TYT Matematik — EBOB ve EKOK

EBOB ve EKOK, "ortak" kelimesinin matematiksel hayat hikâyesidir. İki sayının hangi sayılara birlikte bölündüğünü ya da hangi sayılarda birlikte sonlandığını merak ediyorsak, soruyu iki kavrama indirgeriz: EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat). Birincisi bölenlere bakar, ikincisi katlara. Birincisi sayıları parçalar, ikincisi sayıları birleştirip büyütür.

Mantık — "Bölen Küçük, Kat Büyük"

İki sayının EBOB'u o sayılardan daha küçük ya da onlara eşit olabilir; çünkü bölen daima bölünenden büyük değildir. Aynı şekilde iki sayının EKOK'u o sayılardan daha büyük ya da onlara eşittir; çünkü kat daima o sayıdan küçük değildir. Bu bir saygı sırası gibi aklında kalsın:

Sayısal Örnek — 12 ve 18

12 ve 18 sayılarını inceleyelim. 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12. 18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6. En büyüğü 6. Yani EBOB(12, 18) = 6.

12'nin katları: 12, 24, 36, 48, ... 18'in katları: 18, 36, 54, ... İlk ortak kat: 36. Yani EKOK(12, 18) = 36.

"Bölen mi, Kat mı?" Karar Pratiği

Problem sorularında kavramı tanımak için tek soru sor: "Sayılar küçültülüyor mu, büyütülüyor mu?"

• Parçala, böl, eşit dağıt: Bilyeleri kutulara, tahtayı eşit parçalara, bahçeyi karelere böl → EBOB.
• Bir araya getir, büyüt, aynı anda olacak zaman: Farklı ürün miktarlarını tam sayıda aynı kutuya doldur, iki saat kulesinin ne zaman birlikte öteceği, ortak periyot → EKOK.

Öğrencilerin en büyük sorunu EBOB ile EKOK'u karıştırmaktır. Sebep basit: iki kavram aynı sayılarla çalışır ama karşıt yönde ilerler. Bu yüzden önce yan yana karşılaştırmak şart.

Yan Yana Karşılaştırma Tablosu

Hatırlatma Cümlesi (Ezber Formülü)

En Sık Hata: Üs Seçiminde Karışıklık

Öğrenci asal çarpanlara ayırma sonrası "hangi üssü alacağım?" sorusuyla donar. İki kere tekrarla:

EBOB ve EKOK'u hesaplamanın iki ana yolu vardır. Hangisini kullanacağın soruya ve verilere göre değişir.

Yöntem 1 — Merdiven (Yan Çizgi) Yöntemi

Sayıları yan yana yaz, yanına bir çizgi çek, iki sayıyı da bölen asal sayılarla tek tek bölmeye başla. Her iki sayıyı da bölen asalları işaretle; yalnızca birini bölenleri işaretleme.

Örnek: 24 ve 36 sayıları.

24 | 36  | 2*   ← ikisi de 2'ye bölünüyor → işaretle
12 | 18  | 2*   ← ikisi de 2'ye bölünüyor → işaretle
 6 |  9  | 3*   ← ikisi de 3'e bölünüyor  → işaretle
 2 |  3  | 2    ← sadece 24 ikiye bölünüyor → işaretleme
 1 |  3  | 3    ← sadece 36 üçe bölünüyor → işaretleme
 1 |  1

• EBOB = sadece işaretli asalların çarpımı = 2 · 2 · 3 = 12.
• EKOK = yan çizgideki tüm asalların çarpımı = 2 · 2 · 3 · 2 · 3 = 72.
• Doğrulama: 24 · 36 = 864, EBOB · EKOK = 12 · 72 = 864. ✓

Yöntem 2 — Asal Çarpanlara Ayırma

Her sayıyı asal çarpanlarının üslü çarpımı olarak yaz. Ardından tablo kur.

Örnek: 24, 36, 54 sayılarının EBOB ve EKOK'u.

1. 24 = 2³ · 3¹
2. 36 = 2² · 3²
3. 54 = 2¹ · 3³

EBOB: Ortak olan asallar 2 ve 3. 2'lerden üssü küçük olan 2¹, 3'lerden üssü küçük olan 3¹ → EBOB = 2 · 3 = 6.

EKOK: Tüm asallar 2 ve 3. 2'lerden üssü büyük olan 2³, 3'lerden üssü büyük olan 3³ → EKOK = 8 · 27 = 216.

Hangi Yöntemi Ne Zaman?

