TYT Matematik — Köklü Sayılar

Köklü sayıyı anlamanın en güvenli yolu, onun üslü sayının tersi olduğunu fark etmektir. x² = 4 denklemini çözerken "x karesi 4 olan sayı nedir?" sorusunu sorarsın; cevap ±2. İşte bir sayının karesini (veya n. kuvvetini) alıp geriye o sayıya dönmek için kök işlemi devreye girer.

Sembol ve Okuma

Bir köklü ifadede üç parça vardır:

• Kökün derecesi (dış üst köşe): Kökün kaçıncı dereceden olduğunu söyler. ³√8, ⁴√16 gibi.
• Kökün içi (radikand): Kök işaretinin altındaki sayı veya ifade.
• Gizli 2: Eğer kökün üstünde hiçbir şey yazmıyorsa o bir 2. dereceden köktür. √3 aslında ²√3'tür ve "kök 3" diye okunur. Sadece 3. ve daha yüksek dereceler yazılır: ³√5 "küp kök 5" veya "üçüncü dereceden kök 5".

Köklü Sayıyı Üslüye Çevirme — Altın Pratik

Matematiğin her yerinde (TYT, AYT, geometri, türev, integral, logaritma) köklü ifadeleri üslüye çevirmek işi kolaylaştırır. Kural tek:

ⁿ√(a^m) = a^m/n

Sözel kural: "Kökü gördüğün anda kesir çizgisi çek; kökün derecesini aşağıya, içteki üssü yukarıya yaz."

Çözümlü Örnek 1 — Dönüştürme Pratiği

1. ³√4: İçeride 4 = 2², kökün derecesi 3 → 2^2/3.
2. ⁵√2: İçeride 2 = 2¹, kökün derecesi 5 → 2^1/5.
3. √3: İçeride 3 = 3¹, kökün gizli derecesi 2 → 3^1/2.

Tam Kare İfadeler Tık Diye Çıkar

Aklında kalması gereken tam kare sayılar: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225. Tam küp sayılar: 1, 8, 27, 64, 125, 216. Bu sayılar kökün içinden çıkarken dışarıya mayasıyla gelir.

Çözümlü Örnek 2 — Tam Kare/Küp Çıkarma

1. √36 = √(6²) = 6 (çünkü 6^2/2 = 6¹ = 6).
2. ³√(−8) = ³√((−2)³) = −2.
3. ⁴√81 = ⁴√(3⁴) = 3.
4. √400 = √(20²) = 20.

Kökün Üst Sınırları — Kural Kısaca

• Kökün derecesi en az 2'dir. 1. dereceden kök demek "kök yok" demektir, yazılmaz.
• Kök derecesi bir pozitif tam sayıdır. 2.5. dereceden kök gibi şeyler yoktur.
• a pozitif tam sayı ve n ≥ 2 ise ⁿ√(aⁿ) = a. Burada a'nın pozitif olduğuna emin olduğun sürece doğrudur.

Köklü sayıların her zaman bir değeri yoktur. Bir ifadenin gerçel (reel) sayı olabilmesi için kökün derecesine göre bazı koşullar vardır. Bu, rasyonel ifadelerde "payda sıfır olamaz" kuralına benzer bir kısıtlamadır.

Tek Dereceli Kök — Her Şey Olabilir

Bir sayının tek kuvveti pozitif, negatif veya sıfır olabilir. Örneğin 2³ = 8, (−2)³ = −8, 0³ = 0. O halde küp kökün içi her şey olabilir. Bu genellenir:

Çift Dereceli Kök — İçi Negatif Olamaz

Bir sayının çift kuvveti her zaman pozitif veya sıfırdır. x² = −4 denkleminin reel çözümü yoktur; çünkü hiçbir reel sayının karesi negatif değildir. Dolayısıyla √(−4) gerçel bir sayı değildir (sanal/karmaşık sayılar konusunda ele alınır).

Derece-Kısıt Tablosu

Kök Derecesi	İçerisi	Örnek
Tek (3, 5, 7)	Tüm reeller (artı, eksi, 0)	3√(−27) = −3
Çift (2, 4, 6)	≥ 0 olmalı	√(x−3) için x ≥ 3

Çözümlü Örnek 1 — Basit Tanım Kümesi

√(x − 3) ifadesinin tanımlı olduğu x değerlerini bulun.

1. Kök derecesi 2 (çift) → içerisi ≥ 0 olmalı.
2. x − 3 ≥ 0 → x ≥ 3.
3. Tanım kümesi: [3, +∞).

Çözümlü Örnek 2 — İki Köklü İfadeli Pratik Soru

f(x) = ³√(x + 5) + √(17 − 2x) ifadesi için x'in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

1. Birinci kök tek dereceli (³√) → hiçbir kısıt yok; istediği gibi olabilir.
2. İkinci kök çift dereceli → 17 − 2x ≥ 0 → 2x ≤ 17 → x ≤ 8.5.
3. İkinci koşul birinciyi zaten kapsar (birinci koşul yok). Tam sayı x'ler: 8'den başlayıp ... 3'e kadar mı? Soruda alt sınır sorulmuş olsaydı veririz. Burada varsayılan olarak x ≥ 3 gibi bir alt sınırla 8, 7, 6, 5, 4, 3 — toplam 6 tam sayı.

Köklü sayılarda yapılan en yaygın hata şudur: öğrenci √(a²) = a yazar. Bu yanlış. Doğrusu √(a²) = |a|'dır. Bu tek satırlık kural TYT'nin en sinsi tuzaklarından biridir.

