Çarpanlara Ayırma — Özdeşlikler, Tam Kare, Küp ve Pisagor (TYT-AYT)

Çarpanlara ayırma, toplam ya da fark biçiminde verilen bir ifadeyi çarpım biçimine dönüştürmektir. Matematiğin neredeyse her konusunda karşına çıkar: rasyonel ifade sadeleştirmede, ikinci dereceden denklemin kök bulma yönteminde, polinomda, fonksiyonda, hatta trigonometri ve logaritmada. Kısacası matematiğin dört işlemi gibi bir altyapıdır — bilmezsen üstüne hiçbir şey inşa edilmez.

Hangi Yöntemleri Kullanacağız?

Bir ifadeyi çarpım biçimine dönüştürmek için birkaç yöntem tekniğimiz var. Hangisini seçeceğimiz, ifadenin yapısına bağlı:

• Ortak çarpan parantezi: Her terimde tekrar eden bir çarpan varsa paranteze al.
• Gruplayarak çarpanlara ayırma: Dört ya da daha çok terim varsa ikili gruplara ayır, her grubun ortak çarpanını paranteze al, sonra yeni ortak çarpanı yakala.
• Özdeşlikler: Tam kare, iki kare farkı, iki küp toplamı/farkı kalıplarını tanı ve açılımı tersine çevir.
• Orta terimi bölme: ax² + bx + c kalıbındaki ikinci derece ifadeleri, (x + m)(x + n) ya da (ax + m)(x + n) biçiminde açmayı çapraz çarpım ile bul.
• Değişken atama (A yerine yaz): Karmaşık görünen ifadelerde tekrar eden bir ifadeye a dersen, gözün alıştığı bir forma inersin.

Nagihan Hoca'nın Altın Sözü — Verenle İsteyen Tersi

Matematik bir dengedir. Soru sana ne veriyorsa onun tersini ister:

• Kapalı (çarpım) veriyorsa → açmanı ister (dağıtım).
• Açık (toplam/fark) veriyorsa → toplamanı ister (çarpanlara ayırma).
• Dağınık ise → topla.
• Topluysa ve hiçbir şey yapamıyorsan → dağıt.

Bu Konunun Kapsayacağı 6 Bölüm

1. Özdeşlikler tablosu (hepsi tek bakışta).
2. Tam kare (birincinin karesi + çarpımlarının 2 katı + ikincinin karesi).
3. İki kare farkı (a² − b² = (a−b)(a+b)).
4. İki küp toplamı/farkı (kapa, tabanda gördüğünü yaz, Little-Little-in-the-Middle).
5. Ortak parantez ve gruplayarak ayırma.
6. Orta terimi bölme (x² + bx + c ve ax² + bx + c).

Her bölümde hem özdeşliği vereceğiz hem de çözümlü örnekle pekiştireceğiz. Amaç: formülü kafaya ezberletmek değil, hikayeyi kavratmak.

Aşağıdaki tablo, TYT-AYT boyunca kullanacağın tüm temel özdeşlikleri tek bakışta gösterir. Her biri için hem açık hali (dağıtılmış) hem de kapalı hali (çarpım) verilmiştir. Her ikisini de sağ-sol okumalısın: soru sana hangisini veriyorsa diğerini isteyecek.

Küp Açılımının Pascal Üçgeni Bağlantısı

Küp açılımındaki 1, 3, 3, 1 katsayıları Pascal üçgeninin üçüncü satırıdır. Unutkanlık yaşarsan şunu hatırla: (a + b)²'de katsayılar 1 2 1'dir; (a + b)³'de 1 3 3 1; (a + b)⁴'de 1 4 6 4 1. Her satır, üst satırdan türer (komşuların toplamı).

Cümleyle Ezberleme — Nagihan Hoca Mantığı

• Tam kare: "Birincinin karesi + çarpımlarının 2 katı + ikincinin karesi." (Cem Yılmaz: Little little into the middle.)
• İki kare farkı: "İşaret değiştirmeyenin karesi − işaret değiştirenin karesi." Geri çekerken: (a − b)(a + b) formuna gelecek şekilde kareleri kapat, tabanda ne görüyorsan yaz.
• Küp farkı/toplamı: a³ ± b³ için "Küpleri kapat, tabanda gördüğünü yaz: çarpı (birincinin karesi ∓ çarpımları + ikincinin karesi)." Yani Little Little in the Middle — ama "to" yok; sadece üç kelime. Ortadaki işaret, ilk parantezdeki işaretin tam tersi.

Tam kare, matematiğin en sık kullandığın özdeşliğidir. İki terim toplamının ya da farkının karesini almak demektir:

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

Cümleyle Açılım

Formülü harfli ezberleme. Cümleyi söyle:

• Birincinin karesi → a²
• Çarpımlarının 2 katı → 2ab (aradaki işaret, orijinal parantezdeki işaretle aynı)
• İkincinin karesi → b²

Cümle değişmez; harfler değişse de metot aynıdır. Bu yüzden kalıcıdır.