• Merdiven: Sayılar tanıdık ve küçük. Hem EBOB hem EKOK bir seferde çıkar.
• Asal çarpanlara ayırma: Soru sana sayıları zaten 2² · 3² gibi üslü biçimde veriyorsa ya da üç sayı varsa daha rahat.
• Bakışla görme: EBOB(8, 12) = ? — sayıları tanıdığın için 4'ün her ikisini de böldüğünü görürsün. Bakışla 4 deyip geçersin.

Çözümlü Örnek — Bakışla Gidiş

EBOB(60, 80) = ? ve EKOK(60, 80) = ?

1. 60 = 10 · 6 = 2² · 3 · 5 ve 80 = 10 · 8 = 2⁴ · 5. Bakışla 20 (yani 2² · 5) ortak, işaret bu.
2. 60 = 20 · 3, 80 = 20 · 4. 3 ve 4 aralarında asal → başka ortak çarpan yok, EBOB = 20.
3. EKOK: 20 · 3 · 4 = 240 (EBOB çarpı kalan çarpanlar).
4. Doğrulama: 60 · 80 = 4800, 20 · 240 = 4800. ✓

EBOB/EKOK'un en sık kullanılan formülü şudur: iki sayının çarpımı, EBOB ve EKOK'un çarpımına eşittir. AYT'de klasik soru kaynağıdır.

İspat — Neden Doğru?

EBOB'a d diyelim. O halde a = d · k, b = d · t olacak ve burada k ile t aralarında asaldır.

1. EKOK(a, b) = d · k · t (ortak d bir kez, aralarında asal k ve t ikisi de).
2. a · b = (d · k) · (d · t) = d² · k · t.
3. EBOB · EKOK = d · (d · k · t) = d² · k · t.
4. İkisi eşit. İspat tamam.

Çözümlü Örnek 1 — Doğrudan Uygulama

İki sayının EBOB'u 6, EKOK'u 42'dir. Bu sayıların çarpımı kaçtır?

1. Formül: a · b = EBOB · EKOK = 6 · 42.
2. Hesap: 6 · 42 = 252.
3. Cevap: 252.

Çözümlü Örnek 2 — Sayıları Bulma

İki sayının EBOB'u 6, EKOK'u 42'dir. Bu sayılar nelerdir?

1. a = 6k, b = 6t; k, t aralarında asal.
2. EKOK = 6 · k · t = 42 → k · t = 7.
3. 7 asal; aralarında asal ikililer: (1, 7) ve (7, 1).
4. Sayılar: 6 · 1 = 6 ve 6 · 7 = 42.
5. Doğrulama: EBOB(6, 42) = 6, EKOK(6, 42) = 42. ✓

Çözümlü Örnek 3 — Formül + Cebir

a² ile b²'nin EKOK'u x⁴y ve EBOB'u x²'ye eşittir. a · b'yi x ve y cinsinden bul. (AYT tipi)

1. Formül (iki sayı olan a² ve b² için): a² · b² = EBOB · EKOK = x² · x⁴y = x⁶y.
2. (a · b)² = x⁶y.
3. Karekök al: a · b = x³ · √y (pozitif aldık).

Çözümlü Örnek 4 — İki Sayı Farkı Bulmak

m ile n doğal sayılarının EBOB'u 8, EKOK'u 120'dir. m + n toplamının alabileceği en küçük değer nedir? (m ≠ n)

1. m = 8k, n = 8t; k, t aralarında asal ve farklı.
2. EKOK = 8kt = 120 → kt = 15.
3. 15 = 3 · 5 veya 15 = 1 · 15. Her iki ikili de aralarında asal.
4. Toplam = 8(k + t). En küçük toplam için k + t en küçük olmalı.
5. (3, 5) → k + t = 8. (1, 15) → k + t = 16.
6. En küçük toplam: 8 · 8 = 64.

Formül ezberlemek yerine soru çözümünde kullanabileceğin en güçlü alışkanlık şudur: EBOB görünce, iki sayıyı hemen "k ve t katı" olarak yaz ve yanına "k, t aralarında asal" notunu düş. Bu basit refleks, TYT/AYT'deki EBOB sorularının çoğunu çözer — formülün işe yaramadığı durumlarda bile.

"Aralarında Asal" Kısmı Neden Zorunlu?

k ile t arasında ortak bir çarpan kalsaydı, onu da EBOB'a ekleyebilirdik ve EBOB daha büyük olurdu — yani d "en büyük" ortak bölen olamazdı. EBOB "en büyüğü" olduğu için k, t mecburen aralarında asaldır. Bu detayı unutursan soru yanıltır.

