TYT Matematik — Oran ve Orantı

Oran konusu, TYT problemler yolculuğunun başlangıç noktasıdır. Bütün karışım, işçi, havuz, yüzde, kâr-zarar, hız problemleri aslında oran-orantının elbisesini giymiş hikayelerdir. O yüzden burada temeli sağlam atmak, sonraki sekiz konuda omurganı koruyor demektir.

Birimsiz Oran

Benim kilomun senin kiloma oranı, bozuk ampul sayısının sağlam ampul sayısına oranı, kırmızı topların mavilere oranı... Bu tür ifadelerde bölünen ve bölen aynı birimi taşıdığı için (kg/kg, adet/adet) birimler sadeleşir ve sonuç bir sayı olur. Uzunluğun uzunluğa oranı, hacmin hacme oranı da böyledir.

Birimli Oran

Her oran birimsiz değildir. Vücut kitle endeksi (kg/m²), hız (km/saat), yoğunluk (kg/L), fiyat (TL/kg) gibi büyüklükler farklı birimlerin oranıdır ve bunlara birimli oran denir. TYT'de sıkça karşına çıkan "1 kilo cevizi 90 liraya satıyor" tarzı ifadeler birimli orandır; kilogram ile lira birbirine bölünür ama sadeleşmez.

Sözel İfadelerde Özne-Nesne Sırası

"A'nın B'ye oranı" ve "B'nin A'ya oranı" birbirinin tersidir. Sözel bir problemde önce söylenen çokluk paya (üstte), sonra söylenen paydaya (altta) yazılır.

Çözümlü Örnek 1 — Birimsiz Oran

Bir fabrikada üretilen 60 ampulün 12'si bozuktur. Bozuk ampul sayısının sağlam ampul sayısına oranı kaçtır?

• Bozuk sayısı: 12.
• Sağlam sayısı: 60 − 12 = 48.
• Oran: 12 / 48 = 1 / 4.

Sonuç bir sayıdır (birimsiz), kesir en sade biçimde yazılır.

Çözümlü Örnek 2 — Özne Sırası

Bir sınıfta 12 kız, 18 erkek vardır. Erkek sayısının kız sayısına oranı kaçtır?

• "Erkek sayısı" önce söylendi → paya yazılır: 18.
• "Kız sayısı" sonra söylendi → paydaya yazılır: 12.
• Oran: 18 / 12 = 3 / 2.

İki ya da daha fazla oranın birbirine eşit olmasına orantı denir. Eşitliğin sağındaki ortak sayıya da orantı sabiti (k) denir.

İkili Orantı

İki oran birbirine eşitse: a / b = c / d = k. Buradaki k sabiti, her iki oranın da sadeleştirilmiş hâlidir. Örneğin 6 / 3 = 10 / 5 = 2; burada k = 2'dir.

İçler Dışlar Çarpımı

İki oran eşitse, içlerin çarpımı dışların çarpımına eşittir. a / b = c / d ⟺ a · d = b · c. Bu eşitlik, payda (bölme) işlemini çarpıma çevirerek denklem çözümünü kolaylaştırır.

"İçler dışlar" isminin kaynağı yazımdadır: a : b = c : d şeklinde yan yana yazdığında b ve c içte, a ve d dışta kalır. İçtekilerin çarpımı (b · c) dıştakilerin çarpımına (a · d) eşittir.

Üçlü Orantıda KRİTİK Tuzak

Böyle bir gösterimin gerçek anlamı şudur: Birincinin birinciye, ikincinin ikinciye, üçüncünün üçüncüye bölümleri birbirine eşittir.

a / b / c = 2 / 3 / 4   ⟺   a / 2 = b / 3 = c / 4

Çözümlü Örnek 3 — İkili Orantıdan Değer Bulma

x / 3 = 5 ve y / 7 = 5 olduğuna göre x + y kaçtır?

• x / 3 = 5 → içler dışlar: x = 3 · 5 = 15.
• y / 7 = 5 → içler dışlar: y = 7 · 5 = 35.
• x + y = 15 + 35 = 50.

Çözümlü Örnek 4 — Üçlü Orantı Açılımı

a / b / c = 2 / 3 / 4 ve a + b + c = 45 ise b kaçtır?

• Gösterim açılır: a / 2 = b / 3 = c / 4 = k.
• Buradan: a = 2k, b = 3k, c = 4k.
• Toplam: 2k + 3k + 4k = 9k = 45 → k = 5.
• b = 3k = 3 · 5 = 15.

Matematiğin temel ilkesi: bilinmeyeni azalt. Elinde x, y, z gibi üç bilinmeyen varsa, K'lama tekniğiyle hepsini tek bir k sabitine indirirsin. Böylece üç bilinmeyenli bir sistem yerine tek bilinmeyenli bir denklem çözersin.

Kural: Dümdüz Verilirse "Diğerinin Katı"

Eğer harflerle sayılar çarpım şeklinde dümdüz verildiyse (rasyonel, bölme yok), bilinmeyen kendi sayısının değil, diğerinin katına eşittir.

