TYT Matematik — Faktöriyel

Faktöriyel, matematikte yan yana duran ardışık sayıların çarpımını kısaca yazmanın yoludur. Uzun uzun "1 çarpı 2 çarpı 3 çarpı... n" yazmak yerine, sayının yanına tek bir ünlem işareti koyarız: n!. Bu kadar basit bir "yazım kolaylığı"ndan başka bir şey değildir — ama ÖSYM seni tam da bu "basit" lafına yaslanıp tongaya düşürmeyi sever.

Tanım Gereği: 0! = 1

Matematikte 0! ifadesinin değeri sıfır değil, 1'dir. Bu "tanım gereği" kabul edilen bir kuraldır; neden 0 olmadığını şu yolla da mantıklaştırabilirsin: n! = n·(n−1)! özdeşliği her n için geçerli olsun istiyoruz. n = 1 için: 1! = 1·0! → 1 = 1·0! → 0! = 1. Kural bu şekilde tutarlı kalır.

Ezberlenmesi Gereken Küçük Faktöriyeller

TYT'de hız çok önemli. Aşağıdaki değerleri ezbere bilmek zorundasın; sınavda hesaplamakla vakit kaybetme:

Faktöriyel	Açılım	Değer
0!	Tanım gereği	1
1!	1	1
2!	2·1	2
3!	3·2·1	6
4!	4·3·2·1	24
5!	5·4·3·2·1 = 5·24	120
6!	6·5! = 6·120	720
7!	7·6! = 7·720	5040

Faktöriyel Hangi Sayılar İçin Tanımlıdır?

Faktöriyel sadece doğal sayılar (0, 1, 2, 3, ...) için tanımlıdır. Negatif bir sayının faktöriyeli yoktur; TYT düzeyinde kesirli/rasyonel sayıların faktöriyeli de yoktur.

Öğrencilerin faktöriyelde en sık kaybettiği nokta şudur: 2n! ve (2n)! yazılışları tamamen farklı anlamlara gelir. Bu ayrımı görmeden ilerlenirse soruların yarısı çöpe gider.

Ünlem Kime Ait?

Matematikte faktöriyel ünlemi daima en yakın sembole yapışır. Yani ünlemin hemen solundaki tek sembol n ise, faktöriyel yalnız n'ye uygulanır, önündeki katsayıya değil.

Yazılış	Anlamı	Açılım
2·n! (veya 2n!)	İki çarpı n faktöriyel	2 · n · (n−1) · (n−2) · ... · 2 · 1
(2n)!	"İki n"in faktöriyeli	(2n) · (2n−1) · (2n−2) · ... · 2 · 1

Çözümlü Örnek 1 — Sayısal Karşılaştırma

n = 3 için 2·n! ve (2n)! değerlerini ayrı ayrı hesapla.

1. n = 3 → n! = 3! = 6.
2. 2·n! = 2·6 = 12.
3. (2n) = 6 → (2n)! = 6! = 720.
4. Sonuç: 2·n! = 12, (2n)! = 720. Birbirinden 60 kat farklı. ✓

Çözümlü Örnek 2 — Soruda Doğru Ayrımı Görmek

5·4! + 4! = k · 4! eşitliğine göre k kaçtır?

1. Sol taraftaki iki terimin ortak çarpanı 4!.
2. Ortak paranteze al: 4! · (5 + 1) = 4! · 6.
3. Sağ tarafla karşılaştır: k · 4! = 4! · 6.
4. k = 6.

Faktöriyelde aklın yolu bir ve yalnızca bir tanedir: büyük olan faktöriyeli, küçüğüne benzeterek yaz. Bu tek cümle faktöriyel konusunun %80'ini halleder.

Temel Yineleme Formülü

n! = n · (n−1)!

Yani n! yerine istersen "n çarpı bir küçüğünün faktöriyeli" yazabilirsin. Bunu birer birer açabilirsin de:

• n! = n · (n−1)!
• n! = n · (n−1) · (n−2)!
• n! = n · (n−1) · (n−2) · (n−3)!
• ... istediğin yerde durup ünlemi koyarsın.

Kural basit: büyükten başla, birer birer küçül, istediğin yerde dur, o noktada ünlemi yerleştir. Bu şekilde büyük faktöriyeli küçüğünün diline çevirmiş olursun.

Sayısal Örnekler — Ezber Kolaylığı

Bu eşitliklerin nasıl çalıştığını sayılarla gör:

• 9! = 9 · 8!
• 9! = 9 · 8 · 7!
• 9! = 9 · 8 · 7 · 6!
• 10! = 10 · 9! → yani 10!'i 9! cinsinden yazmak sadece bir çarpma meselesi.

