TYT Matematik — Veri ve İstatistik

İstatistik, bir grup veriyi anlamak, yorumlamak ve başka gruplarla karşılaştırmak için kullandığımız sayısal araçların toplamıdır. Elimizde bir veri grubu olduğunda iki temel soru sorarız: "Bu grup genel olarak nasıl?" ve "Bu grubun içindeki değerler ne kadar yayılmış?". İlk soruya cevap veren ölçülere eğilim ölçüleri, ikinciye cevap verenlere yayılım ölçüleri denir.

Fark Neden Önemli? Örnekle Görelim

Bir matematik öğretmeni sınıfının sınavdan aldığı notları anlatırken sadece "ortalamamız 80" derse, sınıf hakkında fikir edinebilir miyiz? Evet ama eksik. Çünkü 80 ortalamayı veren iki farklı sınıf olabilir:

• Homojen sınıf: Notlar 75, 78, 80, 82, 85. Herkes ortalamaya yakın → düşük yayılım.
• Dağınık sınıf: Notlar 20, 60, 80, 100, 140 (hipotetik). Ortalama yine 80 ama veriler çok yayılmış → yüksek yayılım.

İşte bu yüzden ortalamanın yanında açıklık ya da standart sapma da önemlidir. Ortalama "sınıf nasıl?" sorusuna cevap verir; açıklık ise "sınıftaki farklılık ne kadar?" sorusuna.

Üç Temel Eğilim Ölçüsü — Tablo Özeti

Ölçü	Tanım	Kısa Yol
Aritmetik Ortalama	Verilerin toplamı / veri sayısı	"Kardeş payı"
Medyan (Ortanca)	Küçükten büyüğe sıralandığında ortadaki değer	"Tam ortadaki"
Mod (Tepe Değer)	En çok tekrar eden değer	"En çok tekrar eden"

İki Temel Yayılım Ölçüsü

• Açıklık (Ranj): En büyük veri − en küçük veri. Grubun "kaç birim geniş" olduğunu verir. Matematik notları 40 ile 70 arasında değişen bir sınıfın açıklığı 30'dur.
• Standart Sapma: Verilerin ortalamadan ortalama olarak ne kadar uzaklaştığını ölçer. Formül TYT müfredatında detaylı geçmez; ancak "küçük standart sapma = tutarlı, istikrarlı grup; büyük standart sapma = dağınık grup" yorumu soru çözmek için yeterlidir.

Aritmetik ortalama ilkokuldan beri bildiğimiz "kardeş payı" mantığıdır. Elinde bir grup sayı varsa, hepsini topla ve kaç tane olduklarına böl. Bitti. Basit görünen bu tanımın arkasında birkaç ayrıntı var ki TYT'de çoğu kez bu ayrıntılar üzerinden soru kurulur.

Çözümlü Örnek 1 — Klasik Bakkal Zeytinyağı Sorusu

Bir bakkaldaki 5 adet zeytinyağı tenekesinde sırasıyla 20, 22, 24, 26, 28 litre yağ bulunuyor. Bakkal bu yağları 22 litrelik tenekelerde yeniden paketlemek istiyor. Teneke sayısı 5'te kaldığına göre aritmetik ortalama nasıl değişir?

1. Eski durum: Toplam = 20 + 22 + 24 + 26 + 28 = 120 L. Ortalama = 120 / 5 = 24 L.
2. Yeni durum: Hepsi 22 L. Toplam = 5 · 22 = 110 L. Ortalama = 110 / 5 = 22 L.
3. Değişim: 24 − 22 = 2 birim azalma.

Çözümlü Örnek 2 — Veriye Ekleme/Çıkarma (Güncelleme Formülü)

Bir sınıfın 10 öğrencisinin boy ortalaması 160 cm'dir. Sınıfa boyu 170 cm olan 1 öğrenci daha katıldığında yeni ortalama kaç olur?

1. İlk toplam: 10 · 160 = 1600 cm.
2. Yeni toplam: 1600 + 170 = 1770 cm.
3. Yeni kişi sayısı: 10 + 1 = 11.
4. Yeni ortalama: 1770 / 11 = 160,9... cm ≈ 160,91 cm.

Formül olarak: x_yeni = (n · ortalama_eski + eklenen değer) / (n + 1). Çıkarma için de aynı mantık: (n · ortalama − çıkarılan değer) / (n − 1).

