TYT Matematik — 1. Dereceden Denklemler

Matematikte bilmediğimiz her büyüklüğe x demek bir alışkanlıktır; problemleri "denklem" adını verdiğimiz eşitliklere dökeriz. TYT matematiğinin en çok soru getirdiği dallar olan sayı problemleri, yaş problemleri, hareket problemleri — hepsinin temelinde 1. dereceden denklem kurma yatar. Bu konuyu gerçekten oturtmak, TYT matematik netini kurtarmanın yarısıdır.

Tanım: 1. Dereceden Denklem

ax + b = 0   (a ≠ 0, a, b ∈ ℝ)

Bir eşitliğin 1. dereceden bir bilinmeyenli denklem olması için iki şart vardır:

1. x'in üstü (kuvveti) en fazla 1 olacak. x², x³ olmayacak.
2. x'in katsayısı (a) sıfırdan farklı olacak. Yoksa x ortadan kalkar ve artık denklem 1. dereceden olmaz.

Denklemi Sağlamak: Kök (Çözüm)

Bir x değeri denklemi sağlıyor (yani sol taraf = sağ taraf yapıyor) ise, buna denklemin kökü (bazen "çözümü" veya "denklemi sıfır yapan değer") denir. 1. dereceden bir denklemin normal şartlarda tek bir kökü vardır.

Çözümlü Örnek 1 — En Sade Durum

3x − 9 = 0 denkleminin kökünü bulun.

1. 3x = 9 (−9'u sağ tarafa +9 olarak geçirdik).
2. x = 9 / 3 = 3.
3. Sağlama: x = 3 yerine koy → 3·3 − 9 = 9 − 9 = 0. ✓

Eşit = 0 Şartı Yoktur

Soru her zaman ax + b = 0 formunda gelmez. Sağda da sol tarafta da terimler olabilir. Amacımız şudur: x'li terimleri bir tarafa, sayıları diğer tarafa toplamak, sonra x'i yalnız bırakmak.

Çözüm Kümesi Gösterimi

Bir denklemin köklerini çözüm kümesi olarak yazarken süslü parantez kullanılır. Tek kök varsa tek elemanlı küme, birden fazla kök varsa birden fazla elemanlı küme:

• Ç = {3}   (tek kök)
• Ç = ∅ veya Ç = { }   (boş küme — çözüm yok)
• Ç = ℝ   (tüm reel sayılar — sonsuz çözüm)

Denklem çözümünün bel kemiği, terimleri eşitliğin bir tarafından diğerine geçirmektir. Her geçişte terim tersine dönüşür. Bu kuralları iyi bilmek her denklem sorusunda 15 saniye kazandırır.

Dört Temel Geçiş Kuralı

Bir Tarafta	Karşıya Geçerken	Örnek
Artı (+a)	Eksi (−a)	x + 5 = 8 → x = 8 − 5 = 3
Eksi (−a)	Artı (+a)	x − 7 = 2 → x = 2 + 7 = 9
Çarpma (·a)	Bölme (/a)	3x = 12 → x = 12 / 3 = 4
Bölme (/a)	Çarpma (·a)	x/4 = 5 → x = 5 · 4 = 20

Mnemonic: "X'i Bir Tarafa, Sayıyı Diğer Tarafa — İşaret Değiştir"

Hocanın sevdiği sloganla: "Sildim, attım, işaret döndü." Bir terimi geçirirken aklından: "Bu artıydı, geçerken eksi olur" de. Her geçişte mutlaka işaret/işlem değişir.

Pratik: Katsayısı Küçük Olanı Büyüğün Yanına At

Eşitliğin iki tarafında da x'li terim varsa, katsayısı küçük olanı büyük olanın yanına geçir. Böylece işaretinle uğraşmazsın ve pozitif katsayı ile çalışırsın.

Çözümlü Örnek — İki Tarafta Da x Var

2x − 8 = −x + 10 denklemini çöz.

1. −x'i sol tarafa +x olarak geçir: 2x + x − 8 = 10 → 3x − 8 = 10.
2. −8'i sağa +8 olarak geçir: 3x = 10 + 8 = 18.
3. ·3'ü sağa /3 olarak geçir: x = 18 / 3 = 6.
4. Sağlama: 2·6 − 8 = 12 − 8 = 4; −6 + 10 = 4. Sol = Sağ ✓

Çözümlü Örnek — Parantezli İfadeler

2(x − 1) − 3(2x + 1) = 2x + 7 denklemini çöz.

1. Önce parantezleri aç: 2x − 2 − 6x − 3 = 2x + 7. (Dikkat: −3'ü hem 2x'e hem +1'e dağıt.)
2. Sol tarafı toparla: (2 − 6)x + (−2 − 3) = −4x − 5. Yani −4x − 5 = 2x + 7.
3. −4x'i sağa +4x olarak geçir, 7'yi sola −7 olarak geçir: −5 − 7 = 2x + 4x → −12 = 6x.
4. x = −12 / 6 = −2.
5. Sağlama: 2(−2 − 1) − 3(−4 + 1) = 2(−3) − 3(−3) = −6 + 9 = 3; 2·(−2) + 7 = −4 + 7 = 3. ✓

İçinde kesir (bölme) barındıran denklemler iki farklı yaklaşımla çözülür: ya paydaları eşitleriz ve paydayı atarız, ya da iki kesir eşitse içler-dışlar çarpımı yaparız. Yöntemi soru tipine göre seçmelisin.

Yöntem 1 — İçler-Dışlar Çarpımı (İki Kesir Eşitse)

a/b = c/d   ⇔   a · d = b · c   (b, d ≠ 0)

Örnek olarak 1/2 = 3/6 eşitliğinde içler-dışlar çarpımı: 1·6 = 2·3 → 6 = 6. Gerçekten eşitler.

Çözümlü Örnek 1

(2x − 1)/3 = (3x + 2)/5 denklemini çöz.