Neden Mutlak Değer Çıkıyor?

Bir somut örnekle başlayalım: a = −2 olsun. a² = (−2)² = 4. Şimdi karekök alalım: √4 = 2. Yani √(a²) = 2. Ama a = −2'ydi; a'ya eşit çıkmadı ki! Çünkü eksi işareti, çift kuvvet alınırken yutuldu. Dolayısıyla sonuç a'nın kendisi değil, işareti atılmış hali — yani |a| oldu.

Genel Kural Tablosu

İfade	Kök Derecesi = Üs?	Çıkan
√(a²)	Evet, çift-çift	|a|
3√(a³)	Evet, tek-tek	a
4√(a⁴)	Evet, çift-çift	|a|
5√(a⁵)	Evet, tek-tek	a
4√((−2)⁴)	Çift-çift	|−2| = 2

Çözümlü Örnek 1 — Klasik Tuzak

√((−3)²) + ³√((−2)³) ifadesinin değeri nedir?

1. √((−3)²): Çift-çift → mutlak değer çıkar. |−3| = 3.
2. ³√((−2)³): Tek-tek → aynen çıkar. −2.
3. Toplam: 3 + (−2) = 1.

Çözümlü Örnek 2 — Aralık Verilmiş Harfli İfade

x < y < 0 olmak üzere √(y²) + ³√((x − y)³) + √((x + y)²) ifadesinin en sade hali nedir?

1. √(y²) = |y|. y < 0 olduğu için |y| = −y.
2. ³√((x − y)³) = x − y. Tek-tek; aynen çıkar. (İşaret önemli değil.)
3. √((x + y)²) = |x + y|. x, y < 0 olduğu için x + y < 0 → |x + y| = −(x + y) = −x − y.
4. Toplam: −y + (x − y) + (−x − y) = −3y.

Çözümlü Örnek 3 — Çoklu Kök, Çoklu Kural

a < 0 < b ve a − b < 0 olsun. ⁴√(a⁴) + ³√(b³) + √((a − b)²) ifadesinin değeri nedir?

1. ⁴√(a⁴) = |a| = −a (çünkü a < 0).
2. ³√(b³) = b (tek-tek, aynen).
3. √((a − b)²) = |a − b| = −(a − b) = b − a (çünkü a − b < 0).
4. Toplam: −a + b + (b − a) = −2a + 2b = 2(b − a).

Köklü bir sayıyı gördüğünde ilk refleksin "en sade haline getir" olmalıdır. Matematik en sadeyi, en düzenliyi, en güzeli sever. √50 yerine 5√2 yazarsın; değer değişmez ama görüntü şıklaşır.

Yöntem: Tam Kare Çarpan Aramak

Kökün içindeki sayıyı tam kare bir çarpan ile başka bir çarpanın çarpımı olarak yazıp tam kareyi dışarı atıyorsun. Kalan sayı içeride kalıyor.

√(a²·b) = a·√b   (burada a ≥ 0)

Karşına Çokça Çıkan Köklü Sayılar — Ezber Cetveli

Aşağıdaki sayıları ezberlemek değil, hızla tanımak önemlidir. Bunları bir post-it'e yazıp duvara yapıştır, bir süre sonra kendiliğinden akılda kalır. TYT soru bankasında %80 bu listede olan sayılarla karşılaşırsın:

Kökün İçi	Parçalama	Sadeleşmiş Hal
√8	4·2	2√2
√12	4·3	2√3
√18	9·2	3√2
√20	4·5	2√5
√27	9·3	3√3
√32	16·2	4√2
√48	16·3	4√3
√50	25·2	5√2
√72	36·2	6√2
√75	25·3	5√3
√80	16·5	4√5
√96	16·6	4√6
√98	49·2	7√2
√200	100·2	10√2

Çözümlü Örnek 1 — Tanıdık Sayı

√180 sayısını en sade haline getirin.

1. Tanıdık büyük tam kare çarpan: 36. 180 = 36·5.
2. Dışarı at: √180 = 6√5.
3. Alternatif: 180 = 4·45 = 4·9·5 → 2·3·√5 = 6√5. Aynı sonuç.

Çözümlü Örnek 2 — Tanımıyorsan Parçala

√405 sayısını sadeleştirin.

1. Sayı sonunda 5 var → 5'in katı. 405 = 5·81.
2. 81 = 9², tanıdık tam kare. Dışarı at.
3. √405 = 9√5.

Çözümlü Örnek 3 — Kareköklü Mekansal Soru (2023 TYT tarzı)

Bir kenar uzunluğu A√B olan karenin alanı 720 cm². A ve B doğal sayı olmak üzere A + B toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

1. Alan kenarın karesine eşit: (A√B)² = A²B = 720.
2. 720 = 2⁴·3²·5 = 16·9·5 = 144·5 şeklinde parçalayalım.
3. Farklı (A, B) ikilileri: (1, 720), (2, 180), (3, 80), (4, 45), (6, 20), (12, 5) — tüm A'lar 720'yi bölen tam karelerin kökleri.
4. Toplamlar: 721, 182, 83, 49, 26, 17. Bu seçeneklerde olamayanı ara. Eğer seçeneklerde 49 yoksa, örneğin, 49 dışarıda tutulur.

Köklü sayılar da üslü sayılar gibidir: toplama ve çıkarma ancak aynı tipte yapılır. Yani iki kökü toplamak için hem kök derecelerinin hem de içerilerinin aynı olması gerekir. Aynı tip ise katsayılar arasında işlem yapılır; kök kısmı değişmez.

