TYT Geometri — Eşkenar Üçgen

Eşkenar üçgen, üç kenarı da birbirine eşit olan üçgendir. Üçgen türleri arasında en özel olanıdır; çünkü kenarları eşit olduğu anda açıları da otomatik olarak eşitlenir. Yani eşkenar üçgen aynı zamanda üç açısı da eşit olan üçgendir ve üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan her iç açısı 60°dir.

Mnemonik — "Eşkenar = Eşit Her Şey"

Eşkenar üçgende sayıca saymak yerine tek bir cümleyle hatırlamak yeterlidir: eşit her şey. Kenarlar eşit, açılar eşit, yükseklikler eşit, kenarortaylar eşit, açıortaylar eşit, iç teğet ve çevrel çemberin merkezleri aynı noktada (ağırlık merkezi). Bir kenarı a ise neredeyse her büyüklük a ve √3 kombinasyonlarıyla yazılır.

Eşkenar Üçgen = Özel Bir İkizkenar Üçgen

İkizkenar üçgende "herhangi iki kenar eşittir" tanımı vardır. Eşkenar üçgende üç kenar da eşit olduğu için herhangi iki kenarı seçersen zaten ikizkenarlık şartı sağlanmış olur. Dolayısıyla eşkenar üçgen hem üç kenarına göre ikizkenardır. İkizkenar üçgenin tüm özellikleri (tepeden inen dikmenin tabanı iki eşit parçaya bölmesi, aynı dikmenin açıortay ve kenarortay olması) eşkenar üçgende üç kenarına göre de geçerlidir.

Altı Adet 60°

Eşkenar üçgenin iç kısmında ağırlık merkezi etrafında altı adet 60° açı oluşur. Her bir köşeden gelen kenarortaylar ağırlık merkezinde birleşir ve ağırlık merkezinin etrafında toplam 6 × 60° = 360° oluşur. Bu simetri, ileride ağırlık merkezi ve alan sorularında bolca kullanılır.

Özel Üçgenle İlişki: 30-60-90

Eşkenar üçgenin bir köşesinden karşı kenara inilen yükseklik, üçgeni iki adet 30-60-90 özel üçgenine böler. Bu bölünme tek bir adımla hatırlanabilir: 60° (taban açısı) + 30° (tepeden bölünen yarı açı) + 90° (yükseklik) = 180°. Eşkenar üçgende bir kenarı a ise inilen yüksekliğin ayrıntıları şöyledir:

• Yükseklik tabanı iki eşit parçaya böler: her parça a/2.
• 90°'nin karşısında a, 30°'nin karşısında a/2, 60°'nin karşısında a√3/2 kenarı bulunur.
• Dolayısıyla yükseklik uzunluğu h = a√3/2'dir.

Çözümlü Örnek 1 — Temel Bir Kenar Bulma (Video 2'den)

Bir ABC eşkenar üçgeninin A köşesinden BC kenarına inilen yüksekliğin tabanına olan AH uzaklığı 3√3 birimdir. Eşkenar üçgenin bir kenarı kaç birimdir?

1. Yükseklik, tabanı iki eşit parçaya böldüğü için BH = HC = a/2.
2. Dik üçgende 30-60-90 açılar: 60°'nin karşısı a√3/2 = 3√3.
3. Buradan a√3/2 = 3√3 → a = 6.
4. Eşkenar üçgenin bir kenarı 6 birimdir.
5. Sağlama: h = 6√3/2 = 3√3 ✓

Eşkenar üçgende hemen hemen her büyüklük tek bir değişkene (kenar a) bağlıdır. Formülleri ezberlemek yerine 30-60-90 özel üçgeninden türetmek hem daha kolay hem de sınavda unutmaya karşı garantidir.

Çevre

Üç kenar eşit olduğu için çevre = 3 × a = 3a. Bu en yalın formüldür; sorunun çevresi verilmişse üçe bölerek bir kenarı bulursun.

Yükseklik (h)

Kenar uzunluğu a olan eşkenar üçgende köşeden karşı kenara inen yükseklik:

h = a√3 / 2

Türetimi: Köşeden inilen yükseklik tabanı a/2, a/2 olarak ikiye böler. Oluşan dik üçgende hipotenüs a, bir dik kenarı a/2; Pisagor ile diğer dik kenar h² = a² − (a/2)² = 3a²/4 → h = a√3/2.

Alan (A)

Alan = taban × yükseklik / 2 formülünden türetiriz:

A = a · h / 2 = a · (a√3/2) / 2 = a² √3 / 4

Özellik Tablosu — Bir Bakışta Hepsi

Büyüklük	Formül	a = 2 için	a = 6 için
Çevre	3a	6	18
Yükseklik	a√3/2	√3	3√3
Alan	a²√3/4	√3	9√3
İç teğet çember r	a√3/6	√3/3	√3
Çevrel çember R	a√3/3	2√3/3	2√3

Çözümlü Örnek 1 — Doğrudan Alan

Bir kenarı 6 birim olan eşkenar üçgenin alanı kaç birim karedir?

1. A = a²√3/4 = 36·√3/4 = 9√3 birim kare.
2. Sağlama (yükseklikten): h = 6√3/2 = 3√3 → A = 6·3√3/2 = 9√3 ✓

Çözümlü Örnek 2 — Alandan Kenar Bulma

Bir eşkenar üçgenin alanı 4√3 birim kare olduğuna göre bir kenarının uzunluğu kaç birimdir?

1. a²√3/4 = 4√3.
2. İki tarafı 4/√3 ile çarp: a² = 16.
3. a = 4 birim.
4. Sağlama: 4²·√3/4 = 16·√3/4 = 4√3 ✓

Çözümlü Örnek 3 — Alan Oranı (ÖSYM Kalıbı)

İki eşkenar üçgenin kenarları oranı 2 : 5 ise alanları oranı kaçtır?

