TYT Matematik — Rasyonel ve Ondalık Sayılar

Rasyonel sayılar, iki tam sayının birbirine bölümü şeklinde yazılabilen sayılardır. Yani elimde a ve b iki tam sayı varsa ve b ≠ 0 ise a / b ifadesi bir rasyonel sayıdır. Bu tanımın içindeki "b ≠ 0" şartı süsleme değil, zorunluluktur; sıfıra bölmek matematikte tanımsız olduğu için payda asla sıfır olamaz. Rasyonel sayıları gördüğün her yerde ilk refleksin "payda sıfır mı?" kontrolü olmalıdır.

Pay, Payda ve Kesir Çizgisi

Bir kesirde üç temel parça vardır: yukarıdaki sayıya pay, ortadaki yatay çizgiye kesir çizgisi, aşağıdaki sayıya da payda denir. "Altta payda, dağda" diye bir mnemonic düşünebilirsin: payda her zaman alttadır. Pay bir bütünün kaç parçasını aldığını, payda ise bütünün kaça bölündüğünü söyler. Bir elmayı 4 eşit parçaya bölüp 1 parçasını alırsan 1/4, 3 parçasını alırsan 3/4 elde edersin.

Kesirde Genişletme ve Sadeleştirme

Bir kesrin payını ve paydasını aynı sayıyla çarparsan değer değişmez, sadece görünüm değişir. Aynı elma, farklı parçalara bölünmüş gibi düşün:

• 1/2 ile 2/4 ile 3/6 ile 50/100 — hepsi aynı değerdedir, sadece farklı görünümlerdir.
• Genişletme: üst ve altı aynı sayıyla çarp (1/2 × 3/3 = 3/6).
• Sadeleştirme: üst ve altı aynı sayıya böl (20/50 → 2/5).

Çözümlü Örnek 1 — Değeri Bilinen Kesri Genişletme

Değeri 4/9 olan bir kesir veriliyor. Payından 2 çıkarılıp paydasına 3 eklenince kesir 1/3'e eşit oluyor. İlk kesrin pay ve paydasının toplamı kaçtır?

1. Değeri 4/9 olan kesri 4x / 9x olarak yaz — başlangıçtaki kesri koru.
2. Yeni kesir: (4x − 2) / (9x + 3) = 1/3.
3. İç dış çarpımı: 3 · (4x − 2) = 1 · (9x + 3) → 12x − 6 = 9x + 3.
4. 3x = 9 → x = 3.
5. İlk kesrin pay + payda: 4x + 9x = 13x = 13 · 3 = 39.

İşin sırrı: hikaye seni oynatıyor olsa bile başlangıçtaki kesri kaybetme; çünkü soru %99 oraya döndürecek.

Kesirler, pay ile payda arasındaki büyüklük ilişkisine göre üç ailede toplanır. Bu sınıflandırma hem karşılaştırma (mukayese) sorularında hem de problemlerde hangi kurala gideceğini belirler.

Üç Kesir Ailesi

Tür	Tanım	Sayı Doğrusu	Örnek
Basit Kesir	|a| < |b| (pay paydadan küçük)	−1 ile +1 arasında	2/3, −3/4
Bileşik Kesir	|a| ≥ |b| (pay paydadan büyük veya eşit)	+1'den büyük eşit veya −1'den küçük eşit	5/3, −7/2, 4/4
Tam Sayılı Kesir	a tam + basit kesir	Bileşik kesirin "ayrıştırılmış" hali	2 tam 3/5 = 13/5

Tam Sayılı Kesirde Gizli Artı Kuralı

Tam sayılı kesirlerde tam kısım ile kesirli kısım arasında gizli bir artı vardır: 2 tam 3/5 aslında 2 + 3/5 demektir. Bileşik kesre dönüştürürken "tam × payda + pay / payda" formülünü kullan: (2·5 + 3)/5 = 13/5.

Sayı Doğrusunda Kesir Yerleştirme

Bir sayı doğrusu gördüğünde kesri çıkarmak için önce tam kısmına bakarsın, sonra bölmelere.

• Pozitif sayılarda: soldan sağa say. 2 tam'ı geçmiş, üçte 3 bölme ileri gitmişse 2 tam 3/4 olur.
• Negatif sayılarda: sağdan sola doğru say. 0'ı geçmiş ama −1'e ulaşmamışsa tam kısmı 0'dır; 2'ye bölünmüş ve 1 gitmişse −1/2'dir.

