TYT Matematik — Mutlak Değer

Mutlak değer, aslında tek bir kelimeyle özetlenebilir: uzaklık. Bir sayının sayı doğrusunda sıfıra (başlangıç noktasına) olan uzaklığına o sayının mutlak değeri denir. Uzaklık fiziki bir büyüklüktür; metre, kilometre, birim neyse o... Ve uzaklık asla negatif olamaz. Okula olan uzaklığın "eksi 3 km" olabilir mi? Olamaz. Yerin dibine mi ineceksin? İşte mutlak değerin en temel özelliği buradan doğar.

Cebirsel (Parçalı) Tanım — Harfli İfadeler İçin Zorunlu

Sayısal ifadelerde "mutlak değer pozitif çıkar" demek genelde işe yarar: |−5| = 5, |3| = 3. Ama harfli ifadelerde bu mantık tehlikeli bir tuzaktır. Çünkü bir harfin işareti bilinmez — pozitif, negatif ya da sıfır olabilir. Bu yüzden mutlak değerin parçalı tanımı öğrenilmek zorundadır:

|a| = a   (eğer a ≥ 0 ise)     ve     |a| = −a   (eğer a < 0 ise)

Sözel olarak: "Mutlak değerin içi pozitif ya da sıfırsa olduğu gibi çıkar. Negatifse eksi ile çarpılıp çıkar." Bu tanımı anlamak şu iki özdeyişle kolaylaşır:

• "Mutluysan mutlu kal": Mutlak değerin içi zaten pozitif ise dışarı aynen çıkar — hiçbir şey yapmazsın.
• "Mutsuzsan seni mutlu ederim": Mutlak değerin içi negatif ise bir "−" sana veririm, böylece pozitife dönersin.

En Büyük Hata: "Mutlak Değer Pozitif Çıkar" Yanılgısı

Hani bir öğrenci |−2a| ifadesini açarken "önünde eksi var, mutlak değer pozitif çıkarır, demek ki 2a olur" diyor ya? İşte bu tipik ilkokul alışkanlığı tuzağıdır. a harfinin kendisi negatif olabilir — o zaman −2a pozitif olur ve aynen dışarı çıkar. Ya da a pozitif ise −2a negatif olur, eksi ile çarpıp çıkarsın. Yani içerideki ifadenin işaretini bilmeden asla dışarı çıkaramazsın.

İşaret Tespiti — Üç Altın Pratik

Mutlak değerin içini açarken üç basit pratiği uygula:

1. Büyükten küçük = pozitif. Büyük bir sayıdan küçüğünü çıkardığında sonuç pozitiftir (örn: 5 − 3 = 2).
2. Küçükten büyük = negatif. Küçük bir sayıdan büyüğünü çıkardığında sonuç negatiftir (örn: 3 − 5 = −2).
3. Köklülerde: Karelerini mukayese et. Hangi köklü sayı daha büyük bilmiyorsan karesini al ve karşılaştır. √5 ile 3 → karesi 5 ve 9 → 3 daha büyük. Dolayısıyla |√5 − 3| küçükten büyük çıktı, içi negatif → |√5 − 3| = 3 − √5.

Çözümlü Örnek — Klasik "İki Harf, İşaret Analizi"

a < 0 < b olmak üzere |−2a| + |5a| ifadesinin eşiti nedir?

1. a < 0 verildiği için −2a pozitif, 5a negatiftir.
2. |−2a|: içi pozitif → aynen çıkar → −2a.
3. |5a|: içi negatif → eksi ile çarpıp çıkar → −5a.
4. Toplam: −2a + (−5a) = −7a.
5. a negatif olduğu için −7a pozitif bir değerdir (sonucun pozitif olması uzaklık mantığıyla uyumlu).

Mutlak değerle ilgili bir avuç temel özellik vardır; bunlar soru çözümünün her aşamasında kullanılır. Ezberlemek yerine nedenini anlamak daha kalıcıdır.

Özellik Tablosu

Özellik	Formül	Açıklama
Negatiflik Yasağı	|a| ≥ 0	Daima sıfır ya da pozitiftir.
Ters İşaret Eşitliği	|a| = |−a|	İçi negatiflenirse mutlak değer değişmez.
Çarpma	|a · b| = |a| · |b|	Mutlak değer çarpmaya dağılır.
Bölme	|a / b| = |a| / |b|   (b ≠ 0)	Payda sıfır olamaz.
Kare Özelliği	|a|² = a²	Kare alma zaten işareti yok eder.
Kök ile Mutlak Değer	√(a²) = |a|	Kare kökten çıkan daima pozitiftir.
Üçgen Eşitsizliği	|a + b| ≤ |a| + |b|	Eşitlik sadece aynı işaretliyse.
Ters Üçgen Eşitsizliği	||a| − |b|| ≤ |a + b|	|a + b|, |a| ile |b|'nin farkının mutlak değerinden küçük olamaz. Üst ve alt sınır birlikte: ||a|−|b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|.
Toplamaya Dağılmaz	|a + b| ≠ |a| + |b| (genel)	Çarpma ve bölmeye dağılır, toplamaya dağılmaz.

