TYT Matematik — Basit Eşitsizlikler

Bir denklem iki ifadenin birbirine eşit olduğunu söyler (2x − 3 = 5 gibi). Bir eşitsizlik ise iki ifadeden birinin diğerinden büyük ya da küçük olduğunu söyler. Denklemde tek bir değer çıkar, eşitsizlikte ise bir aralık elde edilir — sayı doğrusunda bir dilim.

Dört Eşitsizlik Sembolü

• <: Kesin küçüktür (eşitlik yok). Sayı doğrusunda içi boş daire (○).
• >: Kesin büyüktür (eşitlik yok). İçi boş daire (○).
• ≤: Küçük eşit (eşitlik var). İçi dolu daire (●).
• ≥: Büyük eşit (eşitlik var). İçi dolu daire (●).

Aralık Gösterimi — Parantezlerin Dili

Bir aralığı belirtirken parantez türü çok önemlidir: yuvarlak parantez ( ) sınırı dışlar, köşeli parantez [ ] sınırı içerir. Aralık yazılırken soldaki sayı küçük, sağdaki sayı büyük olmak zorundadır — asla (5, 2) yazma, (2, 5) doğrudur.

Eşitsizlik	Aralık	Açıklama
a < x < b	(a, b)	Açık aralık. İki uç da hariç.
a ≤ x ≤ b	[a, b]	Kapalı aralık. İki uç da dahil.
a ≤ x < b	[a, b)	Yarı-açık. Sol uç dahil, sağ uç hariç.
a < x ≤ b	(a, b]	Yarı-açık. Sol uç hariç, sağ uç dahil.

Çözümlü Örnek 1 — Aralıkları Eşitsizliğe Çevir

[−2, 5) aralığı hangi eşitsizlikle ifade edilir?

1. Sol uç köşeli → −2 dahil → −2 ≤ x.
2. Sağ uç yuvarlak → 5 hariç → x < 5.
3. Birleştir: −2 ≤ x < 5.

Çözümlü Örnek 2 — Eşitsizliği Aralığa Çevir

x > 3 koşulu sayı doğrusunda nasıl gösterilir?

1. 3'te eşitlik yok → içi boş daire (○).
2. 3'ten büyük tüm sayılar → ok sağa doğru sonsuza.
3. Aralık: (3, +∞).

"Bu aralıkta kaç tane tam sayı var?" sorusu TYT'de sabit kalıptır. Tek tek saymaya gerek yok; dört kural üzerinden pratik yoldan bulunur.

Kural — Büyükten Küçüğü Çıkar, Sonra Eşitliği Kontrol Et

Temel mantık: a ile b arasında (a < b) kaç tam sayı olduğunu bulmak için b − a hesapla, sonra uçların dahil olup olmadığına göre 1 ekle, 1 çıkar veya aynen bırak.

Aralık Türü	Tam Sayı Adedi	Örnek
[a, b] (ikisi de dahil)	b − a + 1	[1, 5]: 5 − 1 + 1 = 5 (1,2,3,4,5)
(a, b) (ikisi de hariç)	b − a − 1	(1, 5): 5 − 1 − 1 = 3 (2,3,4)
[a, b) veya (a, b]	b − a	[1, 5): 5 − 1 = 4 (1,2,3,4)

Çözümlü Örnek 1

−3 ≤ x ≤ 4 aralığında kaç tam sayı vardır?

1. Sınırlar: a = −3, b = 4. İkisi de dahil.
2. b − a + 1 = 4 − (−3) + 1 = 4 + 3 + 1 = 8.
3. Doğrulama: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 → 8 sayı ✓.

Çözümlü Örnek 2

2 < x < 10 aralığında kaç tam sayı vardır?

1. Sınırlar: a = 2, b = 10. İkisi de hariç.
2. b − a − 1 = 10 − 2 − 1 = 7.
3. Doğrulama: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 → 7 sayı ✓.

Çözümlü Örnek 3 — Yarı-açık

−1 ≤ x < 6 aralığında kaç tam sayı vardır?

1. Sol dahil, sağ hariç.
2. b − a = 6 − (−1) = 7.
3. Doğrulama: −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 → 7 sayı ✓.

Çözümlü Örnek 4 — Tam Sayıların Toplamı

−3 ≤ x ≤ 7 aralığındaki tam sayıların toplamı kaçtır?

1. Tam sayılar: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
2. Negatifler (−3, −2, −1) ile karşı pozitifler (1, 2, 3) birbirini götürür.
3. Geriye: 0 + 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

İki eşitsizlik aynı anda sağlanmak istendiğinde kesişim (her ikisinde de var olan kısım), en az birinin sağlanması yeterli ise birleşim (ya birinde ya diğerinde) aranır.

Sayı Doğrusu Yöntemi — 3 Adım

1. İki aralığı ayrı iki çizgi üzerinde göster (birini üstte, birini altta).
2. Kesişim (∩): Hem üstte hem altta dolu olan kısım = sınırların dar olanı.
3. Birleşim (∪): Üstte veya altta dolu olan tüm kısım = sınırların geniş olanı.

Pratik: Dar vs Geniş

Çözümlü Örnek 1 — Kesişim

A = [−2, 3) ve B = (1, 5]. A ∩ B nedir?

1. Alt sınırlar: −2 (dahil) ve 1 (hariç). Büyüğü: 1 (hariç).
2. Üst sınırlar: 3 (hariç) ve 5 (dahil). Küçüğü: 3 (hariç).
3. Kesişim: (1, 3).
4. Doğrulama: 2 bir örnek. 2 ∈ [−2, 3) ✓, 2 ∈ (1, 5] ✓. Dolayısıyla 2 ∈ A ∩ B.

Çözümlü Örnek 2 — Birleşim

Aynı A ve B için A ∪ B?

1. Aralıklar örtüşüyor mu? [−2, 3) ile (1, 5] → 1 ile 3 arası ortak.
2. Alt sınırların küçüğü: −2 (dahil).
3. Üst sınırların büyüğü: 5 (dahil).
4. Birleşim: [−2, 5].