Çözümlü Örnek 1 — Aralarında Asal Olmayı Unutmak Tuzağı

a ve b doğal sayılarının EBOB'u 20'dir. a + b'nin alabileceği en küçük değer nedir?

1. a = 20k, b = 20t, k, t aralarında asal.
2. Toplam = 20(k + t).
3. Soru "farklı" demiyor; a = b olabilir. Bu durumda k = t = 1. 1, 1 aralarında asal mı? Evet, tek ortak çarpan 1.
4. En küçük toplam = 20(1 + 1) = 40.
5. Varyant: Soru "a ≠ b" deseydi, k ve t farklı olmalı. En küçük aralarında asal farklı ikili (1, 2). Toplam = 20 · 3 = 60.

Çözümlü Örnek 2 — İki Basamaklı Maksimum

İki basamaklı k ve m doğal sayılarının EBOB'u 9'dur. k + m toplamının alabileceği en büyük değer nedir?

1. k = 9α, m = 9β, α, β aralarında asal.
2. İki basamaklı olma sınırı: 9α ≤ 99 → α ≤ 11. Aynı şekilde β ≤ 11.
3. En büyük aralarında asal ikili: (11, 10) — ardışık sayılar her zaman aralarında asal.
4. Toplam = 9 · (11 + 10) = 9 · 21 = 189.

Çözümlü Örnek 3 — Tek Bilinmeyenin Fark Alması

EBOB(m, 54) = 6 olduğuna göre m'nin alabileceği en büyük ve en küçük değer arasındaki fark kaçtır?

1. 54 = 6 · 9. Yani m = 6 · k ve k ile 9 aralarında asal.
2. 9 = 3². Dolayısıyla k, 3'ün katı olmamalı.
3. En küçük m: k'nın en küçük pozitif değeri 1. m = 6. (1 her sayıyla aralarında asaldır.)
4. En büyük m: m < 54 gerekir (verilen aralığa göre) → k < 9 ve 3'e bölünmeyen en büyük k = 8. 8 ile 9 aralarında asal (ardışık). m = 6 · 8 = 48.
5. Fark = 48 - 6 = 42.

Eğer iki sayı aralarında asalsa (ortak çarpanları yalnızca 1 ise), EBOB/EKOK kuralları kısa devre olur:

Kim Aralarında Asaldır?

• Ardışık iki tam sayı: (7, 8), (10, 11), (29, 30) gibi. Her zaman aralarında asal.
• Ardışık iki tek sayı: (3, 5), (11, 13), (25, 27) gibi. Her zaman aralarında asal.
• Farklı iki asal sayı: (7, 11), (13, 17). Her zaman aralarında asal.
• Bir sayı ile 1: Her zaman aralarında asal.
• Uyarı — ardışık iki çift sayı aralarında asal değildir. (6, 8) → ortak 2, (10, 12) → ortak 2.

Çözümlü Örnek 1 — Ardışık Sayılar

a, b ardışık pozitif tam sayılardır ve b > a. EKOK(a, b) = 132. 2a - b = ?

1. Ardışık sayı → aralarında asal → EKOK = a · b = 132.
2. Ardışık çarpanlara ayır: 132 = 11 · 12. Yani a = 11, b = 12.
3. 2a - b = 22 - 12 = 10.

Çözümlü Örnek 2 — Ardışık Çift Sayılarda Dikkat

m, n ardışık iki pozitif çift sayıdır (n > m). EKOK(m, n) = 24. m + n = ?

1. Ardışık çift sayılar aralarında asal değildir; her ikisi de 2'ye bölünür.
2. m = 2k, n = 2(k + 1) (aralarında 2 fark).
3. EBOB(m, n) = 2 ve EKOK(m, n) = 2 · k · (k + 1) (k ve k + 1 ardışık → aralarında asal).
4. 2k(k + 1) = 24 → k(k + 1) = 12 → k = 3.
5. m = 6, n = 8. m + n = 14.

Çözümlü Örnek 3 — Kaç Farklı İkili?

m, n aralarında asal pozitif tam sayılardır. EKOK(m, n) = 45. m < n olmak üzere kaç farklı (m, n) ikilisi vardır?