Çözümlü Örnek 3 — Basketbol Takımı (En Uzun/En Kısa Ayrılınca)

Bir basketbol takımında oyuncuların boylarının ortalaması 180 cm'dir. En uzun oyuncu 201 cm, en kısa oyuncu 165 cm'dir. Bu iki oyuncu takımdan ayrılırsa ortalama nasıl değişir?

1. Çıkan iki oyuncunun ortalaması: (201 + 165) / 2 = 366 / 2 = 183 cm.
2. Çıkarılanların ortalaması (183), mevcut ortalamadan (180) büyüktür.
3. Ortalamadan büyük bir grup çıkınca ortalama azalır.
4. Kesin değeri hesaplamak için oyuncu sayısı gereklidir; fakat soru sadece "nasıl değişir" diyorsa cevap: ortalama azalır.

Bazen verilerin her biri eşit önemde değildir. Mesela TYT puan hesabında TYT puanı ile AYT puanının etkisi farklıdır. Ya da bir sınıfta aynı notu alan birden çok öğrenci varsa, o notu tek tek yazmak yerine "kaç öğrenci" diye bir frekans değeriyle göstermek çok daha pratiktir. İşte bu iki durumun matematiksel ifadesi ağırlıklı ortalamadır.

Çözümlü Örnek 4 — Frekans Tablosu

Bir sınavda 20 öğrencinin aldığı notlar şöyledir: 4 öğrenci 60, 6 öğrenci 70, 8 öğrenci 80, 2 öğrenci 100 almıştır. Sınıf ortalaması kaçtır?

Not (xᵢ)	Frekans (fᵢ)	xᵢ · fᵢ
60	4	240
70	6	420
80	8	640
100	2	200
Toplam	20	1500

1. Toplam not: 240 + 420 + 640 + 200 = 1500.
2. Toplam öğrenci: 4 + 6 + 8 + 2 = 20.
3. Ortalama: 1500 / 20 = 75.

Çözümlü Örnek 5 — Grup Birleştirme (İki Alt Grup Ortalamasından Ortak Ortalama)

A takımında 4 oyuncunun kilolarının ortalaması 71, B takımında 6 oyuncunun kilolarının ortalaması 72 ise iki takımın kilolarının ortak ortalaması kaçtır?

1. A takımı toplam kilo: 4 · 71 = 284.
2. B takımı toplam kilo: 6 · 72 = 432.
3. Toplam kilo: 284 + 432 = 716.
4. Toplam oyuncu: 4 + 6 = 10.
5. Ortak ortalama: 716 / 10 = 71,6 kg.

Çözümlü Örnek 6 — Ağırlıklı Puan (Ders Etki Oranları)

Bir sınavda Matematik dersinin etkisi 3, Türkçe dersinin etkisi 2 olsun. Bir öğrenci matematikten 80, Türkçe'den 70 alıyorsa ağırlıklı ortalaması nedir?

1. Pay: 80 · 3 + 70 · 2 = 240 + 140 = 380.
2. Payda (ağırlıkların toplamı): 3 + 2 = 5.
3. Ağırlıklı ortalama: 380 / 5 = 76.

Basit ortalama (eşit ağırlıkla) olsaydı (80 + 70) / 2 = 75. Fakat matematiğin etkisi daha büyük olduğu için ağırlıklı ortalama 76'ya çekilmiştir.

Medyan, bir veri grubunu küçükten büyüğe sıraladığında tam ortada kalan değerdir. Türkçe karşılığı "ortanca"dır ve bazı sorularda bu isimle geçer.

Pratik Yöntem — Çok Terimli Gruplarda Konum Bulma

Az sayıda (5-7 terim) veri grubunda küçükten büyüğe dizip "2 geldim, 2 geldim, ortada bu var" demek kolaydır. Ama 30, 41, 67 terim olduğunda tek tek saymak zaman kaybı ve hata riskidir. İşte pratik yol:

1. Terim sayısını n olarak al.
2. n tek ise, n / 2 hesapla, sonucu bir üst tam sayıya yuvarla. Bu kaçıncı terim medyandır. Örnek: n = 41 → 41/2 = 20,5 → 21. 21. terim medyan.
3. n çift ise, n / 2 hesapla. Bu değer ve bir sonrası (n/2 ve n/2+1) medyanı veren iki terimdir; ortalamaları medyandır. Örnek: n = 30 → 15 ve 16. terimler; medyan = (x₁₅ + x₁₆) / 2.

Çözümlü Örnek 7 — Tek Sayılı Basit Medyan

Bu veri grubunun medyanı kaçtır: 20, 24, 23, 27, 24, 30, 28?