Çözümlü Örnek 3 — Örtüşmeyen Aralıklar

C = [−5, 0] ve D = (3, 7). C ∩ D ve C ∪ D nedir?

1. Aralıklar örtüşmüyor (0 ile 3 arası boşluk).
2. Kesişim: boş küme ({ } veya ∅).
3. Birleşim: [−5, 0] ∪ (3, 7) — iki ayrı parça, tek bir aralığa indirilemez.

Çözümlü Örnek 4 — Eşitsizlik Sistemi

x − 3 ≤ 2x + 7 < x + 11 eşitsizlik sistemini sağlayan kaç farklı tam sayı vardır?

1. Bu üçlü bir eşitsizlik. Sollu sağlı iki ayrı parçaya böl.
2. Sol parça: x − 3 ≤ 2x + 7. x'leri bir tarafa, sayıları diğer tarafa: −3 − 7 ≤ 2x − x → −10 ≤ x.
3. Sağ parça: 2x + 7 < x + 11. 2x − x < 11 − 7 → x < 4.
4. İki koşul birlikte (kesişim): −10 ≤ x < 4.
5. Tam sayı adedi: biri dahil biri değil → b − a = 4 − (−10) = 14.
6. Cevap: 14 farklı tam sayı.

Eşitsizlik çözmenin kalbi, yön (işaret) takibidir. İki tarafa aynı işlemi yaparken yönün korunup korunmadığı, hangi işlemin yapıldığına bağlıdır.

Beş Altın Kural

İşlem	Yön	Örnek
Her iki tarafa aynı sayı ekle	Değişmez	5 > 2 → +3 → 8 > 5 ✓
Her iki taraftan aynı sayıyı çıkar	Değişmez	5 > 2 → −3 → 2 > −1 ✓
Pozitif bir sayıyla çarp (veya böl)	Değişmez	5 > 2 → ×3 → 15 > 6 ✓
Negatif bir sayıyla çarp (veya böl)	DEĞİŞİR	5 > 2 → ×(−3) → −15 < −6 ⚠
Her iki tarafı 1/x ile çarp (takla at)	İşaretlere bağlı	Bir sonraki bölümde

Çözümlü Örnek 1 — Temel Çözüm

2x − 3 ≥ 5 eşitsizliğini çöz.

1. Her iki tarafa 3 ekle: 2x ≥ 8 (yön korundu).
2. Her iki tarafı 2 ile böl (pozitif): x ≥ 4 (yön korundu).
3. Çözüm kümesi: [4, +∞).

Çözümlü Örnek 2 — Negatif Katsayı

−3x + 7 < 1 eşitsizliğini çöz.

1. Her iki taraftan 7 çıkar: −3x < −6 (yön korundu).
2. Her iki tarafı −3 ile böl → yön değişir: x > 2.
3. Çözüm kümesi: (2, +∞).
4. Doğrulama: x = 3 koy → −3(3) + 7 = −2 < 1 ✓.

Çözümlü Örnek 3 — Her İki Tarafta x Var

3x + 4 ≤ 5x − 10 eşitsizliğini çöz.

1. x'leri bir tarafa, sayıları diğer tarafa. Katsayısı küçük olan x'i büyüğe at (işaret hatası riskini azaltır):
2. 4 + 10 ≤ 5x − 3x → 14 ≤ 2x.
3. 2'ye böl: 7 ≤ x → x ≥ 7.
4. Çözüm: [7, +∞).

Çözümlü Örnek 4 — Sağlama Refleksi

−x > 3 eşitsizliğinin çözümü nedir?

1. Her iki tarafı −1 ile çarp → yön değişir: x < −3.
2. Sağlama (x = −5 koy): −(−5) = 5 > 3 ✓.
3. Sağlama (x = 0 koy): 0 > 3 ✗ — dışarıda, tutarlı.

Eşitsizliğin her iki tarafını "takla attırmak" (a → 1/a) yaygın bir işlemdir. Ama sonucu yalnızca tarafların işaretine bağlıdır. Bu kuralı doğru öğrenmek, sıralama ve rasyonel eşitsizlik sorularında hayat kurtarır.

Kural

Neden Böyle?

Sayısal doğrulama ile gör:

• Aynı işaretli: 5 > 2. Takla → 1/5 < 1/2 (0.2 < 0.5) ✓. Yön değişti.
• Aynı işaretli (negatif): −2 > −5. Takla → 1/(−2) < 1/(−5) yani −0.5 < −0.2 ✓. Yön değişti.
• Zıt işaretli: 5 > −2. Takla → 1/5 > 1/(−2) yani 0.2 > −0.5 ✓. Yön korundu.

Çözümlü Örnek 1 — Aynı İşaretli Sınırlar

1/8 < 1/(x+1) < 1/12 eşitsizliğinin en büyük tam sayı x değeri kaçtır?

İşaret kontrolü: 1/8 ve 1/12 ikisi de pozitif. Arada kalan 1/(x+1) de pozitif olmak zorunda. Dolayısıyla x + 1 > 0 ve takla atarken işaretler aynı olduğu için yön değişecek.

1. Takla → paydaları paya, payları paydaya: 8 > x + 1 > 12. DİKKAT: Bu okuma yanlış! Takla attığımda en küçük pay → en büyük payda. Yani: 12 < x + 1 < 8 ters. Doğru yazım:
2. Baştan: orijinal 1/8 < 1/(x+1) < 1/12 aynı işaretli. Takla → yön tersine: 8 > x + 1 > 12? Hayır, bu imkansız. Doğru sonuç: 12 < x + 1 < 8? Bu da imkansız (12 > 8).
3. Aslında 1/12 < 1/8 olduğu için orijinal 1/8 < 1/(x+1) < 1/12 ifadesinde 1/(x+1) hem 1/12'den küçük hem 1/8'den büyük olmalı — yine imkansız. Soruyu doğru kur:
4. Örnek 1/12 < 1/(x+1) < 1/8 olmalı (küçük < orta < büyük). Takla → 12 > x+1 > 8 → 8 < x+1 < 12.
5. x+1'den 1 çıkar: 7 < x < 11.
6. En büyük tam sayı x = 10.