Tuzak #1: "Mutlak Değer Toplamaya Dağılır"

Öğrencilerin en sık yaptığı hata budur. Toplamaya dağılmaz! Örnekle gör:

Tuzak #2: Bölmede "Her Zaman Eşittir" Denemez

|x − y| / |x² − 2xy + y²| gibi bir ifadede paydayı sıfır yapan değer çözümden çıkarılmalıdır. x = y olduğunda payda sıfır olur, ifade tanımsızdır. Rasyonel ifadede her zaman payda ≠ 0 kontrolü yapılır.

Çözümlü Örnek — Her İkisi de Doğru mu?

Her x, y reel sayıları için |−x| · |−y| = |x| · |y| eşitliği her zaman doğru mudur?

1. |−x| = |x| (ters işaret özelliği).
2. |−y| = |y|.
3. Sol taraf: |x| · |y|.
4. Sağ taraf: |x| · |y|.
5. Sol = Sağ → her zaman doğru.

Çözümlü Örnek — En Küçük Değer Sorusu

|2x − 6| + |a + 4| ifadesinin en küçük değeri kaçtır? (a reel sayı)

1. Her iki mutlak değer ayrı ayrı en az sıfır olabilir.
2. En küçük toplam: 0 + 0 = 0.
3. Bu durum 2x − 6 = 0 → x = 3 ve a + 4 = 0 → a = −4 olduğunda gerçekleşir.

TYT'de sık çıkan bir soru kalıbı: "|a − 5| + (2b + 4)²= 0 olduğuna göre a, b değerlerini bulun." Bu tip sorularda kritik mantık şudur: Sadece eksi olamayan terimlerin toplamı.

Eksi Olamayan Üç Yapı

Matematikte aşağıdaki üç ifade asla negatif olamaz:

1. Mutlak değer: |f(x)| ≥ 0
2. Çift kuvvet: (f(x))² ≥ 0, (f(x))⁴ ≥ 0, ...
3. Çift dereceli kök: √(f(x)) ≥ 0, ⁴√(f(x)) ≥ 0, ...

Sıfır Toplamı Kuralı

Bu üç tür ifadenin toplamı sıfıra eşitse, tek bir yol vardır: her biri ayrı ayrı sıfır olmalı. Çünkü pozitif sayılar toplanarak sıfır elde edilemez; eksiler de olmadığı için kimse kimseyi götüremez.

Çözümlü Örnek 1

|a − 5| + |2b + 4| = 0 olduğuna göre |a − b| kaçtır?

1. İki mutlak değer toplamı sıfır → her biri sıfır.
2. a − 5 = 0 → a = 5.
3. 2b + 4 = 0 → b = −2.
4. |a − b| = |5 − (−2)| = |7| = 7.

Çözümlü Örnek 2 — İç İçe Mutlak Değerli Versiyon

||a − 5| + |2b + 4|| = 0 olduğuna göre |b − a| kaçtır?

1. En dıştaki mutlak değerin içi sıfır olmalı.
2. |a − 5| + |2b + 4| = 0 → yine iki mutlak değer toplamı sıfır.
3. a = 5, b = −2.
4. |b − a| = |−2 − 5| = |−7| = 7.

Mutlak değerli denklemlerin en temel formu |f(x)| = c şeklindedir. Çözüm stratejisi c'nin işaretine göre değişir — ilk iş sağ tarafı kontrol etmektir.

Durum Tablosu

Durum	Çözüm	Kök Sayısı
c > 0	f(x) = c veya f(x) = −c	2 kök
c = 0	f(x) = 0	1 kök
c < 0	Çözüm yok (mutlak değer negatif olamaz)	0 kök

Çözümlü Örnek 1 — Klasik Denklem

|3x − 2| = 7 denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?

1. Sağ taraf 7 > 0 → içeri girebiliriz.
2. Durum 1: 3x − 2 = 7 → 3x = 9 → x = 3.
3. Durum 2: 3x − 2 = −7 → 3x = −5 → x = −5/3.
4. Çarpım: 3 · (−5/3) = −5.

Kökler Toplamı Pratiği — "2 · (İçi Sıfır Yapan Değer)"

Çarpım istense bulmak gerekir ama toplam istenirse pratik yol var:

İspat: Neden 2·a?

|x − a| = b şeklindeki bir denklemde (b > 0):

1. x − a = b → x = a + b.
2. x − a = −b → x = a − b.
3. Kökler toplamı: (a + b) + (a − b) = 2a.

Böylece b'nin değeri hiç önemli değil — kökler toplamı sadece içi sıfır yapan değere bağlı.

Çözümlü Örnek 2 — Pratik Yolu Uygulayalım

|2x − 6| = 4 denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?

1. İçi sıfır yap: 2x − 6 = 0 → x = 3.
2. Toplam = 2 · 3 = 6.
3. Sağlama (klasik yol): 2x − 6 = 4 → x = 5, 2x − 6 = −4 → x = 1. Toplam: 5 + 1 = 6. ✓

İç İçe Mutlak Değer — Dıştan İçe Yaklaşım

||2x − 4| − 5| = 7 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?