1. Aralarında asal → m · n = 45.
2. 45 = 3² · 5. Aralarında asal çarpan ayrışımında bir asal tabanın kuvveti tek parça olarak gitmeli (bölemeyiz).
3. Seçenekler: 3² ve 5'i "bir arada mı ayrı mı" dağıtırız. İkili: (1, 45), (5, 9).
4. Dikkat: (3, 15) → ortak 3 var, aralarında asal değil. (9, 5) → m < n şartını sağlayan sıralama (5, 9).
5. Cevap: 2 farklı ikili.

Bazı sorular sana EBOB yerine EKOK'u verir. Bu durumda yaklaşım değişir ama temel mantık aynı: iki sayıyı bir "ortak çarpan" ile ifade etmeye çalış.

Klasik Kalıp — EKOK Verildi, Toplamın Uç Değerleri

a · b doğal sayılarının EKOK(a, b) = 30. a + b toplamının alabileceği en küçük ve en büyük değer nedir? (a ≠ b)

En Küçük Toplam

Toplamı en küçük yapmak istiyorsan, sayıları birbirine mümkün olduğunca yakın almalısın. Bunun için a ile b'nin aralarında asal olması en avantajlı (EBOB 1 olduğu için çarpımları 30 olur).

1. 30'u aralarında asal iki çarpanı: (1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6).
2. Her birinin toplamı: 31, 17, 13, 11.
3. En küçük toplam: 5 + 6 = 11.

En Büyük Toplam

Toplamı en büyük yapmak için "sayılardan biri EKOK'un kendisi olsun, diğerini o sayının bölenlerinden seç" mantığı işe yarar (ama eşit olmasınlar).

1. Bir sayı = 30. Diğeri 30'dan farklı olmak zorunda. Diğerini 30'un bölenleri arasından seçeceğiz.
2. 30'un bölenleri: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. 30'u çıkar → kalan en büyük 15.
3. Kontrol: EKOK(30, 15) = 30 ✓.
4. En büyük toplam: 30 + 15 = 45.

Çözümlü Örnek — Çarpımı Verilmiş EKOK Sorusu

a, b doğal sayılarının EBOB'u 8, EKOK'u 120'dir. a · b = ?

1. İki sayı için: a · b = EBOB · EKOK = 8 · 120 = 960.
2. Cevap: 960.
3. Doğrulama (temel mantıkla): a = 8k, b = 8t; EKOK = 8kt = 120 → kt = 15. Olası (k, t) = (1, 15), (3, 5). a · b = 64 · kt = 64 · 15 = 960. ✓

Çözümlü Örnek — EKOK'tan Kaç İkili

EKOK(a, b) = 36. a ≤ b olmak üzere kaç farklı (a, b) ikilisi vardır?

1. 36 = 2² · 3². Bu ikilide her bir asal tabanın üssü, iki sayıdan birinde en az ikinci kuvvet olmalı (max alındığı için).
2. İkililer: (1, 36), (2, 36), (3, 36), (4, 36), (4, 9), (4, 18), (9, 36), (9, 12), (12, 36), (12, 18), (18, 36), (36, 36), (4, 27)—hayır (27, 36): EKOK(27, 36) = 108 ≠ 36. Dikkat, tek tek kontrol gerekiyor.
3. Sistematik yaklaşım: a = 2ˣ · 3ʸ, b = 2ᵘ · 3ᵛ. max(x, u) = 2, max(y, v) = 2.
4. Üs ikilileri: (x, u) için max = 2 → 5 seçenek (0,2), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2). Aynı şekilde (y, v) için 5 seçenek. Toplam 25 (sıralı ikili).
5. a ≤ b istendiği için sıralı ikililerin sıralamasından bağımsız (a, b)'yi sayıyoruz. (a = b) durumu 1 ikili (sadece a = b = 36 değil; başka eşitlikler olamaz çünkü EKOK(a, a) = a olacağından a = 36 zorunlu). Kalan 24 sıralı ikili, sırasız olarak 12 ikili.
6. Toplam: 12 + 1 = 13 farklı ikili.

İki sayı için geçerli kurallar üç ve fazlasına uzatılabilir, ama a · b · c = EBOB · EKOK formülü artık geçerli değildir. Merdiven ya da asal çarpan yaklaşımına geri dön.

Üç Sayıda Merdiven

Sayıları yan yana yaz, üçünü birden bölen asalları yine işaretle. İki sayıyı bölen asalları da EKOK için listeye ekle, ama EBOB'a yazma.

Örnek: EBOB(9, 10, 12) ve EKOK(9, 10, 12).