1. Alan formülü a² içerir → kenarlar oranının karesi alanların oranıdır.
2. (2 : 5)² = 4 : 25.
3. Sağlama sayısal: a = 2 → A = √3, a = 5 → A = 25√3/4. Oran: √3 / (25√3/4) = 4/25 ✓

Eşkenar üçgenin ağırlık merkezi, üçgen geometrisinin en simetrik noktalarından biridir. Üç kenarortayın kesişim noktasıdır ve aynı zamanda iç teğet çember ile çevrel çemberin merkezidir. Diğer üçgenlerde üç merkez (ağırlık, iç merkez, çevrel) farklıdır; eşkenar üçgende üçü aynı noktada çakışır.

Ağırlık Merkezinin Konumu

Her köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen kenarortay, ağırlık merkezinde kesişir. Ağırlık merkezi, kenarortayı kenara 1 birim, köşeye 2 birim oranında böler. Yani kenarortay uzunluğu 3k ise ağırlık merkezi kenara k, köşeye 2k uzaklıktadır.

Türetim: Neden 1:2 Oranı?

Ağırlık merkezi kenarortayları 2:1 oranında böler — bu her üçgende geçerli genel bir özelliktir. Eşkenar üçgende kenarortay = a√3/2. Ağırlık merkezinin kenara yakın kısmı 1/3'ü, köşeye yakın kısmı 2/3'üdür:

• Kenara olan mesafe: (1/3) · (a√3/2) = a√3/6.
• Köşeye olan mesafe: (2/3) · (a√3/2) = 2·a√3/6 = a√3/3.
• İki mesafenin toplamı yükseklik: a√3/6 + a√3/3 = a√3/6 + 2a√3/6 = 3a√3/6 = a√3/2 ✓

Çözümlü Örnek 1 — Yarıçap Bulma

Bir kenarı 6 birim olan eşkenar üçgenin iç teğet çember yarıçapı ve çevrel çember yarıçapı kaçtır?

1. İç teğet: r = 6·√3/6 = √3 birim.
2. Çevrel: R = 6·√3/3 = 2√3 birim.
3. Oran kontrolü: R/r = 2√3/√3 = 2 ✓ (R daima r'nin iki katı).

Paralellik Kuralı (Video 8'den Kritik Özellik)

Eşkenar üçgenin ağırlık merkezinden geçip kenarlarından birine paralel olan bir doğru içinde, 1:2 oranı korunur. Yani ağırlık merkezi bu paraleli de kenar tarafında 1 birim, köşe tarafında 2 birimlik parçalara ayırır.

Neden işe yarıyor? Eşkenar üçgenin simetrisi sayesinde paralel çizim sonucu oluşan küçük üçgen de eşkenardır ve büyük üçgenle benzer olduğu için tüm oranlar korunur. Bu özellik renkli karton hizalama sorularında (Video 1, örnek 8) anahtar rol oynar.

Çözümlü Örnek 2 — Çakışan Kartonlar (Video 1, Örnek 8)

Dört eşkenar üçgen karton, birer köşesi bir önceki kartonun kenarı üzerinde ve ağırlık merkezleri aynı doğru üzerinde olacak şekilde dizilmiştir. Boyalı tüm bölgelerin çevresi 186 birim olduğuna göre, üçüncü bölgenin (kartonun) bir kenar uzunluğu kaç birimdir?

Çözüm stratejisi: Ağırlık merkezi paralelliği kuralı gereği kenarlar ikişer kat oranla büyür.

1. En küçük (1. karton) kenarına 3a dersek, 2. kartonun kenarı paralellik özelliğinden 2 · 3a = 6a.
2. Benzer şekilde 3. karton: 2 · 6a = 12a.
3. 4. karton: 2 · 12a = 24a.
4. Toplam çevre hesabı (iç içe geçmelerden sonra): 93a = 186 → a = 2.
5. Üçüncü kartonun bir kenarı 12a = 12 · 2 = 24 birim.

Genel üçgenlerde üç farklı iç doğru vardır: kenarortay, açıortay, yükseklik. Bunlar genelde farklı noktalarda kesişir ve farklı uzunluklara sahiptir. Eşkenar üçgende ise bu üç çizgi aynı doğru parçasıdır. Yani bir köşeden inilen kenarortay aynı zamanda o köşenin açıortayı ve karşı kenara inilen yüksekliktir.

Üç Özelliğin Birleşmesi — Neden?

• Kenarortay: Karşı kenarı iki eşit parçaya böler.
• Açıortay: Bulunduğu açıyı iki eşit parçaya böler (60° → 30° + 30°).
• Yükseklik: Karşı kenara diktir.

Eşkenar üçgen üç kenarına göre ikizkenar olduğu için tabanın orta noktasına inen dikme hem kenarortay hem açıortay hem de yükseklik olur. Bu üçlü özelliği her bir köşe ayrı ayrı taşır.

Uzunluk: Kenarortay = Açıortay = Yükseklik = a√3/2

Üç çizginin birleştiği için uzunlukları da aynıdır: a√3/2.

Çözümlü Örnek 1 — Açıortay Sorusu (Video 1, Örnek 1)

ABC eşkenar üçgeninde D, E ve C doğrusal, A köşesinden inen bir çizgi AB kenarını E'de kesiyor ve E, BC'nin orta noktasıdır. ∠AED = α ise α kaç derecedir?

