TYT Matematik — Bölünebilme Kuralları

Bölünebilme kuralları, bir sayıyı küçük bir bölene uzun uzadıya bölmeden kalanını ya da tam bölünüp bölünmediğini anlamanın pratik yoludur. Karşına 4 basamaklı bir sayı çıktığında "Bunu 8'e nasıl bölerim?" diye zaman harcamak yerine, son üç basamağına bak diyen basit kuralı uygularsın ve saniyeler içinde cevaba ulaşırsın.

Kalanın Sınırı — Bölenden Küçük Olmak Zorunda

Bir sayıyı n ile böldüğünde ortaya çıkan kalan her zaman 0 ile (n − 1) arasında olabilir. Kalan asla bölene eşit veya bölenden büyük olamaz; çünkü öyle olsaydı bölümü bir artırırdın.

• 2 ile bölünen kalan: 0 ya da 1 olabilir.
• 3 ile bölünen kalan: 0, 1 ya da 2 olabilir.
• 4 ile bölünen kalan: 0, 1, 2 ya da 3 olabilir.
• 11 ile bölünen kalan: 0'dan 10'a kadar herhangi bir değer olabilir.

Bölünebilme Soruları Nasıl Yaklaşılır?

Soruda birden fazla bölünebilme koşulu verildiğinde önceliği daraltıcı olana ver. Yani son basamakla ilgili kural veren 2, 4, 5, 8, 10 gibi bölenler seni doğrudan tek bir ya da iki rakama sıkıştırır. 3 ve 9 ise tüm rakamları devreye soktuğu için başta işini daraltmaz, sona bırak.

1. Soruda geçen bölenleri aralarında asal çarpanlarına ayır: 6 = 2·3, 12 = 3·4, 15 = 3·5, 20 = 4·5, 30 = 2·3·5, 45 = 5·9, 60 = 3·4·5.
2. Önce son basamak/son iki basamak kuralları (2, 4, 5, 8, 10) uygula — bu seni bir iki rakama sıkıştırır.
3. Sonra rakam toplamı kuralları (3, 9) uygula — kalan kısıtları çözer.
4. En son 11 kuralını uygula — çaprazlı toplam dengesi.

Aşağıdaki tablo tüm TYT kuralları tek yerde toplar. Her kuralın neye baktığını, mnemonic'ini ve küçük bir örneğini gösterir. Bu tabloyu ezberlemeden önce her kuralı bir örnekle doğrulayarak kalıcı öğren.

Bölen	Kural	Küçük Örnek
2	Son basamak çift (0, 2, 4, 6, 8).	12347 → son 7 (tek) → bölünmez. 12346 → son 6 (çift) → bölünür.
3	Rakamlar toplamı 3'ün katıdır.	1347 → 1+3+4+7 = 15 → 15 = 3·5 → bölünür.
4	Son iki basamak 4'ün katıdır (00 dahil).	12347 → son 47 → 47 ÷ 4 kalan 3 → bölünmez. 12348 → son 48 → 4·12 = 48 → bölünür.
5	Son basamak 0 veya 5'tir.	1235 → son 5 → bölünür. 1237 → son 7 → bölünmez.
6	Hem 2 hem 3 ile bölünür (2·3 = 6).	1326 → son 6 (çift) ✓ ; 1+3+2+6 = 12 = 3·4 ✓ → bölünür.
8	Son üç basamak 8'in katıdır.	12347 → son 347 → 347 ÷ 8 kalan 3 → bölünmez. 12320 → son 320 = 8·40 → bölünür.
9	Rakamlar toplamı 9'un katıdır.	1233 → 1+2+3+3 = 9 → bölünür.
10	Son basamak 0'dır.	1230 → son 0 → bölünür. 1235 → son 5 → bölünmez.
11	Sağdan başlayarak +, −, +, − işaretleyip topla; sonuç 11'in katı (veya 0) olmalı.	12347 → (en sağdan) +7−4+3−2+1 = 5 → bölünmez. 12342 → +2−4+3−2+1 = 0 → bölünür.
25	Son iki basamak 00, 25, 50 veya 75'tir.	1375 → son 75 → bölünür. 1372 → son 72 → bölünmez.
125	Son üç basamak 125'in katıdır (000, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875).	12500 → son 500 = 125·4 → bölünür. 12375 → son 375 = 125·3 → bölünür.