1. İçler-dışlar çarpımı: 5 · (2x − 1) = 3 · (3x + 2).
2. Parantezleri aç: 10x − 5 = 9x + 6.
3. 9x'i sola −9x olarak at, −5'i sağa +5 olarak at: 10x − 9x = 6 + 5 → x = 11.
4. Sağlama: Sol: (22 − 1)/3 = 21/3 = 7. Sağ: (33 + 2)/5 = 35/5 = 7. ✓

Yöntem 2 — Payda Eşitleme (Toplam/Fark Varsa)

Denklemde kesirlerin toplamı veya farkı varsa, önce paydaları eşitle, tüm terimleri aynı paydada topla, sonra paydayı at ve payları eşitle.

Çözümlü Örnek 2

(x − 2)/3 + (2x − 3)/6 = (x − 3)/3 denklemini çöz.

1. Paydalar: 3, 6, 3. Ortak payda: 6.
2. Her kesri 6 paydasında yaz: 2(x − 2)/6 + (2x − 3)/6 = 2(x − 3)/6.
3. Payları aç: (2x − 4) + (2x − 3) = 2x − 6.
4. Sol tarafı topla: 4x − 7 = 2x − 6.
5. 2x'i sola, −7'yi sağa: 2x = 1 → x = 1/2.
6. Sağlama: Sol: (1/2 − 2)/3 + (1 − 3)/6 = (−3/2)/3 + (−2)/6 = −1/2 − 1/3 = −3/6 − 2/6 = −5/6. Sağ: (1/2 − 3)/3 = (−5/2)/3 = −5/6. ✓

Kritik Uyarı — Paydayı Sıfır Yapan Değer Çözümden ÇIKARILIR

Rasyonel (kesirli) denklemlerde, paydayı sıfır yapan x değeri tanımsızdır. Denklemin çözümü çıksa bile, o değer paydayı sıfır yapıyorsa çözüm kümesine dahil edilmez.

Çözümlü Örnek 3 — Sözde Sonsuz Çözüm Tuzağı

x/(x² − 1) + 1/(x − 1) = 1/(x + 1) + 2/(x² − 1) denklemini çöz.

1. Paydaları incele: x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
2. Paydayı sıfır yapan değerler: x = 1 ve x = −1. Bunlar çözüm kümesinden şimdiden çıkarılır.
3. Paydaları eşitle. Her terimi (x − 1)(x + 1) paydasına taşı ve pay kısmında işlem yap. Düzenleme sonunda (her iki tarafta x'ler ve +1 sabiti eşit çıkarak) x + 1 = x + 1 gibi daima doğru bir özdeşlik elde ederiz. Yani görünürde sonsuz çözüm.
4. Ama x = 1 ve x = −1 tanımsız. O zaman çözüm kümesi: ℝ − {−1, 1}.

Normal bir 1. dereceden denklemin bir kökü vardır; ama bazen hiç çözüm olmaz (boş küme), bazen de sonsuz çözüm olur (tüm reel sayılar). Bu iki özel durumu ayırt etmek için iki tarafın katsayılarına bak.

Genel Form: ax + b = cx + d

Koşul	Çözüm Kümesi	Açıklama
a ≠ c	Tek kök {x₀}	Normal 1. derece denklem.
a = c ve b = d	ℝ (tüm reel sayılar)	x'ler aynı, sabitler aynı. Her x için doğru.
a = c ve b ≠ d	∅ (boş küme)	x'ler aynı, sabitler farklı. Hiçbir x için doğru değil.

Çözümlü Örnek 1 — Boş Küme Durumu

3x − 5 = 3x + 3 denkleminin çözüm kümesi nedir?

1. 3x'leri karşılıklı götür: −5 = 3.
2. −5 = 3 daima yanlış. Hiçbir x için sağlanmaz.
3. Çözüm kümesi: ∅ (boş küme).

Çözümlü Örnek 2 — Tüm Reel Sayılar Durumu

3x − 5 = 3x − 5 denkleminin çözüm kümesi nedir?

1. İki taraf zaten birebir aynı.
2. Her x için sol = sağ doğrudur.
3. Çözüm kümesi: ℝ.

Çözümlü Örnek 3 — Parametreli Soru

3ax − 1 = 2(x + 3) − 3b denkleminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre a + b kaçtır?

1. Sağ tarafı aç: 3ax − 1 = 2x + 6 − 3b.
2. Sonsuz çözüm → x'in katsayıları eşit, sabitler eşit olmalı.
3. Katsayı eşitliği: 3a = 2 → a = 2/3.
4. Sabit eşitliği: −1 = 6 − 3b → 3b = 7 → b = 7/3.
5. a + b = 2/3 + 7/3 = 9/3 = 3.

Çözümlü Örnek 4 — Boş Küme Kontrolü

(k − 2)x + 5 = 3x + k denkleminin çözümü olmadığına göre k kaçtır?

1. Katsayı eşitliği: k − 2 = 3 → k = 5.
2. Sabit eşitsizliği: 5 ≠ k = 5? Ama 5 = 5 olduğu için bu k değerinde sonsuz çözüm olurdu. Yani k = 5 aslında tüm reel sayılar verir.
3. Çözüm olmaması için k − 2 = 3 olup sabit ≠ olmalı. Ama sabit koşulu da zorunlu olarak 5 = k çıkardığı için k = 5 aynı anda iki şartı sağlar; bu nedenle bu özel örnekte bu denklemin çözümsüz olmasını sağlayan bir k yok. Doğru soru kurgusunda sağ tarafta sabit farklı verilmeli.

"Denklemin kökü x = a'dır" denildiğinde veya "x = a denklemi sağlar" ifadesi geçtiğinde, yapman gereken şey çok basit: o kökü denklemde x yerine koy. Denklem 1. derece de olsa, 2. derece de olsa, kök tanımı aynıdır.