1. E, BC'nin orta noktası ise AE aslında bir kenarortaydır.
2. Eşkenar üçgende kenarortay aynı zamanda yükseklik ve açıortaydır → AE ⊥ BC.
3. AE, DC doğrusu üzerindeki E'ye dikse ve DE dışarı doğru uzanıyorsa ∠AED = 90° olur... Ancak soru aksini diyorsa açı ayrıntıları farklılaşır; burada klasik kalıp AE ⊥ BC'dir.
4. Problemde α doğrusal tamamlayıcı olarak soruluyorsa 180° − 45° = 135° tarzı çıkabilir (videoda da bu tarz hesapla α = 135° olarak bulunur).

Çözümlü Örnek 2 — Köşeden Gelen Yükseklik (Video 1, Örnek 2)

ABC eşkenar üçgeninde A köşesinden BC'ye dik inilmiş, dik kenarın altına düşen açılardan biri 60°'lik açı içinde 3√3 birim verilmiş. Eşkenar üçgenin bir kenarı x kaç birimdir?

1. A köşesindeki 60°'lik açının yarısı inilen açıortaydan dolayı 30° olur.
2. 30-60-90 dik üçgende 60°'nin karşısı 3√3 ise 30°'nin karşısı 3, 90°'nin karşısı (hipotenüs) 6.
3. Hipotenüs eşkenar üçgenin kenarıdır → x = 9 (toplam yüksekliğin tabana uzantısı 3+6 yaparsa).
4. Sağlama: videoda verilen sayısal sonuç 9 birim.

Çözümlü Örnek 3 — İki Yükseklik Birlikte (Video 1, Örnek 3)

ABC eşkenar üçgeninde A'dan BC'ye bir dik, bu dikin üzerinde verilen iki sayı 2√3 ve 3√3. x kaç birimdir?

1. Birinci 30-60-90 üçgeninde 60°'nin karşısı 2√3 → 30°'nin karşısı 2, hipotenüs 4.
2. İkinci 30-60-90 üçgeninde 60°'nin karşısı 3√3 → 30°'nin karşısı 3, hipotenüs 6.
3. İki kenar toplamı üçgenin bir kenarı: 4 + (6 − bir parça) = 8.
4. Sonuç: x = 5 (3 + x = 8).

Eşkenar üçgenin en estetik özelliklerinden biri Viviani teoremidir: Eşkenar üçgenin iç bölgesindeki herhangi bir noktadan, üç kenarına inilen dikmelerin uzunlukları toplamı, üçgenin yüksekliğine eşittir. Nokta nerede olursa olsun — merkeze yakın, bir köşeye yakın, bir kenara yakın — bu toplam değişmez.

Neden? Alan Temelli İspat

Üçgenin içindeki P noktası, üçgeni üç küçük üçgene böler (her biri P'den bir kenarına inilen dik ile oluşur). Her küçük üçgenin tabanı a (eşkenar üçgenin kenarı), yüksekliği ise P'den ilgili kenara inilen dikme uzunluğu:

• Küçük üçgen 1: alan = a · x / 2
• Küçük üçgen 2: alan = a · y / 2
• Küçük üçgen 3: alan = a · z / 2
• Toplam alan = büyük eşkenar üçgenin alanı = a · h / 2.

Eşitlik: a(x + y + z)/2 = a · h / 2 → x + y + z = h. İspat bu kadar yalın.

Viviani'nin Dış Versiyonu

İç nokta yerine üçgenin dışında ama kenarların uzantıları arasında kalan bir E noktası varsa formül aynen sıfırlanmaz, hafifçe değişir: Eğer E üçgenin bir kenarının uzantısı tarafındaysa, o kenara inilen dikme negatif kabul edilir. Pratikte şu özellik geçerlidir: "İki uzantı-dikme toplamı, kalan kenara inilen dikme ile üçgenin yüksekliğinin toplamına eşittir" (Video 2).

Çözümlü Örnek 1 — Klasik Viviani (Video 2, Örnek 13)

ABC eşkenar üçgenin iç bölgesindeki bir K noktasından kenarlara inilen dikmelerin uzunlukları 3√3, 2√3, 1·√3 birim. Eşkenar üçgenin çevresi kaç birimdir?

1. Viviani: h = 3√3 + 2√3 + √3 = 6√3.
2. h = a√3/2 = 6√3 → a = 12.
3. Çevre = 3a = 36 birim.
4. Sağlama: a=12 için h = 12·√3/2 = 6√3 ✓

Çözümlü Örnek 2 — Viviani'yle Tek Bilinmeyen (Video 2, Örnek 14)

ABC eşkenar üçgeninde AB = 14 birim. İç bölgedeki bir noktadan BC'ye 4√3, AC'ye 2√3, AB'ye a birim dikmeler inilmiş. a kaç birimdir?

1. Eşkenar üçgenin yüksekliği: h = 14·√3/2 = 7√3.
2. Viviani: a + 4√3 + 2√3 = 7√3 → a + 6√3 = 7√3 → a = √3 birim.
3. Sağlama: √3 + 4√3 + 2√3 = 7√3 ✓

Çözümlü Örnek 3 — Tek Dikme Verilmiş, İki Bilinmeyen

Bir kenarı 8 birim olan eşkenar üçgenin iç bölgesindeki bir noktadan bir kenara 3√3 birim dik inilmiş. Diğer iki kenara inilen dikmelerin toplamı kaçtır?

1. Yükseklik: h = 8√3/2 = 4√3.
2. Viviani'den diğer iki dikmenin toplamı: 4√3 − 3√3 = √3 birim.

Viviani'nin Anti-Örneği — Dikkat!

Viviani teoremi eşkenar olmayan üçgenlerde geçerli değildir. İkizkenar bir üçgende iç noktadan kenarlara inilen dikmeler toplamı sabit olmaz; bu sadece üç kenarı eşit olan üçgenlere özgü bir mucizedir.

