TYT Geometri — Açıortay

Açıortay, bir açının ölçüsünü tam olarak iki eşit parçaya bölen ışındır. Bir başka deyişle, açının köşesinden çıkan ve açıyı ortadan "ortalayarak" ikiye bölen doğru parçasına açıortay denir. Sembolik olarak: BAC açısının açıortayı AD ışını ise BAD açısı ile DAC açısı birbirine eşittir.

Açıortay = İç Teğet Çemberin Merkezi

Açıortay konusunun tüm özellikleri aslında tek bir geometrik gerçekten türer: bir açının açıortayı, o açıya çizilebilen iç teğet çemberin merkezinden geçer. Bir çemberin teğete inen yarıçapı her zaman teğet doğruya diktir. Açıortayı olan bir açıda iç teğet çember çizildiğinde, çemberin merkezinden açının iki koluna inen yarıçaplar hem eşit hem de dik uzunluklardır. İşte açıortayın tüm özellikleri bu basit gözlemden çıkar.

Mnemonic — "Açıortay = İç Teğet Merkezi"

Bu cümleyi aklınızdan çıkarmazsanız açıortayla ilgili tüm özellikleri bir çırpıda kurabilirsiniz. Çünkü iç teğet çemberin merkezi eşit uzaklıkta (yarıçap kadar) olduğu için:

• Açıortay üzerindeki her noktadan iki kola inen dik uzunluklar eşittir (iki yarıçap).
• Açıortay üzerindeki her noktanın iki kolda bıraktığı parçalar da eşittir (iki teğet uzunluk).
• Üçgende üç açıortay aynı noktada kesişir çünkü hepsi iç teğet çemberin merkezini gösterir.

İç Açıortay, Dış Açıortay

Bir açının iki türlü açıortayı olabilir:

• İç açıortay: Açının iç bölgesini ikiye bölen ışın. Bir üçgenin köşesindeki açının iç açıortayı üçgenin içinden geçer.
• Dış açıortay: Açının bütünler açısının (180°'ye tamamlayan dış açının) iç açıortayı. Üçgenin köşesinde iç açıyı uzatınca oluşan dış açının açıortayıdır. Üçgenin dışında kalan bir doğrudur.

Çözümlü Örnek 1 — Tanım Doğrulaması

Bir ABC üçgeninde BAC açısı 60°. AD ışını açıortaysa BAD ve DAC açıları kaç derecedir?

1. Açıortay açıyı iki eş parçaya böler: BAD = DAC.
2. BAD + DAC = 60° → 2 · BAD = 60° → BAD = 30°.
3. Sonuç: BAD = DAC = 30°.

Açıortay sorularında her şey iki temel özelliğe dayanır. Bu iki özelliği iyi kavrayan öğrenci, açıortay sorularının %90'ını 30 saniyede çözer. İkisi de iç teğet çemberin "eşit yarıçap" ve "eşit teğet uzunluk" mantığından doğar.

Özellik 1 — Dik Uzunluk Eşitliği (En Sık Kullanılan)

OC açıortay olsun. Açıortay üzerindeki bir D noktasından açının iki koluna inen dik uzunluklar birbirine eşittir. Yani D'den OA'ya inen dik ile D'den OB'ye inen dik aynı uzunluktadır.

Özellik 2 — Karşılıklı Açıortay (Deltoit/Simetri)

Açıortayın üzerindeki bir D noktasından açının iki koluna inen eşit uzaklıkta (dik olması şart değil) iki eğik varsa — yani açının iki kolundan bu D noktasına uzanan iki eğri mesafe aynı ise — bu iki mesafe arasındaki açılar eşittir. Başka bir ifadeyle, bu eşit kenarlar sanki ikinci bir açıortay gibi davranır; karşılıklı simetriden ötürü deltoit (uçurtma) şekli oluşur.

Görsel olarak: OC açıortay, D noktası açıortay üzerinde. A ve B noktaları açının iki kolunda OA = OB olacak şekilde alınırsa, DA = DB olur ve ADB açısı D'ye göre simetrik şekilde ikiye bölünür.

Özet: Hangi Özelliği Ne Zaman Kullanmalı?

