TYT Matematik — Bölme İşlemi

TYT konularında ilerledikçe ilk bakışta "ilkokul konusu" gibi görünen dört işlem, aslında matematiğin DNA sarmalı gibi her konunun içine girer. Bölme işlemine geçmeden önce iki kısa ön-hatırlatma yapmak faydalı: çıkarmanın terminolojisi ve çarpmanın "sağdan hizala, boşluklara sıfır koy" mantığı. Bu ikisi anlaşılmadan bölme algoritması zayıf kalır.

Çıkarmanın Terimleri: Eksilen, Çıkan, Fark

Klasik bir çıkarma işleminde üç ad vardır ve ÖSYM bu adları harflerle gizlediği sorular kurar:

• Eksilen (E): Üstteki, azaltılan sayı. Örn: 17 − 5 = 12 işleminde 17 eksilendir.
• Çıkan (Ç): Eksilenden çıkarılan sayı. 17 − 5 = 12'de 5 çıkandır.
• Fark (F): İşlemin sonucu. 17 − 5 = 12'de 12 farktır.

Genelleştirilmiş eşitlik: E − Ç = F. Sınav sorusunda "eksilen, çıkan ve farkın toplamı 228" gibi bir bilgi verilirse, öğrencinin kendi kendine bilmesi gereken eşitlik (E − Ç = F) ile sorunun verdiği eşitlik (E + Ç + F = 228) birleştirilir:

Çarpmanın "Sağdan Hizala, Boşluğa 0 Koy" Hikâyesi

İlkokulda öğretilen çok basamaklı çarpmada her alt satır bir sola kaydırılır. Aslında o kaydırma, alt satırın sonuna görünmez bir sıfır yazmakla aynıdır — yani 10 ile çarpılmıştır. Bu hatırlama, bölme-çarpma karması sorularda kurtarıcıdır.

Örneğin 123 · 34 çarpımında, alt satırda 123 · 3 sonucu bir sola kaydırılır. Aslında o satır 123 · 30, yani 123 · 3 sonucunun sonuna 0 konmuş halidir. ÖSYM bazı sorularda "çarpma yapılırken kaydırma unutuldu ve sonuç yanlış çıktı" senaryosu üzerine bölmeyle harmanlanmış soru kurar; bu soruda çarpmanın aslında toplamaya dönüştüğünü görmek kritiktir.

Çözümlü Örnek 1 — Yanlış Kaydırmalı Çarpmayı Doğrultma

ABC · 13 çarpımı hesaplanırken ikinci satır (ABC · 1) kaydırılmadan alt alta toplanmış ve sonuç 1066 bulunmuş. Buna göre ABC sayısı kaçtır?

1. Birinci satır: ABC · 3 (sağdan hizalı).
2. İkinci satır kaydırılmadığı için sonuna 0 konmamış: ABC · 1 = ABC (sağdan hizalı, tam aynı hizada).
3. Yani aslında yapılan toplam: 3·ABC + 1·ABC = 4·ABC? Hayır, dikkat: birinci satır 9 tane ABC'ye karşılık gelmiyor, ABC · 3'e karşılık geliyor. Sağdan hizalı 2 satır: 3·ABC + 1·ABC = 4·ABC. Ancak doğru sonuç 3·ABC + 10·ABC = 13·ABC olmalıydı.
4. Verilen yanlış toplam: 4·ABC = 1066? Burada ÖSYM tarzı problem bazen "(3+1)·ABC" yerine "9·ABC+4·ABC=13·ABC" şeklinde kurulur. Orijinal soruda 13·ABC = 1066 verildi: 1066 / 13 = 82. Kontrol: 13 · 82 = 1066. Doğrulandı.
5. Soruda ABC yerine AB varsa da aynı mantık: AB = 82 → A + B = 10.

Bölme, dört işlemin en sistematik olanıdır. Bölme işleminde dört ad vardır ve her biri harfle karşılanır:

Terimler ve Harf Karşılıkları

• Bölünen (A): Parçalanacak, bölünecek sayı.
• Bölen (B): Kaç gruba bölüneceğini söyleyen sayı.
• Bölüm (Q): Her grubun büyüklüğü; "tam kaç kere var" sorusunun cevabı.
• Kalan (K): Bölümden sonra artan, gruba giremeyen miktar.

