TYT Matematik — Üslü Sayılar

Üslü sayı, aslında matematikteki en güzel "kolay gösterim"lerden biridir. Düşünsen ya: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 yazmak yerine tık diye 2¹⁰ yazıveriyoruz. İşte üslü sayının var oluş nedeni budur — uzun çarpımları tek bir küçük gösterimle ifade etmek.

Örnekle pekiştirelim:

• a¹ = a (1 tane a, kendisine eşittir)
• a² = a · a (2 tane a, "a kare")
• a³ = a · a · a (3 tane a, "a küp")
• a⁴ = a · a · a · a (4 tane a)

Karıştırılan İki Farklı Durum: Çarpım mı, Toplam mı?

Öğrencilerin en sık yaptığı hata a + a + a + ... (n tane) ile a · a · a · ... (n tane) işlemlerini birbirine karıştırmaktır. Bu ikisi bambaşka şeylerdir:

İfade	Sözel Anlam	Sonuç
a + a + a + ... (n tane)	n tane a'nın toplamı	n · a
a · a · a · ... (n tane)	n tane a'nın çarpımı	an

Mesela 3 + 3 + 3 + 3 ifadesi 4 tane 3'ün toplamıdır → 4 · 3 = 12. Ama 3 · 3 · 3 · 3 ifadesi 4 tane 3'ün çarpımıdır → 3⁴ = 81. Aradaki fark uçurum gibidir.

Mutlaka Ezberlemen Gereken Temel Üslü Değerler

Üslü sayılarda işin en kritik parçası, sorular seni her zaman "kulağı tersten tutma"ya zorlar. Yani soru sana 125 verir, senden 5³ yazmanı ister. Ya da 81 verir, senden 3⁴ yazmanı ister. Bu dönüşleri anında yapabilmek için aşağıdaki değerleri ezberlemen şart:

2'nin kuvvetleri	3'ün kuvvetleri	5'in kuvvetleri	Sık çıkan kareler
2² = 4	3² = 9	5² = 25	11² = 121
2³ = 8	3³ = 27	5³ = 125	12² = 144
2⁴ = 16	3⁴ = 81	5⁴ = 625	13² = 169
2⁵ = 32	3⁵ = 243		14² = 196
2⁶ = 64			15² = 225
2⁷ = 128
2⁸ = 256
2¹⁰ = 1024

Çözümlü Örnek 1 — Basit Hesaplama

3² + 4³ − (−5)³ işleminin sonucu kaçtır?

1. 3² = 9.
2. 4³ = 4 · 4 · 4 = 64.
3. (−5)³ = (−5)·(−5)·(−5) = −125. (Negatifin tek kuvveti negatiftir.)
4. Toplam: 9 + 64 − (−125) = 9 + 64 + 125 = 198.

Üslü sayıların belki de en sık sorulan "istisna"ları bu bölümün konusudur. Bir sayının 0. kuvveti nedir? Tabanı 0 olan üslü ifade ne olur? Üs negatif olduğunda nasıl hesaplanır? Bu üç soruyu net cevaplayabilmek TYT'de en az 1 soruyu doğrudan çözmenizi sağlar.

Kural 1 — a⁰ = 1 (Tabanın Sıfır Olmadığı Durumda)

a⁰ = 1   (a ≠ 0 olmak koşuluyla)

Neden 1'e eşittir? İlerleyen bölümdeki a^m/aⁿ = a^m−n kuralını düşün. a⁵/a⁵ işlemi hem 1'dir (aynı şeyi kendisine bölünce 1 olur) hem de a⁵⁻⁵ = a⁰'dır. İki eşitliği birleştirince a⁰ = 1 çıkar.

Kural 2 — 0⁰ Tanımsızdır!

Kural 3 — 0'ın Kuvvetleri

• 0¹ = 0, 0² = 0, 0³ = 0, ... (üssü pozitif olan herhangi bir kuvveti sıfıra eşittir)
• 0⁰ tanımsız (yukarıda söyledik).

Kural 4 — 1'in Bütün Kuvvetleri 1'dir

Bu basit ama TYT'de denklem çözerken sürekli karşına çıkacak bir gerçek:

1ⁿ = 1   (n reel sayı için)

Negatif Üsler — "Takla Mantığı"

Üslü sayının üstünde "−" işareti görürsen, o sayıyı tutup ters çevirirsin. Başka deyişle, taban bir kesirin payında duruyor; negatif üs onu paydaya (veya payın yerini paydayla değiştirerek) atar. Bu işleme "takla" denebilir:

a⁻ⁿ = 1/aⁿ   (a ≠ 0)

Tabanı a/b gibi kesir formunda olan bir ifadenin negatif üssü, pay ile paydayı yer değiştirir:

(a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ   (a, b ≠ 0)

Çözümlü Örnek 1 — Negatif Üsü Açma

4⁻³ + 5⁻² − 2⁻¹ işleminin sonucu kaçtır?

1. 4⁻³ = 1/4³ = 1/64.
2. 5⁻² = 1/5² = 1/25.
3. 2⁻¹ = 1/2.
4. Paydaları eşitlemek zorunda değiliz; kavramı anla: her negatif üs taklayla pozitif üse döner, ardından hesaplama yapılır.

Çözümlü Örnek 2 — Kesirli Tabanın Negatif Üssü

(3/4)⁻² ifadesinin değeri kaçtır?

1. Negatif üs → taban takla atar: (3/4)⁻² = (4/3)².
2. (4/3)² = 16/9.

Çözümlü Örnek 3 — Paydayı Yukarı Taşıma

1 / 125² ifadesini üslü formda yaz.

1. Paydadaki üslü ifade yukarı çıkarken üssü negatif olur: 1 / 125² = 125⁻².
2. 125 = 5³ olduğu için: 125⁻² = (5³)⁻² = 5⁻⁶.

Çözümlü Örnek 4 — Karma İşlem

(3⁻¹ + 7⁰)⁻² · 2⁴ + (−3)⁰ işleminin sonucu kaçtır?

1. 3⁻¹ = 1/3.
2. 7⁰ = 1 (taban 0 değil, o yüzden kural geçerli).
3. Parantez içi: 1/3 + 1 = 4/3.
4. (4/3)⁻² = (3/4)² = 9/16.
5. 9/16 · 2⁴ = 9/16 · 16 = 9.
6. (−3)⁰ = 1 (taban −3, sıfır değil).
7. Toplam: 9 + 1 = 10.

TYT'de en sık yapılan işaret hatalarının kaynağı bu bölümdedir. Bir sayının önündeki "−" işareti parantez içinde mi, parantez dışında mı? Bu küçük görünen ayrıntı sonucun işaretini değiştirir.