Çözümlü Örnek 2 — Pozitif Basit Kesir Aralığı

a pozitif tam sayı olmak üzere (2a + 4) / (a + 12) kesri basit kesir ise kaç farklı a değeri olabilir?

1. Pay ve payda pozitif → kesir pozitif → 0 < (2a+4)/(a+12) < 1.
2. Payda pozitif olduğu için eşitsizlik yön değiştirmeden (a + 12) ile çarpılır: 0 < 2a + 4 < a + 12.
3. Sol taraf: 2a + 4 > 0 → a > −2 (zaten pozitifti, bağlayıcı değil).
4. Sağ taraf: 2a + 4 < a + 12 → a < 8.
5. Pozitif tam sayı ve a < 8: a ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} → 7 farklı değer.

Kesirlerde toplama-çıkarma yaparken paydaların aynı olması şarttır. Bu, ortak bir "birim" belirlemek gibidir: 2 elma + 3 portakal kaç eder diye soramazsın, önce ikisini de "meyve" diye eşit birime getirmen gerekir. İki kesirde de aynı şey: payda aynı değilse önce eşitlenir, sonra toplanır.

Üç Adımlı Standart Yöntem

1. Paydaları kontrol et. Aynıysa direkt adım 3'e geç.
2. Paydaları eşitle. Genellikle EKOK alınır. İki paydayı çarparsan da olur ama sayılar büyür.
3. Payları topla/çıkar, paydayı aynen yaz.

Çapraz Çarpım Pratiği (Paydalar Aralarında Asal ise)

Paydalar aralarında asalsa (ortak bölenleri yoksa) payda eşitleme yerine çapraz çarpım kullanmak daha pratiktir:

Çözümlü Örnek 3 — Bardak Karışımı (Üç Kesir Toplama)

Bir karışımda 1 − 2/8 litre mandalina, 1 − 2·(1/12) litre portakal ve x litre greyfurt suyu var. Toplam 2 litre karışım yapıldığına göre x kaç litredir?

1. 1 − 2/8 = 1 − 1/4 = 3/4 (mandalina).
2. 1 − 2/12 = 1 − 1/6 = 5/6 (portakal). (Hocanın sorusunda 1/12'lik bir bölme kullanılmış; burada örneği basitleştiriyoruz.)
3. Toplam: 3/4 + 5/6 + x = 2.
4. Paydayı 12'de eşitle: 9/12 + 10/12 + x = 24/12.
5. 19/12 + x = 24/12 → x = 5/12 litre.

Çözümlü Örnek 4 — Tam Sayılı Kesirlerin Toplamı

−1 tam 2/3 + 1 tam 3/4 işleminin sonucu nedir?

1. Gizli artıyı çıkar: (−1 − 2/3) + (1 + 3/4).
2. Tam kısımlar: −1 + 1 = 0.
3. Kesirli kısımlar: −2/3 + 3/4 → çapraz çarpım → (−8 + 9)/12 = 1/12.
4. Sonuç: 0 + 1/12 = 1/12.

Çarpma ve bölmede paydayı eşitleme derdi yoktur; daha kolay işlemlerdir. Ama iki küçük kural var ve bunlar ÖSYM sorularında sıkça test edilir.

Çarpma Kuralı

Kesirde çarpma: pay ile pay, payda ile payda çarpılır. Mnemonic: "üste üst, alta alt".

Çarpmadan önce sadeleştir. Örneğin 7/8 × 3/9 işlemine geldiğinde 3 ile 9 ortak bölenli olduğu için çapraz sadeleştirirsin: 7/8 × 1/3 = 7/24. Önce büyütüp sonra küçültmek zaman kaybıdır.

Bölme Kuralı (Takla Atma)

Kesirde bölme yapmak için ikinci kesri ters çevir, çarpmaya dönüştür: a/b ÷ c/d = a/b × d/c. Kesir takla atıp çarpar hale gelir.

Çözümlü Örnek 5 — Çarpma ve Sadeleştirme

7/8 × 3/9 işleminin sonucu nedir?

1. 3/9 zaten sadeleşebilir: 3/9 = 1/3.
2. 7/8 × 1/3 = 7/24.
3. Doğrulama: 7·3 = 21, 8·9 = 72, sonuç 21/72 = 7/24 ✓.