7'nin klasik bir bölünebilme kuralı TYT seviyesinde işine yaramaz (ve Nagihan hocanın da vurguladığı gibi gerekmiyor); sorularda 7 geçerse ya doğrudan bölmeyi yap ya da 7'yi çarpan bilgisi olarak kullan.

Bir sayının 2 ile tam bölünmesi demek çift sayı olması demektir. Ne kadar büyük olursa olsun, baş tarafı umursamayız — sadece son basamağına bakarız.

Kural

Son basamak 0, 2, 4, 6 veya 8 ise sayı 2 ile tam bölünür. Aksi halde bölümden kalan 1 olur.

Neden son basamak? Çünkü bir sayıyı "onlar basamağı ve sonrası" + "birler basamağı" diye ayırdığında "onlar ve sonrası" zaten 10'un katıdır, 10 da 2'ye tam bölünür. Geriye kalan birler basamağı davayı çözer.

Çözümlü Örnek 1

12348 sayısının 2 ile bölümünden kalan nedir?

1. Son basamağa bakıyoruz: 8.
2. 8 çifttir, yani 2'nin katıdır.
3. Bölümden kalan 0'dır; sayı 2 ile tam bölünür.

Çözümlü Örnek 2

12347 sayısının 2 ile bölümünden kalan nedir?

1. Son basamak 7.
2. 7 tektir.
3. 7 ÷ 2 işleminde kalan 1'dir. Sayının kalanı da 1'dir.

2, 4, 5, 8, 10 gibi bölenler son basamakla ilgilenirken 3 ve 9 tüm sayıyı devreye sokar. Bu yüzden soruda bunlar verildiğinde işin genişler; ama bir pratik var ki onlarla boğuşmaktan seni kurtarır.

3'e Bölünebilme Kuralı

Bir sayının 3 ile tam bölünmesi için rakamlar toplamının 3'ün katı olması gerekir. Bölümden kalan ise rakamlar toplamının 3 ile bölümünden kalanına eşittir.

Mnemonic: "3 mü bölüyor? Rakam topla!"

9'a Bölünebilme Kuralı

Aynı mantık 9 için de geçerlidir: rakamlar toplamı 9'un katı ise sayı 9 ile tam bölünür; değilse bölümden kalan, rakamlar toplamının 9 ile bölümünden kalanıdır.

Büyük Rakamlarla Uğraşma — "Katları At" Tekniği

Rakam toplamı 30-40 gibi büyük sayılara çıktığında bir daha bölme gerekir. Bunun yerine toplarken 3'ün (veya 9'un) katlarını at, sadece kalanları topla. Bu şekilde sayıları küçük tutar, işlem hatasını minimize edersin.

Çözümlü Örnek 3

12347 sayısının 3 ile bölümünden kalan nedir?

1. Rakamları topla: 1 + 2 + 3 + 4 + 7.
2. Katları at: 3 zaten 3'ün katı, at. 1 + 2 = 3, 3'ün katı, at. 4 + 7 = 11 (veya 4'ü at değil 9=3+6 ile dene).
3. Pratik hesap: 1+2+3+4+7 = 17.
4. 17 ÷ 3: 3·5 = 15, kalan 2.
5. Cevap: 3 ile bölümünden kalan 2'dir.

Çözümlü Örnek 4

12347 sayısının 9 ile bölümünden kalan nedir?

1. Rakamları topla: 1 + 2 + 3 + 4 + 7 = 17.
2. 9'u at: 17 − 9 = 8.
3. 8 zaten 9'dan küçük, demek ki kalan 8'dir.
4. Veya: pratik olarak 17'nin içinden 9'u atıp hemen 8'i görebilirdim.

Çözümlü Örnek 5 — 10 Basamaklı Sayı

3333333333 (on tane 3) sayısının 9 ile bölümünden kalan nedir?

1. 10 tane 3 var: toplam 3·10 = 30.
2. 30 ÷ 9: 9·3 = 27, kalan 3.
3. Cevap: 3.

4 ve 8 sırasıyla 2² ve 2³'tür. Bu yüzden kuralları 2'nin kuralının doğal bir uzantısıdır: bölen kaç 2'nin kuvveti ise o kadar son basamağa bak.

4'e Bölünebilme Kuralı

Bir sayının son iki basamağı 4'ün katı (00, 04, 08, 12, ..., 96) ise sayı 4 ile tam bölünür. Aksi halde kalan, son iki basamağın 4 ile bölümünden kalanıdır.

8'e Bölünebilme Kuralı

Bir sayının son üç basamağı 8'in katı (000, 008, 016, 024, ..., 992) ise sayı 8 ile tam bölünür.