1. Küçükten büyüğe sırala: 20, 23, 24, 24, 27, 28, 30.
2. Terim sayısı n = 7 (tek sayı).
3. 7 / 2 = 3,5 → bir üste yuvarla: 4. Yani 4. terim medyan.
4. 4. terim: 24. Medyan = 24.

Çözümlü Örnek 8 — Çift Sayılı Medyan

Bu veri grubunun medyanı kaçtır: 9, 72, 43, 37, 28, 17?

1. Küçükten büyüğe sırala: 9, 17, 28, 37, 43, 72.
2. Terim sayısı n = 6 (çift sayı).
3. Orta iki terim: 3. ve 4. terimler → 28 ve 37.
4. Medyan = (28 + 37) / 2 = 65 / 2 = 32,5.

Çözümlü Örnek 9 — Frekans Tablosunda Medyan (22 Zar Atışı)

Bir zar 22 kez atılmış; 1'den 3 kez, 2'den 6 kez, 3'ten 2 kez, 4'ten 5 kez, 5'ten 4 kez, 6'dan 2 kez gelmiştir. Medyan kaçtır?

1. Toplam atış: 3 + 6 + 2 + 5 + 4 + 2 = 22 (çift sayı).
2. Ortadaki iki atış: 22/2 = 11. atış ve 12. atış.
3. Küçükten büyüğe birikimli sayım: 1'ler bitince 3. atışta durduk. 2'ler eklenince 3 + 6 = 9. atışta durduk. 3'ler eklenince 9 + 2 = 11. atış 3 değerine denk geliyor. 12. atış 4 değerine geçer.
4. 11. atış = 3, 12. atış = 4. Medyan = (3 + 4) / 2 = 3,5.

Medyanı Değiştirmeyen Ekleme

Bir veri grubuna eklenen yeni bir sayı medyanı değiştirmeyebilir. Yeni sayı tam ortaya denk geliyorsa veya medyan bölgesinin dışına (bir ucuna) ekleniyor ve denge bozulmuyorsa medyan sabit kalır.

Örnek: 9, 17, 28, 37, 43, 72 grubunun medyanı 32,5. Buraya 40 eklersek: 9, 17, 28, 37, 40, 43, 72 olur (7 terim). 4. terim = 37, medyan 37 olur → değişti. Ama 32,5 eklersek tam ortaya girer ve 32,5 değerini korur.

Mod, bir veri grubundaki en çok tekrar eden değer(ler)dir. İngilizce "mode" kelimesinden gelir ve Türkçe'de tepe değer ya da frekans olarak da geçer. "Gömlek üretimi" gibi günlük hayat örneklerinde modu düşünmek işe yarar: en çok hangi beden satıldıysa o bedenden daha çok üretirsin.

Tek Mod, Çok Mod ve Modsuz Durumlar

Durum	Örnek	Mod
Tek modlu	2, 3, 3, 4, 5, 5, 5	5 (üç kez tekrar)
İki modlu	1, 2, 2, 4, 4, 5	2 ve 4 (ikisi de iki kez)
Modsuz (tümü farklı)	3, 5, 8, 11, 14	Yok
Modsuz (hepsi eşit)	7, 7, 8, 8, 9, 9	Yok (hepsi iki kez)

Çözümlü Örnek 10 — Frekans Eşitliği ile Mod Tespiti

Her sorusu 5 puan olan 20 soruluk bir sınava 50 öğrenci girmiştir. Notların dağılımında bazı veriler verilmiştir. Tepe değerleri iki değerde eşit bulunmuş ve bu iki değerin frekans toplamı 26'dır. 70 ve üzeri not alan öğrenci sayısı (yine eşit iki not değerinden oluşuyor) sorulmuştur.

1. İki tepe değer eşit ise her biri için frekans: 26 / 2 = 13.
2. Diyelim ki 70 ve 80 tepe değer; 70 alan = 13, 80 alan = 13 öğrenci.
3. 70 ve üzeri = 13 + 13 = 26 öğrenci.
4. 50 − 26 = 24 öğrenci 70'in altında (problemin kalan kısmı ek bilgilere bağlı).

Çözümlü Örnek 11 — Zar Atışında Mod

Bir zar 22 kez atılmış; 1'den 3 kez, 2'den 6 kez, 3'ten 2 kez, 4'ten 5 kez, 5'ten 4 kez, 6'dan 2 kez gelmiştir. Mod (tepe değer) nedir?

