ifadesini (x − 3)²'e tamamlamak için +9 eklersin; denklemin dengesini bozmamak için aynı tarafta −9 da çıkarırsın. Eğer yalnızca +9 eklersen, denklem bozulur ve sonuç yanlış çıkar. Sabitler mutlaka dengelenmeli.

Edge Case 3 — İçten Teğet ile Dıştan Teğet Karışıklığı

İki çember verildiğinde, "teğet" kelimesi geçtiğinde otomatik olarak d = r₁ + r₂ yazma refleksine girme. Soru içten teğetlik ima ediyor olabilir; o zaman d = r₁ − r₂. Genellikle şekil verilir — şekle bakıp büyüğün içinde mi yoksa yan yana mı olduğuna karar ver.

Edge Case 4 — Çap Uçları mı Yarıçap Uçları mı?

"A ve B noktaları çemberin üzerindedir" ile "A ve B noktaları çapın uçlarıdır" farklı şeylerdir. Birincisinde A ve B merkeze eşit uzaklıktadır ama aralarındaki uzaklık çap olmayabilir (kiriş de olabilir). İkincisinde ise AB doğrudan çaptır. Soruyu dikkatli oku.

Edge Case 5 — Eksenlere Teğet ≠ Eksenler Üstünde Merkez

Bir çember x eksenine teğetse, merkezin x eksenine uzaklığı yarıçaba eşittir → ordinat ±r. Ama bu, merkezin x ekseninde olduğu anlamına gelmez; tam tersine, merkez eksenin üstünde ya da altında olmak zorundadır.

2019 YKS reformuyla birlikte TYT ve AYT'de yanlış cevaplar doğruları götürmüyor. Bu, analitik geometri gibi "formülsel ama çözülebilir" konularda strateji değiştirdi: artık bir çember analitiği sorusunu denememenin kazancı yok, kaybı var.

Soru Kalıp Dağılımı

Kalıp	Sıklık	Zorluk
Denklem–merkez–yarıçap dönüşümü	Çok sık	Kolay
Noktanın çember üzerinde/içinde olma koşulu	Sık	Kolay-Orta
Eksenlere teğet çemberlerde yarıçap toplamı	Sık (2022 AYT)	Orta
Çember–doğru kesişim / teğet koşulu	Sık (2021 AYT)	Orta-Zor
İki çember konumu (en kısa uzaklık, teğet)	Orta sık	Orta
Kirişler dörtgeni + analitik	Az ama seçici	Zor
Hikayeli / şekilli (tablo, bahçe, kağıt katlama)	Artıyor	Orta-Zor

Strateji — Sınavda Zaman Yönetimi

1. Şekli çiz. Soru şekil vermese bile kaba da olsa bir çember, merkez ve verilen noktayı çiz. Şekli gören beyin daha hızlı çözer.
2. Verileri yaz. Merkez, yarıçap, teğet noktası, verilen nokta — hepsini işaretle. Neyin verildiği, neyin arandığı netleşsin.
3. Tanıdık şeyi bul. Pisagor, özel üçgen (30-60-90 / 45-45-90), yarıçap-teğet dikliği, çapı gören açı 90°. Bunlardan biri mutlaka sorunun içindedir.
4. Formüle inmeden önce dene. Çoğu soru iki nokta arası uzaklık + Pisagor + özel üçgenle çözülür. Ağır formül hesabı yerine şekle dayalı çözüm çoğu zaman daha hızlı.
5. Kontrol et. Yarıçap negatif çıktıysa hata var. Merkez şeklin uygun bölgesinde değilse bir yerde işaret yanlış.

AYT/TYT Farkı

TYT'de çember analitiği sorusu genellikle şekillidir, bir-iki adımda çözülür. Verilen bilgilerden birini yarıçap olarak tanımlamak yeterlidir. AYT Matematik'te ise ikinci dereceden denklem çözümü, delta analizi, parametre aralığı sorulur; daha kağıt kalem çalışması gerektirir.