TYT Matematik Sayı Basamakları — Çözümleme, Özdeşlikler

Sayı basamakları konusunda yapılan ilk büyük hata "rakam" ile "sayı"yı birbirine karıştırmaktır. İkisi aynı kelime gibi kullanılıyormuş gibi görünse de sınavda soru çözerken bambaşka anlamları vardır.

Basamak İsimleri — En Sağdan Başla

Bir sayının basamaklarını okumak için en sağdan sola doğru hareket edersin. Her basamağın kendine özel bir ismi vardır:

734 Sayısını Basamaklara Ayır

Örnek üzerinden yürüyelim. 734 sayısının her basamağını tek tek tanımlayalım:

• Birler basamağı (1. sıra): 4 — yani 4 × 1 = 4.
• Onlar basamağı (2. sıra): 3 — yani 3 × 10 = 30.
• Yüzler basamağı (3. sıra): 7 — yani 7 × 100 = 700.
• Toplam: 700 + 30 + 4 = 734. ✓

Çözümlü Örnek — Basamakta Hangi Rakam Var?

48 903 sayısında 9 rakamı hangi basamaktadır ve basamak değeri kaçtır?

1. Sağdan sola saya: 3 birler (1.), 0 onlar (2.), 9 yüzler (3.), 8 binler (4.), 4 on binler (5.).
2. 9 → yüzler basamağı.
3. Basamak değeri: 9 × 100 = 900.

TYT'nin en sevdiği kavram ayrımı "basamak değeri" ve "rakam değeri"dir. İkisi ilk bakışta aynı gibi gelir ama aslında bir gök kadar birbirinden farklıdır ve bu farkı görmeyen öğrenci her yıl binlerce net kaybeder.

Tanımlar

Kural: Rakam Değeri Basamağa Göre Değişmez

Bir rakamın rakam değeri onun kendisidir; 3 rakamının rakam değeri hep 3'tür, nerede durursa dursun. Ama basamak değeri o rakamın hangi basamakta olduğuna bağlıdır. 3 rakamı 734'teyken onlar basamağında → basamak değeri 30. 3 418'deyken binler basamağında → basamak değeri 3 000. Rakam aynı, basamak değeri 100 kat farklı!

Çözümlü Örnek 1 — Klasik Ayrım Sorusu

5 286 sayısında 2 rakamının basamak değeri ile rakam değeri arasındaki fark kaçtır?

1. Sağdan sola: 6 birler, 8 onlar, 2 yüzler, 5 binler.
2. 2 → yüzler basamağında.
3. Basamak değeri: 2 × 100 = 200.
4. Rakam değeri: 2.
5. Fark: 200 − 2 = 198.

Çözümlü Örnek 2 — Toplam Sorusu

6 347 sayısındaki bütün rakamların basamak değerleri toplamı kaçtır?

1. 7 birler: basamak değeri 7.
2. 4 onlar: basamak değeri 40.
3. 3 yüzler: basamak değeri 300.
4. 6 binler: basamak değeri 6 000.
5. Toplam: 7 + 40 + 300 + 6 000 = 6 347. → Sayının kendisi!

Çözümlü Örnek 3 — Rakam Değerleri Toplamı

6 347 sayısındaki bütün rakamların rakam değerleri toplamı kaçtır?

1. Rakamlar: 6, 3, 4, 7.
2. Toplam: 6 + 3 + 4 + 7 = 20.

Not: Rakamlar toplamı ifadesi 9 ile bölünebilme kuralının temelidir. 20, 9 ile bölünemediğine göre 6 347 sayısı da 9 ile tam bölünmez (kontrol: 6 347 ÷ 9 = 705.222...).

TYT'de harfli sayılar (ab, abc, xyz gibi) sürekli karşına çıkar. Bu ifadeyi matematik diline dökmenin tek geçerli yolu çözümleme (basamak açılımı)dır. Çözümleme olmadan hiçbir sorunun altından kalkamazsın.

Çözümleme Kuralı

En Kritik Tuzak: ab ≠ a · b

Öğrenci ab ifadesini gördüğünde otomatik olarak "a çarpı b" diye okur. BU HATA! Bu konuda ab iki basamaklı bir sayıyı temsil eder. a onlar, b birler basamağıdır. Yani ab = 10a + b.

Çözümlü Örnek 1 — Çözümleme ile Denklem Çözme

ab iki basamaklı sayısı için ab + ba = 132 olduğuna göre a + b kaçtır?

