TYT Matematik — Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları (YKS 2026)

Üçgende açı-kenar bağıntıları, tek bir cümle ile özetlenebilir: Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur. Bu ilke hem açılardan kenarlara hem de tersi yönde kenarlardan açılara geçerlidir. Kenarlar birbirine eşitse karşısındaki açılar da eşittir; açılar birbirine eşitse karşısındaki kenarlar da eşittir. Yani ilişki çift yönlü ve tam bir karşılık barındırır.

İlişkinin Sezgisel Açıklaması

Bir üçgen düşün. Bir köşesindeki açıyı iki kenar çevreler. Bu iki kenarın kolları arasında ne kadar büyük açı varsa, karşıdaki üçüncü kenarın açılmak zorunda olduğu mesafe de o kadar artar. Köşede açıyı büyüttükçe kollar arasındaki "makas" açılır; karşıdaki kenar mecburen uzar. Geometride bu, üçgen kongrüanslığının kenar-açı-kenar (KAK) ve kenar-kenar-kenar (KKK) kriterlerinin bir sonucudur; fakat TYT düzeyinde niye böyle'den çok nasıl kullanılır önemlidir.

En Büyük Açının Özel Durumu: Geniş Açı

Bir üçgende 90°'den büyük bir açı (geniş açı) varsa, o açı o üçgenin en büyük açısıdır. Nedeni basittir: Bir üçgenin iç açıları toplamı 180°'dir. Bir açı zaten 90°'den fazla yer kaplıyorsa, geriye kalan iki açı toplamı 90°'den az olmak zorunda, dolayısıyla hiçbiri tek başına geniş açıdan büyük olamaz. Aynı mantık dik üçgen için de geçerli: 90°'lik açı üçgenin en büyük açısıdır ve karşısındaki kenar (hipotenüs) en büyük kenardır.

Bir soru sana sadece "üçgende bir köşede 100° var" dese ve diğer iki açı verilmese bile, o 100°'nin gördüğü kenarın o üçgendeki en büyük kenar olduğunu hemen söyleyebilirsin. Bu küçük gözlem bir çok soruyu birkaç saniyede çözer.

Çözümlü Örnek 1 — Doğrudan Açı Sıralamasından Kenar

Bir ABC üçgeninde  = 80°, B̂ = 60°, Ĉ = 40° veriliyor. En uzun kenar hangisidir?

1. En büyük açı Â = 80°'dir.
2. Â'nın karşısındaki kenar a, yani BC kenarıdır.
3. Demek ki BC kenarı en uzun kenardır.
4. Sıralama: BC > AC > AB.

Doğrulama: 80 + 60 + 40 = 180°. İç açı toplamı geçerli. ✓

Açı-kenar ilişkisinin en kritik — ve en çok hata yapılan — noktası şudur: Büyük açı = büyük kenar kıyaslaması yalnızca aynı üçgen içinde geçerlidir. Farklı üçgenlere ait iki kenarı, onları gören açıların büyüklüklerine bakarak kıyaslayamazsın.

Ortak Kenar Tekniği: İki Üçgen Nasıl Zincirlenir?

İki komşu üçgen arasında bir kıyaslama yapmak istiyorsan köprü kurman gereken şey ortak kenardır. Yani iki üçgenin paylaştığı kenarı bir merdiven basamağı gibi kullanırsın: Birinci üçgende ortak kenar ile aranan kenarı kıyaslarsın, sonra ikinci üçgende ortak kenarı aranan diğer kenarla kıyaslarsın, sonunda zinciri birleştirirsin.

Çözümlü Örnek 2 — Ortak Kenar ile Zincirleme

Bir şekilde ABC ve BCD üçgenleri BC kenarını ortak kullanıyor. Â = 100° (ABC üçgeninde), D̂ = 70° (BCD üçgeninde), diğer açılardan biri 45°'den küçük. En uzun kenar hangisidir?

1. ABC üçgeninde  = 100° geniş açıdır → bu üçgenin en büyük kenarı BC olur (100°'nin karşısı).
2. BCD üçgeninde D̂ = 70°, ama diğer açılardan birinin 70°'den daha büyük olduğu veriliyorsa o üçgende 70°'nin karşısı en büyük kenar olmayabilir. Burada BCD üçgeninin en büyük kenarını bulmak için açıları doldurup karşılaştırmak gerekir.
3. Diyelim ki BCD üçgeninde en büyük açı D̂'den farklı bir açı. Bu açının karşısındaki kenar CD (örneğin) çıktıysa, CD'nin BC'den büyük olduğunu bilmek için iki üçgenin ortak kenarını zincire koyarız.
4. Zincir: CD > BC (ikinci üçgende) ve BC > AB (birinci üçgende; çünkü BC orada da en büyük). O halde CD > BC > AB. En uzun kenar CD'dir.

Çözümlü Örnek 3 — Açı Tamamlama + Ortak Kenar

Bir üçgende iki açı 65° ve 60° verilmiş, üçüncü açı 180 − 65 − 60 = 55°. İkinci bir komşu üçgende iki açı 70° ve 41° verilmiş, üçüncü açı 180 − 70 − 41 = 69°. İki üçgenin ortak kenarı BC. En uzun kenar?

1. Birinci üçgende açılar 60°, 65°, 55° → en büyük açı 65°, bu açının karşısındaki kenar en uzun. BA > BC > CA (örnek sıralama, açılara göre).
2. İkinci üçgende açılar 70°, 69°, 41° → en büyük açı 70°, bu açının karşısındaki kenar en uzun.
3. Eğer ortak kenar BC birinci üçgende 60°'nin karşısı, ikinci üçgende 41°'nin karşısı ise, birinci üçgende 65°'nin gördüğü kenar BC'den büyük, ikinci üçgende 70°'nin gördüğü kenar da BC'den büyük.
4. Sonuçta en uzun kenar, her iki üçgende BC'den büyük olan ve daha büyük açıyı karşılayan kenardır.

Bu tarz soruların püf noktası: ortak kenar her zaman kıyaslamanın orta halkasıdır. Sağdaki üçgene geçip sonuçlandırmaya çalışmadan önce, bir sonraki bağa aktarılacak bilgiyi ortak kenar üzerinden sabitle.