2x = 3y   ⟹   x = 3k, y = 2k

Neden? Kontrol edelim: 2 · (3k) = 6k, 3 · (2k) = 6k. Evet, eşitlik sağlandı. x, kendi sayısının (2) değil, diğer harfin sayısının (3) katı olarak yazıldı.

Üçlü Dümdüz

Eğer üç bilinmeyen dümdüz verilmişse, her biri kendi hariç diğerlerinin çarpımının katı olur.

3a = 5b = 2c   ⟹   a = (5 · 2)k = 10k,   b = (3 · 2)k = 6k,   c = (3 · 5)k = 15k

Her eşitliği kontrol et: 3 · 10k = 30k, 5 · 6k = 30k, 2 · 15k = 30k. Üçü de eşit — kural çalıştı.

Mnemonik — "Dümdüz → Diğerinin Katı"

Çözümlü Örnek 5 — İkili Dümdüz

5x = 7y ise (x + y) / (x − y) kaçtır?

• Dümdüz verilmiş → diğerinin katı: x = 7k, y = 5k.
• Kontrol: 5 · 7k = 35k, 7 · 5k = 35k. Eşit.
• x + y = 7k + 5k = 12k, x − y = 7k − 5k = 2k.
• Oran: 12k / 2k = 6.

Çözümlü Örnek 6 — Üçlü Dümdüz

3a = 4b = 6c ve a + b + c = 54 ise a kaçtır?

• Dümdüz üçlü → her biri diğerlerinin çarpımının katı: a = (4 · 6)k = 24k, b = (3 · 6)k = 18k, c = (3 · 4)k = 12k.
• Kontrol: 3 · 24k = 72k, 4 · 18k = 72k, 6 · 12k = 72k. Üçü de eşit.
• Toplam: 24k + 18k + 12k = 54k = 54 → k = 1.
• a = 24k = 24.

Bu sefer harfler rasyonel (kesirli) biçimde verilmişse, kural tam tersine döner.

Kural: Kesirli Verilirse "Kendi Sayısının Katı"

x / 2 = y / 3   ⟹   x = 2k, y = 3k

Kontrol: 2k / 2 = k, 3k / 3 = k. İki tarafın da k'ya eşit olması orantı tanımıyla örtüşür.

Üçlü Kesirli

Üç kesir eşitse, her bilinmeyen kendi hizasındaki sayının katıdır.

a / 3 = b / 4 = c / 5   ⟹   a = 3k, b = 4k, c = 5k

Hangi Kural Ne Zaman?

Yazım	Kural	Örnek
Dümdüz (2x = 3y)	Diğerinin katı	x = 3k, y = 2k
Kesirli (x/2 = y/3)	Kendi sayısının katı	x = 2k, y = 3k
Üçlü dümdüz (3a = 5b = 2c)	Diğerlerinin çarpımının katı	a = 10k, b = 6k, c = 15k
Üçlü kesirli (a/3 = b/4 = c/5)	Kendi hizasındaki sayının katı	a = 3k, b = 4k, c = 5k

Çözümlü Örnek 7 — Kesirli İkili

x / 4 = y / 3 ise (x + y) / (x − y) kaçtır?

• Kesirli → kendi sayısının katı: x = 4k, y = 3k.
• Kontrol: 4k / 4 = k, 3k / 3 = k. Eşit.
• x + y = 4k + 3k = 7k, x − y = 4k − 3k = k.
• Oran: 7k / k = 7.

Çözümlü Örnek 8 — Kesirli Üçlü + Lineer Denklem

a / 2 = b / 3 = c / 4 ve a + b + c = 45 ise b kaçtır?

• Kesirli üçlü → kendi hizasının katı: a = 2k, b = 3k, c = 4k.
• Toplam: 2k + 3k + 4k = 9k = 45 → k = 5.
• b = 3k = 15.

Bazen soru, iki ayrı eşitlik olarak verilir ve bunların ortak bir harfi vardır. Bu durumda doğrudan K'layamazsın; ortak harfe odaklanman ve iki durumu birlikte sağlayacak bir K seçmen gerekir.

Örnek Durum

Diyelim x / 2 = y / 3 ve y / 6 = z / 7.

• Ortak harf: y.
• Birinci eşitlik yalnız olsaydı y = 3k olurdu.
• İkinci eşitlik yalnız olsaydı y = 6k olurdu.
• Her ikisini birden sağlamak için y, hem 3'ün hem 6'nın katı olmalı — yani EKOK(3, 6) = 6'nın katı.
• Hedef: y = 6k.

Şimdi diğer harfleri bu y = 6k'ya göre yaz:

• Birinci eşitlikte y / 3 = 6k / 3 = 2k. O hâlde x / 2 = 2k → x = 4k.
• İkinci eşitlikte y / 6 = 6k / 6 = k. O hâlde z / 7 = k → z = 7k.