Temel Kural

a·ⁿ√c + b·ⁿ√c = (a + b)·ⁿ√c

Aynı üslü sayıdaki gibi düşün: 2x + 3x = 5x çalışır ama 2x + 3y sadeleşmez. Burada da x yerine √5, y yerine √7 koy — değişmez.

Ön Şart: Sadeleştirme

İki köklü ifadenin farklı göründüğüne bakıp "toplanamaz" demeden önce sadeleştirme yap. Örneğin √8 + √18 ilk bakışta farklı gibi ama aslında her ikisi de √2 tipinde:

1. √8 = 2√2.
2. √18 = 3√2.
3. √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2.

Çözümlü Örnek 1 — Klasik Toplam

√98 − √32 + √200 işleminin sonucu nedir?

1. √98 = 7√2.
2. √32 = 4√2.
3. √200 = 10√2.
4. 7√2 − 4√2 + 10√2 = (7 − 4 + 10)·√2 = 13√2.

Çözümlü Örnek 2 — Karıştırılmış Toplam

√75 + √12 − √48 işleminin sonucu nedir?

1. √75 = 5√3, √12 = 2√3, √48 = 4√3.
2. 5√3 + 2√3 − 4√3 = 3√3.

Çözümlü Örnek 3 — İçeride Tam Karenin Yanında Tam Kare

√100 + √36 + √4 ifadesinin değeri nedir?

1. Hepsi tam kare → dışarı çıkar: 10 + 6 + 2 = 18.
2. Tip gerektirmez; doğrudan sayı toplamı.

Çözümlü Örnek 4 — Senaryo Sorusu (Yol Problemi)

Anıl evinden çıkıp önce fırına, sonra okuluna gidiyor. Evden fırına √80 metre, fırından okula √500 metre yürüyor. Evden doğrudan okula gitseydi √405 metre yürürdü. Fırına uğramadan kaç metre daha az yürürdü?

1. √80 = 4√5.
2. √500 = √(100·5) = 10√5.
3. √405 = √(81·5) = 9√5.
4. Fırınla toplam yol: 4√5 + 10√5 = 14√5.
5. Doğrudan yol: 9√5.
6. Fark: 14√5 − 9√5 = 5√5 metre.

Çözümlü Örnek 5 — Ortak Paranteze Alma

x·ⁿ√a + y·ⁿ√a − z·ⁿ√a ifadesini sadeleştirin.

1. Ortak çarpan ⁿ√a'dır.
2. Paranteze al: (x + y − z)·ⁿ√a.

Üslü sayılarda üsleri aynı olan ifadeler tek parantez içinde birleşir: aⁿ·bⁿ = (a·b)ⁿ. Köklü sayıda da aynı mantık: kök dereceleri aynıysa ifadeler tek kökün içinde birleşir.

Temel Kurallar

ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√(a·b)
ⁿ√a / ⁿ√b = ⁿ√(a/b),   b ≠ 0

Hem sağa doğru (dışarıdakileri tek kökün içine al) hem sola doğru (tek kökün içindekileri ayır) işler.

Çözümlü Örnek 1 — Doğrudan Çarpma

1. √2·√8 = √16 = 4.
2. √3·√12 = √36 = 6.
3. ³√5 · ³√25 = ³√125 = 5.

Çözümlü Örnek 2 — Dereceler Farklıysa

√8 · ³√4 işleminin sonucu nedir?

1. Dereceler farklı (2 ve 3) → doğrudan tek kök altına alamazsın.
2. Her birini üslüye çevir: √8 = 8^1/2 = 2^3/2, ³√4 = 4^1/3 = 2^2/3.
3. Çarp: 2^3/2 · 2^2/3 = 2^{3/2 + 2/3} = 2^(9+4)/6 = 2^13/6.
4. Geri köklüye çevir: 2^13/6 = ⁶√(2¹³) = 2·⁶√(2⁷) = 2·⁶√128.

Çözümlü Örnek 3 — Üs-Kök Geçişi İçin Pratik Yol

(³√32) / (√8) işleminin değeri nedir?

1. Her iki tarafı 2'nin üssü olarak yaz: ³√32 = 2^5/3, √8 = 2^3/2.
2. Böl: 2^{5/3 − 3/2} = 2^(10−9)/6 = 2^1/6.
3. Köklüye döndür: 2^1/6 = ⁶√2.

Çözümlü Örnek 4 — Yerleştirmeli Çarpma (TYT Tarzı)

√12, √14, 2√7, √15, √5, √2 sayılarından üç tanesini seçip çarptığında sonuç tam sayı olmalı. Hangi üçlü seçilir?

1. Önce çarpımları tam sayı yapacak kombinasyonları ara — her √p'li asal ikinci kez gelmeli ki kök uçsun.
2. Denemeler: √2 · √14 = √28 = 2√7. Şimdi buna 2√7 çarpılırsa: 2√7 · 2√7 = 4·7 = 28. Tam sayı!
3. Seçilen: √2, √14, 2√7 → çarpım = 28.

Çözümlü Örnek 5 — Karışık Yerleştirme (2022 TYT kalıbı)

√2, √5, √12, √14, √15, √28 sayılarından 4 tanesi kullanılarak a·√b = c·√d eşitliği kurulacak. Hangi sayı kullanılmayacak?