Dış açı teoremi, açı-kenar bağıntılarının en güçlü yardımcısıdır. Teorem şunu söyler: Bir üçgenin bir dış açısı, o dış açıyı oluşturan köşeye komşu olmayan iki iç açısının toplamına eşittir. Yani iki iç açının toplamı bir dış açıya eşittir. Kısaca "iki için toplamı bir dışta".

Dış Açı Neden Önemli?

Dış açı teoremi bir açının, başka bir açıdan daha büyük olduğunu kanıtlamak için çok kullanışlı bir araçtır. Eğer bir açı başka bir açının üstüne eklenen bir miktar ile yazılabiliyorsa, o açı diğerinden kesin olarak büyüktür. Çünkü pozitif bir miktar eklemek sayıyı büyütür, küçültmez.

Çözümlü Örnek 4 — Dış Açı ile Açı-Kenar

ABC bir üçgendir. D noktası BC kenarı üzerindedir. ADE açısı (dış açı) 6 kenarını görürken, A açısı x kenarını görmektedir. Â = A açısı, ADE = A + B dış açı. x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

1. Dış açı teoreminden ADE = A + B olduğu için ADE > A.
2. ADE açısı 6'yı görür, A açısı x'i görür. Aynı üçgende büyük açı büyük kenarı görüyorsa, ADE > A → 6 > x.
3. x için büyük sınır: x < 6. En büyük tam sayı değeri 5.

Çözümlü Örnek 5 — İç Açı Toplamı ile Dış Açı

Bir ABC üçgeninin iç açıları Â, B̂, Ĉ olmak üzere  + B̂ > 5 · Ĉ bağıntısı veriliyor. Ĉ'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

1. Üçgende  + B̂ + Ĉ = 180°, yani  + B̂ = 180° − Ĉ.
2. Verilen eşitsizliğe koyarsak: 180° − Ĉ > 5Ĉ.
3. Düzenlersek: 180° > 6Ĉ → Ĉ < 30°.
4. Ĉ'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 29°.

Doğrulama: Ĉ = 29° ise 6 × 29 = 174 < 180. ✓ Ĉ = 30° ise 180 = 180, kesin eşitsizlik sağlanmaz. ✓

Çözümlü Örnek 6 — Dış Açı Zinciri ile Dörtlü Sıralama

Bir şekilde A, B, C, D açıları üst üste üçgenlerde yer alıyor. Her açı, bir öncekinin dış açısı olarak oluşuyor. Sıralamayı yap.

1. Bir üçgende A + x = B (dış açı) → B > A.
2. Bir sonraki üçgende B + y = C → C > B.
3. Üçüncüde C + z = D → D > C.
4. Zincir: D > C > B > A.

Dış açı mantığı, her katmanda yeni bir açı eklendiği için büyüme zincirini otomatik olarak garanti eder. Bu tarz "4 açıyı sırala" soruları, dış açı teoreminin en kalıp kullanımıdır.

Üçgen eşitsizliği, açı-kenar bağıntılarının en temel teoremidir. Bir üçgen ABC'de her kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük ve farklarının mutlak değerinden büyüktür:

|b − c| < a < b + c
|a − c| < b < a + c
|a − b| < c < a + b

Neden mutlak değer? Çünkü iki kenarın farkı büyükten küçüğe mi, yoksa küçükten büyüğe mi yapıldığını bilmeyiz. Her iki durumda da fark pozitif olmalıdır, bu yüzden mutlak değer kullanılır.

Sayısal Doğrulama: Klasik 3-4-5 Üçgeni

Pisagor üçgeninin kenarları 3, 4, 5. Üçgen eşitsizliğini sağlıyor mu?

• |4 − 3| < 5 < 4 + 3 → 1 < 5 < 7 ✓
• |5 − 3| < 4 < 5 + 3 → 2 < 4 < 8 ✓
• |5 − 4| < 3 < 5 + 4 → 1 < 3 < 9 ✓

Üç bağıntı da sağlanıyor. 3-4-5 gerçek bir üçgendir.

Sayısal Karşı Örnek: 2-3-6

Kenarları 2, 3, 6 olan bir üçgen oluşabilir mi?

• |3 − 2| < 6 < 3 + 2 → 1 < 6 < 5 — Sağ taraf yanlış. 6 sayısı 5'ten küçük değil.

Üçgen eşitsizliği tek bir bağıntıda bile bozulduğu için 2-3-6 kenarlı üçgen oluşmaz. İki kısa kenar (2 + 3 = 5) en uzun kenarı "yakalayamadığı" için birleşemezler.

Mnemonic: "Fark < Kenar < Toplam"

Sözel olarak ezberlenmesi en kolay kalıp şudur: Fark, kenar, toplam. Herhangi bir kenarı ortaya al; farkların mutlak değeri solunda, toplam sağında. |b − c| < a < b + c.

Üçgen Eşitsizliğinin Kısa Versiyonu

Pratikte sınav sorularında mutlak değer kullanmadan hızlıca şöyle yazılır: "Bilinmeyen kenar, iki bilinen kenarın büyüğünden küçüğü çıkarılmış haliyle, toplamı arasında". Yani eğer b > c ise:

b − c < a < b + c

Çünkü |b − c|, b ve c'den büyük olanın küçüğünü çıkarılmış halidir.

Üçgen eşitsizliği sorularının en klasik kalıbı şudur: İki kenar verilir, üçüncü bilinmeyendir (x). x'in alabileceği değerler sorulur. Bu sorularda bilinmeyeni ortaya al, diğer iki kenarı eşitsizliğin iki tarafına yerleştir.

Çözümlü Örnek 7 — Kaç Farklı Tam Sayı

ABC üçgeninde AB = 4 birim, AC = 7 birim. BC = x. x'in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

1. Üçgen eşitsizliği: |7 − 4| < x < 7 + 4 → 3 < x < 11.
2. Tam sayı değerleri: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
3. Sayım: 7 tane tam sayı değeri.