1. Frekansları karşılaştır: 3, 6, 2, 5, 4, 2.
2. En büyük frekans = 6 (2 değerinde).
3. Mod = 2. Tek modlu grup.

Günlük Hayatta Mod — Neden Önemli?

Mod, ortalama veya medyandan farklı olarak sayısal olmayan verilerde de kullanılabilir. "En çok satılan gömlek rengi" sorusunun cevabı moddur; ortalama renk olmaz. Moda sektöründe "bu sezon en çok hangi model tutuldu?" sorusunun cevabı da moddur. İşte isminin "moda" kelimesiyle akrabalığı buradan gelir.

Bir grup verinin "ne kadar dağıldığını, ne kadar yayıldığını" anlamak için eğilim ölçüleri yetmez. İşte yayılım ölçüleri devreye girer. TYT'de en çok sorulanlar açıklık (ranj) ve bir yorum düzeyinde standart sapmadır.

Açıklık (Ranj)

Açıklık hesabı için veriyi sıralamak bile gerekmez. Gözle en büyüğü ve en küçüğü bul, çıkar, bitti. İşlem süresi 5 saniye.

Çözümlü Örnek 12 — Basit Açıklık

Bu veri grubunun açıklığı kaçtır: 24, 17, 43, 22, 14, 38, 29?

1. En büyük: 43.
2. En küçük: 14.
3. Açıklık = 43 − 14 = 29.

Çözümlü Örnek 13 — Açıklık ile Mod Eşitliği

A, B, C pozitif tam sayılar olsun. Bir veri grubu küçükten büyüğe şöyle sıralanıyor: A, A, B, C. Açıklık ve mod birbirine eşittir. Veri grubunun medyanı nedir?

1. En küçük = A, en büyük = C. Açıklık = C − A.
2. En çok tekrar eden = A (iki kez). Mod = A.
3. Açıklık = Mod ise C − A = A → C = 2A.
4. Pozitif tam sayılarla A, A, B, C sıralı olacaksa: A ≤ A ≤ B ≤ C. Yani B, A ile 2A arasında (veya eşit).
5. A = 2 ise C = 4. B en az 2, en çok 4. Özel bir değer verilirse (ör. B = 3), medyan = (A + B) / 2 = (2 + 3) / 2 = 2,5.

Standart Sapma — Yorum Seviyesinde TYT

Standart sapma, her verinin ortalamadan ne kadar saptığının ortalamasını ölçer. Formülü TYT için ezber değildir; ama yorumu kritiktir.

Standart Sapma	Yorum	Örnek
Düşük	Veriler ortalamaya yakın, grup tutarlı/istikrarlı	Her maçta 2-3 gol atan futbolcu
Yüksek	Veriler ortalamadan uzak, grup dağınık/dengesiz	Bir maç 5 gol, bir maç 0 gol atan futbolcu

Açıklık Değişmezliği — Veri Ekleme

Bir veri grubuna yeni bir veri eklendiğinde açıklığın değişip değişmemesi eklenen verinin yerine bağlıdır:

• Eklenen veri, mevcut en büyükten küçük ve mevcut en küçükten büyükse → açıklık değişmez.
• Eklenen veri, mevcut en büyükten büyükse → açıklık artar.
• Eklenen veri, mevcut en küçükten küçükse → açıklık artar.

Örnek: 22, 26, 27, 27, 28, 29, 30 grubunun açıklığı 30 − 22 = 8. Bu gruba 27 eklersek (içeride) açıklık yine 8 kalır; değişmez.

ÖSYM'nin favori kalıplarından biri: "Şu veri grubu var, yeni bir veri eklenirse medyan/ortalama/mod nasıl değişir?" ya da "Bir veri çıkarılırsa...". Bu soruların hepsi aynı mantıkla çözülür.

Özet Tablo — Ekleme Sonrası Değişim

Ölçü	Ekleme Durumu	Sonuç
Ortalama	Eklenen değer = mevcut ortalama	Değişmez
Ortalama	Eklenen değer > ortalama	Artar
Ortalama	Eklenen değer < ortalama	Azalır
Medyan	Eklenen değer = medyan	Değişmez
Mod	Eklenen değer = mevcut mod	Değişmez (mod aynı kalır, frekansı artar)
Mod	Eklenen değer yeni frekansı tepeye çıkarıyor	Değişir / iki modlu olur
Açıklık	Eklenen değer mevcut aralıkta	Değişmez

Çözümlü Örnek 14 — Tüm Ölçülerin Birlikte Kontrolü

Suna'nın 7 deneme sınavında matematikten aldığı doğru sayıları: 22, 26, 27, 27, 28, 29, 30. 8. deneme sınavında 27 aldığını varsayalım. Bu yeni veri grubunda I) Ortalama, II) Medyan, III) Mod, IV) Açıklık nasıl değişir?