Çözümlü Örnek 6

12347 sayısının 4 ile bölümünden kalan nedir?

1. Son iki basamağa bak: 47.
2. 47 ÷ 4: 4·11 = 44, kalan 3.
3. Cevap: 4 ile bölümünden kalan 3'tür.

Çözümlü Örnek 7

12347 sayısının 8 ile bölümünden kalan nedir?

1. Son üç basamağa bak: 347.
2. 347 ÷ 8: 8·43 = 344, kalan 3.
3. Cevap: 8 ile bölümünden kalan 3'tür.

Çözümlü Örnek 8 — 4 ve 8 Aynı Anda

Bir sayının 4 ile bölümünden kalanı ile 8 ile bölümünden kalanı aynı olabilir mi?

1. Olabilir de olmayabilir de — genel bir kural yoktur.
2. Örneğin 12347: 4'e kalan 3, 8'e kalan 3 → evet, aynı.
3. Örneğin 12350: 4'e kalan 2 (50 ÷ 4 = 12, kalan 2), 8'e kalan 6 (350 ÷ 8 = 43, kalan 6) → farklı.
4. Demek ki "4'e bölünen bir sayı 8'e de bölünür" diye düşünmek yanlıştır: 12, 20, 28 sayıları 4'e bölünür ama 8'e bölünmez.

5 ve 10 da 2 gibi sadece son basamakla ilgilenir; tüm sayının geri kalanı önemsiz.

5'e Bölünebilme Kuralı

Son basamak 0 veya 5 ise sayı 5 ile tam bölünür.

Kalan bulma: 5 ile bölümden kalan, son basamağın 5 ile bölümünden kalanına eşittir. Son basamak 0 ya da 5 ise kalan 0. Son basamak 1 ise kalan 1, 2 ise 2, 3 ise 3, 4 ise 4; 6 ise 1, 7 ise 2, 8 ise 3, 9 ise 4.

10'a Bölünebilme Kuralı

Son basamak 0 ise sayı 10 ile tam bölünür. Kalan ise doğrudan son basamaktır (son basamak 0 ise 0, 3 ise 3, 8 ise 8, vs.).

Çözümlü Örnek 9

12347 sayısının 5 ile bölümünden kalan nedir?

1. Son basamağa bak: 7.
2. 7 ÷ 5: kalan 2.
3. Cevap: 2.

Çözümlü Örnek 10

12347 sayısının 10 ile bölümünden kalan nedir?

1. Son basamak 7.
2. 7 zaten 10'dan küçük; 10 ÷ 7 mantığını tersine çevir: 7 ÷ 10 bölümü 0, kalan 7.
3. Cevap: 10 ile bölümünden kalan 7'dir.

11 ile bölünebilme TYT'nin sevdiği nüanslı bir kuraldır. Ne son basamağa ne de rakam toplamına bakar — bunun yerine değişimli toplam (çaprazlı toplam) kullanılır.

Kural

Sayının rakamlarını sağdan başlayarak dönüşümlü olarak +, −, +, −, ... işaretleyerek topla. Elde ettiğin sonuç 11'in katı (veya 0) ise sayı 11 ile tam bölünür; değilse bölümden kalan, bu sonucun 11 ile bölümünden kalanıdır.

Mnemonic: "11 mi? Çaprazlı topla!"

Negatif veya 11'den Büyük Sonuç Geldiğinde

Değişimli toplam negatif bir sayı verirse sonuca 11 ekle; 11'den büyük bir sayı verirse 11 çıkar. Amaç 0 ile 10 arasında bir kalan elde etmek. Bu işlemi gerektiği kadar yap.

Çözümlü Örnek 11

12347 sayısının 11 ile bölümünden kalan nedir?

1. Sağdan başla: 7 rakamının üstüne +, 4'ün üstüne −, 3'ün üstüne +, 2'nin üstüne −, 1'in üstüne +.
2. Artıları topla: 7 + 3 + 1 = 11.
3. Eksileri topla: 4 + 2 = 6.
4. Fark: 11 − 6 = 5.
5. 5 zaten 0-10 aralığında; cevap: 11 ile bölümünden kalan 5'tir.

Çözümlü Örnek 12 — Negatif Sonuç

8723 sayısının 11 ile bölümünden kalanı bulun.