1. Çözümle: ab = 10a + b, ba = 10b + a.
2. Topla: (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b).
3. Denklem: 11(a + b) = 132 → a + b = 12.

Çözümlü Örnek 2 — Üç Basamaklı

abc üç basamaklı bir sayı ve a + b + c = 15 ise abc + cba toplamının a + c'ye bağlı ifadesi nedir?

1. abc = 100a + 10b + c, cba = 100c + 10b + a.
2. Topla: abc + cba = 101a + 20b + 101c = 101(a + c) + 20b.
3. a + b + c = 15 → b = 15 − (a + c).
4. Yerine koy: 101(a + c) + 20(15 − (a + c)) = 101(a+c) + 300 − 20(a+c) = 81(a+c) + 300.
5. Yani toplam a + c'nin doğrusal bir fonksiyonudur: 81(a + c) + 300.

Çözümlü Örnek 3 — Karma Harfli-Sayılı

3a5 üç basamaklı sayısı 400'den küçük olduğuna göre a'nın alabileceği en büyük değer kaçtır?

1. 3a5 = 300 + 10a + 5 = 305 + 10a.
2. Koşul: 305 + 10a < 400.
3. 10a < 95 → a < 9.5.
4. a bir rakam olduğu için a ∈ {0, 1, ..., 9}.
5. En büyük geçerli değer: a = 9. Kontrol: 395 < 400. ✓

Sayı basamakları konusunun en çok tuzak ürettiği kural: En soldaki rakam (ilk basamak) asla 0 olamaz. Bu kuralı bilmeyen öğrenci, özellikle "rakamları farklı kaç sayı oluşturulabilir?" sorusunda ciddi hata yapar.

Neden Sıfır Olamaz?

Çünkü başındaki sıfır bir sayıyı o kadar basamaklı olmaktan çıkarır. Örneğin 012 üç basamaklı bir sayı değil, aslında 12'dir ve iki basamaklı sayıdır. Aynı şekilde 0345 dört basamaklı değil, 345 olarak üç basamaklıdır.

Çözümlü Örnek 1 — Kaç Tane Var?

Toplamda kaç tane üç basamaklı doğal sayı vardır?

1. Yüzler basamağı: 1, 2, ..., 9 → 9 seçenek.
2. Onlar basamağı: 0, 1, ..., 9 → 10 seçenek.
3. Birler basamağı: 0, 1, ..., 9 → 10 seçenek.
4. Toplam: 9 × 10 × 10 = 900. (Kontrol: 999 − 100 + 1 = 900 ✓)

Genel Formül — n Basamaklı Sayı Adedi

Çözümlü Örnek 2 — Rakamları Farklı 3 Basamaklı Sayılar

Rakamları birbirinden farklı toplam kaç tane üç basamaklı doğal sayı yazılabilir?

1. Yüzler basamağı: 1–9 arası → 9 seçenek.
2. Onlar basamağı: yüzlerdekini kullanamam, ama 0'ı kullanabilirim → 10 − 1 = 9 seçenek.
3. Birler basamağı: yüzler ve onlardakileri kullanamam → 10 − 2 = 8 seçenek.
4. Toplam: 9 × 9 × 8 = 648.

Çözümlü Örnek 3 — Belirli Rakamlardan Seçim

{0, 2, 4, 6, 8} rakamları kullanılarak rakamları birbirinden farklı kaç tane üç basamaklı sayı yazılabilir?

1. Yüzler basamağı 0 olamaz → {2, 4, 6, 8}'den seçerim → 4 seçenek.
2. Onlar: kalan 4 rakamdan (0 dahil) → 4 seçenek.
3. Birler: kalan 3 rakamdan → 3 seçenek.
4. Toplam: 4 × 4 × 3 = 48.

Bu konunun en sevilen soru tiplerinden biri şu kalıptadır: "Rakamları birbirinden farklı n basamaklı en büyük / en küçük sayı kaçtır?" Stratejisi tek cümlelik ama hatasız uygulamak şart.

Altın Kural

• En büyük sayı istiyorsa: En soldaki basamağa en büyük rakamı, sonra azalan sırada dizersin.
• En küçük sayı istiyorsa: En soldaki basamağa 0'dan büyük en küçük rakamı (çünkü 0 olamaz), sonra sağa doğru artan sırada dizersin.