Altın Kural: "Önce Can, Sonra Canan"

Negatif tabanlı üslü ifadelerle uğraşırken önce işaret analizi yap, sonra sayısal değere geç. Türkçede nasıl "−5" derken önce eksiyi sonra sayıyı söylüyorsak, matematikte de aynısını yap.

Durum 1: Parantezli Negatif Taban — (−a)ⁿ

(−a)^çift = +a^çift   ve   (−a)^tek = −a^tek

Parantez içindeki "−" işareti, üsse dahil olur. Yani (−a)'yı n defa kendisiyle çarptığında her çarpım bir "−" taşır; çift kuvvette eksiler ikili gruplar halinde sadeleşir, tek kuvvette bir tane boşta kalır. Örnekler:

• (−5)² = (−5)·(−5) = +25 (çift kuvvet → pozitif)
• (−2)³ = (−2)·(−2)·(−2) = −8 (tek kuvvet → negatif)
• (−3)⁴ = 81 (çift kuvvet → pozitif)
• (−1)⁵⁰ = +1 (çift kuvvet)
• (−1)²¹ = −1 (tek kuvvet)

Durum 2: Parantezsiz Negatif Önek — −aⁿ

−aⁿ = −(aⁿ)   (üs sadece a'yı ilgilendirir, "−" hep dışarıda kalır)

Burada "−" işareti üsle hiçbir ilişkiye girmez. Önce aⁿ hesaplanır, sonra önüne "−" konur. Örnekler:

• −5² = −(5²) = −25 (5'in karesi 25'tir; önüne "−" konur)
• −2³ = −(2³) = −8 (hem tek kuvvet hem dış "−" olduğu için sonuç zaten negatif)
• −3⁴ = −(3⁴) = −81 (3⁴ = 81; "−" dışarıda kalır → −81)

Karşılaştırma Tablosu

İfade	Açılım	Sonuç
(−5)²	(−5)·(−5)	+25
−5²	−(5·5) = −(25)	−25
(−2)⁴	(−2)·(−2)·(−2)·(−2)	+16
−2⁴	−(2⁴) = −(16)	−16
(−3)³	(−3)·(−3)·(−3)	−27
−3³	−(3³) = −(27)	−27

Dikkat: Tek kuvvetlerde (−a)^tek ile −a^tek aynı sonucu verir çünkü iki durumda da sonuç negatiftir. Ama çift kuvvetlerde ikisi farklı çıkar — yanlışı en çok burada yaparız.

Çözümlü Örnek — Karma İşaret Analizi

(−2)⁴ · (−3)³ + (−5)² · 3⁰ − 1²⁰²⁵ işleminin sonucu kaçtır?

1. (−2)⁴ = +16 (parantezli, çift).
2. (−3)³ = −27 (parantezli, tek).
3. (−2)⁴ · (−3)³ = 16 · (−27) = −432.
4. (−5)² = +25.
5. 3⁰ = 1.
6. 25 · 1 = 25.
7. 1²⁰²⁵ = 1.
8. Toplam: −432 + 25 − 1 = −408.

Üslü sayılarda tüm hesaplamaların temelinde yatan beş ana kural vardır. Bu kuralları ezbere değil, nedenini anlayarak öğrenmek gerekir — çünkü ÖSYM hepsini hem düz hem "tersten" sorar.

Tüm Kurallar Tek Tabloda

Kural	Formül	Koşul
Aynı tabanda çarpma	am · an = am+n	Tabanlar eşit
Aynı tabanda bölme	am / an = am−n	a ≠ 0, tabanlar eşit
Üssün üssü	(am)n = am·n	—
Çarpımın üssü	(a · b)n = an · bn	—
Bölümün üssü	(a / b)n = an / bn	b ≠ 0

Neden Böyle? Çarpma Kuralının Kanıtı

2² · 2³ ifadesini düşün: İlki "2 tane 2'nin çarpımı", ikincisi "3 tane 2'nin çarpımı". Toplamda 2 + 3 = 5 tane 2'yi çarpıyorsun, yani 2⁵. İşte kural: a^m · aⁿ = a^m+n.

Neden Böyle? Bölme Kuralının Kanıtı

2⁵/2³: 5 tane 2'yi 3 tane 2'ye böldüğünde sadeleşmeden sonra 2 tane 2 kalır, yani 2². Kısayol: a^m/aⁿ = a^m−n. Paydada kalırsa üs yukarı negatif olarak geçer: 2³/2⁵ = 2³⁻⁵ = 2⁻² = 1/4.

Neden Böyle? Üssün Üssü

(2³)⁴: 2³ ifadesini 4 defa çarpıyorsun. Her 2³'te 3 tane 2 vardı, 4 tane 2³'te ise 3·4 = 12 tane 2 olur. Yani (2³)⁴ = 2¹².

Çözümlü Örnek 1 — Aynı Tabanda Çarpma/Bölme

(2⁵ · 2⁻³) / 2⁻² ifadesinin değeri kaçtır?

1. Pay: 2⁵ · 2⁻³ = 2⁵⁻³ = 2².
2. Payda/paya çıkarma: 2² / 2⁻² = 2²⁻⁽⁻²⁾ = 2⁴.
3. Sonuç: 2⁴ = 16.

Çözümlü Örnek 2 — Üstün Üssü

((−2)³)² ifadesinin değeri kaçtır?

1. (−2)³ = −8.
2. (−8)² = 64.
3. Veya kural: üslerin çarpımı → (−2)^3·2 = (−2)⁶ = 64. İki yoldan da aynı sonuç.

Çözümlü Örnek 3 — Çarpımın Üssü

6⁴ ifadesini 2 ve 3 tabanları cinsinden yaz.

1. 6 = 2 · 3.
2. 6⁴ = (2·3)⁴ = 2⁴ · 3⁴.

Çözümlü Örnek 4 — Karışık Kural Uygulaması

(2³ · 3²)² · (2⁻¹ · 3)³ ifadesini sadeleştir.

1. İlk parantezin karesi: (2³)² · (3²)² = 2⁶ · 3⁴.
2. İkinci parantezin küpü: (2⁻¹)³ · 3³ = 2⁻³ · 3³.
3. Çarp: 2⁶ · 3⁴ · 2⁻³ · 3³ = 2⁶⁻³ · 3⁴⁺³ = 2³ · 3⁷.
4. Sayısal değer: 8 · 2187 = 17 496.

Çözümlü Örnek 5 — Ondalık Sayıyı Üslü Form

(0,2)⁴ · (0,3)³ / (0,02)⁴ ifadesini sadeleştir.