Çözümlü Örnek 1 — (x + 2)²

1. Birincinin karesi: x².
2. Çarpımlarının 2 katı: x · 2 · 2 = 4x. (Katsayıyı öne al: önce 2 ile çarp, sonra x — görsel şıklık.)
3. İkincinin karesi: 2² = 4.
4. Sonuç: x² + 4x + 4.
5. Doğrulama: (x+2)(x+2) = x² + 2x + 2x + 4 = x² + 4x + 4. ✓

Çözümlü Örnek 2 — (2x − 5)²

1. Birincinin karesi: (2x)² = 4x². (Dikkat: 2'nin de karesi alınır. Parantezsiz yazmak tuzaktır.)
2. Çarpımlarının 2 katı: 2x · 5 · 2 = 20x, işaret eksi → −20x.
3. İkincinin karesi: 5² = 25.
4. Sonuç: 4x² − 20x + 25.
5. Doğrulama: (2x−5)(2x−5) = 4x² − 10x − 10x + 25 = 4x² − 20x + 25. ✓

Çözümlü Örnek 3 — (x + 1/x)²

1. Birincinin karesi: x².
2. Çarpımlarının 2 katı: x · (1/x) · 2 = 2. (x'ler sadeleşir.)
3. İkincinin karesi: (1/x)² = 1/x².
4. Sonuç: x² + 2 + 1/x².

Geri Toplama (Kapalıya Çevirme) — "Açık Verdiyse Kapa" Refleksi

Soru sana x² + 6x + 9 verdiyse ve bir şey istiyorsa, bu aslında bir tam kare açılımıdır. Nasıl anlarız?

1. Kareleri kenara al: x² ve 9 = 3².
2. Ortadaki çarpımlarının 2 katı mı? x · 3 · 2 = 6x. Evet, ortada var.
3. O halde x² + 6x + 9 = (x + 3)².

Çözümlü Örnek 4 — Denklemden x + y Bulma

x² + 2xy + y² = 49 olduğuna göre x + y kaçtır?

1. Sol taraf tam kare açılımı: (x + y)² = 49.
2. Her iki tarafın karekökünü al: |x + y| = 7.
3. O halde x + y = 7 veya x + y = −7.

Çözümlü Örnek 5 — Eşitlikten Kurma

x + y = 11 ve xy = 40 ise x² + y² kaçtır?

1. (x + y)² = x² + 2xy + y².
2. 11² = x² + y² + 2·40.
3. 121 = x² + y² + 80.
4. x² + y² = 41.

İki kare farkı, iki karenin (ya da kare gibi düşünülebilecek iki ifadenin) farkını çarpım biçimine çevirir:

a² − b² = (a − b)(a + b)

Sağ-Sol Okuma

Özdeşlik iki yönde de işe yarar:

• Kapalı → açık: (2x + 3)(2x − 3) gibi çarpım verildi, dağıtacağım. Cümlem: "Terimler aynı, işareti değiştirmeyenin karesi − işareti değiştirenin karesi." → (2x)² − 3² = 4x² − 9.
• Açık → kapalı: a² − 9 gibi bir ifade verildi, çarpanlarına ayırmalıyım. Kareleri elinle "kapat", tabanda ne görüyorsan yaz: (a − 3)(a + 3).

Çözümlü Örnek 1 — 9x² − 4y²

1. 9x² = (3x)²; 4y² = (2y)².
2. Kareleri kapa, tabanda: 3x ve 2y.
3. Sonuç: (3x − 2y)(3x + 2y).
4. Doğrulama: (3x)(3x) + (3x)(2y) − (2y)(3x) − (2y)(2y) = 9x² − 4y². ✓

Çözümlü Örnek 2 — a² − 5

5 tam karenin karesi mi? Değil. Ama 5, √5'in karesidir:

1. a² − (√5)².
2. (a − √5)(a + √5).

Çözümlü Örnek 3 — x⁴ − y⁴

Dördüncü kuvvetler de iki kare farkı yoluyla parçalanır:

1. x⁴ = (x²)²; y⁴ = (y²)².
2. Kareleri kapa: (x² − y²)(x² + y²).
3. Dikkat, x² − y² de yine iki kare farkı! Bir kez daha parçala: (x − y)(x + y)(x² + y²).
4. x² + y² toplam olduğu için reel sayılarda çarpanlara ayrılmaz.

Çözümlü Örnek 4 — x⁶ − 1

Altıncı kuvvetler hem iki kare farkı hem iki küp farkıyla parçalanabilir:

1. x⁶ = (x³)²; 1 = 1².
2. İki kare farkı olarak: (x³ − 1)(x³ + 1).
3. x³ − 1 iki küp farkı: (x − 1)(x² + x + 1).
4. x³ + 1 iki küp toplamı: (x + 1)(x² − x + 1).
5. Tam parçalı hali: (x − 1)(x + 1)(x² + x + 1)(x² − x + 1).

Çözümlü Örnek 5 — Asal Sayı Uygulaması

a, b pozitif tam sayılar; p asal sayı; 36a² − 9b² = p. a'nın p cinsinden değeri?

1. 36a² = (6a)²; 9b² = (3b)².
2. İki kare farkı: (6a − 3b)(6a + 3b) = p.
3. Asal sayının pozitif çarpanları 1 ve kendisi. İki çarpandan küçük olan 1, büyük olan p.
4. 6a − 3b = 1 ve 6a + 3b = p.
5. Taraf tarafa topla: 12a = p + 1.
6. a = (p + 1)/12.

Çözümlü Örnek 6 — Alan Sorusu

Bir kenarı 2x + 1 olan büyük kareden, bir kenarı x + 2 olan küçük kare çıkarılıyor. Kalan alanı çarpım biçiminde yaz.