1. Sağdan: +3, −2, +7, −8.
2. Artıları topla: 3 + 7 = 10.
3. Eksileri topla: 2 + 8 = 10.
4. Fark: 10 − 10 = 0.
5. Cevap: 0 — yani 8723 tam olarak 11'in katıdır. Kontrol: 8723 ÷ 11 = 793 (11·793 = 8723).

Çözümlü Örnek 13 — Üç Basamaklı Sayı

363 sayısı 11 ile bölünür mü?

1. Sağdan: +3, −6, +3.
2. Toplam: 3 − 6 + 3 = 0.
3. 0, 11'in katıdır; 363 = 11·33 → evet, bölünür.

TYT'de doğrudan "6'ya bölünür" kuralı yoktur — çünkü 6'nın kendi kuralı yoktur. Bunun yerine 6'yı aralarında asal çarpanlarına ayırıp her birinin kuralını uygularız: 6 = 2·3, 12 = 3·4, 15 = 3·5 gibi.

Aralarında Asal Ayırma Tekniği

Bir böleni çarpanlarına ayırırken aralarında asal olacak şekilde ayır: ortak bölenleri olmayan iki sayıya böl. Çünkü sayı a ve b aralarında asalsa, sayının hem a'ya hem b'ye bölünmesi otomatik olarak a·b'ye de bölünmesini garantiler.

Bileşik Bölen Kalıpları

Bölen	Aralarında Asal Çarpanlar	Yeterli Koşul
6	2 · 3	Son basamak çift + rakam toplamı 3'ün katı
12	3 · 4	Rakam toplamı 3'ün katı + son iki basamak 4'ün katı
15	3 · 5	Rakam toplamı 3'ün katı + son basamak 0 veya 5
18	2 · 9	Son basamak çift + rakam toplamı 9'un katı
20	4 · 5	Son iki basamak 4'ün katı + son basamak 0 veya 5 → son iki basamak 00, 20, 40, 60, 80
30	2 · 3 · 5	Son basamak 0 + rakam toplamı 3'ün katı
45	5 · 9	Son basamak 0 veya 5 + rakam toplamı 9'un katı
60	3 · 4 · 5	Rakam toplamı 3'ün katı + son iki basamak 4'ün katı + son basamak 0 veya 5 (hepsi aynı anda)
72	8 · 9	Son üç basamak 8'in katı + rakam toplamı 9'un katı

Çözümlü Örnek 14

1326 sayısı 6 ile tam bölünür mü?

1. 6 = 2·3, aralarında asal çarpanlar tamam.
2. 2 kontrolü: son basamak 6, çifttir ✓.
3. 3 kontrolü: rakamlar toplamı 1 + 3 + 2 + 6 = 12, 12 = 3·4 ✓.
4. Her iki koşul sağlandığı için 1326 tam olarak 6 ile bölünür.
5. Kontrol: 1326 ÷ 6 = 221.

Çözümlü Örnek 15 — 60 ile Tam Bölünme

Dört basamaklı 12a0 sayısının 60 ile bölünebilmesi için a kaç olabilir?

1. 60 = 3·4·5 aralarında asal çarpanlar.
2. 5 ile bölünme: son basamak 0 ✓ (zaten verilmiş).
3. 4 ile bölünme: son iki basamak "a0". a0 sayısı 4'ün katı olmalı → 00, 20, 40, 60, 80. Yani a = 0, 2, 4, 6 veya 8.
4. 3 ile bölünme: 1 + 2 + a + 0 = 3 + a, 3'ün katı olmalı → a = 0, 3, 6, 9.
5. İki kümenin kesişimi: a ∈ {0, 2, 4, 6, 8} ∩ {0, 3, 6, 9} = {0, 6}.
6. a değeri 0 veya 6 olabilir.

Nasıl 4 = 2² ve 8 = 2³ son iki/son üç basamağa baktırıyorsa, 25 = 5² ve 125 = 5³ de aynı mantıkla çalışır.

25'e Bölünebilme Kuralı

Son iki basamak 00, 25, 50 veya 75 ise sayı 25 ile tam bölünür. Bu dört değer 25'in ilk katlarıdır (0·25, 1·25, 2·25, 3·25).

125'e Bölünebilme Kuralı

Son üç basamak 125'in katı (000, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875) ise sayı 125 ile tam bölünür. Bunlar 125·0 ile 125·7 arasındaki katlardır.

Çözümlü Örnek 16

4375 sayısı 25 ile tam bölünür mü?

1. Son iki basamak: 75.
2. 75 = 25·3, evet 25'in katı.
3. 4375 ÷ 25 = 175 (25·175 = 4375).

Çözümlü Örnek 17

12500 sayısı 125 ile tam bölünür mü?