Soruda Verilen	Uygulanacak Özellik	Ne Yapmalı?
Açıortay + bir kola dik uzunluk	Özellik 1	Diğer kola da aynı uzunlukta dik çiz
Açıortay + bir kola eğik uzunluk	Özellik 2	Diğer kolda aynı açı değerini ve eşit mesafeyi oluştur
Üçgenin tabanında kenar parçaları	İç Açıortay Teoremi	BD/DC = AB/AC orantısını kur
Katlama (kağıt)	Kat izi kuralı	Katlama çizgisi daima açıortaydır

Çözümlü Örnek 2 — Dik Uzunluk Eşitliği

BD açıortay olan bir şekilde, D noktasından BA koluna 4 birim uzunluğunda bir dik inmiştir. Diğer kola inen dik uzunluk kaç birimdir? Kollardaki parçalar nasıl olur?

1. Açıortayın Özellik 1'i gereği, diğer kola inen dik de aynı uzunluktadır: 4 birim.
2. Açıortayın kollardaki parçaları da eşit olur: Bir kolda 7 birim bıraktıysa diğer kolda da 7 birim bırakır.
3. Soru x + y (iki parça toplamı) veya bir dik üçgendeki eksik kenarı isterse hemen bu eşitlikten çözülür.

Çözümlü Örnek 3 — Tam Uzunluk Bilinmiyorsa

Açıortay üzerindeki D noktasından bir kola 3 birim dik indirilmiş. Diğer kola inen dik çizilmemiş ama kolların toplam mesafesi 13 birim. Pisagor için eksik kenar kaçtır?

1. Özellik 1 → diğer kola da 3 birim uzunluğunda dik çiz. Böylece iki eşit dik üçgen elde ederiz.
2. Bu diklerin ayakları arası: 13 − 2·3 = 7? Hayır, dik ayakları aynı köşeden kolları kesmez; özellik 1 + 2 birlikte uygulandığında toplam mesafelerden istenen uzunluk bulunur (detay sorunun görselinde belirginleşir).
3. Kritik adım: Dik indirince mutlaka 3-4-5 veya başka özel üçgen yakalamaya çalış. TYT'de açıortay soruları genellikle özel üçgenlerle kapanır.

Açıortay konusunun kalbi bu teoremdir. Bir üçgende iç açıortayın karşı kenarda bıraktığı parçaların oranı, açıortayı oluşturan iki kolun oranına eşittir. Bu teorem TYT sorularında en sık kullanılan açıortay aracıdır.

Teoremin Kısa İspatı (Benzerlik Yoluyla)

Teoremin ispatı paralellik ve benzerlikten gelir: AD'ye paralel olacak şekilde C'den bir doğru çizip AB'nin uzantısıyla kesiştirilir. Yöndeş ve iç ters açılardan oluşan üçgen benzerliği kullanılarak BD/DC = AB/AC elde edilir. Bu ispat benzerlik ünitesinde detaylandırılır; şu an için kuralı olduğu gibi kullanmak yeterlidir.

Çözümlü Örnek 4 — Klasik Oran Dağıtma

ABC üçgeninde AB = 12, AC = 8, AD iç açıortay, BC = 10. BD ve DC uzunluklarını bulun.

1. Teorem gereği: BD/DC = AB/AC = 12/8 = 3/2.
2. BD = 3k, DC = 2k olsun. Toplam: 3k + 2k = 10 → 5k = 10 → k = 2.
3. BD = 3·2 = 6, DC = 2·2 = 4.
4. Sağlama: 6/4 = 3/2, 12/8 = 3/2. Eşit ✓

Çözümlü Örnek 5 — Dik Üçgen İçinde Açıortay

ABC dik üçgeninde B köşesi 90°, AB = 3, BC = 6. BD iç açıortay ise AD = x olmak üzere AC uzunluğunu bulun.

1. Hipotenüs Pisagor ile: AC = √(3² + 6²) = √45 = 3√5.
2. Açıortay teoremi: AD/DC = AB/BC = 3/6 = 1/2.
3. AD = k, DC = 2k → 3k = 3√5 → k = √5.
4. Dolayısıyla AD = √5, DC = 2√5.

Açıortay teoremini uygulamanın hızlı yolu oranı k değişkeniyle dağıtmaktır. Bu teknik işlem hatasını minimize eder ve özellikle ÖSYM'nin kapalı form (tek harfli) sorularında saniyeler kazandırır.

Yöntem — Üç Adımda Oran Dağıtma

1. Oranı sadeleştir. AB/AC = 12/16 verildiyse önce sadeleştir: 4'e böl → 3/4.
2. k katsayısı ata. 12 yerine 12k yazma; sadeleşmiş orandan git. AB = 3k, AC = 4k diye kur. Oran aynı kalıyor, sayılar küçük.
3. Tabanı da aynı oranla işaretle. İç açıortaya göre BD = 3k, DC = 4k (bu kez tabandaki parçaları küçük harfle alayım: BD = 3m, DC = 4m; k ile karışmasın diye farklı harf). Tabanın toplam uzunluğu verildiyse m'yi çözersin.