1. Önce sayıları sadeleştir: √12 = 2√3, √28 = 2√7.
2. Tipleri listele: √2, √5, 2√3, √14, √15, 2√7.
3. Eşitliğin sağlanması için iki tarafın da kök kısımları eşit olmalı. √14 = √2·√7, √15 = √3·√5 diye dağıtılabilir.
4. Örneğin sol taraf √2·√15 = √30, sağ taraf √5·2√3 = 2√15 — denk değil; farklı kombinasyonlar denenir.
5. Sonunda tek bir sayı "eşlenik çarpan"ı olmadığı için dışarıda kalır. Soru deneyerek çözülür.

Kesirlerde 1/2 = 2/4 = 3/6 şeklinde genişletme veya sadeleştirme yaparsın. Köklü sayılarda da aynı mantık işler: değer değişmeden görüntü değiştirilir.

Genişletme Kuralı

ⁿ√(a^m) = ^nk√(a^mk)

Hem kökün derecesi hem de içteki üs aynı k sayısı ile çarpılır. Temeli üslü sayıdan gelir: a^m/n = a^mk/nk.

Sadeleştirme

Aynı işlemin tersidir: hem kökün derecesini hem üssünü aynı sayıya böl. ⁶√(a⁴) = ³√(a²).

Çözümlü Örnek 1 — Kök Derecelerini Eşitleme

√3, ³√5, ⁶√20 sayılarını küçükten büyüğe sıralayın.

1. Kök dereceleri: 2, 3, 6. Ortak derece: 6.
2. √3 için k = 3: ⁶√(3³) = ⁶√27.
3. ³√5 için k = 2: ⁶√(5²) = ⁶√25.
4. ⁶√20 zaten 6. dereceden.
5. İçerileri karşılaştır: 20 < 25 < 27 → ⁶√20 < ³√5 < √3.

İçeri Alma

Dışarıdaki bir sayıyı kökün içine taşımak için, o sayının kökün derecesi kadar kuvvetini al ve içeri kalan değerle çarp:

a·ⁿ√b = ⁿ√(aⁿ·b),   a ≥ 0

Çözümlü Örnek 2 — Dışardan İçeri

1. 3√2 = √(9·2) = √18.
2. 2·³√5 = ³√(8·5) = ³√40.
3. 4·⁴√3 = ⁴√(256·3) = ⁴√768.

Çözümlü Örnek 3 — Köklü Mukayese (TYT Klasiği)

Bir tam sayı ile köklü bir sayıyı karşılaştırmak için hangisini diğer forma çevirirsen iş kolaylaşır? Örneğin 5√2 ile 7.

1. 5√2'yi tek kök altına al: 5√2 = √(25·2) = √50.
2. 7'yi kök altına al: 7 = √49.
3. √50 > √49 → 5√2 > 7.

Çözümlü Örnek 4 — Yol Haritası Probleminde Mukayese

Araç O noktasındadır. Noktalara uzaklıklar: A=5, B=8, C=12, D=16, E=20 km. Araç √250 km yol aldığında hangi iki nokta arasındadır?

1. √250 hangi tam sayılar arasında? 15² = 225, 16² = 256.
2. 225 < 250 < 256 → 15 < √250 < 16.
3. Yani araç 15 km civarında; C (12) ile D (16) arasında.

Köklü bir sayı genellikle irrasyoneldir (tam olarak yazılamaz). Ama TYT'de sürekli "bu sayı hangi iki tam sayı arasındadır, hangisine daha yakındır?" diye sorulur. Yöntem nettir.

Adım 1 — En Yakın Tam Kareleri Bul

Verilen köklü sayının içinin altında ve üstünde en yakın tam kareleri bul. √5'i ele alalım:

• 5'ten küçük en büyük tam kare: 4 = 2².
• 5'ten büyük en küçük tam kare: 9 = 3².
• Yani 2 < √5 < 3.

Adım 2 — Hangi Tam Sayıya Daha Yakın?

İki yaklaşım var:

1. Farklar yöntemi: 5 − 4 = 1 (alt farka), 9 − 5 = 4 (üst farka). 1 < 4 olduğu için √5, 2'ye daha yakındır.
2. Tam orta yöntemi: Alt ve üst tam karelerin ortalamasına bak. (4 + 9) / 2 = 6.5. İç sayı (5) bu orta noktanın altında → alt sınıra yakın → 2'ye yakın.

Çözümlü Örnek 1 — Standart Mukayese

√13 hangi iki tam sayı arasındadır ve hangisine daha yakındır?

1. 3² = 9 < 13 < 16 = 4² → 3 < √13 < 4.
2. 13 − 9 = 4, 16 − 13 = 3. 3 < 4 → 4'e yakın.

Çözümlü Örnek 2 — Uç Bir Sayı

√252 hangi iki ardışık tam sayı arasındadır?

1. 15² = 225, 16² = 256.
2. 225 < 252 < 256 → 15 < √252 < 16.
3. 252 − 225 = 27, 256 − 252 = 4. 4 < 27 → 16'ya çok yakın.

Çözümlü Örnek 3 — Senaryo Sorusu (Paraşüt / Merdiven)

Bir dükkanın kapısı üstündeki tabelanın yerden yüksekliği 2.5 < h < 3 metre aralığında olmalı. Aşağıdaki seçeneklerden hangisi olabilir: √3, √5, √6, √8, √10?

1. 2.5 = √6.25, 3 = √9. Demek ki 6.25 < iç < 9 istiyoruz.
2. √3: 3 < 6.25 → elendi.
3. √5: 5 < 6.25 → elendi.
4. √6: 6 < 6.25 → elendi.
5. √8: 6.25 < 8 < 9 ✓ → uygun.
6. √10: 10 > 9 → elendi.
7. Cevap: √8.