1. 9 = 3², 10 = 2 · 5, 12 = 2² · 3.
2. EBOB: Her üçünde ortak olan asal yok. Yani EBOB = 1.
3. EKOK: Tüm asallar: 2, 3, 5. Üsleri max: 2² (12'den), 3² (9'dan), 5¹ (10'dan). EKOK = 4 · 9 · 5 = 180.

Çözümlü Örnek 1 — Üç Sayılı "Kare" Problemi

Bir sayının 90, 60 ve bilinmeyen x sayısının EKOK'u 360'tır. x'in en küçük değeri kaçtır?

1. 90 = 2 · 3² · 5, 60 = 2² · 3 · 5.
2. Bunlarla EKOK'ta kesin gelen: 2² · 3² · 5 = 180.
3. Hedef 360 = 2³ · 3² · 5. Fark: bir fazla "2" lazım, yani 2³ = 8 çarpanı.
4. x, 2³ (yani 8) çarpanını içermeli. 3 ve 5 çarpanları 90/60'tan geldiği için zorunlu değil.
5. En küçük x = 2³ = 8.
6. Doğrulama: EKOK(90, 60, 8). 8 = 2³, 90 = 2·3²·5, 60 = 2²·3·5. EKOK = 2³ · 3² · 5 = 360. ✓

Çözümlü Örnek 2 — Üç Sayılı EBOB Sıralama

P, Q, R birer asal sayı; A, B, C birer sayma sayısıdır. M = P^A · Q^B · R^A ve N = P^B · Q^C · R^C. EBOB(M, N) = P · Q^C · R^C. A, B, C arasındaki sıralama nedir?

1. P'lerden üssü küçük alınan 1. Yani min(A, B) = 1. A, B'den biri 1.
2. Q'lardan üssü küçük alınan C. Yani min(B, C) = C. Bu C ≤ B.
3. R'lerden üssü küçük alınan C. Yani min(A, C) = C. Bu C ≤ A.
4. Birleşir: C ≤ B ve C ≤ A → C ≤ A, B.

Çözümlü Örnek 3 — Üç Sayının EBOB'unda Toplam Minimum

X = 2² · 3² · 5, Y = 2ʸ · 3 · ⋯, Z = 2² · 3² · 5ᶻ üç doğal sayıdır ve EBOB(X, Y, Z) = 2² · 3 · 5. X + Y + Z en küçük nedir? (Basitleştirilmiş versiyon: Y'nin eksik parçalarını en küçüğe yerleştir.)

1. 2'lerde ortak alınan 2² → Y'de 2 üssü en az 2.
2. 3'lerde ortak alınan 3¹ → Y'de 3 üssü en az 1 olmalı ama Z'deki 3² ile min 1 geldiğine göre Y'de 3¹ yeterli.
3. 5'lerde ortak alınan 5¹ → Y'de 5¹ zorunlu.
4. Y'nin en küçük hali: 2² · 3 · 5 = 60.
5. Z için 5^z'de min 5¹ aldığımıza göre z = 1 yeterli. Z = 2² · 3² · 5 = 180.
6. X + Y + Z = 180 + 60 + 180 = 420.

Problem sorularında EBOB/EKOK kelimesi genellikle geçmez. Senaryodan kavramı tanımamız gerekir. EBOB senaryolarında parçalara bölme, eşit dağıtma, en az kutu, en büyük parça boyu anahtar kelimelerdir.

Problem Tipleri Tablosu

Çözümlü Örnek 1 — Bilye ve Kutu

Ayşe'nin 60, Ali'nin 80 adet farklı bilyesi vardır. Bu bilyeler birbirine karıştırılmadan eşit sayıda kutulara konulacaktır. En az kaç kutuya ihtiyaç vardır?

1. Ayrı kutularda eşit sayıda olacaksa her kutunun bilye sayısı, 60 ve 80'in ortak böleni olmalı.
2. En az kutu → her kutuya olabildiğince çok bilye → ortak bölenlerin en büyüğü = EBOB(60, 80).
3. 60 = 2² · 3 · 5, 80 = 2⁴ · 5. EBOB = 2² · 5 = 20.
4. Ayşe: 60 / 20 = 3 kutu. Ali: 80 / 20 = 4 kutu. Toplam: 7 kutu.

Çözümlü Örnek 2 — Dikdörtgen Bahçeyi Karelere Bölme

Uzun kenarı 48 m, kısa kenarı 36 m olan dikdörtgen bir bahçe, kenarları tam sayı metre olan eşit karelere bölünecektir. Kare sayısı en az kaç olur?