Çözümlü Örnek 6 — Bölme (Takla Atma)

13/12 ÷ 4/5 işleminin sonucu nedir?

1. İkinci kesri ters çevir: 4/5 → 5/4.
2. Çarpıma dönüştür: 13/12 × 5/4 = 65/48.
3. Sadeleşir mi? 65 ve 48'in ortak böleni yok → en sade hal 65/48.

Çözümlü Örnek 7 — "Bölünce Büyüyen" Mantık Sorusu

Pozitif bir sayıyı hangi kesre bölersek sonuç büyür?

1. Bölme ikinci kesri ters çevirir. Sonuç büyüsün diye 1'den büyük bir şeyle çarpmalı.
2. Yani ters çevrildiğinde 1'den büyük olmalı; demek ki orijinal kesir basit kesir olmalı (1'den küçük).

Çözümlü Örnek 8 — Karışık Dört İşlem

2/3 × (1/5 + 1/2) işleminin sonucu nedir?

1. Önce parantez: 1/5 + 1/2 = (2 + 5)/10 = 7/10.
2. 2/3 × 7/10 = 14/30 = 7/15.

Kesirleri karşılaştırırken (mukayese) hangisinin büyük, hangisinin küçük olduğunu belirlemek için birkaç yol vardır. Doğru yöntemi seçmek zaman kazandırır. İşte mnemonic ile sabitlenmiş üç altın kural:

1) Paydalar Eşitse — "Dost Başa Bakar"

Paydalar aynıysa karşılaştırma payda (başta) yapılır: payı büyük olan kesir büyüktür. Mnemonic: dost doğru söyler, büyük olana "büyüksün" der. Örnek: 3/7 ile 5/7 → paydalar aynı, 5 > 3, yani 5/7 > 3/7.

2) Paylar Eşitse — "Düşman Ayağa Bakar"

Paylar aynıysa karşılaştırma payda (ayakta) yapılır: paydası küçük olan kesir büyüktür. Mnemonic: düşman tersini söyler, küçük olana "büyüksün" der. Örnek: 1/3 ile 1/5 → paylar aynı, payda küçüğü 3, yani 1/3 > 1/5.

3) Pay ile Payda Farkı Sabitse — Basit/Bileşik Analizi

Paydalar da paylar da çirkinse (eşitlemek zor), pay ile payda arasındaki fark sabit mi diye bak. Sabitse ikinci soru: kesirler basit mi bileşik mi?

• Basit kesir (pay < payda) ise basit düşün: payı (veya paydası) büyük olan kesir büyüktür.
• Bileşik kesir (pay > payda) ise tam tersi düşün: payı (veya paydası) küçük olan kesir büyüktür.

Çözümlü Örnek 9 — Aradaki Fark Sabit, Basit Kesir

K = 11/13, L = 13/15, M = 15/17 kesirlerini büyükten küçüğe sırala.

1. Pay ile payda farkı: hepsi için 2. Sabit.
2. Kesirler basit mi bileşik mi? Pay < payda → basit kesirler.
3. Basit düşün: payı büyük olan büyüktür → M > L > K.
4. Kontrol: 11/13 ≈ 0,846, 13/15 ≈ 0,867, 15/17 ≈ 0,882 ✓.

Çözümlü Örnek 10 — Aradaki Fark Sabit, Bileşik Kesir

5 öğrenci yarışı 22/5, 25/8, 26/9, 28/11, 30/13 saniyelerde tamamladı. Hangi öğrenci sonuncu (en yavaş, en büyük değer) oldu?

1. Bu haliyle pay-payda farkları: 17, 17, 17, 17, 17 → sabit.
2. Kesirler bileşik (pay > payda).
3. Bileşik kesir → tam tersi düşün: payı (veya paydası) küçük olan büyüktür.
4. En küçük pay: 22. Yani 22/5 en büyük süre → sonuncu o öğrenci.
5. Kontrol: 22/5 = 4,4, 25/8 = 3,125, 22/5 gerçekten en büyük ✓.

Negatif Kesirleri Karşılaştırma

Negatif kesirlerde önce eksileri görmezden gel, pozitifmiş gibi sırala, sonra sıralamayı ters çevir. Çünkü sayı doğrusunda negatiflerde küçük olan daha büyük görünür (daha sağdadır).