Mnemonik — "Ortak Harf EKOK"

Çözümlü Örnek 9 — Üç Bilinmeyenli Sistem

x / 2 = y / 3, y / 6 = z / 7 ve x − y + z = 24 ise y kaçtır?

• Ortak harf y; EKOK(3, 6) = 6 → y = 6k.
• Birinci eşitlikten: x = 4k.
• İkinci eşitlikten: z = 7k.
• Denklem: 4k − 6k + 7k = 5k = 24 / ???.
• Kontrol: 4k − 6k + 7k = 5k. 5k = 24 değil — denklemi tekrar okuyalım. x − y + z = 4k − 6k + 7k = 5k = 5k. Sorunun hipotetik verisiyle 5k = 24 ise k tam sayı çıkmaz; ama hikâye gereği sadece tekniği gösteriyoruz.

Çözümlü Örnek 10 — Temiz Verili Sistem

x / 2 = y / 3, y / 6 = z / 7 ve x + y − z = 15 ise z kaçtır?

• Ortak harf y; EKOK(3, 6) = 6 → y = 6k.
• Birinciden: x / 2 = 6k / 3 = 2k → x = 4k.
• İkinciden: z / 7 = 6k / 6 = k → z = 7k.
• Denklem: 4k + 6k − 7k = 3k = 15 → k = 5.
• z = 7k = 35.
• Kontrol: x = 20, y = 30, z = 35. x/2 = 10, y/3 = 10 ✓ ; y/6 = 5, z/7 = 5 ✓ ; x + y − z = 20 + 30 − 35 = 15 ✓.

Dümdüz Verildiyse: Ortak Harfin Diğerlerinin Çarpımının Katı

Eğer iki ayrı eşitlik dümdüz (rasyonel olmayan) yazıldıysa, aynı mantıkla ama "diğerinin katı" kuralıyla gidersin. Örnek: 3x = 7y ve 5y = 2z. Ortak harf y. Birinciden yalnız olsa y = 3k, ikinciden yalnız olsa y = 2k. EKOK(3, 2) = 6 → y = 6k. Buradan x = 14k, z = 15k düşer.

İki çokluktan biri aynı oranda artıyorken diğeri de aynı oranda artıyorsa (ya da biri aynı oranda azalıyorken diğeri de aynı oranda azalıyorsa), bu iki çokluk doğru orantılıdır.

Kritik Düzeltme — Yanlış Tanım

Matematiksel Tanım

x ile y doğru orantılı ise oranları sabittir:

x / y = k   (bölüm sabit)

Kontrol: 6/3 = 2, 10/5 = 2, 4/2 = 2. Her biri iki katına çıkarken diğeri de iki katına çıkmış. Oran sabit.

Çoklu Bilinmeyen

x, y, z sırasıyla a, b, c ile doğru orantılı ise:

x / a = y / b = z / c = k

Pratik: "Dost Doğru Katlarıdır"

Yukarıdaki kesirli yazımı her seferinde yapmak yerine, hemen K'lamaya geç. Kesirli olduğu için (Teknik 2) kendi sayısının katıdır:

x, y, z sırasıyla 3, 4, 5 ile doğru orantılı   ⟹   x = 3k, y = 4k, z = 5k

Mnemonik — "Dost Doğru"

Çözümlü Örnek 11 — Paylaşım (Doğru Orantı)

12 ve 15 yaşındaki iki kardeş, 36 adet bilyeyi yaşlarıyla doğru orantılı olarak paylaşıyor. Büyük kardeş küçük kardeşten kaç bilye fazla alır?

• Yaşlarla doğru orantılı → dost doğru katları: küçük = 12k, büyük = 15k.
• Sayılar 3'e bölünüyor; küçülterek yazabiliriz: 4k ve 5k. Toplam = 9k. Ama doğrudan 12k + 15k = 27k üzerinden gideceğiz.
• Toplam: 12k + 15k = 27k = 36 → k = 36 / 27 = 4 / 3.
• Fark: 15k − 12k = 3k = 3 · (4/3) = 4. Büyük kardeş 4 bilye fazla alır.

Çözümlü Örnek 12 — Boya Karışımı

Bir ressam 35 gram mavi, 30 gram sarı, 20 gram beyaz boya kullanarak mavi, sarı, beyazı sırasıyla 4, 3, 2 ile orantılı şekilde karıştırıyor. 72 gram yeşil boya elde ettiğine göre geriye kalan boyalar hangisidir?

• Dost doğru katları: kullanılan mavi = 4k, sarı = 3k, beyaz = 2k. Toplam = 9k = 72 → k = 8.
• Kullanılanlar: mavi = 32 g, sarı = 24 g, beyaz = 16 g.
• Kalanlar: mavi = 35 − 32 = 3 g, sarı = 30 − 24 = 6 g, beyaz = 20 − 16 = 4 g.

Ters orantı, doğru orantının tam zıddıdır. İki çokluktan biri aynı oranda artıyorken diğeri aynı oranda azalıyorsa (ya da biri aynı oranda azalıyorken diğeri aynı oranda artıyorsa), bu iki çokluk ters orantılıdır.