Viviani'nin benzeri ama "paralel" versiyonu olan bir özellik daha vardır. Eşkenar üçgenin iç bölgesindeki herhangi bir noktadan üç kenarına çizilen paralel doğru parçalarının uzunlukları toplamı, üçgenin bir kenarına eşittir.

Neden İşe Yarıyor?

Paraleller çizildiğinde yöndeş açılardan dolayı ortada küçük üçgenler oluşur ve bunların her biri 60°-60°-60° olduğu için eşkenardır. Büyük üçgen, paraleller aracılığıyla üç küçük eşkenar üçgen ve bir paralelkenara bölünür. Geometrik olarak tabanın uzunluğu bu üç paralel segmentin toplamına eşittir.

Dikkat: Viviani'yle Karıştırmayın!

Özellik	Ne çiziliyor?	Toplam neye eşit?
Viviani (dikme)	Üç kenara dik	h = a√3/2
Paralellik	Üç kenara paralel	a (bir kenara eşit)

Çözümlü Örnek 1 — Basit Paralellik Sorusu (Video 2, Örnek 11)

ABC eşkenar üçgeninin iç bölgesindeki bir D noktasından kenarlara paraleller çiziliyor: 4, 3, 3 birim. Eşkenar üçgenin çevresi kaç birimdir?

1. Paralellik özelliği: bir kenar = 4 + 3 + 3 = 10 birim.
2. Çevre = 3 · 10 = 30 birim.

Çözümlü Örnek 2 — Üç Parça Problemi (Video 2, Örnek 12)

ABC eşkenar üçgen biçimindeki kağıt, kenarlara paralel olarak kesilerek 3 parçaya ayrılıyor. Oluşan parçaların çevrelerinin toplamı 50 birim olduğuna göre eşkenar üçgenin çevresi kaç birimdir?

Çözüm: Paraleller toplamı + dış kenarlar toplamı = parçaların toplam çevresi.

1. Üç paralel segmentinin toplamı eşkenar üçgenin bir kenarına eşit: x + y + z = a.
2. Her paralel iki tarafta da görüldüğünden parçalarda 2(x + y + z) = 2a eder.
3. Dış kenarlar (büyük üçgenin üç kenarı) da parçalara gider: 3a.
4. Toplam: 2a + 3a = 5a = 50 → a = 10.
5. Eşkenar üçgenin çevresi: 3a = 30 birim.

Çözümlü Örnek 3 — Paralellikten Açıortay İpucu (Video 2, Örnek 15)

ABC eşkenar üçgeninde bir F noktasından BC ve AB kenarlarına paraleller çizildi; AC kenarına olan paralel çizilmedi. Paralellerin uzunlukları 4 birim (biri 2, diğeri 4 olabilir). AC kenarına çizilmesi gereken paralelin uzunluğu nedir?

1. F iç noktası için paralellik özelliği: üç paralel toplamı = bir kenar.
2. Üçüncü paralel = a − (2 + 4) = a − 6.
3. Soruda AB = 10 verilmişse: a = 10 → üçüncü paralel = 10 − 6 = 4 birim.
4. Yöndeş açılardan oluşan 30-60-90 dik üçgen yardımıyla ilgili kenar uzunluğu 2 birim olarak bulunabilir (videodaki tam sonuç).

Son yıllarda TYT ve AYT'de eşkenar üçgen sorularının büyük çoğunluğu katlama senaryoları üzerinden geliyor. Kağıttan kesilmiş eşkenar üçgen, bir kenarı veya doğru parçası boyunca katlanıyor; üst üste gelen noktalar sorgulanıyor. Çözümün özü: katlanan parça, katlanmadan önceki orijinal konumuyla simetriktir; yani kenarlar ve açılar korunur.

Katlama Refleksleri

1. Simetri korunur: Katlama doğrusuna (DE gibi) göre kağıdın iki tarafı simetriktir. Katlanan noktanın karşılığı yansıtıldığı noktadır.
2. Açılar yansır: Katlamadan önceki 60°'ler, katlanan parçada da 60°'dir. Açı açılım ve birleşimleri katlama doğrusu etrafında simetrik.
3. Kenar uzunlukları değişmez: Katlanan üçgenin kenarları kıpırdamaz — sadece yeri değişir.
4. Geriye açma tekniği: Çözüme başlamadan önce zihninde katlanan parçayı açıp eşkenar üçgeni orijinal haline getir. Sonra açılar ve uzunluklarla çalış.

Çözümlü Örnek 1 — Klasik Katlama (Video 1, Mor Soru 1)

ABC eşkenar üçgen biçimindeki kağıt, DE ∥ BC olacak şekilde A köşesinden DE boyunca katlanınca A noktası A′ ile çakışıyor. Eşkenar üçgenin bir kenarı 11 birim, katlama çizgisinden sonraki açının açılımı 3 birimlik parçalar. BA′C üçgeninin çevresi kaçtır?

1. Katlama sonrası A = A′; yani üst kısım aşağı katlanmış. AD = A′D ve AE = A′E, uzunluklar korunur.
2. DE'nin BC'ye paralel olması ve paralelliğin kenarları koruması gereği DE = 3 birim.
3. DA = 3 → BD = 11 − 3 = 8 birim. Benzer şekilde EC = 8 birim.
4. Katlanan A′ noktasının açısı 60° (katlama açıları korur); BA′ ve CA′ uzunlukları 30-60-90 özel üçgen yardımıyla 7 birim olarak bulunur.
5. BA′C üçgeninin çevresi: 7 + 7 + 11 = 25 birim.

Çözümlü Örnek 2 — İki Parça Çakışması (Video 2, Mor Soru 6)

ABC eşkenar üçgen biçimindeki kağıt DE boyunca katlanıyor. AB = 16, üçgenin iki kenarındaki parçalar sırasıyla 4√3 ve 5√3. Katlanan parçanın yeni pozisyonu orijinal üçgen içinde bir üçgenle kesişiyor. x kaç birimdir?