Altın Formül: Bölme Algoritması

Mnemonic: BBBK — "Bölünen = Bölen · Bölüm + Kalan"

Dört ad ve formül bir arada hatırlansın diye: B B B K. Üç B sırayla Bölünen, Bölen, Bölüm; K ise kalan. Sırasıyla: "Bölünen, Bölen çarpı Bölüm ile Kalanın toplamıdır." Sınavda nerede bölme algoritması geçiyorsa önce bu dörtlü çatıyı kâğıdının üstüne kur:

A = B · Q + K   ve   0 ≤ K < B

Aritmetik Doğrulama — Basit Bir Örnek

17 ÷ 5 işleminde:

• Bölünen A = 17
• Bölen B = 5
• Bölüm Q = 3 (çünkü 5·3 = 15 ≤ 17, fakat 5·4 = 20 > 17)
• Kalan K = 17 − 15 = 2

Kontrol: B · Q + K = 5 · 3 + 2 = 15 + 2 = 17 = A. ✓ Ayrıca K = 2 < 5 = B. ✓ Algoritma doğrulandı.

Çözümlü Örnek 2 — Algoritmanın Ters Kullanımı

Bir sayı 7'ye bölündüğünde bölüm 12, kalan 4 olmaktadır. Bu sayı kaçtır?

1. Verilenler: B = 7, Q = 12, K = 4.
2. K = 4 < 7 = B: kalan kuralı sağlanıyor. ✓
3. Algoritma: A = B · Q + K = 7 · 12 + 4 = 84 + 4 = 88.
4. Kontrol: 88 ÷ 7 = 12 tam, kalan 88 − 84 = 4. ✓

Çözümlü Örnek 3 — Kalanı Göz Ardı Etmemek

A sayısı B'ye bölündüğünde bölüm 15, kalan 8 olmaktadır. B'nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

1. K = 8 ve kalan kuralı: K < B, yani 8 < B.
2. En küçük tamsayı B: B = 9.
3. Bu durumda A = 9 · 15 + 8 = 135 + 8 = 143 olur.
4. Kontrol: 143 ÷ 9 = 15, kalan 143 − 135 = 8. ✓

Bölme işleminde TYT'nin en sevdiği tuzaklardan biri, bölme yapılırken bir hanede "yok" dendiğinde o haneye 0 yazmayı unutmaktır. Bu unutkanlık tek başına bir sorunun tüm çözümünü yanlış götürür.

Örnek: 37 ÷ 37 ≠ 11'dir

Diyelim bölünen 3737 ve bölen 37. Öğrencilerin çoğunun yaptığı hata:

1. "3'te 37 var mı?" → Yok → (hiçbir şey yazmıyor)
2. "37'de 37 kaç kere var?" → 1 → bölüme 1 yazıyor
3. Kalan 0. Yanına 3 indiriyor: "3'te 37 var mı?" → Yok → (yine atlayıp) → 7'yi indiriyor
4. "37'de 37 var mı?" → 1 → bölüme 1 yazıyor, kalan 0.
5. Bölümü 11 buluyor.

Sağlama: 37 · 11 = 407 ≠ 3737. Yanlış!

Doğru Yöntem: "Yok" Her Zaman 0'dır

Doğrusu, "yok" ya da "0 kere var" dediğin her adımda bölüme mutlaka bir 0 yazılmalıdır:

1. "3'te 37 var mı?" → Yok → bölüme 0 yazılır (ama yazmazsın çünkü sayının başında 0 anlamsız)
2. "37'de 37 kaç kere var?" → 1 → bölüme 1 yazılır.
3. Kalan 0. Yanına 3 indir: "3'te 37 var mı?" → Yok → bölüme 0 yaz.
4. Yanına 7 indir: "37'de 37 var mı?" → 1 → bölüme 1 yaz.
5. Bölüm 101. Kalan 0.

Sağlama: 37 · 101 = 3737. ✓ Doğru.

Çözümlü Örnek 4 — Sıfırlı Bölüm

2040 ÷ 20 işleminin bölümü ve kalanı nedir?

1. "20'de 20 var mı?" → 1 kere → bölüm başına 1, kalan 0.
2. 4'ü indir → "0.4'te 20 var mı?" (yani 4'te 20) → Yok → bölüme 0 yaz.
3. 0'ı indir → "40'ta 20 var mı?" → 2 kere → bölüme 2 yaz, kalan 0.
4. Bölüm: 102, kalan 0.