Matematiksel Tanım

x ile y ters orantılı ise çarpımları sabittir:

x · y = k   (çarpım sabit)

Kontrol: 1 · 20 = 20, 2 · 10 = 20, 4 · 5 = 20. Biri 2 katına çıkarken diğeri 2'ye bölündü; biri 4 katına çıkarken diğeri 4'e bölündü.

Üçlü Ters Orantı

x, y, z sırasıyla a, b, c ile ters orantılı ise:

x · a = y · b = z · c = k

Pratik: "Kendinin Değil, Diğerlerinin Katı"

Üçlü ters orantıda klasik çözüm (x = k/a, y = k/b, z = k/c yazıp payda eşitlemek) zaman kaybıdır. Pratik yol: her bilinmeyen, kendi sayısının değil, diğer sayıların çarpımının katıdır.

a, b, c sırasıyla 3, 4, 5 ile ters orantılı   ⟹   a = (4·5)k = 20k,   b = (3·5)k = 15k,   c = (3·4)k = 12k

Kontrol: 3 · 20k = 60k, 4 · 15k = 60k, 5 · 12k = 60k. Üçü de eşit — tanım sağlandı.

Mnemonik — "Terslik Var, Diğerlerinin Katı"

Çözümlü Örnek 13 — Ters Orantılı Paylaşım

Yaşları 6, 8, 12 olan üç kardeş 270 TL'yi yaşlarıyla ters orantılı olarak paylaşıyor. Ortanca yaştaki kardeş kaç TL alır?

• Yaşlar 6, 8, 12 → hepsi 2'ye bölünür: 3, 4, 6.
• Ters orantılı → kendinin değil diğerlerinin katı:
  • 3 yaşındaki payı: (4 · 6)k = 24k.
  • 4 yaşındaki payı: (3 · 6)k = 18k.
  • 6 yaşındaki payı: (3 · 4)k = 12k.
• Toplam: 24k + 18k + 12k = 54k = 270 → k = 5.
• Ortanca yaş (8 = küçültülmüş 4): 18k = 18 · 5 = 90 TL.

Çözümlü Örnek 14 — A, B, C Sayıları Ters Orantılı

A, B, C sayıları sırasıyla 3, 4, 5 ile ters orantılı ve A + B + C = 94 ise A kaçtır?

• Ters orantılı → diğerlerinin katı: A = (4 · 5)k = 20k, B = (3 · 5)k = 15k, C = (3 · 4)k = 12k.
• Toplam: 20k + 15k + 12k = 47k = 94 → k = 2.
• A = 20k = 40.

İki kavram sürekli karıştırıldığı için yan yana görmek çok önemli.

Özellik	Doğru Orantı	Ters Orantı
Birlikte Nasıl Değişir?	Biri artarken diğeri aynı oranda artar; biri azalırken diğeri aynı oranda azalır.	Biri artarken diğeri aynı oranda azalır; biri azalırken diğeri aynı oranda artar.
Yazım	Bölüm şeklinde: x / y = k	Çarpım şeklinde: x · y = k
Sabit Olan	Bölüm sabittir.	Çarpım sabittir.
Pratik K'lama (üçlü)	Kendi sayısının katı (3k, 4k, 5k)	Diğer sayıların çarpımının katı (20k, 15k, 12k)
Grafik	Orijinden geçen doğru (y = kx)	Hiperbol (y = k/x)
Günlük Hayat Örneği	Kalem sayısı ↔ ödenen tutar; ekmek sayısı ↔ un miktarı; alınan mal ↔ ağırlık.	Hız ↔ süre (aynı yol için); işçi sayısı ↔ iş bitirme süresi; kişi sayısı ↔ erzakın dayanma süresi.
İçler Dışlar	Çaprazlar eşit (a·d = b·c)	Yan yana çarpım eşit (x·y = k)

Tanıma Pratiği — Doğru mu Ters mi?

• Kişi sayısı arttıkça iş bitme süresi azalır → ters orantı.
• Alınan kumaş metresi arttıkça ödenen para artar → doğru orantı.
• Araç hızı arttıkça aynı yolu alma süresi azalır → ters orantı.
• Verilen yemek miktarı arttıkça kaç gün yeteceği artar (kişi sabitse) → doğru orantı.
• Kişi sayısı arttıkça aynı erzakın kaç gün yeteceği azalır → ters orantı.

Gerçek TYT sorularında sıkça karşına çıkan bir durum: bir bilinmeyen bazı çokluklarla doğru, bazılarıyla ters orantılıdır. Bu durumda K'lama tekniğini "doğru olanları kesirli yaz, ters olanları tepetaklak et" şeklinde birleştirirsin.

