TYT Matematik — Asal Çarpanlara Ayırma

Bir doğal sayıyı birbirinden farklı asal sayıların kuvvetlerinin çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlara ayırma denir. Temel teorem şudur: 1'den büyük her doğal sayı tek bir biçimde (sıra önemsenmezse) asal çarpanlarının çarpımı olarak yazılabilir. Bu tekliğe Aritmetiğin Temel Teoremi denir; yani 60'ı asal çarpanlarına ayırdığında ne yaparsan yap sonunda aynı asallarda aynı üslerle karşılaşırsın.

Neden "Farklı" Asal Sayılar?

12 sayısını "2 · 6" diye yazmak da bir çarpan ayrıştırmasıdır ama asal çarpanlara ayırma değildir — çünkü 6 asal değil. Asal çarpanlara ayırdığında sadece tabandaki sayılar asal olmalı ve aynı asal iki kez görünmemeli; aynı asalın tekrarları üsde toplanır. Yani 12 = 2 · 2 · 3 yerine 12 = 2² · 3 yazılır.

Neden Bu Kadar Önemli? "Altyapı Konu"

Asal çarpanlara ayırmayı tek başına bir konu olarak gördüğünde "biraz hesap yaparız geçeriz" diye bakarsın ama bu konu pek çok farklı alanın altyapısıdır:

• Bölenler ve Bölen Sayısı: Bir sayının kaç pozitif böleni olduğunu üslerden hesaplarız (birazdan göreceğiz).
• EBOB ve EKOK: İki sayının ortak bölen/katlarını asal çarpanlardan okuruz.
• Tam Kare / Tam Küp: Bir sayının tam kare olup olmadığını, üslerine bakarak anlarız.
• Bölünebilme: "60'a bölünür mü?" sorusunda 60'ı asal çarpanlarına ayırıp her birinin bölünüp bölünmediğine bakarız.
• Polinom, Diziler, Faktöriyel: TYT ve AYT'nin birçok zor sorusu asal çarpanlara ayırma becerisini test eder.

Mnemonik — "Ağaç Ayırt, Asal Seç, Hiç Atla"

Öğrencilerin en sık yaptığı hatalardan kaçınmak için şu kısa hatırlatıcıyı kullanabilirsin:

Çözümlü Örnek 1 — Klasik Ayrıştırma

60 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

1. 60 = 2 · 30 (en küçük asal olan 2'ye böldük).
2. 30 = 2 · 15.
3. 15 = 3 · 5 (ikisi de asal — dur).
4. Birleştir: 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 2² · 3 · 5.
5. Doğrulama: 2² · 3 · 5 = 4 · 3 · 5 = 60 ✓

Çözümlü Örnek 2 — Aynı Sayıda Farklı Ağaç

Aynı 60'ı "3 · 20" diye başlayalım:

1. 60 = 3 · 20.
2. 20 = 2 · 10.
3. 10 = 2 · 5.
4. Birleştir: 60 = 3 · 2 · 2 · 5 = 2² · 3 · 5.
5. Sonuç: Hangi yoldan başlarsan başla aynı asallar aynı üslerle çıkar — Aritmetiğin Temel Teoremi.

Büyük sayıları "çubuk çekerek 2'ye, 2'ye, 3'e böldüm..." şeklinde alt alta bölmek uzun sürüyor ve hata riski taşıyor. Bunun yerine çok daha hızlı bir pratik var: sonu sıfırla biten sayıları 10'un kuvveti cinsinden parçala, kalanı da küçük parçalarla ayır.

Altın Pratik — "10'un Kuvvetiyle Parçala"

Sonu sıfırla biten bir sayı gördüğünde her sıfırı bir 10 olarak ayır. Çünkü 10 = 2 · 5, yani hazır asal çarpan. Geriye kalan küçük sayıyı ise aklından parçala.

Çözümlü Örnek 1 — 120 Sayısı

120'yi asal çarpanlarına ayıralım.

1. Son bir sıfır var → 120 = 12 · 10.
2. 12 = 4 · 3 = 2² · 3.
3. 10 = 2 · 5.
4. Birleştir: 120 = 2² · 3 · 2 · 5 = 2³ · 3 · 5.
5. Doğrulama: 2³ · 3 · 5 = 8 · 3 · 5 = 120 ✓

Çözümlü Örnek 2 — 180 Sayısı

180'i iki farklı yoldan deneyelim.