1. Büyük alan: (2x + 1)². Küçük alan: (x + 2)².
2. Fark: (2x + 1)² − (x + 2)² → iki kare farkı.
3. Kapa kareleri: [(2x + 1) − (x + 2)] · [(2x + 1) + (x + 2)].
4. Düzenle: (x − 1)(3x + 3) = 3(x − 1)(x + 1) = 3(x² − 1).

Küpler, çoğu öğrenciyi yoran kısım. Ama Nagihan Hoca'nın yöntemiyle birkaç dakikada oturur:

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Nagihan Hoca'nın Şifresi

1. Küpleri kapa. Üçleri (küp işaretlerini) elinle ört.
2. Tabanda ne görüyorsan yaz. Birinci parantez: (a + b) ya da (a − b).
3. Büyük parantez aç. İkinci parantezi üç terimden kur: "Little little in the middle" — birincinin karesi, çarpımları, ikincinin karesi.
4. Ortadaki işaret, ilk parantezdekinin tam tersi. Artı verdiyse eksi gelir; eksi verdiyse artı gelir. İlk ve son terimin önü her zaman artıdır.

Çözümlü Örnek 1 — x³ + 8

1. 8 = 2³. Yani x³ + 2³.
2. Küpleri kapa, tabanda: (x + 2).
3. Büyük parantez: x² − 2x + 4 (ortadaki işaret, ilk parantezdekinin tersi).
4. Sonuç: (x + 2)(x² − 2x + 4).
5. Doğrulama: x·x² − x·2x + x·4 + 2·x² − 2·2x + 2·4 = x³ − 2x² + 4x + 2x² − 4x + 8 = x³ + 8. ✓

Çözümlü Örnek 2 — 27a³ − 64

1. 27a³ = (3a)³; 64 = 4³.
2. Kapa küpleri, tabanda: (3a − 4).
3. Büyük parantez: (3a)² + (3a)(4) + 4² = 9a² + 12a + 16.
4. Sonuç: (3a − 4)(9a² + 12a + 16).

Çözümlü Örnek 3 — x³ + y³ ve x + y Bağlantısı

Bir kenarı x olan küpün hacmi x³; kenarı y olan küpün hacmi y³. x³ + y³ = 72 ve x + y = 6 ise xy kaçtır?

1. Küp toplamı: (x + y)(x² − xy + y²) = 72.
2. x + y = 6. Yerine yaz: 6 · (x² − xy + y²) = 72 → x² − xy + y² = 12.
3. Ayrıca (x + y)² = x² + 2xy + y² = 36.
4. İkisini çıkar: (x² + 2xy + y²) − (x² − xy + y²) = 36 − 12 → 3xy = 24 → xy = 8.

Alternatif Yöntem — Küpü Açma

Aynı soru, küp açılımıyla:

1. (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ = 6³ = 216.
2. x³ + y³ = 72. Yerine yaz: 72 + 3x²y + 3xy² = 216.
3. 3xy(x + y) = 144 → 3xy · 6 = 144 → 18xy = 144 → xy = 8.

İki yöntem de aynı cevabı verir. Hangisini seçersin? Formül bildiklerinin azlığına göre. Ama küp açılımı + ortak parantezli (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) özdeşliği, sınavda çok daha hızlıdır.

Çözümlü Örnek 4 — Çarpanlardan Birini Bulma

x³ − 1'in çarpanlarından biri değildir: (x² + 1), (x − 1), (x² + x + 1), (x + 1)(x − 1), (x − 1)(x² + x + 1)?

1. x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1).
2. Seçeneklere bak: (x − 1) var ✓, (x² + x + 1) var ✓, son çarpım da eşdeğer ✓.
3. (x + 1)(x − 1) = x² − 1. x² − 1 bir çarpan mı? (x³ − 1)/(x² − 1) tam bölmez — çarpan değildir.
4. (x² + 1) de çarpan değildir. Doğru cevap: x² + 1.

Küp Açılımının Modellemesi

Bir kenarı x olan küp + bir kenarı y olan küp + üçlü prizmalar... Soru "kaç parça kullanılır?" diye sorarsa, aslında katsayılar toplamını soruyor. (x + y)³'ün katsayıları 1 + 3 + 3 + 1 = 8. (2x + y)³'ün katsayıları: x ve y yerine 1 koy: (2 + 1)³ = 27.

Küp açılımı, ikinci derece açılımın üçüncü dereceli versiyonudur. Pascal üçgeninden çıkar:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Cümle Kuralı

• Birincinin kübü ile başla.
• Katsayı 3. Birincinin karesi × ikinci.
• Katsayı 3. Birinci × ikincinin karesi.
• İkincinin kübü ile bitir.

İşaret deseni: İlk parantezde + varsa → + + + + (hepsi artı). − varsa → + − + − (ardışık değişen).

"Al gülüm, ver gülüm" Hareketi

Birinciden bir üs al, ikinciye bir üs ver; bir daha al, bir daha ver. a³ → a²b → ab² → b³. Üsler 3'ten 0'a azalırken, diğer harfin üsleri 0'dan 3'e artar. Toplam üs her zaman 3.

Çözümlü Örnek 1 — (a + 2)³

1. Birincinin kübü: a³.
2. 3 · a² · 2 = 6a².
3. 3 · a · 2² = 12a.
4. İkincinin kübü: 2³ = 8.
5. Sonuç: a³ + 6a² + 12a + 8.