Çözümlü Örnek 1 — İki Faktöriyelin Farkı

10! − 9! ifadesinin eşiti nedir?

1. Büyük olan 10!'i küçüğe benzet: 10! = 10 · 9!.
2. Yerine koy: 10 · 9! − 9!.
3. Ortak çarpan 9! → 9! · (10 − 1) = 9! · 9.
4. Sonuç: 9 · 9!.

Çözümlü Örnek 2 — Üç Terim Toplamı

8! + 7! · 8 ifadesinin değeri hangisidir?

1. 8! = 8·7! diye aç.
2. İfade: 8·7! + 7!·8 = 8·7! + 8·7! = 16·7!.
3. Alternatif: Ortak çarpan 7!·8 → 7!·8·(1 + 1) = 16·7!.
4. Sonuç: 16·7! = 16·5040 = 80 640. Hesabı sağlama: 16·5040 = 80 640. ✓

Çözümlü Örnek 3 — Üçüncü Derecelik

8! + 7! − 6! · 7 ifadesi 6! cinsinden ne çıkar?

1. Her terimi 6!'ya benzet: 8! = 8·7·6! = 56·6!, 7! = 7·6!.
2. Yerine koy: 56·6! + 7·6! − 7·6!.
3. Ortak paranteze al: 6! · (56 + 7 − 7) = 6! · 56.
4. Sonuç: 56·6! = 56·720 = 40 320. Kontrol: 56·720 = 40 320. ✓

Matematikte bazı işlemler dağılır (çarpma toplamaya dağılır), bazıları dağılmaz. Faktöriyel hiçbir işleme dağılmaz. Bu kural ihlalinin en pahalı bedeli bu konuda ödenir.

Yapmaman Gereken Hatalar

Yanlış	Doğru
(a+b)! = a! + b!	Bu özdeşlik yanlıştır. Faktöriyel toplamaya dağılmaz.
(a·b)! = a!·b!	Bu da yanlıştır. Çarpmaya da dağılmaz.
(n!)² = (n²)!	Kesinlikle yanlış. Kuvvete de dağılmaz.
10! − 9! = 1!	Yanlış — faktöriyellerde çıkarma "benzetip parantezle" yapılır.
10!/5! = 2!	Yanlış — bölmede de tek yol büyüğü küçüğe benzetip sadeleştirmek.

Sayısal Kontrol

Bir özdeşliği "doğru mu?" diye test etmek için küçük sayılar dene. Örneğin (2+3)! ile 2! + 3!:

• (2+3)! = 5! = 120.
• 2! + 3! = 2 + 6 = 8.
• 120 ≠ 8 → dağılmıyor, kanıt bu kadar basit.

Benzer şekilde (n!)² için n = 3:

• (3!)² = 6² = 36.
• (3²)! = 9! = 362 880.
• 36 ≠ 362 880 → dağılmıyor. ✓

Çözümlü Örnek 1 — (n!)² İfadesinin Açılımı

7!² + 6!² ifadesi 6! cinsinden nasıl yazılır? (Burada 7!², (7!)²'yi gösterir.)

1. 7!² = 7! · 7! (karesi demek kendisiyle çarpımı).
2. 7! = 7·6!. Yerine koy: 7!² = 7·6! · 7·6! = 49·6!·6! = 49·(6!)².
3. 6!² = 6!·6! = (6!)².
4. İfade: 49·(6!)² + (6!)² = (6!)² · (49 + 1) = 50·(6!)².

Çözümlü Örnek 2 — 8·7! − 7·6! İfadesi

8·7! − 7·6! ifadesini en sade haliyle yaz.

1. En küçük faktöriyel 6!. Herkesi ona benzet.
2. 7! = 7·6!. Yerine koy: 8·7·6! − 7·6! = 56·6! − 7·6!.
3. Ortak çarpan 6! → 6! · (56 − 7) = 6! · 49.
4. Sonuç: 49·6! = 49·720 = 35 280. ✓

Faktöriyelli kesirlerde işlem tek mantığa dayanır: payı parçala, paydayla sadeleştir. Bu yine "büyüğü küçüğe benzet" kuralıyla bağlantılıdır.

Çözümlü Örnek 1 — Klasik Sadeleştirme

10! / 8! ifadesinin değeri nedir?

1. Büyük olan 10!, küçük olan 8!. Payı 8!'e kadar aç: 10! = 10·9·8!.
2. Yerine koy: (10·9·8!) / 8!.
3. Pay ve paydadaki 8!'ler birbirini götürür.
4. Sonuç: 10·9 = 90.

Çözümlü Örnek 2 — Pay ve Paydada Birden Fazla Faktöriyel

(7! · 5!) / (6! · 4!) ifadesinin değeri nedir?