1. Önce dış mutlak değeri aç. Sağ taraf pozitif → içi 7 veya −7 olabilir.
2. Durum A: |2x − 4| − 5 = 7 → |2x − 4| = 12.
3. Durum B: |2x − 4| − 5 = −7 → |2x − 4| = −2 → çözüm yok (mutlak değer negatif olamaz).
4. Durum A devam: 2x − 4 = 12 → x = 8, 2x − 4 = −12 → x = −4.
5. Kökler toplamı: 8 + (−4) = 4.
6. Pratik yol: tek geçerli iç denklem |2x − 4| = 12'in köklerinin toplamı = 2 · 2 = 4 ✓

İki tarafı da mutlak değerli olan denklemlerin çözümü yalnızca iki duruma dayanır:

|f(x)| = |g(x)|   ⇔   f(x) = g(x)   veya   f(x) = −g(x)

Neden Sadece Bu İki Durum?

İki sayının mutlak değerleri eşitse ya sayıların kendileri eşittir ya da birbirinin tam tersidir. Üçüncü bir seçenek yoktur. Örnek: |5| = |−5| — çünkü 5 = 5 veya 5 = −(−5) mantığıyla.

Çözümlü Örnek 1

|2x − 1| = |x + 3| denkleminin köklerini bulun.

1. Durum 1: 2x − 1 = x + 3 → x = 4.
2. Durum 2: 2x − 1 = −(x + 3) → 2x − 1 = −x − 3 → 3x = −2 → x = −2/3.
3. Çözüm kümesi: {−2/3, 4}.

Çözümlü Örnek 2 — Ortak Çarpan Yakalama

TYT'de sık karşılaşılan bir tuzak: mutlak değerler içinde ortak çarpan vardır ve görmeden çözmeye çalışırsan kaybedersin. |6 − 2x| + |5x − 15| = 8 denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?

1. Birinci mutlak değerde 2 ortak çarpan: |6 − 2x| = |2(3 − x)| = 2·|3 − x|.
2. İkinci mutlak değerde 5 ortak çarpan: |5x − 15| = |5(x − 3)| = 5·|x − 3|.
3. Dikkat: |3 − x| = |−(x − 3)| = |x − 3| (ters işaret özelliği).
4. Denklem: 2·|x − 3| + 5·|x − 3| = 8 → 7·|x − 3| = 8.
5. |x − 3| = 8/7.
6. Kökler toplamı = 2 · 3 = 6.

Özel Durum — Her x İçin Doğru

|x − 2| = |2 − x| denkleminin çözüm kümesi nedir?

İçler birbirinin tam tersidir: 2 − x = −(x − 2). Dolayısıyla mutlak değerleri daima eşittir. Çözüm kümesi: bütün reel sayılar.

Çözümlü Örnek 3 — Sistem: İki Mutlak Değerli Denklem

a ve b reel sayıları için |a − b| = 3 ve |a| + |b| = 5 olduğuna göre |a · b|'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

1. Durum ayrımı: |a| + |b| = 5 koşulu, a ve b'nin işaretine göre dört alt duruma düşer. Ama üçgen eşitsizliğinin tersi |a − b| ≤ |a| + |b| → 3 ≤ 5 sağlanıyor; sistem tutarlı.
2. Aynı işaretli: a, b ≥ 0 alırsak |a| + |b| = a + b = 5 ve |a − b| = |a − b| = 3 → a − b = ±3.
3. a + b = 5, a − b = 3 → a = 4, b = 1 → |a · b| = 4.
4. a + b = 5, a − b = −3 → a = 1, b = 4 → |a · b| = 4.
5. Zıt işaretli: a ≥ 0, b < 0 alırsak |a| + |b| = a − b = 5 ve |a − b| = a − b = 5. Ama koşul |a − b| = 3 diyor → 5 ≠ 3, çelişki → bu alt durumda çözüm yok.
6. Benzer şekilde a, b ≤ 0 alt durumunda da aynı işlem yapılır; simetri gereği yine |a · b| = 4 çıkar.
7. Sonuç: |a · b|'nin alabileceği en büyük (tek) değer 4'tür.

İki (veya daha fazla) mutlak değerin birbirine eklendiği denklemlerin çözümü için aralıklara ayırma yöntemi kullanılır. Her mutlak değerin içini sıfır yapan noktayı bul, sayı doğrusunu bu kritik noktalara göre aralıklara böl, her aralıkta mutlak değerleri uygun şekilde aç.

Yöntem — Adım Adım

1. Kritik noktalar: Her mutlak değerin içini sıfır yapan x değerlerini bul.
2. Sayı doğrusunu aralıklara ayır: Kritik noktalar sayı doğrusunu parçalara böler.
3. Her aralıkta: O aralıkta mutlak değerlerin içi pozitif mi negatif mi belirle, ona göre aç.
4. Denklemi çöz: Çıkan x değerinin aralığa uyup uymadığını mutlaka kontrol et.

Çözümlü Örnek 1 — Klasik Soru

|x − 1| + |x| = 5 denkleminin çözüm kümesini bulun.

