TYT Geometri — Kenarortay — Konu Anlatımı

İçindekiler · 12 Bölüm

Kenarortay Nedir? Açıortay ile Karıştırılan Tanım

Üçgenin iç yapısını tanımlayan özel doğrular vardır: açıortay, kenarortay, yükseklik ve orta dikme. Bunların her biri farklı bir şey yapar ve öğrencilerin en sık karıştırdığı ikisi açıortay ile kenarortaydır. Önce kenarortayın net tanımını yapalım.

Tanım — Kenarortay:

Bir üçgende, bir kenarın orta noktasını karşı köşeye birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortay denir. Sembolü genelde V_a veya m_a ile gösterilir (a kenarına ait kenarortay).

Açıortay vs. Kenarortay — Net Fark

İki kavramın isim benzerliği yüzünden sınavda panik yapan öğrenciler çok. Bir cümleyle ayıralım:

Özellik	Açıortay	Kenarortay
Ne yapar?	Bir açıyı iki eşit parçaya böler	Bir kenarı iki eşit parçaya böler
Başlangıç	Köşeden çıkar	Köşeden çıkar
Bitiş	Karşı kenarı keser (genelde ortadan değil)	Karşı kenarın orta noktasına iner
Kesişim	İç açıortaylar iç teğet çemberin merkezinde (I) buluşur	Üç kenarortay ağırlık merkezinde (G) buluşur

Kritik Ayrım: Açıortayın indiği nokta kenarı genel olarak iki eşit parçaya bölmez — oran, komşu iki kenarın oranıdır (açıortay teoremi). Kenarortay ise kenarı tam ortasından ikiye böler. Eğer soruda "BD = DC" yazıyorsa kenarortay, "BD/DC = AB/AC" yazıyorsa açıortay düşün.

Bir Üçgende Kaç Kenarortay Vardır?

Bir üçgenin üç kenarı olduğu için üç kenarortayı vardır. Her köşeden karşı kenarın orta noktasına bir kenarortay çizilir. Bu üç kenarortay üçgenin içinde tek bir noktada kesişir ve bu noktaya ağırlık merkezi denir, G harfiyle gösterilir.

Mnemonics — "G = Ağırlık, 2:1 Oranı"

Hafıza ipucu: "G → Gravity = Ağırlık. Ağırlık merkezi ağırı köşeye çeker: köşeye 2, kenara 1."

Kenarortay üzerindeki her noktaya "Köşeye mi daha yakın, kenara mı?" diye sor. Köşeye yakınsa 2 birim, kenara yakınsa 1 birim al. Bu beyinde tek görüntüyle kalır.

Soru 1 — Kenarortay Tanımı (Katlama ile)

Soru: Bir ABC üçgen kağıdında [AB] kenarına ait kenarortayı, sadece kağıdı katlayarak nasıl elde edersin?

Çözüm: [AB] kenarının orta noktasını bulmamız gerekiyor. A köşesini B köşesinin üzerine katlarsak kat çizgisi [AB]'yi tam ortasından keser. Bu noktayı (orta nokta) C köşesi ile birleştirdiğimiz doğru parçası [AB] kenarına ait kenarortaydır. Doğru yaklaşım: A'yı B üzerine katla, kat çizgisinin AB'yi kestiği orta noktayı C ile birleştir.

Ağırlık Merkezi ve 2:1 Oranı — En Kritik Kural

Kenarortay konusunun kalbi tek bir cümledir: Ağırlık merkezi, her kenarortayı 2:1 oranında böler ve köşeye yakın parça 2 birimdir. Neredeyse bütün TYT kenarortay sorularında bu özellik kullanılır.

Tanım — Ağırlık Merkezinin 2:1 Özelliği

2:1 Kuralı:

ABC üçgeninde AD kenarortayı ve G ağırlık merkezi ise:

|AG| : |GD| = 2 : 1 ⇔ |AG| = 2·|GD|

Yani köşeye (A) yakın parça, kenara (D) yakın parçanın iki katıdır. Kenarortayın toplam uzunluğu üç eşit parçaya bölünür: G köşeye yakın 2 parça, kenara yakın 1 parça.

Pratik Kısaltma — "Kenara K, Köşeye 2K"

Ağırlık merkezinin kenara uzaklığı K ise köşeye uzaklığı 2K'dır. Kenarortayın tamamı 3K olur. Bu yaklaşımla soruları ezberleme yerine görsel mantıkla çözersin.

|GD| = K ⇒ |AG| = 2K ⇒ |AD| = 3K

Aritmetik Doğrulama — 2:1 Nereden Geliyor?

"Ağırlık merkezi 2:1 böler" kuralını ispat etmek isteyen için hızlı bir yol: İki kenarortayı (örn. AD ve BE) birleştirdiğimizde kesim noktalarına G diyelim. BE'nin orta noktası F olsun. Benzerlik yoluyla ADF üçgeni ile AGE üçgeninin 1:2 oranında benzer olduğu gösterilir ve G'nin AD'yi 2:1 oranında böldüğü çıkar. Detaylı ispatı eşlik–benzerlik konusuna bırakıyoruz — TYT'de sadece sonucu bilmek yeterli.

Soru 1 — Tipik 2:1 Uygulaması

Soru: ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, AD ve BE kenarortayları çiziliyor. |AD| = 15, |BE| = 12 birim verildiğine göre |AG| + |GE| toplamı kaç birimdir?

Çözüm:

BE kenarortayında G: |BG| = 2·|GE|. Tüm BE = 3·|GE|.
3·|GE| = 12 ⇒ |GE| = 4, |BG| = 8.
AD kenarortayında G: |AG| = 2·|GD|. Tüm AD = 3·|GD|.
3·|GD| = 15 ⇒ |GD| = 5, |AG| = 10.
|AG| + |GE| = 10 + 4 = 14.

TYT İpucu: "Kenarortayın tamamı verilmiş, G ağırlık merkezi, bir parçası soruluyor" kalıbını gördüğün anda kenarortayı 3 eşit parçaya bölecek şekilde düşün. 3 parçadan 2'si köşeden G'ye, 1'i G'den kenara. İşlem 10 saniyelik.

Soru 2 — Ağırlık Merkezini Tanıma

Soru: ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, |AC| = 8, |BE| = 9 verilmiş (BE kenarortay, E ise AC'nin orta noktası). G ile BE üzerindeki küçük bir dik inişin oluşturduğu üçgende hipotenüs için x değeri kaçtır? (Şekil: G'den AC'ye çizilen dik, hipotenüsü kenarortayla birlikte bir dik üçgen oluşturur.)

Çözüm:

E, AC'nin orta noktası olduğundan |AE| = |EC| = 4.
BE = 9 birim, G 2:1 oranında böler: |GE| = 3, |BG| = 6.
G'den AC'ye dik inilirse 3-4-5 özel üçgeni çıkar: bir dik kenar 3 (GE), diğer dik kenar 4 (AE), hipotenüs 5.
Bulunan hipotenüs 2x'e eşittir: 2x = 5 ⇒ x = 5/2.

Soru 3 — Ters Yönlü Soru

Soru: ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, AD kenarortayı çiziliyor. |AG| = Y, |GD| = ? olup tüm AD'nin 3Y/2 = 15 denkleminden hesaplandığı varsayılırsa Y kaç birimdir?

Çözüm:

2:1 oranından |GD| = Y/2.
AD = Y + Y/2 = 3Y/2.
3Y/2 = 15 ⇒ 3Y = 30 ⇒ Y = 10.

Üç Kenarortayın Oluşturduğu Altı Eş Alanlı Üçgen

Üçgenin üç kenarortayı çizildiğinde ağırlık merkezinden geçen bu üç doğru üçgeni altı küçük üçgene böler. Bu altı üçgenin tamamının alanı birbirine eşittir.

Altı Eş Alan Teoremi:

ABC üçgeninde üç kenarortay ağırlık merkezinde kesişir ve üçgeni altı eş alanlı küçük üçgene böler. Eğer Alan(ABC) = S ise her küçük üçgenin alanı S/6'dır.

Neden Altı Eşit?

Çünkü her kenarortay, üçgeni iki eş alanlı parçaya böler (kenarı ortadan böldüğü için tabanlar eşit, yükseklik ortak). Üç kenarortay birbirini keserek 6 üçgen oluşturur ve simetri gereği hepsi aynı alana sahip çıkar.

Türetilmiş Eşitlikler

Bir kenarortayın üçgeni ikiye bölmesi: S(ABD) = S(ADC) = S/2 (AD kenarortay, D BC'nin orta noktası).
G ağırlık merkezine göre köşelerden oluşan üç büyük üçgen: S(ABG) = S(BCG) = S(ACG) = S/3.
Altı küçük üçgenin her biri: S/6.

Soru — Altı Eş Alanlı Üçgen Uygulaması

Soru: Alanı 60 cm² olan ABC üçgeninde üç kenarortay çiziliyor. Bu kenarortayların oluşturduğu küçük altı üçgenden birinin alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: 60 / 6 = 10 cm².

Soru — G'den Geçen Alan Parçası

Soru: ABC üçgeninin alanı 90 cm², G ağırlık merkezi. BGC üçgeninin alanı kaçtır?

Çözüm: BGC üçgeni, G'nin oluşturduğu üç büyük parçadan biri: 90/3 = 30 cm².

TYT İpucu: Kenarortay sorularında alan istenmiyorsa bile S/6 ve S/3 oranlarını aklında tut; bazen soru bir üçgen içindeki iki üçgenin alan oranını sorar ve cevap bu oranlardan düşer.

Kenarortay Uzunluğu Formülü (Stewart)

Bir üçgenin kenar uzunlukları biliniyorsa o üçgenin kenarortaylarının uzunlukları doğrudan hesaplanabilir. Bu formül Stewart teoreminden türer ama TYT için ezber kısaltma kullanılır.

Kenarortay Uzunluğu Formülü:

ABC üçgeninde a, b, c kenar uzunlukları sırasıyla A, B, C köşelerinin karşısındaki kenarlar olsun. a kenarına ait kenarortayın (m_a) uzunluğu:

m_a² = (2b² + 2c² − a²) / 4

Benzer şekilde: m_b² = (2a² + 2c² − b²)/4 ve m_c² = (2a² + 2b² − c²)/4.