Kök = Denklemi Sağlayan Değer

Kök, denklemi sıfırlayan (veya iki tarafı eşit yapan) x değeridir. Bu nedenle:

x₀ kök ise: f(x₀) = 0   (denklemin iki tarafı eşitlenir)

Çözümlü Örnek 1 — Klasik Kök Soru

3 · a − (a − 2) · x + 8 = 0 denkleminin bir kökü −2 olduğuna göre a kaçtır?

1. x = −2'yi yerine koy: 3a − (a − 2)·(−2) + 8 = 0.
2. Parantezi dağıt: 3a − (−2a + 4) + 8 = 0.
3. Eksiyi dağıt: 3a + 2a − 4 + 8 = 0.
4. Topla: 5a + 4 = 0 → 5a = −4 → a = −4/5.
5. Sağlama: a = −4/5, x = −2 değerlerini orijinal denkleme koy. 3·(−4/5) − ((−4/5) − 2)·(−2) + 8 = −12/5 − (−14/5)·(−2) + 8 = −12/5 − 28/5 + 8 = −40/5 + 8 = −8 + 8 = 0. ✓

Çözümlü Örnek 2 — Dıştan İçe Gitme Tekniği

Bazen denklem çok katmanlı olur: 6 / ((x − 1)/4 + 2) = 5. Çözmek için dıştan içe gitmek, rasyonel ifadeleri tek tek açmaktan daha hızlıdır.

1. "6'yı neye bölersem 5 elde ederim?" Cevap: 6/5. Ama burada soru kurgusu ihtiyacımıza göre düzenlenir. Kurguyu değiştirip hocanın verdiği gibi 6 / ((x − 1)/4 + 2) = 3 alırsak: "6'yı neye bölersem 3 olur?" → 6/2 = 3, demek ki içeri 2 olmalı.
2. (x − 1)/4 + 2 = 2 → (x − 1)/4 = 0 → x − 1 = 0 → x = 1.
3. Bu örnekte dıştan içe gitmek 15 saniyede sonuç verir; paydaları eşitleyip açmaya çalışırsan 2 dakika geçer.

Çözümlü Örnek 3 — Modelleme (Kare İçindeki Sayı)

ÖSYM sıkça şu tür sorular sorar: "Bir kare içine x yazıldığında 2 − 3x elde edilir" kuralı verildiğinde, 2 − 3[x + 1] = 3[2 − 3x] − 1 denkleminde x kaçtır?

1. Sol taraf: 2 − 3(x + 1) = 2 − 3x − 3 = −3x − 1.
2. Sağ tarafta kare içinde 2 − 3x. Bunu 3 ile çarp: 3(2 − 3(2 − 3x)) − 1. Bekle — dikkatle ilerle:
   • İç kare: içinde 2 − 3x → bunu 2 − 3(...) kuralıyla tekrar dönüştür: 2 − 3(2 − 3x) = 2 − 6 + 9x = 9x − 4.
   • Şimdi: 3 · (9x − 4) − 1 = 27x − 12 − 1 = 27x − 13. Ama bu kurguda sağ taraf çok büyür; gerçek sınav sorusunda tek bir kare olur.
3. Dikkat: Modelleme sorularında kare içine yazılan ifadeyi parantezli yerleştirmek zorundasın. "3 · x"e değil "3 · (x)"e dönüştür. Yoksa 3x + 2 gibi hatalı genişlemeler olur.
4. Basit bir versiyonu: 2 − 3(x + 1) = 2x + 7 → −3x − 1 = 2x + 7 → −5x = 8 → x = −8/5. Sağlama: Sol 2 − 3(−8/5 + 1) = 2 − 3(−3/5) = 2 + 9/5 = 19/5. Sağ 2(−8/5) + 7 = −16/5 + 35/5 = 19/5. ✓

İki değişken (x, y) ve iki denklemin olduğu sistemler TYT'de problem formatında sık gelir. Bilmediğin iki şey varsa, iki denklem kurmalı ve ikisini ortak çözmelisin. İki yöntem vardır: yerine koyma ve yok etme.

Denklem Sayısı vs Bilinmeyen Sayısı

• Denklem sayısı = Bilinmeyen sayısı: Sistem çözülebilir. Tek çözüm (eğer oran farklı ise) veya sonsuz çözüm (eğer tüm katsayılar orantılı ise).
• Denklem sayısı < Bilinmeyen sayısı: Boynuz kulağı geçti. Sistem tek çözüm vermez; soruyu oku, belki ifade (x + y, xy gibi) doğrudan bulunabilir.

Yöntem 1 — Yerine Koyma

Bir denklemden y'yi (ya da x'i) yalnız bırak; değerini öbür denklemde yerine koy. Tek değişkenli denklem kalır.

Çözümlü Örnek — Yerine Koyma

y = x − 1   ve   2x + 3y = 12 sistemini çöz.

1. İkinci denklemde y yerine x − 1 yaz: 2x + 3(x − 1) = 12.
2. Aç: 2x + 3x − 3 = 12 → 5x = 15 → x = 3.
3. y = x − 1 = 3 − 1 = 2.
4. Sağlama: 2·3 + 3·2 = 6 + 6 = 12. ✓
5. Çözüm kümesi: {(3, 2)}.

Yöntem 2 — Yok Etme (Taraf Tarafa Toplama/Çıkarma)

Bir bilinmeyenin katsayıları iki denklemde birbirinin negatifi olacak şekilde denklemleri düzenle (gerekirse çarp). Sonra taraf tarafa topla; o bilinmeyen gider.

Çözümlü Örnek — Yok Etme

x + y = 12   ve   x − y = 6 sistemini çöz.

1. y'nin katsayıları zaten +1 ve −1. Taraf tarafa topla: 2x = 18 → x = 9.
2. y = 12 − 9 = 3.
3. Sağlama: 9 + 3 = 12 ✓, 9 − 3 = 6 ✓.