Çözümlü Örnek 1 — Klasik

Rakamları birbirinden farklı 5 basamaklı en büyük doğal sayı kaçtır?

1. En büyük rakamları sol tarafa diz: 9, 8, 7, 6, 5.
2. Cevap: 98 765.

Çözümlü Örnek 2 — Küçük Rakamlarla

Rakamları birbirinden farklı 5 basamaklı en küçük doğal sayı kaçtır?

1. En soldaki basamağa 0 yazamam → en küçük geçerli rakam 1.
2. Kalan basamaklara artan şekilde en küçükleri: 0, 2, 3, 4.
3. Cevap: 10 234.

Çözümlü Örnek 3 — Belirli Rakamlardan Seçim

{0, 1, 3, 5, 7, 9} rakamları kullanılarak rakamları birbirinden farklı 4 basamaklı en büyük ve en küçük sayı kaçtır? Farkı nedir?

1. En büyük: en büyük 4 rakamı azalan sırada → 9, 7, 5, 3 → 9 753.
2. En küçük: en soldaki 0 olamaz → 1. Sonra sırayla artan en küçükler: 0, 3, 5 → 1 035.
3. Fark: 9 753 − 1 035 = 8 718.

Çözümlü Örnek 4 — Hedef Sayıdan Büyük/Küçük

3a2b dört basamaklı sayısı, rakamları birbirinden farklı olacak şekilde 3 500'den büyük en küçük sayıdır. a · b kaçtır?

1. 3a2b > 3 500 → yüzler basamağındaki a en az 5 olmalı.
2. a = 5 alalım: 352b. 3 500'den büyük olması için 52b > 500.
3. 52b, 520, 521, ..., 529 arasında. Hepsi 500'dan büyük ✓.
4. En küçük olsun istiyoruz: b'nin en küçük değeri. Ama a = 5, yüzler = 2, binler = 3 olduğu için b ∉ {2, 3, 5}.
5. En küçük geçerli b: b = 0. Sayı: 3 520. Kontrol: 3 520 > 3 500 ✓, rakamlar {3, 5, 2, 0} farklı ✓.
6. a · b = 5 · 0 = 0.

TYT'de en çok sorulan sayı basamakları kalıbı iki basamaklı sayı ile rakamlarının yer değiştirmiş hali arasındaki fark veya toplamtır. İki kritik özdeşliği ezbere bil.

Özdeşlik 1 — Fark

İspat: ab − ba = (10a + b) − (10b + a) = 9a − 9b = 9(a − b).

Sonuç: İki basamaklı bir sayı ile rakamları ters yazılmış hali arasındaki fark daima 9'un katıdır. Aradaki kat sayısı, onlar rakamı ile birler rakamı arasındaki farka eşittir.

Özdeşlik 2 — Toplam

İspat: ab + ba = (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b).

Sonuç: İki basamaklı bir sayı ile rakamları ters yazılmış hali arasındaki toplam daima 11'in katıdır.

Çözümlü Örnek 1 — Fark Kalıbı

İki basamaklı ab sayısı ile rakamları ters yazılmış ba sayısı arasındaki fark 36'dır. a − b kaçtır?

1. ab − ba = 9(a − b) = 36.
2. a − b = 4.

Çözümlü Örnek 2 — Tam Sayı Çözümü

İki basamaklı xy sayısı için xy + yx = 88 olduğuna göre bu eşitliği sağlayan kaç farklı xy sayısı vardır?

1. 11(x + y) = 88 → x + y = 8.
2. x 1–9, y 0–9. x + y = 8 veren çiftler:
3. (x, y) = (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1), (8, 0).
4. x = 0 olamaz ama y = 0 olabilir. Yani (x, y) = (8, 0) → xy = 80 geçerlidir.
5. Toplam: 8 farklı sayı.

Çözümlü Örnek 3 — Karma Kullanım

ab − ba = 27 ve a + b = 7 olduğuna göre ab sayısı kaçtır?

1. 9(a − b) = 27 → a − b = 3.
2. a + b = 7 ile birleştir: 2a = 10 → a = 5, b = 2.
3. ab = 52. Sağlama: 52 − 25 = 27 ✓.

Üç Basamaklılar için Benzer Özdeşlikler

Bu, TYT'nin çok sevdiği bir klasiktir: "İki basamaklı bir sayı, rakamları toplamının k katına eşitse..." şeklinde başlar ve çözümleme ile tek bir denkleme iner.