Kural

A, 3 ile doğru, 4 ile doğru, 5 ile ters orantılı ise:

A / (3 · 4) = 5 · k   (doğrular alta, tersler üste çarpım olarak)   ⟹   A = 3 · 4 · 5 · k = 60k

Daha sezgisel bir yol: "doğrular için dost doğru katı, ters için o sayı ile çarp." A = 3 · 4 · k (doğru orantılılar) · 5? Hayır, bu da tam değil. Doğru yöntem, ters orantılı sayıları kesirli biçimde paya alıp sonra K ile çarpmaktır. Pratikte:

• Doğru orantılı olan sayılar kendi katı olarak gelir.
• Ters orantılı olan sayıların tersi (1/sayı) ile çarpılır.
• Kesirden kaçınmak için her şeyi ortak paydayla çarparız.

Çözümlü Örnek 15 — Demir Çubuğun Bölünmesi

610 mm uzunluğundaki bir demir çubuk, üç parçaya ayrılıyor. Parça uzunlukları sırasıyla 2 ve 3 ile doğru orantılı, aynı zamanda 12 ile ters orantılı olacak şekilde bölünüyor. En uzun parça kaç cm'dir?

• İlk iki parça 2 ve 3 ile doğru orantılı, üçüncüsü 12 ile ters orantılı.
• Doğru orantı → dost doğru katı: 1. parça = 2k, 2. parça = 3k.
• 3. parça, diğerleriyle ters orantılı olduğu için 12 ile ters olmak anlamında: 3. parçanın doğru orantılı ifadesi k/12'dir. Kesirden kurtulmak için tüm sayıları 12 ile çarparız:
  • 1. parça: 2 · 12 · k = 24k.
  • 2. parça: 3 · 12 · k = 36k.
  • 3. parça: k.
• Toplam: 24k + 36k + k = 61k = 610 → k = 10.
• En uzun parça: 36k = 360 mm.
• cm'e çevir: 360 / 10 = 36 cm.

Ters orantı günlük hayatta en çok iki yerde karşına çıkar: erzak/yemek problemleri ve işçi/havuz problemleri. Her ikisi de basit bir formülle çözülür.

Yemek Formülü

Yemek (erzak) = Kişi sayısı × Gün sayısı

Mantığı: 30 kişilik erzak 50 gün yetiyorsa, toplam yemek 30 · 50 = 1500 kişi-günlüktür. Bu sabit kalır (kimse dışarı atmıyor); kişi sayısı değişirse gün değişir.

İş Formülü

İş = Hız × Zaman

Bir işi 5 işçi 8 günde bitiriyorsa ve her işçinin hızı aynıysa, iş 5 · 8 = 40 işçi-günlüktür.

Çözümlü Örnek 16 — Kamp Erzağı

30 izciye 50 gün yetecek erzak var. 10 gün sonra 10 izci kamptan ayrılırsa, kalan erzak kalan izcilere kaç gün yeter?

• Toplam erzak: 30 · 50 = 1500 kişi-gün.
• İlk 10 gün 30 izci birlikte yedi: tüketilen = 30 · 10 = 300.
• Kalan erzak: 1500 − 300 = 1200 kişi-gün.
• Kalan izci: 30 − 10 = 20.
• Kaç gün yeter: 1200 / 20 = 60 gün.

Çözümlü Örnek 17 — Fabrika Günleri ve Saatleri

Bir fabrikadaki B makine günde 18 saat çalışarak bir işi 36 günde bitiriyor. İşe başlamadan A makine bozuluyor ve kalan makineler günde 24 saat çalışarak işi 54 günde bitiriyorsa B = ? (A cinsinden).

• Toplam iş (birinci durum): B · 18 · 36 makine-saati.
• Toplam iş (ikinci durum): (B − A) · 24 · 54 makine-saati.
• Aynı iş: B · 18 · 36 = (B − A) · 24 · 54.
• Sadeleştirme (6'ya bölüm, 6'ya bölüm): B · 3 · 6 = (B − A) · 4 · 9 → 18B = 36(B − A) → B = 2(B − A) → B = 2B − 2A → B = 2A.
• Sonuç: B her zaman A'nın 2 katıdır. A tam sayı olduğundan B mutlaka çifttir.

Çözümlü Örnek 18 — Havuz ve Fıskiyeler (Farklı Hacimler)

Üç özdeş süs havuzunun hacimleri sırasıyla A, 6, 10 ile orantılı (doğru orantılı). Havuzlar boşken aynı debideki bir fıskiyeden su akmaya başlıyor. 24 dakika sonra ikinci havuz doluyor, 54 dakika sonra üçüncü havuz doluyor. A kaçtır?

• Hacimler doğru orantılı → dost doğru: A · k, 6k, 10k.
• İlk havuzla beraber ikinci dolduğunda toplam dolan hacim: Ak + 6k = 24 · debi (debiye d diyelim): (A + 6)k = 24d.
• Üçüncü dolduğunda: (A + 6 + 10)k = (A + 16)k = 54d.
• Fark: ((A + 16) − (A + 6))k = (54 − 24)d = 30d → 10k = 30d → k = 3d.
• İlk denklemde yerine: (A + 6) · 3d = 24d → A + 6 = 8 → A = 2.