Formülü Ezberlemenin Yolu

"Diğer iki kenarın karelerinin iki katı topla, ait olduğu kenarın karesini çıkar, dörde böl, karekök al." Yani a kenarortayı için:

Diğer iki kenar: b ve c. Kareleri al, 2 ile çarp: 2b², 2c².
Topla: 2b² + 2c².
Ait olduğu kenarın karesini çıkar: 2b² + 2c² − a².
Dörde böl, karekök al: m_a = √((2b² + 2c² − a²)/4).

Soru — Kenarortay Uzunluğu Hesabı

Soru: a = 10, b = 8, c = 6 olan bir üçgende a kenarına ait kenarortayın uzunluğunu hesapla.

Çözüm:

2b² = 2·64 = 128
2c² = 2·36 = 72
2b² + 2c² = 200
200 − a² = 200 − 100 = 100
m_a² = 100/4 = 25
m_a = 5 birim.

Doğrulama — 3-4-5-6-8-10 Dik Üçgeni

Yukarıdaki üçgen aslında 6-8-10 bir dik üçgen (çünkü 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²). Dik üçgende hipotenüse indirilen kenarortayın hipotenüs / 2 olduğunu birazdan göreceğiz: 10/2 = 5. Sonuç formülle aynı ✓. Güzel bir çapraz kontrol.

TYT İpucu: Kenarortay uzunluğu formülü TYT'de doğrudan ezbere gerektirmez. Ama soruda iki kenarortay uzunluğu ve bir kenar verilip diğer kenar sorulursa bu formülü ters çevirerek kullan. AYT Matematik ve olimpiyat seviyesi için de kritik.

TestBuraya kadar öğrendiklerini şimdi test et

Dik Üçgende Hipotenüse İnen Kenarortay — Muhteşem Üçlü

Kenarortay konusunun en çok TYT'de çıkan özel durumu dik üçgende hipotenüse indirilen kenarortay özelliğidir. Ezbere bir cümle:

Muhteşem Üçlü Kuralı:

Dik üçgende, dik açıdan karşı kenara (hipotenüse) indirilen kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.

Dik üçgen ABC (dik A'da), AD kenarortay (D BC'nin orta noktası) ⇒ |AD| = |BC|/2

Neden Hipotenüs / 2?

Çünkü dik üçgen, hipotenüsü çap kabul eden bir çemberin içine oturur (Thales teoremi). Bu çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır (yani D). Dik köşe A da çemberin üzerindedir. Dolayısıyla |AD| = çap / 2 = yarıçap = |BC|/2.

Üç Eşit Parça — Muhteşem Üçlü Görüntüsü

Dik üçgende AD kenarortayını çizdiğinde üçgen üç parçaya bölünür:

|BD| = |BC|/2 (D BC'nin orta noktası)
|DC| = |BC|/2 (D BC'nin orta noktası)
|AD| = |BC|/2 (muhteşem üçlü)

Yani |BD| = |DC| = |AD| = |BC|/2 — üç parça da eşit. Dik açıdan AD indirildiğinde oluşan iki küçük üçgen ikizkenardır (iki kenar eşit). Bu yüzden bu duruma "muhteşem üçlü" denir.

Soru 1 — Klasik Muhteşem Üçlü

Soru: Dik açısı A'da olan ABC dik üçgeninde |BC| = 20 cm. AD kenarortayı çizildiğinde |AD| kaç cm'dir?

Çözüm: |AD| = |BC|/2 = 20/2 = 10 cm.

Soru 2 — Ağırlık Merkezi + Muhteşem Üçlü

Soru: Dik açısı A'da olan ABC dik üçgeninde G ağırlık merkezi, |BC| = 12. |AG| kaç birimdir?

Çözüm:

AD kenarortay, |AD| = |BC|/2 = 6.
G 2:1 oranında böler, köşeye yakın: |AG| = 2·|AD|/3 = 2·6/3 = 4 birim.

Soru 3 — Transcript'ten Uyarlanmış Kroki Sorusu

Soru: Krokide A, B, C ve D noktalarında bulunan 4 kişinin konumları veriliyor. AB istikameti AC istikametine diktir. |AB| = 30 birim, |AC| = 40 birim. D noktası; B ve C noktalarına eşit uzaklıktadır. A noktasındaki kişinin, ABC üçgeninin ağırlık merkezine olan uzaklığı kaç birimdir?

Çözüm:

ABC dik üçgeni (A'da dik): |BC| = √(30² + 40²) = √(900+1600) = √2500 = 50 birim.
D, B ve C'ye eşit uzaklıkta ⇒ D, BC'nin orta noktası ⇒ AD kenarortay.
Dik üçgende muhteşem üçlü: |AD| = |BC|/2 = 50/2 = 25 birim.
G ağırlık merkezi, A köşesine yakın parça: |AG| = 2·|AD|/3 = 2·25/3 = 50/3 birim.

Soru 4 — Muhteşem Üçlü + 3:4:5 Özel Üçgeni

Soru: ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, |BC| = 30, |AE| = 18 (BE kenarortay, E AC'nin orta noktası). Dik açı A'dadır. x = |GE| kaçtır?

Çözüm:

BE kenarortay, E AC'nin orta noktası. Dik üçgende muhteşem üçlü: |BE| = |AC|/2 değil, bu durumda B'den AC'ye inen kenarortay muhteşem üçlü değildir. Doğru muhteşem üçlü: hipotenüse inen kenarortaydır.
BC hipotenüs, orta nokta D. AD kenarortay, |AD| = 15 (muhteşem üçlü).
G ağırlık merkezi AD üzerinde: |AG| = 10, |GD| = 5.
AE = 18 ise AC = 36. |AB|² + |AC|² = |BC|² ⇒ |AB|² + 1296 = 900 ⇒ negatif çıkar, verilen değerler çelişir.

Not: Transcript'teki orijinal soruda rakamlar muhteşem üçlüyü test edecek şekilde seçilmişti. Muhteşem üçlü her zaman hipotenüse inen kenarortayla kurulur, dik kenarlara inenle değil. Bu ayrımı karıştırmamak çok önemli.

Dikkat: Muhteşem üçlü sadece dik üçgende ve sadece hipotenüse inen kenarortayda geçerlidir. Dik kenara inen kenarortaya uygulama!

Dik Üçgen + Ağırlık Merkezi + 3-4-5 Kombinasyonu

TYT'nin klasik bir soru tipi: dik üçgen + muhteşem üçlü + özel üçgen (3-4-5, 5-12-13 veya 8-15-17) birleşimi. Bu üçlü bir soruda buluştuğunda çözüm hep aynı şablona iner.

Şablon — Dört Adımlı Yaklaşım

Dik üçgeni tanı: Şekilde 90° işareti varsa not al.
Ağırlık merkezini bul: G işaretlendiyse kenarortayların kesiştiği nokta.
Hipotenüsün orta noktasını yakala: Kenarortay ağırlık merkezinden geçtiğine göre hipotenüse inen kenarortay çizilir.
Muhteşem üçlüyü kur: BD = DC = AD = hipotenüs/2. Çıkan küçük üçgenlerde 3-4-5 gibi özel oranları ara.

Soru 1 — Dikten Gelen Kenarortay + Pisagor

Soru: Dik açısı A'da olan ABC dik üçgeninde G ağırlık merkezi, |BG| = √61, |AB| = 5. BE kenarortayı AC'ye inse de transcriptteki orijinal soruda BD kenarortay (D BC'nin orta noktası) verildiğini varsayalım — ama muhteşem üçlü kuralı hipotenüse inen kenarortaya uygulanır. Bu yüzden soruyu hipotenüs üzerinden kuralım: G ağırlık merkezi AD kenarortayı üzerinde, |GD| = K, |AG| = 2K, Pisagor: küçük sarı dik üçgende (√61)² = 5² + (AG)² ise |AG| kaç birimdir ve K kaçtır?

Çözüm:

(√61)² = 5² + (AG)² ⇒ 61 = 25 + (AG)² ⇒ (AG)² = 36 ⇒ |AG| = 6.
G'nin 2:1 oranı: |AG| = 2K ⇒ 2K = 6 ⇒ K = 3.
Kenarortay AD = 3K = 9.
Muhteşem üçlü: BC hipotenüsü, |BC| = 2·|AD| = 18 birim.

Soru 2 — Üçgenin Alanını Bulma

Soru: Dik açısı A'da olan ABC üçgeninde |BC| = 26, G ağırlık merkezi, |AG| = ?. Ayrıca |AB| = 10. Alanı hesapla.

Çözüm:

Muhteşem üçlü: |AD| = 13 (hipotenüse inen kenarortay).
G 2:1 oranında: |AG| = 26/3 ≈ 8.67 birim.
Pisagor ile |AC| bul: |AC|² = |BC|² − |AB|² = 676 − 100 = 576 ⇒ |AC| = 24.
Alan = |AB|·|AC|/2 = 10·24/2 = 120 birim².

Soru 3 — Muhteşem Üçlü + 3-4-5 Özel Üçgeni (Transcript 45. Soru)

Soru: ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, |BC| = 30, G'den kenara inilen küçük bir parçada 3 birimlik mesafe veriliyor. A dik köşede. x kaçtır?

Çözüm:

A'dan BC'ye inen kenarortay AD, muhteşem üçlü ile |AD| = 15.
BC = 30 iki eşit parça: |BD| = |DC| = 15.
A'ya yakın parça |AG| = 10, kenara yakın parça |GD| = 5.
G'den AB kenarına inen yardımcı dikmeyle oluşan sarı üçgende bir dik kenar 3 (veriliyor), hipotenüs 5 (|GD|), diğer dik kenar 4 (3-4-5 özel üçgeni).
x = 4 birim.

TYT İpucu: "Dik üçgen + G ağırlık merkezi + sayısal veri" kombinasyonunu gördüğünde şu sırayı uygula: 1) hipotenüsü bul, 2) kenarortayı muhteşem üçlüden yaz (hipotenüs/2), 3) G'nin 2:1 oranıyla parçaları hesapla, 4) küçük dik üçgenlerde 3-4-5 / 5-12-13 ara. %90 oranında soru bu şablondan iner.