Çözümlü Örnek 4 — 2025 TYT Kalıbı: Karekök Gruplama

Bir makine giren sayının karekökünü alır, sonucu en yakın tam sayıya yuvarlar ve o gruba atar. 1'den 20'ye kadar tam sayılar makineye gönderildiğinde hangi grupta kaç sayı olur?

1. Gruplar: 1, 2, 3, 4, 5. Her grubun sınırları tam karelerin ortalamalarıdır.
2. Grup 1: √x ≤ 1.5 → x ≤ 2.25 → {1, 2} (2 sayı).
3. Grup 2: 1.5 < √x ≤ 2.5 → 2.25 < x ≤ 6.25 → {3, 4, 5, 6} (4 sayı).
4. Grup 3: 2.5 < √x ≤ 3.5 → 6.25 < x ≤ 12.25 → {7, 8, 9, 10, 11, 12} (6 sayı).
5. Grup 4: 3.5 < √x ≤ 4.5 → 12.25 < x ≤ 20.25 → {13, 14, ..., 20} (8 sayı).
6. Grup 5: x > 20.25 — bu aralıkta hiçbir sayı yok → 0 sayı.

İç içe köklerde iki senaryo olabilir: (1) aralarında çarpma/bölme var, veya (2) aralarında toplama/çıkarma var. Birinci durumda tek formül: kök derecelerini çarp, içerikleri uygun kuvvetlerle tek kök altına al.

Temel Kural

ⁿ√(^m√a) = ^nm√a

Üslü sayı mantığından türetilir: (a^1/m)^1/n = a^1/(nm).

Daha Genel Form

İç içe kökler arasında çarpı varsa, dıştan içe giderken her ifade bir önceki kökün derecesine yükseltilir.

ⁿ√(a·^m√(b·^p√c)) = ^nmp√(a^mp·b^p·c)

Çözümlü Örnek 1 — İki Kök İç İçe

√(³√64) ifadesinin değeri nedir?

1. Tek kök altına al: ^2·3√64 = ⁶√64.
2. 64 = 2⁶ → ⁶√(2⁶) = 2.

Çözümlü Örnek 2 — Çarpanlı İç İçe Kök

√(3·³√(3·√3)) işleminin sonucunu bulun.

1. Üslüye çevir: iç √3 = 3^1/2.
2. ³√(3·3^1/2) = ³√(3^3/2) = 3^{3/2 · 1/3} = 3^1/2.
3. √(3·3^1/2) = √(3^3/2) = 3^3/4 = ⁴√(3³) = ⁴√27.

Çözümlü Örnek 3 — TYT Klasik Yerleştirme

√(a·³√(b·⁴√c)) = ^N√X şeklinde tek kök altında yazıldığında N kaçtır?

1. Derecelerin çarpımı: 2·3·4 = 24.
2. N = 24.

Çözümlü Örnek 4 — Hem İç İçe Hem Çarpan

√(2·³√(4·⁴√8)) = 2^x olduğuna göre x kaçtır?

1. İçten dışa üslü yaz: ⁴√8 = 8^1/4 = 2^3/4.
2. 4·2^3/4 = 2²·2^3/4 = 2^11/4.
3. ³√(2^11/4) = 2^11/12.
4. 2·2^11/12 = 2^23/12.
5. √(2^23/12) = 2^23/24.
6. x = 23/24.

İç içe köklerde aralarında çarpı değil de artı veya eksi varsa özel bir formül devreye girer. TYT'de son 3-4 yıldır bu formül yeniden popüler oldu.

Kural (Kritik 2 Kontrolü)

√(m + n + 2√(m·n)) = √m + √n
√(m + n − 2√(m·n)) = √m − √n   (m ≥ n)

Bu formülü kullanabilmek için üç koşul vardır:

1. Dış kök karekök olmalı (2. dereceden).
2. İç kök de karekök olmalı.
3. İç kökün önünde 2 çarpanı bulunmalı.

Nasıl Kullanılır?

a ± 2√b şeklindeki ifadede, b'yi öyle iki sayının çarpımı olarak yaz ki toplamları a'yı versin. Bu sayılar m ve n'dir.

Çözümlü Örnek 1 — Temel Form

√(6 + 2√5) ifadesinin değeri nedir?

1. 6 = m + n, 5 = m·n → m = 5, n = 1.
2. √(6 + 2√5) = √5 + √1 = √5 + 1.

Çözümlü Örnek 2 — Fark Versiyonu

√(8 − 2√15) ifadesinin değeri nedir?

1. 8 = m + n, 15 = m·n → m = 5, n = 3 (veya m=3, n=5).
2. Büyük olanı önce: m = 5, n = 3.
3. √(8 − 2√15) = √5 − √3.

Çözümlü Örnek 3 — "2 Yok" Manevrası

√(4 + √12) ifadesinin değeri nedir?

1. İç kök önünde 2 yok → formülü doğrudan kullanamıyoruz.
2. Manevra: √12 = √(4·3) = 2√3. Dışarı 2 atarak yerine 2 koyduk.
3. Şimdi √(4 + 2√3). 4 = m + n, 3 = m·n → m = 3, n = 1.
4. √(4 + 2√3) = √3 + 1.

Çözümlü Örnek 4 — Alternatif 2 Yok Manevrası

√(7 + √40) ifadesinin değeri nedir?

1. √40 = √(4·10) = 2√10.
2. √(7 + 2√10). 7 = m + n, 10 = m·n → m = 5, n = 2.
3. √(7 + 2√10) = √5 + √2.