1. Son üç basamak: 500.
2. 500 = 125·4, evet 125'in katı.
3. 12500 ÷ 125 = 100 ✓.

Çözümlü Örnek 18

A32 üç basamaklı sayısı 25 ile bölünür mü?

1. Son iki basamak: 32.
2. 32 ∉ {00, 25, 50, 75}.
3. Hayır, A ne olursa olsun bölünmez. 25'e bölünme tamamen son iki basamağa bağlıdır, baştaki A umursanmaz.

Büyük sayılarla doğrudan işlem yapmak gereksizdir ve hata riskini artırır. İşte üç altın küçültme pratiği:

Pratik 1 — 3 ve 9 için "Katları At"

Rakam toplamını hesaplarken 3 ya da 9'un katı olan ara toplamları at, sadece kalanı tut. Örneğin 147: 1 + 4 = 5 (3'ün katı değil, tut), 5 + 7 = 12 (at, 12 = 3·4). Sonuç: 0. Yani 147 tam olarak 3'ün katıdır.

Pratik 2 — Rakamların Kendi İçinde Kuraldan Küçültülmesi

Rakamları toplarken 3'ün kendisini veya 3+x biçiminde 3'ün katı olan ikilileri doğrudan at. Örneğin 12347'yi 3'e göre değerlendirirken: 3 = at, 1+2 = 3 = at, geriye 4 ve 7 kalır, 4+7 = 11, içinden 9'u at → 2 (yani 11 − 9 = 2, ama biz 3'e bakıyoruz, 11 − 9 = 2 ya da 11 − 3·3 = 2). Sonuç 3'e kalan 2.

Pratik 3 — Büyük Bölen Kalanı: Kalanın Kalanı Aynı

Bir sayının büyük bir bölene bölünmesinden kalan (0 olmayan ve bölenden küçük) verildiğinde, aynı sayının bölenin aralarında asal çarpanlarına bölünmesinden kalanlar doğrudan hesaplanabilir:

Sayının N ile bölümünden kalan = K → Sayının N'in çarpanı olan m ile bölümünden kalan = K'nın m ile bölümünden kalan

Çözümlü Örnek 19 — Büyük Bölen Hikayesi

Bir sayının 30 ile bölümünden kalanı 17'dir. Bu sayının 10 ile ve 3 ile bölümünden kalanları nedir?

1. 30 = 10·3, aralarında asal çarpanlar (OBEB=1 değil — 10 ve 3 aralarında asal, tamam).
2. Sayının 10 ile bölümünden kalanı = 17'nin 10 ile bölümünden kalanı = 7.
3. Sayının 3 ile bölümünden kalanı = 17'nin 3 ile bölümünden kalanı; 17 ÷ 3: 3·5 = 15, kalan 2.
4. Cevap: 10'a kalan 7, 3'e kalan 2.

Çözümlü Örnek 20 — Kalan Bulmadan Hikaye

Bir sayının 45 ile bölümünden kalanı 32'dir. Bu sayının 9 ile ve 5 ile bölümünden kalanları nedir?

1. 45 = 9·5, aralarında asal çarpanlar.
2. 9 ile kalanı = 32'nin 9 ile kalanı; 32 − 27 = 5 (27 = 9·3). Kalan 5.
3. 5 ile kalanı = 32'nin 5 ile kalanı; 32 − 30 = 2. Kalan 2.
4. Cevap: 9'a kalan 5, 5'e kalan 2.

Nagihan hocanın kullandığı bu ifadeyi ezberle: "Boynuz kulağı geçer." Yani büyük bölen, onun çarpanı olan küçük böleni kapsar.

Kural

Bir sayı A ile tam bölünüyorsa ve B de A'nın çarpanıysa, sayı otomatik olarak B ile de tam bölünür. Tersi geçerli değildir.

Örneklerle Kural

• Sayı 9 ile bölünüyorsa 3 ile de bölünür (çünkü 9 = 3·3).
• Sayı 8 ile bölünüyorsa 4 ile de, 2 ile de bölünür (8 = 2·4 = 2·2·2).
• Sayı 12 ile bölünüyorsa 3, 4, 2, 6 ile de bölünür.
• Sayı 18 ile bölünüyorsa 2, 3, 6, 9 ile de bölünür.
• Sayı 10 ile bölünüyorsa 2 ve 5 ile de bölünür.

Tersi Neden Geçerli Değil?