Örnek Oranlar ve Sadeleşmesi

Kollar	Sadeleşmiş Oran	k Dağıtımı
12 ve 16	3/4	3k, 4k
12 ve 8	3/2	3k, 2k
12 ve 15	4/5	4k, 5k
6 ve 8	3/4	3k, 4k
4 ve 5 (aralarında asal)	4/5	4k, 5k
10 ve 5	2/1	2k, k

Çözümlü Örnek 6 — Çevre Sorusu

ABC üçgeninde AD açıortay, AB = x, AC = 9, BD = 4, DC = x veriliyor (tabandaki parça kolun karşısında). x ve BC uzunluğu nedir? Üçgenin çevresi kaç?

1. Teorem: BD/DC = AB/AC → 4/x = x/9.
2. İçler-dışlar çarpımı: x² = 36 → x = 6 (uzunluk pozitif).
3. AB = 6, DC = 6. Böylece BC = BD + DC = 4 + 6 = 10.
4. Çevre: AB + BC + AC = 6 + 10 + 9 = 25.
5. Sağlama: BD/DC = 4/6 = 2/3, AB/AC = 6/9 = 2/3. Eşit ✓

Çözümlü Örnek 7 — Parçalı Taban

ABC üçgeninde AD açıortay, AB = 6, AC = 8, BC = 7. BD ve DC uzunluklarını bulun.

1. Oran: BD/DC = 6/8 = 3/4.
2. BD = 3k, DC = 4k → 3k + 4k = 7 → 7k = 7 → k = 1.
3. BD = 3, DC = 4.
4. Sağlama: 3/4 = 3/4 ✓

Bir üçgenin üç iç açıortayı tek bir noktada kesişir. Bu nokta I harfiyle gösterilir (İngilizce "incenter") ve üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir. İçten çizilen ve üç kenara da teğet olan tek çember I merkezinden çizilir.

İki Açıortay Verildiğinde Üçüncüsü Bedava Gelir

Soruda üçgenin iki köşesinden çıkan iki açıortay veriliyorsa, üçüncü köşeden çıkan açıortayı da çizme hakkın var. Çünkü üç açıortay tek noktada kesişir. Bu, çözüm için kritik bir bilgi çünkü üçüncü açıortay açıortay teoremlerini üçüncü kenarda da kullanmaya izin verir.

Çözümlü Örnek 8 — Üç Açıortayla Çevre

ABC üçgeninde I iç açıortayların kesim noktası. I'dan AB'ye inen dik 6 birim, AB = 10, AC = 12. Üçgenin çevresini bulun.

1. I iç teğet merkezi → I'dan AB, BC, AC'ye inen dikler eşit (her biri yarıçap r = 6).
2. Çemberin kenarlarda bıraktığı teğet uzunluklarını harflendir: A'dan iki teğet = a, B'den iki teğet = b, C'den iki teğet = c.
3. AB = a + b = 10, AC = a + c = 12, BC = b + c = ?
4. Yarı çevre: s = a + b + c. Bilgiler yeterli değil; BC ayrıca verilmeli. Eğer soru BC'yi de verse, örn BC = 14, çevre = 10 + 12 + 14 = 36 olur.
5. Not: Açıortay konusunda r'yi doğrudan çevre-alanla kullanmak TYT kapsamının biraz üstündedir; konu çember ve daire ünitesinde derinleşir. Bu bölüm farkındalık içindir.

Çözümlü Örnek 9 — Paralel Kesen Sorusu

ABC üçgeninde I iç teğet merkezi. I'dan BC'ye paralel bir doğru AB'yi D, AC'yi E'de kessin. AB = 6, AC = 7 ise ADE üçgeninin çevresi kaçtır?

1. DE || BC ve BI, CI açıortay olduğu için "Z kuralı" (iç ters açılar) gereği DBI ve DIB açıları eşit — yani DBI üçgeni ikizkenardır. Dolayısıyla DI = DB.
2. Aynı şekilde EI = EC.
3. ADE üçgeninin çevresi: AD + DE + EA = AD + (DI + IE) + EA = AD + DB + EC + EA = AB + AC = 6 + 7 = 13.
4. Mnemonic: İç merkez I'dan BC'ye paralel çizilen doğrunun oluşturduğu küçük üçgenin çevresi daima kolların toplamına eşittir. Direkt 13 yazılır.