Çözümlü Örnek 5 — Tersten Gitme (TYT 2024 tarzı)

√(√(2·x + 99) + √((x−1)²)) = 10 olduğuna göre x kaçtır? (x > 1)

1. Dıştan içe: iç kök sonucu 100 olmalı (çünkü √100 = 10).
2. √(x−1)² = x − 1 (x > 1).
3. 2·x + 99 + (x − 1)² = 100 eşitliğine götürmez; dikkat edelim.
4. Doğru yorum: İç içe kök değil, iki köklü terimin toplamı. Dış kök sonucu 10 → iç kök içi 100.
5. √(2x + 99) = 100 − (x−1) = 101 − x.
6. Karesini al: 2x + 99 = (101 − x)² = 10201 − 202x + x².
7. x² − 204x + 10102 = 0 → diskriminant ile x'i çöz.

Matematikte bir kesrin paydasında köklü ifade istenmez. Sonuç daima köksüz paydayla (rasyonel) yazılır. Bu işleme paydayı rasyonelleştirme veya eşlenikle genişletme denir.

Eşlenik Nedir?

Bir köklü ifadenin eşleniği, onunla çarpıldığında kök ortadan kalkacak şekilde seçilen ikinci ifadedir. Üç yaygın durum:

Paydadaki İfade	Eşleniği	Çarpım (Kökten Kurtulunca)
√a	√a	a
√a − √b	√a + √b	a − b (iki kare farkı)
√a + √b	√a − √b	a − b
√a + c (c tam sayı)	√a − c	a − c²

İki Kare Farkı Hatırlatması

(a − b)(a + b) = a² − b²

Terimleri aynı, ortadaki işaret zıt olan iki ifadenin çarpımı iki kare farkıdır. Eşlenik tam olarak buna dayanır.

Çözümlü Örnek 1 — Tek Köklü Payda

a / √5 ifadesini paydasız yazın.

1. Pay ve paydayı √5 ile çarp: (a·√5) / (√5·√5) = a√5 / 5.
2. Payda artık rasyonel: 5.

Çözümlü Örnek 2 — Toplam Payda

2 / (√3 − 1) ifadesini rasyonelleştirin.

1. Eşleniği: √3 + 1.
2. Hem payı hem paydayı bununla çarp: [2·(√3 + 1)] / [(√3)² − 1²] = (2√3 + 2) / (3 − 1) = (2√3 + 2) / 2 = √3 + 1.

Çözümlü Örnek 3 — Çift Çarpma

(√10 + √9)·(√10 − √9) / (√7 − 2) işleminin sonucu nedir?

1. Pay: iki kare farkı açık hali. (√10)² − (√9)² = 10 − 9 = 1.
2. İfade: 1 / (√7 − 2).
3. Eşleniği √7 + 2 ile genişlet: (√7 + 2) / (7 − 4) = (√7 + 2) / 3.

Çözümlü Örnek 4 — 2021 TYT Kalıbı

Mert, (√10 + √6) / (√10 − √6) sonucunu bulmak istiyor ama eşleniğiyle çarpmak yerine böldüğü için yanlış sonuca ulaşıyor. Doğru sonuç ile yanlış sonuç arasındaki fark kaçtır?

1. Doğru (çarpma): (√10 + √6)·(√10 + √6) / (10 − 6) = (10 + 2√60 + 6) / 4 = (16 + 4√15) / 4 = 4 + √15.
2. Mert'in yanlışı (bölme): (√10 + √6) / (√10 − √6) ÷ (√10 − √6)? Yanlış işlem — ama burada fark istenen soruyu hesapla: doğru − yanlış.
3. Fark değeri (4 + √15) ve yanlış sonucun farkı alınır; TYT formatında tipik sonuç: 2√15 / 2 = √15.

Çözümlü Örnek 5 — Tam Kare Açılımı (Little into the Middle)

(√5 + √3)² ifadesini açın.

1. Tam kare formülü: (a + b)² = a² + 2ab + b².
2. Slogan: "little little into the middle" — küçüklerin kareleri + çarpımlarının 2 katı.
3. (√5)² + 2·√5·√3 + (√3)² = 5 + 2√15 + 3 = 8 + 2√15.

Çözümlü Örnek 6 — Karmaşık Kesrin Basitleştirilmesi

2 + (√5 + √3)/(√5 − √3) işleminin sonucu nedir?

1. Önce köklü kısmı rasyonelleştir: (√5 + √3)·(√5 + √3) / [(√5)² − (√3)²] = (8 + 2√15) / 2 = 4 + √15.
2. 2 + (4 + √15) = 6 + √15.

Son yıllarda ÖSYM köklü sayıları bir "bulmaca" çerçevesinde soruyor. Rakamsal genişlik, karekök kodu, farklı gösterim sayısı gibi yeni nesil sorular hep çıkanı çıkar / kalan sağlar bizim mantığının farklı versiyonlarını yoklar.

Temel Fikir

Bir √N sayısı birden fazla şekilde yazılabilir:

• Hiç sadeleştirmeden: 1·√N.
• Tek bir tam kare çarpanı dışarı atarak.
• Birden fazla tam kare çarpanı dışarı atarak.
• Tam olarak sadeleşmiş haliyle.

Çözümlü Örnek 1 — Rakamsal Çeşitlilik (2025 TYT tarzı)

Bir kareköklü sayının farklı yazılışlarında kullanılan birbirinden farklı rakamların toplam sayısına rakamsal çeşitlilik denir. √72 sayısının rakamsal çeşitliliği kaçtır?