Kalıp 1 — Rakamları Toplamının Katı

"ab iki basamaklı sayısı rakamları toplamının k katına eşitse..."

Denklem: 10a + b = k(a + b).

Çözümlü Örnek 1

İki basamaklı ab sayısı rakamları toplamının 7 katına eşittir. ab sayısı kaçtır?

1. 10a + b = 7(a + b).
2. 10a + b = 7a + 7b → 3a = 6b → a = 2b.
3. a 1–9, b 0–9 olacak biçimde (a, b) çiftleri:
4. b = 1 → a = 2 → ab = 21. Kontrol: 21 ÷ (2+1) = 21 ÷ 3 = 7 ✓.
5. b = 2 → a = 4 → ab = 42. Kontrol: 42 ÷ 6 = 7 ✓.
6. b = 3 → a = 6 → ab = 63. Kontrol: 63 ÷ 9 = 7 ✓.
7. b = 4 → a = 8 → ab = 84. Kontrol: 84 ÷ 12 = 7 ✓.
8. Dört geçerli sayı: 21, 42, 63, 84.

Kalıp 2 — Rakamları Çarpımının Katı

"ab sayısı rakamları çarpımının k katına eşittir..." şeklindedir. Bu tip daha az sık soruluyor ama aynı mantıkla çözülür.

Çözümlü Örnek 2

İki basamaklı bir sayı ile rakamları çarpımı arasındaki fark 63'tür. Bu sayı kaçtır? (Tek cevap bulunmak isteniyor, özel şart: rakamlar farklı ve sayı bir üçün katı.)

1. ab − a·b = 63 → 10a + b − ab = 63.
2. 10a + b − ab = 63. Tek tek dene: a = 7, b = 0 → 70 − 0 = 70 ≠ 63.
3. a = 7, b = 1 → 71 − 7 = 64 ≠ 63.
4. a = 6, b = 3 → 63 − 18 = 45 ≠ 63.
5. a = 7, b = 2 → 72 − 14 = 58 ≠ 63.
6. a = 8, b = 1 → 81 − 8 = 73 ≠ 63.
7. a = 9, b = 3 → 93 − 27 = 66 ≠ 63.
8. a = 8, b = 3 → 83 − 24 = 59 ≠ 63.
9. a = 9, b = 4 → 94 − 36 = 58 ≠ 63.
10. Denklemi çözelim: 10a + b − ab = 63 → 10a + b(1 − a) = 63 → b = (63 − 10a)/(1 − a) = (10a − 63)/(a − 1) (her iki tarafı −1 ile çarptım).
11. a = 7: b = (70 − 63)/6 = 7/6 → tam sayı değil.
12. a = 8: b = (80 − 63)/7 = 17/7 → tam sayı değil.
13. a = 9: b = (90 − 63)/8 = 27/8 → tam sayı değil.
14. Bu örnek özellikle "analitik denklem kurmanın kolay çözüm sağlamadığı" durumları gösterir; bu tür sorular genelde soruda ek kısıt olmadan tek çözümü olmayan sorulardır. Gerçek TYT sorularında sağlamayı yaparken her iki tarafı dener, eşitliği sağlayan tek doğru değerleri alırsın.

Kalıp 3 — Kendisi ve Tersi Arasındaki İlişki

Çözümlü Örnek 3

Rakamları sıfırdan farklı iki basamaklı ab sayısı rakamları çarpımının 5 katıdır. ab kaçtır?

1. 10a + b = 5ab.
2. 10a + b = 5ab → 10a = 5ab − b = b(5a − 1) → b = 10a / (5a − 1).
3. a = 1: b = 10/4 = 2.5 → hayır.
4. a = 2: b = 20/9 → hayır.
5. a = 3: b = 30/14 = 15/7 → hayır.
6. a = 4: b = 40/19 → hayır.
7. a = 5: b = 50/24 = 25/12 → hayır.
8. a = 7: b = 70/34 = 35/17 → hayır.
9. (Yeni kalıp: bu özel denklemin tam çözümü yok; ama klasik örneği 10a + b = 3ab için vermek faydalı.)
10. 10a + b = 3ab olsaydı: a = 1, b = 5 → ab = 15, sağlama: 15 = 3·1·5 = 15 ✓.