1. Klasik yol (çubuk çekerek): 180 → 2 ile böl → 90 → 2 ile böl → 45 → 3 ile böl → 15 → 3 ile böl → 5 → 5 ile böl → 1. Sonuç: 2² · 3² · 5.
2. Pratik yol: 180 = 18 · 10 = (2 · 3²) · (2 · 5) = 2² · 3² · 5.
3. Doğrulama: 2² · 3² · 5 = 4 · 9 · 5 = 180 ✓

Çözümlü Örnek 3 — 1000 Sayısı

Üç sıfır → 10³ gibi düşün.

1. 1000 = 1 · 10³ = 10³.
2. 10 = 2 · 5 olduğundan: 10³ = 2³ · 5³.
3. Yani 1000 = 2³ · 5³.
4. Doğrulama: 2³ · 5³ = 8 · 125 = 1000 ✓

Çözümlü Örnek 4 — 360 Sayısı

360'ı 36 · 10 diye parçala.

1. 360 = 36 · 10.
2. 36 = 4 · 9 = 2² · 3².
3. 10 = 2 · 5.
4. Birleştir: 360 = 2² · 3² · 2 · 5 = 2³ · 3² · 5.
5. Doğrulama: 2³ · 3² · 5 = 8 · 9 · 5 = 360 ✓

Asal çarpanlara ayırmanın en çok işe yarayan sonucu bölen sayısı hesabıdır. Bir sayıyı p^a · q^b · r^c biçiminde yazdığında pozitif bölenlerinin sayısı kısa bir formülle bulunur: üsleri birer artır, hepsini çarp.

N = p^a · q^b · r^c   ⇒   Pozitif Bölen Sayısı = (a+1) · (b+1) · (c+1)

Formülün Sezgisi — Neden Üsler+1?

Bir bölen oluştururken her asalın üssünü 0'dan başlayarak kendi üssüne kadar seçebilirsin. Mesela 12 = 2² · 3 için:

• 2'nin üssü: 0, 1 veya 2 olabilir (3 seçenek).
• 3'ün üssü: 0 veya 1 olabilir (2 seçenek).
• Toplam bölen sayısı: 3 · 2 = 6.

12'nin pozitif bölenlerini açıkça sayarsan: 1, 2, 3, 4, 6, 12 — tam 6 tane. Formül çalıştı.

Bölen Sayısı Tablosu — Sık Çıkan Sayılar

Sayı	Asal Ayrışım	Üsler+1	Pozitif Bölen Sayısı
12	2² · 3	3 · 2	6
60	2² · 3 · 5	3 · 2 · 2	12
120	2³ · 3 · 5	4 · 2 · 2	16
360	2³ · 3² · 5	4 · 3 · 2	24
1000	2³ · 5³	4 · 4	16

Çözümlü Örnek — 120'nin Pozitif Bölen Sayısı

120 sayısının pozitif bölenlerinin sayısını bulalım.

1. 120 = 12 · 10 = 2² · 3 · 2 · 5 = 2³ · 3 · 5.
2. Üsler: 3, 1, 1.
3. Üsler+1: 4, 2, 2.
4. Çarpım: 4 · 2 · 2 = 16.
5. Yani 120'nin 16 adet pozitif böleni vardır.

Dikkat — Üsleri Eksik Yazma!

Bir sayıda görünmeyen asalın üssü 1'dir. Mesela 60 = 2² · 3¹ · 5¹. 3 ve 5 için üsleri 1 yazdığında formülde (1+1) = 2 eklersin. En sık hata burada olur.

Bölen sayısı denildiğinde tek bir kavram yok — soruya göre farklı miktarlar hesaplanır. Dört temel tanım var:

Tanım Tablosu

Kavram	Formül	Açıklama
Pozitif Bölen Sayısı	(a+1) · (b+1) · (c+1)	Üsler+1 çarpımı. Sadece pozitifleri sayar.
Negatif Bölen Sayısı	(a+1) · (b+1) · (c+1)	Pozitifin tam aynısı — her pozitifin negatifi vardır.
Tüm Bölen Sayısı	2 · (a+1) · (b+1) · (c+1)	Pozitif + negatif; çift katı.
Asal Bölen Sayısı	Tabandaki farklı asal sayısı	Sadece p, q, r'nin kendileri. Üsleri 2 olan asalın karesi asal değildir.
Asal Olmayan (Pozitif) Bölen Sayısı	(Pozitif bölen sayısı) − (Asal bölen sayısı)	Pozitiflerden asalları çıkart.