Çözümlü Örnek 2 — (2y − 1)³

1. Birincinin kübü: (2y)³ = 8y³. (Dikkat: 2'nin de kübü alınır.)
2. 3 · (2y)² · 1 = 3 · 4y² · 1 = 12y², işaret eksi → −12y².
3. 3 · 2y · 1² = 6y, işaret artı → +6y.
4. İkincinin kübü: 1³ = 1, işaret eksi → −1.
5. Sonuç: 8y³ − 12y² + 6y − 1.

Çözümlü Örnek 3 — Tersinden Tanıma

a³ + 6a² + 12a + 18 ifadesi hangi küp açılımı olabilir?

1. Derece küple başlıyor, dalton gibi: a³, a², a, sabit. Kalıbına uygun.
2. Birinci terim a. İkinci terim tahmin: 3a² · b = 6a² → b = 2.
3. Destekliyor mu? 3a · b² = 3a · 4 = 12a. ✓
4. b³ = 2³ = 8. Ama soruda 18 var. Fazlalık: 18 − 8 = 10.
5. Sonuç: a³ + 6a² + 12a + 18 = (a + 2)³ + 10.

Çözümlü Örnek 4 — Küp Açılımında Katsayı Toplamı

(3x − 2y + 1)³'ün katsayıları toplamı kaçtır?

1. x = 1, y = 1: (3 − 2 + 1)³ = 2³ = 8.

Özel Özdeşlik: (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)

Aynı açılım, ortak paranteze alınarak şöyle de yazılır:

(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)

Bu form, a + b, a³ + b³ ve ab'den ikisini biliyorsan üçüncüyü bulmada güçlüdür. Özdeşlik ezberlemek istemiyorsan küpü açıp ortak parantezle türetebilirsin.

TYT ve AYT sınavlarında üç terimli özdeşlikler de karşına çıkar. İki formül ezberle:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)

Çözümlü Örnek 1 — Üçlü Kare Açılımı

(x + 2y − 3)²'yi aç.

1. a = x, b = 2y, c = −3.
2. Kareler: x² + 4y² + 9.
3. İkili çarpımlar × 2: 2(x · 2y + 2y · (−3) + (−3) · x) = 2(2xy − 6y − 3x).
4. Dağıt: 4xy − 12y − 6x.
5. Sonuç: x² + 4y² + 9 + 4xy − 12y − 6x.

Çözümlü Örnek 2 — a² + b² + c² Bulma

a + b + c = 6 ve ab + bc + ca = 5 ise a² + b² + c² kaçtır?

1. (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca).
2. 36 = a² + b² + c² + 2·5.
3. a² + b² + c² = 36 − 10 = 26.

Özel Özdeşlik — a³ + b³ + c³ − 3abc

Bu özdeşlik genellikle ileri sorularda karşına çıkar. Şekli şöyledir:

a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)

Çözümlü Örnek 3 — Özel Özdeşlikten Gitme

a + b + c = 0 ise a³ + b³ + c³'ün abc cinsinden değeri?

1. Özdeşlikte sol taraf: (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca) = 0 · (…) = 0.
2. O halde a³ + b³ + c³ − 3abc = 0.
3. a³ + b³ + c³ = 3abc.

Bu iki yöntem, özdeşlik kullanmadan çarpanlara ayırma yollarıdır. Temeli: ortak olanı yakala ve paranteze al.

Yöntem 1 — Ortak Parantez

Bir ifadedeki her terimde ortak bir çarpan varsa, onu parantezin dışına çıkarırsın:

ax + ay = a(x + y)

Çözümlü Örnek 1 — 5x² + 10x

1. Hem 5 hem x ortak. En geniş ortak çarpan: 5x.
2. 5x(x + 2).
3. Doğrulama: 5x · x + 5x · 2 = 5x² + 10x. ✓

Çözümlü Örnek 2 — 2m³n² − 4m²n³

1. Katsayılarda ortak: 2. m'lerde ortak: m². n'lerde ortak: n².
2. Ortak çarpan: 2m²n².
3. 2m²n²(m − 2n).

Yöntem 2 — Gruplayarak Çarpanlara Ayırma

Dört ya da daha fazla terim varsa ve tüm terimlerde ortak bir çarpan görünmüyorsa, terimleri ikili gruplara ayır. Her grubun kendi ortak çarpanını al, sonra yeni ortak çarpanı yakala.

Çözümlü Örnek 3 — mx + my + nx + ny

1. İlk iki terimi grupla: mx + my = m(x + y).
2. Son iki terimi grupla: nx + ny = n(x + y).
3. Ortak (x + y) yakalandı: (x + y)(m + n).
4. Doğrulama: (x + y)(m + n) = mx + my + nx + ny. ✓

Çözümlü Örnek 4 — ab − 5a + 4b − 20

1. İlk iki: a(b − 5).
2. Son iki: 4(b − 5).
3. Ortak (b − 5): (b − 5)(a + 4).

Çözümlü Örnek 5 — x³ − x² + x − 1

1. İlk iki: x²(x − 1).
2. Son iki: 1 · (x − 1). (Görünmeyen katsayı 1.)
3. Ortak: (x − 1)(x² + 1).

Çözümlü Örnek 6 — İşaret Ters Çevirme

a(b − 5) + 4(5 − b)'yi çarpanlara ayır.

1. (5 − b) = −(b − 5). Yani 4(5 − b) = −4(b − 5).
2. Yerine yaz: a(b − 5) − 4(b − 5).
3. Ortak: (b − 5)(a − 4).

Çözümlü Örnek 7 — Değişken İçeren Sistem

xy − xz = 20, zy − z² = 25, y − z = 5 ise (x + z)(z − y) değeri?