Doğrulama: Aritmetik diziden n = (10 − 4)/1 + 1 = 7. ✓

Çözümlü Örnek 8 — Ek Kısıt: Açı Bilgisi

ABC üçgeninde AB = 5, AC = 4, BC = x. B̂ > Ĉ olduğuna göre x kaç farklı tam sayı değeri alır?

1. Üçgen eşitsizliği: |5 − 4| < x < 5 + 4 → 1 < x < 9. Tam sayı adayları 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
2. Ek kısıt: B̂ > Ĉ. B̂'nin karşısı AC = 4 kenarı (yani b)? Hayır, B̂'nin karşısı AC, yani b = 4. Ĉ'nin karşısı AB = 5, yani c = 5. Burada bir nokta önemli: büyük açının karşısında büyük kenar olmalı. Eğer B̂ > Ĉ ise b > c, yani AC > AB → 4 > 5? Bu sağlanmaz.
3. Düzeltme: Soruyu yeniden yorumla. Diyelim soru aslında şöyle: BC = x, AC = 5, AB = 4. Ve B̂ > Ĉ. O zaman B̂'nin karşısı AC = 5'e bakar; Ĉ'nin karşısı AB = 4'e bakar. B̂ > Ĉ ise AC > AB → 5 > 4 ✓. Ama bu, x için yeni bir kısıt üretmiyor. Doğru kullanım: Soru  > Ĉ derse, Â'nın karşısı BC = x, Ĉ'nin karşısı AB = 4. Böylece x > 4 ek kısıtı oluşur.
4. Diyelim ek kısıt x > 4. Kesişim: 1 < x < 9 ve x > 4 → 4 < x < 9.
5. Tam sayı adayları: 5, 6, 7, 8. Sayım: 4 tane.

Doğrulama: x = 5 → kenarlar 4, 5, 5; üçgen oluşur. x = 8 → 4, 5, 8; |5 − 4| = 1 < 8 < 9 ✓.

Çözümlü Örnek 9 — Dik Üçgen Kısıtı

Bir dik üçgende dik kenarlar 7 birim ve bir başka kenar bilinmiyor. Hipotenüs x olmak üzere, x'in alabileceği tam sayı değerleri kaçtır?

1. Kenarlar 7 ve ikinci dik kenar — diyelim 4 birim. x hipotenüs.
2. Üçgen eşitsizliği: |7 − 4| < x < 7 + 4 → 3 < x < 11.
3. Ek kısıt: Hipotenüs, dik üçgenin en büyük kenarıdır (90° en büyük açıdır). Bu yüzden x > 7.
4. Kesişim: 7 < x < 11 → tam sayı adayları 8, 9, 10.
5. Sayım: 3 tane. Ama ÖSYM bu tarz soruda kenar uzunluklarını Pisagor'a da uyum sağlamasını isteyebilir; eğer sadece üçgen eşitsizliği ve "hipotenüs en büyük kenar" kısıtı kullanıldıysa sonuç 3'tür.

Bir şekilde iki komşu üçgen var ve ortak bir kenarın uzunluğu bilinmiyor. Her iki üçgenden ayrı ayrı üçgen eşitsizliği yazıldığında ortak kenar için iki farklı aralık çıkar. Gerçek aralık, bu ikisinin kesişimidir.

Çözümlü Örnek 10 — Ortak Kenar için Kesişim

Bir şekilde ortak kenar x. Soldaki üçgenin diğer iki kenarı 3 ve 5. Sağdaki üçgenin diğer iki kenarı 4 ve 7. x'in alabileceği tam sayı değerleri?

1. Soldaki üçgen: |5 − 3| < x < 5 + 3 → 2 < x < 8.
2. Sağdaki üçgen: |7 − 4| < x < 7 + 4 → 3 < x < 11.
3. Kesişim: Alt sınır için büyük olanı, üst sınır için küçük olanı al.
   • Alt: max(2, 3) = 3.
   • Üst: min(8, 11) = 8.
   Sonuç: 3 < x < 8.
4. Tam sayı adayları: 4, 5, 6, 7 → 4 tane.

Sayı Doğrusu ile Görselleştirme

İki aralığı sayı doğrusunda üst üste çizmek de işe yarar. İlk aralığı üstte (2, 8), ikinci aralığı altta (3, 11) olarak göster. İki aralığın çakıştığı (üst üste bindiği) kısım kesişimdir: (3, 8). Sayı doğrusu yöntemi, aralıkları görselleştirmek isteyen öğrenciler için daha sezgisel, fakat vakit açısından "küçüğün büyüğü — büyüğün küçüğü" kuralı daha hızlıdır.

Çözümlü Örnek 11 — Dörtgen İçinde Ortak Kenar

Bir dörtgen ABCD'de köşegen AC = x. Üçgenler ABC ve ACD. AB = 6, BC = 8, AD = 10, CD = 4. x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri?

1. ABC: |8 − 6| < x < 8 + 6 → 2 < x < 14.
2. ACD: |10 − 4| < x < 10 + 4 → 6 < x < 14.
3. Kesişim: 6 < x < 14.
4. x'in en büyük tam sayı değeri: 13.

Çözümlü Örnek 12 — 4 Evin Konumu (Çoklu Üçgen)

A, B, C, D dört ev. Aralarındaki mesafeler verilmiş: AB = 7, BC = 6, AC = 10, CD = 4, BD = x. Herhangi üç ev doğrusal değildir. x'in en büyük ve en küçük tam sayı değerleri toplamı kaçtır?

1. Üçgen ABC ile BD arasında doğrudan ilişki yok; ama BCD ve ABD üçgenleri kullanılabilir.
2. BCD: kenarları 6, 4, x. Üçgen eşitsizliği: |6 − 4| < x < 6 + 4 → 2 < x < 10.
3. ABD: kenarları 7, x, AD. Burada AD için bir ayrı aralık lazım ki soru bunu veriyor olmalı (şekle bağlı). Öyle bir varyant: 7 ve 13 kenarlı üçgende |13 − 7| < x < 20 → 6 < x < 20.
4. Kesişim: max(2, 6) < x < min(10, 20) → 6 < x < 10 (bu, kaynaktaki versiyonu daraltılmış hali; tamsayılar 7, 8, 9).
5. Transcript kalıbında: 1 < x < 13 ve 6 < x < 14 örnek aralıklarından kesişim 6 < x < 13, tam sayı değerleri 7-12, en büyük 12, en küçük 7, toplam 19.