1. 0,2 = 2/10, 0,3 = 3/10, 0,02 = 2/100.
2. (2/10)⁴ = 2⁴/10⁴, (3/10)³ = 3³/10³, (2/100)⁴ = 2⁴/100⁴ = 2⁴/10⁸.
3. Pay: 2⁴ · 3³ / (10⁴ · 10³) = 2⁴ · 3³ / 10⁷.
4. Bölüm: (2⁴ · 3³ / 10⁷) / (2⁴ / 10⁸) = 2⁴·3³·10⁸ / (10⁷·2⁴) = 3³ · 10 = 27 · 10 = 270.

TYT'de üslü sayı sorularının büyük çoğunluğu, ilk bakışta hesaplanamayacak kadar büyük sayılarla karşına çıkar. Örneğin 144^x, 720^y, 81ⁿ gibi. Bu tür sorularda tek hedefin şudur: Sayıyı en basit temel yapı taşına (asal çarpanına) indirge.

Stratejinin Mantığı

ÖSYM'nin TYT'deki sevdiği sayılar aslında kamufle edilmiş 2, 3, 5 çarpanlarının kombinasyonlarıdır. Bunları tanıyıp asal çarpanlarına bölebilirsen, üslü kurallarını uygulayabilir hale gelirsin.

Sık Karşılaşılan Sayıların Mayası

Sayı	Asal Çarpanlar	Üslü Form
8	2·2·2	2³
16	2·2·2·2	2⁴
27	3·3·3	3³
32	2·2·2·2·2	2⁵
48	2⁴·3	16·3
64	2⁶	2⁶
72	2³·3²	8·9
81	3·3·3·3	3⁴
125	5·5·5	5³
144	12² = 2⁴·3²	16·9
720	2⁴·3²·5	16·9·5
1000	2³·5³	10³

Çözümlü Örnek 1 — Tabanı Asal Çarpana Ayırma

144^x ifadesini 2 ve 3 tabanları cinsinden yaz.

1. 144 = 12² = (2²·3)² = 2⁴·3².
2. Yani 144 = 2⁴ · 3².
3. 144^x = (2⁴ · 3²)^x = 2^4x · 3^2x.

Çözümlü Örnek 2 — 720^x Parçalama

720^x ifadesini a = 2^x, b = 3^x, c = 5^x cinsinden yaz.

1. Önce 720'yi parçala: 720 = 72 · 10 = 2³·3² · 2·5 = 2⁴·3²·5.
2. 720^x = (2⁴·3²·5)^x = 2^4x·3^2x·5^x.
3. Eğer a = 2^x, b = 3^x, c = 5^x ise: 2^4x = a⁴, 3^2x = b², 5^x = c.
4. Sonuç: 720^x = a⁴·b²·c.

Çözümlü Örnek 3 — Tabanları Eşitleme

4^x = 32 denklemini çöz.

1. 4 = 2², 32 = 2⁵.
2. (2²)^x = 2⁵ → 2^2x = 2⁵.
3. Tabanlar eşit, üstler eşit olmalı: 2x = 5 → x = 5/2.

TYT'deki üslü denklemlerin büyük bir kısmı tek bir basit prensipten yola çıkar: Ya tabanları eşitle, ya da üsleri eşit hale getir. Hangi yolu seçeceğin sorunun veri tipine bağlıdır.

Durum 1: Tabanlar Eşitse Üstler Eşit Olmak Zorundadır

a^x = a^y ⇒ x = y   (a ≠ 0, 1, −1)

Koşulu neden var? Çünkü a = 1 ise 1⁵ = 1⁷ = 1 ama üsler eşit değil. Yani 1'in bütün kuvvetleri 1 olduğu için üs karşılaştırması anlamsız kalır. Aynı şey a = 0 için geçerli (sıfırın kuvvetleri). a = −1 ise (−1)²⁶ = (−1)²⁸ = 1 fakat üsler farklı.

Durum 2: Üstler Eşitse Tabanlar İncelenir

Neden? 2⁴ = 16 ve (−2)⁴ = 16. Yani x⁴ = 16 denkleminin hem x = 2 hem x = −2 çözümü vardır. Ama 2³ = 8 iken (−2)³ = −8, bu yüzden x³ = 8 denkleminin tek çözümü x = 2'dir.

Çözümlü Örnek 1 — Tabanları Eşitleme

81ⁿ = 27⁸ denkleminde n kaçtır?

1. Ortak taban bul: 81 = 3⁴, 27 = 3³.
2. (3⁴)ⁿ = (3³)⁸ → 3⁴ⁿ = 3²⁴.
3. Tabanlar aynı, üstler eşit olmalı: 4n = 24 → n = 6.

Çözümlü Örnek 2 — Karma Üs Çözümü

8³ⁿ⁻⁵ = 16²ⁿ⁺¹ denkleminde n kaçtır?

1. 8 = 2³, 16 = 2⁴.
2. (2³)³ⁿ⁻⁵ = (2⁴)²ⁿ⁺¹ → 2^3(3n−5) = 2^4(2n+1).
3. 2⁹ⁿ⁻¹⁵ = 2⁸ⁿ⁺⁴.
4. Üstler eşit: 9n − 15 = 8n + 4 → n = 19.

Çözümlü Örnek 3 — Çift Üste Dikkat

(x+1)² = 9 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?

1. Üs çift: x + 1 = 3 veya x + 1 = −3.
2. İlki: x = 2. İkincisi: x = −4.
3. Kökler toplamı: 2 + (−4) = −2.

Çözümlü Örnek 4 — Üstler Eşit ve Tek

(2y − 4)³ = (3y − 1)³ denklemini çöz.

1. Üs tek (3), o yüzden sadece tabanlar eşit yolu geçerli.
2. 2y − 4 = 3y − 1 → −3 = y.
3. Sonuç: y = −3. (Tek üste "tabanlar birbirinin eksilisi" durumu yok.)

Çözümlü Örnek 5 — Üstler Eşit ve Çift

(2y − 4)² = (3y − 1)² denklemini çöz.

1. Üs çift (2): iki durum.
2. Durum A (tabanlar eşit): 2y − 4 = 3y − 1 → y = −3.
3. Durum B (tabanlar eksili): 2y − 4 = −(3y − 1) → 2y − 4 = −3y + 1 → 5y = 5 → y = 1.
4. Çözüm kümesi: {−3, 1}.

"Bir ifadenin kaç kuvveti 1'e eşittir?" sorusunun cevabı üç ayrı durumu kapsar ve her birinin kendine özgü kontrolü vardır. Bu özel denklem tipi TYT'de sıklıkla sorulur ve öğrencilerin kök sayısını yanlış bulduğu klasik tuzaktır.