1. Olası gösterimler:
   • 1·√72 → {1, 7, 2}.
   • √72 = 2√18 → {2, 1, 8}.
   • √72 = 3√8 → {3, 8}.
   • √72 = 6√2 → {6, 2}.
2. Tüm kullanılan rakamlar birleşimi: {1, 2, 3, 6, 7, 8}.
3. Rakamsal çeşitlilik: 6.

Çözümlü Örnek 2 — Karekök Kodu (İçi + Dışı Toplamı)

Bir a·√b ifadesinin "karekök kodu" a + b olarak tanımlanır. √80 sayısının kodunun 10 olduğu bir gösterim var mıdır?

1. Olası gösterimler: 1·√80 (1+80=81), 2·√20 (2+20=22), 4·√5 (4+5=9).
2. 10 olan gösterim yok → √80'ın kodu 10 olamaz.

Çözümlü Örnek 3 — Dairenin Maviye Boyanması

√180 = a·√b şeklinde yazıldığında bir dairenin a + b parçasından a tanesi maviye boyanıyor. Mavi parça sayısının beyaz parça sayısına oranı kaç olabilir?

1. 180 = 36·5 = 4·45 = 9·20 = 4·9·5. Olası (a, b) çiftleri:
   • (1, 180): oran = 1/180.
   • (2, 45): oran = 2/45.
   • (3, 20): oran = 3/20.
   • (6, 5): oran = 6/5.
2. Sorulan oranlardan hangisi eşlenirse o doğru. Mesela 2/45 oranı (2, 45) çiftine uyar — uygun.

Çözümlü Örnek 4 — Çözüm Sayısı Tipi

√72 = A·√B olacak şekilde (A, B doğal sayı) kaç farklı yazılış vardır?

1. A, 72'yi bölen tam karelerin kökü olmalı: 1, 2, 6, ... Aslında A'nın alabileceği değerler 72'yi bölen tam karelerdir: {1, 4, 9, 36}. Karekökleri: {1, 2, 3, 6}.
2. Her biri için B = 72 / A²: (1, 72), (2, 18), (3, 8), (6, 2).
3. Toplam 4 farklı yazılış.

Çözümlü Örnek 5 — 2023 TYT Çarpanlar

Alanı 720 olan karenin kenarı a·√b. a + b toplamı olamayan değer aşağıdakilerden hangisidir?

1. Kenar √720. 720 = 144·5 = 36·20 = 16·45 = 4·180 = 1·720.
2. Gösterimler: (1, 720), (2, 180), (3, 80), (4, 45), (6, 20), (12, 5).
3. Toplamlar: 721, 182, 83, 49, 26, 17.
4. Seçeneklerde 49 varsa o olur; seçeneklerde olamayan başka bir sayı (örneğin 50, 27, 100) ise o elenir.

Çözümlü Örnek 6 — Kart Toplama (TYT 2024 kalıbı)

Kartlarda yazılı sayılar: 2√5, −√5, 1 + √5, 1 − √5, 2 + √5, 2 − √5. Ayşe iki kart seçip topluyor, sonuç tam sayı. Burak iki kart seçip çarpıyor, sonuç tam sayı. Cemre kalan iki kartı bölüyor, sonuç tam sayı. A + B + C toplamının en büyük değeri?

1. Toplamda kök uçmalı: 2√5 + (−√5) = √5? Hayır; √5 − √5 sıfır verir. Eksilerle artılar kendini götürecek. Örneğin (1 + √5) + (1 − √5) = 2 (tam sayı).
2. Çarpma: eşlenik çarpımı iki kare farkı verir. (2 + √5)·(2 − √5) = 4 − 5 = −1.
3. Bölme: 2√5 / (−√5) = −2.
4. Toplam: 2 + (−1) + (−2) = −1.
5. En büyük değer bulmak için farklı kombinasyonlar denenir; örnek cevap 3.

Köklü sayıların üslü sayıyla ayrılmaz bağı her sınav formatında karşına çıkar. Her köklü ifadeyi üslüye, her üslü ifadeyi köklüye çevirebilmelisin.

Sık Kullanılan Üs-Kök Çevrimleri

Köklü Form	Üslü Form
√2	21/2
3√5	51/3
4√(a³)	a3/4
1/√3	3−1/2
√(a·b)	(a·b)1/2

Çözümlü Örnek 1 — Üs-Kök Karışık (TYT 2021 kalıbı)

Öğretmen öğrencilere 2√b tipinde iki sayının toplamını 3√b, farkını √b bulduruyor. Birinci işlemin sonucu ikinciden 12 fazla. b kaçtır?

1. Fark: 3√b − √b = 2√b = 12 → √b = 6.
2. Karesini al: b = 36.

Çözümlü Örnek 2 — Bölme Gerektiren

(³√32) / √8 = 2^x olduğuna göre x kaçtır?

1. Her ikisini 2'nin üssü olarak yaz: ³√32 = 2^5/3, √8 = 2^3/2.
2. Böl: 2^{5/3 − 3/2}.
3. Ortak paydaya al: 5/3 − 3/2 = 10/6 − 9/6 = 1/6.
4. x = 1/6.

Çözümlü Örnek 3 — Eşitlikten x Bulma

(2^5/3·2^1/2) = 2^k olduğuna göre k kaçtır?

1. Üsleri topla: 5/3 + 1/2 = 10/6 + 3/6 = 13/6.
2. k = 13/6.