Adım 1: Kritik Noktalar

• x − 1 = 0 → x = 1
• x = 0 → x = 0

Adım 2: Üç Aralık

Kritik noktalar 0 ve 1. Sayı doğrusu üç aralığa bölünür:

• Aralık A: x < 0
• Aralık B: 0 ≤ x < 1
• Aralık C: x ≥ 1

Adım 3: Her Aralıkta Aç

Aralık	|x−1| =	|x| =	Denklem	Çözüm
A: x < 0	−(x−1) = 1−x	−x	(1−x) + (−x) = 5	−2x = 4 → x = −2 ✓ (aralıkta)
B: 0 ≤ x < 1	1−x	x	(1−x) + x = 5 → 1 = 5	Çözüm yok ✗
C: x ≥ 1	x−1	x	(x−1) + x = 5	2x = 6 → x = 3 ✓ (aralıkta)

Çözüm kümesi: {−2, 3}.

Çözümlü Örnek 2 — Geometrik Yorum İle Kısa Yol

|x − 1| + |x + 2| = 5 denkleminin çözüm kümesi nedir?

Geometrik yorum: |x − 1| = x'in 1'e uzaklığı. |x + 2| = x'in −2'ye uzaklığı. Bir x noktasının 1 ve −2'ye uzaklıkları toplamı 5 ise — 1 ve −2 arası zaten 3 birim. Demek ki x, bu iki noktanın ya dışında ya da üzerinde olmalı; aralık içinde olsaydı toplam tam olarak 3 olurdu.

Parçalı çözüm (x = 1 ve x = −2 kritik noktaları):

• x < −2: (1−x) + (−(x+2)) = 5 → 1 − x − x − 2 = 5 → −2x = 6 → x = −3 ✓
• −2 ≤ x < 1: (1−x) + (x+2) = 5 → 3 = 5 ✗
• x ≥ 1: (x−1) + (x+2) = 5 → 2x = 4 → x = 2 ✓

Çözüm kümesi: {−3, 2}.

Özel Sonuç: Uzaklıklar Toplamı Minimum

|x − a| + |x − b| ifadesinin en küçük değeri, a ve b'nin arasındaki uzaklık kadardır.

Örnek: |x − 1| + |x + 2| — en küçük değeri |1 − (−2)| = 3. Bu minimum, x değeri 1 ile −2 arasındaki herhangi bir noktada (dahil) olduğunda elde edilir.

Mutlak değerli eşitsizlikler iki temel kural üzerine kuruludur. Hocanın klasik formülasyonu: "Mutlak değeri görme, yöne ve sayıya dokunma" — bunu sloganlaştırdığında eşitsizlikleri 15 saniyede çözebilirsin.

Kural 1 — Küçüktür: Kelebek Açılım

|f(x)| < a   ⇔   −a < f(x) < a   (a > 0 olmak koşuluyla)

Neden kelebek? Mutlak değer küçüktür eşitsizliği içi iki sınır arasında sıkıştırır. a ile −a, tam ortadan uçan bir kelebeğin iki kanadı gibidir. Aynı kural ≤ için de geçerlidir.

Slogan yorumu: "Mutlak değeri görme, yöne dokunma. Buraya bu sayının eksilisini koyabiliyor musun? (−5 < 5 mi?) Evet. O zaman koy ve bitti: −a < f(x) < a."

Kural 2 — Büyüktür: Kuş Açılım

|f(x)| > a   ⇔   f(x) < −a   veya   f(x) > a

Neden kuş? Mutlak değer büyüktür eşitsizliği içi iki dış bölgeye fırlatır. Kuş iki kanadını iki yana açar gibi. Aynı kural ≥ için de geçerlidir.

Slogan yorumu: "Mutlak değeri görme, yöne dokunma. Buraya bu sayının eksilisini koyabiliyor musun? (−5 > 5 mi?) Hayır! Ama yine de koymalısın. Birlikte koyamıyorsan ayrı koy: f(x) < −a veya f(x) > a."

Kontrol: a Pozitif mi?

Her iki kuralı uygularken önce a'nın pozitif olup olmadığını kontrol et:

• |x| < −2: Mutlak değer −2'den küçük olamaz (zaten 0'dan büyük). Çözüm yok.
• |x| > −2: Mutlak değer her zaman ≥ 0, −2'den büyük. Tüm reel sayılar.
• |x| < 0: Çözüm yok.
• |x| ≤ 0: Sadece x = 0.
• |x| ≥ 0: Tüm reel sayılar.
• |x| > 0: x ≠ 0 olan tüm reel sayılar.

Çözümlü Örnek 1 — Kelebek (Küçüktür)

|x − 3| < 4 eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?

1. Kelebek açılım: −4 < x − 3 < 4.
2. Her tarafa 3 ekle: −1 < x < 7.
3. Tam sayılar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 — 7 sayı.
4. Toplam: 0+1+2+3+4+5+6 = 21.

Çözümlü Örnek 2 — Kuş (Büyüktür)

|2x − 5| > 7 eşitsizliğinin en küçük pozitif tam sayı ile en büyük negatif tam sayı çözümünün toplamı kaçtır?

1. Kuş açılım: 2x − 5 < −7 veya 2x − 5 > 7.
2. Durum 1: 2x < −2 → x < −1.
3. Durum 2: 2x > 12 → x > 6.
4. Çözüm: x < −1 veya x > 6.
5. En büyük negatif tam sayı: −2 (çünkü x < −1, yani −1 değil, ondan küçük).
6. En küçük pozitif tam sayı: 7 (çünkü x > 6, yani 6 değil, ondan büyük).
7. Toplam: 7 + (−2) = 5.