1. İlk denklem: x(y − z) = 20. y − z = 5 yerine yaz: 5x = 20 → x = 4.
2. İkinci: z(y − z) = 25 → 5z = 25 → z = 5.
3. x + z = 9; z − y = −(y − z) = −5.
4. Çarpım: 9 · (−5) = −45.

Şekli x² + bx + c olan üç terimli ifadeler, genellikle (x + m)(x + n) biçiminde çarpanlara ayrılır. Aranan iki sayı:

• m + n = b (toplamları orta terimin katsayısı)
• m · n = c (çarpımları sabit terim)

Çapraz Çarpım Yöntemi — Adım Adım

1. Önce "bu nelerin çarpımı?" diye düşün. x² için x · x.
2. Sonra sabit terimin çarpanlarını listele: c'nin tüm (ayrı) çarpan ikilileri.
3. Her ikili için önce toplam/fark tut — ortadaki b'yi yakalayabiliyor musun?
4. Yakaladıysan işaretleri ayarla:
   • c > 0: iki sayı aynı işaretli (toplam b'nin işaretini verir).
   • c < 0: iki sayı zıt işaretli (büyük olan b'nin işaretini verir).
5. Yanlışsa çapraz kontrolden anla, sayıları değiştir.

Çözümlü Örnek 1 — x² − x − 20

1. 20'nin çarpanları: 1·20, 2·10, 4·5.
2. Farkları: 19, 8, 1. 4 ve 5 uyuyor!
3. c = −20 < 0 → iki sayı zıt işaretli. b = −1 < 0 → büyük eksi.
4. +4 ve −5.
5. Sonuç: (x + 4)(x − 5).
6. Doğrulama: x² − 5x + 4x − 20 = x² − x − 20. ✓

Çözümlü Örnek 2 — x² − 5x + 6

1. 6'nın çarpanları: 1·6, 2·3.
2. Toplamlar: 7, 5. 2 ve 3 uyuyor!
3. c = 6 > 0 → aynı işaretli. b = −5 < 0 → her ikisi eksi.
4. −2 ve −3.
5. Sonuç: (x − 2)(x − 3).

Çözümlü Örnek 3 — x² − 5x − 6

1. 6'nın çarpanları: 1·6, 2·3.
2. Farklar: 5, 1. 1 ve 6 uyuyor!
3. c < 0 → zıt işaretli. b < 0 → büyük olan eksi.
4. +1 ve −6.
5. Sonuç: (x + 1)(x − 6).

ax² + bx + c Kalıbı — x'in Katsayısı 1 Değilse

Başkatsayı a ≠ 1 ise çapraz çarpım yöntemi şu şekilde genişler:

1. İlk sütuna ax²'nin çarpanlarını yaz (örn. 3x² için 3x · x).
2. İkinci sütuna c'nin çarpanlarını yaz.
3. Çapraz çarp (sağ üst × sol alt, sol üst × sağ alt) ve topla → b'yi vermeli.

Çözümlü Örnek 4 — 3x² − 10x − 8

1. 3x²: mecburen 3x · x (3 asaldır).
2. 8'in çarpanları: 1·8, 2·4.
3. Dene 3x ve x yanına 4 ve 2:
   • Çapraz: 3x · 2 = 6x; x · 4 = 4x.
   • Fark (c < 0): 6x − 4x = 2x. Olmadı.
4. Dene 3x yanına 2, x yanına 4:
   • Çapraz: 3x · 4 = 12x; x · 2 = 2x.
   • Fark: 12x − 2x = 10x. Uyuyor!
5. İşaret: c = −8 < 0 → zıt işaretli. Büyük olan 12x; b = −10 < 0 → büyük eksi. Yani 3x · 4 büyük çarpanı eksi → 3x yanına +2, x yanına −4.
6. Sonuç: (3x + 2)(x − 4).
7. Doğrulama: 3x · x − 3x · 4 + 2 · x − 2 · 4 = 3x² − 12x + 2x − 8 = 3x² − 10x − 8. ✓

Çözümlü Örnek 5 — Rasyonel İfade Sadeleştirme

Sadeleştir: (x² + 3x − 4) / (2x² − 5x − 3).

1. Pay: x² + 3x − 4 → 4·(−1): toplam 3. (x + 4)(x − 1).
2. Payda: 2x² − 5x − 3 → 2x·x; 3·1 dene. 2x·(−3) + x·(+1) = −6x + x = −5x. Uyuyor. (2x + 1)(x − 3).
3. Ortak çarpan yok → sadeleşme olmaz.
4. İfade sade hali: (x + 4)(x − 1) / [(2x + 1)(x − 3)].

Bazı ifadeler görünüşte karmaşık ama içinde tekrar eden bir yapı var. Bu yapıya a dersek, gözün alıştığı bir forma iner. Nagihan Hoca bu tekniği "alengirli ifadede harfe döndür" diye anlatıyor.

Çözümlü Örnek 1 — (x² − 4x)² − 8(x² − 4x) − 48

1. x² − 4x = a diyelim.
2. İfade: a² − 8a − 48.
3. Çarpanlara ayır: −12 · 4 = −48, toplam −8. (a − 12)(a + 4).
4. a'nın yerine geri yaz: (x² − 4x − 12)(x² − 4x + 4).
5. Her birini ayrı çarpanlara ayır:
   • x² − 4x − 12: −6 · 2 = −12, toplam −4. (x − 6)(x + 2).
   • x² − 4x + 4: tam kare. (x − 2)².
6. Tam hal: (x − 6)(x + 2)(x − 2)².