Kesirlerle ilgili çok sık sorulan bir kalıp: "Bu ifadelerin toplamı sıfırsa değişkenler ne olur?" Bu soruların altında yatan mantık, eksi olamayan yapıların özelliğidir.

Eksi Olamayan Üç Yapı

Matematikte şu üç ifade asla negatif olamaz:

1. Mutlak değer: |f(x)| ≥ 0.
2. Çift kuvvet: (f(x))² ≥ 0, (f(x))⁴ ≥ 0.
3. Çift dereceli kök: √(f(x)) ≥ 0.

Sıfır Toplamı Kuralı

Bu üç tür ifadenin toplamı sıfıra eşitse, tek bir yol vardır: her biri ayrı ayrı sıfırdır. Çünkü pozitif sayıların toplamı sıfır yapmaz.

Çözümlü Örnek 11 — Pozitif Terimlerin Toplamı

|2x − 6| + (a + 4)² = 0 olduğuna göre x + a kaçtır?

1. İki terim de eksi olamaz; toplamı sıfır → her biri sıfır.
2. |2x − 6| = 0 → 2x = 6 → x = 3.
3. (a + 4)² = 0 → a = −4.
4. x + a = 3 + (−4) = −1.

Sayı Doğrusunda Kesir Yerleştirme — Dikkat Alanları

Sayı doğrusunda bir noktanın hangi kesre denk geldiğini bulurken önce tam kısmını bul, sonra bölmelere bak.

Çözümlü Örnek 12 — Karma Sayı Doğrusu

Sayı doğrusunda X noktası −3 ile −4 arasında, payda 3'e bölünmüş ve sağdan 2 bölme ilerlemiş. Y noktası 0 ile −1 arasında, payda 2'ye bölünmüş ve soldan 1 bölme ilerlemiş. X + Y kaçtır?

1. X: negatifte sağdan say → tam −3, bölme 2/3 → X = −3 tam 2/3 = −(3 + 2/3) = −11/3.
2. Y: tam 0, bölme −1/2 → Y = −1/2.
3. X + Y = −11/3 − 1/2 → çapraz çarpım → (−22 − 3)/6 = −25/6.

Problem sorularında "bir pastayı 6'ya böl, bir dilimini 4 parçaya ayır..." gibi hikayeler gördüğünde klasik yaklaşım bütünü 1 tam almak ve kesirle uğraşmaktır. Ama bu yol 4 işlem yüküyle hata riskini arttırır. Pratik çözüm: bütüne EKOK'un katı olarak x ata.

Yaklaşım: Bütüne EKOK × x De

Hikayede bütün şuna bölünüyorsa a, şuna bölünüyorsa b, şuna bölünüyorsa c kişiye → bütüne a · b · c · x de (ya da EKOK'un katı). Böylece kesirle hiç uğraşmazsın, bütün hesap tam sayılarla yürür.

Çözümlü Örnek 13 — Doğum Günü Pastası

Bir pasta 6 eşit parçaya ayrılmış. Sonra bir dilim 4 kişiye paylaştırılıyor. Bir kişinin aldığının pastanın tamamına oranı nedir?

1. Klasik yol: bütün = 1 → dilim = 1/6 → kişi başı = (1/6) ÷ 4 = 1/24. Oran = 1/24.
2. Pratik yol: bütüne 24x de (6 × 4 = 24). 6'ya böl → dilim 4x. 4'e böl → kişi başı x. Oran = x / 24x = 1/24.
3. İki yol da aynı sonucu verir ama pratik yol kesirsiz çalışır.

Çözümlü Örnek 14 — Kahve Karışım Problemi

A, B ve C oranları sırasıyla a/b = 3/5 ve a/c = 2/3. Karışım toplam 300 ml. Kullanılan B miktarı kaç ml'dir?

1. A hem 3'ün hem 2'nin katı olmalı → A = 6k (3 × 2 = 6).
2. a/b = 3/5 ve a = 6k → B = 10k.
3. a/c = 2/3 ve a = 6k → C = 9k.
4. Toplam: 6k + 10k + 9k = 25k = 300 → k = 12.
5. B = 10k = 120 ml.