Bazı sorularda üçgenin iki kenarı bilinmeyen, tek kenar biliniyor olur. Örneğin bir kenar x, diğer kenar 2x, üçüncü kenar 9 birim. Böyle durumlarda hangi eşitsizliği yazmalı? Yöntem: Bilineni ortaya al.

Çözümlü Örnek 13 — Bilineni Ortaya Al

ABC üçgeninin kenarları x, 2x ve 9 birim. x'in alabileceği değer aralığı kaçtır?

1. Bilineni ortaya al: |2x − x| < 9 < 2x + x → x < 9 < 3x.
2. Sol bağıntı: x < 9.
3. Sağ bağıntı: 9 < 3x → x > 3.
4. Sonuç: 3 < x < 9.

Çözümlü Örnek 14 — Çevrenin Aralığı

Yukarıdaki üçgende çevrenin alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerleri nedir?

1. Çevre: P = x + 2x + 9 = 3x + 9.
2. KRİTİK: Soru x'in tam sayı olduğunu söylemiyor! x reel sayı olabilir. Dolayısıyla x için 4, 5, 6, 7, 8 değerlerini tek tek koyup çevre değerlerini listelemek yanlış olur.
3. Doğru yöntem: x'in aralığını çevreye taşı. 3 < x < 9 ise her tarafı 3 ile çarp: 9 < 3x < 27. Şimdi 9 ekle: 18 < 3x + 9 < 36.
4. Çevre aralığı: 18 < P < 36.
5. En büyük tam sayı değeri: 35. En küçük tam sayı değeri: 19.

Çevre Hesaplamada Doğru Refleks

Bir üçgende çevrenin aralığını bulmak için:

1. Önce x (veya bilinmeyen kenar) için aralığı bul.
2. Çevreyi x cinsinden yaz (P = f(x)).
3. x'in aralığını f(x)'in aralığına dönüştür. Yani eşitsizliğin her tarafını çevreyi üretecek şekilde çarp/topla.
4. Çevre aralığının uçlarındaki tam sayıları al.

Çözümlü Örnek 15 — Uzaklık Sorusu

Ahmet'in evi markete 4 km uzakta. Okul ile ev arası x, okul ile market arası y. Okul-ev ve okul-market uzaklıklarının toplamının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

1. Üçgen eşitsizliği (4 ortada): |x − y| < 4 < x + y.
2. Sağ bağıntı: x + y > 4.
3. x + y'nin en küçük tam sayı değeri: 5.

Doğrulama: x + y = 5 iken x = 3, y = 2 gibi bir örnek düşünülebilir; |3 − 2| = 1 < 4 < 5 ✓. x + y = 4 olursa üçgen dejenere olur (üç nokta doğrusal), dolayısıyla 4 değildir.

Üçgen eşitsizliği doğrudan görünmeyen bazı geometrik yapılar içinde saklıdır. Katlama, açıortay (iç veya dış), ikizkenar tepelerden inen yükseklik, simetrik yansıma gibi durumlar eşit uzunluklar üretir — bunlar üçgen eşitsizliğine dönüştürülmek üzere kullanılabilir.

Çözümlü Örnek 16 — Katlama Sonrası Üçgen Eşitsizliği

Bir ABC üçgeni AD doğrusu boyunca katlanmış. Katlamadan önce B köşesi, katlamadan sonra AC üzerindeki B' noktasına gelmiş. DC = 5 birim. BD'nin en büyük tam sayı değeri?

1. Katlama özelliği: AB = AB' ve BD = B'D. Katlama ekseni AD bir açıortay görevi görür.
2. Açıya α (BAD), β (ADB) deyip aynı değerleri B' tarafına da yansıt.
3. ADB üçgeninden dış açı: ADC dış açısı α + β'dır. Benzer mantıkla BDB' üçgeninde dış açı 2α + β çıkar.
4. DBC üçgeninde dış açı 2α + β'nin karşısındaki kenar 5, β'nin karşısındaki kenar x = BD.
5. 2α + β > β olduğu için 5 > x → x < 5.
6. En büyük tam sayı değeri: 4.

Çözümlü Örnek 17 — Dik Gelen Doğru (Daki Teknik)

Bir üçgende bir köşeden karşı kenara inen bir doğru, karşı kenarı iki eşit parçaya ayırıyor ve dik iniyor. (D noktası kenarın ortası + AD ⊥ BC). Bu durumda ABD ve ACD üçgenleri eştir → AB = AC. Yani üçgen ikizkenardır.

Bir şekilde kenarlardan biri 4, başka bir kenar 7 birim. Dik + ikiye bölünme tekniği (dakİ) ile eşit olan iki kenar AB = AC = 7 çıkmıştır. BC = x. x'in en büyük tam sayı değeri?

1. İkizkenar üçgende kenarlar: 7, 7, x.
2. Üçgen eşitsizliği: |7 − 7| < x < 7 + 7 → 0 < x < 14. Hmm bu çok geniş.
3. Aslında soru daha dar: iki kenar 4 ve 7 verilmiş, daki tekniğiyle 7 = 7 çıkmış, x'in aralığı 4'e karşı çıkmış. |7 − 4| < x < 7 + 4 → 3 < x < 11.
4. En büyük tam sayı değeri: 10.

Çözümlü Örnek 18 — Orta Taban ile Genişletme

D ve E, AC ve BC kenarlarının orta noktaları. DE ∥ AB ve DE = AB/2 (orta taban özelliği). Bir şekilde DE'nin bulunduğu küçük üçgende kenarlar 4 ve 5 verilmiş; x = DE. AB'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri?

1. Küçük üçgende x için üçgen eşitsizliği: |5 − 4| < x < 5 + 4 → 1 < x < 9.
2. Orta taban: AB = 2x.
3. Her tarafı 2 ile genişlet: 2 < 2x < 18 → 2 < AB < 18.
4. AB'nin en büyük tam sayı değeri: 17.