1. Kareler eşit ve kenarları tam sayı → kare kenarı 48'in ve 36'nın ortak böleni.
2. Kare sayısı en az → her kare en büyük → kenar en büyük = EBOB(48, 36).
3. 48 = 2⁴ · 3, 36 = 2² · 3². EBOB = 2² · 3 = 12 m.
4. Uzun kenarda: 48 / 12 = 4 kare. Kısa kenarda: 36 / 12 = 3 kare.
5. Toplam: 4 · 3 = 12 kare.

Çözümlü Örnek 3 — Üç Farklı Bilye Grubu

1. kutuda 48, 2. kutuda 144, 3. kutuda 208 adet bilye vardır. Bu bilyeler birbirine karıştırılmadan her bir poşette eşit sayıda olacak şekilde poşetlere konulacaktır. En az kaç poşete ihtiyaç vardır?

1. Her poşet aynı sayıda → her poşetteki bilye, 48, 144, 208'in ortak böleni.
2. En az poşet → her poşet en çok bilye = EBOB(48, 144, 208).
3. 48 = 2⁴ · 3, 144 = 2⁴ · 3², 208 = 2⁴ · 13. Ortak: 2⁴ = 16. EBOB = 16.
4. Poşet sayıları: 48/16 = 3, 144/16 = 9, 208/16 = 13. Toplam: 25 poşet.

EKOK problemlerinde parçaları birleştirip büyük bir şekil oluşturma, ortak periyot, ortak zaman, tam bölünebilen sayı arama temaları öne çıkar.

Problem Tipleri Tablosu

Çözümlü Örnek 1 — Üç Basamaklı Tam Bölünenler

Hem 8'e, hem 9'a, hem 12'ye tam bölünen 3 basamaklı kaç tane pozitif tam sayı vardır?

1. Bu üç sayıyla tam bölünen sayı, üçünün ortak katı olmalı. En küçüğü = EKOK(8, 9, 12).
2. 8 = 2³, 9 = 3², 12 = 2² · 3. EKOK = 2³ · 3² = 72.
3. Sayımız 72'nin katı olmalı ve 3 basamaklı (100 ≤ sayı ≤ 999).
4. 72 · 2 = 144, 72 · 3 = 216, ..., 72 · 13 = 936, 72 · 14 = 1008 (4 basamak).
5. Kat sayısı: k = 2, 3, 4, ..., 13 → 13 - 2 + 1 = 12 tane.
6. Not: 72 · 1 = 72, 3 basamaklı değil; çıkardık.

Çözümlü Örnek 2 — En Küçük Doğal Sayı Çıkarma

225 sayısından en az hangi doğal sayı çıkarılırsa elde edilen sayı 8, 9 ve 12 ile tam bölünür?

1. Elde edilen sayı, 8, 9, 12'nin ortak katı = EKOK = 72'nin katı.
2. 72'nin katları: 72, 144, 216, 288, ... 225'ten küçük ve en büyüğü: 216.
3. Çıkarılacak sayı = 225 - 216 = 9.

Çözümlü Örnek 3 — Trafik Işığı Problemi

Üç trafik ışığı sırasıyla 15, 18 ve 24 saniyede bir kırmızıya döner. Aynı anda kırmızı yanan ışıklar, tekrar ne kadar sonra aynı anda kırmızıya döner?

1. Ortak kırmızı anı → periyotların ortak katı → en kısa süre = EKOK(15, 18, 24).
2. 15 = 3 · 5, 18 = 2 · 3², 24 = 2³ · 3.
3. EKOK = 2³ · 3² · 5 = 360 saniye.
4. Cevap: 360 / 60 = 6 dakika sonra.

Çözümlü Örnek 4 — Tugla ile Kare Oluşturma

En kısa kenarı 12 cm, uzun kenarı 20 cm olan dikdörtgen tuğlalar yan yana ve üst üste dizilerek en küçük kare oluşturulacaktır. Karenin bir kenarı kaç cm, toplam kaç tuğla kullanılır?

1. Karenin kenarı, hem 12'nin hem 20'nin katı olmalı → en küçük = EKOK(12, 20).
2. 12 = 2² · 3, 20 = 2² · 5. EKOK = 2² · 3 · 5 = 60.
3. Karenin bir kenarı 60 cm.
4. Yatayda: 60 / 20 = 3 tuğla. Dikeyde: 60 / 12 = 5 tuğla. Toplam: 3 · 5 = 15 tuğla.

TYT ve AYT'de en sık tuzak yapılan EBOB/EKOK alt tipi, "bir sayı a'ya bölününce k kalanı verir, b'ye bölününce k kalanı verir, ..." kalıbıdır. Burada direkt EKOK diyemezsin; önce o k'yı temizlemek için bir cebir hamlesi yaparsın.