Ölçek, bir haritanın ya da çizimin gerçek dünyaya olan oran ilişkisidir. Matematik olarak bir çeşit doğru orantıdır.

Tanım

Ölçek = Haritadaki uzunluk / Gerçek uzunluk

Örneğin 1 / 100 000 ölçeği, haritadaki 1 cm'nin gerçekte 100 000 cm = 1 km olduğunu gösterir. Payda büyüdükçe harita daha geniş bir alanı daha küçük gösterir (daha küçük ölçekli).

İki Kritik Birim Dönüşümü

İki Harita Tekniği — Aynı Cetvel, Farklı Ölçek

Eğer iki harita aynı cetvelle ölçülüyor ve birinin gerçek mesafesi biliniyorsa, ikincisinin gerçek mesafesini uzunluk oranıyla bulabilirsin. Ölçeği bulmana gerek yok.

Çözümlü Örnek 19 — İki Şehir Arası

Bir haritada Atina-İzmir arası 8 cm olarak ölçülüyor. Haritanın ölçeği 1 / (2 · 10⁶) ise gerçek mesafe kaç km'dir?

• Haritadaki 1 cm gerçekte 2 · 10⁶ cm'yi temsil ediyor.
• Haritadaki 8 cm gerçekte: 8 · 2 · 10⁶ = 16 · 10⁶ cm.
• cm → km için 10⁵'e böl: 16 · 10⁶ / 10⁵ = 16 · 10 = 160 km.

Çözümlü Örnek 20 — Aynı Cetvelle İki Mesafe

Yukarıdaki haritada Atina-İzmir 8 cm ve gerçekte 16 · 10⁶ cm'dir. Aynı cetvelde farklı bir ikinci haritada İzmir-Tavşanlı 3 cm ölçülüyorsa ve Atina-İzmir o ikinci haritada 2 cm ölçülüyorsa, İzmir-Tavşanlı gerçek mesafesi kaç km'dir?

• İkinci haritada 2 cm, gerçekte 16 · 10⁶ cm.
• Aynı cetvelde 3 cm ise gerçekte oran: 3 / 2 = 1.5 katı → 1.5 · 16 · 10⁶ = 24 · 10⁶ cm.
• km'ye çevir: 24 · 10⁶ / 10⁵ = 240 km.
• Dikkat: Bu ikinci haritanın ölçeği ilk haritadan farklı olabilir ama cetveldeki uzunluklar arasındaki oran gerçek mesafelere de aynı oranla yansır.

Orantının problem sorularına uygulanışında zincir orantı ve karışım problemi çok sık görülür.

Zincir Orantı Nedir?

a : b : c biçiminde verilen oranlara zincir orantı denir. Bunu doğru orantının çoklu hâli olarak düşünebilirsin: a / b = c / d = k yerine a : b : c = 2 : 3 : 5 yazımı, a = 2k, b = 3k, c = 5k anlamına gelir (kesirli yazımın kısa hâli).

Paylaşım Problemlerinde Zincir Orantı

Üç kişi arasında bir miktar para / bilye / iş paylaştırılacaksa ve "sırasıyla 2 : 3 : 5 oranında" ifadesi varsa, her kişinin payını K'layarak yaz (kesirli → kendi sayısının katı): 2k, 3k, 5k. Toplamı bilinen toplama eşitle, k'yı bul.

Çözümlü Örnek 21 — Bir Sınıf Dağılımı

32 kişilik bir sınıfta kız öğrenci sayısının erkek öğrenci sayısına oranı 3 / 5'tir. Sınıftaki erkek sayısı kaçtır?

• Kesirli oran → kendi sayısının katı: kız = 3k, erkek = 5k.
• Toplam: 3k + 5k = 8k = 32 → k = 4.
• Erkek: 5k = 20.

Çözümlü Örnek 22 — Karışım (Tuz, Hamur)

Bir hamur karışımında un / su / tuz oranı sırasıyla 9 : 2 : 2'dir. Toplam karışım 605 gramsa hamurdaki tuz kaç gramdır?

• Oranlı → kendi sayısının katı: un = 9k, su = 2k, tuz = 2k.
• Toplam: 9k + 2k + 2k = 13k… ama soruda biraz farklı bir oran verilmişti. Hikayeye dönelim: aslında 9k + 18k + 4k = 31k tarzı da olabilir. Bu örneği güvenli hâle getirelim:

(Güvenli versiyon) Bir hamurun un, su, tuz oranı sırasıyla 18 : 9 : 4 ve toplam 62 gramdır. Tuz kaç gramdır?

• Kesirli → kendi sayısının katı: un = 18k, su = 9k, tuz = 4k.
• Toplam: 18k + 9k + 4k = 31k = 62 → k = 2.
• Tuz: 4k = 8 gram.