Pisagor teoremi sadece dik üçgenlerde geçerlidir: a² = b² + c² (a hipotenüs). Ama açı tam 90° değilse ne olur? Bu durumda Pisagor eşitsizliği devreye girer.

Sezgisel Açıklama

Bir üçgen düşün. İki kenar sabit, aradaki açı değişiyor. Açı 90° iken karşı kenar √(b² + c²) uzunluğundadır. Açıyı 90°'den küçültürsen (dar hale getirirsen), iki kenar birbirine "yaklaşır", karşı kenar kısalır — bu yüzden karesi azalır: a² < b² + c². Açıyı 90°'den büyütürsen (geniş açı), iki kenar "uzaklaşır", karşı kenar uzar: a² > b² + c².

Çözümlü Örnek 19 — Geniş Açı ile Pisagor Eşitsizliği

ABC bir üçgendir. Â > 90°, AB = 3, AC = 4, BC = x. x'in tam sayı değeri kaçtır?

1. Önce üçgen eşitsizliği: |4 − 3| < x < 4 + 3 → 1 < x < 7.
2. Â > 90° olduğu için Pisagor eşitsizliği: x² > 3² + 4² = 9 + 16 = 25 → x > 5.
3. Kesişim: max(1, 5) < x < 7 → 5 < x < 7.
4. Tam sayı değeri: 6.

Doğrulama: x = 6. Kenarlar 3, 4, 6. Üçgen eşitsizliği: 1 < 6 < 7 ✓. Pisagor: 6² = 36 > 25 ✓. Geniş açılı üçgen sağlar.

Çözümlü Örnek 20 — Dar Açı (B̂ < 90°)

ABC üçgeninde B̂ < 90°, AB = 4, BC = 7, AC = x. x'in kaç farklı tam sayı değeri vardır?

1. Üçgen eşitsizliği: |7 − 4| < x < 7 + 4 → 3 < x < 11.
2. B̂ < 90° → B̂'nin karşısı AC = x. Dar açı kuralı: x² < 4² + 7² = 16 + 49 = 65.
3. Hımmm — işte püf nokta: Dar açı x²'nin KÜÇÜK olmasını verir, yani x² < 65 → x < √65. √65 ≈ 8.06.
4. Ama kaynaktaki örnekte şöyle: Açı B 90°'den küçükken Pisagor'un düz formunda b² = a² + c² eşitliği yerine b² < a² + c² olmaz; burada dikkat — Pisagor kenarları farklı. Yeniden düzenleyelim: B açısının karşısı AC = x. Pisagor'un klasik formatında "kenarın gördüğü açı 90° olsaydı x² = 4² + 7² = 65". Ama B açısı dar olduğu için karşı kenarın karesi daha küçük olmaz — tam tersi, eşitsizlik yönü kenarın karşısındaki açı yönüne bağlıdır. Doğru: x² < 4² + 7² → x² < 65 → x < √65.
5. Transcript versiyonunda 7² = 49 = 4² + x², B açısı dar olduğu için 49 < 16 + x² → x² > 33 → x > √33 ≈ 5.74. Bu, B açısının 7 kenarını gördüğü durum için geçerli. Açının karşısındaki kenarın hangisi olduğu kritik.
6. Kesişim: max(3, √33) < x < 11 → 5.74 < x < 11. Tam sayı adayları: 6, 7, 8, 9, 10.
7. Sayım: 5 tane.

Dar Açılı Üçgenin Özel Durumu: Tüm Açılar Dar

Eğer üçgenin tüm açıları dar ise (dar açılı üçgen), her üç köşe için ayrı ayrı Pisagor eşitsizliği yazabilirsin. Bu genellikle x için aralığı daha fazla daraltır. Örneğin bir kenar için x > √5, bir kenar için x < √13 gibi iki kısıt birden çıkar.

Diklik Merkezi ve Dar Açılı Üçgen

Bir üçgenin diklik merkezi (yüksekliklerin kesim noktası) üçgenin içinde ise üçgen dar açılıdır. Diklik merkezi kenar üzerinde ise dik açılı; üçgenin dışında ise geniş açılıdır. Sorunun "diklik merkezi içindedir" demesi, "bu üçgen dar açılıdır" anlamına gelir ve tüm üç Pisagor eşitsizliğini birden kullanmaya izin verir.

İkizkenar üçgende iki kenar eşit, karşılarındaki iki açı da eşittir. Bu basit ilke, açı-kenar sorularında çok güçlü bir kısıt sağlar.

Temel Özellik: Eşit İki Kenar = Eşit İki Açı

Bir ABC üçgeninde AB = AC ise B̂ = Ĉ. Tersi de doğrudur: B̂ = Ĉ ise AB = AC. Tepe noktası A'daki açı Â, taban açıları B̂ ve Ĉ'dir.

İkizkenar Üçgenin Geniş Açısı Nerede?

İkizkenar üçgende geniş açı olabilir, ancak bu geniş açı tek başına tepe açısıdır, iki taban açısından biri olamaz. Örneğin taban açıları 30°-30° olan bir üçgenin tepe açısı 120° olur — bu geniş açıdır.

Çözümlü Örnek 21 — İkizkenar + Pisagor Eşitsizliği

İkizkenar ABC üçgeninde AB = AC = 8, BC = x, tepe açısı Â = 4 (geniş açı). x'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

1. Önce üçgen eşitsizliği: |8 − 8| < x < 8 + 8 → 0 < x < 16. Geniş aralık. Daraltılmalı.
2. Taban açıları eşit ve dar. Tepe açısı geniş → Â > 90°. Pisagor eşitsizliği: x² > 8² + 8² = 128 → x > √128.
3. √128 = √(64 × 2) = 8√2 ≈ 11.31.
4. x'in üst sınırı: x < 16 (üçgen eşitsizliği). Transcript'te 4 ve 12 örneği üzerinden 4 < x < 12 aralığı alındı; onu kullanarak: x > 8√2 ≈ 11.31 ama x < 12, tam sayı yok...
5. Transcript'teki sayısal örnek: AB = AC = 8, BC = 4 (verilmiş), başka kenar x. Üçgen eşitsizliği: 4 < x < 12. Pisagor eşitsizliği: x² > 80 → x > √80 ≈ 8.94. Kesişim: 8.94 < x < 12. Tam sayılar: 9, 10, 11. Toplam: 30.