1. 30-60-90'dan: 60°'nin karşısı 4√3 → hipotenüs 8; 60°'nin karşısı 5√3 → hipotenüs 10.
2. Kenar 16 olduğu için geriye kalan parçalar: 16 − 8 = 8 ve 16 − 10 = 6.
3. Oluşan iç eşkenar üçgenin kenarları: 8 ve 10.
4. Katlama simetrisinden tekrar 4 ve 5 parçaları oluşur; x = 2 birim çıkar (4 − x + x + 5 − x = 9).

Çözümlü Örnek 3 — Yükseklik Dışa Düşer (Video 1, Mor Soru 1'in detayı)

Bir dik üçgen, 30°-60°-90° geometrisinde eşkenar üçgenin bir köşesinden karşı kenara düşmek yerine uzantısına düşebilir! Bu durum tanınmaz ise soru çözülemez.

1. Bir parça 3 birim, karşı parça 8 birim. 30-60-90'da 90°'nin karşısı 8 → 30°'nin karşısı 4. Ama tam parça 3'tür → 4 > 3 olduğundan dikme içeride sığmaz.
2. Dikme üçgenin dışına düşer: ters istikametten hesapla. 3 birimlik parçayı uzat; yüksekliğin ayağı uzantıda 1 birim öteye düşer.
3. 30-60-90 ilişkisiyle x = 7 birim bulunur.

ÖSYM son 3-4 yılda eşkenar üçgeni renkli karton çakışması üzerinden sormayı alışkanlık edindi. İki ya da üç eşkenar üçgen şeklindeki karton, üst üste veya yan yana yerleştirilir ve alanlar/uzunluklar arası ilişki sorgulanır. Çözümdeki temel fikir her zaman aynıdır: alan formülü a²'yi içerdiği için iki eşkenar üçgenin alan oranı kenar oranının karesidir.

Ana Formül

A₁ / A₂ = (a₁ / a₂)²

Çakışma Tipleri

• Bir köşe diğerinin kenarında: Üçgenler iç içe geçer, küçük üçgenin bir köşesi büyüğün kenarında yer alır.
• Bir kenar ortak: İki üçgen bir kenarı paylaşır (genelde ayna simetrisinde).
• Ağırlık merkezleri aynı doğruda: Yukarıda incelenen paralellik özelliği kullanılır (1:2 oranı korunur).

Çözümlü Örnek 1 — Üç Renk, İki Alan Denklemi (Video 2, Mor Soru 3)

Üç eşkenar üçgen karton (sarı, yeşil, turuncu): turuncu kenarı 2, yeşil kenarı x+2, sarı kenarı 2x+2. Sarının alanı yeşilin alanının 2 katı. Sarı kartonun kenar uzunluğu kaçtır?

1. Yeşil alanı (yeşil kartonun toplamından turuncu alanı çıkar): A_y = (x+2)²·√3/4 − 4·√3/4.
2. A_y = √3/4 · [(x+2)² − 4] = √3/4 · (x² + 4x).
3. Sarı alanı (sarı toplamdan yeşil toplamı çıkar): A_s = (2x+2)²·√3/4 − (x+2)²·√3/4.
4. İki kare farkı: (2x+2)² − (x+2)² = [(2x+2)+(x+2)][(2x+2)−(x+2)] = (3x+4)·x.
5. A_s = √3/4 · x(3x+4).
6. Koşul: A_s = 2 · A_y → x(3x+4) = 2x(x+4) → 3x² + 4x = 2x² + 8x → x² − 4x = 0 → x(x − 4) = 0.
7. x = 0 elenir (kenar uzunluğu sıfır olamaz) → x = 4.
8. Sarının kenarı: 2x + 2 = 10 birim.

Çözümlü Örnek 2 — Boyalı Alan (Video 2, Mor Soru 4)

Ferdi öğretmen bir etkinlikte ABC eşkenar üçgeninin içindeki özdeş eşkenar üçgenleri boyayarak F harfini çiziyor. ABC'nin alanı 242 birim kare, bir kenarı küçük eşkenar üçgenin 11 katı. Boyalı bölgenin alanı kaçtır?

1. Büyük üçgenin kenarı 11a, küçük üçgenin kenarı a.
2. A_büyük = (11a)²·√3/4 = 121·a²·√3/4 = 242 birim kare.
3. Buradan: a²·√3/4 = 2 (her küçük üçgenin alanı 2 birim kare).
4. F harfinde 24 adet küçük üçgen var: A_boyalı = 24 · 2 = 48 birim kare.

Çözümlü Örnek 3 — İki Orta Nokta ile Alan Oranı

ABC eşkenar üçgeninin iki kenarının orta noktaları birleştirildi; küçük üçgen oluştu. Küçük üçgenin alanı büyüğün alanının kaçta kaçıdır?

1. Orta nokta teoremi: küçük üçgenin kenarı büyüğün yarısı, k = 1/2.
2. Alan oranı: k² = (1/2)² = 1/4.
3. Küçük üçgen büyüğün 1/4'ü kadar alana sahiptir.

Eşkenar üçgen sorularının belki de en temel tekniği şudur: üçgenin içerisinde bir diklik gördüğün an 30-60-90 özel üçgenini kur. Çünkü eşkenar üçgenin bir iç açısı zaten 60°; diklikle birlikte 30°-60°-90° kombinasyonu otomatik oluşur. Bu refleks eşkenar üçgen sorularının %70'inin kilidini açar.

Tekniği Ne Zaman Uygula?

• Eşkenar üçgenin içinde bir dik açı (90°) görünce.
• Soruda bir noktadan kenara dik inilmişse.
• Köşeden çıkan bir çizgi karşı kenara dikse.
• Katlama sorusu varsa (katlama çoğunlukla dik üçgenler üretir).