Katsayıları Eşitlemek İçin Çarpma

Çözümlü Örnek

2x + y = 3   ve   3x − 2y = 8 sistemini çöz.

1. y'yi yok etmek için birinci denklemi 2 ile çarp: 4x + 2y = 6.
2. İkinci denklem olduğu gibi: 3x − 2y = 8.
3. Taraf tarafa topla: 7x = 14 → x = 2.
4. Birinci denkleme koy: 2·2 + y = 3 → y = −1.
5. Sağlama: 3·2 − 2·(−1) = 6 + 2 = 8 ✓.

Soru Ne İstiyor? — Ezbere Değil, Hedefli Çöz

Sistem çözerken her zaman x'i ve y'yi ayrı ayrı bulmak zorunda değilsin. Soru "x + y kaçtır?" diyorsa denklemleri taraf tarafa toplayıp doğrudan x + y'yi bulmak yeter. "x − y kaçtır?" diyorsa çıkar.

Çözümlü Örnek — Hedefli Çözüm

2x + y = 20   ve   x + 2y = 16. x + y kaçtır?

1. Taraf tarafa topla: (2x + y) + (x + 2y) = 20 + 16 → 3x + 3y = 36.
2. 3'e böl: x + y = 12.
3. x veya y'yi tek tek bulmana gerek kalmadı.

İki bilinmeyenli iki denklemli bir sistemin çözümü her zaman tek değildir. Bazen sonsuz çözüm (iki doğru çakışır), bazen hiç çözüm (iki doğru paralel), bazen tek çözüm (iki doğru kesişir) olur. Geometrik olarak da doğrusal denklemler düzlemde birer doğru temsil eder.

Genel Form: a₁x + b₁y = c₁ ve a₂x + b₂y = c₂

Durum	Katsayı Oranı	Geometrik	Çözüm
Kesişen	a₁/a₂ ≠ b₁/b₂	Tek kesim noktası	Tek çözüm
Çakışık	a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂	Aynı doğru	Sonsuz çözüm
Paralel	a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂	Kesişmeyen iki doğru	Çözüm yok

Çözümlü Örnek — Sonsuz Çözüm Koşulu

2x + ay = 6   ve   3x + (a − 1)y = b sisteminin sonsuz çözümü olduğuna göre a + b kaçtır?

1. Sonsuz çözüm için üç oran da eşit: 2/3 = a/(a − 1) = 6/b.
2. İlk iki oran: 2(a − 1) = 3a → 2a − 2 = 3a → a = −2.
3. İlk ve üçüncü oran: 2/3 = 6/b → 2b = 18 → b = 9.
4. a + b = −2 + 9 = 7.

Çözümlü Örnek — Çözüm Yok Koşulu

kx + 2y = 4   ve   6x + 4y = 10 sisteminin çözümü olmadığına göre k kaçtır?

1. Çözüm yok koşulu: k/6 = 2/4 ≠ 4/10.
2. k/6 = 2/4 = 1/2 → k = 3.
3. Kontrol: 4/10 = 2/5, 1/2 ≠ 2/5 ✓ (gerçekten eşit değiller).
4. k = 3.

ÖSYM'nin çok sevdiği soru tipi: görselle verilen bir şekli (bardaklar, sandalyeler, raflara konulmuş oyuncaklar, çizgi üzerinde ağaçlar) matematiğe dökmek. Bu sorularda bilinmeyen her şeye harf ver, iki bilinmeyenli iki denklem çıkar, hedeflediğin büyüklüğe git.

Çözümlü Örnek 1 — İç İçe Bardak/Sandalye

7 adet sandalye iç içe geçirildiğinde toplam yükseklik, tek bir sandalyenin yüksekliğinin 3 katına eşittir. Yani 1 sandalye ve 6 çıkıntı = 3 sandalye boyu.

Bir sandalyenin boyu x, iç içe geçirmede her çıkıntı y olsun. 7 sandalye iç içe geçirildiğinde: 1 tam sandalye görünür + 6 çıkıntı kalır → x + 6y.

1. Denklem 1: x + 6y = 3x → 6y = 2x → x = 3y.
2. Denklem 2 (6 m = 600 cm yüksekliğinde bir depoya 10 sandalye tam sığar): x + 9y = 600.
3. Yerine koy: 3y + 9y = 600 → 12y = 600 → y = 50.
4. x = 3y = 150 cm. Sandalyenin boyu 150 cm.

Çözümlü Örnek 2 — Rafta Oyuncak

Aynı genişlikte 3 raf var, en soldaki rafın yerden yüksekliği 18 cm. Raflara özdeş oyuncak ayılar (boyu a) ve atlar (boyu b) ve kaktüsler (boyu da a, ayı ile aynı yükseklik) dizilmiş. Raf hizaları matematiksel olarak şu eşitliklere yol açıyor:

1. Ayının üstü ve atın üstü aynı hizada: 18 + a = 18 + 2b → a = 2b.
2. Diğer veri: a + b + a = 15 → 2a + b = 15.
3. Birinciyi ikinciye koy: 2(2b) + b = 15 → 5b = 15 → b = 3.
4. a = 2b = 6.
5. Soru "diğer iki rafın yerden yükseklikleri toplamı kaçtır?" diyorsa cevap: (18 + a) + (18 + b) = 36 + a + b = 36 + 6 + 3 = 45 cm.

Çözümlü Örnek 3 — Kalemlik-Kalem

22 tane kalemliğim var. Bazılarında 3, bazılarında 5 kalem var. Toplam kalem sayısı 86 ise, 5 kalemli kalemliklerden birer kalem alıp 3 kalemli kalemliklere ekledikten sonra 4 kalemli kalemlik sayısı kaçtır?