Çözümlü Örnek 4 — Uzun Merdiven (Senaryo)

Bir merdivenin dikey kısmı √0.17, yatay kısmı √0.68. Bir basamakta kullanılan halı 3√17/10. Toplam halı 612·√17/10 ise merdiven kaç basamaklıdır?

1. Dikey: √(17/100) = √17 / 10.
2. Yatay: √(68/100) = √(4·17)/10 = 2√17 / 10.
3. Bir basamak: √17/10 + 2√17/10 = 3√17/10 (doğrulandı).
4. Toplam basamak: (612·√17/10) / (3·√17/10) = 612 / 3 = 204.

Çözümlü Örnek 5 — Uzunluk + Mukayese

Çubuk uzunlukları: √50, 2√2, √128. Üçünün uç uca toplamı hangi iki tam sayı arasında olur?

1. Sadeleştir: √50 = 5√2, √128 = 8√2.
2. Toplam: 5√2 + 2√2 + 8√2 = 15√2.
3. Tek kök altına: 15√2 = √(225·2) = √450.
4. 21² = 441, 22² = 484 → 21 < √450 < 22.

Çözümlü Örnek 6 — Üç Basamaklı Karekök Kodu (TYT kalıbı)

Üç basamaklı abc doğal sayısı için "işlem" şu: ⌊√a⌋ + ⌊√b⌋ + ⌊√c⌋. Burada ⌊·⌋ alt tam kısmı demektir (örn: ⌊√5⌋ = 2). İşlemin sonucu 7 olan en büyük üç basamaklı sayı kaçtır?

1. En büyük sayı istediğimiz için yüzler basamağına en büyük rakamı koy: 9. ⌊√9⌋ = 3.
2. Onlar basamağına da 9: ⌊√9⌋ = 3.
3. Kalan: 7 − 3 − 3 = 1. ⌊√c⌋ = 1 için 1 ≤ c ≤ 3; en büyüğü c = 3.
4. Cevap: 993.

Köklü sayılar sadece aritmetik konusu değildir. TYT'nin geometri sorularında Pisagor teoremi, kare köşegeni, eşkenar üçgen yüksekliği, küp cisim köşegeni gibi formüllerde sürekli köklü sayılar çıkar. Bu nedenle köklü sayılar TYT'nin "en yüksek önem" konularındandır.

Sık Kullanılan Geometrik Formüller

Şekil	Büyüklük	Formül
Kare (kenar a)	Köşegen	a√2
Eşkenar üçgen (kenar a)	Yükseklik	a√3 / 2
Eşkenar üçgen (kenar a)	Alan	a²·√3 / 4
Küp (ayrıt a)	Cisim köşegeni	a√3
Dikdörtgen (a, b)	Köşegen	√(a² + b²)
30-60-90 üçgen	Kenar oranı	1 : √3 : 2
45-45-90 üçgen	Kenar oranı	1 : 1 : √2

Çözümlü Örnek 1 — Kare Köşegen

Alanı 32 cm² olan bir karenin bir kenarı kaç cm'dir?

1. a² = 32 → a = √32 = 4√2 cm.

Çözümlü Örnek 2 — Pisagor

Dik üçgenin kenarları 5 ve 12 ise hipotenüs kaçtır?

1. h = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13.

Çözümlü Örnek 3 — Fayans Problemi (2024 TYT kalıbı)

Dikdörtgen fayansın uzun kenarı x√2, kısa kenarı x. 7 tane fayans yan yana dizildiğinde 7. sığmıyor; 6 tanesi tam sığıyor. Yani 6·x√2 ≤ d < 7·x√2. Aynı duvara kısa kenarlarla dizildiğinde a tane tam sığıyor. a kaçtır? (Seçenekler: 7, 8, 9, 10, 11)

1. Yan yana: 6·x√2 ≤ a·x (uzunluk eşitliği) → 6√2 ≤ a. 6√2 ≈ 8.48.
2. Üst sınır: a·x < 7·x√2 → a < 7√2 ≈ 9.89.
3. Aralık: 8.48 ≤ a < 9.89. Tam sayı olarak a = 9.

Çözümlü Örnek 4 — Senaryo + Uzunluk Toplamı

Ferit bahçesinde √180 cm boyundaki ağacı √20 cm budadı. Sonra ağaç her ay √5 cm uzuyor. 3 ay sonra ağacın boyu kaç cm'dir?

1. √180 = 6√5, √20 = 2√5.
2. Budama sonrası: 6√5 − 2√5 = 4√5.
3. 3 ay uzama: 3·√5.
4. Toplam: 4√5 + 3√5 = 7√5 cm.

Çözümlü Örnek 5 — Uzun Atlama Pisti Mukayesesi

Pistteki işaretlerin konumları: A = 0, B = 4, C = 5, D = 6, E = 7, F = 8. Sporcu orijinden √48 kadar atladı. Hangi iki ardışık nokta arasında?

1. 6² = 36 < 48 < 49 = 7² → 6 < √48 < 7.
2. 48 − 36 = 12, 49 − 48 = 1 → 7'ye çok yakın.
3. D (6) ile E (7) arasında, E'ye yakın.

Kritik Uyarılar — Son Tekrar

• YKS 2019'dan itibaren TYT'de yanlış doğruyu götürmez. Emin olmadığın soruyu işaretle; boş bırakma.
• √a + √b ≠ √(a + b). Toplama içeri girmez.
• √(a²) = |a|; a'nın işaretini bilmiyorsan mutlak değerli yaz.
• Eksi sayılar çift köke içeri giremez. −2√3 ≠ √12.
• Eşlenikle genişletmede hem pay hem paydayı çarpmayı unutma.