Sağlama: 20 · 102 = 2040. ✓

Çözümlü Örnek 5 — "Yok" Denilen Basamağın Önemi

ABC 3 basamaklı sayısı AC 2 basamaklı sayısına bölündüğünde bölüm 10B (3 basamaklı) biçiminde elde edilmektedir. Bölümün neden 2 basamaklı değil, 3 basamaklı olduğunu açıklayınız.

1. Bölüm 3 basamaklı çıkıyorsa, bölme işleminin ortalarında en az bir hanede "0 kere var" denilip bölüme 0 konmuş demektir.
2. Örneğin AC = 34, ABC = 3434 olsaydı: bölüm 101 olurdu (tam ortadaki 0, "3'te 34 yok" adımından gelir).
3. Yani bölüm içindeki 0'ı yazmazsan bölümü yanlış (11) bulur, sağlama vermezsin.

Bölme algoritmasındaki 0 ≤ K < B kuralı, TYT'de en çok sorgulanan kısmıdır. Kalan, asla bölenden büyük ya da eşit olamaz. Çünkü bölenden büyük olsa, bölüme bir tane daha grup eklenebilir ve bölme tamamlanmamış olur.

Sınır Değerler

• En küçük kalan: 0 (tam bölünme durumu).
• En büyük kalan: B − 1 (bölenden bir eksik).
• Yani B bölenine sahip bir bölmede kalan kümesi: {0, 1, 2, …, B−1}. Toplam B farklı değer.

Örnekler — Çeşitli Bölenler İçin Kalan Aralıkları

Bölen (B)	Kalan Kümesi	Kalan Sayısı	Maksimum Kalan
2	{0, 1}	2	1
5	{0, 1, 2, 3, 4}	5	4
9	{0, 1, …, 8}	9	8
16	{0, 1, …, 15}	16	15

Çözümlü Örnek 6 — Bölenle Kalanın Doğrulanması

Bir XY iki basamaklı sayısı 16'ya bölündüğünde kalan XY ise, XY'nin alabileceği kaç farklı değer vardır?

1. XY iki basamaklı: 10 ≤ XY ≤ 99.
2. Kalan K = XY ve kalan kuralı: K < 16 → XY < 16.
3. İkisini birleştir: 10 ≤ XY < 16 → XY ∈ {10, 11, 12, 13, 14, 15}.
4. Toplam: 6 farklı değer.
5. Toplamları: 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 75.

Çözümlü Örnek 7 — Kalan ile İlgili Parite

Bölünen sayının son basamağı 6, bölen 16. Bu bölmede kalan hakkında ne söylenebilir?

1. Bölme algoritması: A = 16·Q + K, K < 16.
2. A'nın son basamağı 6 → A çift sayı.
3. 16·Q de çift (çünkü 16 çift).
4. Çift = Çift + K → K de çift olmak zorunda.
5. Kalan K ∈ {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. Tek değerler elenir.

Mnemonic — "Kalan Asla Bölenden Cüsseli Olamaz"

Kalanın bölenden büyük olmasına izin verseydin, bölme işlemini "bitirmemiş" olurdun. Bu yüzden kalan her zaman bölenden en az 1 küçüktür. Formülle: Kmax = B − 1.

TYT'nin klasik bölme sorularından biri: "Aşağıdaki bölme işleminde bölünen en fazla kaç olur?" Burada cevap, üç bileşenin (bölüm, bölen, kalan) eş zamanlı en büyük değerini bulmaktır; ama bir kural asla ihlâl edilmez: K < B.

Strateji: Üst Sınırı Bölüm ve Bölenden Çek

A = B·Q + K formülünde A'yı büyütmek için:

• Q (bölümü) olabilecek en büyük yapın,
• B (böleni) olabilecek en büyük yapın (kalanla uyumlu şekilde),
• K (kalanı) da B − 1 olacak şekilde en büyük alın.

Çözümlü Örnek 8 — Bölen-Bölüm Denge Sorusu

Bir bölme işleminde bölen ile bölümün toplamı 15'tir. Bölen, bölüm ve kalanın hepsi pozitif tamsayıdır. Bu bölme işleminde bölünen sayının alabileceği en büyük değer kaçtır?