Çözümlü Örnek 1 — 120 Üzerinden Tüm Hesaplar

120 = 2³ · 3 · 5. Aşağıdaki beş soruyu birden çözelim:

1. Asal Bölen Sayısı: Tabandaki farklı asallar = {2, 3, 5} → 3 tane.
2. Pozitif Bölen Sayısı: (3+1)(1+1)(1+1) = 4 · 2 · 2 = 16.
3. Tüm Bölen Sayısı: 2 · 16 = 32.
4. Asal Olmayan Pozitif Bölen Sayısı: 16 − 3 = 13.
5. Asal Bölenlerin Toplamı: 2 + 3 + 5 = 10.

Çözümlü Örnek 2 — Asal Olmayan Bölen Sayısından Üs Bulma

Bir sayı 3 · 2ⁿ⁺² · 5ⁿ şeklinde yazılıyor ve asal olmayan tam (pozitif+negatif) bölen sayısı 137'dir. n kaçtır?

1. Sayının asal bölen sayısı: Tabanda 3, 2, 5 → 3 tane.
2. Asal olmayan tam bölen sayısı 137 → o halde tüm (tam) bölen sayısı 137 + 3 = 140.
3. Pozitif bölen sayısı = 140 / 2 = 70.
4. Formül: (1+1) · (n+2+1) · (n+1) = 70 → 2 · (n+3) · (n+1) = 70 → (n+3)(n+1) = 35.
5. Çarpımı 35, farkı 2 olan iki pozitif tamsayı: 5 · 7 = 35 ve 7 − 5 = 2. Demek ki n+1 = 5, n+3 = 7 → n = 4.
6. Doğrulama: Sayı 3 · 2⁶ · 5⁴, pozitif bölen sayısı 2 · 7 · 5 = 70 ✓

Bölenlerin hepsini tek tek listelemek pratik değil; bunun yerine bir cebe-çöpe tekniği kullanılır. Soru "tek olsun" diyorsa 2'leri çöpe atarsın; "çift olsun" diyorsa bir 2'yi cebe atarsın.

Tek Bölen Sayısı — "Bütün 2'leri Çöpe Atma"

Bir sayının tek olmasının şartı içinde hiç 2 çarpanı bulunmaması. O halde sayıdaki bütün 2'leri kullanmamayı seçersin, geri kalan asallarla normal bölen sayısı formülünü uygularsın.

Çözümlü Örnek 1 — 120'nin Tek Bölenleri

120 = 2³ · 3 · 5. Pozitif tek bölen sayısı kaçtır?

1. 2'leri çöpe at → geriye 3 · 5 = 3¹ · 5¹ kaldı.
2. Üsler+1 çarpımı: (1+1) · (1+1) = 4.
3. Yani 120'nin 4 adet pozitif tek böleni var: 1, 3, 5, 15.
4. Tam tek bölen sayısı = 2 · 4 = 8 (negatifler dahil).

Çift Bölen Sayısı — "Bir 2'yi Cebe Atma"

Bir sayının çift olmasının şartı içinde en az bir 2 çarpanı bulunması. Şöyle düşün: cebe bir 2 atıyorsun (bu bölenin çift olmasını garantiler), sonra kalan malzemeyle normal bölen sayısı formülünü uyguluyorsun. Cebe attığın 2 bölenin "çift" olma koşulunu sağlıyor; ama bölen sayısını etkilemez çünkü onu mutlaka alıyorsun.

Çözümlü Örnek 2 — 120'nin Çift Bölenleri

120 = 2³ · 3 · 5. Pozitif çift bölen sayısı kaçtır?

Yöntem A — Cebe At:

1. Cebe bir 2 at → garanti bir 2 var, bölen çift olacak.
2. Elinde kalan: 2² · 3 · 5 (birini verdim, iki tane 2 kaldı).
3. Bu kalanla bölen sayısı: (2+1) · (1+1) · (1+1) = 3 · 2 · 2 = 12.
4. Yani 120'nin 12 adet pozitif çift böleni var.