Çözümlü Örnek 22 — İkizkenar + Açıortay

ABC üçgeninde BD = 8, DC = 15. BD ve CD iç açıortaylar. AD (tepe açıortayı) x. x'in en küçük tam sayı değeri?

1. İki iç açıortayın kesim noktasındaki açı: α tepe açısı iken iki iç açıortayın arası 90° + α/2'dir. Bu açı daima 90°'den büyüktür, yani geniş açıdır.
2. Üçgen eşitsizliği: |15 − 8| < x < 15 + 8 → 7 < x < 23.
3. Pisagor eşitsizliği (geniş açı → x geniş açının karşısı): x² > 8² + 15². 8-15-17 özel üçgeni tanıdık: 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17². Yani eğer açı dik olsaydı x = 17. Geniş olduğu için x > 17.
4. Kesişim: 17 < x < 23.
5. En küçük tam sayı değeri: 18.

Çözümlü Örnek 23 — İkizkenar Üçgen Oluşturma (10 birim çubuk)

10 birim uzunluğundaki bir çubuk üçe bölünüp kenarları tam sayı olan bir ikizkenar üçgen oluşturuluyor. Kaç farklı ikizkenar üçgen olasıdır?

1. İkizkenar olmayan kenar (taban) t, eşit kenarlar k. t + 2k = 10. t çift olmalı (çünkü t = 10 − 2k çift çıkar).
2. Olası t değerleri: 2, 4, 6, 8.
   • t = 2 → k = 4. Kenarlar 2, 4, 4. Üçgen eşitsizliği: |4 − 4| = 0 < 2 < 8 ✓. Üçgen oluşur.
   • t = 4 → k = 3. Kenarlar 4, 3, 3. |3 − 3| = 0 < 4 < 6 ✓. Üçgen oluşur.
   • t = 6 → k = 2. Kenarlar 6, 2, 2. |2 − 2| = 0 < 6 — ama 2 + 2 = 4 < 6! Yani 6 < 4 koşulu sağlanmıyor. Üçgen oluşmaz.
   • t = 8 → k = 1. Kenarlar 8, 1, 1. 1 + 1 = 2 < 8. Oluşmaz.
3. Sadece t = 2 ve t = 4 geçerli. Cevap: 2 farklı ikizkenar üçgen.

Bir üçgenin aynı kenara inen yardımcı elemanları arasında sabit bir sıralama vardır:

Yükseklik ≤ Açıortay ≤ Kenarortay

Nedeni: Yükseklik, bir noktadan bir doğruya en kısa mesafedir (dik iniş). Açıortay, açıyı ortalayan içsel bir doğru parçasıdır ve yükseklikten daha uzun ama kenarortaydan daha kısadır. Kenarortay, köşeyi karşı kenarın orta noktasına bağlar ve üçüncüsü en uzunudur (eşkenar üçgen hariç; orada üç elemanın üçü de çakışır).

Çeşitkenar Üçgende Sıralama

Bütün kenarları ve açıları farklı olan bir üçgende her kenar için bu üç eleman farklıdır.

Çözümlü Örnek 24 — Sıralama

ABC üçgeninde AB = 6, BC = 8, AC = 9. Yükseklikleri sırala.

1. Kenarlar: c = 6 (AB), a = 8 (BC), b = 9 (AC).
2. Açılar (büyükten küçüğe): B̂ > Â > Ĉ (çünkü b > a > c).
3. Yükseklikler ters: h_b < hₐ < h_c, yani AC'ye inen yükseklik en küçük, AB'ye inen en büyük.

Çözümlü Örnek 25 — Karışık Sıralama

Bir çeşitkenar ABC üçgeninde h_b = V_c (B kenarına inen yükseklik, C kenarına inen kenarortay). Hangi kenar en büyüktür?

1. Aynı kenara ait yükseklik, kenarortaydan küçüktür: h_b < V_b.
2. Verilenden h_b = V_c. Yani V_c = h_b < V_b → V_c < V_b.
3. Kenarortay sıralaması açıların tersi: V_c < V_b ise Ĉ > B̂.
4. Ĉ > B̂ → c > b, yani AB > AC.

İç Noktadan Köşelere Olan Uzaklıklar

Bir üçgenin içindeki herhangi bir P noktasından üç köşeye çizilen doğru parçalarının toplamı (PA + PB + PC) şu aralıktadır:

Çevre / 2 < PA + PB + PC < Çevre

Çözümlü Örnek 26 — İç Nokta Toplamı

Çevresi 18 birim olan bir ABC üçgeninin içindeki bir P noktasından köşelere çizilen doğru parçalarının toplamının tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

1. Kural: 18/2 < PA + PB + PC < 18 → 9 < S < 18.
2. Tam sayı değerleri: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17.
3. Toplam: 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 = (10 + 17) × 8 / 2 = 27 × 4 = 108.
4. Ancak kaynakta "en küçük 10, en büyük 17, toplam 27" çıkmış — bu aralığın uç değerlerinin (alt + üst) toplamıdır, tüm değerlerin değil. Soruyu iyi oku: genellikle "alabileceği en küçük + en büyük" sorulur. Cevap: 10 + 17 = 27.

ÖSYM, üçgende açı-kenar bağıntılarını saf halde değil, diğer konularla (katlama, ikizkenar, benzerlik, Pisagor) karıştırarak sorar. Bu tarz sentez sorularını çözmek için önce verilen özelliği sade hale getir, sonra üçgen eşitsizliği ve Pisagor eşitsizliğini sırayla uygula.

2019 TYT Çıkmış: Ortalama Üçgen

Tanım: Bir üçgenin kenarlarından birinin uzunluğu diğer iki kenarın aritmetik ortalamasına eşit ise bu üçgene "ortalama üçgen" denir. Yani kenarlar a, b, c iken örneğin a = (b + c)/2.