Dış açıortay, üçgenin bir köşesindeki dış açının açıortayıdır. İç açının açıortayı (iç açıortay) üçgeni içeriden keser; dış açıortay ise üçgenin dış uzantısını keser. Dış açıortayın oran teoremi iç açıortaya çok benzer ama kritik bir farkı vardır.

Pratik Uygulama: "Yol Kullanmaz" Kuralı

Dış açıortay teoremini uygularken açıortayın kendisi üzerinden geçmeyiz. Yani AD (dış açıortay yolu) hesaba katılmaz. A veya D noktasından başlayıp diğerine gitmek için doğrudan uzunluklar kullanılır. Mnemonic: "Dış açıortay yolunu silelim, sadece kollar ve tabandaki izler kalsın."

Oran Dağıtma — Dış Açıortay İçin

İç açıortayda oranı kolların oranı + tabana dağıtıyorduk. Dış açıortayda oran "kolun karşısındaki tamama" (yani sürükleyen parçaya) yazılır:

• AB = 12, AC = 9 → 12/9 = 4/3. AB'ye 4k, AC'ye 3k.
• Tabanın uzunluğuna göre k'yi çöz.
• Dış açıortayın BC uzantısıyla kesiştiği D için: BD = 4k (büyük olan) ve CD = 3k (küçük olan). Yani BD = CD + BC.

Çözümlü Örnek 10 — Dik Üçgende Dış Açıortay

ABC dik üçgen, B köşesi 90°, AB = 4, BC = 3. A köşesinden çıkan dış açıortay BC doğrusunu D'de kessin (D, C'nin ötesinde). CD = x ise x'i bulun.

1. Hipotenüs: AC = √(4² + 3²) = √25 = 5.
2. Dış açıortay teoremi: BD/CD = AB/AC = 4/5. BD = CD + BC = x + 3.
3. (x+3)/x = 4/5? Hayır, doğru uygulama: BD/CD = AB/AC → BD = (4/5)·? Dikkat: oran büyük/küçük sırasında AB > AC olduğunda D B tarafında olur.
4. AB = 4, AC = 5: AC > AB olduğu için dış açıortay BC'nin B tarafındaki uzantısını kesmez; C tarafında keser. CD = ?, BD = CD + 3. Oran: BD/CD = AB/AC = 4/5 → (x+3)/x = 4/5 → 5(x+3) = 4x → 5x + 15 = 4x → x = −15 (negatif, mantıksız).
5. Yön tersine çevrilmeli: CD/BD = AB/AC = 4/5 ⇒ burada BD büyük olan olur → x/(x+3) = 4/5 → 5x = 4x + 12 → x = 12.
6. Sonuç: CD = 12, BD = 15. Sağlama: CD/BD = 12/15 = 4/5 = AB/AC ✓

Çözümlü Örnek 11 — Direk-Duvar Sorusu (Dış Açıortay Senaryosu)

3 m yükseklikte bir direk A noktasından kırılıp 2,5 m yüksekliğindeki C noktasındaki duvara yaslanıyor. Kırık tepe B, direğin tabanı O, yaslanma noktası C. AB (kırılan kısmın uzunluğu) 3 m. AB/AC oranı nedir?

1. Bu tipte senaryoda kat izi açıortaydır, ama duvar-direk ikilisi dış açıortay oranı doğurur.
2. 3 m direk 3 m'den kırılırsa alt parça 0, üst parça 3 m. Duvar 2,5 m; oran 3'e 2,5 yani 6/5.
3. Taban mesafesinde oran 5'e 1 — yani ayakucu ve kırıldığı yer arası uzaklık toplam yolun 1/6'sıdır.
4. TYT sorusu formatında cevap genellikle 1/6 çıkar (ÖSYM'nin 2023 tarzı direk sorularında).

Açıortay konusunun en zarif özelliklerinden biri, aynı köşedeki iç açıortay ile dış açıortayın birbirine dik olmasıdır. Bu sonuç ispatıyla beraber hatırlanınca pek çok karmaşık soruda "gizli dik üçgen" yakalamamızı sağlar.

İspat (Tek Satır)

Doğru açı üzerinde iki bitişik açı 2α ve 2β olsun. Toplam 2α + 2β = 180° → α + β = 90°. Açıortaylar her açının yarısını oluşturduğu için iki açıortay arasındaki açı tam olarak α + β = 90°'dir.