Aralıktaki Tam Sayı Sayma Pratiği

Bir aralıkta kaç tam sayı var sorusu için pratik kurallar:

Aralık Türü	Tam Sayı Adedi
a < x < b (ikisi de hariç)	b − a − 1
a ≤ x ≤ b (ikisi de dahil)	b − a + 1
a < x ≤ b veya a ≤ x < b	b − a

TYT İpucu: Eşitsizlik çözerken "−" ile çarptığın ya da böldüğün her adımda eşitsizliğin yönü değişir. Mutlak değerli eşitsizlikleri açtıktan sonra bu kuralı uygulamayı unutma.

Bazı sorularda mutlak değerli ifade iki pozitif sayı arasına sıkıştırılır: a < |f(x)| < b gibi. Bu tarz sorular max ve min verilerek veya uzaklık hikayeleriyle gelir. Çözüm aynı "yöne ve sayıya dokunma" mantığıyla yapılır ama iki eşitsizlik aynı anda çözülür.

Genel Yöntem

Her iki taraftaki sınırın pozitif olduğuna emin ol, sonra mutlak değerli ifadeyi olduğu gibi ve eksi ile çarpılarak iki farklı eşitsizliğe dök:

a < |f(x)| < b   ⇒   (a < f(x) < b)   veya   (a < −f(x) < b)

Çözümlü Örnek 1 — En Az / En Çok Uzaklık

Sayı doğrusu üzerinde 3x − 2 sayısının başlangıç noktasına (0'a) olan uzaklığı en az 4, en çok 10 birimdir. x'in alabileceği tam sayı değerleri sayısı kaçtır?

1. "En az 4, en çok 10" → 4 ≤ |3x − 2| ≤ 10.
2. Pozitif sayı aralığı olduğu için iki duruma ayır:
3. Durum A: 4 ≤ 3x − 2 ≤ 10 → 6 ≤ 3x ≤ 12 → 2 ≤ x ≤ 4. Tam sayılar: 2, 3, 4 → 3 adet.
4. Durum B: 4 ≤ −(3x − 2) ≤ 10 → 4 ≤ −3x + 2 ≤ 10 → 2 ≤ −3x ≤ 8 → −8/3 ≤ x ≤ −2/3. Tam sayılar: −2, −1 → 2 adet.
5. Toplam: 3 + 2 = 5 farklı tam sayı.

Çözümlü Örnek 2 — Eşitsizlik Sistemleri

Şu eşitsizlik sisteminin çözüm kümesindeki x tam sayılarının toplamı kaçtır?

|x − 3| < 5   ve   |x − 5| ≤ 3

1. Birinci eşitsizlik — kelebek: −5 < x − 3 < 5 → −2 < x < 8.
2. İkinci eşitsizlik — kelebek: −3 ≤ x − 5 ≤ 3 → 2 ≤ x ≤ 8.
3. Kesişim: 2 ≤ x < 8. (Birincide 8 yok, ikincide yok eşitlik; birincide 2 var, ikincide var.)
4. Tam sayılar: 2, 3, 4, 5, 6, 7 — 6 adet.
5. Toplam: 2+3+4+5+6+7 = 27.

Orta Nokta ± Yarım Aralık Tekniği (ÖSYM'nin Kalıbı)

Bir aralığı mutlak değerli eşitsizlikle ifade etmen gerektiğinde ÖSYM'nin sevdiği pratik yol var:

Neden İşe Yarar?

Mutlak değer uzaklıktır. |x − m| ≤ r → x noktasının m'ye uzaklığı en fazla r. Bu demek oluyor ki x, m − r ile m + r arasındadır — yani tam olarak a ile b arası.

Çözümlü Örnek 3 — 2022 TYT Tarzı Paraşüt Sorusu

Güvenli iniş için yerden yükseklik 300 m ile 400 m arasında olmalı. Bu aralığı mutlak değerli eşitsizlikle ifade edin.

1. Orta nokta: (300 + 400) / 2 = 350.
2. Yarım aralık: (400 − 300) / 2 = 50.
3. Eşitsizlik: |x − 350| ≤ 50.

Çözümlü Örnek 4 — 2022 TYT Cetvel Sorusu (Uyarlama)

Başlangıç durumu: Alt cetvelin sol ucu sayı doğrusunda 0, sağ ucu 12 noktasında. P noktası alt cetvelin sağ ucundadır (yani başlangıçta P = 12). Üst cetvel, alt cetvelin üstüne tam çakışık olarak konumlandırılmış; R noktası üst cetvelin sağ ucundadır ve başlangıçta yine R = 12 (yani başlangıçta PR = 0).

Şimdi üst cetveli yatay olarak kaydırıyoruz; sola doğru en fazla 8 cm, sağa doğru en fazla 4 cm. P hareketsiz (alt cetvelde sabit), ama R hareket ediyor. P ile R arasındaki uzaklık |PR|, üst cetvelin kaydırma miktarına eşittir.