Bir önceki bölümde iki basamaklı sayı ile rakamlarının işlevlerinden bahsettik. Burada ise iki farklı iki basamaklı sayı arasındaki ilişkileri konu alan kalıplara bakıyoruz.

Kalıp — Rakamları Yer Değiştirmiş İki Sayı

"ab iki basamaklı sayısı ile ba arasındaki fark 36 ve toplamı 110 ise..." şeklinde kurulan sorularda iki özdeşliği birlikte kullanırız.

Çözümlü Örnek 1

ab − ba = 18 ve ab + ba = 88 olduğuna göre ab kaçtır?

1. 9(a − b) = 18 → a − b = 2.
2. 11(a + b) = 88 → a + b = 8.
3. İki denklemden: 2a = 10 → a = 5, b = 3.
4. ab = 53. Kontrol: 53 − 35 = 18 ✓, 53 + 35 = 88 ✓.

Kalıp — Sayının 7 Katı Rakamları Toplamının 2 Katına Eşit

Çözümlü Örnek 2

İki basamaklı ab sayısının 2 katı, rakamları toplamının 11 katıdır. ab sayısı kaçtır?

1. 2(10a + b) = 11(a + b).
2. 20a + 2b = 11a + 11b → 9a = 9b → a = b.
3. Rakamları aynı iki basamaklı sayılar: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.
4. Her biri kontrol ise sağlıyor: örn. ab = 22, rakamları toplamı 4. 2·22 = 44 = 11·4 ✓.
5. Eğer soruda ek kısıt olsaydı (örn. 5'in katı) tek sayıya iner: 55.

Kalıp — Bir Sayıyı Diğerine Bir Rakam Ekleyerek Yazma

Çözümlü Örnek 3

İki basamaklı xy sayısının sağına 5 rakamı eklenirse oluşan üç basamaklı sayı, orijinal sayının 8 katından 3 eksiktir. xy kaçtır?

1. Orijinal: xy = 10x + y.
2. Sağına 5 eklenirse: xy5 = 10·(10x + y) + 5 = 100x + 10y + 5.
3. Koşul: xy5 = 8·xy − 3.
4. 100x + 10y + 5 = 8(10x + y) − 3 = 80x + 8y − 3.
5. 100x + 10y + 5 − 80x − 8y + 3 = 0 → 20x + 2y + 8 = 0 → 20x + 2y = −8.
6. Sol taraf pozitif (çünkü x ≥ 1, y ≥ 0), sağ taraf negatif. Çelişki → bu durumda çözüm yok.
7. Sorunun yeniden kurgulanmış hali: "8 katından 3 fazladır" olsaydı: 100x + 10y + 5 = 80x + 8y + 3 → 20x + 2y = −2. Yine çelişki.
8. "10 katından 45 fazladır" olsaydı: 100x + 10y + 5 = 100x + 10y + 45 → 5 = 45, yine çelişki. Bu tip sorularda sağ tarafın büyüklüğü çok önemli, iki sayıyı ters kontrol etmek lazım.

Genelleme: Sayıya Sağdan Rakam Ekleme

Çözümlü Örnek 4 — Doğru Kurgulu Soru

xy iki basamaklı sayısının soluna 5 rakamı eklenirse oluşan üç basamaklı sayı, orijinal sayının 6 katıdır. xy kaçtır?

1. Soluna 5 eklenmiş: 5xy = 500 + 10x + y.
2. Koşul: 500 + 10x + y = 6(10x + y) = 60x + 6y.
3. 500 = 50x + 5y → 100 = 10x + y.
4. Yani xy = 100... ama xy iki basamaklı olmalı, xy < 100. Çelişki.
5. Yeniden kurgula: "5 katıdır" olsaydı: 500 + 10x + y = 50x + 5y → 500 = 40x + 4y → 125 = 10x + y → yine üç basamaklı.
6. "10 katıdır": 500 + 10x + y = 100x + 10y → 500 = 90x + 9y → 9(10x + y) = 500 − ? ... 9(10x + y) = 500 − ... → 500 = 9(10x) + 9y = ? işlem: 90x + 9y = 500 → 10x + y = 500/9 → bölünmez.
7. Dersimiz: Bu tip soruları kurgularken sağ tarafın büyüklüğünü hesapla, sayı dizisi tutarsızsa soruda hata olabilir.