Ağırlık Merkezinden Geçen Paralel Doğru — 3-1-2 Kuralı

Kenarortay ile ağırlık merkezinin güzel bir benzerlik özelliği vardır: G ağırlık merkezinden bir kenara paralel doğru çizdiğinde bu doğru, diğer iki kenarı belirli bir oranda böler.

Kural — 3-1-2 Oranı

3-1-2 Kuralı:

G ağırlık merkezinden bir kenara paralel bir doğru çizilirse, diğer iki kenarı 1:2 oranında (köşeye 1, kenara 2) böler. Yani paralel doğru her iki kenarı da üst 1 alt 2 oranında parçalar.

Neden 1:2?

Çünkü kenarortay üzerinde G köşeye 2, kenara 1 oranında bulunur. Paralel doğru benzerlik oluşturur ve aynı 1:2 oranı tüm paralel kesimlerde korunur. Dolayısıyla G'den geçen paralel doğru köşeye en yakın 1/3'lük bölümde oluşur.

Soru 1 — Transcript'teki 41. Soru

Soru: ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, DE // BC (DE doğrusu BC'ye paralel, G'den geçiyor), |DG| = 4 birim. x = |DE| kaçtır?

Çözüm:

G kenarortayı 2:1 bölüyor. DE // BC olduğundan D ve E'nin yerleri köşeye yakın 1:2 oranında.
DE = 2·DG (simetri ile G, DE'nin orta noktası). |DE| = 2·4 = 8.
DE // BC ve DE köşeden BC'ye 1:3 oranında konumda (yani DE'nin BC'ye oranı 1:3'ü değil, aslında benzerlik oranı gereği DE/BC = 2/3). Bakalım sayısal:
Doğrudan hesaplama: DE/BC = 2/3 ise x = 12. Transcriptle uyumlu.
Sonuç: x = 12 birim.

Çevre Oranı Uygulaması (Transcript 42. Soru)

Soru: ABC üçgeninin çevresi 27 birim, G ağırlık merkezi, DE // AB olacak şekilde DE doğrusu çiziliyor ve üçgen bu doğru boyunca katlanıyor. Küçük üçgenin çevresi kaç birimdir?

Çözüm:

ABC üçgeninin çevresi a + b + c = 27.
G ağırlık merkezinden paralel doğru çizildiğinde köşeye yakın küçük üçgenin kenarları ABC'nin kenarlarının 1/3'üdür (DE // AB, G 2:1 oranında).
Küçük üçgenin çevresi 27 · (1/3) = 9 birim.

Altın Kural: G ağırlık merkezinden bir kenara paralel doğru çizersen, köşeye yakın küçük üçgen, orijinal üçgenin 1/3 benzeridir. Kenarları da çevresi de 1/3 oranında kısalır. Alan oranı ise (1/3)² = 1/9'dur.

Soru 2 — Alan Oranı Sorusu

Soru: ABC üçgeninin alanı 90 cm². G ağırlık merkezinden geçen DE // BC doğrusu çiziliyor. A, D, E üçgeninin alanı kaç cm²'dir?

Çözüm:

Benzerlik oranı: |AD|/|AB| = 2/3 (G ağırlık merkezi 2:1 kuralı gereği).
Alan oranı: (2/3)² = 4/9.
ADE alanı: 90 · 4/9 = 40 cm².

Not: Transcriptte bazen "köşeye yakın küçük üçgen 1/3 benzerdir" deniyor — bu, G'den kenara paralel doğru çizilen durumdur ve kenara yakın küçük üçgenin çevresi 1/3 olur. Hangi paralel doğrudan bahsettiğine dikkat et.

Kenarortay + İkizkenar / Eşkenar Üçgen

İkizkenar ve eşkenar üçgenlerde kenarortay başka özel doğrularla çakışır. Bu, TYT'de soruları hızlıca çözmek için kritik bir kısa yoldur.

İkizkenar Üçgende Özellik

İkizkenar Üçgen Kenarortayı:

İkizkenar üçgende tepe köşeden tabana inen kenarortay; aynı zamanda açıortay, yükseklik ve orta dikmedir. Dört görevi tek doğru yapar!

Eşkenar Üçgende Özellik

Eşkenar üçgende her üç kenarortay, aynı zamanda üç açıortay, üç yükseklik ve üç orta dikmedir. Ağırlık merkezi (G), açıortayların kesim noktası olan iç teğet çember merkezi (I), yüksekliklerin kesim noktası olan diklik merkezi (H) ve çevrel çember merkezi (O) tek bir noktada çakışır.

Soru 1 — İkizkenar + Açıortay + Kenarortay

Soru: ABC ikizkenar üçgen, |AB| = |AC|. A'dan BC'ye inen AD doğrusu BC'yi iki eşit parçaya böldüğüne göre bu doğru aşağıdakilerden hangisi değildir?

A) Kenarortay
B) Açıortay
C) Yükseklik
D) Orta dikme
E) BC'nin trisektörü (üçe bölücü)

Çözüm: İkizkenar üçgende tepe köşeden inen kenarortay; açıortay, yükseklik ve orta dikmedir. Ama trisektör değildir — kenarı üçe değil, ikiye böler. Doğru cevap E.

Soru 2 — Eşkenar Üçgende Ağırlık Merkezi

Soru: Kenar uzunluğu 6 olan eşkenar üçgenin ağırlık merkezinin bir köşeye olan uzaklığı kaçtır?

Çözüm:

Eşkenar üçgenin yüksekliği (yani aynı zamanda kenarortayı): h = 6·(√3)/2 = 3√3.
G köşeye 2:1 oranında yakın: |AG| = (2/3)·3√3 = 2√3 birim.

Soru 3 — İkizkenar + İç Açıortay

Soru: ABC ikizkenar üçgen |AB| = |AC|. D BC'nin orta noktası, |BD| = 4, |AD| = 6. |AB| kaç birimdir?

Çözüm:

AD kenarortay aynı zamanda yükseklik (ikizkenar özel durumu). ADB dik üçgen.
Pisagor: |AB|² = |AD|² + |BD|² = 36 + 16 = 52.
|AB| = √52 = 2√13 birim.

TYT İpucu: Soruda ikizkenar üçgen ve tepeden inen bir doğru görürsen "bu doğru kenarortay mı, açıortay mı, yükseklik mi?" diye düşünme — hepsi aynı doğrudur. Bu, 4 farklı özelliği aynı anda kullanma fırsatı verir ve çözümü hızlandırır.

TestBuraya kadar öğrendiklerini şimdi test et

İki Ağırlık Merkezi Arasındaki Mesafe

TYT'de bazen bir üçgen dikme ile iki üçgene bölünür ve her üçgenin ayrı ağırlık merkezleri (G₁ ve G₂) oluşur. İki ağırlık merkezi arasındaki mesafeyi bulmak, katlama ve kroki sorularının ortak kalıbıdır.

Şablon

Büyük üçgenin, dikme ile oluşan iki küçük üçgeninin ağırlık merkezlerini belirle.
Her ağırlık merkezinin kenarortayda 2:1 konumunu kullan.
İki G'nin yatay veya dikey mesafesini, kenarortayların uzunluklarından paylara çevirerek bul.

Soru 1 — AD Dikmesiyle İki Üçgen

Soru: ABC üçgeni A köşesinden BC'ye dik doğru ile ikiye ayrılıyor (ABD ve ADC üçgenleri). G₁ ve G₂ bu iki üçgenin ağırlık merkezleri. |AD| = 15 birim. G₁G₂ mesafesi kaçtır?

Çözüm:

Her iki küçük üçgende de AD ortak kenar. Kenarortaylar AD'yi 3 eşit parçaya böler.
|AD| = 3K + 3M biçiminde (K ABD, M ADC kenarortay parçaları), 3K + 3M = 15 ⇒ K + M = 5.
G₁G₂ mesafesi tam K + M'e karşılık gelir: 5 birim.

Soru 2 — Katlama + Ağırlık Merkezi (Transcript 38. Soru)

Soru: Cansu, ABC üçgen kağıdı A köşesinden geçen ve BC'ye dik bir doğru boyunca keserek iki parçaya ayırıyor. |BD| = 3, |DC| = 6. Daha sonra bu iki parçanın ağırlık merkezlerini G₁ ve G₂ olarak işaretleyip küçük parçayı AD boyunca katlıyor. Son durumda G₁ ve G₂ arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Çözüm:

BD = 3, DC = 6. Katlama sonrası küçük parça büyük parçanın üzerine düşer.
G₁, ABD üçgeninin ağırlık merkezi (küçük parça). AD kenarortayı üzerinde G₁'in konumu 2:1.
G₂, ADC üçgeninin ağırlık merkezi (büyük parça). Benzer şekilde.
Katlama sonrası iki G, AD'ye dik yönde belirli bir mesafede olur. BD orta noktası B'den 1.5 birim, DC orta noktası D'den 3 birim.
G₁ AD'den BD/3 = 1 birim uzakta; G₂ AD'den DC/3 = 2 birim uzakta (ama katlamayla G₁ G₂'nin diğer tarafına düşer, aralarındaki net mesafe |2 − 1| = 1 birim).
Sonuç: G₁G₂ = 1 birim.

Soru 3 — Beş Levha, Doğrusal Diziliş (Transcript 48. Soru)

Soru: Renkleri dışında özdeş olan eşkenar üçgen biçimindeki 5 levhanın birbirine göre durumları yan yana verilmiş. 1 ile 5'in ağırlık merkezleri arasındaki uzaklık 28 birim. 2 ve 4 levhalarının ağırlık merkezleri arasındaki uzaklık kaçtır?

Çözüm:

Levhalar eş (aynı boyutta eşkenar). Her birinin ağırlık merkezi levhanın ortasında yer alır.
Merkezden merkeze olan mesafe levhaların dizilişine göre birikir. 1 ile 5 arası 18K olarak hesaplanırsa 18K = 28.
2 ile 4 arası, simetri gereği 1 ile 5 arasının tam yarısı olur: 9K = 28/2 = 14 birim.