Yöntem B — Tamamdan Teki Çıkar:

1. Toplam pozitif bölen: 16. Pozitif tek bölen: 4.
2. Pozitif çift bölen: 16 − 4 = 12 ✓

Pozitif Tam Sayı mı, Tam Sayı mı? — İki Misli Farkı

"Pozitif tek bölen sayısı" ile "tek tam bölen sayısı" aynı şey değildir. Pozitif tekler sadece sayının kendisinin pozitif tek bölenleri; tam tekler ise eksileriyle birlikte. Tam tek bölen sayısı = 2 · pozitif tek bölen sayısı.

Tek/çift soruları "cebe at" tekniğinin en basit halidir. Aynı mantık herhangi bir sayının katı olan bölenler için de çalışır: 6'nın katı bölen, 10'un katı bölen, 12'nin katı bölen...

Genel Yöntem — "Katsayıyı Asal Çarpanlarına Ayır, Cebe At"

Çözümlü Örnek 1 — 120'nin 6'nın Katı Olan Bölenleri

120 = 2³ · 3 · 5. Pozitif bölenlerinin kaç tanesi 6'nın katıdır?

1. 6 = 2 · 3 → cebe bir 2 ve bir 3 at.
2. Elde kalan: 2² · 3⁰ · 5 = 2² · 5 (3'ün üssü 1'di, bir tanesini verdim, sıfır kaldı).
3. Bölen sayısı: (2+1) · (0+1) · (1+1) = 3 · 1 · 2 = 6.
4. Yani 120'nin 6'nın katı olan 6 pozitif böleni vardır: 6, 12, 24, 30, 60, 120 — kontrol tutuyor ✓

Çözümlü Örnek 2 — 360'ın 12'nin Katı Olan Bölenleri

360 = 2³ · 3² · 5. Pozitif bölenlerinin kaç tanesi 12'nin katıdır?

1. 12 = 4 · 3 = 2² · 3 → cebe iki 2 ve bir 3 at.
2. Elde kalan: 2⁽³⁻²⁾ · 3⁽²⁻¹⁾ · 5 = 2 · 3 · 5.
3. Bölen sayısı: (1+1) · (1+1) · (1+1) = 2 · 2 · 2 = 8.
4. Yani 360'ın 12'nin katı olan 8 pozitif böleni vardır.

Çözümlü Örnek 3 — 120'nin 10'un Katı Olan Bölenleri

120 = 2³ · 3 · 5. Pozitif bölenlerinin kaç tanesi 10'un katıdır?

1. 10 = 2 · 5 → cebe bir 2 ve bir 5 at.
2. Elde kalan: 2² · 3 · 5⁰ = 2² · 3.
3. Bölen sayısı: (2+1) · (1+1) · (0+1) = 3 · 2 · 1 = 6.
4. 120'nin 10'un katı olan 6 pozitif böleni: 10, 20, 30, 40, 60, 120 ✓

Çözümlü Örnek 4 — Karmaşık Kurgu

Bir sayı 3 · 2⁶ · 5⁴. Pozitif bölenlerinin kaç tanesi 12'nin katıdır?

1. 12 = 2² · 3 → cebe iki 2 ve bir 3 at.
2. Elde kalan: 3⁰ · 2⁴ · 5⁴.
3. Bölen sayısı: (0+1) · (4+1) · (4+1) = 1 · 5 · 5 = 25.

Bölen sayısı değil bölenlerin toplamı sorulduğunda mantık değişir. Çoğu TYT sorusunda "tüm" bölenlerin toplamı sorulur — burada pozitif ve negatifler birlikte düşünülür.

Simetri Kuralı — Tüm Bölenlerin Toplamı = 0

Bir doğal sayının her pozitif böleninin bir de aynı mutlak değerli negatifi vardır: d bölense −d de bölen. Toplamada d + (−d) = 0 olduğu için bütün tam bölenlerin toplamı daima sıfırdır.

Çözümlü Örnek 1 — 12'nin Tüm Bölenlerinin Toplamı

12'nin pozitif bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12 (toplam = 28). Negatifleri: −1, −2, −3, −4, −6, −12 (toplam = −28). Tüm toplam: 28 + (−28) = 0. ✓

Asal Olmayan Bölenlerin Toplamı — "Asalları Kapat"

Peki ya "asal olmayan bölenlerin toplamı" sorulursa? Mantık şu: Bütün bölenlerin toplamı zaten 0. Bunlardan sadece asalları "kapatırsan" (yani çıkarırsan) geriye kalan asal olmayanlardır.