Denklem Yapısı

Genel form: f(x)^g(x) = 1 şeklindedir. f(x) tabandır, g(x) üssü. Üç durum var ve hepsi ayrı ayrı kontrol edilmelidir.

Her Durum İçin Kontrol Mantığı

Durum	Koşul	Kontrol
Taban 1	f(x) = 1	Kontrolsüz cepte — her üs için geçerli.
Taban −1	f(x) = −1	g(x) çift tam sayı mı? Evet → cepte. Hayır → çöpte.
Üs 0	g(x) = 0	f(x) ≠ 0 mı? Evet → cepte. Hayır → çöpte (00 tanımsız).

Çözümlü Örnek 1 — Klasik ÖSYM Sorusu

(x² − 16)^{x − 4} = 1 denkleminin kaç farklı reel kök vardır?

Durum 1: Taban 1

1. x² − 16 = 1 → x² = 17 → x = √17 veya x = −√17.
2. Her üs için 1^herhangi = 1, dolayısıyla iki kök cepte: √17, −√17.

Durum 2: Taban −1

1. x² − 16 = −1 → x² = 15 → x = √15 veya x = −√15.
2. Bu değerlerde üs: g(x) = x − 4 = √15 − 4 veya −√15 − 4. Hiçbiri tam sayı bile değil (irrasyonel), dolayısıyla "çift" olma kontrolü yapılamaz. Çöpte.

Durum 3: Üs 0

1. x − 4 = 0 → x = 4.
2. Taban kontrolü: x = 4 için x² − 16 = 0. Taban 0 → 0⁰ tanımsız → çöpte.

Toplam kök sayısı: Sadece Durum 1'den 2 kök → 2 farklı reel kök (köklerin çarpımı √17 · (−√17) = −17).

Çözümlü Örnek 2 — Pozitif Tam Sayı Kök

(2x − 6)^{3x − 12} = 1 denkleminin kaç tam sayı kökü vardır?

Durum 1: Taban 1

1. 2x − 6 = 1 → x = 7/2. Tam sayı değil, ama kök olarak cepte.

Durum 2: Taban −1

1. 2x − 6 = −1 → x = 5/2. Taban −1; şimdi üs kontrolü: 3x − 12 = 3·5/2 − 12 = 15/2 − 12 = −9/2. Tam sayı değil. Çöpte.

Durum 3: Üs 0

1. 3x − 12 = 0 → x = 4. Taban: 2·4 − 6 = 2 ≠ 0. Cepte.

Çözüm kümesi: {7/2, 4}. Sorunun istediği tam sayı kök: x = 4 → 1 tane.

Üslü sayı sorularında genellikle elinde x gibi bilinmeyen bir değer olur. Bilinmeyenleri, bilinen sabit sayı çarpanlardan ayırmak için çarpma kuralını tersten kullanmak çok güçlü bir stratejidir.

Strateji

Eğer bir üsün içinde hem bilinmeyen hem sabit sayı varsa, a^m+n = a^m·aⁿ kuralını kullanarak bu ikisini ayır:

a^{x + 3} = a^x · a³    a^{x − 2} = a^x · a⁻² = a^x / a²

Bu adım sonrasında bilinmeyenli a^x kısmı soruda zaten verilmiş bir değişken olabilir, sabit kısmı ise kafadan hesaplarsın. Akla karayı ayırırsın.

Çözümlü Örnek 1 — Klasik Kalıp

5^x = 6 olduğuna göre 5^{x + 3} kaçtır?

1. 5^{x + 3} = 5^x · 5³.
2. 5^x yerine 6 koy: 6 · 5³ = 6 · 125 = 750.

Çözümlü Örnek 2 — Negatif Sabit

3^y = 4 olduğuna göre 3^{y − 2} kaçtır?

1. 3^{y − 2} = 3^y / 3² = 4/9.

Çözümlü Örnek 3 — Çarpma/Bölme ile Birleşik

2^{a + 3} + 2^{a + 2} = 48 denkleminde a kaçtır?

1. Her iki terimi ayır: 2^a·2³ + 2^a·2² = 8·2^a + 4·2^a = 12·2^a.
2. 12·2^a = 48 → 2^a = 4 → 2^a = 2² → a = 2.

Ortak Parantez Yakalama

Toplama/çıkarma içeren üslü ifadelerde "en küçük üssü" gözüne kestir ve onu ortak çarpan olarak paranteze al. Bu, "ortak parantez" tekniğidir:

aⁿ·x + aⁿ⁺¹·y = aⁿ·(x + a·y)

Çözümlü Örnek 4 — Ortak Paranteze Alma

3²² + 3²⁰ ifadesini sadeleştir.

1. Üstü küçük olan 3²⁰'yi ortak çarpan olarak paranteze al: 3²⁰ · (3² + 1) = 3²⁰ · (9 + 1) = 3²⁰ · 10.

Çözümlü Örnek 5 — Karışık Tabanlı İşlem

3·12^x + 4·4^x ifadesini a = 2^x, b = 3^x cinsinden yaz.

1. 12^x = (4·3)^x = 4^x·3^x = (2²)^x·3^x = 2^2x·3^x = a²·b.
2. 4^x = 2^2x = a².
3. Sonuç: 3·a²·b + 4·a² = a²(3b + 4).

Bir üslü denklemde tabanlar farklı asal sayılar ise ve üsler tam sayı olmak zorundaysa, özel bir sonuç ortaya çıkar. Bu özelliği bilmek TYT'de nadir ama kesin doğru çözüm getiren bir silah.

Temel Teorem

a ve b birbirinden farklı asal sayılar (veya aralarında asal tam sayılar) ve x, y tam sayılar olsun. a^x = b^y eşitliğinin tam sayı çözümü, ancak ve ancak x = y = 0 olduğunda mümkündür (her iki taraf da 1'e eşit olur).

Sebebi basit: Asal çarpanlara ayırma tektir. 2'nin bir kuvveti asla 3'ün bir kuvvetine eşit olamaz (çünkü 2 ve 3 farklı asal çarpanlardır), tek istisna her iki tarafın da 1 olduğu durumdur, o da üssün 0 olduğu zamandır.

Neden Tam Sayı Koşulu Var?

Eğer üsler reel sayı olabilseydi, örneğin 2^x = 3 denkleminin çözümü var (logaritmik bir sayıdır, TYT'de görmeyeceksin ama AYT'de "log₂(3)" ile karşılaşırsın). TYT seviyesinde "a, b tam sayılardır" veya "x, y doğal sayılardır" koşulu verildiğinde yukarıdaki kuralı uygula.

Çözümlü Örnek 1 — Klasik Uygulama

a, b tam sayılar olmak üzere, 3^{a + 3b} = 2^{2a − b − 7} eşitliği veriliyor. a + b kaçtır?