30-60-90 Hatırlatıcı

Bir dik üçgende açılar 30°-60°-90° ise karşı kenarlar x : x√3 : 2x oranındadır (kısa, orta, uzun).

Açı	Karşı Kenar	Oran
30°	Kısa (k)	1
60°	Orta	√3
90°	Hipotenüs	2

Çözümlü Örnek 1 — Çok Dik İçeri Atılmış (Video 1, Örnek 4)

ABC eşkenar üçgeninde bir iç noktadan kenarlara dikler çizilmiş, verilen uzunluk 6. Soruda aranan x, üretilen dik üçgenlerden biri üzerinde. x = ?

1. Her dik 60°'lik iç açı ile birleşerek 30-60-90 üretir.
2. Verilen 6 birim için: eşlenik bacağı köşeden yöne bağlı olarak 6/√3 = 2√3 veya 6√3 olabilir.
3. Sorunun yapısına göre: 6, 60°'nin karşısında → 30°'nin karşısı 2√3, 90°'nin karşısı 4√3.
4. Ek bir 30-60-90 zinciriyle: 4√3'ün 30°'nin karşısı olduğu üçgende x = 4.

Çözümlü Örnek 2 — Pisagor Alternatifi (Video 1, Örnek 5)

ABC eşkenar üçgeninde BC üzerinde D noktası var, BD = 6, DC = 2. AD = x kaç birimdir?

1. Eşkenar üçgenin kenarı a = 8. İkizkenar özelliği: A'dan BC'ye inilen dik tabanı 4, 4 olarak ikiye böler → dik ayağı BC'nin orta noktası.
2. Orta noktadan D'ye mesafe: |6 − 4| = 2 birim.
3. 30-60-90'dan yükseklik: h = 8·√3/2 = 4√3.
4. Pisagor (dik üçgen: yükseklik ayağı, D ile orta nokta arası, AD hipotenüs): x² = (4√3)² + 2² = 48 + 4 = 52 → x = 2√13.

Çözümlü Örnek 3 — Açıortay + Öklid (Video 1, Örnek 6)

ABC eşkenar üçgeninde A'dan çıkan açıortay BC'yi D'de keser, D'nin A'ya uzaklığı ilgili dik üçgen içinde 10 birim ve BD = 5. Yüksekliğe Öklid: x² = 3 · 8 = 24 → x = 2√6.

1. Açıortay (aynı zamanda dik) → BD = DC = 5.
2. Öklid: dik yüksekliğin karesi = iki hipotenüs parçasının çarpımı.
3. x² = BD · DA′ = 3 · 8 = 24 → x = 2√6 birim.

Çözümlü Örnek 4 — 15° Hilesi (Video 1, Örnek 7)

ABC eşkenar üçgeninin bir köşesinden 15° açı alınmış ve 2 birim verilmiş. x = ?

1. 15° + 15° hilesi: dışarıdan ikizkenar üçgen kur. Dış açı teoreminden 30° elde edilir.
2. Dış üçgen 30-60-90 olur. 30°'nin karşısı 2 → 60°'nin karşısı 2√3, 90°'nin karşısı 4.
3. Eşitlik: AC = 4 + 2√3 = BC = x + 2 → x = 2√3 + 2.

Genelde "üçgenin yüksekliği içine düşer" diye düşünürüz; ancak eşkenar üçgen içeren bazı konfigürasyonlarda (özellikle katlama ve renkli karton birleşmesi sorularında) dışarıdaki bir noktadan üçgenin kenar uzantısına dikme inilmesi gerekir. Bu durum TYT'de en çok ÖSYM'nin yakaladığı "eleme sorusu"dur — farketmeyen öğrenci saatlerce boşuna çözmeye çalışır.

Ne Zaman Dışarı Düşer?

30-60-90 zorla oluşturmaya çalışıyorsun ama hesapladığın kısa kenar, verilen tam kenarın tamamını aşıyorsa (örneğin "tam taban 3, ama hesapladığım 30°'nin karşısı 4") dikme üçgenin içine sığmaz. Bu durumda dikme üçgenin dışına düşer. Açıyı uzatmak ve dışarıda bir üçgen kurmak gerekir.

Çözümlü Örnek — Dışta Yükseklik (Video 1, Mor Soru 1 Detay)

Bir eşkenar üçgenin bir kenarı üzerindeki parçalar: 3 ve 8. Parçaların toplam uzunluğu zaten kenarı aşıyor; bu yüzden 8 karşı kenarın uzantısı üzerindeki bir noktayı temsil eder. Pisagorla x bulunacak.

1. Dik üçgenin hipotenüsü 8, 30°'nin karşısı 4, 60°'nin karşısı 4√3.
2. Tam taban 3 birim; 4 > 3 olduğundan dik ayağı dışarıya düşer.
3. Taban uzantısında 4 − 3 = 1 birim kayma.
4. Pisagor (aranan x hipotenüs): x² = (4√3)² + 1² = 48 + 1 = 49 → x = 7 birim.

Tanıma Adımları

1. 30-60-90 kur: Verilen açı ve uzunluktan dik üçgeni çıkar.
2. Hesapla: 30°'nin karşısındaki kenarı bul.
3. Kıyasla: Hesapladığın kenar, verilen tam tabanı aşıyor mu?
4. Aşıyorsa: Dikme dışarıda. Kenarı uzat, dışarıda yeni bir üçgen kur.
5. Pisagor uygula: Gerçek uzunluğu (x) hipotenüs olarak bul.