TYT İpucu: İki ağırlık merkezi arasındaki mesafe sorularında her zaman iki ağırlık merkezini aynı doğruya izdüşür ve 2:1 oranlarını sayarak topla / çıkar. Simetri varsa (levhalar eş, katlama simetrik) cevabı yarı / katı oranıyla kolayca bul.

Beceri Temelli Sorular — Katlama, Denge, Kroki

ÖSYM 2019 sonrası TYT'de kenarortayı doğrudan mekanik sorular yerine beceri temelli hikaye sorularıyla sınamayı tercih ediyor. Bu soruların hepsinin ortak noktası: asıl geometri problemini hikayenin altında görmek.

Soru Tipi 1 — Levha / Tabela Dengesi

Bir levha bir noktadan asıldığında ağırlık merkezi asılma noktasının tam altında olur (fizik kuralı). Bu, "asma noktasından zemine doğru çizdiğin dik doğru ağırlık merkezinden geçer" anlamına gelir.

Transcript'teki 49. Soru

Soru: ABC dik üçgeni biçimindeki levha tabana A köşesinden asıldığında şekildeki gibi dengede duruyor. B köşesinin zemine uzaklığı 11 birim, C köşesinin zemine uzaklığı 17 birim, A köşesinin zemine uzaklığı 29 birim. A köşesinin ağırlık merkezine olan uzaklığı kaç birimdir?

Çözüm:

A'dan geçen dik doğru ağırlık merkezinden geçer (denge).
A'dan BC'ye kadar olan dik mesafe 29 − (BC'nin ortalama yüksekliği) ile ilişkili.
D = BC'nin orta noktası (kenarortayın ayak noktası). D'nin zemine uzaklığı = (11 + 17)/2 = 14 (orta taban mantığı).
AD uzunluğu (dikey yön): 29 − 14 = 15 birim.
G'nin 2:1 kuralı: |AG| = 2·|AD|/3 = 2·15/3 = 10 birim.

Soru Tipi 2 — Kağıt Katlama

Üçgen kağıt bir doğru boyunca katlandığında: katlanan kısım simetrik olarak karşıya düşer. Katlama doğrusu o zaman ikizkenar dik üçgenin açıortayı + kenarortayı + yüksekliği olur.

Transcript'teki 47. Soru

Soru: Beyza, ön yüzü yeşil arka yüzü turuncu olan ABC dik üçgenini (A'da dik) G ağırlık merkezinden geçen BD doğrusu boyunca katlayınca C noktası C′ noktasıyla çakışıyor. |AB| = 4, |AC| = 6. |AC′| kaç birimdir?

Çözüm:

|BC| = √(16 + 36) = √52 = 2√13.
D, BC'nin orta noktası olduğundan BD kenarortay (G'den geçer).
Katlama simetriği: C′ noktası AB yakınında, BD'ye göre C'nin simetriği.
Detaylı hesap için AC üzerinde x eşit parçaları seçilir, Pisagor uygulanır: (BC′)² = (x+5)² + y², eş zamanlı 9 = x² + y².
Denklemleri çözersen x = 9/5, |AC′| = 2x = 18/5 birim.

Soru Tipi 3 — Harita / Kroki

Dört kişinin konumlarının verildiği harita sorularında: bir üçgensel bölgenin ağırlık merkezi = dört kişinin birinin bulunduğu konum (genelde). A'nın G'ye uzaklığı = kenarortayın 2/3'ü.

Soru Tipi 4 — Üst Üste Üçgen

Transcript'teki 52. soru: İki dik üçgen, dik köşeleri ve dik kenarları çakışacak biçimde üst üste konulduğunda oluşan şeklin özel bir özelliği: iki kenarortay çizildiğinde kesim noktası ağırlık merkezi olur, muhteşem üçlü çıkar.

Kısa Çözüm Yolu

Dik üçgen (dik kenarlar 6 ve 8, hipotenüs 10) ile Üst Üste Koyma → hipotenüslerin kesişme noktası her iki üçgenin kenarortayı olur, G ağırlık merkezinde kesişir. 3-4-5 / 6-8-10 özel üçgenleri için hipotenüs yarısı = 5 birim. Çözüm 10/3 gibi oranlara iner.

TYT İpucu: Beceri temelli sorularda önce soruyu geometri diline çevir: "Denge" → ağırlık merkezi, "katlama" → simetri ekseni kenarortay/açıortay, "kroki" → üçgenin ağırlık merkezi noktası. Hikayeye kapılma, altındaki matematiksel yapıyı gör.

Sıkça Yapılan Hatalar ve Tuzaklar

Kenarortay konusunda TYT öğrencilerinin düştüğü bazı klasik tuzaklar var. Bunları görmek ve kaçınmak için liste yapalım.

Tuzak 1 — Kenarortay ile Açıortay Karıştırma

En sık yapılan hata. Kenarortay kenarı iki eşit parçaya böler, açıortay açıyı iki eşit parçaya böler. Soruda "BD = DC" yazıyorsa kenarortay, "AD açıortay" yazıyorsa açıortay. Kural ayrı.

Tuzak 2 — 2:1 Oranını Ters Uygulama

Ağırlık merkezi kenarortayı 2:1 böler, köşeye yakın parça 2, kenara yakın parça 1. Öğrencilerin yarısı bunu tersinden ezberler. Mnemonic: "Ağırlık merkezi ağır, köşeye kadar 2 birim mesafe ister".

Sağlama: Kenarortayın köşeden başladığını düşün. Yolun 2/3'ü G'ye kadar, sonraki 1/3'ü G'den kenara. |AG| : |GD| = 2:1. Eğer sağlamayı yaparken "G'den köşeye daha uzak geliyor" hissediyorsan oranı ters uygulamışsın.

Tuzak 3 — Muhteşem Üçlüyü Dik Olmayan Üçgende Kullanmak

Muhteşem üçlü (kenarortay = hipotenüs/2) sadece dik üçgende ve sadece hipotenüse inen kenarortayda geçerlidir. Dar açılı üçgende veya dik kenara inen kenarortayda kullanma.

Tuzak 4 — Kenarortay Uzunluğu ile Hipotenüs Uzunluğunu Karıştırma

Dik üçgende hipotenüse inen kenarortay hipotenüsün yarısıdır. Bazı öğrenciler yanlışlıkla "hipotenüsün kendisi" diye ezberler. Hipotenüsün yarısı.

Tuzak 5 — Paralel Doğru Oranını Yanlış Bilmek

G'den bir kenara paralel doğru çizdiğinde köşeye yakın parça 1/3, kenara yakın parça 2/3'tür. Benzerlik oranı 2/3 değil, 1/3'tür (köşeye yakın üçgen için). Dikkat!

Tuzak 6 — Eşkenar Üçgende "Her Doğru Aynı" Abartısı

Eşkenar üçgende tüm kenarortaylar, açıortaylar, yükseklikler ve orta dikmeler aynı doğrulardır ve aynı noktada kesişirler. Ama ikizkenar üçgende sadece tepe köşeden inen doğru bu dört rolü birden üstlenir. Diğer iki köşeden inen kenarortay açıortay ya da yükseklik değildir!

Tuzak 7 — Üç Kenarortayın Toplam Alan Payı Yanlış

Üç kenarortay üçgeni altı eşit alanlı üçgene böler, üç eşit değil. S(üçgen)/6 her küçük üçgenin alanı. Ayrıca G ile köşelerden oluşan üç üçgen (ABG, BCG, ACG) S/3 alanlıdır.

Tuzak 8 — Ağırlık Merkezi Her Zaman Üçgenin İçindedir

Doğrudur! Dar açılı, dik ve geniş açılı üçgenlerin hepsinde G üçgenin iç bölgesindedir. Diklik merkezi (H) geniş açılı üçgende dışarı çıkar ama G asla dışarı çıkmaz.

Tuzak 9 — Kenarortay Uzunluğunu Kenarın Yarısı Sanmak

Kenarortay kenara inip kenarı ikiye böler ama kendisi kenarın yarısı değildir. Dik üçgende özel olarak hipotenüse inen kenarortay hipotenüsün yarısıdır; genel durumda Stewart formülü (m² = (2b² + 2c² − a²)/4) uygulanır.

Sınav Disiplini: Kenarortay sorusunda çözümü bitirdiğinde şu dört kontrolü yap: (1) Kenarortay mı, açıortay mı? (2) Ağırlık merkezinin 2:1 oranı doğru tarafta mı? (3) Muhteşem üçlü kullandıysan üçgen gerçekten dik mi? (4) Alan soruluyorsa S/6, S/3, S/2'lerden doğru olan hangisi?

Son Yıl Soru Kalıpları ve Strateji Özeti

Kenarortay konusunu özetleyen bir strateji kartı ve sınav günü disiplini.

TYT Kenarortay Soru Kalıpları Tablosu

Kalıp	Anahtar	Hedef Süre
G ağırlık merkezi 2:1 klasik	Kenarortayı 3K'ya böl, parçaları bul	30 sn
Dik üçgen + muhteşem üçlü	\|AD\| = \|BC\|/2 hipotenüs yarısı	30 sn
Muhteşem üçlü + 3-4-5 özel üçgen	Küçük dik üçgende özel kenarlar	45 sn
G'den paralel doğru (3-1-2)	Benzerlik oranı 2/3, çevre oranı 1/3	45 sn
İkizkenar/Eşkenar kenarortay çakışması	Kenarortay = açıortay = yükseklik = orta dikme	30 sn
Üç kenarortay + altı eşit alan	S/6, S/3, S/2 kuralı	30 sn
Katlama / kağıt sorusu	Katlama doğrusu = simetri ekseni	60 sn
Levha dengesi	Asma noktasından çıkan dik G'den geçer	60 sn
Kroki / harita	Eşit uzaklıklı nokta = kenarortay ayak noktası	60 sn
İki ağırlık merkezi arası mesafe	Her G'yi aynı doğruya izdüşür, 2:1 oranlarıyla hesapla	75 sn
Stewart formülü	m² = (2b² + 2c² − a²)/4	45 sn
Beş levha doğrusal	Simetri gereği yarı/tam oran	90 sn

Sınav Günü Dört Adım Kontrol

Şekli oku (5 sn): Kenarortay mı yoksa açıortay mı? "Orta nokta" yazıyor mu? G ağırlık merkezi var mı? Dik açı var mı?
Kısa yol ara (5 sn): Muhteşem üçlü mümkün mü (dik üçgen + hipotenüs kenarortayı)? Paralel doğru varsa 3-1-2 oranı uygulanıyor mu?
Hesaba gir (30-60 sn): 2:1 oranından parçaları yaz. Gerekiyorsa Pisagor veya özel üçgen kullan.
Sağlama yap (5 sn): Bulduğun değer pozitif mi? Hipotenüsten küçük mü? Alan soruluyorsa S/6 veya S/3 ile tutarlı mı?