1. 2 ve 3 aralarında asal, a, b tam sayılar → her iki tarafın üssü de 0 olmalı.
2. a + 3b = 0 ve 2a − b − 7 = 0.
3. İkinci denklemden: 2a − b = 7.
4. İlk denklemi üçle çarpıp ikincisiyle topla: 3a + 9b + 2a − b = 0 + 7 → 5a + 8b − 1b... Dikkatle çözelim: ilk denklem a = −3b. Yerine koy: 2(−3b) − b = 7 → −6b − b = 7 → −7b = 7 → b = −1.
5. Sonra: a = −3·(−1) = 3.
6. a + b = 3 + (−1) = 2.

Çözümlü Örnek 2 — Ters Örnek (Kuralın Çalışmadığı)

4^x = 8^y denklemini çöz.

1. Dikkat: 4 ve 8 aralarında asal değil! Her ikisinin de asal temeli 2'dir.
2. 4 = 2², 8 = 2³.
3. (2²)^x = (2³)^y → 2^2x = 2^3y.
4. Tabanlar aynı (2), üstler eşit: 2x = 3y. Sonsuz çözüm var: örneğin (x, y) = (3, 2), (6, 4), (−3, −2) gibi.
5. Yani 4 ve 8 aralarında asal olmadığından "üstler sıfır" kuralı uygulanmaz.

Çözümlü Örnek 3 — Aralarında Asal Kontrolü

5^{2m + 1} = 7^{3m − 6} ve m tam sayı. m kaçtır?

1. 5 ve 7 asal ve aralarında asal.
2. Tam sayı kuvvetler için tek yol: her iki üs de 0.
3. 2m + 1 = 0 → m = −1/2. Tam sayı değil!
4. 3m − 6 = 0 → m = 2.
5. İki koşul aynı m'de sağlanmıyor → çözüm yok.

Üslü sayı sorularının en zor tipi, soruda verilen bilginin aynen istenmediği ama dönüştürülerek kullanılması gereken sorulardır. Bu durumlarda "elindeki eşitlikte dengeyi koruyarak manipülasyon yap" mantığı devreye girer.

İzin Verilen İşlemler

Elinde bir eşitlik varsa, her iki tarafa da aynı işlemi uyguladığın sürece eşitlik bozulmaz. Üslü sayılarda izin verilen manipülasyonlar:

• Her iki tarafın üssünü aynı sayıyla çarpmak (yani her iki tarafın aynı kuvveti): a^x = b ⇒ a^kx = b^k
• Taraf tarafa çarpmak/bölmek (iki eşitlik varsa)
• Taraf tarafa toplamak/çıkarmak (iki eşitlik varsa)

İzin Verilmeyen İşlemler

Uyarı: Her iki tarafa aynı sayıyı eklemek veya çıkarmak, üslü eşitliklerde sonucu korumaz (çünkü üslü ifadeye sabit bir sayı eklenmesi üsleri bozar). Bu, birinci dereceden denklemlerden farklıdır!

Çözümlü Örnek 1 — Her İki Tarafı Üslendirme

5^x = 6 olduğuna göre 25^x kaçtır?

1. 25^x = (5²)^x = 5^2x = (5^x)².
2. Her iki tarafın karesi: (5^x)² = 6² = 36.
3. Sonuç: 25^x = 36.

Çözümlü Örnek 2 — Çoklu Parçayı Kullanma

2^x = m, 3^x = n olduğuna göre 144^x'i m, n cinsinden yaz.

1. 144 = 2⁴ · 3².
2. 144^x = (2⁴·3²)^x = 2^4x · 3^2x = (2^x)⁴ · (3^x)² = m⁴ · n².

Çözümlü Örnek 3 — İki Denklem Sisteminden

3^x·27 = 4 ve 3^y·(1/3) = 18 olmak üzere 3^{2y − x} kaçtır?

1. İlk denklem: 3^x·3³ = 4 → 3^x+3 = 4 → 3^x = 4/27. (Yani 3^x = 4/27.)
2. İkinci denklem: 3^y·3⁻¹ = 18 → 3^y−1 = 18 → 3^y = 54.
3. 3^2y = (3^y)² = 54² = 2916.
4. Taraf tarafa bölerek: 3^2y−x = 3^2y/3^x = 2916 / (4/27) = 2916 · 27 / 4 = 78732/4 = 19 683.
5. Kontrol (alternatif yol): 19 683 = 3⁹. Yani 3^2y−x = 3⁹, böylece 2y − x = 9 olmalı. Sağlıyor mu? İlk ve ikinci denklemlerden üs çıkaramayız çünkü sağ taraflar asal 3 cinsinden değil; ancak taraf tarafa bölme eşitliği koruyor. Sonuç: 3^{2y − x} = 3⁹ = 19 683.

Çözümlü Örnek 4 — Taraf Tarafa Toplamak

2^{x + 3} + 2^{x + 2} + 5^y = 125 ve 2^{x + 3} − 5^y = 3 sistemini çöz.

1. Taraf tarafa topla: 2·2^x+3 + 2^x+2 = 128.
2. Önce ortak paranteze al: 2^x+2·(2·2 + 1) = 2^x+2·5 = 128. (Burada 2·2^x+3 = 2^x+4 = 2^x+2·4, ve 2^x+2 = 2^x+2·1, toplamı 2^x+2·5.)
3. Ama 128/5 tam çıkmıyor, sorunun kurgusunda veriler tekrar kontrol gerekiyor. Alternatif: sadece birinci denklemde 2^x+3 + 2^x+2 = 2^x+2·3 alıp çöz.
4. İkinci denklemden: 5^y = 2^x+3 − 3. Yerine koyarak çöz.
5. Örnek üzerinde nümerik: varsayalım x = 4, y = 3 olsun. Sağlama: 2⁷ + 2⁶ = 128 + 64 = 192, eklenen 5³ = 125. Bu sistem için o değerler 192 + 125 = 317 verir, yani basit değerler değil. Bu tür sistemlerde sorunun kendi rakamlarına göre ilerlenir.

Üslü eşitsizliklerin çözümü üslü denklemlerin çözümüyle çok benzer ama bir ek kural içerir: Tabanın 1'den büyük mü yoksa 0 ile 1 arasında mı olduğuna göre eşitsizliğin yönü değişebilir. Bu nüansı atlarsan sonuç tamamen yanlış çıkar.

İki Temel Kural

Neden Yön Değişiyor?

Somut örneklerle gör:

Taban > 1: 2³ = 8 ve 2² = 4. 8 > 4, yani 2³ > 2² iken 3 > 2. Yön aynı.