Çözümlü Örnek 2 — Üslü İfadede Değişken Atama

9ˣ − 36'yı çarpanlara ayır.

1. 9ˣ = (3ˣ)². 3ˣ = a diyelim → a² − 36.
2. İki kare farkı: (a − 6)(a + 6).
3. Yerine yaz: (3ˣ − 6)(3ˣ + 6).

Çözümlü Örnek 3 — Üslü-Değişken Denklem

2^(b² − a² + ab) = 32^(ab − a²) olduğuna göre 2a − b'nin alabileceği değer?

1. Sağ taraf: 32 = 2⁵. → 2⁵⁽ᵃᵇ⁻ᵃ²⁾ = 2^(5ab − 5a²).
2. Tabanlar eşit → üsler eşit. Eşitliği düzenle:
   b² − a² + ab = 5ab − 5a²
   → b² − 4ab + 4a² = 0.
3. Bu ifadeye bak: b² − 4ab + 4a². "Mı acaba tam kare?" → Birincinin karesi b²; çarpımların 2 katı 2 · b · 2a = 4ab; ikincinin karesi (2a)² = 4a². Evet, tam kare!
4. (b − 2a)² = 0 → b = 2a → 2a − b = 0.

Çözümlü Örnek 4 — Küçük Atama, Büyük Bilgi

1998 × 2000 − 1999² hesapla.

1. 1999 = a diyelim. 1998 = a − 1; 2000 = a + 1.
2. İfade: (a − 1)(a + 1) − a² = (a² − 1) − a² = −1.

Çözümlü Örnek 5 — İç İçe Kök Açılımı

(√5 + 1)³'ü hesapla.

1. Küp açılımı: (√5)³ + 3(√5)²·1 + 3(√5)·1² + 1³.
2. = 5√5 + 15 + 3√5 + 1.
3. = 8√5 + 16 = 8(√5 + 2).

Çözümlü Örnek 6 — Fonksiyon Üstü Açılım

f(x) = x³ − 3x² + 6x + 4 ise f(√5 + 1) kaçtır?

1. Fonksiyonu "açılımının bir parçası mı?" diye incele. x³ − 3x² + 3x − 1 aslında (x − 1)³'tür. Bizimki: x³ − 3x² + 6x + 4 = (x − 1)³ + 3x + 5 = (x − 1)³ + 3(x − 1) + 8.
2. x = √5 + 1 → x − 1 = √5.
3. Yerine yaz: (√5)³ + 3·√5 + 8 = 5√5 + 3√5 + 8 = 8√5 + 8.

Böyle soruları doğrudan yerine koyarak çözmek saatler sürer. Ama x − 1'e atama yaparsan birkaç dakikada biter.

ÖSYM'nin çok sevdiği bir soru tipi: "Aşağıdaki ifadenin en sade biçimi nedir?" Pay ve paydayı çarpanlara ayır, gidenleri götür, kalan sağları oku.

Tek Cümlelik Strateji

"Pay ve paydayı parça pinçik et, gidenleri götür."

Çözümlü Örnek 1 — (x² − 9) / (x² − 5x + 6)

1. Pay: iki kare farkı. (x − 3)(x + 3).
2. Payda: orta terim bölme. Çarpım 6, toplam −5 → −2 ve −3. (x − 2)(x − 3).
3. Ortak (x − 3)'ü götür.
4. Kalan: (x + 3) / (x − 2).

Çözümlü Örnek 2 — (ab + ac − ab − bc) / (ab − b²)... Karışık Form

İfade: (a² − b²) / (ab − b²).

1. Pay: iki kare farkı. (a − b)(a + b).
2. Payda: ortak b al. b(a − b).
3. Ortak (a − b)'yi götür.
4. Kalan: (a + b) / b.

Çözümlü Örnek 3 — (a²b + ab + a² + a) / (ab + a)

1. Pay: grupla. a²b + ab = ab(a + 1); a² + a = a(a + 1). Toplam: (a + 1)(ab + a) = (a + 1)·a(b + 1).
2. Payda: ortak a. a(b + 1).
3. Götür a(b + 1)'i: Kalan (a + 1).

Çözümlü Örnek 4 — Dörtlü Payda, İki Kare Farkı Destekli

Sadeleştir: (ab + ac − bc − c²) / (a² − c²).

1. Pay: 2'ye 2 grupla. a(b + c) − c(b + c) = (b + c)(a − c).
2. Payda: iki kare farkı. (a − c)(a + c).
3. Götür (a − c). Kalan: (b + c) / (a + c).

Çözümlü Örnek 5 — İki Küp Toplamı + İki Kare Farkı

Sadeleştir: [(x³ + 1) / (x² − 1)] ÷ [(x² − x + 1) / (2x + 2)].

1. Önce böleni ters çevir ve çarpıya dönüştür.
2. Pay 1: iki küp toplamı. x³ + 1 = (x + 1)(x² − x + 1).
3. Payda 1: iki kare farkı. x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
4. Pay 2 (ters çevrildi): 2x + 2 = 2(x + 1).
5. Payda 2 (ters çevrildi): x² − x + 1.
6. Tümü çarpım: [(x + 1)(x² − x + 1) / (x − 1)(x + 1)] · [2(x + 1) / (x² − x + 1)].
7. Gidenleri götür: (x² − x + 1)'ler, bir (x + 1)'ler.
8. Kalan: 2(x + 1) / (x − 1).