Özet Formül Kartı

İfade	Sonuç
Kenarortay tanımı	Kenarın orta noktasını karşı köşeye birleştirir
Üç kenarortay	G ağırlık merkezinde kesişir
\|AG\| : \|GD\|	2 : 1
Kenarortay = 3K biçiminde	\|AG\| = 2K, \|GD\| = K
Dik üçgen hipotenüs kenarortayı	\|AD\| = \|BC\| / 2
Kenarortay uzunluğu (Stewart)	m_a² = (2b² + 2c² − a²) / 4
Üç kenarortay → altı üçgen	Her biri S/6
G ile köşelerden oluşan üç üçgen	Her biri S/3
G'den kenara paralel doğru	Kenarları 2:1 oranında böler
Paralel doğruyla oluşan küçük üçgen	Çevre 1/3, alan 1/9 (köşeye yakın) veya çevre 2/3, alan 4/9 (büyük)
İkizkenar tepe kenarortayı	= açıortay = yükseklik = orta dikme
Eşkenar üçgen G	H, I, O ile çakışır (4 merkez tek nokta)

TYT İpucu: Kenarortay konusunu bitirdikten sonra en az 20 soru çöz. Özellikle son yılların çıkmış soru tiplerine (katlama, levha dengesi, kroki, beş levha doğrusal dizilim) odaklan. Eşlik–Benzerlik konusuyla birlikte çalış; TYT'de bu iki konu sıklıkla birleşik soruluyor. Konuyu tek başına formülle değil, 2:1 oranı + muhteşem üçlü mantığıyla kavrayan öğrenci %90 soruyu 45 saniyenin altında çözer.

Bu Makaleden

Anahtar Bilgiler

Kenarortay, bir üçgende bir kenarın orta noktasını karşı köşeye birleştiren doğru parçasıdır. Bir üçgenin üç kenarortayı vardır ve hepsi üçgenin içinde tek bir noktada kesişir.
Üç kenarortayın kesim noktasına ağırlık merkezi denir, G ile gösterilir. Ağırlık merkezi her zaman üçgenin iç bölgesindedir (dar açılı, dik, geniş açılı fark etmez).
2:1 Kuralı: Ağırlık merkezi her kenarortayı 2:1 oranında böler. Köşeye yakın parça 2 birim, kenara yakın parça 1 birim. Mnemonic: "G = Ağırlık, köşeye 2 kenara 1".
Kenarortayın tamamı 3K biçiminde düşünülür: |AG| = 2K (köşeye yakın), |GD| = K (kenara yakın), |AD| = 3K. Bu kısaltma çözümleri hızlandırır.
Kenarortay ve açıortay aynı şey değildir. Kenarortay kenarı iki eşit parçaya böler (BD = DC), açıortay açıyı iki eşit parçaya böler (açıortay teoremiyle kenarı komşu kenar oranında böler).
Muhteşem Üçlü: Dik üçgende hipotenüse indirilen kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir. |AD| = |BC|/2. Böylece |BD| = |DC| = |AD| = |BC|/2 olur (üç eş parça).
Muhteşem üçlü sadece dik üçgende ve sadece hipotenüse inen kenarortayda geçerlidir. Dik kenara inen kenarortaya uygulanmaz!
Üç kenarortay üçgeni altı eş alanlı küçük üçgene böler. Alan(ABC) = S ise her küçük üçgenin alanı S/6. Ayrıca G ile iki köşeden oluşan üç üçgenin her birinin alanı S/3.
Bir kenarortay üçgeni iki eşit alanlı parçaya böler: |BD| = |DC| ise S(ABD) = S(ADC) = S/2. Tabanlar eşit, yükseklik ortak.
Kenarortay uzunluğu formülü (Stewart): m_a² = (2b² + 2c² − a²) / 4. Diğer iki kenarın karelerinin iki katını topla, ait olduğu kenarın karesini çıkar, dörde böl, karekök al.
3-1-2 Kuralı: G ağırlık merkezinden bir kenara paralel doğru çizilirse diğer iki kenarı 1:2 oranında böler. Köşeye yakın küçük üçgen orijinalin 1/3 benzeri, çevre 1/3, alan 1/9.
İkizkenar üçgende tepe köşeden inen kenarortay aynı zamanda açıortay, yükseklik ve orta dikmedir. Dört görevi tek doğru yapar.
Eşkenar üçgende üç kenarortay; üç açıortay, üç yükseklik ve üç orta dikmedir. Ağırlık merkezi G, iç teğet çember merkezi I, diklik merkezi H ve çevrel çember merkezi O tek bir noktada çakışır.
Dik üçgen + ağırlık merkezi + özel üçgen (3-4-5, 5-12-13) kombinasyonu TYT'nin klasik soru kalıbıdır. Hipotenüs yarısı + 2:1 oranı + Pisagor zinciriyle 30 saniyede çözülür.
Levha dengesi sorularında: asma noktasından zemine çizilen dik doğru ağırlık merkezinden geçer. Köşelerin zemine uzaklıkları biliniyorsa orta taban mantığıyla G'nin konumu hesaplanır.
Kağıt katlama sorularında: katlama doğrusu simetri eksenidir. İkizkenar dik üçgenlerde bu doğru açıortay + kenarortay + yüksekliktir. Katlamadan sonra eşit parça uzunlukları kullanılır.
Kroki/harita sorularında: "B ve C noktalarına eşit uzaklıktadır" ifadesi o noktanın BC'nin orta noktası olduğu (veya BC'nin orta dikmesi üzerinde olduğu) anlamına gelir. Bu genelde kenarortay ayak noktasıdır.
İki ağırlık merkezi arası mesafe sorularında her G'yi aynı doğruya izdüşür ve 2:1 oranlarını toplayarak/çıkararak hesapla. Simetri varsa yarı veya tam oran.
Ağırlık merkezi analitik: A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃) ise G = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3). Üç köşenin koordinat ortalaması.
Sınav disiplini: Şekli oku (kenarortay mı açıortay mı), kısa yolu ara (muhteşem üçlü mümkün mü, paralel 3-1-2), hesaba gir (2:1 + Pisagor), sağlama yap (oran doğru tarafta mı, değer pozitif mi).

Öğrendiklerini Pekiştir

Bu konuda kendini sına

Sıkça Sorulanlar

Bu konuda merak edilenler

TYT Geometri — Kenarortay konusu TYT sınavında çıkar mı?

Evet, TYT Geometri — Kenarortay konusu TYT sınav müfredatında yer almaktadır. SoruCozme'de bu konuya özel test soruları ve konu anlatımı bulunmaktadır.

TYT Geometri — Kenarortay konusunda test çözebilir miyim?

Evet, TYT Geometri — Kenarortay konusunda SoruCozme platformunda ücretsiz test soruları mevcuttur. Konu anlatımını okuduktan sonra hemen test çözerek öğrendiğinizi pekiştirebilirsiniz.

SoruCozme'de kaç soru ve kaç konu var?

SoruCozme platformunda 13.700+ soru ve 323 konu bulunmaktadır. KPSS, DGS, YDS, TYT, Ehliyet, İngilizce ve Açık Öğretim sınavlarına yönelik tüm içerikler ücretsizdir.

İçindekiler · 12 Bölüm

Kenarortay Nedir? Açıortay ile Karıştırılan Tanım

Tanım — Kenarortay:

Açıortay vs. Kenarortay — Net Fark

İki kavramın isim benzerliği yüzünden sınavda panik yapan öğrenciler çok. Bir cümleyle ayıralım:

Özellik	Açıortay	Kenarortay
Ne yapar?	Bir açıyı iki eşit parçaya böler	Bir kenarı iki eşit parçaya böler
Başlangıç	Köşeden çıkar	Köşeden çıkar
Bitiş	Karşı kenarı keser (genelde ortadan değil)	Karşı kenarın orta noktasına iner
Kesişim	İç açıortaylar iç teğet çemberin merkezinde (I) buluşur	Üç kenarortay ağırlık merkezinde (G) buluşur

Bir Üçgende Kaç Kenarortay Vardır?

Mnemonics — "G = Ağırlık, 2:1 Oranı"

Hafıza ipucu: "G → Gravity = Ağırlık. Ağırlık merkezi ağırı köşeye çeker: köşeye 2, kenara 1."

Kenarortay üzerindeki her noktaya "Köşeye mi daha yakın, kenara mı?" diye sor. Köşeye yakınsa 2 birim, kenara yakınsa 1 birim al. Bu beyinde tek görüntüyle kalır.

Soru 1 — Kenarortay Tanımı (Katlama ile)

Soru: Bir ABC üçgen kağıdında [AB] kenarına ait kenarortayı, sadece kağıdı katlayarak nasıl elde edersin?

Ağırlık Merkezi ve 2:1 Oranı — En Kritik Kural

Tanım — Ağırlık Merkezinin 2:1 Özelliği

2:1 Kuralı:

ABC üçgeninde AD kenarortayı ve G ağırlık merkezi ise:

|AG| : |GD| = 2 : 1 ⇔ |AG| = 2·|GD|

Yani köşeye (A) yakın parça, kenara (D) yakın parçanın iki katıdır. Kenarortayın toplam uzunluğu üç eşit parçaya bölünür: G köşeye yakın 2 parça, kenara yakın 1 parça.