Taban 0-1 arası: (1/2)³ = 1/8 ve (1/2)² = 1/4. 1/8 < 1/4, yani (1/2)³ < (1/2)² olmasına rağmen 3 > 2. Yön tersine dönüyor. Çünkü kesirli tabanın kuvvetleri büyüdükçe değer küçülür.

Strateji

1. Eşitsizlikteki üslü ifadeleri sadeleştir, tabanları aynı hale getir (temel yapı taşına indirge).
2. Taban kontrolü yap: taban 1'den büyük mü?
3. Taban > 1 ise eşitsizliği olduğu gibi yukarı taşı; üstler arasında aynı yönlü eşitsizlik kur.
4. 0 < Taban < 1 ise eşitsizliği yukarı taşıdığında yönü çevir.

Kontrol: Taban Nerede?

Kesirli olmak ≠ 0-1 arası olmak. 3/2 kesirli ama 1'den büyük (1,5). Aynı şekilde 5/4 de kesirli ama 1'den büyük. Burada eşik 1 — "kesirli mi sayısal mı" değil, "1'den büyük mü küçük mü" testi yaparsın.

Çözümlü Örnek 1 — Taban 1'den Büyük

8^{x + 1} > 4^{3 − x} eşitsizliğinin en küçük x doğal sayı değeri kaçtır?

1. 8 = 2³, 4 = 2².
2. (2³)^x+1 > (2²)^3−x → 2^3x+3 > 2^6−2x.
3. Taban 2 > 1 → yön korunur: 3x + 3 > 6 − 2x.
4. 5x > 3 → x > 3/5.
5. En küçük doğal sayı: x = 1.

Çözümlü Örnek 2 — Taban 0-1 Arasında

(3/4)^{4x − 10} ≥ (64/27)^{x + 1} eşitsizliğinin en küçük x tam sayı değeri kaçtır?

1. 64/27 = (4/3)³ (çünkü 4³ = 64 ve 3³ = 27).
2. Yani (64/27)^x+1 = (4/3)^3(x+1) = (4/3)^3x+3.
3. Tabanları aynılaştır: (4/3)^3x+3 = ((3/4)⁻¹)^3x+3 = (3/4)^−(3x+3) = (3/4)^−3x−3.
4. Eşitsizlik: (3/4)^4x−10 ≥ (3/4)^−3x−3.
5. Taban 3/4 ∈ (0, 1) → yukarı çıkarken yön tersine döner: 4x − 10 ≤ −3x − 3.
6. 7x ≤ 7 → x ≤ 1.
7. En büyük tam sayı: x = 1 (soru "en küçük" dese de bu alanda x ≤ 1'i sağlayan en küçük tam sayı yoktur, bu durum için soru genelde "en büyük" ister).

Çözümlü Örnek 3 — Karma

(0,2)^2x · 125^x < 1 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının sayısı kaçtır?

1. 0,2 = 1/5 = 5⁻¹, 125 = 5³.
2. (5⁻¹)^2x · (5³)^x = 5^−2x · 5^3x = 5^x.
3. 5^x < 1 = 5⁰.
4. Taban 5 > 1 → yön korunur: x < 0.
5. Tam sayılar: x ∈ {..., −3, −2, −1}. Sınırsız. Sonlu aralık istenseydi ek bir koşul olmalıydı.

TYT'de sık çıkan "aşağıdaki ifadelerden hangisi en büyüktür?" tarzı sorularda tabanları ve üsleri farklı olan üslü sayıları karşılaştırmak gerekir. İlk bakışta zor görünse de sistematik yaklaşımla çözülür.

İki Temel Strateji

Üs Eşitleme Stratejisi

Üsleri eşitlemek için üsleri bölen ortak bölene göre grupla:

2³⁰ ve 3²⁰'yi karşılaştır. 30 ve 20'nin ortak böleni 10. Her ikisini de 10'un kuvvetine indirgeyelim:

• 2³⁰ = (2³)¹⁰ = 8¹⁰
• 3²⁰ = (3²)¹⁰ = 9¹⁰

Üsler eşit (her ikisi de 10). Taban 9 > 8 olduğu için 9¹⁰ > 8¹⁰, yani 3²⁰ > 2³⁰.

Çözümlü Örnek 1 — Aynı Üste İndirgeme

A = 2⁶⁰, B = 3⁴⁰, C = 5²⁰ sayılarını küçükten büyüğe sırala.

1. Ortak üs bölen: 20.
2. A = (2³)²⁰ = 8²⁰, B = (3²)²⁰ = 9²⁰, C = 5²⁰.
3. Tabanlar: 8, 9, 5. Sıra: 5 < 8 < 9.
4. Sonuç: C < A < B.

Çözümlü Örnek 2 — Taban Eşitleme

A = 32¹⁵ ve B = 4³⁰. Hangisi büyüktür?

1. Ortak taban 2: 32 = 2⁵, 4 = 2².
2. A = (2⁵)¹⁵ = 2⁷⁵, B = (2²)³⁰ = 2⁶⁰.
3. Tabanlar aynı (2), üstleri kıyasla: 75 > 60.
4. Taban > 1 olduğu için yön korunur: A > B.

Çözümlü Örnek 3 — Kesirli Taban

A = (1/2)¹⁰, B = (1/3)⁷, C = (1/5)⁴. Küçükten büyüğe sırala.

1. Kesirli tabanlarda karşılaştırmak için negatif üs kullanabilir veya sayısal olarak tahmin edersin. Sayısal yaklaşım:
2. A = 1/1024 ≈ 0,000976.
3. B = 1/2187 ≈ 0,000457.
4. C = 1/625 = 0,0016.
5. Sıra: B < A < C.

Çözümlü Örnek 4 — Negatif Üslü Karşılaştırma

A = 2⁻³, B = 3⁻², C = 5⁻¹. Küçükten büyüğe sırala.

1. A = 1/8 = 0,125.
2. B = 1/9 ≈ 0,111.
3. C = 1/5 = 0,2.
4. Sıra: B < A < C.

TYT'de üslü sayılar gerçek hayat modellemelerinde çoğu zaman çok büyük (90 000 000, 2 milyar) veya çok küçük (0,00003 gram) sayıların kolay gösterimi için kullanılır. Bu "bilimsel gösterim" adını alır ve şu şekilde yazılır:

a · 10ⁿ   (1 ≤ a < 10, n tam sayı)

Kural

a kısmı 1 ile 10 arasında (10 hariç) bir ondalık sayı olmalıdır. n sayısı, virgülü kaç basamak kaydırdığını gösterir: sağa kaydırırsan pozitif, sola kaydırırsan negatif.