1. Değişken atama: Y = bölen, Z = bölüm, K = kalan, X = bölünen. Bölme algoritması: X = Y·Z + K.
2. Kısıt 1: Y + Z = 15. Kısıt 2: K < Y.
3. X'i büyütmek için önce Y·Z'yi maksimum yap. Toplamı sabit iki sayının çarpımı, sayılar birbirine yakın olduğunda maksimumdur (AM-GM). Y + Z = 15 için en yakın ikili: 7 ve 8 → Y·Z = 56.
4. Şimdi Y ile Z'yi hangisine 7, hangisine 8 vereceğiz? K < Y kuralı gereği K'yı büyütmek için Y'yi büyük almak gerekir. Y = 8, Z = 7 seçilir.
5. En büyük kalan: Kmax = Y − 1 = 7.
6. X = 8·7 + 7 = 56 + 7 = 63.

Çözümlü Örnek 9 — En Küçük Bölünen

Bölen, bölüm ve kalanın toplamı 20 olan bir bölme işleminde bölünen en az kaç olur?

1. Y + Z + K = 20, X = Y·Z + K, K < Y.
2. X'i küçültmek için Y·Z'yi küçült. Toplamı sabit iki sayının çarpımı, sayılar birbirinden en uzak olduğunda minimumdur.
3. En küçük pozitif tamsayılar: Y = 2 (çünkü K < Y, K ≥ 0 → Y ≥ 1; ama Y = 1 ise K = 0 olmak zorunda).
4. Y = 1, K = 0 denemesi: Z = 20 − 1 − 0 = 19. X = 1·19 + 0 = 19.
5. Bu bir geçerli çözüm. Daha küçük var mı? Y = 1 atandığında K = 0 şarttır (çünkü K < 1). X doğrudan Z'ye eşit olur. Z'yi küçülten Y'yi büyültmek gerek; ama bu sefer Y·Z büyür. Dolayısıyla Xmin = 19.

Mnemonic — "Büyük Bölen, Büyük Kalan"

En büyük bölünen aranırken böleni büyüt, bölümü de yakın tut; kalanı da bölenden bir eksik al. En küçük aranırken tam tersini yap: böleni 1 yap, kalanı 0 yap, bölüm ne kalırsa — çünkü bölen 1 iken kalan mecburen 0 olur.

ÖSYM'nin pek sevdiği soru kalıbı: "C'nin A türünden değeri nedir?" Burada iki bölme işlemi ve üç-dört harf verilir; senden istenen, bir harfi başka bir harf cinsinden yazmaktır. Çözüm anahtarı: istemediğin harften kurtulmak.

Strateji: "Neyi İstiyorsun?" Değil, "Neyi İstemiyorsun?"

Harfli türünden sorularında önce istenmeyeni belirle. Örneğin "C'nin A türünden değeri" → C ve A istersin, B'yi istemezsin. Dolayısıyla B'den kurtulacak bir yol ara: ya iki denklemi taraf tarafa çıkar, ya da bir denklemdeki B'yi çek, diğerine yerleştir.

Çözümlü Örnek 10 — "C'nin A Türünden Değeri"

A sayısı B'ye bölündüğünde bölüm 3, kalan 5 olmaktadır. B sayısı C'ye bölündüğünde bölüm 4, kalan 1 olmaktadır. B > 5 ve B > C olduğuna göre, C'nin A türünden değeri nedir?

1. Birinci bölme: A = 3B + 5.
2. İkinci bölme: B = 4C + 1.
3. Amaç: C'yi A cinsinden yazmak. B'yi yok etmek gerek.
4. İkinci denklemden B = 4C + 1. Bunu birinci denkleme yerleştir: A = 3(4C + 1) + 5 = 12C + 3 + 5 = 12C + 8.
5. Şimdi C'yi yalnız bırak: A − 8 = 12C → C = (A − 8) / 12.
6. Kontrol: A = 12C + 8 → 12C = A − 8 → C = (A−8)/12. ✓

Çözümlü Örnek 11 — Taraf Tarafa Yok Etme

Aynı B sayısına bölündüğünde A sayısı kalan 7, C sayısı kalan 3 vermektedir. A − C farkının B'ye bölümünden kalan kaçtır?

1. A = B·Q₁ + 7.
2. C = B·Q₂ + 3.
3. Çıkar: A − C = B·(Q₁ − Q₂) + 4.
4. Q₁ − Q₂ tamsayı olduğundan B·(Q₁ − Q₂) B'nin katıdır.
5. Dolayısıyla A − C'nin B'ye bölümünden kalan: 4.
6. Not: 4 < B olması için B > 4 (en küçük B = 5). Soru bunu garantiliyorsa cevap 4.

Çözümlü Örnek 12 — Üç Denklemli Harf Yok Etme

A = 2B + 3, B = 3C + 2, C = 4D + 1. A'yı D cinsinden yaz.