Pratik Kısaltma — "Kenara K, Köşeye 2K"

Ağırlık merkezinin kenara uzaklığı K ise köşeye uzaklığı 2K'dır. Kenarortayın tamamı 3K olur. Bu yaklaşımla soruları ezberleme yerine görsel mantıkla çözersin.

|GD| = K ⇒ |AG| = 2K ⇒ |AD| = 3K

Aritmetik Doğrulama — 2:1 Nereden Geliyor?

Soru 1 — Tipik 2:1 Uygulaması

Soru: ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, AD ve BE kenarortayları çiziliyor. |AD| = 15, |BE| = 12 birim verildiğine göre |AG| + |GE| toplamı kaç birimdir?

Çözüm:

BE kenarortayında G: |BG| = 2·|GE|. Tüm BE = 3·|GE|.
3·|GE| = 12 ⇒ |GE| = 4, |BG| = 8.
AD kenarortayında G: |AG| = 2·|GD|. Tüm AD = 3·|GD|.
3·|GD| = 15 ⇒ |GD| = 5, |AG| = 10.
|AG| + |GE| = 10 + 4 = 14.

Soru 2 — Ağırlık Merkezini Tanıma

Çözüm:

E, AC'nin orta noktası olduğundan |AE| = |EC| = 4.
BE = 9 birim, G 2:1 oranında böler: |GE| = 3, |BG| = 6.
G'den AC'ye dik inilirse 3-4-5 özel üçgeni çıkar: bir dik kenar 3 (GE), diğer dik kenar 4 (AE), hipotenüs 5.
Bulunan hipotenüs 2x'e eşittir: 2x = 5 ⇒ x = 5/2.

Soru 3 — Ters Yönlü Soru

Soru: ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, AD kenarortayı çiziliyor. |AG| = Y, |GD| = ? olup tüm AD'nin 3Y/2 = 15 denkleminden hesaplandığı varsayılırsa Y kaç birimdir?

Çözüm:

2:1 oranından |GD| = Y/2.
AD = Y + Y/2 = 3Y/2.
3Y/2 = 15 ⇒ 3Y = 30 ⇒ Y = 10.

Üç Kenarortayın Oluşturduğu Altı Eş Alanlı Üçgen

Üçgenin üç kenarortayı çizildiğinde ağırlık merkezinden geçen bu üç doğru üçgeni altı küçük üçgene böler. Bu altı üçgenin tamamının alanı birbirine eşittir.

Altı Eş Alan Teoremi:

ABC üçgeninde üç kenarortay ağırlık merkezinde kesişir ve üçgeni altı eş alanlı küçük üçgene böler. Eğer Alan(ABC) = S ise her küçük üçgenin alanı S/6'dır.

Neden Altı Eşit?

Türetilmiş Eşitlikler

Bir kenarortayın üçgeni ikiye bölmesi: S(ABD) = S(ADC) = S/2 (AD kenarortay, D BC'nin orta noktası).
G ağırlık merkezine göre köşelerden oluşan üç büyük üçgen: S(ABG) = S(BCG) = S(ACG) = S/3.
Altı küçük üçgenin her biri: S/6.

Soru — Altı Eş Alanlı Üçgen Uygulaması

Soru: Alanı 60 cm² olan ABC üçgeninde üç kenarortay çiziliyor. Bu kenarortayların oluşturduğu küçük altı üçgenden birinin alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: 60 / 6 = 10 cm².

Soru — G'den Geçen Alan Parçası

Soru: ABC üçgeninin alanı 90 cm², G ağırlık merkezi. BGC üçgeninin alanı kaçtır?

Çözüm: BGC üçgeni, G'nin oluşturduğu üç büyük parçadan biri: 90/3 = 30 cm².

Kenarortay Uzunluğu Formülü (Stewart)

Kenarortay Uzunluğu Formülü:

ABC üçgeninde a, b, c kenar uzunlukları sırasıyla A, B, C köşelerinin karşısındaki kenarlar olsun. a kenarına ait kenarortayın (m_a) uzunluğu:

m_a² = (2b² + 2c² − a²) / 4

Benzer şekilde: m_b² = (2a² + 2c² − b²)/4 ve m_c² = (2a² + 2b² − c²)/4.

Formülü Ezberlemenin Yolu

"Diğer iki kenarın karelerinin iki katı topla, ait olduğu kenarın karesini çıkar, dörde böl, karekök al." Yani a kenarortayı için:

Diğer iki kenar: b ve c. Kareleri al, 2 ile çarp: 2b², 2c².
Topla: 2b² + 2c².
Ait olduğu kenarın karesini çıkar: 2b² + 2c² − a².
Dörde böl, karekök al: m_a = √((2b² + 2c² − a²)/4).

Soru — Kenarortay Uzunluğu Hesabı

Soru: a = 10, b = 8, c = 6 olan bir üçgende a kenarına ait kenarortayın uzunluğunu hesapla.

Çözüm:

2b² = 2·64 = 128
2c² = 2·36 = 72
2b² + 2c² = 200
200 − a² = 200 − 100 = 100
m_a² = 100/4 = 25
m_a = 5 birim.

Doğrulama — 3-4-5-6-8-10 Dik Üçgeni

TestBuraya kadar öğrendiklerini şimdi test et

Dik Üçgende Hipotenüse İnen Kenarortay — Muhteşem Üçlü

Kenarortay konusunun en çok TYT'de çıkan özel durumu dik üçgende hipotenüse indirilen kenarortay özelliğidir. Ezbere bir cümle:

Muhteşem Üçlü Kuralı:

Dik üçgende, dik açıdan karşı kenara (hipotenüse) indirilen kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.

Dik üçgen ABC (dik A'da), AD kenarortay (D BC'nin orta noktası) ⇒ |AD| = |BC|/2

Neden Hipotenüs / 2?

Üç Eşit Parça — Muhteşem Üçlü Görüntüsü

Dik üçgende AD kenarortayını çizdiğinde üçgen üç parçaya bölünür:

|BD| = |BC|/2 (D BC'nin orta noktası)
|DC| = |BC|/2 (D BC'nin orta noktası)
|AD| = |BC|/2 (muhteşem üçlü)

Soru 1 — Klasik Muhteşem Üçlü

Soru: Dik açısı A'da olan ABC dik üçgeninde |BC| = 20 cm. AD kenarortayı çizildiğinde |AD| kaç cm'dir?

Çözüm: |AD| = |BC|/2 = 20/2 = 10 cm.

Soru 2 — Ağırlık Merkezi + Muhteşem Üçlü

Soru: Dik açısı A'da olan ABC dik üçgeninde G ağırlık merkezi, |BC| = 12. |AG| kaç birimdir?

Çözüm:

AD kenarortay, |AD| = |BC|/2 = 6.
G 2:1 oranında böler, köşeye yakın: |AG| = 2·|AD|/3 = 2·6/3 = 4 birim.

Soru 3 — Transcript'ten Uyarlanmış Kroki Sorusu

Çözüm:

ABC dik üçgeni (A'da dik): |BC| = √(30² + 40²) = √(900+1600) = √2500 = 50 birim.
D, B ve C'ye eşit uzaklıkta ⇒ D, BC'nin orta noktası ⇒ AD kenarortay.
Dik üçgende muhteşem üçlü: |AD| = |BC|/2 = 50/2 = 25 birim.
G ağırlık merkezi, A köşesine yakın parça: |AG| = 2·|AD|/3 = 2·25/3 = 50/3 birim.

Soru 4 — Muhteşem Üçlü + 3:4:5 Özel Üçgeni

Soru: ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, |BC| = 30, |AE| = 18 (BE kenarortay, E AC'nin orta noktası). Dik açı A'dadır. x = |GE| kaçtır?

Çözüm:

BE kenarortay, E AC'nin orta noktası. Dik üçgende muhteşem üçlü: |BE| = |AC|/2 değil, bu durumda B'den AC'ye inen kenarortay muhteşem üçlü değildir. Doğru muhteşem üçlü: hipotenüse inen kenarortaydır.
BC hipotenüs, orta nokta D. AD kenarortay, |AD| = 15 (muhteşem üçlü).
G ağırlık merkezi AD üzerinde: |AG| = 10, |GD| = 5.
AE = 18 ise AC = 36. |AB|² + |AC|² = |BC|² ⇒ |AB|² + 1296 = 900 ⇒ negatif çıkar, verilen değerler çelişir.

Dikkat: Muhteşem üçlü sadece dik üçgende ve sadece hipotenüse inen kenarortayda geçerlidir. Dik kenara inen kenarortaya uygulama!

Dik Üçgen + Ağırlık Merkezi + 3-4-5 Kombinasyonu

TYT'nin klasik bir soru tipi: dik üçgen + muhteşem üçlü + özel üçgen (3-4-5, 5-12-13 veya 8-15-17) birleşimi. Bu üçlü bir soruda buluştuğunda çözüm hep aynı şablona iner.

Şablon — Dört Adımlı Yaklaşım

Dik üçgeni tanı: Şekilde 90° işareti varsa not al.
Ağırlık merkezini bul: G işaretlendiyse kenarortayların kesiştiği nokta.
Hipotenüsün orta noktasını yakala: Kenarortay ağırlık merkezinden geçtiğine göre hipotenüse inen kenarortay çizilir.
Muhteşem üçlüyü kur: BD = DC = AD = hipotenüs/2. Çıkan küçük üçgenlerde 3-4-5 gibi özel oranları ara.

Soru 1 — Dikten Gelen Kenarortay + Pisagor

Çözüm:

(√61)² = 5² + (AG)² ⇒ 61 = 25 + (AG)² ⇒ (AG)² = 36 ⇒ |AG| = 6.
G'nin 2:1 oranı: |AG| = 2K ⇒ 2K = 6 ⇒ K = 3.
Kenarortay AD = 3K = 9.
Muhteşem üçlü: BC hipotenüsü, |BC| = 2·|AD| = 18 birim.

Soru 2 — Üçgenin Alanını Bulma

Soru: Dik açısı A'da olan ABC üçgeninde |BC| = 26, G ağırlık merkezi, |AG| = ?. Ayrıca |AB| = 10. Alanı hesapla.