1. Eski ortalama: (22+26+27+27+28+29+30) / 7 = 189 / 7 = 27.
2. Eski medyan: 7 terim, 4. terim = 27.
3. Eski mod: 27 (iki kez).
4. Eski açıklık: 30 − 22 = 8.
5. 27 eklendiğinde: 22, 26, 27, 27, 27, 28, 29, 30 (8 terim).
6. Yeni ortalama: 216 / 8 = 27 (değişmedi).
7. Yeni medyan: 8 terim çift, 4. ve 5. terim = 27, 27. Medyan = (27+27)/2 = 27 (değişmedi).
8. Yeni mod: 27 (üç kez tekrar eden), yine 27 (değişmedi).
9. Yeni açıklık: 30 − 22 = 8 (değişmedi).
10. Sonuç: Eklenen değer tam ortalamaya/medyana/moda eşit olduğu için hiçbir ölçü değişmedi.

Çözümlü Örnek 15 — Güncelleme Formülü ile Hızlı Çözüm

Bir bilgisayar tamircisine hafta içi (5 gün) gelen müşteri sayılarının ortalaması 11, medyanı 11'dir (veri: 5, 7, 11, 13, 19). Cumartesi ve pazar gelen müşteri sayıları A ve B eklendiğinde 7 terimli yeni grubun ortalaması 12'ye çıkıyor. A + B kaçtır?

1. Eski toplam: 5 · 11 = 55.
2. Yeni toplam: 7 · 12 = 84.
3. A + B = 84 − 55 = 29.

Bu tip sorularda yeni toplam − eski toplam = eklenen değerler toplamı formülü altın kuraldır.

TYT'de veri ve istatistik sorularının bir kısmı tablo veya sütun/daire grafiği üzerinden gelir. Bu tip sorularda hesap adımı genelde kısadır; zorluk grafiği/tabloyu doğru okumakta. Aşağıdaki adımları uygula:

1. Başlıkları oku: Tablodaki kolon/satır başlıklarının ne olduğunu belirle. "Gol sayısı", "yıl", "öğrenci sayısı" hangisi?
2. Eksen ölçeklerini kontrol et: Y ekseninin her çizgisi 1 mi, 10 mu, 100 mü? Ölçeği yanlış okuyan soruyu yanlış yapar.
3. Soruyu oku: Medyan mı, mod mu, ortalama mı, standart sapma yorumu mu isteniyor?
4. Veriyi çıkar: Tablodan ilgili satır/sütunu seç, sayıları ayrı bir yere yaz.
5. Hesapla: Gerekli ölçüyü hesapla veya yorumla.

Çözümlü Örnek 16 — İstikrarlı ve Başarılı Futbolcu Seçimi

Aşağıdaki tabloda A, B, C, D, E futbolcularının son 5 yılda attıkları gollerin ortalaması ve standart sapması verilmiştir. En istikrarlı ve en golcü futbolcuyu belirleyin.

Futbolcu	Gol Ortalaması	Standart Sapma
A	15	4
B	18	6
C	12	3
D	22	5
E	16	2

1. "En istikrarlı" = standart sapması en düşük olan. Sapmalar: 4, 6, 3, 5, 2 → en düşük 2 (E).
2. "En golcü" = ortalaması en yüksek olan. Ortalamalar: 15, 18, 12, 22, 16 → en yüksek 22 (D).
3. Cevap ikilisi: E (istikrarlı) — D (golcü).

Çözümlü Örnek 17 — Ağırlıklar Tablosunda İki Takım Oluşturma

8 sporcunun ağırlıkları şu dağılıma sahiptir: 70 kg'dan 3 kişi, 71 kg'dan 1 kişi, 72 kg'dan 1 kişi, 73 kg'dan 3 kişi. Ortalaması 71 olan 4 kişilik A takımı, ortalaması 72 olan 4 kişilik B takımı oluşturulacak. B takımında 71 kilo olan sporcunun bulunmadığı iddiası doğru mu?

1. A takımı toplam ağırlığı: 4 · 71 = 284 kg.
2. B takımı toplam ağırlığı: 4 · 72 = 288 kg.
3. Toplam: 284 + 288 = 572 kg. Kontrol: 3·70 + 1·71 + 1·72 + 3·73 = 210 + 71 + 72 + 219 = 572. Tutar.
4. A için deneyelim: 70+70+71+73 = 284. Evet, A'da 71 kg var. Geriye kalanlar: 70, 72, 73, 73 (toplam 288 → B).
5. Bu dağılımla B takımında 71 kg'lık sporcu yok. İddia doğru.