Uygulama: Gizli Dik Üçgen

Şekilde bir doğru açı gördüğünde ve iki açıortay işaretlendiğinde, aralarındaki açının 90° olduğunu bil. Bu sayede elde edilen dik üçgeni Pisagor veya özel üçgenlerle çözebilirsin.

Çözümlü Örnek 12 — İki Açıortay ve 90°

Bir doğru açıda BAC + CAD = 180°. AE iç açıortay (BAC'nin), AF dış açıortay (CAD'nin). EAF açısı kaç derecedir?

1. 2α + 2β = 180° → α + β = 90°.
2. EAF = α + β = 90°.
3. Böylece AEF veya benzeri üçgenlerde Pisagor devreye girer.

Dış Teğet Çember Merkezi — İki Dış + Bir İç Açıortay

Bir üçgenin iki dış açıortayı ile bir iç açıortayı (karşı köşedeki) tek bir noktada kesişir. Bu nokta üçgenin dış teğet çemberinin merkezidir (excenter). Üçgenin her bir köşesine karşılık bir dış teğet çember vardır; yani bir üçgenin 3 tane dış teğet çemberi ve 1 tane iç teğet çemberi vardır.

Çözümlü Örnek 13 — Paralelle Dış Teğet

ABC üçgeninde F noktası ADE üçgeninin dış teğet çemberinin merkezi (yani iki dış + bir iç açıortayın kesişimi). DE || BC, DB = 4 birim, EC = 5 birim ise BC uzunluğunu bulun.

1. DE || BC → "Z kuralı" gereği iç ters açılar eşit.
2. İç teğet çevre kuralına benzer şekilde, F merkezli yapıda DB = BF (B'den iki teğet eşit) ve EC = CF (C'den iki teğet eşit).
3. BC = BF + FC = DB + EC = 4 + 5 = 9.

TYT'de sık karşına çıkan ama öğrencilerin sık sık karıştırdığı bir kalıp var: bir üçgende iki açıortay arasındaki açının formülü. İç-iç, dış-dış ve iç-dış kombinasyonlarına göre üç farklı sonuç çıkar.

Durum 1 — İki İç Açıortay Arası (B ve C Köşelerinden)

ABC üçgeninde B ve C köşelerinden çıkan iç açıortaylar I noktasında kesişsin. BIC açısı:

BIC = 90° + A/2

Kısa İspat: BIC üçgeninde açılar toplamı 180°. İç açıortaylar olduğu için IBC = B/2, ICB = C/2. BIC = 180° − B/2 − C/2 = 180° − (B+C)/2. A + B + C = 180° olduğundan B + C = 180° − A → BIC = 180° − (180°−A)/2 = 180° − 90° + A/2 = 90° + A/2. ✓

Durum 2 — İki Dış Açıortay Arası (B ve C Köşelerinden)

B ve C köşelerinin dış açıortayları Iₐ noktasında kesişsin (A'ya karşı gelen dış teğet merkez). BIₐC açısı:

BIₐC = 90° − A/2

Kısa İspat: B köşesindeki dış açı 180°−B, yarısı (90° − B/2). Aynı şekilde C için (90° − C/2). BIₐC üçgeninde: BIₐC = 180° − (90°−B/2) − (90°−C/2) = (B+C)/2 = (180°−A)/2 = 90° − A/2. ✓

Durum 3 — Bir İç + Bir Dış Açıortay Arası (Aynı Köşe)

Aynı köşedeki iç açıortay ile dış açıortay arası:

90° (her zaman dik)

Bu zaten bir önceki bölümde ispatlandı (α + β = 90°).

Özet Tablosu

Kesim Noktası	Açıortay Türleri	Aradaki Açı
İç teğet merkezi I	B ve C iç açıortay	BIC = 90° + A/2
A'ya karşı dış merkez Iₐ	B ve C dış açıortay	BIₐC = 90° − A/2
Aynı köşe	Bir iç + bir dış	90° (dik)

Çözümlü Örnek 14 — İki İç Açıortay Arası

ABC üçgeninde A = 60°. B ve C iç açıortayları I'da kesişir. BIC açısı kaç derecedir?

1. Formül: BIC = 90° + A/2 = 90° + 30° = 120°.
2. Sağlama: A = 60° → B + C = 120° → açıortaylar yarısını verir: B/2 + C/2 = 60°. BIC üçgeninde: 180° − 60° = 120°. ✓

Çözümlü Örnek 15 — İki Dış Açıortay Arası

ABC üçgeninde A = 80°. B ve C'nin dış açıortayları Iₐ'da kesişir. BIₐC kaç derecedir?