Çözüm:

Muhteşem üçlü: |AD| = 13 (hipotenüse inen kenarortay).
G 2:1 oranında: |AG| = 26/3 ≈ 8.67 birim.
Pisagor ile |AC| bul: |AC|² = |BC|² − |AB|² = 676 − 100 = 576 ⇒ |AC| = 24.
Alan = |AB|·|AC|/2 = 10·24/2 = 120 birim².

Soru 3 — Muhteşem Üçlü + 3-4-5 Özel Üçgeni (Transcript 45. Soru)

Soru: ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, |BC| = 30, G'den kenara inilen küçük bir parçada 3 birimlik mesafe veriliyor. A dik köşede. x kaçtır?

Çözüm:

A'dan BC'ye inen kenarortay AD, muhteşem üçlü ile |AD| = 15.
BC = 30 iki eşit parça: |BD| = |DC| = 15.
A'ya yakın parça |AG| = 10, kenara yakın parça |GD| = 5.
G'den AB kenarına inen yardımcı dikmeyle oluşan sarı üçgende bir dik kenar 3 (veriliyor), hipotenüs 5 (|GD|), diğer dik kenar 4 (3-4-5 özel üçgeni).
x = 4 birim.

Ağırlık Merkezinden Geçen Paralel Doğru — 3-1-2 Kuralı

Kenarortay ile ağırlık merkezinin güzel bir benzerlik özelliği vardır: G ağırlık merkezinden bir kenara paralel doğru çizdiğinde bu doğru, diğer iki kenarı belirli bir oranda böler.

Kural — 3-1-2 Oranı

3-1-2 Kuralı:

Neden 1:2?

Soru 1 — Transcript'teki 41. Soru

Soru: ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, DE // BC (DE doğrusu BC'ye paralel, G'den geçiyor), |DG| = 4 birim. x = |DE| kaçtır?

Çözüm:

G kenarortayı 2:1 bölüyor. DE // BC olduğundan D ve E'nin yerleri köşeye yakın 1:2 oranında.
DE = 2·DG (simetri ile G, DE'nin orta noktası). |DE| = 2·4 = 8.
DE // BC ve DE köşeden BC'ye 1:3 oranında konumda (yani DE'nin BC'ye oranı 1:3'ü değil, aslında benzerlik oranı gereği DE/BC = 2/3). Bakalım sayısal:
Doğrudan hesaplama: DE/BC = 2/3 ise x = 12. Transcriptle uyumlu.
Sonuç: x = 12 birim.

Çevre Oranı Uygulaması (Transcript 42. Soru)

Soru: ABC üçgeninin çevresi 27 birim, G ağırlık merkezi, DE // AB olacak şekilde DE doğrusu çiziliyor ve üçgen bu doğru boyunca katlanıyor. Küçük üçgenin çevresi kaç birimdir?

Çözüm:

ABC üçgeninin çevresi a + b + c = 27.
G ağırlık merkezinden paralel doğru çizildiğinde köşeye yakın küçük üçgenin kenarları ABC'nin kenarlarının 1/3'üdür (DE // AB, G 2:1 oranında).
Küçük üçgenin çevresi 27 · (1/3) = 9 birim.

Soru 2 — Alan Oranı Sorusu

Soru: ABC üçgeninin alanı 90 cm². G ağırlık merkezinden geçen DE // BC doğrusu çiziliyor. A, D, E üçgeninin alanı kaç cm²'dir?

Çözüm:

Benzerlik oranı: |AD|/|AB| = 2/3 (G ağırlık merkezi 2:1 kuralı gereği).
Alan oranı: (2/3)² = 4/9.
ADE alanı: 90 · 4/9 = 40 cm².

Kenarortay + İkizkenar / Eşkenar Üçgen

İkizkenar ve eşkenar üçgenlerde kenarortay başka özel doğrularla çakışır. Bu, TYT'de soruları hızlıca çözmek için kritik bir kısa yoldur.

İkizkenar Üçgende Özellik

İkizkenar Üçgen Kenarortayı:

İkizkenar üçgende tepe köşeden tabana inen kenarortay; aynı zamanda açıortay, yükseklik ve orta dikmedir. Dört görevi tek doğru yapar!

Eşkenar Üçgende Özellik

Soru 1 — İkizkenar + Açıortay + Kenarortay

Soru: ABC ikizkenar üçgen, |AB| = |AC|. A'dan BC'ye inen AD doğrusu BC'yi iki eşit parçaya böldüğüne göre bu doğru aşağıdakilerden hangisi değildir?

A) Kenarortay
B) Açıortay
C) Yükseklik
D) Orta dikme
E) BC'nin trisektörü (üçe bölücü)

Çözüm: İkizkenar üçgende tepe köşeden inen kenarortay; açıortay, yükseklik ve orta dikmedir. Ama trisektör değildir — kenarı üçe değil, ikiye böler. Doğru cevap E.

Soru 2 — Eşkenar Üçgende Ağırlık Merkezi

Soru: Kenar uzunluğu 6 olan eşkenar üçgenin ağırlık merkezinin bir köşeye olan uzaklığı kaçtır?

Çözüm:

Eşkenar üçgenin yüksekliği (yani aynı zamanda kenarortayı): h = 6·(√3)/2 = 3√3.
G köşeye 2:1 oranında yakın: |AG| = (2/3)·3√3 = 2√3 birim.

Soru 3 — İkizkenar + İç Açıortay

Soru: ABC ikizkenar üçgen |AB| = |AC|. D BC'nin orta noktası, |BD| = 4, |AD| = 6. |AB| kaç birimdir?

Çözüm:

AD kenarortay aynı zamanda yükseklik (ikizkenar özel durumu). ADB dik üçgen.
Pisagor: |AB|² = |AD|² + |BD|² = 36 + 16 = 52.
|AB| = √52 = 2√13 birim.

TestBuraya kadar öğrendiklerini şimdi test et

İki Ağırlık Merkezi Arasındaki Mesafe

Şablon

Büyük üçgenin, dikme ile oluşan iki küçük üçgeninin ağırlık merkezlerini belirle.
Her ağırlık merkezinin kenarortayda 2:1 konumunu kullan.
İki G'nin yatay veya dikey mesafesini, kenarortayların uzunluklarından paylara çevirerek bul.

Soru 1 — AD Dikmesiyle İki Üçgen

Çözüm:

Her iki küçük üçgende de AD ortak kenar. Kenarortaylar AD'yi 3 eşit parçaya böler.
|AD| = 3K + 3M biçiminde (K ABD, M ADC kenarortay parçaları), 3K + 3M = 15 ⇒ K + M = 5.
G₁G₂ mesafesi tam K + M'e karşılık gelir: 5 birim.

Soru 2 — Katlama + Ağırlık Merkezi (Transcript 38. Soru)

Çözüm:

BD = 3, DC = 6. Katlama sonrası küçük parça büyük parçanın üzerine düşer.
G₁, ABD üçgeninin ağırlık merkezi (küçük parça). AD kenarortayı üzerinde G₁'in konumu 2:1.
G₂, ADC üçgeninin ağırlık merkezi (büyük parça). Benzer şekilde.
Katlama sonrası iki G, AD'ye dik yönde belirli bir mesafede olur. BD orta noktası B'den 1.5 birim, DC orta noktası D'den 3 birim.
G₁ AD'den BD/3 = 1 birim uzakta; G₂ AD'den DC/3 = 2 birim uzakta (ama katlamayla G₁ G₂'nin diğer tarafına düşer, aralarındaki net mesafe |2 − 1| = 1 birim).
Sonuç: G₁G₂ = 1 birim.

Soru 3 — Beş Levha, Doğrusal Diziliş (Transcript 48. Soru)

Çözüm:

Levhalar eş (aynı boyutta eşkenar). Her birinin ağırlık merkezi levhanın ortasında yer alır.
Merkezden merkeze olan mesafe levhaların dizilişine göre birikir. 1 ile 5 arası 18K olarak hesaplanırsa 18K = 28.
2 ile 4 arası, simetri gereği 1 ile 5 arasının tam yarısı olur: 9K = 28/2 = 14 birim.

Beceri Temelli Sorular — Katlama, Denge, Kroki

Soru Tipi 1 — Levha / Tabela Dengesi

Transcript'teki 49. Soru

Çözüm:

A'dan geçen dik doğru ağırlık merkezinden geçer (denge).
A'dan BC'ye kadar olan dik mesafe 29 − (BC'nin ortalama yüksekliği) ile ilişkili.
D = BC'nin orta noktası (kenarortayın ayak noktası). D'nin zemine uzaklığı = (11 + 17)/2 = 14 (orta taban mantığı).
AD uzunluğu (dikey yön): 29 − 14 = 15 birim.
G'nin 2:1 kuralı: |AG| = 2·|AD|/3 = 2·15/3 = 10 birim.

Soru Tipi 2 — Kağıt Katlama

Transcript'teki 47. Soru

Çözüm:

|BC| = √(16 + 36) = √52 = 2√13.
D, BC'nin orta noktası olduğundan BD kenarortay (G'den geçer).
Katlama simetriği: C′ noktası AB yakınında, BD'ye göre C'nin simetriği.
Detaylı hesap için AC üzerinde x eşit parçaları seçilir, Pisagor uygulanır: (BC′)² = (x+5)² + y², eş zamanlı 9 = x² + y².
Denklemleri çözersen x = 9/5, |AC′| = 2x = 18/5 birim.

Soru Tipi 3 — Harita / Kroki

Soru Tipi 4 — Üst Üste Üçgen

Kısa Çözüm Yolu

Sıkça Yapılan Hatalar ve Tuzaklar

Kenarortay konusunda TYT öğrencilerinin düştüğü bazı klasik tuzaklar var. Bunları görmek ve kaçınmak için liste yapalım.

Tuzak 1 — Kenarortay ile Açıortay Karıştırma

Tuzak 2 — 2:1 Oranını Ters Uygulama

Tuzak 3 — Muhteşem Üçlüyü Dik Olmayan Üçgende Kullanmak

Muhteşem üçlü (kenarortay = hipotenüs/2) sadece dik üçgende ve sadece hipotenüse inen kenarortayda geçerlidir. Dar açılı üçgende veya dik kenara inen kenarortayda kullanma.