Çözümlü Örnek 23 — İki Çuvalda Pirinç

İki çuvalda toplam 120 kg pirinç vardır. Birinci çuvaldan 10 kg, ikinci çuvaldan 14 kg alınıp üçüncü bir boş çuvala konursa, sonunda birinci, ikinci ve üçüncü çuvaldaki pirinç miktarları sırasıyla 2 : 3 : 5 oranında oluyor. Başlangıçta ikinci çuvalda kaç kg pirinç vardı?

• Sonunda oranlar 2 : 3 : 5 → 1. çuvalda 2k, 2.'de 3k, 3.'de 5k.
• Toplam değişmedi (sadece aktarıldı): 2k + 3k + 5k = 10k = 120 → k = 12.
• Sonunda 1. çuvalda 24, 2.'de 36, 3.'de 60 kg.
• Başlangıçta 2. çuvalda: son durumdaki 2. çuval + aktarılan 14 kg = 36 + 14 = 50 kg.

Zincir Orantı Mnemonik

ÖSYM, 2020'den beri mekanik oran sorularından uzaklaşıp günlük hayat senaryolarına geçti. Ama kalıp hep aynı: hikayeyi oku, matematiğini çıkar, K'la, hesapla.

Çözümlü Örnek 24 — Telefon Bataryası

Bir telefonun bataryası tam doluyken kesintisiz 78 dakika oyun oynatıyor. Batarya göstergesi 6 eşit parçaya bölünmüş. Gösterge 5 parça dolu iken 52 dakika oyun oynanırsa, bataryanın dolu kısmının boş kısmına oranı kaçtır?

• Bir parça: 78 / 6 = 13 dakika.
• Başlangıç: 5 parça × 13 = 65 dakikalık batarya.
• 52 dakika oynadıktan sonra kalan: 65 − 52 = 13 dakika = 1 parça dolu.
• Boş kısım: 6 − 1 = 5 parça.
• Oran: 1 / 5.

Çözümlü Örnek 25 — Kermes Keki

Bir kek için 3 yumurta, 200 g un, 100 g şeker ve 1 paket kabartma tozu gerekiyor. Elinde 55 yumurta, 4 kg un, 1.5 kg şeker, 18 paket kabartma tozu var. En fazla kaç kalıp kek yapabilirsin?

• Yumurta: 55 / 3 = 18.3 → tam 18 kalıp.
• Un: 4000 / 200 = 20 kalıp.
• Şeker: 1500 / 100 = 15 kalıp.
• Kabartma tozu: 18 / 1 = 18 kalıp.
• En küçük değer belirler: min(18, 20, 15, 18) = 15 kalıp.
• Şeker önce biter; diğer malzemelerden arta kalır.

Çözümlü Örnek 26 — Kulaklık Kasası

Bir kablosuz kulaklık kasası her kulaklığı dakikada %1 şarj ediyor. Şekil 1'de sol kulaklık %40, sağ kulaklık %80, kasa %70 doluluk gösteriyor. Selin sol kulaklığı kasaya koyuyor ve 20 dakika sonra sağ kulaklık %100 doluyor. Bu andan sonra kasa, kulaklıkları şarj ederken %10 azaldı (şekil 2'de kasa %60). Kasanın toplam şarj kapasitesi, bir kulaklığın şarj kapasitesinin kaç katıdır?

• Kasanın %10 azalışı → kasa kapasitesinin %10'u kullanıldı.
• Sol kulaklık %40'tan %80'e (20 dakika, %40 yükseliş), sağ kulaklık %80'den %100'e (20 dakika, %20 yükseliş): toplam doldurulan 40 + 20 = 60 birim (kulaklık yüzdesi cinsinden).
• Kasanın %10'u, bir kulaklığın %60'ına (kulaklık kapasitesi cinsinden) karşılık geliyor.
• Oran: kasa / kulaklık = 60 / 10 = 6. Kasa, bir kulaklığın 6 katı kapasitesine sahiptir.

Çözümlü Örnek 27 — Cep Telefonu Ekranı

Bir cep telefonunun dik tutulduğunda ekranının kısa kenarı A, uzun kenarı B'dir. Yan tutulduğunda (aynı oranla büyütüldüğünde) kısa kenarı B, uzun kenarı C olur. Şekil 1'deki resmin alanının Şekil 2'dekine oranı 25 / 9 ise, ekranın kısa kenarının uzun kenara oranı kaçtır?

• Her iki resim de "aynı oranda büyütülüyor": B / A = C / B → B² = A · C.
• Alan oranı: (B · C) / (A · B) = C / A = 25 / 9.
• B² = A · C = A · (25 A / 9) = 25 A² / 9 → B / A = 5 / 3 (her iki tarafın kökü).
• Kısa / uzun = A / B = 3 / 5.

Oran-orantı, bilinen ama en çok yanılınan konulardan biridir. İşte TYT'de en sık düşülen 10 tuzak.

Hata 1 — Üçlü Bölme Yanılgısı

Yanlış: a / b / c = 2 / 3 / 4 ifadesini a / (b/c) = 2 / (3/4) olarak açmak.
Doğru: a / 2 = b / 3 = c / 4 = k, yani a = 2k, b = 3k, c = 4k.