Çözümlü Örnek 2 — "Kesinlikle Doğru" Değil, "Doğru Olabilecek"

−1 < x < 0 verilsin. a = x, b = 1/x, c = x − 1/x. Büyükten küçüğe sırala.

Yöntem: Soru "kesinlikle doğru olan" demiyor. Bu durumda bir sayı seçebiliriz. x = −1/2 seç (aralıkta):

1. a = −1/2.
2. b = 1/(−1/2) = −2.
3. c = (−1/2) − (−2) = −1/2 + 2 = 3/2.
4. Sıralama: c = 3/2 > a = −1/2 > b = −2.
5. Büyükten küçüğe: c > a > b.

Çözümlü Örnek 3 — İç İçe İşlem

−3 ≤ (1 − 3x) / 2 < 7 eşitsizliğinde y = 1 − 3x ise y'nin alabileceği değer aralığı nedir?

1. Her tarafı 2 ile çarp (pozitif, yön korunur): −6 ≤ 1 − 3x < 14.
2. y = 1 − 3x olduğu için: −6 ≤ y < 14.
3. Aralık: [−6, 14).

Alternatif — önce x'i çek:

1. y = 1 − 3x → 3x = 1 − y → x = (1 − y)/3.
2. Zaten eşitsizlikte (1 − 3x)/2 var; yerine y/2 yaz: −3 ≤ y/2 < 7.
3. Her tarafı 2 ile çarp: −6 ≤ y < 14 ✓.

Üslü bir eşitsizlikten tabanın aralığını çıkarmak ÖSYM'nin sevdiği kalıplardan biridir. Kural basit: taban 1'den büyük ise üst eşitsizliği aynı yön, taban 0 ile 1 arasında ise ters yön.

Kural

Neden Böyle?

Sayısal doğrulama:

• Taban 2 (>1): 2³ = 8, 2² = 4. 8 > 4 ve 3 > 2. Aynı yön ✓.
• Taban 1/2 (0-1 arası): (1/2)³ = 1/8, (1/2)² = 1/4. 1/4 > 1/8 ama üstlere baktığında 2 < 3. Yani üslü ifade büyük, üssü küçük — yön değişmiş ✓.

Çözümlü Örnek 1 — Taban Aralığı Çıkarma

a² < a eşitsizliği sağlanıyorsa (a > 0), a'nın aralığı nedir?

1. Üsleri kıyasla: 2 > 1. Üslü ifade ise a² < a¹.
2. Üslü ifadede üssü büyük olan küçükse → taban 0-1 arasında (yön değişmiş).
3. Sonuç: 0 < a < 1.

Çözümlü Örnek 2 — 7/3 > 4/3 > 1

(7/3)^x < (4/3)^x eşitsizliği sağlanıyorsa x'in olası değer aralığı nedir?

1. Tabanları kıyasla: 7/3 > 4/3 > 1 → ikisi de 1'den büyük.
2. Üs pozitifse büyük taban büyük sonuç verir (x > 0 → 7/3'ün kuvveti > 4/3'ün kuvveti).
3. Eşitsizlik tersini söylüyor ((7/3)^x < (4/3)^x) → demek ki x < 0.
4. Sağlama: x = −1 → (7/3)⁻¹ = 3/7, (4/3)⁻¹ = 3/4. 3/7 < 3/4 ✓.

Çözümlü Örnek 3 — Basit Kesir Tabanı ve Sıralama

a⁵ < a olduğuna göre a, a², a⁵ sayılarını küçükten büyüğe sırala (a > 0).

1. Üsler: 5 > 1. Üslü ifadelerde a⁵ < a¹ olduğundan taban 0-1 arasında.
2. a = 1/2 seç: a = 1/2, a² = 1/4, a⁵ = 1/32.
3. Küçükten büyüğe: 1/32 < 1/4 < 1/2.
4. Sıralama: a⁵ < a² < a.

ÖSYM çok sık şu tipte soru sorar: "x + y > x + z > y + z olduğuna göre x, y, z arasındaki sıralama nedir?" Bu tip sorularda ortak harf tekniği işleri 3 satıra indirir.

Teknik — Üç Adım

1. En büyüğe ve en küçüğe bak. Aradaki fark bize sıralamayı verir.
2. Ortak harfi tespit et. En büyük ve en küçükte ortak olan harf "ortada"dır.
3. Büyüten ve küçülteni belirle. Ortak olmayan harflerden büyüğünde olanı "üstte", küçüğünde olanı "altta".

Sayısal Doğrulama — 3, 4, 5 ile

3, 4, 5 sayılarını ikişerli topla:

• 4 + 5 = 9 (en büyük)
• 3 + 5 = 8 (ortada)
• 3 + 4 = 7 (en küçük)

Bak: en büyük (9) ve en küçük (7) toplamlarının ortak harfi sadece 3 yok, sadece 4 var ortada, ama ortak olan aslında 5 değil... Yeniden düşün:

• En büyük: 4 + 5. En küçük: 3 + 4. Ortak: 4.
• Büyüten: 4 + 5 → demek ki 5 en büyük.
• Küçülten: 4 + 3 → demek ki 3 en küçük.
• Ortanca: 4 (ortak).
• Sıralama: 5 > 4 > 3 ✓.

Çözümlü Örnek 1 — Toplama

Pozitif x, y, z sayıları için x + z > z + y > x + y. Sıralama nedir?

1. En büyük: x + z. En küçük: x + y. Ortak: x → ortanca.
2. Büyüten: z → en büyük.
3. Küçülten: y → en küçük.
4. Sıralama: z > x > y.

Çözümlü Örnek 2 — Çarpma (Pozitif Sayılar)

Pozitif a, b, c için a·b > a·c > b·c. Sıralama nedir?

1. En büyük: a·b. En küçük: b·c. Ortak: b → ortanca.
2. Büyüten: a → en büyük.
3. Küçülten: c → en küçük.
4. Sıralama: a > b > c.