1. C = 4D + 1.
2. B = 3C + 2 = 3(4D + 1) + 2 = 12D + 3 + 2 = 12D + 5.
3. A = 2B + 3 = 2(12D + 5) + 3 = 24D + 10 + 3 = 24D + 13.
4. Sonuç: A = 24D + 13.
5. Kontrol (D = 1 ile): C = 5, B = 17, A = 37. Formülle: A = 24·1 + 13 = 37. ✓

ÖSYM'nin zor TYT sorularında bölme algoritması ile sayı çözümleme birleştirilir. Harfli basamaklı sayılar (örn. AB, ABC) hem bölme algoritmasına hem de onlu sistemdeki 10'lu açılıma tabi tutulur: AB = 10A + B, ABC = 100A + 10B + C.

Çözümleme Formülleri

• 2 basamaklı: AB = 10A + B
• 3 basamaklı: ABC = 100A + 10B + C
• 4 basamaklı: ABCD = 1000A + 100B + 10C + D
• A1 biçimi: A1 = 10A + 1
• 1A biçimi: 1A = 10 + A

Çözümlü Örnek 13 — ÖSYM Çıkmış Tarzı

3 basamaklı AB2 sayısı 2 basamaklı A1 sayısına bölündüğünde bölüm 13, kalan 19 olmaktadır. Buna göre A + B toplamı kaçtır?

1. Bölme algoritması: AB2 = 13 · A1 + 19.
2. Çözümle:
   • AB2 = 100A + 10B + 2
   • A1 = 10A + 1
   • 13 · A1 = 13(10A + 1) = 130A + 13
3. Eşitlik: 100A + 10B + 2 = 130A + 13 + 19.
4. Sağ tarafı topla: 130A + 32.
5. 100A + 10B + 2 = 130A + 32 → 10B = 30A + 30 → B = 3A + 3.
6. Kısıt: A, B rakam → 0 ≤ B ≤ 9, 1 ≤ A ≤ 9 (A ilk basamak, 0 olamaz).
7. Ayrıca A1 > 19 (kalan < bölen kuralı) → 10A + 1 > 19 → A > 1.8 → A ≥ 2.
8. Deneme: A = 2 → B = 3·2 + 3 = 9. Kontrol: AB2 = 292, A1 = 21, 13·21 + 19 = 273 + 19 = 292. ✓
9. A = 3 → B = 12. Ancak B rakam değil (>9), elenir.
10. Tek çözüm: A = 2, B = 9. A + B = 11.

Çözümlü Örnek 14 — AB Sayısının Kendine Bölümü

2 basamaklı AB sayısı 13'e bölündüğünde bölüm B, kalan A olmaktadır. Buna göre AB kaçtır?

1. Bölme algoritması: AB = 13 · B + A.
2. Çözümle: 10A + B = 13B + A.
3. Sadeleştir: 9A = 12B → 3A = 4B.
4. Rakam çözümü (0 ≤ B ≤ 9, 1 ≤ A ≤ 9): A = 4, B = 3. (Diğer adaylar: A = 8, B = 6.)
5. Kısıt: A < 13 (kalan < bölen kuralı) — her iki aday da sağlar.
6. Ama kalan kuralı A < B·13 değil, A < 13. Ek olarak B'nin bölüm olduğu için B ≥ 1.
7. Her iki çözüm geçerli: AB = 43 → 43 = 13·3 + 4. ✓ veya AB = 86 → 86 = 13·6 + 8. ✓
8. Sınavda tek cevap bekleniyorsa ek bilgi (örn. "A < B") verilir. Bu ek olmadan iki cevap vardır.

"X ve Y sayıları B'ye bölündüğünde kalan aynıdır" tipi sorularda anahtar kural şudur: iki sayının farkı, bölene tam bölünür. Çünkü ortak kalan çıkarmada götürülür, geriye sadece bölenin katları kalır.

Formül

Çözümlü Örnek 15 — Klasik Ortak Kalan

67 ve 43 sayılarını aynı B sayısına böldüğünde her iki bölmeden aynı kalan elde ediliyor. B'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

1. Ortak kalan kuralı: B | (67 − 43) → B | 24.
2. 24'ün bölenleri: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
3. Ayrıca B, ortak kalandan büyük olmalı. Eğer kalan K ise, K < B.
4. En büyük B: 24 (bu durumda ortak kalan 19).
5. Kontrol: 67 = 24·2 + 19, 43 = 24·1 + 19. ✓

Çözümlü Örnek 16 — En Büyük Bölenli Değil, En Küçük

85 ve 127 sayılarını aynı sayıya böldüğünde her iki bölmeden aynı kalan elde ediliyor. Bu sayı 1'den büyük olduğuna göre en küçük değeri kaçtır?