Çözümlü Örnek 15 — Bilye Dağıtımı

Öğretmen bilyeleri 4 grup başkanına eşit dağıtıyor. Başkanlar gruplarına (2, 3, 4, 5 kişilik) eşit paylaştırıyor. Bilyeler hem 2'ye hem 3'e hem 4'e hem 5'e tam bölünmelidir. Bunların EKOK'u 60.

1. Her gruba 60x bilye dağıtılsın.
2. Birinci grup 2 kişi → kişi başı 30x.
3. Dördüncü grup 5 kişi → kişi başı 12x.
4. Bir ve dördüncü grupta bir kişinin aldığı toplam: 30x + 12x = 42x.
5. Toplam bilye: 4 × 60x = 240x.
6. Oran: 42x / 240x = 42/240 = 7/40.

Ondalık sayılar (virgüllü sayılar), aslında paydası 10, 100, 1000 gibi 10'un kuvveti olan rasyonel sayıların özel yazılış biçimidir. Yani 3/10 = 0,3, 27/100 = 0,27, 125/1000 = 0,125. Her ondalık sayı bir rasyonel sayıdır; sadece görünümü değişmiştir.

Kesirden Ondalığa Dönüşüm Kuralı

1. Paydayı 10, 100, 1000 gibi 10'un kuvvetine getir (gerekirse genişlet).
2. Payı aynen yaz.
3. Paydadaki sıfır sayısı kadar sağdan sola virgül kaydır.
4. Virgülün solunda yer kalmazsa önüne 0 ekle.

Hangi Paydalar Ondalık Yazılabilir?

Paydası sadece 2 ve 5'in kuvvetleri olan kesirler sonlu ondalık sayı olur. Payda 3, 7, 9, 11 gibi başka asallar içeriyorsa sayı ya bitmez ya da devreder (devirli ondalık olur).

Payda	Hedef Payda	Çarpan	Örnek
2	10	×5	1/2 = 5/10 = 0,5
4	100	×25	3/4 = 75/100 = 0,75
5	10	×2	2/5 = 4/10 = 0,4
8	1000	×125	3/8 = 375/1000 = 0,375
3, 6, 7, 9, 11	Olmaz	—	Devirli ondalık

Ondalıktan Kesre Dönüşüm Kuralı

1. Paya: sayıyı virgülsüz yaz.
2. Paydaya: virgülden sonra kaç basamak varsa o kadar sıfırla 10'un kuvvetini yaz.
3. Sadeleştir.

Örnek: 0,34 = 34/100 = 17/50; 12,3 = 123/10; 0,125 = 125/1000 = 1/8.

Çözümlü Örnek 16 — 3/8 Ondalık Karşılığı

3/8 sayısını ondalık olarak yaz.

1. Payda 8 → 1000'e gitmek için × 125.
2. Pay: 3 × 125 = 375.
3. Sonuç: 375/1000 = 0,375.

Ondalık sayılarda toplama-çıkarma çok basittir: virgülleri alt alta hizala, boş basamaklara sıfır yaz, normal toplama-çıkarma yap, virgülü sonuca aynı hizaya indir.

Üç Adımlı Yöntem

1. Hizala: virgüller dik alt alta olacak şekilde sayıları yaz.
2. Doldur: boş basamaklara sıfır koy (3,2 → 3,200 gibi, 3 basamak için).
3. Hesapla: sağdan sola bildiğin toplama/çıkarmayı yap, virgülü aynen indir.

Çözümlü Örnek 17 — Ondalık Toplama

3,95 + 4,85 işleminin sonucu nedir?

1. Hizala:   3,95
      +4,85
2. Sağdan topla: 5+5 = 10 (elde 1, yaz 0). 9+8+1 = 18 (elde 1, yaz 8). 3+4+1 = 8.
3. Virgülü aynen indir: 8,80.

Çözümlü Örnek 18 — Ondalık Çıkarma

5,24 − 1,37 işleminin sonucu nedir?

1. Hizala: 5,24 − 1,37.
2. 4'ten 7 çıkmaz → 2'den 1 onluk al, 14 − 7 = 7.
3. 1'den 3 çıkmaz → 5'ten 1 onluk al, 11 − 3 = 8. Ama bekle: 1 basamağı 5'e değil 4'e değiştirdik → 4 − 3 = 1.
4. Virgül üstü: 4 − 1 = 3. Sonuç: 3,87.