Çözümlü Örnek 3 — Negatif Sayılarda Ters Çevir

Negatif a, b, c için a·b > a·c > b·c. Sıralama nedir?

1. Önce pozitifmiş gibi düşün: ortak-harf yönteminden a > b > c.
2. Negatifler için tam tersi alınır.
3. Sıralama: c > b > a.

Çözümlü Örnek 4 — Asansör ve Işıklar (2023 TYT Tarzı)

İki kişilik bir asansörde: iki kişi birlikte binince taşıma kapasitesinin altındaysa sarı, eşitse yeşil, üstündeyse kırmızı yanar. Ali (A), Bahadır (B) ve Cengiz (C):

• A + B birlikte binince ışık kırmızı.
• B + C birlikte binince ışık sarı.
• A + C birlikte binince ışık yeşil.

Buna göre A, B, C ağırlıklarını büyükten küçüğe sırala.

1. Kırmızı = kapasiteden büyük → A + B > kapasite.
2. Sarı = kapasiteden küçük → B + C < kapasite.
3. Yeşil = kapasiteye eşit → A + C = kapasite.
4. Birleştir: A + B > A + C > B + C.
5. Ortak harf tekniği: en büyük A + B, en küçük B + C. Ortak: B → ortanca.
6. Büyüten: A → en büyük. Küçülten: C → en küçük.
7. Sıralama: A > B > C.

İki eşitsizliği tek bir eşitsizliğe birleştirmek (toplam, fark, çarpım sınırları bulmak) TYT'nin altın kalıbıdır. Burada tek ama kritik bir kural var: yönler aynı olmalı.

Kural 1 — Taraf Tarafa Toplama

Kural 2 — Fark İçin: Negatifle Çarp Sonra Topla

Taraf tarafa çıkarma direkt olarak yoktur. Ama x − y bulmak için bir eşitsizliği −1 ile çarpıp (yön değişir) sonra topla.

Örnek: 3 < x < 7 ve 2 < y < 5. x − y aralığı nedir?

1. y için yönü çevir: 2 < y < 5 → −1 ile çarp → −2 > −y > −5 → yeniden yaz: −5 < −y < −2.
2. Şimdi x ve −y aynı yönde: 3 < x < 7 ve −5 < −y < −2.
3. Topla: 3 + (−5) < x − y < 7 + (−2) → −2 < x − y < 5.

Kural 3 — Taraf Tarafa Çarpma Değil

İki eşitsizliğin taraflarını direkt çarparak sonuç bulamazsın. Çarpım aralığı bulmak için dört sınır çarpımının minimumu ve maksimumunu alman gerekir.

Çözümlü Örnek 1 — Toplama

4 < 2x − 1 ≤ 16 ve −2 ≤ 3y − 1 < 20 olduğuna göre x + y'nin tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

1. x'i bul: 4 < 2x − 1 ≤ 16 → her tarafa 1 ekle: 5 < 2x ≤ 17 → 2'ye böl: 5/2 < x ≤ 17/2 → 2.5 < x ≤ 8.5.
2. y'yi bul: −2 ≤ 3y − 1 < 20 → −1 ≤ 3y < 21 → −1/3 ≤ y < 7.
3. Yönler aynı, taraf tarafa topla: 2.5 + (−1/3) < x + y < 8.5 + 7.
4. Sol: 2.5 − 0.333 ≈ 2.167 (eşitlik yok — birinde yoktu). Sağ: 15.5 (eşitlik yok — birinde yoktu).
5. x + y ∈ (2.167, 15.5). Tam sayılar: 3, 4, 5, ..., 15 (13 sayı).
6. Toplam: Gauss → (3 + 15) × 13 / 2 = 18 × 13 / 2 = 117.

Çözümlü Örnek 2 — Eşitsizlik + Eşitlik

−2 < 2x < 6 ve y = 1 − 3x olduğuna göre y'nin alabileceği aralık nedir?

1. x'i bul: 2'ye böl → −1 < x < 3.
2. −3x'e git: −3 ile çarp → yön değişir → 3 > −3x > −9 → yeniden yaz: −9 < −3x < 3.
3. Her tarafa 1 ekle: −8 < 1 − 3x < 4.
4. y = 1 − 3x → −8 < y < 4.
5. Aralık: (−8, 4).

Çözümlü Örnek 3 — Çarpım Aralığı

3 < x ≤ 5 ve 1 < y < 4 için x·y'nin aralığı nedir?

1. Dört köşe çarpımı: 3·1 = 3, 3·4 = 12, 5·1 = 5, 5·4 = 20.
2. Min: 3 (ama x > 3 — eşitlik yok; yani 3 dışta). Max: 20 (ama y < 4 — eşitlik yok; 20 dışta).
3. x·y ∈ (3, 20).

"3a − 2b'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?" tipi sorular için oklama tekniği en hızlı yoldur. Tek satırda biter.

Oklama Mantığı

Tam Sayı vs Reel Sayı Ayrımı

Bileşen Tipi	Max İçin	Min İçin
Tam sayı	Alabildiğin en büyük tam sayıyı al	Alabildiğin en küçük tam sayıyı al
Reel sayı	Alamazsan da maksimumu al, sonuçtan 1 çıkar	Alamazsan da minimumu al, sonuca 1 ekle

Çözümlü Örnek 1 — Tam Sayı

−2 < a < 3 ve 1 < b < 4 olup a, b tam sayı. 3a − 2b'nin en büyük ve en küçük değerleri nedir?

1. Max için (↑):
   • 3a katsayısı pozitif → a ↑ → a'nın en büyük tam sayı değeri: 2 (a < 3 olduğundan).
   • −2b katsayısı negatif → b ↓ → b'nin en küçük tam sayı değeri: 2 (b > 1 olduğundan).
   • Max: 3(2) − 2(2) = 6 − 4 = 2.
2. Min için (↓):
   • 3a katsayısı pozitif → a ↓ → a'nın en küçük tam sayı: −1 (a > −2).
   • −2b katsayısı negatif → b ↑ → b'nin en büyük tam sayı: 3 (b < 4).
   • Min: 3(−1) − 2(3) = −3 − 6 = −9.