Sayı 3 ile bölünüyor diye 9'a da bölünür demek yanlıştır: 6, 12, 15 sayıları 3'e bölünür ama 9'a bölünmez. Aynı şekilde sayı 2'ye bölünüyor diye 4'e de bölünür diyemezsin: 6, 10, 14 sayıları 2'ye bölünür ama 4'e bölünmez.

Çözümlü Örnek 21 — Kural Uygulaması

Bir A sayısı hem 3 hem 9'a tam bölünüyor deniliyor. Aslında bu ifade gereksiz midir?

1. 9, 3'ün iki katıdır (9 = 3·3).
2. Sayı 9 ile bölünüyorsa boynuz kulağı geçer, zaten 3 ile de bölünür.
3. Evet, "9 ile bölünür" demek zaten "3 ile bölünür"ü kapsar. Tek başına 9'u söylemek yeterli.

Çözümlü Örnek 22 — Bileşik Bölende Uygulama

Bir sayı 45 ile bölünüyor ve aynı zamanda 15 ile de bölünür deniliyor. 15 şartı gerekli mi?

1. 45 = 9·5, 15 = 3·5.
2. 45, 15'in katıdır (45 = 15·3).
3. Sayı 45'e bölünüyorsa 15'e de bölünür. 15 şartı gereksiz.
4. Sadece "45 ile bölünür" demek yeterli.

Özellikle şifre, kart, anahtar hikayeleri TYT'de çok sevilir. "Kaç tahminde kesinlikle bulur?" ile "Kaç denemede kesinlikle bulur?" soruları birbirinden farklıdır ve sonuca 1 fark koyar.

Tanım Farkı

• Kaç tahminde kesinlikle bulur: En kötü ihtimal için, tüm seçenekler yanlış çıkana kadar tahmin edersin. Son tahmini yapmana gerek kalmaz — diğerleri elenince sonuncusu zaten o demektir. Sayı = (seçenek sayısı − 1).
• Kaç denemede kesinlikle bulur: Sonunda o işlem gerçekleşmeli (şifre girilmeli, kapı açılmalı). Son denemeyi de yapmak zorundasın. Sayı = seçenek sayısı.

Çözümlü Örnek 23 — 2 Anahtar Problemi

İki kapı ve iki anahtarın var. Hangi anahtar hangi kapıyı açtığını bilmiyorsun. Kaç tahminde kesin olarak anahtarları bulabilirsin? Kaç denemede kapıları kesin olarak açabilirsin?

1. Tahmin: Birinci anahtarı birinci kapıya denedim. Açmadıysa, ikinci anahtar kesin o kapıyı açıyor; ikinci tahmine gerek yok. 1 tahmin yeterli.
2. Deneme: Birinci anahtarı birinci kapıya denedim, açmadı. İkinci anahtarı ikinci kapıya denedim, açmadı? Hayır olamaz; ya ikinci anahtarı ikinci kapıya sokup açmam ya da birinciyi tekrar denemem lazım. En kötü ihtimal: 3 deneme.
3. İkili kapı için tahmin = 1, deneme = 3 (yani 2 + 1).

Çözümlü Örnek 24 — Şifre Problemi

Bir şifrenin son basamağı 3'ün katı olduğu için 0, 3, 6 veya 9 olabilir. Kaç tahminde kesinlikle bulur? Kaç denemede şifreyi girebilir?

1. 4 olası seçenek var.
2. Tahmin: Birincisini tahmin et, yanlış. İkinciyi tahmin et, yanlış. Üçüncüyü tahmin et, yanlış. Dördüncüyü tahmin etmene gerek yok — o zaten doğru olandır. 3 tahmin.
3. Deneme: Şifreyi girmek zorundasın, son yanlışı bile gözlemek lazım → 4 deneme.

TYT'de sıklıkla "rakamları birbirinden farklı", "en baştaki rakam 0 olamaz" gibi ek kısıtlar verilir. Bölünebilme sorularında bu kısıtlar cevabı doğrudan etkiler.

Kural Listesi

1. Rakamlar farklı: Bulduğun değer önceden kullanılmış bir rakamsa elenir. Soruyu çözerken bir kenara not al.
2. Sayı n basamaklı: Baştaki rakam 0 olamaz. Örneğin 3 basamaklı ABC sayısında A ≠ 0.
3. 0'dan farklı: Rakamların hiçbiri 0 olamaz — 1 ile 9 arası seçim.
4. Tek sayıdır / çift sayıdır: Son basamak sıkışır. Tek → 1, 3, 5, 7, 9; çift → 0, 2, 4, 6, 8.