1. Formül: BIₐC = 90° − A/2 = 90° − 40° = 50°.
2. Sağlama: (B+C)/2 = (180°−80°)/2 = 50°. ✓

İç teğet merkezi I, A köşesinden çıkan açıortayın bir iç noktasıdır. A'dan I'ya kadar olan mesafe ile I'dan BC üzerindeki ayak D'ye olan mesafe arasında çok pratik bir oran vardır:

İspat (İç Açıortay Teoreminden)

BD = x dersek DC = a − x. İç açıortay teoremi: c/x = b/(a−x) → c(a−x) = bx → ac = x(b+c) → x = ac/(b+c). BI uzunluğu da B köşesinden çıkan açıortay üzerinden yine aynı teoremle bulunur. AI/ID oranı da benzerlik/ayrıştırma ile (b+c)/a çıkar.

Pratik Formül — "Kolların Toplamı Bölü Taban"

Hangi Köşe?	Oran
A → BC	AI/ID = (b+c)/a
B → AC	BI/IE = (a+c)/b
C → AB	CI/IF = (a+b)/c

Çözümlü Örnek 16 — Klasik Oran

ABC üçgeninde AB = 8, AC = 12, BC = 15. A köşesinden çıkan açıortay BC'yi D'de kessin ve I iç teğet merkezi. AI/ID oranı nedir?

1. Formül: AI/ID = (b+c)/a = (AB + AC)/BC = (8 + 12)/15 = 20/15 = 4/3.
2. Yani AI, ID'nin 4/3 katıdır. AI = 4k, ID = 3k.
3. Eğer AD'nin tamamı veriliyorsa (örn. 14 birim), 4k + 3k = 14 → k = 2 → AI = 8, ID = 6.

Çözümlü Örnek 17 — Ters Uygulama

Bir üçgende AI/ID = 5/3, BC = 6 veriliyor. Kolların toplamı AB + AC kaçtır?

1. (AB + AC)/BC = 5/3 → AB + AC = 5/3 · 6 = 10.
2. Sonuç: Kolların toplamı 10.

Yeni nesil TYT sorularında en sevilen kalıplardan biri kağıt katlama senaryolarıdır. Bu tip sorularda temel kural şudur:

Katlama Sorularında İki Sonuç

Kağıdı katladığında iki şey "saklanır":

1. Uzunluk eşitliği: Katlanan noktanın katlama sonrası konumu, orijinal konumdan kat izine olan uzaklığa eşittir. Yani B noktası AD doğrusu boyunca katlanıp B''ye gittiyse AB = AB' ve DB = DB'.
2. Açı eşitliği: Katlama çizgisi açıyı eş parçalara böler. Yani BAD = B'AD (A köşesindeki iç açı ikiye bölünür).

Çözümlü Örnek 18 — Katlama Sorusu

Bir üçgen kağıt ABC (AB = AC = 12, taban BC = 8) AD doğrusu boyunca katlanıyor ve B noktası AC üzerindeki B''ye geliyor. Katlama sonrası B'C uzunluğu kaçtır?

1. Katlama çizgisi AD → AD bir açıortay. AB = AB' = 12.
2. B', AC üzerinde → B'C = AC − AB' = 12 − 12 = 0? Hayır, AB' = AB = 12 ise AC'nin tamamıyla çakışır (zaten AC = 12). O zaman B' = C.
3. Dolayısıyla B'C = 0.
4. ABC ikizkenar olduğunda AD açıortayı aynı zamanda orta dikme olur; katlama sonrası B tam olarak C'nin yerine gider.

Çözümlü Örnek 19 — Farklı Kollar

Bir üçgen kağıt ABC (AB = 4√2, AC = ?) AD boyunca katlanıyor ve B noktası AC üzerindeki B''ye geliyor. BAD = 45°, B'AD = 15° veriliyor. B'C'yi bulun.

1. Katlama sonrası BAD = B'AD olmalıydı — ama burada 45° ve 15° farklı! Demek ki katlama doğrusu AD değil, başka bir çizgi.
2. Bu tip "hileli" soruda katlama çizgisi kağıt kısmının gerçek açıortayı; iki açının yarısının ortalaması olan açıya inen doğrudur.
3. Gerçek kat izi: (45° + 15°)/2 = 30° → AD'nin AB'ye yaptığı açı 30°, AC'ye yaptığı açı da 30°. Yani gerçek açıortay 30°'de. Kağıdın verdiği sayılar (45, 15) farklıysa katlama rotası doğru belirtilmemiş; TYT sorusunda dikkat bu noktaya odaklanır.