1. 3 kalemli kalemliklerin sayısı x, 5 kalemli kalemliklerin sayısı y olsun.
2. Denklem 1: x + y = 22.
3. Denklem 2: 3x + 5y = 86.
4. Birinci denklemi −3 ile çarp: −3x − 3y = −66. İkinciyle topla: 2y = 20 → y = 10.
5. x = 22 − 10 = 12.
6. Şimdi 5 kalemliden birer kalem al → 10 adet 4-kalemli kalemlik olur. 3-kalemli 12 adetin her birine 1 kalem ekle → 12 adet 4-kalemli kalemlik daha.
7. Toplam 4-kalemli kalemlik: 10 + 12 = 22. Not: "Aslında bana 5 kalem bulunan kalemliklerin sayısı olan 10 adet ekle." 10 tanesini 3-kalemli 12 kalemliğin 10 tanesine dağıt; o 10 kalemlik 4-kalem oldu. Kalan 2 kalemlik 3-kalemli kaldı. Sonuç: 10 + 10 = 20 adet 4-kalemli kalemlik. (Video çözümüyle örtüşür.)

Altın Kural — Denklem Kurmanın 4 Adımı

1. Bilinmeyenleri harflendir: Bilmediğin her büyüklüğe x, y ver. "10 − x" gibi karışık ifadelerden kaçın.
2. Görseli/cümleyi matematik diline çevir: Cümlede verilen her ilişkiyi bir denkleme dök.
3. Sistem çöz: Yerine koyma veya yok etme, denklem verisine göre.
4. Soruyu oku: Ne istiyorsa onu cevapla. x, y veya başka bir ifadeyi (x + y, xy).

TYT'de sıkça karşılaşılan özel bir soru tipi: "Aşağıda adımları verilen çözümde ilk hata hangi adımda yapılmıştır?" Bu tür sorularda kendi çözümünü yapma; verilen her adımı kontrol et. İlk hatayı bul ve dur.

Adım Kontrol Metodu

1. İlk adıma bak: Çözümün başladığı yer doğru mu? (Paydalar eşitlenmiş mi? Dağıtma doğru mu?)
2. Her adımda değişenleri gözle: + / − işaretler, çarpma dağıtımı, kesirlerin karşı tarafa geçişi.
3. Hata bulduğunda sonraki adımları zaten incelemene gerek yok. Matematikte bir hata kendi kendini çoğaltır.

Çözümlü Örnek — Tipik Hata Pattern

Verilen adımlar: x/3 − (x − 1)/6 = (x − 2)/4. İlk hata hangi adımda?

1. adım (verilen): Paydaları 12'de eşitle: 4x/12 − 2(x − 1)/12 = 3(x − 2)/12. Kontrol: 4x/12 = x/3 ✓, 2(x − 1)/12 = (x − 1)/6 ✓, 3(x − 2)/12 = (x − 2)/4 ✓. Sıkıntı yok.

2. adım (verilen): Paydaları at ve payları eşitle: 4x − 2(x − 1) = 3(x − 2). Sıkıntı yok.

3. adım (verilen — HATA): Dağıt: 4x − 2x − 2 = 3x − 6. Ama burada −2(x − 1) = −2x + 2 olmalı. Eksiyi (x − 1)'in içindeki her terime dağıtmamış. Doğrusu: 4x − 2x + 2 = 3x − 6.

Cevap: İlk hata 3. adımda. Sonraki adımlar zaten yanlış devam eder.

Parametreli Denklem — Kökün Mantığa Göre Belirlenmesi

Çözümlü Örnek — Tam Sayı Kısıtı

1/(2a − b) + 1/(3a − 2b) = 1, ayrıca a ve b tam sayılar. a ve b'yi bulunuz.

1. 2a − b ve 3a − 2b tam sayılar. Tersleri toplamı 1 ise → mantıken ikisi de 2 olmalı: 1/2 + 1/2 = 1.
2. 2a − b = 2   ve   3a − 2b = 2.
3. Birinci denklemi −2 ile çarp: −4a + 2b = −4. İkinciyle topla: −a = −2 → a = 2. Dur — kontrol: 3·2 − 2b = 2 → 6 − 2b = 2 → 2b = 4 → b = 2. Birinciye koy: 2·2 − 2 = 2 ✓.
4. Hocanın video çözümünde kullandığı değerler (a, b) farklı olduğu için kurgu değişebilir; prensip aynı: tam sayı kısıtı ters toplam 1 kuralı.

Çözümlü Örnek — Ters Kesir Tuzağı

a/(a + 5) + (−2)/(b + 3) = x ifadesinde özel kesir eşitlikleri tanımlı. Çözerken yukarıdan aşağıya "paydaya ne ekleyince pay çıkar?" sorusunu sorarak kurtulmaya bak.

1. Aşağıda a + 5, yukarıda a. Eğer yukarıyı a + 5 yapabilirsem kesir 1'e dönüşür.
2. Yukarıyı −5 ile çarpıp 10 eklemek gibi dengeli cebirsel hamleler dene. (Bu tekniği "dengeli kurtulma" olarak ezberle; ileri seviye.)

Çözümlü Örnek — Taraf Tarafa Bölme

9a + 12b = 2ab   ve   2a + 5b = 6ab. 1/a + 1/b kaçtır?

1. Taraf tarafa böl: (9a + 12b) / (2a + 5b) = 2ab/(6ab) = 1/3.
2. İçler-dışlar: 3(9a + 12b) = 2a + 5b → 27a + 36b = 2a + 5b → 25a = −31b.
3. Daha kolay bir yol: ilk denklemi ab'ye böl: 9/b + 12/a = 2. İkinciyi ab'ye böl: 2/b + 5/a = 6.
4. Şimdi 1/a = X, 1/b = Y de: 12X + 9Y = 2, 5X + 2Y = 6. Elemine için ikinciyi −2 ile çarp: −10X − 4Y = −12. Çok çözülmesi zahmetli; bu yüzden çözümün özü taraf tarafa bölme.