Çözümlü Örnek 25 — Farklı Rakamlı Bölünebilme

Rakamları birbirinden farklı dört basamaklı ABCD sayısı 2 ile tam bölünüyor. D en çok kaç olabilir? (A, B, C'de 4 ve 6 kullanılmış.)

1. 2 ile bölünmek için D çift olmalı: {0, 2, 4, 6, 8}.
2. 4 ve 6 kullanılmış, D bu iki değerden biri olamaz.
3. Kalan seçenekler: {0, 2, 8}.
4. En büyük: 8.

Çözümlü Örnek 26 — 0'dan Farklı Rakamlar

Rakamları 0'dan ve birbirinden farklı, 3 basamaklı ABC sayısı 2 ile ve 3 ile tam bölünüyor. B = 5 bilindiğine göre A + C'nin alabileceği en büyük değer nedir?

1. 2 ile bölünme → C çift: {2, 4, 6, 8} (0 olamaz).
2. 3 ile bölünme → A + 5 + C = A + C + 5 sayısı 3'ün katı olmalı.
3. A + C en büyük olsun istiyoruz. A ve C 0'dan farklı ve 5'ten farklı olmalı.
4. C = 8 dene: A + 8 + 5 = A + 13 sayısı 3'ün katı → A = 2, 5, 8... ama 5 ve 8 kullanıldı; A = 2.
5. A = 9 dene: 9 + C + 5 = C + 14 sayısı 3'ün katı → C = 1, 4, 7... ama 1 tekdir. C en büyük olsun: C = 4 (çift) veya C = 7 (tek → elenir).
6. Dene: A = 9, C = 4 → 9 + 4 = 13. 13 + 5 = 18 = 3·6 ✓. A + C = 13.
7. Daha büyük: A = 9, C = 8 → A + C = 17; 9 + 8 + 5 = 22, 22/3 tam değil. Elendi.
8. En büyük A + C = 13 (A = 9, C = 4 veya A = 4, C = 9 simetrik).

Bölünebilme konusu TYT'nin sabit misafiridir. Son yılların tipik kalıpları:

Kalıp 1 — "3 Bölünebilme Aynı Anda" (2022 ÖSYM)

Dört basamaklı ABCD sayısı 2 ve 3 ile tam bölünürken 5 ile bölümünden kalanı 2 veriyor. Şartlara uyanların toplam kaç tanesi vardır?

Yaklaşım: 5 ile kalan 2 → son basamak D ∈ {2, 7}. 2 ile tam bölünme → D çift → D = 2. 3 ile tam bölünme → A + B + C + 2 sayısı 3'ün katı → A + B + C 3'ün katından 1 eksik (yani 3k − 2 = 3m + 1). Kaç farklı kombinasyon varsa topla.

Kalıp 2 — "11 ve 12 Birleşimi" (2023 ÖSYM)

Üç basamaklı aba ve bab sayılarından biri 11 ile, diğeri 12 ile tam bölünüyor. a + b toplamı nedir?

Yaklaşım: aba 11 ile bölünürse çaprazlı toplam: +a − b + a = 2a − b, 11'in katı. a, b rakam olduğundan 2a − b = 0 (yani b = 2a) veya 2a − b = 11. bab 12 ile bölünmeye (3 ve 4'e) çalış: son iki basamak "ab", b = 8 ise ab 4'ün katı (88 değil, 48, 88'de 88/4=22 ✓). b = 8, 2a − b = 11 → 2a = 19, olmaz. b = 8, 2a = b → 2a = 8, a = 4. Kontrol: aba = 484 → 4·121 = 484 ✓; bab = 848 → 848/12 = 70.67, hayır. Öteki dağılım: aba 12 ile, bab 11 ile. Son iki basamağı aba'nın "ba", 4'ün katı → ba değeri. Gerçek soruda parçaları birleştirerek a + b = 13'e ulaşılır.

Kalıp 3 — "Kalan Eşitliği" (2025 ÖSYM)

Üç basamaklı aBb sayısının 5 ile bölümünden kalanı, 9 ile bölümünden kalanına eşittir. a'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Yaklaşım: 5 ile kalan son basamak b'nin 5 ile kalanı; b < 5 ise b, b ≥ 5 ise b − 5. 9 ile kalan rakamlar toplamı 7 + a + b'nin 9 ile kalanı. İki durumu ayrı ayrı değerlendir:

• b < 5 ise 5'e kalan = b; 9'a kalan = (7 + a + b) mod 9 = b → 7 + a ≡ 0 (mod 9) → a = 2.
• b ≥ 5 ise 5'e kalan = b − 5; 9'a kalan = (7 + a + b) mod 9 = b − 5 → 12 + a ≡ 0 (mod 9) → a = 6 (k = 2 için: 18 − 12 = 6).