Açıortay konusu zengin özelliklerle dolu olduğu için TYT'de en çok karıştırılan geometri konularındanbiridir. Aşağıdaki tuzak haritası ve mnemonic'ler kritik anlarda kurtarır.

Tuzak 1 — Açıortay ≠ Kenarortay

Açıortay açıyı ikiye böler; kenarortay kenarı ikiye böler. İkisi de aynı köşeden çıkar ama farklı işlerdir. Açıortayın kenarda bıraktığı parçalar eşit değildir (kolların oranınca); kenarortayın bıraktığı parçalar eşittir.

Özellik	Açıortay	Kenarortay
Neyi ikiye böler?	Açıyı	Kenarı
Kesim noktası adı	I (iç teğet merkezi)	G (ağırlık merkezi)
Kenardaki parçalar	Oranlı (BD/DC = AB/AC)	Eşit (BD = DC)
Eşkenar üçgende	Kenarortayla çakışır	Açıortayla çakışır
İkizkenarda	Tabana çizilen = kenarortay	Tabana çizilen = açıortay

Tuzak 2 — Dış Açıortay Oranında Yön

Dış açıortay teoreminde oran büyük/küçük sırası yanlış kurulursa negatif cevap çıkar. Pratik çözüm: daima BD (büyük) ile CD (küçük) sırasında veya tersine, kolların oranıyla uyumlu yazılmalı. Negatif çıktıysa oranı ters çevir.

Tuzak 3 — İki Açıortay Arasında ± A/2

İç-iç: 90° + A/2. Dış-dış: 90° − A/2. İç-dış (aynı köşe): 90°. Karıştırmamak için mnemonic: "İç büyür (+), dış küçülür (−), yan (aynı köşede) dik".

Tuzak 4 — İç Açıortay Orantısında Yön

BD/DC = AB/AC yazarken dikkat: BD, AB ile aynı köşe tarafındadır (B'ye yakın). Yani BD'yi AB'nin oranıyla, DC'yi AC'nin oranıyla eşle. Karıştırırsan oranı ters çevirmiş olursun.

Tuzak 5 — "Dış Açıortay Gizlenmiş"

Bazı sorularda dış açıortay doğrudan verilmez; açıların toplamından gizlice çıkarılması gerekir. Örn. şekilde bir üçgenin tepe açısı 70°, bitişik iki açıortay 40° ve 35° ise: dış açı 110°, yarısı 55°. İç açı 70°, yarısı 35°. 35 + 55 = 90 → yan yana bir iç + bir dış açıortay vardır, arasında dik üçgen oluşur. Gözün bunu yakalamalı.

Mnemonic Koleksiyonu

• "Açıortay = İç teğet merkezi": Bütün özelliklerin kaynağı.
• "Diklerle eşitlik, eğik ile simetri": İki temel özellik.
• "Kolun kola oranı = tabandaki parçaların oranı": İç açıortay teoremi.
• "Dış açıortay yolunu sil": Dış açıortay teoreminde AD üzerinden gidilmez.
• "İç büyür, dış küçülür": 90° + A/2 ve 90° − A/2 formülleri.
• "Kat izi = açıortay": Katlama sorularının anahtarı.
• "Oranı sadeleştir, k ile dağıt": Hızlı çözüm altın kuralı.
• "AI/ID = kolların toplamı bölü taban": İç teğet merkez bölme oranı.
• "İki açıortay verildiyse üçüncüsü bedava": Üç iç açıortay I'da kesişir.
• "İç merkez + tabana paralel → küçük üçgenin çevresi = iki kolun toplamı": Klasik kısa yol.

TYT'de açıortay soruları beş ana kalıpta gelir. Her kalıbı tanı, refleksini oluştur, çözüm yolunu kısalt.

Tip 1 — Doğrudan Oran Dağıtma

Şekilde üçgen, iki kol + açıortay + taban parçaları verilmiş. BD/DC = AB/AC ile oran kurup k ile çöz. En basit tip, 30 saniyede biter.

Tip 2 — Dik İnme Gerektiren Soru

Açıortayın bir kolunda sadece bir dik uzunluk verilmiş. Refleks: diğer kola da aynı uzunlukta dik çiz. Böylece üçgen + dik üçgenler oluşur, Pisagor ile eksik kenar bulunur.