Çözümlü Örnek 2 — Reel Sayı

Aynı aralık (−2 < a < 3 ve 1 < b < 4) için a, b reel sayı ise 3a − 2b'nin en büyük ve en küçük tam sayı değerleri?

1. Max için:
   • Alamazsan da al: a = 3, b = 1.
   • Max: 3(3) − 2(1) = 9 − 2 = 7.
   • "Bu kadar da büyük olamazsın" → 1 çıkar → 6.
2. Min için:
   • Alamazsan da al: a = −2, b = 4.
   • Min: 3(−2) − 2(4) = −6 − 8 = −14.
   • "Bu kadar da küçük olamazsın" → 1 ekle → −13.

Çözümlü Örnek 3 — Doğrulama Klasik Yolla

Yukarıdaki reel sayı durumunu klasik taraf tarafa toplama ile doğrula:

1. −2 < a < 3 → 3 ile çarp → −6 < 3a < 9.
2. 1 < b < 4 → −2 ile çarp → yön değişir → −2 > −2b > −8 → −8 < −2b < −2.
3. Taraf tarafa topla: −6 + (−8) < 3a − 2b < 9 + (−2) → −14 < 3a − 2b < 7.
4. En büyük tam sayı: 6 (7'den küçük). En küçük: −13 (−14'ten büyük). ✓

Bir değişkenin aralığı verildiğinde karesinin, küpünün veya karekökünün aralığını bulmak için 0'ın rolünü anlamak gerekir.

Kare Aralığı Kuralı

Neden 0 Kritik?

Kare bir ifade asla negatif olamaz ve en küçük değeri 0'dır (x = 0 olduğunda). Eğer aralık 0'ı içeriyorsa x²'nin minimumu 0'dır. İçermiyorsa minimum, aralık sınırlarının karelerinden küçüğüdür.

Çözümlü Örnek 1 — 0 Aralıkta Var

−2 < x < 3 için x²'nin aralığı nedir?

1. 0 aralıkta mı? Evet (−2 < 0 < 3).
2. Min = 0 (eşitlik var mı? Evet, x = 0 aralıkta).
3. Sınır kareleri: (−2)² = 4, 3² = 9. Büyüğü: 9.
4. Eşitlik yok (x < 3, eşitlik yok). Max = 9 (dışta).
5. Sonuç: 0 ≤ x² < 9, yani [0, 9).

Çözümlü Örnek 2 — 0 Aralıkta Yok

2 ≤ x ≤ 5 için x²'nin aralığı nedir?

1. 0 aralıkta mı? Hayır (hepsi pozitif).
2. Sınır kareleri: 2² = 4, 5² = 25.
3. Küçük alt, büyük üst: 4 ≤ x² ≤ 25.
4. Aralık: [4, 25].

Çözümlü Örnek 3 — Negatif Aralık

−5 < x < −2 için x²'nin aralığı nedir?

1. 0 aralıkta mı? Hayır.
2. Sınır kareleri: (−5)² = 25, (−2)² = 4.
3. Küçük alt, büyük üst. DİKKAT: x² için küçük sınır mutlak değerce küçük olandır. |−5| = 5 > |−2| = 2, yani x² min ≈ 4 (x = −2 sınırından), max ≈ 25 (x = −5).
4. Eşitlik yok: 4 < x² < 25.

Küp Aralığı Kuralı

Çözümlü Örnek 4 — Küp

−3 ≤ a ≤ 2 için a³'ün aralığı nedir?

1. Sınır küpleri: (−3)³ = −27, 2³ = 8.
2. Monoton artan: −27 ≤ a³ ≤ 8.
3. Aralık: [−27, 8].

Çözümlü Örnek 5 — Bileşik Soru

−3 < a < 3, −4 < b < 3, −5 < c < −2 için a² + b² + c²'nin kaç farklı tam sayı değeri vardır?

1. a²: 0 var → 0 ≤ a² < 9.
2. b²: 0 var → 0 ≤ b² < 16.
3. c²: 0 yok → sınır kareleri (−5)² = 25, (−2)² = 4 → 4 < c² < 25.
4. Topla: alt 0 + 0 + 4 = 4 (eşitlik karışık). Üst 9 + 16 + 25 = 50.
5. Kenar eşitlikleri: c²'de alt kesin dışta (c² > 4), üst sınır da dışta. Sonuç: 4 < a²+b²+c² < 50.
6. Tam sayılar: 5, 6, ..., 49 → 49 − 5 + 1 = 45 (ikisi de dışta olsa b−a−1 = 50−4−1 = 45) ✓.

Kulağı Tersten Tutma: Kare Verilen, Değişken İstenen

0 ≤ a² ≤ 16 ise a'nın alabileceği aralık nedir?

1. a² 0 olabiliyor → a = 0 olabilir.
2. a²'nin max'ı 16 ise |a| ≤ 4 → −4 ≤ a ≤ 4.
3. Aralık: [−4, 4].

Son yıllarda TYT'de sözel hikâye ile eşitsizlik yazdıran sorular ağırlık kazandı. Her birinin kalıbı aynı: hikâyeyi oku, bilgileri eşitsizliklere çevir, bilinmeyeni yalnız bırak.

Hikâye Sorularının 4 Adımlı Stratejisi

1. Aktörleri tanı: Hangi değerler bilinmiyor? Hangi sınırlar veriliyor?
2. Kısıtlamaları eşitsizliğe çevir: "En az" → ≥, "en fazla" → ≤, "arasında" → < veya >.
3. Her kısıtlamayı ayrı yaz, sonra kesişim al: Tüm koşullar aynı anda sağlanmalı.
4. Sorulanı hesapla: Tam sayı değerleri, toplam, max/min, kaç farklı vb.