Dört Temel Format

Format 4 Sihri — "Tamamlayıcı Sabiti Bul"

Kalanlar farklıysa, dikkat edilmesi gereken ortak bir örüntü vardır: bölen ile kalan arasındaki fark ortaktır.

• 3 - 1 = 2, 5 - 4 = 1, 8 - 5 = 3 — burada fark ortak değil, başka yaklaşım gerek.
• Ya da N + c üçünün de katı olsun deyip küçük c'den başla: c = 2 dene → N + 2 = 3x + 3 = 3(x+1) ✓; = 5y + 6 (5'e bölünmez) ✗. c = 11 dene → N + 11 = 3x + 12 = 3(x+4) ✓; = 5y + 15 = 5(y+3) ✓; = 8z + 16 = 8(z+2) ✓.

Çözümlü Örnek — Format 4

N = 3x + 1 = 5y + 4 = 8z + 5, x, y, z pozitif tam sayılar. N'nin en küçük değeri nedir?

1. Tamamlayıcı sabit araması (yukarıda yapıldı): c = 11.
2. N + 11, 3, 5 ve 8'in ortak katı → EKOK(3, 5, 8) = 120'nin katı.
3. En küçük N + 11 = 120 → N = 109.
4. Doğrulama: 109 / 3 = 36 kalan 1 ✓. 109 / 5 = 21 kalan 4 ✓. 109 / 8 = 13 kalan 5 ✓.

Çözümlü Örnek — Format 2 (Daha Kolay)

Bir doğal sayı 4, 6 ve 9 ile bölündüğünde her seferinde 3 kalanı veriyor. Bu şartı sağlayan en küçük 3 basamaklı sayı nedir?

1. N - 3, 4, 6 ve 9'un ortak katı → EKOK(4, 6, 9).
2. 4 = 2², 6 = 2 · 3, 9 = 3². EKOK = 2² · 3² = 36.
3. N - 3 = 36'nın katı → N = 3, 39, 75, 111, 147, ....
4. En küçük 3 basamaklı: N = 111.

TYT'de nadir ama AYT'de karşına çıkan bir alt başlık: kesirlerin EBOB/EKOK'u. Formül küçük bir numara içerir.

Hatırlatma Mantığı

Kesirde "en büyük ortak bölen" daha "küçük" bir kesir, "en küçük ortak kat" daha "büyük" bir kesirdir. Bir kesri küçültmenin yolu paydayı büyütmek veya payı küçültmek. Bu yüzden EBOB'da pay EBOB ve payda EKOK, EKOK'ta ters.

Çözümlü Örnek 1 — Klasik Kesir

2/3 ve 4/9 kesirlerinin EBOB ve EKOK'unu bul.

1. Paylar 2 ve 4: EBOB(2, 4) = 2, EKOK(2, 4) = 4.
2. Paydalar 3 ve 9: EBOB(3, 9) = 3, EKOK(3, 9) = 9.
3. EBOB(kesirler) = 2/9.
4. EKOK(kesirler) = 4/3.

Çözümlü Örnek 2 — Üç Kesir

3/4, 9/8, 15/16 kesirlerinin EBOB ve EKOK'u.

1. Paylar 3, 9, 15: EBOB = 3, EKOK = 45.
2. Paydalar 4, 8, 16: EBOB = 4, EKOK = 16.
3. EBOB(kesirler) = 3/16.
4. EKOK(kesirler) = 45/4.

Problem Uygulaması — Karışım Dağıtımı

Üç farklı kabın üçü de ince gres yağı içeriyor. Birincide 3/4 L, ikincide 9/8 L, üçüncüde 15/16 L yağ var. Bu yağlar hiç karıştırılmadan, eşit kapasiteli daha küçük kavanozlara dağıtılacak. Tüm yağları israf etmeden dolduracak en büyük kavanoz kapasitesi nedir?

1. Her kapsülden israfsız dağıtmak → kavanoz kapasitesi üç kesrin ortak böleni.
2. En büyük ortak bölen = EBOB(3/4, 9/8, 15/16) = 3/16 L.
3. Birinci kaptan: (3/4) / (3/16) = 4 kavanoz. İkinci: (9/8) / (3/16) = 6 kavanoz. Üçüncü: (15/16) / (3/16) = 5 kavanoz.
4. Toplam: 4 + 6 + 5 = 15 kavanoz. Her biri 3/16 L.