1. Fark: 127 − 85 = 42.
2. 42'nin 1'den büyük bölenleri: {2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}.
3. En küçük: 2.
4. Kontrol: 85 = 2·42 + 1, 127 = 2·63 + 1. Ortak kalan 1. ✓

Çözümlü Örnek 17 — Üçlü Ortak Kalan

41, 74 ve 107 sayılarını aynı sayıya böldüğünde üçünden de aynı kalan elde ediliyor. Bu böleni bulunuz (en büyük).

1. Farklar: 74 − 41 = 33, 107 − 74 = 33, 107 − 41 = 66.
2. Bu farkların OBEB'i (ortak böleni) aradığımızdır.
3. EBOB(33, 33, 66) = 33.
4. Dolayısıyla en büyük bölen B = 33.
5. Kontrol: 41 = 33·1 + 8, 74 = 33·2 + 8, 107 = 33·3 + 8. Ortak kalan 8. ✓

"Kararlı sayı" bazı TYT sorularında tanımlı olan özel bir yapıdır: A rakamının C rakamına bölümünden kalan B'dir ve üç basamaklı sayı ABC oluşur. Burada kalan ile sayı çözümlemesi bir araya gelir.

Tanım

ABC üç basamaklı bir sayı olsun. Eğer A ÷ C bölmesinden kalan B ise, ABC'ye "kararlı sayı" denir. Yani A = C·Q + B ve B < C.

Çözümlü Örnek 18 — En Büyük Kararlı Sayı

Rakamları 0'dan farklı olan en büyük üç basamaklı kararlı sayının onlar basamağındaki rakam kaçtır?

1. Üç basamaklı en büyük sayı arıyoruz → A'yı büyüt. A = 9.
2. Soru onlar basamağı B'yi soruyor. B = A ÷ C'den kalan.
3. Kalan kuralı: B < C.
4. B'yi (yani kalanı) büyütmek için C'yi öyle seçmeliyiz ki 9 ÷ C en büyük kalanı versin.
5. Deneme tablosu:

   C	Bölüm	Kalan (B)
   2	4	1
   3	3	0 (rakam 0 olmaz)
   4	2	1
   5	1	4
   6	1	3
   7	1	2
   8	1	1

6. En büyük B: 4 (C = 5 ile).
7. Kararlı sayı: ABC = 945.
8. Onlar basamağı B = 4. Cevap: 4.
9. Kontrol: 9 ÷ 5 = 1, kalan 4. ✓ Kalan 4 < bölen 5 ✓

Kararlı Sayı Stratejisi — "Dengeleri Bul"

En büyük kararlı sayı oluştururken iki ilke var:

• A (yüzler) büyük: Öncelik sayıyı büyütmek → A = 9.
• B (onlar) büyük: A ÷ C'den en büyük kalan. Kalan, bölenle yakın olduğunda büyür.

Örneğin 9 ÷ 4 = 2 kalan 1 iken 9 ÷ 5 = 1 kalan 4. Çünkü 5 ile 9 birbirine daha yakın. Genel prensip: Bölünen ile bölen yakınsa kalan büyük olur.

TYT'nin son yıllarda başvurduğu bir soru tarzı: bölme işlemini modelleme ile tanımlama. Örneğin bir öğrenci bölüneni kadar noktayı defterine dizip, böleni kadar noktayı bir çemberle gruplar; son çemberde tam grup oluşmadığında kalan beliriverir.

Model Mantığı

• Toplam nokta: Bölünen sayı.
• Her çemberdeki nokta: Bölen sayı.
• Çemberin sayısı: Bölüm.
• Çemberin dışında kalan nokta: Kalan.

Örnek: 19 nokta, 5'erli gruplar. 3 çember (her biri 5 noktalı) → 15 nokta gruplandı, 4 nokta dışarıda. Yani 19 ÷ 5 = 3, kalan 4. Model formülü: 19 = 5·3 + 4.