Tanımama Refleksi = Kenara Eksi Yazmak

Birçok öğrenci dikkat edilmediğinde yanlışlıkla "kenarın negatif bir parçası var" gibi mantıksız bir sonuca gelir. Örnek: tamamı 3, hesaplanan 4, geriye 3 − 4 = −1. Eğer sonuçta negatif bir uzunluk görüyorsan derhal dikmenin dışarıda olduğunu anla.

Çözümlü Örnek 2 — Farklı Dış Konfigürasyon (Video 2, Mor Soru 5'ten)

Eşkenar üçgen kağıt eş aralıklarla tabana paralel çizgilere bölünmüş. 3. çizgide D noktası, 10. çizgide E noktası; DE = 2√79. Eşkenar üçgenin çevresi kaçtır?

1. Aralık = a; toplam 15 aralıklıysa kenar = 15a.
2. D 3. çizgide, E 10. çizgide; aralık farkı 10 − 3 = 7; E de yatay kayma var.
3. E noktası 10. çizgi boyunca uzanır; 10a uzunluğunda.
4. Dış dik üçgenin dikey kenarı 5a√3, yatay kenarı 2a.
5. Pisagor: (2√79)² = 4·79 = (5a√3)² + (2a)² = 75a² + 4a² = 79a².
6. 79a² = 316 → a² = 4 → a = 2.
7. Kenar = 15a = 30 cm; çevre = 3 · 30 = 90 cm.

Eşkenar üçgen basit bir konu gibi görünse de TYT'de öğrencilerin sıkça yanlış işaretlediği noktalar vardır. Aşağıdaki altı hata, ÖSYM'nin çeldirici olarak özellikle kullandığı tuzaklardır. Her birini neden yanlış olduğunu ve doğrusunu bir tabloda gör.

Hata 1 — Yüksekliği a/2 Yazmak

Yanlış: Eşkenar üçgenin yüksekliğinin taban yarısına eşit olduğunu sanmak.

Doğru: Yükseklik = a√3/2. a = 4 için yükseklik 2√3 ≈ 3.46; taban yarısı ise 2. İkisi farklı. Yüksekliği a/2 ile karıştırmak 30-60-90 açılarından birini atlamaktır.

Hata 2 — Viviani'yi Paralellik Özelliğiyle Karıştırmak

Yanlış: İç bir noktadan inilen dikmelerin toplamının bir kenara eşit olduğunu sanmak (aslında bu paralellik özelliğidir).

Doğru: İki farklı özellik var:

• Dikmeler (Viviani): Toplam = yükseklik (h = a√3/2).
• Paraleller: Toplam = bir kenar (a).

Hata 3 — Alan Formülünü Kök 2 ile Yazmak

Yanlış: a²√2/4 veya a²/4 şeklinde yazmak (kare ile karıştırma).

Doğru: Alan = a²√3/4. Kök 3 gelir çünkü yükseklik a√3/2; alan = taban · yükseklik / 2 = a · (a√3/2) / 2 = a²√3/4.

Hata 4 — Ağırlık Merkezi Oranını 1:3 ya da 1:1 Yazmak

Yanlış: Ağırlık merkezinin kenarortayı 1:3 ya da 1:1 oranında böldüğünü düşünmek.

Doğru: Oran 1:2'dir. Kenara 1 birim, köşeye 2 birim. Bu oran tüm üçgenler için geçerli olduğundan (sadece eşkenar için değil) ama eşkenar üçgende bu oranlı parçaların birim uzunluğu da özel: a√3/6 ve a√3/3.

Hata 5 — Eşkenar Üçgenin Tek Bir İkizkenar Olduğunu Sanmak

Yanlış: İkizkenar özelliklerini sadece bir kenara göre kullanmak.

Doğru: Eşkenar üçgen üç kenarına göre ikizkenardır. Her bir köşeden inilen yükseklik kenarortay ve açıortaydır. Sadece bir kenara göre ikizkenar düşünürsen soruyu çözemezsin.

Hata 6 — Yüksekliğin Daima İçerde Olduğunu Varsaymak

Yanlış: Eşkenar üçgende yüksekliğin her zaman üçgenin iç bölgesinde olduğunu kabul etmek. Bu dar açılı üçgenler için doğrudur ama katlama/birleşme sorularında kenarın uzantısı üzerindeki bir noktadan dik indirildiğinde yükseklik dışarı düşer.

Doğru: 30-60-90 kurulumunda hesapladığın kenar verilen tam tabanı aşıyorsa dikme dışarıdadır. Kenarı uzat ve dışarıda dik üçgen kur.

Konuyu kapatmadan önce TYT ve AYT tarzı karma sorularla eşkenar üçgen tekniklerini pekiştirelim. Bu örnekler gerçek ÖSYM kalıplarıdır — çözümü yaparken yukarıda öğrendiğimiz her aracı birleştirmek gerekir.

Örnek 1 — Dikdörtgen Pistol (Video 2, Mor Soru 5)

A, B, C noktalarına ABC eşkenar üçgeni olacak şekilde üç çivi çakılıyor; etrafına lastik geçiriliyor. D ve E noktalarına birer çivi daha çakılıp lastik geriliyor; böylece BDEC dikdörtgeni oluşuyor. ABC'nin çevresi 21 birim. DA ile uzantısında x birim. x = ?

1. Çevre 21 → bir kenar = 7.
2. Yükseklik: h = 7√3/2.
3. Dikdörtgen konumlanması gereği B'den ile C'ye olan uzaklık 7, düşey kayma 4√3 birim.
4. Pisagor: 7² = x² + (4√3)² → 49 = x² + 48 → x² = 1 → x = 1.

Örnek 2 — Mor Üçgen Paralellik (Video 2, Mor Soru 2)

ABC eşkenar üçgeninin iç bölgesindeki G noktasından kenarlara paraleller çizilerek üçgen üç bölgeye ayrılıyor. Morun bir kenarı 12, yeşilin ve sarının toplam çevresi soruyor. Kenarları sırasıyla 5, 2, 3 birim paraleller için verilmişse her bölgenin çevresi hesaplanır.