Öncüller:

1. Kenarları 1, 3, x olan üçgen ortalama üçgen olabilir mi?
2. Kenarları a, a, b olan (ikizkenar) ve açıları 70°, 70°, 40° olan bir üçgen ortalama üçgen olabilir mi?
3. Kenarları 1, x, y ve  = 90° olan dik üçgen ortalama üçgen olabilir mi?

Çözüm — Öncül 1:

1. Kenarlar 1, 3, x. Üçgen eşitsizliği: |3 − 1| < x < 3 + 1 → 2 < x < 4.
2. Ortalama koşulu: x = (1 + 3)/2 = 2. Ama x > 2'den kesinlikle büyük olmalı, 2'ye eşit olamaz.
3. Sonuç: Öncül 1 yanlış. Bu üçgen ortalama üçgen olamaz.

Çözüm — Öncül 2:

1. Açılar 70°, 70°, 40°. Eşit açıların karşısındaki kenarlar eşittir — yani kenarlar a, a, b (40°'nin karşısı b).
2. Ortalama koşulu: b = (a + a)/2 = a. Yani a = b olmalı, üçgen eşkenar olmalı.
3. Ama eşkenar üçgenin tüm açıları 60°'dir, 70°-70°-40° değil. Çelişki.
4. Sonuç: Öncül 2 yanlış.

Çözüm — Öncül 3:

1. Dik üçgen. Dik kenar 1, diğer dik kenar x, hipotenüs y. Pisagor: 1 + x² = y².
2. Ortalama koşulu: 1 = (x + y)/2 → x + y = 2.
3. Pisagor: y² − x² = 1 → (y − x)(y + x) = 1 → (y − x) · 2 = 1 → y − x = 1/2.
4. Sistem: y + x = 2, y − x = 1/2. Topla: 2y = 2.5 → y = 5/4. x = 2 − 5/4 = 3/4.
5. Üçgenin kenarları: 3/4, 4/4, 5/4 = 3/4, 1, 5/4 — bu 3-4-5 özel üçgeninin 4'e bölünmüş halidir! Pisagor sağlar. Üçgen eşitsizliği de sağlanır.
6. Sonuç: Öncül 3 doğru. Ortalama üçgen olabilir.

Doğru cevap: Yalnız 3.

2021 TYT Çıkmış: Katlama ve Sıralama

Bir ABC üçgeni ED boyunca katlanıyor ve yeni konumlar oluşuyor. AC, AE, BD uzunluklarının doğru sıralamasını bul.

1. Katlamayı geri aç. ED katlama ekseni açıortay görevi görür. BD = AD (katlama ile köşe eşlenir).
2. Açıları yerleştir: katlama sonucu iç açılar bilinebilir (örn. 40°, 90°, 50°, 100°, 80°, 60°, 40° gibi — şekle bağlı).
3. Her üçgende açı-kenar ilişkisini uygula. Örn: bir üçgende AD 60°'yi, AC 80°'yi görüyor → AC > AD. BD = AD olduğu için AC > BD.
4. Başka bir üçgende AE 50°'yi, AD 90°'yi görüyor → AE < AD.
5. Sıralama: AE < AD = BD < AC. Yani AE en küçük, AC en büyük.

Çözümlü Örnek 27 — Dik Üçgende Noktadan Kenara Mesafe (TYT 2020 Kalıbı)

ABC dik üçgenindeki dik açı A'dadır. B̂ = 30°, BC = 20. D noktası BC üzerinde. AD'nin alabileceği değer aralığı?

1. 30-60-90 üçgeni. BC = 20 (hipotenüs), AC = 10 (30° karşısı), AB = 10√3.
2. D, BC üzerinde. A'dan BC'ye inen yükseklik en kısa AD'dir. Yükseklik = (AC × AB)/BC = (10 × 10√3)/20 = 5√3.
3. D en uzak konumda iken AD = AB = 10√3 (D, B ile çakıştığında).
4. Aralık: 5√3 ≤ AD < 10√3 (dik mesafe dahil, uç noktalar hariç).
5. Kontrol: (5√3)² = 75, (10√3)² = 300. AD = 4√7 ise (4√7)² = 112, aralıkta. AD = 10√2 ise (10√2)² = 200, aralıkta. Her ikisi de kabul edilir.

YKS 2019 itibariyle TYT'de yanlış cevap götürmez; yani boş bırakmak ile yanlış işaretlemek aynı etkide (0 puan). Bu, üçgen eşitsizliği gibi sorularda bile şans tahmini yerine sistematik çözüm yapmanın önemini artırır. Çünkü konuya hâkim bir öğrenci doğru değeri 30-60 saniyede bulabilir.

Soru Çözme Algoritması (7 Adım)

1. Şekli tanı: Tek üçgen mi, iki üçgenli mi, dörtgen/çoklu mu, katlama var mı?
2. Aynı üçgen / farklı üçgen kontrolü: İki kenarı kıyaslayacaksan aynı üçgende misin? Değilse ortak kenarı bul.
3. Dış açı uygulanabilir mi: Köşelerde doğru uzantısı var mı? Dış açı teoremi açı kıyaslamayı anında halleder.
4. Üçgen eşitsizliği yaz: Her bilinmeyen kenar için |a − b| < c < a + b. Birden fazla üçgen varsa her biri için ayrı.
5. Ek kısıt var mı: 90° (hipotenüs en büyük), dar açı (x² < ...), geniş açı (x² > ...), ikizkenar (eşit açılar), açıortay (iç açıların yarısı), orta taban (DE = AB/2).
6. Aralıkları kesiştir: "Küçüğün büyüğü, büyüğün küçüğü" kuralıyla alt ve üst sınırları daralt.
7. Tam sayı / reel sayı / oran: Soru hangi tür değer istiyor? Tam sayı için aralıktaki tam sayıları sil say; reel için aralığı olduğu gibi taşı; çevre gibi lineer ifadelerde x reel olabilir.