Temel Dönüşümler

Sayı	Bilimsel Gösterim
1 000	10³
1 000 000 (1 milyon)	10⁶
90 000 000	9 · 10⁷
810 000	8,1 · 10⁵ veya 81 · 10⁴
0,001	10−3
0,000 032	3,2 · 10−5

Çözümlü Örnek 1 — Milyondan Üslü İfadeye

Bir şehirde yılda 90 milyon litre atık yağ toplanıyor. Bu miktar kaç litredir ve 10ⁿ kullanarak nasıl gösterilir?

1. 1 milyon = 10⁶.
2. 90 milyon = 90 · 10⁶ = 9 · 10⁷.

Çözümlü Örnek 2 — Oran Kurma

Bir fabrika 4 L atık yağdan 1 L biyodizel üretiyor. 500 L biyodizel ile 1 öğrencinin yıllık eğitim masrafı karşılanıyor. Bir ülkede yılda 90 · 10⁶ L atık yağ toplanırsa kaç öğrencinin masrafı karşılanır?

1. 500 L biyodizel için gerekli atık yağ: 4 · 500 = 2 000 L = 2 · 10³ L. Bu miktar 1 öğrenciye karşılık geliyor.
2. Ülkedeki toplam atık yağ: 90 · 10⁶ = 9 · 10⁷ L.
3. Bölersek öğrenci sayısını bulursun: (9 · 10⁷) / (2 · 10³) = (9/2) · 10⁴ = 4,5 · 10⁴ = 45 000.
4. Sonuç: 45 000 öğrencinin yıllık eğitim masrafı karşılanır.

Çözümlü Örnek 3 — Küçük Sayılar

Bir virüsün çapı yaklaşık 0,000 000 05 m. Bu değeri bilimsel gösterimle yaz.

1. Virgülü sağa 8 basamak kaydır: 5 elde edilir.
2. 8 basamak sola kaydırdığı için üs negatif: 10⁻⁸.
3. Sonuç: 5 · 10⁻⁸ m.

Çözümlü Örnek 4 — Bilimsel Gösterimlerin Çarpımı

(3 · 10⁴) · (2 · 10⁷) çarpımını hesapla.

1. Sayısal kısımları çarp: 3 · 2 = 6.
2. 10'un üsleri: 10⁴ · 10⁷ = 10⁴⁺⁷ = 10¹¹.
3. Sonuç: 6 · 10¹¹.

Çözümlü Örnek 5 — Büyük Sayıdan Çıkarma

36 · 10⁶ − 264 · 10⁵ işleminin sonucu kaç 10⁵'tir?

1. Ortak 10⁵ paranteze al: 36 · 10⁶ = 360 · 10⁵.
2. 360 · 10⁵ − 264 · 10⁵ = (360 − 264) · 10⁵ = 96 · 10⁵.

Son yılların TYT sınavlarında ÖSYM artık mekanik "2^x·3^y = ..." sorularından uzaklaştı. Yerine gerçek hayat bağlamlı modelleme soruları geliyor: bakteri bölünmesi, tuğla/disk yüksekliği, filtre zinciri, pil tüketimi, nüfus artışı, biyodizel üretimi. Bu soruların ortak özelliği: edebi hikâyeden matematiği çıkarmak gerekir.

Tekrar Eden Çözüm Şablonu

1. Hikâyeyi oku, çıkarılması gereken matematiksel ilişkiyi yaz. "1 tanesi X kadarsa, n tanesi n·X kadar" veya "her adımda Y ile çarp" gibi.
2. Bilinmeyenler için değişken ata. x = sürenin, n = kaç tane olduğunun yerine.
3. Denklemi kur. Genelde bir eşitlik (iki kişinin yüksekliği eşit, toplam enerji bu kadar) veya oran.
4. Tabanları temel yapı taşına indirge. 32 → 2⁵, 125 → 5³ gibi.
5. Kuralları uygula ve x'i bul.

Çözümlü Örnek 1 — Tuğla Yükseklik Modellemesi

Kalınlığı 15 cm olan kahverengi tuğlalardan 5·3² + 3² tanesi üst üste konarak bir duvar örülüyor. Aynı yüksekliği elde etmek için kalınlığı 20 cm olan gri tuğlalardan kaç tanesini üst üste koymak gerekir?

1. Kahverengi tuğlaların toplam yüksekliği: 15 · (5·3² + 3²).
2. Ortak çarpan 3²'yi paranteze al: 3²·(5 + 1) = 3²·6, yani 9·6 = 54 tuğla.
3. Yükseklik: 15 · 54 = 810 cm.
4. Gri tuğla sayısı x olsun: 20x = 810 → x = 40,5. (Nümerik değer uyumsuz olabilir — soru kurgusu genelde tam çıkar.) Hiç değilse yöntem: tuğla sayısını üslü formda bul.
5. Genel kalıp: 15·(n) = 20·(x) → x = 15n/20 = 3n/4.

Çözümlü Örnek 2 — Bakteri Bölünmesi (Örüntü)

Bir bakteri kolonisinde 1. gün bakteri uzunluğu 16 birim. Her gün bir önceki bakterinin yarısı kadar yeni bakteri oluşuyor. 8. ve 10. günlerdeki bakteri uzunlukları farkı kaçtır?

1. Temel yapı taşı: 16 = 2⁴.
2. Örüntüyü bul: 1. gün 2⁴, 2. gün 2³, 3. gün 2², 4. gün 2¹, ...
3. İlişki: gün sayısı + üs = 5. Yani n. gün için uzunluk: 2⁵⁻ⁿ.
4. 8. gün: 2⁵⁻⁸ = 2⁻³ = 1/8.
5. 10. gün: 2⁵⁻¹⁰ = 2⁻⁵ = 1/32.
6. Fark (pozitif): 1/8 − 1/32 = 4/32 − 1/32 = 3/32.

Çözümlü Örnek 3 — Filtre Zinciri (Geçiş Oranı)

Bir fabrikanın bacasında 2 tane sulu filtre (her biri gelen gazın 1/2'sini tutuyor) ve 3 tane elektronik filtre (her biri gelen gazın 1/4'ünü tutuyor) sıralı takılıyor. Bacadan 32 000 birim zehirli gaz girdiğinde atmosfere kaç birim gaz çıkar?

1. Sulu filtre 1/2'yi tutuyor → 1/2'sini geçiriyor.
2. Elektronik filtre 1/4'ünü tutuyor → 3/4'ünü geçiriyor.
3. 2 sulu + 3 elektronik sırayla: geçiş oranı = (1/2)² · (3/4)³ = 1/4 · 27/64 = 27/256.
4. Başlangıç: 32 000 = 32·10³ = 2⁵·10³ = 2⁵·(2·5)³ = 2⁵·2³·5³ = 2⁸·5³.
5. Atmosfere çıkan: 32 000 · 27/256 = 2⁸·5³ · 3³ / 2⁸ = 5³·3³ = (5·3)³ = 15³ = 3 375 birim.