Son yıllarda ÖSYM istatistik sorusunu tek başına sormayı bıraktı; kümeler, denklemler ve diğer temel konularla birleştirerek soruyor. Bu tür sorularda önce eleman sayıları veya veriler küçük bir denklem kurarak bulunur, sonra istatistik ölçüleri hesaplanır.

Çözümlü Örnek 18 — 2025 TYT: Kümelerden Veri Grubu

A ve B iki küme olsun. s(B) = y + z, s(A ∩ B) = y, s(A \ B) = x, s(A ∪ B) = x + y + z, s(A) = x + y değerleri küçükten büyüğe sıralanmış bir veri grubu oluşturuyor. Aritmetik ortalama 5. Veri grubunun medyanı nedir?

1. Sıralanmış veriler: y + z, y, x, x + y + z, x + y. Ama küçükten büyüğe ise ilk iki ifade için: y + z ≤ y gerekir. z ≥ 0 olduğu için bu ancak z = 0 ile mümkün.
2. z = 0 ise değerler: y, y, x, x + y, x + y.
3. 5 terimin ortalaması 5 ise toplam = 25 → 2y + x + 2(x + y) = 25 → 3x + 4y = 25.
4. Diofant denklem: pozitif tam sayı çözümleri: y = 1, x = 7; y = 4, x = 3 vb. Küçükten büyüğe sıralama şartı x ≥ y gerektirir.
5. y = 1, x = 7 ile sıralama: 1, 1, 7, 8, 8. Ortanca = 3. terim = 7. Medyan = 7.

Çözümlü Örnek 19 — Medyanın Temsil Gücü (2021 TYT)

Bir veri grubunda medyan ile her terimin pozitif farklarının toplamına "medyanın temsil gücü" denir (sorunun kendi tanımı). 18, 24, 28, 32, a veri grubu küçükten büyüğe sıralanmış; medyanın temsil gücü 60 verilmiştir. a kaçtır?

1. 5 terim tek sayı; medyan = 3. terim = 28.
2. Farkların mutlak değerleri: |18−28| + |24−28| + |28−28| + |32−28| + |a−28| = 60.
3. 10 + 4 + 0 + 4 + |a−28| = 60 → 18 + |a−28| = 60 → |a−28| = 42.
4. a, sıralamada 32'den büyük olmak zorunda → a > 28. Dolayısıyla a − 28 = 42 → a = 70.

Çözümlü Örnek 20 — Ardışık Ortalama-Medyan İlişkisi

Küçükten büyüğe sıralanmış ve birbirinden farklı tam sayılardan oluşan 6 terimli bir veri grubunda ortadaki iki terim a ve 13'tür (a ≤ 13 ve a birbirinden farklı tam sayılardan geldiği için a ≤ 12). Diğer terimler: 7, 9, a, 13, 17, b. Aritmetik ortalama ve medyan ardışık tam sayılardır. a + b kaçtır?

1. Medyan = (a + 13) / 2. Medyanın tam sayı olması için a + 13 çift olmalı → a tek.
2. a ≤ 12 ve tek → a = 11 (9'dan büyük, 13'ten küçük tek sayı).
3. Medyan = (11 + 13) / 2 = 12.
4. Ortalama medyan ile ardışık: 11 veya 13. Toplam = 6 · ortalama.
5. Toplam hesabı: 7 + 9 + 11 + 13 + 17 + b = 57 + b.
6. Ortalama 13 ise toplam = 78 → b = 21. a + b = 11 + 21 = 32.
7. Ortalama 11 ise toplam = 66 → b = 9. Fakat b, 17'den büyük olmalı → çelişki, elenir.
8. Sonuç: a + b = 32.

Bazı sorular özellikle "medyan değişmeyecek şekilde hangi veriyi çıkarabiliriz" veya "medyan aynı kalacak şekilde hangi veri eklenebilir" şeklinde gelir. Bu tip sorular sınav süresini yiyen tuzaklardır; prensip bilindiğinde saniyede çözülür.

Çözümlü Örnek 21 — Voleybol Takımından Ayrılan Oyuncu

9 kişilik bir voleybol takımının yaşları: 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20, 21, 17. Ve boyları küçükten büyüğe: 76, 79, 82, 84, 84, 85, 86, 88, 90. Bir oyuncu ayrılıyor ve geriye kalan 8 oyuncunun hem yaşlarının hem de boylarının medyanı değişmiyor. Hangi oyuncu ayrılmış olabilir?