Sık Yapılan Hataların Kontrol Listesi

• Farklı üçgen tuzağı: Aynı üçgen içinde olmadığın iki kenarı açılar üzerinden kıyaslamak. → Mutlaka ortak kenarı kullan.
• Dejenere üçgen: a = b + c olursa üçgen oluşmaz, doğru olur. → Strict eşitsizlik kullan.
• Tam sayı varsayımı: Çevre sorusunda x'i tam sayı kabul edip çevreleri listelemek. → x reel ise aralığı çevrelere taşı.
• Pisagor eşitsizliği yönü: Dar açı (<), geniş açı (>) karıştırılır. → Mnemonic: "Dar sıkıştırır, geniş uzatır".
• Karekök yaklaşımı: √33 ≈ 5.74 yerine 6 almak. → Aralık dahil/hariç dikkatli.
• İkizkenar'da geniş açı: İki taban açısını geniş yapmaya çalışmak. → İki eşit açı daima dardır.
• Orta taban oranı: DE = AB/2 yerine DE = AB yazmak. → Orta taban yarı uzunluk.

Strateji Tablosu: Hangi Tip Soruda Ne Yapmalı?

Son Öneriler

1. Konuyu bitirince en az 25 soru çöz. Özellikle iki üçgenli ve katlama soruları üzerinde dur.
2. Üçgen eşitsizliğini her zaman önce yaz. Pisagor eşitsizliği sonradan gelir ve aralığı daraltır.
3. Aralık kesişimlerini sayı doğrusuyla görselleştir — özellikle iki üçgenli sorularda.
4. "Tam sayı" ifadesi yoksa x reel varsay. Çevre, alan gibi ifadelerin tam sayı olması x'in tam sayı olmasını gerektirmez.
5. Özel üçgenleri (3-4-5, 8-15-17 gibi) tanı ve 0 saniyede hipotenüs yaz.
6. ÖSYM'nin son yıllardaki trendi: katlama + açı-kenar. 2019 ve 2021 TYT sorularını mutlaka çöz.

Konu yoğun; soru anında hatırlamayı kolaylaştırmak için kısa kodları (akronim ve mnemonik) bir arada tut. Sınav stresinde tek satırlık çağrışım, üç satırlık formülden hızlı çalışır.

Sınav öncesi son tekrar için konunun tüm formüllerini ve özelliklerini bir arada bulundurduğun kompakt bir kart.

Üçgen Eşitsizliği

Açı-Kenar Bağıntısı

Pisagor ve Pisagor Eşitsizliği

Yardımcı Eleman Sıralaması

Üç Altın Mnemonik

1. "Fark < Kenar < Toplam" — Üçgen eşitsizliğinin özeti.
2. "Büyük Açı = Büyük Kenar" — Aynı üçgen içinde kıyaslama kuralı.
3. "Dar Sıkıştırır, Geniş Uzatır" — Pisagor eşitsizliğinde açı yönü.

Konunun tüm yapı taşlarını sınav anında yeniden bulabilmen için kompakt bir referans dizini. Öğrenmeyi tamamladıktan sonra burası senin "kontrol panelin" olur.

1. Üçgenlerin Açıya Göre Sınıflandırılması

• Dar açılı üçgen: Üç açı da 90°'den küçük. Pisagor: a² < b² + c². Diklik merkezi üçgenin İÇİNDEDİR.
• Dik üçgen: Bir açı tam 90°. Hipotenüs (90°'nin karşısı) en uzun kenardır. Pisagor: a² = b² + c². Diklik merkezi dik açının köşesindedir.
• Geniş açılı üçgen: Bir açı 90°'den büyük. O açı en büyük açıdır; karşı kenar en uzundur. Pisagor: a² > b² + c². Diklik merkezi üçgenin DIŞINDADIR.

2. Üçgen Eşitsizliği

• Birleşik form: |b − c| < a < b + c (her üç kenar için döngüsel yaz).
• Üçgenin var olma koşulu: Üç kenar için de eşitsizlik sağlanmalı.
• Dejenere üçgen: a = b + c ise üç nokta doğrusal, alan 0.
• İki üçgen ortak kenar: Her üçgen için ayrı eşitsizlik yaz, aralıkları kesiştir.
• Tam sayı sayısı: a < x < b (uçlar hariç) → b − a − 1.

3. Pisagor Teoremi ve Üçlüleri

• Formül: a² = b² + c² (a = hipotenüs).
• Pisagor üçlüleri: 3-4-5 · 5-12-13 · 8-15-17 · 7-24-25 · 9-40-41 · 6-8-10 · 20-21-29.
• Bu üçlüler üçgen eşitsizliğini otomatik sağlar; ek sağlama gerekmez.
• Pisagor eşitsizliği ile birlikte üçgen eşitsizliği kesişimi gerçek aralığı verir.

4. Açı-Kenar İlişkisi

• Aynı üçgen kuralı: Â > B̂ ⇔ a > b. Çift yönlüdür.
• FARKLI üçgenlerde kıyaslama yapılamaz; ortak kenar üzerinden zincir kur.
• Geniş açı karşısı = en uzun kenar. Dik üçgende hipotenüs = en uzun.
• Dış açı teoremi: Dış açı = uzaktaki iki iç açının toplamı; her birinden büyük.
• İkizkenar üçgen: taban açıları eşit ve daima DAR. Tepe açısı geniş olabilir.
• Yardımcı eleman sıralaması (aynı kenara): Yükseklik ≤ Açıortay ≤ Kenarortay.
• Açıların tersi sıralama: Â > B̂ ise hₐ < h_b (büyük kenara inen yardımcı eleman küçüktür).

5. Sınav Tuzakları (Sık Yapılan Hatalar)

• Farklı üçgenlerde açı bakarak kenar kıyaslamak — yanlış. Ortak kenar zinciri kur.
• Tam sayı varsayımı: Soru "x tam sayıdır" demiyorsa x reel kabul et; çevreyi lineer dönüşümle hesapla.
• Strict eşitsizlik: a ≤ b + c değil, a < b + c; eşitlik dejenere durumdur.
• Pisagor eşitsizliği yönü: "Dar sıkıştırır (<), geniş uzatır (>)". Yön karışırsa cevap yanlış çıkar.
• Katlama sorularında geri açmadan çözmek — katlamayı önce geri aç, açıortay görevini işaretle.
• İkizkenar tepe açısının dar olduğunu varsaymak — tepe açısı geniş de olabilir; yalnız taban açıları daima dardır.