Çözümlü Örnek 1 — Telefon Tarifesi (2023 TYT Tarzı)

İki telefon tarifesi var. 1. tarife: sabit ücret 140 TL, 300 dakikadan sonraki her dakika 0.5 TL. 2. tarife: sabit ücret 120 TL, 300 dakikadan sonraki her dakika 0.9 TL. Ayda toplam 300 + x dakika konuşan biri için 1. tarifenin daha avantajlı olması için en az kaç dakika konuşmalıdır?

1. 1. tarife toplam ücret: 140 + 0.5x.
2. 2. tarife toplam ücret: 120 + 0.9x.
3. "1 daha avantajlı" = 1 daha az ödeme: 140 + 0.5x < 120 + 0.9x.
4. Düzenle: 140 − 120 < 0.9x − 0.5x → 20 < 0.4x → x > 50.
5. En az 51 ekstra dakika → toplam 300 + 51 = 351 dakika.

Çözümlü Örnek 2 — Araba Hararet Göstergesi (2023 TYT Tarzı)

Arabanın hararet göstergesi 40'tan 120'ye kadar eşit parçalara bölünmüş. Aralıklar şöyle: 40-69 mavi, 70-99 sarı, 100-120 kırmızı. Başlangıçta belirsiz bir x seviyesinde. 20 artarsa kırmızı, 15 azalırsa mavi oluyor. x'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

1. 20 artarsa kırmızı: 100 ≤ x + 20 ≤ 120 → 80 ≤ x ≤ 100.
2. 15 azalırsa mavi: 40 ≤ x − 15 ≤ 69 → 55 ≤ x ≤ 84.
3. İki koşul aynı anda (kesişim): alt büyüğü 80, üst küçüğü 84. 80 ≤ x ≤ 84.
4. Tam sayılar: 80, 81, 82, 83, 84.
5. Toplam: Gauss → (80 + 84) × 5 / 2 = 164 × 5 / 2 = 410.

Çözümlü Örnek 3 — İki Cetvel ve Dik Üçgen (2023 TYT Tarzı)

Uzunlukları 10 cm olan iki cetvel belirli bir açıyla üst üste konumlandırılmış. Oluşan mavi boyalı dik üçgenin dik kenarları a ve b. Veriler: 4 < a < 5 ve 6 < b < 7. Dik üçgenin alanının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

1. Dik üçgen alanı: A = a·b/2.
2. Çarpım aralığı için dört köşe: 4·6 = 24, 4·7 = 28, 5·6 = 30, 5·7 = 35.
3. Min: 24 (dışta), Max: 35 (dışta). 24 < a·b < 35.
4. 2'ye böl: 12 < A < 17.5.
5. Tam sayı değerleri: 13, 14, 15, 16, 17 → 5 farklı tam sayı.

Çözümlü Örnek 4 — Otobüs Durakları (2023 TYT Tarzı)

A, B, C, D, E durakları bu sırayla. Tüm uzaklıklar tam sayı (metre). Bilgiler: BC = 100, AC > BD, AE = 750. En yakın duraklar BC. Y = CD'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

Not: AB = X, CD = Y, DE = Z olarak isimlendir.

1. AC = X + 100 > BD = 100 + Y → X > Y.
2. AE = X + 100 + Y + Z = 750 → X + Y + Z = 650.
3. En yakın duraklar BC = 100 → X > 100, Y > 100, Z > 100.
4. Y'yi maksimum yap: Z'nin minimumu 101 (tam sayı, 100'den büyük). X + Y = 650 − 101 = 549.
5. X > Y şartıyla Y maksimum: X = Y + 1 (en yakın ama büyük). 2Y + 1 = 549 → Y = 274.
6. Ama X = 275, Y = 274, Z = 101 denenmeli — X > Y ✓, Y > 100 ✓, toplam 650 ✓.
7. En büyük Y = 274.

Çözümlü Örnek 5 — Kahve Makinesi (Klasik Sınır Sorusu)

Bir kahve makinesinin çalışması için bardağın yüksekliği ile boşluk sınırı arasındaki mesafe 11.5 ≤ m ≤ 12.4 cm olmalı. 14.5 cm bardak konulduğunda makine çalışıyor. 15.2 cm bardak konulduğunda çalışmıyor. Rafın yüksekliği x cm. x'in aralığı nedir?

1. 14.5 cm bardakla çalışıyor: 11.5 ≤ x − 14.5 ≤ 12.4 → 26 ≤ x ≤ 26.9.
2. 15.2 cm bardakla çalışmıyor: x − 15.2 < 11.5 VEYA x − 15.2 > 12.4.
3. Sol: x < 26.7. Sağ: x > 27.6.
4. Birleştir (ikisini de sağlayacak): (26 ≤ x ≤ 26.9) ∩ ((x < 26.7) ∪ (x > 27.6)).
5. İkinci koşulun ikinci parçası (x > 27.6) birincisiyle kesişmez.
6. İkinci koşulun ilk parçası: (26 ≤ x ≤ 26.9) ∩ (x < 26.7) = 26 ≤ x < 26.7.
7. Sonuç aralığı: [26, 26.7).

AYT'de de TYT'de de gördüğümüz bir başka kalıp: "x = 0 koşulu eşitsizliği sağlar, x = 4 sağlamaz. Buna göre a nedir?" Bu tip sorular eşitsizlik özelliklerini koşul olarak kullanır.

Yöntem

1. Sağlar demekse verilen değer eşitsizliğe uyar → o değeri yerine koy, koşuldan a'nın bir sınırını çıkar.
2. Sağlamaz demekse verilen değer uymaz → eşitsizliğin tersini yaz → diğer sınırı çıkar.
3. İki sınırı birleştir (kesişim).

Çözümlü Örnek 1 — Klasik AYT Tarzı

a gerçel sayı olmak üzere x + 1 ≤ a eşitsizliği x = 0'ı sağlıyor, x = 4'ü sağlamıyor. a'nın alabileceği değer aralığı nedir?

1. x = 0 sağlar: 0 + 1 ≤ a → a ≥ 1.
2. x = 4 sağlamaz: orijinal eşitsizliğin tersi 4 + 1 > a → a < 5.
3. Birleştir: 1 ≤ a < 5.
4. Aralık: [1, 5).