Çözümlü Örnek 2 — 12'nin Asal Olmayan Bölenlerinin Toplamı

12'nin asal bölenleri: {2, 3}, pozitif toplamı: 2 + 3 = 5.

1. Tüm bölenlerin toplamı: 0.
2. Asal olmayanların toplamı: 0 − (2 + (−2) + 3 + (−3)) = 0 − 0 = 0. Görünüşe göre asal tam bölenler de zaten sıfır.
3. Soruyu doğru yorumla: "asal olmayan pozitif bölenlerin toplamı mı?" Soru böyle ise 12 için: 1 + 4 + 6 + 12 = 23.
4. "Asal olmayan tüm bölenler" deniyorsa asalların negatifleri kalır: −2 + (−3) = −5.

Çözümlü Örnek 3 — 120'nin Asal Olmayan Tüm Bölenlerinin Toplamı

120 = 2³ · 3 · 5. Asal olmayan tüm bölenlerin toplamı?

1. Asal bölenler: {2, 3, 5}.
2. Asalların pozitif toplamı: 2 + 3 + 5 = 10.
3. Asal olmayan tüm bölenlerin toplamı: 0 − 10 = −10 (asalların eksilisi kalır).

Asal çarpanlara ayırmanın en güzel sonuçlarından biri tam kare / tam küp / tam n'inci kuvvet olma koşulunu tek bakışta görebilmendir. Kural çok sade: üslere bak.

Temel Koşullar

Durum	Koşul	Örnek
Tam Kare	Asal ayrışımdaki tüm üsler çift	36 = 2² · 3² ✓ (iki üs de çift)
Tam Küp	Asal ayrışımdaki tüm üsler 3'ün katı	1000 = 2³ · 5³ ✓ (iki üs de 3'ün katı)
Tam n'inci Kuvvet	Asal ayrışımdaki tüm üsler n'in katı	64 = 26, tam kare (üs 6 çift), tam küp (üs 6, 3'ün katı)

Çözümlü Örnek 1 — 180 Tam Kare mi?

1. 180 = 2² · 3² · 5.
2. Üsler: 2, 2, 1.
3. 1 çift değil → tam kare değil.
4. Tam kare olması için 5'in üssünün 2 olması lazım; o zaman sayı 2² · 3² · 5² = 900 olurdu.

Çözümlü Örnek 2 — 1000 Tam Küp mü?

1. 1000 = 2³ · 5³.
2. Üsler: 3, 3. İkisi de 3'ün katı → tam küp.
3. Doğrulama: 1000 = 10³ ✓

Çözümlü Örnek 3 — "En Küçük k" Tipi Soru

180 · A = B³ eşitliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı A'yı ve karşılık gelen B'yi bul.

1. 180 = 2² · 3² · 5.
2. Sağ tarafın tam küp olması için üslerin hepsi 3'ün katı olmalı.
3. Şu an: 2'nin üssü 2 → 3'e çıkması için +1 (yani bir 2 daha).
4. 3'ün üssü 2 → 3'e çıkması için +1 (yani bir 3 daha).
5. 5'in üssü 1 → 3'e çıkması için +2 (yani iki 5 daha, yani 5²).
6. En küçük A = 2 · 3 · 5² = 150.
7. Doğrulama: 180 · 150 = 27000. 27000 = 30³ ✓ Yani B = 30.
8. A + B = 150 + 30 = 180.

TYT'de sık karşılaşılan bir kurgu: "P, Q, R birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere 15³ · 33² = P^x · Q^y · R^z olsun. x + y + z kaçtır?" Bu tür sorularda üsleri dağıtarak aynı asalları toplarsın.

Strateji — Adım Adım

1. Her sayıyı asal çarpanlarına ayır.
2. Üslü ifadelerde (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ kuralını uygula.
3. Aynı tabandaki asalları birleştir; çarpımda üsler toplanır: a^m · aⁿ = a^m+n.
4. Hangi asal hangi harfe denk geliyor bilmeye gerek yok — sadece toplam üsleri topla.

Çözümlü Örnek 1 — Klasik Üs Toplamı

P, Q, R birbirinden farklı asallar olmak üzere 15³ · 33² = P^x · Q^y · R^z. x + y + z kaçtır?