Sayı basamakları konusundaki her çözüm mutlaka sağlamaya açıktır. Çünkü denklem çözümü sonunda çıkan sayıyı orijinal koşullara koyup bakmak 10 saniye sürer ve hataların büyük bölümünü yakalamanı sağlar. Bu bölüm, birkaç kritik özdeşliğin sayısal doğrulamasını gösterir.

Sağlama 1 — ab − ba = 9(a − b)

ab = 74 seçelim. ba = 47. 74 − 47 = 27. 9(7 − 4) = 9·3 = 27. ✓

ab = 93 seçelim. ba = 39. 93 − 39 = 54. 9(9 − 3) = 9·6 = 54. ✓

Sağlama 2 — ab + ba = 11(a + b)

ab = 65. ba = 56. 65 + 56 = 121. 11(6 + 5) = 11·11 = 121. ✓

ab = 28. ba = 82. 28 + 82 = 110. 11(2 + 8) = 11·10 = 110. ✓

Sağlama 3 — abc + cba Açılımı

abc = 134, cba = 431. 134 + 431 = 565.

Formülden: 101(a + c) + 20b = 101(1 + 4) + 20·3 = 505 + 60 = 565. ✓

abc = 729, cba = 927. 729 + 927 = 1 656.

Formülden: 101(7 + 9) + 20·2 = 101·16 + 40 = 1 616 + 40 = 1 656. ✓

Sağlama 4 — abc − cba = 99(a − c)

abc = 832, cba = 238. 832 − 238 = 594. 99(8 − 2) = 99·6 = 594. ✓

abc = 513, cba = 315. 513 − 315 = 198. 99(5 − 3) = 99·2 = 198. ✓

Sağlama 5 — Tüm Basamak Değerleri Toplamı = Sayının Kendisi

8 752: basamak değerleri 8 000 + 700 + 50 + 2 = 8 752. ✓

30 419: basamak değerleri 30 000 + 0 + 400 + 10 + 9 = 30 419. ✓ (0'ın basamak değeri 0'dır.)

Sağlama 6 — Rakam Değerleri Toplamı ≠ Basamak Değerleri Toplamı

8 752 sayısında:

• Rakam değerleri toplamı: 8 + 7 + 5 + 2 = 22 (9 ile bölünme kuralında bu kullanılır).
• Basamak değerleri toplamı: 8 000 + 700 + 50 + 2 = 8 752 (sayının kendisi).

İki değer birbirinden çok farklı — asla karıştırma.

Sağlama 7 — n Basamaklı Sayı Adedi

3 basamaklı sayıların sayısı: 100'den 999'a kadar → 999 − 100 + 1 = 900. Formülden: 9 × 10² = 900. ✓

5 basamaklı sayıların sayısı: 10 000'den 99 999'a → 99 999 − 10 000 + 1 = 90 000. Formülden: 9 × 10⁴ = 90 000. ✓

Soru metninde "rakamları birbirinden farklı" ifadesi geçtiğinde sayma mantığı tamamen değişir. "Rakamları farklı" dediğinde her pozisyon için kullanabileceğin rakam azalarak gider; "rakamları tekrarlayabilir" derse her basamak bağımsızdır.

Fark

Çözümlü Örnek 1 — Rakamları Farklı Sayılar

Rakamları birbirinden farklı, 4 basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir?

1. Binler: 1–9 → 9 seçenek.
2. Yüzler: kalan 9 rakamdan (0 dahil) → 9 seçenek.
3. Onlar: kalan 8 rakamdan → 8 seçenek.
4. Birler: kalan 7 rakamdan → 7 seçenek.
5. Toplam: 9 × 9 × 8 × 7 = 4 536.

Çözümlü Örnek 2 — Belirli Rakamlardan, Rakamları Farklı

{1, 3, 5, 7, 9} rakamları kullanılarak rakamları birbirinden farklı kaç tane 3 basamaklı sayı yazılabilir?

1. Hiç 0 olmadığı için tüm rakamlar her basamağa girebilir.
2. Yüzler: 5 seçenek.
3. Onlar: kalan 4 seçenek.
4. Birler: kalan 3 seçenek.
5. Toplam: 5 × 4 × 3 = 60.

Çözümlü Örnek 3 — Tekrarlı, Sıfır Dahil

{0, 2, 4, 6, 8} rakamları kullanılarak (tekrarlı) kaç tane 3 basamaklı sayı yazılabilir?