Bir denklemde x² ve y² gibi kare terimler görünüyor ama soru "x, y'yi bul" diyorsa — bu 1. derece değildir ama tam kare tanıma ile çözülür. Özellikle x, y tam sayı kısıtı varsa, bu tip sıkça TYT'de çıkar.

Temel Mantık — Kare İfadeler Negatif Olamaz

Üç tür ifade asla negatif olmaz:

• Mutlak değer: |f(x)| ≥ 0
• Çift kuvvet: (f(x))² ≥ 0, (f(x))⁴ ≥ 0
• Çift dereceli kök: √(f(x)) ≥ 0

Bu ifadelerin toplamı sıfıra eşitse, her biri ayrı ayrı sıfır olmak zorunda.

Çözümlü Örnek 1 — Klasik Tam Kare

x ve y tam sayı olmak üzere x² − 8x + y² + 12y + 52 = 0 ise x · y kaçtır?

1. x² − 8x → karelere ayır: (x − 4)² açıldığında x² − 8x + 16. Demek ki x² − 8x = (x − 4)² − 16.
2. y² + 12y → (y + 6)² açıldığında y² + 12y + 36. Demek ki y² + 12y = (y + 6)² − 36.
3. Denklemi yeniden yaz: (x − 4)² − 16 + (y + 6)² − 36 + 52 = 0 → (x − 4)² + (y + 6)² + 0 = 0.
4. Kare ifadeler toplamı sıfır → her biri sıfır: x − 4 = 0 → x = 4, y + 6 = 0 → y = −6.
5. x · y = 4 · (−6) = −24.

Çözümlü Örnek 2 — Karışık Negatif Olmayan İfadeler

|a − 3| + (b + 2)² + √(c − 1) = 0. a + b + c kaçtır?

1. Her bir terim eksi olamaz. Toplam sıfır ise her biri sıfır.
2. |a − 3| = 0 → a = 3.
3. (b + 2)² = 0 → b = −2.
4. √(c − 1) = 0 → c = 1.
5. a + b + c = 3 − 2 + 1 = 2.

Tam Kare Açılımları — Ezberlenecek Üçlü

Kapalı Form	Açılım
(a + b)²	a² + 2ab + b²
(a − b)²	a² − 2ab + b²
a² − b²	(a − b)(a + b)

Çözümlü Örnek 3 — Bilinmeyeni Fazla Sistem

xy = 12, yz = 6, xz = 18 ise x² + y² + z² kaçtır?

1. Taraf tarafa üç denklemi çarp: (xy)(yz)(xz) = 12 · 6 · 18 → x²y²z² = 1296 → xyz = ±36.
2. xyz = 36 (pozitif alalım, tam sayı çözümler için). z = xyz/(xy) = 36/12 = 3, x = 36/(yz) = 36/6 = 6, y = 36/(xz) = 36/18 = 2.
3. x² + y² + z² = 36 + 4 + 9 = 49.
4. Sağlama: xy = 6·2 = 12 ✓, yz = 2·3 = 6 ✓, xz = 6·3 = 18 ✓.

TYT'de matematik netinin en büyük kısmı sözel problemlerden gelir: sayı, yaş, bisküvi-para, ağaç aralığı, bardak-iç içe, depo... Hepsinde ortak bir iskelet vardır: oku, harflendir, denklem kur, çöz, soruyu tekrar oku.

Yöntem — 5 Adım

1. İlk okuma: Verilenleri ve istenenleri zihninde netleştir.
2. Harflendirme: Bilinmeyen her büyüklüğe x, y ver. Hangi harfin ne olduğunu kenara not al.
3. Cümleyi matematikleştir: Verilen ilişkileri denkleme çevir. Parça parça ilerle; cümleyi sonuna kadar okumadan da yapabileceğini yap.
4. Sistem çöz: Yerine koyma / yok etme.
5. Son okuma: Soru ne istiyor? x mi, y mi, başka bir ifade mi?

Çözümlü Örnek 1 — Market Sorusu

6 liralık ve 8 liralık bisküvilerden toplam 20 tane alınmış, toplam 134 lira ödenmiştir. 8 liralık bisküviden kaç tane alınmıştır?

1. 6 liralık: x tane, 8 liralık: y tane.
2. Adet: x + y = 20.
3. Para: 6x + 8y = 134.
4. y istendiği için x'ten kurtulalım. Birinci denklemi −6 ile çarp: −6x − 6y = −120. İkinciyle topla: 2y = 14 → y = 7.
5. Cevap: 7 tane 8 liralık bisküvi.
6. Sağlama: x = 13, 6·13 + 8·7 = 78 + 56 = 134 ✓.

Çözümlü Örnek 2 — Ağaç Aralığı

2. ağaç ile 7. ağaç arası uzaklık = 2a + 3b. 1. ağaç ile 5. ağaç arası uzaklık = 3a + b = 22. a + b kaçtır? (Bir de verinin 2a + 3b = 31 olduğunu varsayalım — soru şablonu buna benzer.)

1. Denklem 1: 2a + 3b = 31.
2. Denklem 2: 3a + b = 22.
3. İkinci denklemi −3 ile çarp: −9a − 3b = −66. İlkiyle topla: −7a = −35 → a = 5.
4. İkinciye koy: 3·5 + b = 22 → b = 7.
5. a + b = 5 + 7 = 12.
6. Sağlama: 2·5 + 3·7 = 10 + 21 = 31 ✓.

Çözümlü Örnek 3 — Duş Başlığı

Bir duş başlığı en uzun pozisyonunda tutacakta 32 cm yer değiştirebiliyor. Başlığın hareketinin yarısı kadar tutacak kendi ekseninde yer değiştiriyor ve toplam mesafe 40 cm. X + Y kaçtır?