Sayılar tanıdık değilse (örneğin 143 ile 91) merdiven hangi asala bölüneceğini tahmin etmek zorlaşır. Bu durumda Öklid Algoritması devreye girer. Hızlı, sağlam, her zaman çalışır.

Algoritmanın Mantığı

İki sayının EBOB'u, büyük sayıdan küçük sayıyı çıkararak ya da bölerek yerini küçük sayıya bırakır. Tekrarla, kalan 0 olduğunda son bölen EBOB'tur.

Çözümlü Örnek 1 — 143 ve 91

1. 143 / 91 = 1, kalan 52 (çünkü 143 = 91 · 1 + 52).
2. 91 / 52 = 1, kalan 39.
3. 52 / 39 = 1, kalan 13.
4. 39 / 13 = 3, kalan 0.
5. Son bölen: 13. EBOB(143, 91) = 13.
6. Doğrulama: 143 = 13 · 11, 91 = 13 · 7. 11 ve 7 aralarında asal ✓.

Çözümlü Örnek 2 — 1001 ve 77

1. 1001 = 77 · 13 + 0, kalan 0.
2. EBOB = 77.
3. Doğrulama: 1001 = 77 · 13; 77 zaten 1001'in böleni.

Ne Zaman Öklid?

• Sayılar 3 basamaklı veya daha büyük.
• Hangi asala bölüneceği bakışta belli değil.
• EKOK için Öklid sonrası formül: EKOK(a, b) = (a · b) / EBOB(a, b).

Son olarak, EBOB/EKOK sorularında öğrencileri düşüren klasik tuzakları ve onlardan kaçmanın reflekslerini sıralayalım.

Tuzak #1: "Aralarında Asal" Koşulunu Unutmak

EBOB verildiğinde iki sayıyı d · k ve d · t yazarken k, t'nin aralarında asal olması zorunlu. Unutursan EBOB yanlış çıkar. Her zaman kafana: "EBOB verildi → aralarında asallık şart" diye işle.

Tuzak #2: "İki Sayı Çarpımı" Formülünü 3 Sayıda Kullanmak

a · b · c = EBOB · EKOK DEĞİL. Üç sayıda merdiven ya da asal çarpan yaklaşımına döneceksin. Bu formül sadece iki sayı içindir.

Tuzak #3: Tam Sayı / Doğal Sayı Farkı

Soru "tam sayılar" derse negatif değerler de dahil. "Doğal sayılar" derse 0, 1, 2, 3, ... Problem bölen sayısı sorduğunda tam sayı soruyorsa cevabı 2 ile çarpman gerekebilir (aynı bölenlerin eksiri de sayılır).

Tuzak #4: "Farklı" Kelimesinin Gücü

"a ≠ b" gören öğrenci bazen farkına varmaz. k = t durumunu eliyorsa toplam en küçük değer 1 artar (en küçük aralarında asal farklı ikili (1, 2)).

Tuzak #5: "Pozitif Bölen" Sayısı vs Tam Bölen Sayısı

Bölen sayısı sorulduğunda varsayılan pozitif sayıdır. "Tam bölen" denirse negatifler de eklenir, sayı iki katına çıkar.

Tuzak #6: Ardışık Çift Sayıları "Aralarında Asal" Sanmak

(6, 8), (10, 12) gibi ardışık çift sayılar aralarında asal değildir. Ortak çarpanları en az 2. Ardışık tam sayılar aralarında asal, ardışık tek sayılar aralarında asal, ardışık çift sayılar aralarında asal değil.

Tuzak #7: EKOK'ta Asalı Atlama

Merdiven yaparken bir asal yalnızca bir sayıyı bölüyorsa, bazı öğrenciler yan çizgiye yazmayı unutur. EKOK için hepsini alman gerek. EBOB için sadece işaretli (ikisini de bölen) asalları alırsın.

Son Hatırlatma — Bakış Algoritması

Çözümlü Örnek — Karmaşık Soru Bakışla Çözüm

İki sayı m, n'nin EBOB'u 4, EKOK'u 60'tır. 3m + 3n'nin alabileceği en küçük değer nedir?

1. m = 4k, n = 4t, k, t aralarında asal.
2. EKOK = 4kt = 60 → kt = 15.
3. Aralarında asal ikili (k, t): (1, 15), (3, 5).
4. Toplam m + n = 4(k + t). En küçük: (3, 5) → 4 · 8 = 32.
5. 3m + 3n = 3 · 32 = 96.