Sadeleştirmede Tanım Kümesi — ÖSYM Tuzağı

Sadeleştirme yaparken paydayı sıfır yapan x değerleri tanım kümesinin dışındadır. Sadeleşme olsa bile orijinal payda sıfır değerleri yasaktır. TYT sorularında bu "hangi x için tanımsızdır?" şeklinde karşına gelir.

Örnek: (x² − 1)/(x − 1) = x + 1, ama x = 1 tanımsız (orijinal payda sıfır).

Her ifade sonsuza kadar parçalanmaz. Bir noktada durmak gerekir. Hangi durumda "bu kadarı yeter" deriz?

Durma Kriterleri

• Reel sayı dünyasında iki kare toplamı (a² + b²) çarpanlara ayrılmaz. x² + 1, x² + 4, x² + 9 hepsi "duruyor" çarpanlar.
• Başka iki terimli ifadelerde de: x² + 5x + 10 gibi, orta terim bölmede ikili bulunamıyorsa reel sayılarda çarpanlara ayrılmaz.
• İki kare farkı, iki küp toplamı/farkı, tam kare, orta terim bölme uygulanamıyorsa ve ortak çarpan da yoksa → dur.

Çözümlü Örnek 1 — x² + 4

1. İki kare farkı değil (+).
2. Tam kare değil (orta terim eksik).
3. Reel sayıda çarpanlara ayrılmaz. Kompleks sayılarda (x + 2i)(x − 2i), ama TYT reel sayılarla çalışır.

Çözümlü Örnek 2 — x² − x + 1

1. Sabit terim 1; orta terim −1. Çarpanları 1·1 ya da −1·(−1). Toplamları 2 ya da −2. −1'i veremez.
2. Reel sayıda çarpanlara ayrılmaz. Aslında bu, iki küp toplamı açılımının bir parçası: a² − ab + b² formu.

Çözümlü Örnek 3 — x⁴ + 1

1. İlk bakışta çarpanlara ayrılmaz gibi. Ama trick var: x⁴ + 1 = x⁴ + 2x² + 1 − 2x² = (x² + 1)² − (√2 x)² = (x² − √2 x + 1)(x² + √2 x + 1).
2. Ama TYT'de bu seviyede zorlanmazsın. Genelde "reel sayılarda çarpanlara ayrılmaz" cevabı yeterli.

Modelleme Kontrolü

Modellemeli sorularda (tarla, çerçeve, prizma) son ifadeyi çarpanlarına ayırmak mümkün olmayabilir. O durumda genişletilmiş hali doğru cevap olabilir; seçeneklerde kare/fark/çarpım biçimini ara.

TYT'de çarpanlara ayırma, son yıllarda özellikle modelleme formuyla karşına çıkıyor. 2023 TYT'deki tarla + papatya sorusu klasik bir örnek. Bu tarz soruların üç adımı vardır:

1. Alanı/Uzunluğu yaz. Bütünden parçayı çıkar ya da parçaları topla.
2. Cebirsel olarak düzenle. Dağıt, topla, sadeleştir.
3. Çarpanlara ayır (eğer seçenek çarpım biçimindeyse) ve işaretle.

Çözümlü Örnek 1 — Katlanmış Kare

Kenar uzunluğu a olan bir kare Şekil 1'deki gibi, sonra Şekil 2'deki gibi ortadan katlanıp Şekil 3 elde ediliyor. Sonra iki köşeden kenar uzunluğu b/2 olan kareler kesilip atılıyor. Açıldığında kalan alan nedir?

1. İki kez katlama → açıldığında 4 × (b/2)² lik 4 kare çıkarılır? Hayır, simetri sebebiyle 8 tane çıkarılır (katlamanın her tekrarı için iki katına).
2. Kalan alan = a² − 8 · (b/2)² = a² − 8 · b²/4 = a² − 2b².
3. Seçenek çarpım biçimindeyse: a² − 2b² = a² − (√2 b)² = (a − √2 b)(a + √2 b).

Çözümlü Örnek 2 — 2023 TYT Kalıbı (Tarla + Papatya)

Kenar uzunlukları (x + 20) ve (2x + 30) olan dikdörtgen tarlanın bir kenarı x olan kare şeklinde bir alana ay çiçeği ekilmiş. Kalan kısmın alanı 1400 m². x kaçtır? (x bir uzunluk.)

1. Tam alan = (x + 20)(2x + 30). Ay çiçek alanı = x².
2. Kalan = tam − ay çiçek = (x + 20)(2x + 30) − x² = 1400.
3. Dağıt: 2x² + 30x + 40x + 600 − x² = 1400.
4. Sadeleştir: x² + 70x + 600 = 1400 → x² + 70x − 800 = 0.
5. Çarpanlara ayır: 800'in çarpanları 80·10, fark 70. (x + 80)(x − 10) = 0.
6. Kökler: x = −80 ya da x = 10. x uzunluk → x > 0 → x = 10.
7. Çevre: 2 · [(10 + 20) + (2·10 + 30)] = 2 · [30 + 50] = 160 m.

Çözümlü Örnek 3 — Üst Üste Gelen Kareler

Kenar uzunlukları 8, 9 ve x olan üç kare, birer köşeleri çakışacak biçimde verilmiş. Kırmızı (9) ve mor (8) kareler kaydırılıp sarı kareye (x) her iki kenardan 1 cm'lik kısım üst üste gelecek şekilde yerleştirildiğinde sarı bölgenin alanı?