Çözümlü Örnek 4 — Nüfus Artışı (Bileşik Oran)

2015'te nüfusu 810 000 olan bir şehrin nüfusu 2016-2019 arası her yıl önceki yılın 1/10'u kadar artıyor; 2020-2023 arası her yıl önceki yılın 1/11'i kadar artıyor. 2023'teki nüfus kaçtır?

1. Her yıl 1/10 artış = mevcutun 1 + 1/10 = 11/10'u olur.
2. 4 yıl (2016-2019): nüfus 810 000 · (11/10)⁴.
3. Sonraki 4 yıl (2020-2023): (12/11)⁴ ile çarpılır.
4. Birleşik: 810 000 · (11/10)⁴ · (12/11)⁴.
5. 11'ler sadeleşir: 810 000 · 11⁴·12⁴ / (10⁴·11⁴) = 810 000 · 12⁴/10⁴ = 810 000 · (12/10)⁴.
6. Üslü form: 810 000 = 81·10⁴ = 3⁴·10⁴. (12/10)⁴ = 12⁴/10⁴.
7. Çarpım: 3⁴·10⁴ · 12⁴ / 10⁴ = 3⁴·12⁴ = (3·12)⁴ = 36⁴ = (6²)⁴ = 6⁸.

Çözümlü Örnek 5 — Dosya Boyutu ve Hafıza

Her birinin boyutu 2^x MB olan 64 dosyayı 32 GB'lık boş bir belleğe yüklüyoruz. Yükleme sonrası bellek yarısı doluyorsa x kaçtır? (1 GB = 2¹⁰ MB)

1. Yüklenen toplam boyut: 64·2^x = 2⁶·2^x = 2^x+6 MB.
2. Bellek yarısı = 32/2 = 16 GB = 16·2¹⁰ = 2⁴·2¹⁰ = 2¹⁴ MB.
3. 2^x+6 = 2¹⁴ → x + 6 = 14 → x = 8.

Bu bölüm üslü sayılarla ilgili en çok puan kaybettiren yedi hatayı ve sınav günü refleksini özetler. Her hatada önce yanlış, sonra doğru gösterilir.

Hata 1 — Parantezsiz Negatif Tabanı "Parantezli" Sanmak

Yanlış: −5² = 25.

Doğru: Parantez yoksa üs sadece sayıya uygulanır, "−" dışarıda kalır. −5² = −(5²) = −25.

Hata 2 — Toplamaya "Üsleri Topla" Uygulamak

Yanlış: 2³ + 2² = 2⁵.

Doğru: Toplamada kural yoktur! Önce hesaplayıp topla: 2³ + 2² = 8 + 4 = 12. Ya da ortak çarpan al: 2²·(2 + 1) = 4·3 = 12. Üsleri topla kuralı sadece çarpmada geçerli (2³ · 2² = 2⁵).

Hata 3 — a⁰ = 0 Sanmak

Yanlış: 7⁰ = 0 veya (−3)⁰ = 0.

Doğru: Tabanın sıfır olmadığı her durumda a⁰ = 1. Yani 7⁰ = 1, (−3)⁰ = 1, (2,5)⁰ = 1. İstisna sadece 0⁰, ki o da tanımsızdır.

Hata 4 — Üssü Eşit Olunca "Tabanlar Eşit" Deyip Geçmek

Yanlış: (x+1)² = 9 → x + 1 = 3 → x = 2 (sadece bir çözüm).

Doğru: Üs çift olduğu için hem x + 1 = 3 hem x + 1 = −3 çözümler vardır: x = 2 veya x = −4. Tek üstse sadece bir çözüm.

Hata 5 — Eşitsizliği Yukarı Çıkarırken Yön Değişimini Unutmak

Yanlış: (1/2)^x > (1/2)⁵ → x > 5.

Doğru: Taban 0-1 arasında (1/2), yön değişir: x < 5. Taban 1'den büyük olsaydı yön korunurdu.

Hata 6 — (a^m)ⁿ ile a^mn'yi Karıştırmak

Yanlış: (2³)² = 2⁹.

Doğru: (2³)² = 2^3·2 = 2⁶ = 64. Üssü çarpmak gerekir, toplamak değil. Ayrıca parantezi konumu değişince anlam değişir: 2^3² = 2⁹ = 512 ama (2³)² = 2⁶ = 64. Parantez yoksa (2^3²), içi önce hesaplanır. 2025 TYT'de bu farka dayalı soru çıktı.

Hata 7 — Ondalık Sayılı Tabanı Üslü Form Yapmadan Hesaplamak

Yanlış: (0,2)³ · (0,3)² · 1000'yi ondalık olarak hesaplamaya çalışmak.

Doğru: Kesre çevir, üslü form yap: (2/10)³ · (3/10)² · 10³ = (2³·3²) / 10⁵ · 10³ = (8·9)/10² = 72/100 = 0,72.

Sınav Günü 5 Altın Adım

1. Tabanları tanımla (3 sn): 64 → 2⁶, 81 → 3⁴ gibi dönüşümleri hazır bil.
2. İşaretleri kontrol et (2 sn): Parantezli mi, parantezsiz mi? Negatif tabanın çift mi, tek mi?
3. Kuralı seç (5 sn): Çarpma varsa üsleri topla, bölme varsa üsleri çıkar, üssün üssü varsa üsleri çarp.
4. Tabanları eşitle veya üsleri eşitle (15 sn): Denklem/eşitsizlik için hangisi kolay?
5. Sağlama yap (5 sn): Bulduğun değeri yerine koy, doğru çıkıyor mu?

Özet Formül Kartı

Durum	Sonuç
a0 (a ≠ 0)	1
00	Tanımsız
a−n	1/an
(a/b)−n	(b/a)n
am · an	am+n
am / an	am−n
(am)n	am·n
(ab)n	an·bn
(−a)çift	+açift
(−a)tek	−atek
−an	−(an) — "−" hep dışarıda
ax = ay (a ≠ 0, 1, −1)	x = y
xçift = yçift	x = y veya x = −y
Eşitsizlik + taban > 1	Yön korunur
Eşitsizlik + 0 < taban < 1	Yön değişir
Aralarında asal a, b ve ax = by, x, y ∈ ℤ	x = 0 ve y = 0
Bilimsel gösterim	a · 10n, 1 ≤ a < 10