1. Yüzler: 0 olamaz → {2, 4, 6, 8}'den 4 seçenek.
2. Onlar: hepsinden (tekrarlı) → 5 seçenek.
3. Birler: hepsinden (tekrarlı) → 5 seçenek.
4. Toplam: 4 × 5 × 5 = 100.

Çözümlü Örnek 4 — Özel Koşullu Sayma

Rakamları birbirinden farklı, 9 ile başlayan kaç tane 3 basamaklı sayı vardır?

1. Yüzler = 9: 1 seçenek (sabitlenmiş).
2. Onlar: 9 kullanılamaz, 0 dahil 10 rakamdan 1 gitti → 9 seçenek.
3. Birler: 9 ve onlardakini kullanamam → 8 seçenek.
4. Toplam: 1 × 9 × 8 = 72.

Çözümlü Örnek 5 — Belirli Rakam İçermek Zorunda

Rakamları birbirinden farklı 4 basamaklı, 5 rakamını içeren kaç doğal sayı yazılabilir?

1. Yöntem 1 (tümleyen): Tüm 4 basamaklı farklı rakamlı sayılar − 5 içermeyenler.
2. Tüm 4 basamaklı farklı rakamlı: 9 × 9 × 8 × 7 = 4 536.
3. 5 içermeyenler (yani 9 rakamdan seçim): binler 1-9 ama 5 hariç → 8; yüzler 0-9 ama 5 hariç ve binler kullanılamaz → 8; onlar → 7; birler → 6.
4. 5 içermeyen sayı: 8 × 8 × 7 × 6 = 2 688.
5. 5 içerenler: 4 536 − 2 688 = 1 848.

Basamak sayısı ile sayının büyüklüğü arasında çok net bir ilişki vardır; bu ilişki özellikle "x ve y pozitif tam sayılar, x basamak sayısı m, y basamak sayısı n ise..." gibi sorularda öne çıkar.

Temel Eşitsizlik

Örn. 4 basamaklı bir sayı 1 000 ile 9 999 arasındadır: 10³ ≤ x < 10⁴.

Çarpımda Basamak Sayısı

İki pozitif tam sayının çarpımının basamak sayısı, tek tek basamak sayıları toplamından bir az veya eşit olabilir. Yani:

Çözümlü Örnek 1

3 basamaklı bir sayı ile 2 basamaklı bir sayının çarpımı kaç basamaklıdır?

1. Alt sınır: 100 × 10 = 1 000 → 4 basamaklı.
2. Üst sınır: 999 × 99 = 98 901 → 5 basamaklı.
3. Yani 4 veya 5 basamaklı. m + n = 5; olası sonuçlar m + n − 1 = 4 veya m + n = 5.

Toplamda Basamak Sayısı

İki pozitif tam sayının toplamının basamak sayısı, büyük olanın basamak sayısı ya aynı ya bir fazladır.

Çözümlü Örnek 2

3 basamaklı iki sayının toplamı en az kaç, en çok kaç basamaklıdır?

1. En küçük toplam: 100 + 100 = 200 → 3 basamaklı.
2. En büyük toplam: 999 + 999 = 1 998 → 4 basamaklı.
3. Yani 3 veya 4 basamaklı.

Çözümlü Örnek 3 — TYT 2023 Tarzı

A ile B pozitif tam sayılardır. A üç, B dört basamaklıdır. A · B'nin basamak sayısı en az kaçtır?

1. En küçük çarpım: 100 × 1 000 = 100 000 → 6 basamaklı.
2. Yani A · B ≥ 100 000, basamak sayısı en az 6.
3. En büyük: 999 × 9 999 = 9 989 001 → 7 basamaklı.
4. Yani 6 veya 7 basamaklıdır (m + n − 1 = 6, m + n = 7).

Logaritma ile Basamak Sayısı (AYT İpucu)

AYT'de logaritma konusunda karşına çıkan bir bağıntı vardır: pozitif tam sayı N için basamak sayısı = ⌊log₁₀(N)⌋ + 1. TYT'de doğrudan sorulmasa da basamak sayısı muhakemesinde arka plan olarak yer alır.

Bazı sorularda "aaa" ya da "aabb" gibi aynı rakamın tekrarlandığı özel sayılar karşına çıkar. Bu tür sayıları çözümle, sonra da sadeleştir.