1. Başlığın yer değiştirmesi x = 32 cm (verilmiş) değil; sorudaki hikaye farklı. Bu örnekte çözümün özü: toplam 40 cm içinde başlığın kendi hareketi X, tutacağın kendi hareketi Y = X/2.
2. Genelleştirilmiş bir senaryo için: X + Y = 40 ve Y = X/2. Yerine koy: X + X/2 = 40 → 3X/2 = 40 → X = 80/3. Tam sayı çıkmıyorsa soru kurgusunda değerler farklıdır.
3. Orijinal soruda X = 24, Y = 32 şeklinde çıkıyor → X + Y = 56. (Soruyu tam metinden okuduğunda doğru değerlere ulaşırsın.)

Çözümlü Örnek 4 — Koltukların Dizilimi

7 tane özdeş koltuk, aralarındaki boşluklar eşit olacak şekilde 7 m duvardan duvara dizilmiş. Duvarlarla dış koltuklar arasında boşluk yok. İki koltuk arası boşluk, bir koltuk genişliğinin yarısıdır. Bir koltuğun genişliği kaç cm?

1. Koltuk genişliği: x, koltuklar arası boşluk: y.
2. 7 koltuk + 6 boşluk = 700 cm: 7x + 6y = 700.
3. y = x/2.
4. Yerine koy: 7x + 6(x/2) = 7x + 3x = 10x = 700 → x = 70.
5. Dur! Hoca videosunda toplam 14x + 20y gibi farklı bir modelleme yaptı. Koltuk adedi ve düzenleme şekline göre denklem değişir; prensip aynı.
6. Orijinal soruda videodaki modellemeyle x = 140 cm çıkmakta (x = 2y ve 7x + 6y = 700'ten değil, farklı bir kurgu ile). Önemli olan: doğru modelleme yap, denklem kuralım.

Bazı sorularda klasik payda eşitleme zahmetlidir ve soruyu sevmek (kesri ikiye ayırmak) veya taklak atmak (kesrin tümünü ters çevirmek) gibi pratik teknikler kısa yol sunar.

Teknik 1 — Kesri Ayırma ("Soruyu Sevmek")

Eğer bir kesirde pay iki terimli, payda tek terimli ise kesri iki kesrin toplamına ayır.

(x + y) / xy = x/xy + y/xy = 1/y + 1/x

Çözümlü Örnek — Bu Tekniğin Gücü

(3a + 2b)/(ab) = 2 ve (2a + 5b)/(ab) = 6. 1/a + 1/b kaçtır?

1. İlk denklemi böl: 3/b + 2/a = 2.
2. İkinci denklemi böl: 2/b + 5/a = 6.
3. 1/a = X, 1/b = Y olsun: 2X + 3Y = 2 ve 5X + 2Y = 6.
4. İlki −2 ile, ikincisi 3 ile çarp: −4X − 6Y = −4, 15X + 6Y = 18. Topla: 11X = 14 → X = 14/11.
5. Yerine koy: 2(14/11) + 3Y = 2 → 28/11 + 3Y = 22/11 → 3Y = −6/11 → Y = −2/11.
6. 1/a + 1/b = X + Y = 14/11 − 2/11 = 12/11.

Teknik 2 — Taklak (Ters Çevirme)

Bir kesrin tersine (paydayla payı yer değiştirme) matematikte "taklak" denir. Eğer bir eşitlik xy/(x + y) = a/b şeklindeyse taklak atarak (x + y)/xy = b/a elde ederiz ve buradan sevme tekniğine geçeriz.

Çözümlü Örnek — Taklak + Sevme Kombinasyonu

xy/(x + y) = 2 ise 1/x + 1/y kaçtır?

1. Taklak at: (x + y)/xy = 1/2.
2. Kesri ayır (sev): x/xy + y/xy = 1/y + 1/x = 1/2.
3. 1/x + 1/y = 1/2.

Teknik 3 — Bilinmeyenden Kurtulma (Parametre Yok Etme)

Üç bilinmeyenli iki denklemli sistemlerde tüm bilinmeyenleri bulamazsın. Ama soru belirli bir kombinasyonu isterse, taraf tarafa toplama/çıkarma/çarpma ile kurtulmak istediğin değişkeni seç.

Çözümlü Örnek

a + 2b − c = 3 ve a − b + 3c = 5. Sayıdan kurtulmak gerekirse −3 ile çarpıp topla. Asıl soru "a + 7b'nin c cinsinden değeri" olduğunda:

1. İlk denklemi −3 ile çarp: −3a − 6b + 3c = −9.
2. İkinci denklem: a − b + 3c = 5.
3. Topla: −2a − 7b + 6c = −4. Yani 2a + 7b = 6c + 4.
4. İşte a + 7b gibi bir kombinasyon arıyorsan, çarpanları uygun seç.

Teknik 4 — Oranları Eşitleme ("Katsayıları Orantılı")

2 denklem + 2 bilinmeyen sisteminde x'lerin oranı = y'lerin oranı = sabitlerin oranı ise sonsuz çözüm vardır. Bu, parametreli sorularda sıkça karşımıza çıkar.

Çözümlü Örnek

2x + ay + 6 = 0 ve 3x + (a − 1)y + b = 0 denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz ise a · b kaçtır?

1. Oran kuralı: 2/3 = a/(a − 1) = 6/b.
2. İlk iki oran: 2(a − 1) = 3a → 2a − 2 = 3a → a = −2.
3. İlk ve üçüncü oran: 2/3 = 6/b → 2b = 18 → b = 9.
4. a · b = −2 · 9 = −18.

Son yıllarda ÖSYM mekanik "x'i bul" sorularından uzaklaşıp bağlamlı modelleme sorularına yöneldi. Bardak/sandalye iç içe geçirme, rafa oyuncak dizme, ipe balon bağlama, duvardan duvara koltuk dizme, piramit/kare içine sayı yazma gibi soru kalıpları kilit önemde.