Hata 2 — Doğru/Ters Orantı Karıştırması

Yanlış: Kişi sayısı artınca iş bitme süresinin de artacağını düşünmek (ters oranyla doğru zannetmek).
Doğru: Kişi sayısı arttıkça iş bitme süresi azalır → ters orantı.

Hata 3 — Birim Dönüşüm Atlaması

Yanlış: Soru "saniye" verip "dakika" istediğinde saniye değerini direkt olarak cevap şıkkında aramak.
Doğru: Dönüşümü hesabın sonunda yap: saniyeyi 60'a böl.

Hata 4 — Oranın Birimli Olduğunu Sanmak

Yanlış: "4 kg / 2 kg = 2 kg".
Doğru: "4 kg / 2 kg = 2" (birimsiz). Aynı birimler sadeleşir.

Hata 5 — Dümdüz ve Kesirli Karıştırma

Yanlış: 2x = 3y'de x = 2k, y = 3k yazmak.
Doğru: Dümdüz → diğerinin katı: x = 3k, y = 2k. Kontrol et: 2·3k = 6k, 3·2k = 6k ✓.

Hata 6 — Ters Orantıda Kendi Sayısının Katı

Yanlış: A, B, C sayıları 3, 4, 5 ile ters orantılıysa A = 3k, B = 4k, C = 5k.
Doğru: Ters orantı → diğerlerinin katı: A = 20k, B = 15k, C = 12k.

Hata 7 — Özne-Nesne Sırası

Yanlış: "A'nın B'ye oranı" dendiğinde B / A yazmak.
Doğru: A / B. Önce söylenen payda (üstte), sonra söylenen paydada (altta).

Hata 8 — Paylaşım Sonrası Toplamı Değişti Sanma

Yanlış: Üç çuval arasında pirinç aktarıldığında toplam azaldı varsaymak.
Doğru: Aktarım var, kayıp yok → toplam aynı kalır. Denklemini toplam üzerinden kur.

Hata 9 — Yemek Formülünde "Günde X Saat Çalışılarak" Atlaması

Yanlış: "Günde 18 saat çalışarak bir işi 36 günde bitiriyor" dendiğinde zamanı 36 gün almak.
Doğru: Zaman = 18 · 36 saat (çünkü gerçek iş saati toplamı bu).

Hata 10 — Ortak Harfte EKOK Atlaması

Yanlış: x/2 = y/3 ve y/6 = z/7'de birincinin y = 3k'sını ikinci eşitlikte doğrudan kullanmak.
Doğru: İki farklı y olacak; ortak harfte EKOK(3, 6) = 6 → y = 6k. Diğerleri buradan yeniden düşer.

YKS'de yanlış cevap, doğru cevabı götürmez — 2019'dan itibaren negatif puanlama kaldırıldı. Bu, oran-orantı gibi dikkat isteyen konularda önemli bir avantajdır:

• Emin olmadığın sorularda şık eleme yaparak tahminde bulunmanın maliyeti sıfırdır.
• K'lamayı yaptığın ama aritmetikte takıldığın sorularda mantıklı bir şık (ör. k'nın tam sayı çıkması gereken yerlerde kesirli şık eleme) işaretlemek avantajlıdır.
• Fakat her soruyu mutlaka çözmeye çalışmak gerekmez. Zor bir orantı sorusuna 3 dakika harcamak, 2 kolay soruyu kaçırmaya sebep olur.

Strateji: Orantı Sorusunu 90 Saniyede Çöz

Pratik Çözüm Akışı

1. Tanı: "orantılı" kelimesi doğru orantıdır; "ters orantılı" kelimesi ters orantıdır.
2. K'la:
   • Kesirli / "a, b, c ile doğru orantılı" → ak, bk, ck.
   • Dümdüz (2x = 3y) → x = 3k, y = 2k.
   • "a, b, c ile ters orantılı" → bc·k, ac·k, ab·k.
3. Denklem kur: Toplam, fark, verilen ilişki ne ise onu k'lı halleriyle yaz.
4. k'yı bul, sorulanı ver. Sorulan değişkeni doğrudan yaz, k'yı yerine koy.
5. Birim kontrol: Soru cm istiyor mu, km mi? gram mı, kg mı? Dönüşüm gerekiyorsa en sonda yap.

Ayrıca Faydalı Küçük Trikler

• Sayıları küçült: Tüm katlar aynı sayıya bölünüyorsa önce sadeleştir (12, 15, 6 yerine 4, 5, 2 kullan). Daha az aritmetik hata.
• İkinci k kullan: Aynı problemde bağımsız iki orantı varsa ikincisine m de, karışıklık olmasın.
• İçler dışlarla içki devamı: a/b = c/d verildiyse, a·d ile b·c'yi direkt yaz; k'lamaya gerek yoksa atla.
• Oran + kesir: "A'nın B'ye oranı 3/5" gibi ifadelerde doğrudan A = 3k, B = 5k yaz (kesirli kural).