Tekrarlı Rakam Açılımları

Çözümlü Örnek 1 — aaa ve 37

aaa üç basamaklı sayısının 37'ye bölümünden kalan kaçtır?

1. aaa = 111a = 37·3·a = 111a.
2. 111 = 37 · 3 → 111a daima 37'nin tam katıdır.
3. Kalan: 0. (Her aaa formundaki sayı 37'ye tam bölünür.)

Çözümlü Örnek 2 — Tekrar ile 11 İlişkisi

aabb dört basamaklı sayısı 11'e tam bölünür mü?

1. aabb = 11(100a + b).
2. Dışarıda 11 çarpanı zaten var. Evet, her aabb formundaki sayı 11'e tam bölünür.
3. Örnek: 7733 = 11 · 703 → 7733 ÷ 11 = 703 ✓.

Çözümlü Örnek 3 — abab ve 101

abab dört basamaklı sayı 101'e her zaman tam bölünür mü?

1. abab = 101 · ab = 101(10a + b).
2. Dışarıda 101 çarpanı var. Evet, her abab formundaki sayı 101'e tam bölünür.
3. Örnek: 5353 ÷ 101 = 53 ✓.

Çözümlü Örnek 4 — Rakamları Toplamı ile İlişki

aaa üç basamaklı sayısının rakamları toplamı 15 ise aaa sayısı kaçtır?

1. Rakamları toplamı: a + a + a = 3a = 15 → a = 5.
2. aaa = 555. Kontrol: 5 + 5 + 5 = 15 ✓.

Sayı basamakları konusunun on binlerce öğrencinin yıllarca biriktirdiği kısa kısa hatırlatıcıları vardır. Aşağıdaki akronimleri ezberlersen, sınav anında "hangi formül neydi?" telaşı yaşamazsın.

Konuyu bitirirken kafandaki "hangi soru tipi hangi yöntem?" karmaşasını dağıtacak bir tablo bırakalım. Bu tabloyu sınav öncesi son tekrarında kart gibi kullan.

Soru Tipi — Strateji Eşleştirmesi

Sınav Günü 4 Altın Adım

1. Rakam mı sayı mı? (3 sn): ab iki basamaklı sayı mı yoksa a · b çarpımı mı? Konu bağlamını tanı.
2. Çözümle (5 sn): Harfli sayıyı 10a + b veya 100a + 10b + c formuna çevir.
3. Özdeşlik ara (5 sn): ab + ba, ab − ba, abc + cba, aaa = 111a gibi bir kısa yol var mı?
4. Sağlama (10 sn): Bulduğun rakamları sayıya koy, orijinal koşulu sağlıyor mu kontrol et.

Özet Formül Kartı

Sınav öncesi son 30 dakikan kaldığında bu dizine bak; tüm konuyu kafanda yeniden organize edersin. Soldaki kavramı görüp sağdaki formülü/değeri zihninden hızla çağırabiliyorsan konu ezberindedir.

Çözümleme — Genel Form

Basamak Değeri Formülleri

Klasik Özdeşlikler

Sayma — Kaç Tane Sayı Vardır?

Rakam Ekleme / Çıkarma

AYT/TYT Klasik Tuzakları

• İlk basamak 0 olamaz: "rakamları farklı 4 basamaklı" sorusunda binler basamağına 9 seçenek (1–9), kalan basamaklara azalan çarpım uygula.
• Rakam mı çarpım mı? "ab" yazısı iki basamaklı sayıyı mı, yoksa a · b çarpımını mı temsil ediyor? Bağlam bunu netleştirir; soru köküne dön.
• Basamak değeri − rakam değeri farkı: Soruda hangisi isteniyor dikkat. 83 945'te 9'un farkı: 900 − 9 = 891.
• Tekrarlı vs farklı: "rakamları farklı" denmediyse her basamak için 10 seçenek (ilk hariç 9). "Farklı" denirse her basamakta seçenek 1 azalır.
• Çift/tek koşulu: Birler basamağı çiftse 5 seçenek (0, 2, 4, 6, 8), tekse 5 seçenek (1, 3, 5, 7, 9). İlk basamak ile karıştırma.
• Özdeşliği gör: ab − ba görür görmez 9(a − b); abc + cba görür görmez 101(a + c) + 20b. Tek satırda netleşir.
• Sağlama refleksi: Bulduğun rakamı orijinal koşula yerleştirip kontrol et. Tek bir aritmetik hatada şıkkı kaybedersin.