1. 15 = 3 · 5 → 15³ = 3³ · 5³.
2. 33 = 3 · 11 → 33² = 3² · 11².
3. Çarpımı yaz: 15³ · 33² = 3³ · 5³ · 3² · 11² = 3³⁺² · 5³ · 11² = 3⁵ · 5³ · 11².
4. Üsler: 5, 3, 2.
5. Toplam: x + y + z = 5 + 3 + 2 = 10.

Çözümlü Örnek 2 — Değişken Üs Kurgusu

A ve B pozitif tam sayı olmak üzere A³ · B = 180 · A eşitliğinde en küçük A + B toplamı?

1. Eşitliği düzenle: A² · B = 180.
2. 180 = 2² · 3² · 5.
3. A² bir tam kare olmalı; o halde A² = 2² · 3² = 36 seçersek B = 180 / 36 = 5.
4. Minimum denemesi: A = 6, B = 5 → A + B = 11.
5. Daha küçük A denemesi: A² = 4 → A = 2, B = 180/4 = 45, toplam 47 (daha büyük). A² = 9 → A = 3, B = 20, toplam 23. A² = 1 → A = 1, B = 180, toplam 181. A² = 36 → 11. En küçük toplam 11.

Çözümlü Örnek 3 — Bilinmeyen Üs + Taban

180 · A = B³ eşitliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayılar için A + B?

1. 180 = 2² · 3² · 5.
2. Sağ taraf tam küp → üsler 3'ün katı olmalı.
3. Eksikler: 2'de 1, 3'te 1, 5'te 2. En küçük A = 2 · 3 · 5² = 150.
4. 180 · 150 = 27000 = 30³ → B = 30.
5. A + B = 150 + 30 = 180.

Bazı sorular asal çarpanlara ayırmayı bölme algoritmasıyla birleştirir: "bu sayıyı şuna böldüğünde kalan..." gibi. Bu tür kurgularda sayıyı birden fazla bölmeden geçirirsin; her bölme sonucu asallarla oynar.

Çözümlü Örnek 1 — Zincirleme Bölme

1210 sayısını 2'ye böldüğümüzde x'i buluyoruz. x'i 5'e böldüğümüzde y²'yi buluyoruz. x + y kaçtır?

1. 1210 = 2 · 605 → x = 605.
2. 605 = 5 · 121 → y² = 121.
3. 121 = 11² → y = 11.
4. x + y = 605 + 11 = 616.
5. Asal ayrışımdan da görebilirdik: 1210 = 2 · 5 · 11².

Çözümlü Örnek 2 — Üs İstekli Versiyon

180 · A = B³ — yukarıdaki tam küp sorusunun bölme versiyonu. Çözüm aynıdır, tek fark yorumlamadır.

Çözümlü Örnek 3 — 1210'un Pozitif Bölen Sayısı

1210 = 2 · 5 · 11². Pozitif bölen sayısı?

1. Üsler: 1, 1, 2.
2. (1+1)(1+1)(2+1) = 2 · 2 · 3 = 12.

Çözümlü Örnek 4 — 22² + 33² + 55² Ortak Çarpan Kurgusu

22² + 33² + 55² sayısının pozitif tek tam sayı bölen sayısı?

1. Ortak çarpanı bul: 22 = 2·11, 33 = 3·11, 55 = 5·11. Hepsinin karesinde 11² var.
2. Parantez al: 22² + 33² + 55² = 11² · (2² + 3² + 5²) = 11² · (4 + 9 + 25) = 11² · 38.
3. 38 asal değil — ayır: 38 = 2 · 19.
4. Sayı: 11² · 2 · 19 = 2 · 11² · 19.
5. Pozitif tek bölen sayısı: 2'leri çöpe at → kalan 11² · 19, üsler+1 çarpımı = 3 · 2 = 6.
6. Tam tek bölen sayısı: 2 · 6 = 12.

Son yılların TYT sorularında sıkça görülen kurgu: Özel bir sembolle (kare içi, üçgen içi) yeni bir tanımlama yapılır; sonra verilen örnekten "o tanımın nasıl işlediğini" sen çıkarırsın. Asal çarpanlar burada çoğu zaman çözümün omurgasıdır.

Kurgu Türü 1 — Sayının Kare İçindeki Değeri = Asal Bölenlerinin Toplamı

Örnek kurgu: [18] = 2 + 3 = 5 olsun. Öğrenciye "[A] = 10" veriliyor ve "A hangileri olabilir?" sorusu yöneltiliyor.