Çözümlü Örnek 19 — Kasada Para Üstü

Bir kasada 5 tane 0,95 TL'lik, 2 tane 5,60 TL'lik ve 1 tane 4,50 TL'lik ürün alıyorsun. 25 TL ödedin. Para üstün kaç TL'dir?

1. 5 × 0,95 = 4,75.
2. 2 × 5,60 = 11,20.
3. Toplam: 4,75 + 11,20 + 4,50 = 20,45.
4. Para üstü: 25,00 − 20,45 = 4,55 TL.

Ondalık çarpma ve bölme, kesre çevirip uğraşmadan direkt yapılabilir. İki basit kural vardır.

Çarpma Kuralı: "Virgül Yokmuş Gibi Çarp, Sonra Kaydır"

1. Sayıları virgülsüz tam sayı gibi çarp.
2. Sayılarda toplam kaç basamak virgül sonrası varsa, sonuca o kadar basamak sağdan sola virgül koy.

Çözümlü Örnek 20 — Ondalık Çarpma

1,2 × 1,5 işleminin sonucu nedir?

1. Virgüllerini sil: 12 × 15 = 180.
2. Virgül sonrası basamak: 1 + 1 = 2.
3. 180'e 2 basamak virgül kaydır: 1,80 = 1,8.
4. Doğrulama (kesirle): 12/10 × 15/10 = 180/100 = 1,8 ✓.

Bölme Kuralı: "Virgülden Kurtul" (Kaydırma Yöntemi)

En çok virgüle sahip olanı "temel" al. Onu tam sayıya çevirene kadar virgülü sağa kaydır; diğer sayıda da aynı sayıda basamak kaydır.

Çözümlü Örnek 21 — Ondalık Bölme

3,2 ÷ 0,16 işleminin sonucu nedir?

1. Bölen 0,16'nın 2 ondalığı var. Temel al.
2. Bölen: 0,16 → 16 (2 kaydırdık).
3. Bölünen: 3,2 → 320 (2 kaydırdık, yer yoksa sonuna 0).
4. 320 ÷ 16 = 20.

Çözümlü Örnek 22 — Cetvel Parça Uzunluğu

Bir cetvelde tam sayılar arası 4 eş parçaya bölünmüş. Tahta parçasının sağ ucu 4 tam 3/4 konumunda. Tahta 5 eşit parçaya bölünürse bir parçanın ondalık uzunluğu nedir?

1. Tam uzunluk: 4 tam 3/4 = 19/4.
2. 5 parçaya böl: 19/4 ÷ 5 = 19/20.
3. Ondalığa çevir: 19/20 = 95/100 = 0,95.

Çözümlü Örnek 23 — Kemer Deliği Mesafesi

A deliğinden bağlanınca çevre 74,3 cm. B deliğinden bağlanınca çevre 78,1 cm. Her delik arası eşit x cm olduğuna göre x kaçtır? (A'dan B'ye 2 delik var.)

1. Fark: 78,1 − 74,3 = 3,8.
2. 2x = 3,8 → x = 1,9 cm.

Bazı kesirler ondalık yazıldığında sonlu değildir, belirli basamak grubu sürekli tekrar eder. Bunlara devirli ondalık sayılar denir. Devreden kısım üstüne çizgi çekilerek veya altı çizilerek gösterilir.

• 1/3 = 0,333... = 0,3 (3 devrediyor).
• 12/99 = 0,121212... = 0,12 (12 devrediyor).
• 1/6 = 0,1666... = 0,16 (sadece 6 devrediyor, 1 devretmiyor).

Devirli Ondalığı Kesre Çevirme Formülü

Bir devirli ondalık sayıyı rasyonel sayıya (kesre) dönüştürmek için şu formül kullanılır:

Çözümlü Örnek 24 — Saf Devirli Ondalık

0,27 sayısını kesre çevir.

1. Virgül sonrası tüm sayı: 27.
2. Devretmeyen kısım: yok (0).
3. Pay: 27 − 0 = 27.
4. Payda: 2 basamak 9 (devreden) + 0 basamak 0 = 99.
5. Sonuç: 27/99 = 3/11.

Çözümlü Örnek 25 — Karma Devirli Ondalık

1,23 sayısını kesre çevir.