1. Yaşları sırala: 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20, 21. Medyan = 5. terim = 19.
2. 9 kişiden biri çıkarsa 8 kişi; 4. ve 5. terim ortalaması yeni medyan. Yeni medyan 19 kalsın istiyorsak 4. ve 5. terim her ikisi de 19 olmalı.
3. Bu mümkün olmak için ilk üç sıradan biri (17'lerden veya ilk 18'den) çıkmalı; böylece 19'lar orta iki sıraya kayar.
4. Boyları sırala: 76, 79, 82, 84, 84, 85, 86, 88, 90. Medyan = 5. terim = 84.
5. 8 kişide 4. ve 5. terim ortalaması = 84 olmalı. Her iki 84 de ortaya gelmeli.
6. Küçüklerden (76, 79, 82) birini çıkarırsak 84'ler 4-5'e kayar; mümkün. Büyüklerden (85, 86, 88, 90) birini çıkarırsak 84'ler 4-5'te kalır; mümkün.
7. Her iki şart birlikte sağlanmalı. Yaş için küçükten çıkmalı (17/18), boy için büyükten çıkmalı (86/88/90) — yani bu çelişki yaratır.
8. Bazı şıklarda oyuncu (17 yaş, 90 cm) gibi ikili eşleşmeyle doğru ayrılabilir. Aradığımız oyuncu hem yaşta en küçük grupta hem boyda en büyük grupta yer almalı.

Çözümlü Örnek 22 — Ortalamayı Değiştirmeden Ayrılma

Bir grupta 11 kişinin yaş ortalaması 30. Bir kişi ayrıldığında geriye kalan 10 kişinin yaş ortalaması yine 30. Ayrılan kişinin yaşı kaç?

1. Eski toplam: 11 · 30 = 330.
2. Yeni toplam (10 kişi, ortalama 30): 10 · 30 = 300.
3. Ayrılan kişi: 330 − 300 = 30.

Genel kural: Ortalamayı değiştirmeden ayrılan/eklenen kişinin değeri her zaman mevcut ortalamaya eşittir.

Veri Ekleme ve Medyan: Zorlu Durum

9 terimli bir grubun medyanı 40. Bu gruba 40 değerinde bir veri eklersek medyan değişir mi? Hayır, ortaya eklenen bu değer 4. ile 5. (yeni 10 terimli grupta) terimler arasına girer ve ortalamaları yine 40'tır.

Veri ve istatistik sorularında ÖSYM belli kalıpları tekrar tekrar kullanır. Bu kalıpları bilmek sınavda saniyeler kazandırır.

ÖSYM'nin Favori Kalıpları

Kalıp	İpucu	Hedef Süre
Veri ekleme/çıkarma sonrası ortalama	Toplam / kişi sayısı formülü	30 sn
Tablodan medyan/mod hesabı	Birikimli frekans	60 sn
I, II, III ifade değerlendirme	Her ifadeyi ayrı kontrol et	90 sn
Grup birleştirme (iki ortalama → ortak)	Toplamı topla, kişi sayısını topla, böl	45 sn
Kümelerden veri grubu oluşturma	Venn şeması + sıralama şartı	120 sn
Standart sapma yorumlama	"İstikrar = düşük sapma" sloganı	20 sn
Medyanı değiştirmeden ekle/çıkar	Ortaya eklenen / uçtan çıkan	60 sn
Ağırlıklı ortalama (ders etkisi)	Σ(x·f) / Σf formülü	45 sn

Çözümlü Örnek 23 — I, II, III Yargı Değerlendirme (2021/2022 TYT Kalıbı)

Suna'nın 7 deneme sınavında doğru sayıları: 22, 26, 27, 27, 28, 29, 30. 8. deneme sınavında 27 alıyor. Bu durumda aşağıdaki yargıları değerlendiriniz:

I. Mod, Medyan ve Aritmetik ortalama ilk duruma göre değişmez.
II. Açıklık ilk duruma göre değişmez.
III. İlk duruma göre, Açıklık < Medyan < Aritmetik ortalama sıralaması elde edilir.