1. Üst cetvel x cm sağa kaydırıldığında: R = 12 + x, P = 12 → |PR| = x. En büyük: x = 4 → |PR| = 4.
2. Üst cetvel y cm sola kaydırıldığında: R = 12 − y, P = 12 → |PR| = y. En büyük: y = 8 → |PR| = 8.
3. Dolayısıyla |PR|'nin alabileceği değer aralığı: 0 ≤ |PR| ≤ 8 (sola kaydırma baskın).
4. Not: Bu örnekte tek yönlü hareket olduğu için orta nokta tekniğine gerek yok; ancak gerçek ÖSYM kalıbında iki farklı uzunluk söz konusudur (örn. "iki cetvelin görünen toplam uzunluğu"). Genel yöntem hâlâ aynı: max = 8, min = 0 → orta nokta m = (8 + 0)/2 = 4, yarım aralık r = (8 − 0)/2 = 4 → ||PR| − 4| ≤ 4.

TYT'de mutlak değer sorularının önemli bir kısmı sözel (edebî) hikâyelerden matematik diline çeviri gerektirir. Bu çeviri aslında basittir; "cümlenin matematik sözlüğünü" öğrenmek yeter.

Mini Sözlük — Edebiyattan Matematiğe

Sözel Kalıp	Matematiksel Karşılığı
"x ile y arasındaki"	x − y
"Uzaklık"	Mutlak değer: | |
"x'in y'ye uzaklığı"	|x − y|
"x'in başlangıç noktasına uzaklığı"	|x|
"En az a birim"	≥ a
"En çok a birim"	≤ a
"a'dan fazla"	> a
"a'dan az"	< a

Çözümlü Örnek 1 — Sayı Uzaklık Sorusu

x sayısının 6'ya olan uzaklığı, x'in −3'e olan uzaklığının 2 katıdır. Bunu mutlak değerli denklemle ifade edin.

1. "x ile 6'nın arasındaki uzaklık" → |x − 6|.
2. "x ile −3'ün arasındaki uzaklık" → |x − (−3)| = |x + 3|.
3. Birincinin 2 katına eşit: |x − 6| = 2 · |x + 3|.

Çözümlü Örnek 2 — Dört Duyduğun Uzaklıklar

x'in 0'a uzaklığı için dört klasik yorum:

• |x| = x'in sıfıra uzaklığı.
• |x − 5| = x'in 5'e uzaklığı.
• |x + 1| = |x − (−1)| = x'in −1'e uzaklığı.
• |2x − 6| = |2(x − 3)| = 2 · |x − 3| = x'in 3'e uzaklığının 2 katı.

Çözümlü Örnek 3 — Saat Farkı Sorusu (2021 TYT Tarzı)

A, B, C kentlerindeki yerel saatler arasında sabit farklar var. A ile B arasındaki saat farkı 4, B ile C arasındaki saat farkı 3 saattir. A kentinde saat 14:00'ken C kentinde saat aşağıdakilerden hangisi olamaz?

Seçenekler: A) 7    B) 11    C) 13    D) 15    E) 21

1. |A − B| = 4, A = 14 → B = 14 ± 4 → B ∈ {10, 18}.
2. |B − C| = 3 → C = B ± 3.
3. Tüm olası C değerlerini dört dal olarak hesapla:
   • B = 10, C = B − 3 = 7 → olası.
   • B = 10, C = B + 3 = 13 → olası.
   • B = 18, C = B − 3 = 15 → olası.
   • B = 18, C = B + 3 = 21 → olası.
4. Olası C kümesi: {7, 13, 15, 21}.
5. Şıkları kontrol et:
   • A) 7 → kümede var, mümkün.
   • B) 11 → kümede yok, mümkün değil.
   • C) 13 → kümede var, mümkün.
   • D) 15 → kümede var, mümkün.
   • E) 21 → kümede var, mümkün.
6. Cevap: B) 11 — C = 11 olabilmesi için B = 8 ya da B = 14 olmalıydı; ikisi de B ∈ {10, 18} kümesine uymuyor.

Çözümlü Örnek 4 — Sayı Doğrusu ve İki Yön

Bir öğrenci sayı doğrusunda −6 noktasında. Artan yönde x birim gidince A noktasına, azalan yönde aynı x birim gidince B noktasına ulaşıyor. Bu bilgiye göre A + B kaçtır?

1. Artan yönde x: A = −6 + x.
2. Azalan yönde x: B = −6 − x.
3. Toplam: A + B = (−6 + x) + (−6 − x) = −12.

"İfadenin en büyük/en küçük değeri nedir?" sorularında mutlak değerin temel mantığı devreye girer: mutlak değer en az 0 olabilir. Bu bilgiyi kullanarak bu tarz soruları saniyeler içinde çözebilirsin.

Hızlı Karar Tablosu

İfade	En Küçük Değer	En Büyük Değer
|f(x)|	0 (f(x)=0 olunca)	Sınırsız (+∞)
|f(x)| + c	c	Sınırsız
c − |f(x)|	Sınırsız (−∞)	c (f(x)=0 olunca)
−|f(x)|	Sınırsız	0
|f(x) − a| + |f(x) − b|	|a − b| (f(x) a'ya ve b'ye arasında)	Sınırsız

Çözümlü Örnek 1 — Toplama Sorusu

|x − 4| + 7 ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

1. |x − 4| en az 0 olabilir (x = 4'te).
2. Ekleme: 0 + 7 = 7.
3. En küçük değer: 7.