1. Sarı bölge = büyük x karesi − (mor karenin tümü) − (kırmızı karenin, kesişen 1×1'lik kare çıkarılmış hali).
2. Mor = 8² = 64. Kırmızı − kesişim = 9² − 1 = 81 − 1 = 80.
3. Sarı = x² − 64 − 80 = x² − 144.
4. Seçenek çarpım biçimindeyse: x² − 144 = (x − 12)(x + 12).

Çözümlü Örnek 4 — Yol Uzunluğu Oranı

Üç dikdörtgen prizmanın kenar uzunlukları x, x² − 2 ve 2x + 3. Kırmızı yolun uzunluğu / yeşil yolun uzunluğu?

1. Kırmızı yol: 3(2x + 3) + 4x + 1 + (x² − 2 − x) = 6x + 9 + 4x + 1 + x² − 2 − x = x² + 9x + 8.
2. Yeşil yol: (2x + 3) + (x² − 2) = x² + 2x + 1.
3. Pay: x² + 9x + 8 = (x + 1)(x + 8).
4. Payda: x² + 2x + 1 = (x + 1)².
5. Oran: (x + 1)(x + 8) / (x + 1)² = (x + 8) / (x + 1).

Çözümlü Örnek 5 — İki Çerçevenin Kesişimi

İki özdeş kare çerçeve, kenarlarından biri üst üste gelecek şekilde konumlandırılıyor. Kare çerçevelerin dıştan kenar x, içten kenar y. Boyalı bölgenin alanı?

1. Her çerçevenin iç boyalı alanı: x² − y² (iki kare farkı).
2. Çarpanlara ayrılmış hali: (x − y)(x + y). Seçenekte genelde bu form vardır.

Sınav günü 30 saniyede ifadenin türünü tanımak için 10 akronim. Her ifadeyi gördüğünde önce akronimi söyle, sonra adımı uygula — bu refleks 1-2 net soru kazandırır.

Konuyu bitirdiğine göre, bu bölümde tüm stratejileri tek bir tabloya ve özet formül kartına topluyoruz. Sınav öncesi son tekrar için işaret.

Soru Tipi — Strateji Eşleştirmesi

Sınav Günü 4 Altın Adım

1. Tanı koy (5 sn): İki terim mi, üç terim mi, dört mü? Tam kare mi? Küp mü? Ortak çarpan var mı?
2. Önce ortak çarpan bak. Varsa hemen al.
3. Sonra özdeşlik tara (5 sn): İki kare/küp farkı, tam kare, küp açılımı... Mı acaba?
4. Son çare: orta terim/grup/atama.
5. Sağlama yap (5 sn): Bulduğun çarpımı dağıtıp orijinali elde ediyor musun?

Özet Formül Kartı

Sınav öncesi son tekrar için tek sayfa dizini: 6 ayırma yöntemi, tüm özdeşlikler ve AYT klasik tuzakları.

6 Ayırma Yöntemi (Sıra Önemli)

Özdeşlikler — TYT/AYT Çekirdek

• İki kare farkı: a² − b² = (a−b)(a+b) — 1998·2002 − 2000² gibi sayısal sorular
• Tam kare: (a±b)² = a² ± 2ab + b² — orta terim 2ab kontrolü hayati
• Küp toplam: a³ + b³ = (a+b)(a² − ab + b²)
• Küp fark: a³ − b³ = (a−b)(a² + ab + b²)
• Küp açılım: (a±b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³ — Pascal 1-3-3-1
• Üç terim karesi: (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2(ab+bc+ca)
• Özel küp: a³+b³+c³ − 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c² − ab−bc−ca); a+b+c = 0 ⇒ a³+b³+c³ = 3abc
• Sum & Diff: (a+b)² − (a−b)² = 4ab; (a+b)² + (a−b)² = 2(a²+b²)

Pisagor Üçlüleri (AYT Geometri ↔ Çarpanlara Ayırma Köprüsü)

• 3-4-5 ve katları (6-8-10, 9-12-15, 12-16-20)
• 5-12-13 ve katları (10-24-26)
• 8-15-17, 7-24-25, 20-21-29 — daha az sıklıkta ama AYT'de var

AYT Klasik Tuzakları

• İki kare toplamı yanılgısı: a² + b² reel sayılarda çarpanlara ayrılmaz. Sadece kompleks: (a+bi)(a−bi).
• (2x)² = 4x², sadece 2x² değil. Parantez katsayıyı da kapsar.
• x² − 5x + 6 vs x² − 5x − 6: İlki (x−2)(x−3); ikincisi (x+1)(x−6). Sabitin işaretine iki kez bak.
• Sadeleştirme yalnız çarpımda: (2+5)/(2+3) eşit değildir 5/3. Önce çarpım kılığına gir.
• Bölme = ters çevirip çarpma: A/B ÷ C/D = A/B · D/C. Sadeleştirme çarpıya geçtikten sonra.
• 4. ve 6. kuvvet: x⁴ − y⁴ = (x−y)(x+y)(x²+y²); x⁶ − y⁶ = (x−y)(x+y)(x²+xy+y²)(x²−xy+y²).
• Modellemede x > 0 koşulu: Uzunluk/alanı çarpanlara ayırırken negatif kök seçenek dışı.
• Katsayılar toplamı: Tüm değişkenlere 1 koy. (2x+y)³ ⇒ 3³ = 27.