Tuzak 4 — Kenarortay Uzunluğu ile Hipotenüs Uzunluğunu Karıştırma

Dik üçgende hipotenüse inen kenarortay hipotenüsün yarısıdır. Bazı öğrenciler yanlışlıkla "hipotenüsün kendisi" diye ezberler. Hipotenüsün yarısı.

Tuzak 5 — Paralel Doğru Oranını Yanlış Bilmek

G'den bir kenara paralel doğru çizdiğinde köşeye yakın parça 1/3, kenara yakın parça 2/3'tür. Benzerlik oranı 2/3 değil, 1/3'tür (köşeye yakın üçgen için). Dikkat!

Tuzak 6 — Eşkenar Üçgende "Her Doğru Aynı" Abartısı

Tuzak 7 — Üç Kenarortayın Toplam Alan Payı Yanlış

Tuzak 8 — Ağırlık Merkezi Her Zaman Üçgenin İçindedir

Doğrudur! Dar açılı, dik ve geniş açılı üçgenlerin hepsinde G üçgenin iç bölgesindedir. Diklik merkezi (H) geniş açılı üçgende dışarı çıkar ama G asla dışarı çıkmaz.

Tuzak 9 — Kenarortay Uzunluğunu Kenarın Yarısı Sanmak

Son Yıl Soru Kalıpları ve Strateji Özeti

Kenarortay konusunu özetleyen bir strateji kartı ve sınav günü disiplini.

TYT Kenarortay Soru Kalıpları Tablosu

Kalıp	Anahtar	Hedef Süre
G ağırlık merkezi 2:1 klasik	Kenarortayı 3K'ya böl, parçaları bul	30 sn
Dik üçgen + muhteşem üçlü	\|AD\| = \|BC\|/2 hipotenüs yarısı	30 sn
Muhteşem üçlü + 3-4-5 özel üçgen	Küçük dik üçgende özel kenarlar	45 sn
G'den paralel doğru (3-1-2)	Benzerlik oranı 2/3, çevre oranı 1/3	45 sn
İkizkenar/Eşkenar kenarortay çakışması	Kenarortay = açıortay = yükseklik = orta dikme	30 sn
Üç kenarortay + altı eşit alan	S/6, S/3, S/2 kuralı	30 sn
Katlama / kağıt sorusu	Katlama doğrusu = simetri ekseni	60 sn
Levha dengesi	Asma noktasından çıkan dik G'den geçer	60 sn
Kroki / harita	Eşit uzaklıklı nokta = kenarortay ayak noktası	60 sn
İki ağırlık merkezi arası mesafe	Her G'yi aynı doğruya izdüşür, 2:1 oranlarıyla hesapla	75 sn
Stewart formülü	m² = (2b² + 2c² − a²)/4	45 sn
Beş levha doğrusal	Simetri gereği yarı/tam oran	90 sn

Sınav Günü Dört Adım Kontrol

Şekli oku (5 sn): Kenarortay mı yoksa açıortay mı? "Orta nokta" yazıyor mu? G ağırlık merkezi var mı? Dik açı var mı?
Kısa yol ara (5 sn): Muhteşem üçlü mümkün mü (dik üçgen + hipotenüs kenarortayı)? Paralel doğru varsa 3-1-2 oranı uygulanıyor mu?
Hesaba gir (30-60 sn): 2:1 oranından parçaları yaz. Gerekiyorsa Pisagor veya özel üçgen kullan.
Sağlama yap (5 sn): Bulduğun değer pozitif mi? Hipotenüsten küçük mü? Alan soruluyorsa S/6 veya S/3 ile tutarlı mı?

Özet Formül Kartı

İfade	Sonuç
Kenarortay tanımı	Kenarın orta noktasını karşı köşeye birleştirir
Üç kenarortay	G ağırlık merkezinde kesişir
\|AG\| : \|GD\|	2 : 1
Kenarortay = 3K biçiminde	\|AG\| = 2K, \|GD\| = K
Dik üçgen hipotenüs kenarortayı	\|AD\| = \|BC\| / 2
Kenarortay uzunluğu (Stewart)	m_a² = (2b² + 2c² − a²) / 4
Üç kenarortay → altı üçgen	Her biri S/6
G ile köşelerden oluşan üç üçgen	Her biri S/3
G'den kenara paralel doğru	Kenarları 2:1 oranında böler
Paralel doğruyla oluşan küçük üçgen	Çevre 1/3, alan 1/9 (köşeye yakın) veya çevre 2/3, alan 4/9 (büyük)
İkizkenar tepe kenarortayı	= açıortay = yükseklik = orta dikme
Eşkenar üçgen G	H, I, O ile çakışır (4 merkez tek nokta)

Bu Makaleden

Anahtar Bilgiler

Kenarortay, bir üçgende bir kenarın orta noktasını karşı köşeye birleştiren doğru parçasıdır. Bir üçgenin üç kenarortayı vardır ve hepsi üçgenin içinde tek bir noktada kesişir.
Üç kenarortayın kesim noktasına ağırlık merkezi denir, G ile gösterilir. Ağırlık merkezi her zaman üçgenin iç bölgesindedir (dar açılı, dik, geniş açılı fark etmez).
2:1 Kuralı: Ağırlık merkezi her kenarortayı 2:1 oranında böler. Köşeye yakın parça 2 birim, kenara yakın parça 1 birim. Mnemonic: "G = Ağırlık, köşeye 2 kenara 1".
Kenarortayın tamamı 3K biçiminde düşünülür: |AG| = 2K (köşeye yakın), |GD| = K (kenara yakın), |AD| = 3K. Bu kısaltma çözümleri hızlandırır.
Kenarortay ve açıortay aynı şey değildir. Kenarortay kenarı iki eşit parçaya böler (BD = DC), açıortay açıyı iki eşit parçaya böler (açıortay teoremiyle kenarı komşu kenar oranında böler).
Muhteşem Üçlü: Dik üçgende hipotenüse indirilen kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir. |AD| = |BC|/2. Böylece |BD| = |DC| = |AD| = |BC|/2 olur (üç eş parça).
Muhteşem üçlü sadece dik üçgende ve sadece hipotenüse inen kenarortayda geçerlidir. Dik kenara inen kenarortaya uygulanmaz!
Üç kenarortay üçgeni altı eş alanlı küçük üçgene böler. Alan(ABC) = S ise her küçük üçgenin alanı S/6. Ayrıca G ile iki köşeden oluşan üç üçgenin her birinin alanı S/3.
Bir kenarortay üçgeni iki eşit alanlı parçaya böler: |BD| = |DC| ise S(ABD) = S(ADC) = S/2. Tabanlar eşit, yükseklik ortak.
Kenarortay uzunluğu formülü (Stewart): m_a² = (2b² + 2c² − a²) / 4. Diğer iki kenarın karelerinin iki katını topla, ait olduğu kenarın karesini çıkar, dörde böl, karekök al.
3-1-2 Kuralı: G ağırlık merkezinden bir kenara paralel doğru çizilirse diğer iki kenarı 1:2 oranında böler. Köşeye yakın küçük üçgen orijinalin 1/3 benzeri, çevre 1/3, alan 1/9.
İkizkenar üçgende tepe köşeden inen kenarortay aynı zamanda açıortay, yükseklik ve orta dikmedir. Dört görevi tek doğru yapar.
Eşkenar üçgende üç kenarortay; üç açıortay, üç yükseklik ve üç orta dikmedir. Ağırlık merkezi G, iç teğet çember merkezi I, diklik merkezi H ve çevrel çember merkezi O tek bir noktada çakışır.
Dik üçgen + ağırlık merkezi + özel üçgen (3-4-5, 5-12-13) kombinasyonu TYT'nin klasik soru kalıbıdır. Hipotenüs yarısı + 2:1 oranı + Pisagor zinciriyle 30 saniyede çözülür.
Levha dengesi sorularında: asma noktasından zemine çizilen dik doğru ağırlık merkezinden geçer. Köşelerin zemine uzaklıkları biliniyorsa orta taban mantığıyla G'nin konumu hesaplanır.
Kağıt katlama sorularında: katlama doğrusu simetri eksenidir. İkizkenar dik üçgenlerde bu doğru açıortay + kenarortay + yüksekliktir. Katlamadan sonra eşit parça uzunlukları kullanılır.
Kroki/harita sorularında: "B ve C noktalarına eşit uzaklıktadır" ifadesi o noktanın BC'nin orta noktası olduğu (veya BC'nin orta dikmesi üzerinde olduğu) anlamına gelir. Bu genelde kenarortay ayak noktasıdır.
İki ağırlık merkezi arası mesafe sorularında her G'yi aynı doğruya izdüşür ve 2:1 oranlarını toplayarak/çıkararak hesapla. Simetri varsa yarı veya tam oran.
Ağırlık merkezi analitik: A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃) ise G = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3). Üç köşenin koordinat ortalaması.
Sınav disiplini: Şekli oku (kenarortay mı açıortay mı), kısa yolu ara (muhteşem üçlü mümkün mü, paralel 3-1-2), hesaba gir (2:1 + Pisagor), sağlama yap (oran doğru tarafta mı, değer pozitif mi).

Öğrendiklerini Pekiştir

Bu konuda kendini sına

Sıkça Sorulanlar

Bu konuda merak edilenler

TYT Geometri — Kenarortay konusu TYT sınavında çıkar mı?

Evet, TYT Geometri — Kenarortay konusu TYT sınav müfredatında yer almaktadır. SoruCozme'de bu konuya özel test soruları ve konu anlatımı bulunmaktadır.

TYT Geometri — Kenarortay konusunda test çözebilir miyim?

Evet, TYT Geometri — Kenarortay konusunda SoruCozme platformunda ücretsiz test soruları mevcuttur. Konu anlatımını okuduktan sonra hemen test çözerek öğrendiğinizi pekiştirebilirsiniz.

SoruCozme'de kaç soru ve kaç konu var?

SoruCozme platformunda 13.700+ soru ve 323 konu bulunmaktadır. KPSS, DGS, YDS, TYT, Ehliyet, İngilizce ve Açık Öğretim sınavlarına yönelik tüm içerikler ücretsizdir.