Çözümlü Örnek 19 — Unutulan Çember Senaryosu

Esra, 67 sayısını A'ya bölmek istemektedir. Noktalı modeli kullanır fakat son çemberi çizmeyi unuttuğu için kalanı 11 bulur. Esra'nın doğru kalanı ile gerçek sayılar arasındaki ilişkiden yararlanarak A'nın alabileceği değerlerin toplamını bulunuz.

1. Esra'nın yanlış işlemi: bölüm K−1, kalan 11. Yani 67 = A·(K−1) + 11, ama bu yanlış işlem.
2. Doğru işlem: bölüm K, kalan 11 − A (çünkü bir grup daha çizilseydi o gruba A nokta giderdi; yanlış kalan doğrudan bir A fazlaydı).
3. Doğru kalan: 11 − A. Bu değer 0 ile A arasında (kalan kuralı): 0 ≤ 11 − A < A.
4. Sağ eşitsizlik: 11 − A < A → 11 < 2A → A > 5.5 → A ≥ 6.
5. Sol eşitsizlik: 11 − A ≥ 0 → A ≤ 11. Ama aynı zamanda 11 yanlış kalan Esra'nın işleminde 11 < A olmalıydı (tam bölme kuralı ihlâl edilmeseydi kalan bölenden küçük olurdu): A > 11.
6. Çelişki gibi görünür fakat dikkat: Esra'nın yanlış adımında kalan olarak 11 bulunması için A > 11 şart değil — 11'den küçük A değerlerinde 11 kalan olarak kalmaz. Yani aslında A ≤ 11'de bu senaryo oluşmaz. Yeniden: doğru işlemde kalan 11 − A; bölmeyi yapabilmek için 11 − A ≥ 0 ve A > 11 − A.
7. Bir de 67 = A·K + (11 − A) = A·K − A + 11 = A(K − 1) + 11. Yani 67 − 11 = 56 = A·(K − 1). Bu bize A'nın 56'nın bir böleni olduğunu söyler.
8. 56'nın bölenleri: {1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56}.
9. Kısıtları uygula: A > 5.5 (yani A ≥ 6). Bölenlerden bunu sağlayanlar: {7, 8, 14, 28, 56}.
10. Ek kısıt: 11 − A ≥ 0 değil; 11 yanlış kalan olduğu için 11 < A'ye gerek yok. Fakat orijinal bölmede kalan 11 − A, negatif olmamalı mantığı yerine "yanlış modelde kalan 11 idi" ifadesiyle yorumlanır: 11 − A ≥ 0 ise A ≤ 11.
11. A ≤ 11 ve A ≥ 6 ve A | 56 → A ∈ {7, 8}.
12. Toplam: 7 + 8 = 15.
13. Kontrol (A = 7): 67 = 7·9 + 4. Doğru bölmede kalan 4. Bir eksik çember modelinde kalan 4 + 7 = 11. ✓
14. Kontrol (A = 8): 67 = 8·8 + 3. Doğru kalan 3. Eksik çemberde 3 + 8 = 11. ✓

Bazı sorularda "bölen, bölümün iki katından 1 fazladır" gibi bağlantılar verilir. Bu soruları çözmek için bölme algoritmasını yazmak ve kalan kuralını devreye sokmak yeterlidir.

Çözümlü Örnek 20 — Kalan 11, Bölen = 2·Bölüm + 1

Pozitif tamsayılarla yapılan bir bölme işleminde bölen, bölümün iki katından 1 fazladır. Bu bölme işleminde kalan 11 ise, bölünen en az kaçtır?

1. Değişkenler: A = bölünen, B = bölen, Q = bölüm, K = 11.
2. İlişki: B = 2Q + 1.
3. Algoritma: A = B·Q + K = (2Q + 1)·Q + 11 = 2Q² + Q + 11.
4. Kısıt: K < B → 11 < 2Q + 1 → 2Q > 10 → Q > 5 → en küçük tam Q = 6.
5. A'yı en küçük yapan Q = 6: A = 2·36 + 6 + 11 = 72 + 6 + 11 = 89.
6. Kontrol: B = 2·6 + 1 = 13. A = 13·6 + 11 = 78 + 11 = 89. ✓ Kalan 11 < bölen 13 ✓

Çözümlü Örnek 21 — Bölen × Bölüm = Sabit

Bir bölme işleminde bölenle bölümün çarpımı 24, kalan 5'tir. Bölen kaç olamaz?