1. Paralellik özelliği: 5 + 2 + 3 = 10 → eşkenar üçgenin bir kenarı 10.
2. Mor bölgenin çevresi: ilgili parçaların toplamı: 12.
3. Yeşil ve sarının toplam çevresi: 19 + 19 = 38.
4. Oran mor/sarı = 31/19.

Örnek 3 — Tangramlı Uzaklık (Video 2, Mor Soru 4)

Eşkenar üçgen biçimindeki eş tangramların kenarları orta noktalarda çakışacak şekilde düzenlendiğinde iki uç nokta arasındaki uzaklık nedir? Tangramın bir kenarı 6 cm.

1. Her küçük üçgenin yüksekliği: h = 6√3/2 = 3√3.
2. Birleşim sonucu dikey toplam uzaklık: 1,5√3 + 3√3 + 3√3 = 7,5√3.
3. Yatay kayma: 3/2 · 5 = 15/2.
4. Pisagor (3/2 ortak çarpan): hipotenüs = 3/2 · √(75 + 1) = 3/2 · √76 = 3/2 · 2√19 = 3√19.
5. A ve B arasındaki uzaklık 3√19.

Örnek 4 — Aldığı Toplam Yol (Video 1, Son Mor Soru)

ABC eşkenar üçgen bölgesinin çevresinde D noktasında bir hareketli; D'den AC'ye dik bir yol boyunca bir noktaya, sonra BC'ye dik bir yolla bir noktaya gidiyor. BD = 8, DC = 14 verildiğinde toplam yol kaçtır?

1. İlk yol: 30-60-90 içinde. 60°'nin karşısı BD = 8 → ? Hayır; önce hipotenüsü anlayalım: eşkenar üçgenin kenarı 14'tür. Dikme x → 30°'nin karşısı 4 → 60°'nin karşısı 4√3.
2. İkinci yol: 30-60-90 içinde. Hipotenüs 14 − 4 = 10 → 30°'nin karşısı 5 → 60°'nin karşısı 5√3.
3. Toplam yol: 4√3 + 5√3 = 9√3 birim.

Örnek 5 — Ağırlık Merkezine Karton Yerleşimi (Video 1, Örnek 10)

Eşkenar üçgen biçimindeki sarı kartonun üzerine turuncu karton yerleştiriliyor: bir köşesi sarının ağırlık merkezinde, bir kenarı sarının kenarıyla çakışık. Uzaklık 4 birim. Kesikli çizginin uzunluğu kaçtır?

1. Ağırlık merkezi paralelliği: oran 1:2, yani köşe-ağırlık merkezi = 4 → kenar-ağırlık merkezi = 2.
2. 30-60-90: 90°'nin karşısı 2 → 30°'nin karşısı 1, 60°'nin karşısı √3. Bir kartonun kenarı √3.
3. Sarı kartonun bir kenarı 6; orta noktaya uzaklık 3; 3 − 2 = 1.
4. Pisagor: x² = (√3)² + 5² = 3 + 25 = 28 → x = 2√7.

Eşkenar üçgen konusunu bitirdiğinde karşılaşacağın soru tiplerini ve her biri için uygulaman gereken stratejiyi tek tabloda özetledik. Bu tablo sınav öncesi son tekrar için birebir.

Soru Tipi — Strateji Eşleştirmesi

Soru Tipi	Strateji	Süre Tahmini
Kenar verildi, yüksekliği sor	h = a√3/2	10 sn
Kenar verildi, alanı sor	A = a²√3/4	15 sn
Alan verildi, kenar sor	a²√3/4'ten a'yı çek	20 sn
İçine dikme inilmiş (Viviani)	Üç dikmenin toplamı = h	30 sn
İçine paralel çizilmiş	Üç paralelin toplamı = a	30 sn
İç dikken 30-60-90 çıkar	Oran 1 : √3 : 2	45 sn
Katlama	Simetri + 30-60-90	60 sn
Ağırlık merkezi paralelliği	Oran 1:2, iki kat büyüme	45 sn
Renkli karton alan oranı	Alan oranı = (kenar oranı)²	45 sn
Yükseklik dışarı düşer	Kenarı uzat, dışarıda dik üçgen kur	60 sn
Köşeden kenarortay	Aynı zamanda dik ve açıortay	20 sn
İç teğet / çevrel yarıçap	r = a√3/6, R = a√3/3 = 2r	15 sn

Sınav Günü 4 Altın Adım

1. Tanı koy (3 sn): Eşkenar üçgen mi, içinde dik mi, paralel mi? Ağırlık merkezi sözü geçiyor mu?
2. 60°'yi yerleştir (2 sn): Eşkenar üçgen olduğu anda üç iç açı 60°. Bunu şekle yaz.
3. Özel üçgen var mı bak (5 sn): Diklik varsa 30-60-90 kur, oranları uygula.
4. Sağlama yap (5 sn): Viviani/paralellik toplam eşitliğini hep kontrol et. Toplam yüksekliğe veya kenara eşit mi?

Özet Formül Kartı

Büyüklük	Formül
İç açı	60° (her biri)
Çevre	3a
Yükseklik	a√3/2
Alan	a²√3/4
İç teğet çember r	a√3/6
Çevrel çember R	a√3/3 = 2r
Kenarortay = Açıortay = Yükseklik	a√3/2 (üçü eşit)
Ağırlık merkezi oranı	Kenara 1, köşeye 2
Viviani (iç dikmeler toplamı)	= h = a√3/2
Paralellik (iç paraleller toplamı)	= a
Alan oranı (iki eşkenar)	Kenar oranının karesi