1. I'i kontrol: Eski Mod=27, Medyan=27, Ortalama=27. Yeni (27 ekle): Mod=27, Medyan=(27+27)/2=27, Ortalama=216/8=27. Hepsi aynı → I Doğru.
2. II'yi kontrol: Eski açıklık = 30−22 = 8. Yeni açıklık = 30−22 = 8. II Doğru.
3. III'ü kontrol: İlk durumda Açıklık = 8, Medyan = 27, Ortalama = 27. 8 < 27 = 27. Yani "Açıklık < Medyan" doğru ama "Medyan < Ortalama" yanlış (eşitler, küçük-büyük ilişkisi değil). III Yanlış.
4. Cevap: I ve II doğru.

Çözümlü Örnek 24 — Kombinatoryal İstatistik (Ayakkabı Dolabı)

3 raflı bir ayakkabı dolabının her rafından 2 çift ayakkabı satılıyor. Satılan 6 çiftin numaralarının her bir basamağı ile 12 terimli bir veri grubu oluşturuluyor. Bu grubun modu 3, açıklığı 9'dur. Hangi numara kesinlikle satılmış olmalıdır?

1. Açıklık 9 ise en büyük − en küçük = 9. Ayakkabı numaraları 30'lu, 40'lı, 50'li olduğu için en küçük 30 civarında, en büyük 39-49 civarında.
2. Modu 3 olması için 3 rakamı en çok görünmeli. Satılan çiftlerin numaralarında 3 bulundurmalı.
3. Raf 1'de 39 varsa ve satılıyorsa 3 ve 9 basamak olarak veriye girer. Raf 3'teki 42 satılıyorsa 4 ve 2 basamak olarak girer.
4. Açıklık 9 olmasını sağlayan sınır değerler ancak belli çiftler satıldığında tutuyor → 39 ve 42 kesin satılmış olmalı.

Bu tip soru salt hesap değil; kombinatoryal eleme gerektirir. Önce verilen şartları notla, sonra olası durumları tek tek kontrol et.

Konuyu bitirmek üzeresin. Aşağıda sınav öncesi son tekrar için bir formül kartı ve 4 adımlı strateji var. Bu iki kutuyu sınavdan önce son kez gözden geçir.

Özet Formül Kartı

Kavram	Formül / Kural
Aritmetik Ortalama	(x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n
Ağırlıklı Ortalama	Σ(xᵢ · fᵢ) / Σfᵢ
Medyan (tek n)	((n+1)/2). terim
Medyan (çift n)	((n/2). + ((n/2)+1).) / 2
Mod	Frekansı en yüksek değer(ler)
Açıklık (Ranj)	Maksimum − Minimum
Standart Sapma (yorum)	Düşük = tutarlı, yüksek = dağınık
Veri ekleme → yeni ortalama	(n·ort + yeni) / (n+1)
Veri çıkarma → yeni ortalama	(n·ort − çıkarılan) / (n−1)
İki grup birleştirme	(n₁·ort₁ + n₂·ort₂) / (n₁ + n₂)
Ekleme → ortalama değişmezse	Eklenen değer = mevcut ortalama
Eşit farklı (aritmetik dizi) ortalama	Ortadaki terim (tek) veya orta iki ortalaması (çift)

Sınav Günü 4 Altın Adım

1. Tanı koy (5 sn): Soru ortalama mı istiyor, medyan mı, mod mu, açıklık mı? I-II-III yargı mı? Karma soru mu (küme + istatistik)?
2. Veriyi çek (10 sn): Tablo varsa frekans sütununu ayrı yaz. Küçükten büyüğe sıralama gerektiren tüm ölçüler için hızlı sıralama yap.
3. Formülü uygula (20 sn): Yukarıdaki formül kartını hatırla. Uzun yoldan gitmek yerine kısa yol (ardışık farklı ortalama = orta terim, simetri = ortalama=medyan=mod gibi) kullan.
4. Sağlama yap (10 sn): Cevabı bulduktan sonra "mantıklı mı?" diye sor. Örneğin ortalama 30 bulduysa verilerinin aralığında mı? Medyan bulduysa küçükten büyüğe sıralanmış ortanca mı?

Mnemonics — Kısa Unutma Sloganları

Kaç Net Hedefi?

Veri ve istatistik TYT'de 1 soru sabit. Son yıllarda bazı oturumlarda 2 soru da geldiği oldu (örn: kümelerle birleşik soru da ayrı sayılabilir). Konunun tanımları 20 dakikada öğrenilir; uygulama için 30-40 soru çözmek yeterlidir. Sınav hedefi: Bu konudan 1 doğru kesin, çıkarsa 2 doğru. +1 neti cebe atmanın en kolay yolu veri ve istatistik.