1. B · Q = 24, K = 5, K < B → B > 5.
2. 24'ün bölenleri: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
3. B > 5: {6, 8, 12, 24}.
4. 5'ten küçük veya 5'e eşit bölenler (B ∈ {1, 2, 3, 4}) olamaz.
5. Soru "olamaz" diye soruyor → seçeneklerdeki 6'dan küçük herhangi bir değer olmaz.

Çözümlü Örnek 22 — İki Basamaklı Bölenle Sabit Bölünen

105 sayısı iki basamaklı bir XY sayısına bölündüğünde kalan 4 olmaktadır. K bölüm olmak üzere, K'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

1. Algoritma: 105 = XY·K + 4 → XY·K = 101. Hmm, 101 asal. Çözüm 1·101, 101·1. Ama XY iki basamaklı (10 ≤ XY ≤ 99). Çelişki.
2. Tekrar: bazı ders kaynaklarında 105 − 4 = 101 değil 105 = XY·K + 4 olur. Diğer formda: 105'in bir böleninin 4 fazlası XY'dir mi? Dersimizdeki orijinal yorum: XY·K + 4 = 105 → XY·K = 101. 101 asal.
3. Eğer soruda 105 = XY·K + r ve r = 4 değil de r farklı verilirse, XY·K = 105 − r bileşenlerini incelersin.
4. Alternatif yorum — bölünen A, bölen XY, bölüm K, kalan 4: A = 105, A − 4 = 101 = XY·K. 101 asaldır, bölen iki basamaklı olmaz. Bu durumda soru "kalan 4, 105 iki basamaklı sayıya bölündü" formunda değil, "bölünen 105, bölen XY" olabilir. Kaynağa göre net yorum: 105 = 2·50 + 5, 105 = 5·20 + 5… Bu soruyu güvenli çözmek için hocanın video örneğinde bölünen farklı olmalıdır.

Bölme konusu görünürde basit olsa da TYT'nin en çok can yakan tuzaklarını içerir. Aşağıda son yıllarda ÖSYM'nin sorduğu kalıplar ve her birinin stratejik çözüm yolu özetlenmiştir.

Strateji Tablosu

Soru Tipi	İlk Hamle	İkinci Hamle
Bölüm, kalan verilmiş, bölünen soruluyor	A = B·Q + K yaz	K < B kontrol et
"En büyük bölünen"	Bölene büyük, bölüme yakın ver	Kalan = bölen − 1
Ortak kalanla bölme	Sayıların farkını al	Farkın bölenlerini incele
Türünden (C'nin A cinsinden)	Her bölmeye algoritma yaz	İstemediğin harfi yerine koy
Harfli basamak çözümleme	Çözümle + algoritma yaz	Rakam kısıtlarıyla filtrele
Kararlı sayı	A'yı büyüt	C'yi A/2'nin hemen üstü seç
Nokta-çember modellemesi	Model formülüne dön	Eksik çember = kalan + bölen

Sık Yapılan Beş Hata

1. Kalan bölenden büyük olamaz kuralını unutmak. Her cevabı kontrol et.
2. Bölme sırasında "yok" dediğin basamağa 0 yazmamak. Bölüm eksik çıkar.
3. Harfli "türünden" sorularında yanlış harfi yok etmek. Önce "ne istemiyorum?" sorusu.
4. "En büyük bölünen" sorusunda bölen-bölüm eşitlenip kalanın büyük tutulacağını gözden kaçırmak. 7·8 + 7 = 63, 7·8 + 6 = 62.
5. Ortak kalan sorularında farka bakmayıp direkt sayılara odaklanmak. Fark = EBOB'a götürür.

Çözümlü Örnek 23 — Bölmede Yanlış Götürmez Kuralı

YKS 2019 itibarıyla TYT'de yanlış cevap doğruları götürmez (yanlış sayısı / 4 indirimi kaldırıldı). Bu yüzden bölme sorularında emin olmadığın seçeneği bile bölme algoritmasıyla test edebilirsin:

1. A seçeneği: A = B·Q + K'yi sağlıyor mu?
2. B seçeneği: Kalan kuralı (K < B) sağlıyor mu?
3. … devam.
4. Sağlamayı vermeyen elenir. Kalan tek seçenek cevaptır.

Son Kontrol — Her Bölme Cevabında 3 Soru

Mnemonic Özeti — Bölmede Unutulmayacak İki Cümle

• BBBK: Bölünen = Bölen · Bölüm + Kalan.
• KKB: Kalan, Bölenden Küçüktür. (0 ≤ K < B)