Çözümlü Örnek 2 — Ortak Çarpan Tuzağı

a ∈ ℝ ve a·1 < a·2 < a·c eşitsizliği veriliyor. 1, 2, c sıralamasından önce a'nın işaretini bul.

1. Ortak çarpan a. Her tarafı a'ya böleceksin. a = 0 ise hepsi birbirine eşit olurdu — çelişki, o yüzden a ≠ 0.
2. Eğer a > 0 olsaydı, a'ya bölünce yön korunur: 1 < 2 < c. Bu doğru olabilir mi? Evet (c > 2).
3. Eğer a < 0 olsaydı, a'ya bölünce yön değişir: 1 > 2 > c. Bu imkansız (1 < 2).
4. Demek ki a > 0 ve c > 2.

Çözümlü Örnek 3 — AYT Klasik: Tersine Çözme

x < 3a − 1 < 5 eşitsizliği en az bir x tam sayısı için sağlanmaktadır. a'nın en küçük tam sayı değeri kaçtır?

1. Eşitsizlik üç parçalı. Sol parça: x < 3a − 1. Sağ parça: 3a − 1 < 5.
2. Sağ parça: 3a < 6 → a < 2.
3. Sol parçadan x: x < 3a − 1.
4. "En az bir tam sayı x için sağlanmalı" → 3a − 1'in tam sayı alınca anlamlı olması → 3a − 1 > −∞'dan daha somut: x'in tam sayı olduğu en az bir değer olmalı. Tam sayı x = 0, −1 vb. dene.
5. En küçük a'yı arıyoruz ama a < 2 ve tam sayı. a = 1, 0, −1, ... hepsi denenir.
6. Örnek: a = −1 → 3(−1) − 1 = −4. x < −4 (ve −4 < 5 ✓). x = −5 gibi tam sayı var → OK.
7. Negatif sonsuza git: herhangi küçük a için x tam sayı bulunur. "En küçük tam sayı" → aralık sınırsız; soru muhtemelen ek kısıt içerir (örn: pozitif tam sayı x). Burada gösterim amaçlı — genel yöntem böyle.

Çözümlü Örnek 4 — Çift Sağlama

3y ≥ 2 ve 3y < 40 olduğuna göre 5y'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

1. y'yi çek: 3y ≥ 2 → y ≥ 2/3. 3y < 40 → y < 40/3.
2. Kesişim: 2/3 ≤ y < 40/3.
3. 5y için 5 ile çarp: 10/3 ≤ 5y < 200/3.
4. 200/3 ≈ 66.67. En büyük tam sayı: 66.

Çözümlü Örnek 5 — İki Bilinmeyenli Sistem

A = 4B ve 3B ≥ 8, 3B < 40. A + B'nin en büyük tam sayı değeri nedir?

1. A = 4B → A + B = 5B.
2. B'nin aralığı: 8/3 ≤ B < 40/3.
3. 5B için 5 ile çarp: 40/3 ≤ 5B < 200/3 → 13.33 ≤ 5B < 66.67.
4. En büyük tam sayı: 66.

Eşitsizliklerde işaret ve yön hataları en sık kaybedilen puanlardır. Aşağıdaki 8 tuzak, TYT çıkmış sorularda net ortalamasını düşüren klasik hatalardır.

Hata 1 — Negatif Sayıyla Çarparken/Bölerken Yön Değiştirmemek

Yanlış: −2x > 6 → x > −3.

Doğru: −2x > 6 → yön değişir → x < −3. Sağlama: x = −4 koy → −2(−4) = 8 > 6 ✓.

Hata 2 — Taraf Tarafa Çarpma Yapmak

Yanlış: 3 < x < 5 ve 2 < y < 4 için x·y'yi taraf tarafa çarpmak: 6 < xy < 20.

Doğru: Dört köşe çarpımı gerekir: 3·2, 3·4, 5·2, 5·4 = 6, 12, 10, 20. Min 6, max 20 → 6 < xy < 20. Bu örnekte aynı sonuç çıktı çünkü hepsi pozitif. Ama negatif sınır varsa farklı sonuç çıkar.

Hata 3 — Taraf Tarafa Çıkarma Yapmak

Yanlış: 3 < x < 7 ve 2 < y < 5 için x − y: 3 − 2 < x − y < 7 − 5 → 1 < x − y < 2.

Doğru: y'yi −1 ile çarp (yön değişir): −5 < −y < −2. Topla: −2 < x − y < 5. Bu sonuç sezgisel de mantıklı (x 3 olsaydı, y 5'e yaklaşsaydı, fark −2'ye yaklaşırdı).

Hata 4 — 1/x Takla Atarken İşaret Kontrolü Yapmamak

Yanlış: −3 < x < 5 ise 1/x aralığı 1/5 < 1/x < −1/3.

Doğru: Aralıkta 0 var, 1/0 tanımsız. Aralığı ikiye böl: −3 < x < 0 ve 0 < x < 5. Her birinde takla ayrı hesaplanır. 0 < x < 5 için 1/x > 1/5 (pay ve payda pozitif → yön değişir). −3 < x < 0 için 1/x < −1/3 (ikisi de negatif → yön değişir).

Hata 5 — Aralıkta 0 Var mı Kontrolünü Atlamak

Yanlış: −2 < x < 3 için x²: sınır kareleri 4 ve 9 → 4 < x² < 9.

Doğru: 0 aralıkta var → 0 ≤ x² < 9. Minimum kare her zaman 0 olabilir eğer aralık 0 içeriyorsa.

Hata 6 — Eşitlik Transferinde Hata

Yanlış: 3 ≤ x < 5 ve 2 < y ≤ 4 için taraf tarafa topla: 5 ≤ x + y ≤ 9.

Doğru: Eşitlik her iki yanda da olmalı ki sonuçta da olsun. Sol tarafta x'te eşitlik var ama y'de yok → sonuçta eşitlik yok. Sağ tarafta x'te yok ama y'de var → sonuçta yok. 5 < x + y < 9.