1. Tam kısım: 1 (sona eklenecek).
2. Virgül sonrası tüm sayı: 23.
3. Devretmeyen kısım: 2.
4. Pay: 23 − 2 = 21.
5. Payda: 1 basamak 9 (3 devrediyor) + 1 basamak 0 (2 devretmiyor) = 90.
6. Kesirli kısım: 21/90 = 7/30.
7. Tam eklenir: 1 + 7/30 = 37/30.

9 Devriyoruz, Önündeki Sayıyı 1 Arttır (Özel Kısayol)

Eğer sayının sonundaki 9 devrediyorsa, devreden 9'u sil ve önündeki sayıyı 1 arttır. Bu pratik kural çünkü 0,9 = 9/9 = 1.

• 0,9 = 1.
• 1,29 = 1,3.
• 3,2349 = 3,235.

Çözümlü Örnek 26 — Devirli ile Dört İşlem

0,8 + 0,036 işleminin sonucu nedir?

1. 0,8 = 8/9.
2. 0,036: Pay = 036 − 0 = 36; Payda = 99 + 0 = 99 (devretmeyen basamak 1, devreden 2) → 36/990. Sadeleştir: 36/990 = 2/55.
3. Toplam: 8/9 + 2/55 → EKOK 495 → 440/495 + 18/495 = 458/495.

Son yıllarda ÖSYM soruları klasik kesir toplama-çıkarma şeklinden çıkıp gerçek hayat senaryolarına döndü: tablet simgeleri, cetvel paylaşımları, bal peteği oranı, kemer delikleri, çiçeklik rafları, müzik notaları. Bu soruların zorluğu matematik değil, hikayeyi doğru modellemektir.

Beş Aşamalı Problem Çözüm Haritası

1. Hikayeyi oku, görsele bak. Hangi bütünler var, bunlar kaça bölünmüş?
2. Birim belirle. Her bir bölme kaç birimlik ifade ediyor? (1/6, 1/12, 1/8 gibi.)
3. Model kur. Bütüne x de, kesirlerle değil katlarla yürü (EKOK x mantığı).
4. İşlem yap. Toplama, çıkarma, çarpma veya bölme — hangisi lazımsa.
5. Cevabı formatla. Soru kesir mi ondalık mı istiyor? Şıklara bakıp ona göre çevir.

Çözümlü Örnek 27 — Tablet Simgeleri (2025 ÖSYM)

Tablet 3x4 büyük simge modunda açıldığında uygulamaların 2/3'ü ekranda gözüküyor. 5x6 küçük simge moduna geçildiğinde simgeler ne kadar alan kaplar?

1. Büyük mod kapasite: 3 × 4 = 12 hücre. Kullanılan: 12 × 2/3 = 8 uygulama.
2. Küçük mod kapasite: 5 × 6 = 30 hücre.
3. Uygulama sayısı değişmez, hâlâ 8.
4. Oran: 8/30 = 4/15.

Çözümlü Örnek 28 — Bal Peteği (ÖSYM Kalıbı)

32 eşit parçalı bir bal peteğinde kalan kısım 21 ile 28 parça arasında. Kalanın toplama oranı hangisi olabilir?

1. Aralık: 21/32 < oran < 28/32.
2. Şıklarda ondalık veya kesir seçenekleri olacak. Her şık 32'lik paydaya getirilip kontrol edilir.
3. Örnek şık: 3/4 = 24/32. 21 ile 28 arasında ✓.

Çözümlü Örnek 29 — Gofret Şeker Miktarı

38 gramlık gofretin 34,38 gramı şeker dışı maddelerden oluşuyor. Şeker miktarı kaç gramdır?

1. Şeker = toplam − şeker dışı = 38 − 34,38.
2. Virgül hizala: 38,00 − 34,38.
3. Sağdan hesapla: 0'dan 8 çıkmaz → onluk al, 10 − 8 = 2. 0'dan 3 çıkmaz → onluk al, 10 − 3 − 1 = 6. 8 − 4 − 1 = 3. 3 − 3 = 0.
4. Sonuç: 3,62 gram şeker.

Çözümlü Örnek 30 — Çiçeklik Rafları

1,2 m yüksekliğinde çiçeklikte sol bölme 4 raflıya (3 aralık), sağ bölme 5 raflıya (4 aralık) bölünmüş. Rafların yerden yüksekliklerinin toplamı hangisidir?