Cevap: a ∈ {2, 6}, toplam = 8.

Kalıp 4 — "Hikaye + Bölünebilme" (TYT tarzı)

5 daireli bir apartmanın tadilat masrafı 4 basamaklı 1a3b sayısıdır. 5 daireye eşit bölünür; 2 ya da 3 daire ödemezse kalan daireler yine eşit bölüşür. a'nın alabileceği en küçük değer nedir?

Yaklaşım: Sayı 5'e (5 daire), 3'e (3 kalan), 2'ye (2 kalan) tam bölünüyor → 30 = 2·3·5 ile tam bölünür. 2'ye bölünme → b çift. 5'e bölünme → b ∈ {0, 5}. Kesişim: b = 0. 3'e bölünme → 1 + a + 3 + 0 = 4 + a 3'ün katı → a = 2, 5, 8. En küçük a = 2.

Bölünebilme sorularında yapılan en yaygın hataları listeleyelim. Her biri 1 puan demek, ve sınavda bu 1 puanın kaybı olmaz diyemezsin.

Hata 1 — "6'ya Bölünürse 2'ye ve 3'e Bölünür" Yanılgısını Terse Çevirme

Doğru: sayı 6 ile bölünürse 2 ve 3 ile de bölünür. Tersi geçerli değildir: sayı 2 ile ve 3 ile bölünüyorsa 6 ile bölünür (çünkü 2 ve 3 aralarında asal). Ama genelleme yapma — 4 ve 6 aralarında asal değil, bu yüzden sayı hem 4 hem 6'ya bölünse bile otomatik 24'e bölünmez (aralarında asal değiller).

Hata 2 — Aralarında Asal Olmayan Çarpanlara Ayırma

Tuzak: 24 = 2·12 olarak ayırmak. Yanlış çünkü 2 ve 12 aralarında asal değil. Doğru: 24 = 3·8 (3 ve 8 aralarında asal). Aynı şekilde 20 = 2·10 değil 4·5 olmalı; 36 = 2·18 değil 4·9 olmalı.

Hata 3 — 11 Kuralında İşaretleri Soldan Başlatmak

Doğru yol: rakamları sağdan başlayarak +, −, +, −, ... diye işaretle. Soldan başlatırsan sonuç ters çıkar ve cevap değişir. Alışkanlık: kalem ucunu sağ tarafa koy.

Hata 4 — "Tahmin" ile "Deneme" Kelimelerini Karıştırmak

Soru "kaç tahminde kesin bulur?" der → seçenek sayısı − 1. "Kaç denemede kesin bulur?" der → seçenek sayısı. 1 rakam fark cevabı değiştirir.

Hata 5 — Rakam Kısıtlarını Gözden Kaçırmak

"Rakamları farklı" kısıtını soruyu çözerken unutursan geçerli seçenekleri fazlalıkla sayarsın. Bir kenara "daha önce kullanılanlar" listesini not al.

Hata 6 — "Büyük Bölen Kalanı" Yaklaşımını Uygulamamak

Sayı bilinmediğinde, büyük bir bölene bölümden kalan verildiğinde, küçük bölenlere tek tek bölmeye çalışmak zaman kaybıdır. Doğrudan "kalanın kalanı" mantığı kullan: 45 ile kalan 32 ise 9 ile kalan 5 (32'nin 9'a kalanı), 5 ile kalan 2 (32'nin 5'e kalanı).

Hata 7 — "Katları At" Pratiğini Kullanmamak

10 basamaklı bir sayının 9'a kalanını bulurken rakam toplamını 40-50'ye çıkarıp sonra bölmek zaman kaybı. Rakam toplamını hesaplarken 9'un katlarını anında atıp küçük kalanla devam et.

Hata 8 — 4 ile Bölünme İçin Yüzleri Dikkate Almak

Son iki basamak 4'e bölünüyorsa sayı 4'e bölünür. "Yüzler basamağı önemli mi?" sorusunun cevabı: hayır. 100 = 4·25 olduğu için yüzler ve ötesi zaten 4'e bölünür.