Hata 7 — Tam Sayı vs Reel Sayı Ayrımını Yapmamak

Yanlış: Reel sayı için 3 < x < 10 → en büyük tam sayı değeri 10.

Doğru: x < 10 (eşitlik yok) ve reel sayı → x 9.999... olabilir ama 10 olamaz. En büyük tam sayı 9. "Alamazsan da al" → 10 al, 1 çıkar → 9.

Hata 8 — Sağlamayı Atlamak

Yanlış: Cevabı bulunca hızlıca işaretlemek.

Doğru: Buldugun x'i orijinal eşitsizlikte yerine koy. Sayı koyarken aralığın içinden ve dışından ayrı sayılar dene — iç sayılar eşitsizliği sağlamalı, dış sayılar sağlamamalı. Bu 5 saniyelik kontrol yanlış cevabı yakalar.

Çözümlü Örnek — Tüm Hataları Bir Arada

−2 ≤ a < 3 ve −4 < b ≤ 1 için 2a − 3b'nin en büyük tam sayı değeri kaçtır? (a, b reel sayı)

1. Oklama: Max için ↑. 2a pozitif katsayı → a ↑. −3b negatif katsayı → b ↓.
2. a en büyük: a < 3 (eşitlik yok, reel sayı) → "alamasan da al": 3.
3. b en küçük: b > −4 (eşitlik yok) → "alamasan da al": −4.
4. Hesap: 2(3) − 3(−4) = 6 + 12 = 18.
5. "Bu kadar büyük olamazsın" → 1 çıkar → 17.
6. Sağlama (klasik yol): −2 ≤ a < 3 → ×2 → −4 ≤ 2a < 6. −4 < b ≤ 1 → ×(−3) → yön değişir → 12 > −3b ≥ −3 → −3 ≤ −3b < 12. Topla: −7 ≤ 2a − 3b < 18. En büyük tam sayı: 17 ✓.

Eşitsizlik konusunu çalışırken karşılaşacağın soru tiplerini ve her biri için uygulaman gereken stratejiyi tek bir tabloda topladık. Bu tabloyu sınav öncesi son tekrar için kullan.

Soru Tipi — Strateji Eşleştirmesi

Soru Tipi	Strateji	Süre Tahmini
Tek değişkenli eşitsizlik çözme	x'leri bir tarafa, sayıları diğer tarafa, pozitif/negatif katsayı kontrolü.	30 sn
Aralıkta tam sayı adedi	Büyükten küçüğü çıkar, eşitlik durumuna göre +1 / −1 / aynen.	20 sn
Aralıkta tam sayıların toplamı	Gauss: (ilk+son)×terim/2 veya negatifler birbirini götürür.	30 sn
Aralıkların kesişim/birleşim	Sayı doğrusu çiz; kesişim dar sınırlar, birleşim geniş sınırlar.	30 sn
Çift taraflı eşitsizlik (a < x < b)	Sollu sağlı iki parçaya böl, ayrı çöz, kesişim al.	45 sn
Toplam/fark aralığı	Taraf tarafa topla. Fark için önce −1 ile çarp, sonra topla.	30 sn
Çarpım aralığı	Dört köşe çarpımı: a·c, a·d, b·c, b·d. Min alt, max üst.	45 sn
Bölüm aralığı (1/x)	İşaret kontrolü. Aynı işaret → yön değişir. Zıt → korunur.	45 sn
Kare/küp aralığı	Kare: 0 varsa min=0. Küp: monoton — sınırların küpü direkt.	45 sn
Min/max en büyük/küçük değer	Oklama: pozitif katsayı aynı yön, negatif zıt yön.	30 sn
Reel sayı bileşenli min/max	Alamasan da al, max için −1, min için +1.	45 sn
Üslü ifade yön	Taban > 1 → aynı yön, Taban 0-1 arası → yön değişir.	30 sn
Sıralama (toplam/çarpım)	Ortak harf tekniği: ortak = orta, büyüten = üst, küçülten = alt.	20 sn
Sağlar/sağlamaz koşul	Sağlarsa değeri koy → sınır çıkar. Sağlamazsa tersini al.	45 sn
Hikâye (tarife, hararet, cetvel)	Oku, eşitsizliğe çevir, kesişim al.	90 sn

Sınav Günü 5 Altın Adım

1. Tanı koy (3 sn): Tek değişken mi, iki değişken mi? Aralık sorusu mu? Min/max mi? Hikâye mi?
2. Tam sayı / reel sayı kontrolü (2 sn): "Tam sayı" ifadesi var mı? Yoksa reel sayıdır — okla ve "alamazsan da al" uygula.
3. Yön kontrolleri (5 sn): Negatifle çarptın mı? Takla attın mı? 0'a göre aralığı böldün mü? Her adımda yön doğru mu?
4. Sağlama yap (5 sn): Aralıktan bir sayı, aralık dışından bir sayı koy. İçerideki sağlamalı, dışarıdaki sağlamamalı.
5. Tam sayı adedi doğrula (3 sn): Aralık bulduktan sonra formül hatasını önlemek için 2-3 tam sayıyı gerçekten hesapla.

Özet Formül Kartı

Durum	Sonuç
Her iki tarafa aynı sayı ekle/çıkar	Yön korunur
Pozitif sayıyla çarp/böl	Yön korunur
Negatif sayıyla çarp/böl	Yön DEĞİŞİR
Aynı işaretli sayılarda takla	Yön değişir
Zıt işaretli sayılarda takla	Yön korunur
Taban > 1, üs karşılaştır	Yön korunur
Taban 0-1 arası, üs karşılaştır	Yön değişir
Taraf tarafa toplama	Yönler aynı olmalı
Taraf tarafa çıkarma	YOK — önce −1 ile çarp
Taraf tarafa çarpma	YOK — dört köşe çarpımı
[a,b] tam sayı adedi	b − a + 1
(a,b) tam sayı adedi	b − a − 1
Yarı açık tam sayı adedi	b − a
x² aralığı, 0 varsa	min = 0
Reel max tam sayı hesaplaması	Max − 1
Reel min tam sayı hesaplaması	Min + 1