1. Sol aralık: 1,2 ÷ 4 = 0,3. (Sol bölme 4 aralık — toplam 4 rafı 4 eşit parçaya böldü demek, yükseklikler 0,3; 0,6; 0,9 m.)
2. Sağ aralık: 1,2 ÷ 5 = 0,24. (Yükseklikler 0,24; 0,48; 0,72; 0,96 m.)
3. Soru özel: 3 × 0,3 + 2 × 0,24 = 0,9 + 0,48 = 1,38 m (örnekli kombinasyon).

Rasyonel ve ondalık sayılarda öğrencilerin %80'i aynı tuzaklara düşer. Bu bölümde en sık yapılan hataları tek tek açıklıyoruz ki sen ÖSYM'de bunlara yakalanmayasın.

Tuzak #1 — Payda Sıfır Kontrolünü Unutmak

(x − 3) / (x² − 6x + 9) gibi bir ifadede payda (x−3)². x = 3 olursa payda sıfırdır, ifade tanımsızdır. Öğrenciler genelde "cevap çıktı, bitti" der. Oysa rasyonel ifadede her zaman "payda sıfır olmaz" şartını kontrol et.

Tuzak #2 — Ondalık Çarpmada Virgül Sayısı

0,3 × 0,4 işleminde öğrenci "3 × 4 = 12, virgül 1 kaydır → 1,2" der. Yanlış. İki sayıda da 1 virgül sonrası basamak var → toplam 2. 12 → 0,12. Her zaman iki sayıdaki virgül sonrası basamak toplamını kaydır.

Tuzak #3 — "Basit Kesri Topla" Yanılgısı

1/5 + 2/5 = 3/10 denir. Yanlış. Aşağıyı toplamıyoruz, aynen bırakıyoruz: 3/5. Hatırla: "2 + 3 = 5 derken aslında 2/1 + 3/1 = 5/1" diyorsun, paydaları topladığın yok.

Tuzak #4 — Tam Sayılı Kesirde Çarpma

2 tam 1/3 × 4 = 8 tam 1/3 değildir. Çarpmadan önce bileşik kesre çevir: 2 tam 1/3 = 7/3. 7/3 × 4 = 28/3 = 9 tam 1/3. Tam sayılı kesirlerle direkt çarpma/bölme yapılmaz, önce bileşiğe çevrilir.

Tuzak #5 — Devirli Ondalıkta "Tam Kısmı da Formüle Koy"

1,27 için öğrenci "(127 − 1)/99" der. Yanlış. Formüle sadece virgül sonrası kısım sokulur. Tam kısım sona eklenir: 1 + 27/99 = 1 + 3/11 = 14/11.

Tuzak #6 — Negatif Kesir Sıralamasında Yön Unutmak

−2/3 ile −3/4'ü sıralarken pozitifmiş gibi sıralarsın: 3/4 > 2/3. Ama negatifte yön ters döner: −2/3 > −3/4. Sayı doğrusunu düşün: sıfıra yakın olan daha büyüktür.

Tuzak #7 — Ondalık Bölmede Tek Tarafı Kaydırmak

3,2 ÷ 0,4'te virgülü sadece bölendekinde kaydırıp 32 ÷ 4 = 8 yapmak yanlış. Bölünende de aynı sayıda basamak kaydırmalısın: 32 ÷ 4 = 8 (bu örnek doğru çıktı ama ilke yanlış uygulandı). Her zaman iki tarafta aynı sayıda kaydır.

Karışıklık Tablosu — Sık Karıştırılan Kavramlar

Karışan	Doğru	Yanlış
Kesirlerde toplama	Payları topla, paydayı aynen yaz	Pay ve paydayı ayrı ayrı topla
Kesirde bölme	İkinci kesri ters çevir, çarp	İki kesri doğrudan böl
Ondalık çarpma	Virgül sayılarını topla, sonuca kaydır	Her sayıda ayrı ayrı kaydır
Devirli ondalık	Devreden üstü çizgili gösterilir	"Nokta nokta" ile ifadede devreden kim belirsiz kalır
Negatif tam sayılı kesir	Önündeki eksi hem tam hem kesre dağılır	Eksi sadece tam kısma uygulanır
Pay-payda eşitleme	Altları aynı yap → üste bak	Üstleri topla, alttan en küçüğü seç