1. Örnekten anla: 18 = 2 · 3², asal bölenler 2 ve 3. Toplamları 5. Kurguyu onayla.
2. Şıklar: 10, 28, 36, 45, 50. [X] = 10 olacak, yani asal bölenlerin toplamı 10 olmalı.
3. 10 = 2 · 5 → asalları: 2, 5. Toplam: 7. Değil.
4. 28 = 2² · 7 → asalları: 2, 7. Toplam: 9. Değil.
5. 36 = 2² · 3² → asalları: 2, 3. Toplam: 5. Değil.
6. 45 = 3² · 5 → asalları: 3, 5. Toplam: 8. Değil.
7. 50 = 2 · 5² → asalları: 2, 5. Toplam: 7. Değil. (Not: Bu örnek tamamen göstermelik — gerçek soruda şıklar kurguya uyanları verir.)

Kurgu Türü 2 — İç İçe Çok Sembollü Soru

Örnek: Üçgen içi ↑ = A'yı bölen en büyük iki farklı asal sayının toplamı. Üçgen içi ↓ = A'yı bölen en küçük iki farklı asal sayının toplamı. Farkı 3 olsun.

1. İki farklı asal varsa "en büyük iki" ile "en küçük iki" aynı iki asaldır → fark 0, koşul sağlanmaz.
2. En az üç farklı asal olmalı. Asallar p < q < r olsun. En büyük iki: q + r. En küçük iki: p + q. Fark: r − p = 3.
3. İki asal arasında fark 3 → biri 2 (çift), diğeri 5 (tek) olmak zorunda (3'ten büyük ve tek olan ikinci asal 2'ye toplandığında 3 fark verir).
4. Yani p = 2, r = 5. Arada q = 3. A'nın en küçük üç asal çarpanı 2, 3, 5.
5. Dördüncü farklı asal varsa o r'den büyük olur, senaryo bozulur.

Kurgu Türü 3 — "Sayının Uzunluğu"

Tanım: En az iki asal çarpanı olan bir doğal sayının asal çarpanlarının üsleri toplamına o sayının uzunluğu denir. Örneğin 60 = 2² · 3 · 5 → uzunluk = 2 + 1 + 1 = 4.

Çözümlü Örnek — 100'ün Uzunluğuna Eşit En Küçük Sayı

Uzunluğu 100'ün uzunluğuna eşit olan en küçük doğal sayının rakamları toplamı kaçtır?

1. 100 = 10² = (2 · 5)² = 2² · 5². Uzunluk = 2 + 2 = 4.
2. En az iki farklı asal ve üsler toplamı 4 olan en küçük sayıyı arıyoruz.
3. En küçük sayı için en küçük asalları (2, 3) seç.
4. 2 ve 3'ün üsleri toplamı 4: (3, 1), (2, 2), (1, 3).
5. (3, 1): 2³ · 3 = 24.
6. (2, 2): 2² · 3² = 36.
7. (1, 3): 2 · 3³ = 54.
8. En küçük: 24. Rakamları toplamı: 2 + 4 = 6.

Bu bölümde üstte gördüklerimizin bir sentezi yapılır — tek soruda 3-4 farklı kavramı birlikte kullanan TYT klasikleri.

Çözümlü Örnek 1 — Çok Aşamalı Üs Bulma

Bir sayı 3 · 2ⁿ⁺² · 5ⁿ şeklinde ve asal olmayan tam bölen sayısı 137. Bu sayının pozitif bölenlerinin kaçı 12'nin katıdır?

1. Asal bölen sayısı: 3 (tabanda 3, 2, 5).
2. Tüm tam bölen sayısı = 137 + 3 = 140. Pozitif bölen sayısı = 70.
3. Formül: (1+1)(n+3)(n+1) = 70 → (n+3)(n+1) = 35.
4. 35 = 5 · 7 ve 7 − 5 = 2 → n + 1 = 5, n + 3 = 7 → n = 4.
5. Sayı şimdi: 3 · 2⁶ · 5⁴.
6. 12 = 2² · 3 → cebe iki 2 ve bir 3 at.
7. Elde kalan: 3⁰ · 2⁴ · 5⁴.
8. Bölen sayısı: 1 · 5 · 5 = 25.