Tip 3 — İki Açıortay → Üçüncüyü Çiz

Üçgende iki iç açıortay verilmiş. Üçüncü iç açıortay aynı noktadan geçer. Bu bilgi ile tabanın parçalar toplamı bilinebilir (kenardaki teğet uzunluklar eşit).

Tip 4 — İç + Dış Açıortay Kombinasyonu

Soru içinde iç açıortay + dış açıortay veya 90° diklik kullanımı. Gizli dik üçgen yakalandığında Pisagor veya özel üçgen uygulanır.

Tip 5 — Yeni Nesil (Katlama, Sarkaç, Direk-Duvar)

Hikayeli soru. Önce şekli çöz, sonra açıortayı yakala, sonra standart yöntemlerle çöz. Bu tipte hikaye karmaşık görünse de matematik sade olur.

Genel Strateji — Sorunun Her Sorusunda 30 Saniye Kuralı

1. 0-5 saniye: Şekli oku, açıortay var mı kontrol et. Varsa hangi tip (iç/dış)? Hangi teoremi kuracaksın?
2. 5-10 saniye: Verilen kollar/parçalar sadeleşir mi? Oranı çıkar, k ile dağıt.
3. 10-20 saniye: Teoremi uygula (iç açıortay, dış açıortay, AI/ID, 90° diklik). Denklem kur.
4. 20-25 saniye: Denklemi çöz. Özel üçgen (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17) yakalanabilir mi?
5. 25-30 saniye: Sağlama yap. Oran eşitliği sağlanıyor mu? Cevabı işaretle.

Açıortay konusunun tüm formüllerini tek kartta topladık. Sınavdan önceki son 5 dakikada bu tabloyu okumak, konuyu bir bütün olarak hatırlatır.

Temel Tanımlar

Kavram	Tanım / Formül
Açıortay	Bir açıyı iki eş parçaya bölen ışın
İç teğet merkezi I	Üç iç açıortayın kesim noktası
Dış teğet merkezi Iₐ	İki dış + bir iç açıortayın kesim noktası
İç teğet yarıçapı	r = Alan / s (s yarı çevre)

Temel Özellikler

Özellik	Formül
Dik uzunluk eşitliği	Açıortay noktasından kollara inen dikler eşit
Teğet uzunluk eşitliği	Açıortayın kollarda bıraktığı parçalar eşit
İç açıortay teoremi	BD/DC = AB/AC
Dış açıortay teoremi	BD/CD = AB/AC (D tabanın uzantısında)

Açılar Tablosu (Açıortay Arası)

Kombinasyon	Aradaki Açı
İki iç açıortay (B, C)	BIC = 90° + A/2
İki dış açıortay (B, C)	BIₐC = 90° − A/2
Bir iç + bir dış (aynı köşe)	90°

İç Açıortay Üzerindeki Bölme

Formül	Mnemonic
AI/ID = (b+c)/a	Kolların toplamı bölü taban
BI/IE = (a+c)/b	B'nin kolları toplamı bölü karşı kenar
CI/IF = (a+b)/c	C'nin kolları toplamı bölü karşı kenar

Özel Durumlar

• İkizkenar üçgen: Tepe köşesinden inen açıortay aynı zamanda kenarortay ve yüksekliktir.
• Eşkenar üçgen: Her açıortay aynı zamanda kenarortay ve yüksekliktir (özdeş).
• Dik üçgende dik açının açıortayı: 45°'lik açılar oluşturur; Pisagor ve 45-45-90 üçgeni devreye girer.
• Katlama: Kat izi = açıortay. Katlanan nokta ile yeni yer arası: orta dikme katlama çizgisi.

Son Kontrol — Sınavdan Önce Okumanız Gereken 10 Madde

1. Açıortay üzerindeki noktadan iki kola inen dikler eşittir (yarıçap).
2. Açıortay kollarda eşit parçalar bırakır (teğet uzunluk).
3. İç açıortay teoremi: BD/DC = AB/AC.
4. Dış açıortay teoremi: BD/CD = AB/AC (D tabanın uzantısında).
5. İki iç açıortay arası: 90° + A/2. İki dış açıortay arası: 90° − A/2.
6. Aynı köşede iç + dış açıortay arasındaki açı 90°.
7. İç teğet merkezi I: Üç iç açıortayın kesim noktası.
8. Dış teğet merkezi: İki dış + bir iç açıortayın kesim noktası (üçgen başına 3 tane var).
9. AI/ID = (b+c)/a: Kolların toplamı bölü karşı kenar.
10. Katlama çizgisi daima açıortaydır (kat izi = açıortay).