Çözümlü Örnek 2 — Çıkarma Sorusu

5 − |2x − 4| ifadesinin en büyük değeri kaçtır?

1. Çıkarılan kısım (|2x − 4|) ne kadar küçük olursa sonuç o kadar büyük olur.
2. |2x − 4| en az 0 olabilir (x = 2'de).
3. En büyük: 5 − 0 = 5.

Çözümlü Örnek 3 — İki Mutlak Değer Toplamı

|x − 1| + |x − 5| ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

1. İki noktanın uzaklıkları toplamı en az |1 − 5| = 4'tür.
2. Bu minimum, x değeri 1 ile 5 arasındaki herhangi bir noktada (dahil) olduğunda sağlanır.
3. En küçük değer: 4.

Çözümlü Örnek 4 — Üç Mutlak Değer Toplamı

|x − 1| + |x − 3| + |x − 7| ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

1. Üç kritik nokta: 1, 3, 7. Ortanca: 3.
2. Kural: Tek sayıda mutlak değer varsa minimum ortancada sağlanır.
3. x = 3 için: |3 − 1| + |3 − 3| + |3 − 7| = 2 + 0 + 4 = 6.
4. En küçük değer: 6.

Çözümlü Örnek 5 — a ile −|f(x)| Birleşimi

10 − |x + 2| − |x − 5| ifadesinin en büyük değeri kaçtır?

1. Çıkarılan kısım: |x + 2| + |x − 5|.
2. Bu kısmın en küçük değeri: |(−2) − 5| = 7 (x [−2, 5] aralığında).
3. En büyük sonuç: 10 − 7 = 3.

Mutlak değerli ifadeler aslında parçalı fonksiyonlardır. Bu bakış açısı hem grafik çizimini hem de denklem/eşitsizlik çözümünü kolaylaştırır.

y = |x| Grafiği

y = |x| fonksiyonu V şeklindedir:

• x ≥ 0 için y = x (sağ kol, 45° yukarı).
• x < 0 için y = −x (sol kol, 45° yukarı).
• Tepe noktası: orijin (0, 0).

y = |x − a| + b Grafiği — Öteleme

Bu grafik y = |x|'in a birim sağa, b birim yukarı kaydırılmış halidir:

• Tepe noktası: (a, b).
• En küçük y değeri: b.
• a ve b'nin işaretine göre öteleme yönü değişir.

Çözümlü Örnek

y = |x − 3| + 2 fonksiyonunun tepe noktası ve en küçük y değeri nedir?

• Tepe: (3, 2).
• En küçük y: 2 (x = 3'te).

y = −|x| ve Türevleri

Başındaki "−" işareti grafiği x eksenine göre yansıtır. y = −|x| ters V şeklindedir (aşağı bakan):

• En büyük y: 0.
• y = c − |x − a| grafiği de aşağı bakan V'dir; en büyük y = c (x = a'da).

Denklemin Kök Sayısı — Grafiksel Yaklaşım

|x − a| = k denkleminin kök sayısı, y = |x − a| grafiği ile y = k yatay doğrusunun kaç noktada kesiştiğine bakılarak bulunur:

k değeri	Kök sayısı	Geometrik yorum
k > 0	2	Yatay çizgi V'yi iki noktada keser
k = 0	1	Yatay çizgi V'nin tepesine dokunur
k < 0	0	Yatay çizgi V'yi hiç kesmez

İki Parçalı Açılımla Çözme

Bir fonksiyonu parçalı olarak yazıp sonra çözmek bazen klasik yoldan daha hızlıdır. Örnek:

f(x) = |x − 2| − |x + 1| fonksiyonunu parçalı yaz.

1. Kritik noktalar: x = 2 ve x = −1.
2. Aralıklar: x < −1, −1 ≤ x < 2, x ≥ 2.

Aralık	|x−2|	|x+1|	f(x)
x < −1	2 − x	−x − 1	(2−x) − (−x−1) = 3
−1 ≤ x < 2	2 − x	x + 1	(2−x) − (x+1) = 1 − 2x
x ≥ 2	x − 2	x + 1	(x−2) − (x+1) = −3

Mutlak değer, TYT'de öğrencilerin en sık işaret hatası yaptığı konulardan biridir. Aşağıdaki altı hata, çıkmış sorularda öğrencilerin puan kaybettiği klasik noktalardır. Her birinde neden yanlış olduğunu ve doğrusunu gör.

Hata 1 — Harfli İfadede Körü Körüne "Pozitif" Yazmak

Yanlış: |−2a| gördüğünde "mutlak değer pozitif çıkarır" deyip doğrudan 2a yazmak.

Doğru: Önce a'nın işaretini bilmen gerekir. a < 0 ise −2a > 0 → aynen çıkar: |−2a| = −2a. a > 0 ise −2a < 0 → eksi ile çarpıp çıkar: |−2a| = 2a.

Hata 2 — |x| = a (a < 0) Durumunda Hâlâ İki Duruma Ayırmak

Yanlış: |x| = −3 denklemini görünce x = −3 veya x = 3 diye iki durum yazmak.