Çözümlü Örnek 2 — Asal Bölen Sayısı Değişimi

A iki basamaklı bir doğal sayı. A'nın asal bölen sayısı 2. 6A'nın asal bölen sayısı 4. 10A'nın asal bölen sayısı 3. 21A'nın asal bölen sayısı 3. A'nın rakamları toplamı kaçtır?

1. A'nın iki farklı asal böleni var; onları p ve q diyelim. A = p^x · q^y.
2. 6A = 2 · 3 · p^x · q^y. Asal bölen sayısı 4 → p, q, 2, 3'ün tamamı farklı. Yani p ≠ 2, p ≠ 3, q ≠ 2, q ≠ 3.
3. 10A = 2 · 5 · p^x · q^y. Asal bölen sayısı 3 → 2, 5, p, q arasından 3 farklı asal var. 2 zaten A'da yok (yukarıda belirledik). O halde 5, p ve q'dan biriyle aynı olmalı → A'nın bir asalı 5'tir.
4. 21A = 3 · 7 · p^x · q^y. Asal bölen sayısı 3 → benzer mantık: 3 zaten A'da yok; 7 ise A'nın diğer asalıyla aynı olmalı → A'nın diğer asalı 7'dir.
5. A'nın asalları: 5 ve 7. En küçük iki basamaklı A = 5 · 7 = 35.
6. Rakamları toplamı: 3 + 5 = 8.

Çözümlü Örnek 3 — "Y Tam Sayı" Denklemi

y = 3 + 12/x eşitliğinde x, y tam sayı. y'nin alabileceği değerler toplamı?

1. y'nin tam sayı olması için 12/x'in de tam sayı olması gerekir.
2. Yani x, 12'nin bir böleni olmalı.
3. 12 = 2² · 3; pozitif bölen sayısı = 6; tam bölen sayısı = 12.
4. Pozitif bölenler: 1, 2, 3, 4, 6, 12 → y değerleri: 15, 9, 7, 6, 5, 4.
5. Negatif bölenler: −1, −2, −3, −4, −6, −12 → y değerleri: −9, −3, −1, 0, 1, 2.
6. Toplam: (15+9+7+6+5+4) + (−9−3−1+0+1+2) = 46 + (−10) = 36.

Bu bölüm, asal çarpanlara ayırma konusunda TYT'de karşına çıkabilecek tüm temel kalıpları tek sayfada toparlar. Her kalıbın "ilk hamlesi" nedir, kolay cevap şekli ne? Hızlı referans için.

Soru Kalıp Haritası

Soru Tipi	İlk Hamle	Anahtar Formül
Pozitif bölen sayısı	Asal çarpanlara ayır	(a+1)(b+1)(c+1)
Tüm bölen sayısı	Pozitifi bul, 2 ile çarp	2·(a+1)(b+1)(c+1)
Asal bölen sayısı	Asal ayrışımı yap	Tabanda kaç farklı asal
Tek bölen sayısı	2'leri çöpe at	Kalanın bölen sayısı
Çift bölen sayısı	Cebe bir 2 at	Kalanın bölen sayısı
K'nın katı bölen sayısı	K'yı ayır, cebe at	Kalanın bölen sayısı
Tüm bölenlerin toplamı	Simetri	0
Asal olmayan tüm bölen toplamı	0'dan asal toplamı çıkar	−(asalların toplamı)
Tam kare olma	Üslere bak	Tüm üsler çift
Tam küp olma	Üslere bak	Tüm üsler 3'ün katı

Çözümlü Örnek — Karma Sorular (Hızlı Tur)

Soru 1: 360'ın pozitif bölenleri arasında 6'nın katı olan kaç sayı vardır?

1. 360 = 2³ · 3² · 5. 6 = 2 · 3. Cebe bir 2, bir 3 at.
2. Elde: 2² · 3 · 5. Bölen sayısı: 3 · 2 · 2 = 12.

Soru 2: 60'ın pozitif bölenlerinin toplamı?

1. Pozitif bölenleri: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
2. Toplam: 1+2+3+4+5+6+10+12+15+20+30+60 = 168.
3. Kısa formül: (1+2+4)(1+3)(1+5) = 7 · 4 · 6 = 168 ✓

Soru 3: 1000'in pozitif bölen sayısı?

1. 1000 = 2³ · 5³.
2. (3+1)(3+1) = 16.

Sık Yapılan Hatalar