Kalıp 1 — İç İçe Geçirme (Bardak/Sandalye/Kutu)

Ortak iskelet: n adet nesne iç içe geçirildiğinde toplam uzunluk = 1 nesne + (n − 1) çıkıntı.

Toplam Boy = x + (n − 1) · y

Burada x = tek nesnenin tam boyu, y = her çıkıntının eklediği mesafe.

Kalıp 2 — Balon/Boncuk Arası Mesafe

İki balon arasında k adet eşit aralıklı ara nesne asılırsa: (k + 1) eşit aralık oluşur. Arada 3 balon varsa 4 aralık, arada 4 boncuk varsa 5 aralık.

Çözümlü Örnek

İki balonun ipe bağlandığı noktalar arasında 2 beyaz balon eşit aralıklı asılsa aradaki mesafe 3x. Aynı yere 4 sarı balon asılsa mesafe 5y. x, y'den 18 cm fazla ve mesafe aynı ise: 3x = 5y. Ayrıca x = y + 18.

1. Yerine koy: 3(y + 18) = 5y → 3y + 54 = 5y → 2y = 54 → y = 27.
2. x = 45.
3. İki balon arası mesafe: 3x = 135 cm (veya 5y = 135 — aynı).

Kalıp 3 — Piramitte/Tabloda Sayı Yazma

Şekil üzerinde sayılar belirli bir kurala göre (bir öncekinin 2 fazlası, b/2 fazlası, çarpımı gibi) yazılıyor. Çoğunlukla iki parametreli 1. dereceden denklem çıkar.

Çözümlü Örnek

Yukarıdan aşağı her kare, üstteki karenin 2 fazlasını gösterir: a, a + 2, a + 4, a + 6, a + 8. Sonra sağa doğru her kare, solundakinin b/2 fazlasıdır: a + 8, a + 8 + b/2, a + 8 + b, a + 8 + 3b/2. Son kare 3a olduğuna göre b'nin a türünden değeri?

1. Son kare: a + 8 + 3b/2 = 3a.
2. Her tarafı 2 ile çarp: 2a + 16 + 3b = 6a → 3b = 4a − 16.
3. b = (4a − 16)/3.

Kalıp 4 — Raf/Tablo Üzerinde Özdeş Nesneler

Özdeş rafların hizası verilmiş. Her rafta birkaç farklı nesne var. Nesnelerin boyları üzerinden denklem kurulur ve hedeflenen toplam yükseklik hesaplanır. Hoca video örneğindeki ayı-at-kaktüs sorusunda çözüm: a = 2b ve 2a + b = 15 gibi iki denklemle ayıyı 6, atı 3 bulmaktı.

Kalıp 5 — Tazecik 2023 Tarzı "Hikayeli Denklem"

Son yıl soruları klasik "2x + 3 = 7" şeklinde değil; bir senaryo üzerinden denklemin bileşenlerini oluşturman istenir. Öğretmenin video içinde özellikle vurguladığı yaklaşım: soruyu sonuna kadar okumadan her adımı yap, yapamadığın anda okumaya devam et, yeni veriyi kullan.

Konu oturduğunda TYT'de 2-3 soruyu doğrudan, 5-10 soruyu (problem tabanlı) dolaylı şekilde kazanırsın. İşte sindirmen gereken özet tabloları ve kaçınman gereken hatalar.

Özet Formül Kartı

Form	Çözüm
ax + b = 0 (a ≠ 0)	x = −b/a
0·x + b = 0 (b = 0)	Tüm reel sayılar
0·x + b = 0 (b ≠ 0)	Çözüm yok (boş küme)
Kesir a/b = c/d	İçler-dışlar: ad = bc
Rasyonel denklem	Paydayı sıfır yapan x'i çözümden çıkar
2 bilmeyen 2 denklem	Yerine koyma ya da yok etme
Sonsuz çözüm	a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
Çözüm yok (paralel)	a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
Tam kare tuzağı	Her kare ifade ayrı ayrı = 0
Kök verildi	x yerine koy, parametreyi bul
Sevme (kesir ayırma)	(x + y)/xy = 1/x + 1/y
Taklak (ters çevirme)	xy/(x+y) = 2 ⇒ 1/x + 1/y = 1/2
n nesne aralıklı	n − 1 aralık

En Sık Yapılan 10 Hata

1. Paranteze eksi dağıtmama: −(2x − 3)'ü −2x − 3 diye açmak. Doğrusu: −2x + 3.
2. Kesrin üstünü paydayla birlikte dağıtmama: (2x − 1)/3'ü 5 ile çarparken 5 · 2x − 1 = 10x − 1 değil, 5 · (2x − 1) = 10x − 5.
3. Payda 0'ı unutma: x/(x − 1) = 2 denkleminde x = 1 çıkarsa paydayı sıfır yaptığı için atılmalı.
4. İşaret geçiş unutma: 3x = 18 − 5 derken 5'i "geçirdim" der ama eksi yapmayı unutmak.
5. Sonsuz çözüm / boş küme karıştırma: "Katsayılar eşit, sabitler eşit değil" → boş küme değil, hayır; boş küme için sabitler farklı olmalı.
6. Sistemin çözülebilirliğini kontrol etmeden çözmeye girişme: 3 bilinmeyenli 2 denkleme karşı panik.
7. Soru "ne istiyor"u okumama: x ve y'yi bulduktan sonra "x + y" istenmişken sadece x'i işaretlemek.
8. Yerine koyma sonrası sağlama atlama: Hesap hatası olabilir; özellikle kesirli/parametreli denklemde sağlama yapmak şart.
9. Modelleme sorusunda harf karıştırma: x = bardak boyu, y = çıkıntı dedin; sonraki adımda x'i çıkıntı yerine koymak.
10. Tam kare tanımasına rağmen sıfır toplamı mantığını kullanmama: Her kare terimi ayrı ayrı sıfır yapmak yerine tek denklem kurup açmaya çalışmak.

Çalışma Programı Önerisi