Doğru: Mutlak değer daima ≥ 0 olduğu için negatif bir sayıya eşit olamaz → çözüm yok. İlk refleks sağ tarafın işaretini kontrol etmek olmalı.

Hata 3 — Kelebek ve Kuş Açılımını Karıştırmak

Yanlış: |x| > 5 için −5 < x < 5 yazmak (ki bu tam tersidir).

Doğru: Küçüktür → arasına (−a < x < a, kelebek). Büyüktür → dışına (x < −a veya x > a, kuş). Slogan: "Küçük küçülür, büyük dışa fırlar."

Hata 4 — Parçalı Çözümde Aralık Kontrolünü Atlamak

Yanlış: Bir aralıkta çıkan x değerini aralığa uymasa bile çözüm kümesine eklemek.

Doğru: Her bulduğun x'i yeniden kontrol et: "Bu x değeri, hangi aralıkta çözümü yaptığım aralığın içinde mi?" Örnek: x < 0 aralığında çözüm x = 3 çıktıysa bu geçerli değildir, at.

Hata 5 — |x − a| = |a − x| Olduğunu Unutmak

Yanlış: |x − 2| = |2 − x| denklemini iki farklı durum olarak çözmeye çalışıp "iki kök var" sanmak.

Doğru: |a − b| = |b − a| her zaman doğrudur (ters işaret özelliği). Dolayısıyla |x − 2| = |2 − x| denkleminin çözümü tüm reel sayılardır.

Hata 6 — Eşitsizlikte Yön Değişimini Atlamak

Yanlış: −2x > 6 eşitsizliğini x > −3 olarak çözmek (negatifle bölerken yön değişmesi unutulmuş).

Doğru: Her iki tarafı −2 ile böldüğünde eşitsizliğin yönü terse döner: x < −3. Mutlak değerli eşitsizliği açtıktan sonra da bu kuralı ihmal etme.

Mutlak değer konusunu çalışırken karşılaşacağın soru tiplerini ve her biri için uygulaman gereken stratejiyi tek bir tabloda topladık. Bu tabloyu sınav öncesi son tekrar için kullan.

Soru Tipi — Strateji Eşleştirmesi

Soru Tipi	Strateji	Süre Tahmini
Sayısal hesap (|−5| + |3|)	Her mutlak değeri ayrı hesapla, topla.	15 sn
Harfli açılım (|−2a| + |5a|, a<0)	Her harfin işaretini belirle, parçalı tanımla aç.	30 sn
|f(x)| = c, kökler toplamı	İçi sıfır yapan değerin 2 katı.	15 sn
|f(x)| = c, kökler çarpımı	İki duruma ayır, ayrı ayrı çöz, çarp.	30 sn
|f(x)| = |g(x)|	f=g veya f=−g.	30 sn
Ortak çarpanlı mutlak değer	Paranteze al, içler birbirinin eksilisi mi kontrol et.	30 sn
|f(x)| + |g(x)| = c	Parçalı tanım / aralıklara ayır / geometrik yorum.	60 sn
|f(x)| < c (kelebek)	−c < f(x) < c.	15 sn
|f(x)| > c (kuş)	f(x)<−c veya f(x)>c.	30 sn
Sıfır toplamı (|a| + (b)² = 0)	Her biri ayrı ayrı sıfır.	15 sn
En büyük/en küçük değer	Mutlak değer 0 yap, toplama/çıkarma mantığı.	20 sn
Uzaklık yorumlu sözel	Edebi ifadeyi |x−a| kalıbına dök.	45 sn
Orta nokta ± yarım (paraşüt/cetvel)	Max, min bul, |x−m|≤r yaz.	60 sn
Eşitsizlik sistemi	Her eşitsizliği ayrı çöz, sayı doğrusunda kesişim.	60 sn

Sınav Günü 4 Altın Adım

1. Tanı koy (3 sn): Denklem mi, eşitsizlik mi, sözel mi? İç içe mutlak değer var mı? Toplam formu mu?
2. Sağ tarafı kontrol et (2 sn): Mutlak değer bir sayıya eşitse veya bir sayıdan küçük/büyük ise sağ tarafın işareti önce kontrol edilir.
3. Kısa yol var mı bak (5 sn): Kökler toplamı → 2 · (içi sıfır yapan değer). En küçük değer → mutlak değer sıfır yap. Ortak çarpan → paranteze al.
4. Sağlama yap (5 sn): Bulduğun değeri orijinal ifadeye koy. 5 saniyelik kontrol yanlış işaretleme riskini sıfırlar.

Özet Formül Kartı

İfade	Sonuç
|x| = a (a>0)	x = ±a
|x| = a (a<0)	Çözüm yok
|x − a| = k köklerinin toplamı	2a
|f(x)| = |g(x)|	f=g veya f=−g
|x| < a	−a < x < a
|x| > a	x < −a veya x > a
|x − a| + |x − b| min	|a − b|
|a · b|	|a| · |b|
|a / b| (b≠0)	|a| / |b|
|a + b| üçgen eşitsizliği	≤ |a| + |b|
√(a²)	|a|
Aralığın |x−m|≤r hali	m = (a+b)/2, r = (b−a)/2