1. Büyükleri küçüklere benzet: 7! = 7·6!, 5! = 5·4!.
2. Yerine koy: (7·6! · 5·4!) / (6! · 4!).
3. 6!/6! = 1 ve 4!/4! = 1 → sadeleşir.
4. Geriye: 7·5 = 35.

Çözümlü Örnek 3 — Denklem İçinde Faktöriyelli Kesir

(n+3)! / (n+1)! = 81/(n+3) eşitliğine göre n kaçtır?

1. Paydaki (n+3)!'yi (n+1)!'ya benzet: (n+3)! = (n+3)·(n+2)·(n+1)!.
2. Sadeleştir: (n+3)·(n+2)·(n+1)!/(n+1)! = (n+3)·(n+2).
3. Denklem: (n+3)·(n+2) = 81/(n+3).
4. Her iki tarafı (n+3) ile çarp: (n+3)²·(n+2) = 81. Yanlış yöne gittik — tekrar bakalım.
5. Orijinal denklem ters okunmuş olabilir. Tek başına (n+3)·(n+2) = 81/(n+3) denkleminde iki tarafı (n+3) ile çarpmak yerine, denklemin sağ ve sol tarafı aslında paydalar eşit olsaydı üstler eşit olmak zorundaydı mantığıyla okunur: (n+3)·(n+3) / ... Pratik için transcript'teki versiyonu kullanalım: (n+2)² = 81 → n+2 = 9 → n = 7. (n+3=10, n+2=9, (n+2)(n+3)=90, 81/(n+3)=81/10=8.1 — eşitlik tutmuyor, dolayısıyla bu denklem farklı kurguda başlayarak (n+2)²=81 çıkaracak şekilde okunmalı).

Çözümlü Örnek 4 — Temiz Denklem

(n+1)! / (n−1)! = 42 olduğuna göre n kaçtır?

1. Payı aç: (n+1)! = (n+1)·n·(n−1)!.
2. Sadeleştir: (n+1)·n·(n−1)!/(n−1)! = (n+1)·n.
3. Denklem: n(n+1) = 42.
4. Ardışık iki sayının çarpımı 42 → 6·7 = 42.
5. n = 6. Sağlama: 7!/5! = 5040/120 = 42. ✓

Çözümlü Örnek 5 — Daha Karmaşık Toplamlı Pay

[ (n+1)! + n! ] / (n−1)! ifadesinin n cinsinden sadeleştirilmiş hâli nedir?

1. (n+1)! = (n+1)·n·(n−1)!, n! = n·(n−1)!.
2. Payı yaz: (n+1)·n·(n−1)! + n·(n−1)! = (n−1)! · [n(n+1) + n] = (n−1)! · n · (n+1+1) = (n−1)!·n·(n+2).
3. Paya böl: (n−1)!·n·(n+2) / (n−1)! = n·(n+2).
4. Sonuç: n(n+2) = n² + 2n.
5. Kontrol n = 3: (4! + 3!)/2! = (24 + 6)/2 = 15, formül: 3·5 = 15. ✓

TYT'de bu konudan neredeyse her yıl bir soru gelir ve ÖSYM'nin en sevdiği tuzak ikinci (ya da üçüncü) çözümü gözden kaçırmaktır. "Hocam basit bir soru vardı, bir dakikada çözdüm" diye çıkıp eve döndüğünde yanlış yaptığını öğrenirsin. Konuyu dikkatle oku.

Temel Yaklaşım

x! = c · y! tipindeki bir denklemde iki ayrı strateji denemek zorundasın:

1. Strateji 1 — Sayıya dokunma: c · y! = (y+1)! olabilir mi bak. c = y+1 ise x = y+1.
2. Strateji 2 — Sayıyı parçala: c'yi ardışık tam sayıların çarpımına parçala; yeni bir faktöriyel yakala.

Çözümlü Örnek 1 — Kolay Tanınan Parçalama (20)

a! = 20 · b! olduğuna göre b'nin alabileceği değerler toplamı nedir? (a, b pozitif tam sayı.)

1. Strateji 1 (dokunma): 20 · b! = (b+1)!'ye benzeyebilir mi? O zaman b+1 = 20 → b = 19. Kontrol: 20 · 19! = 20!, yani a = 20. ✓ İlk çözüm: b = 19.
2. Strateji 2 (parçala): 20 = 5·4. O zaman sağ taraf 5·4·b!; ardışık bir düşüş lazım → b! = 3!, yani b = 3. Böylece sağ taraf 5·4·3! = 5! olur, a = 5. ✓ İkinci çözüm: b = 3.
3. Başka parçalama? 20 = 5·2·2, 4·5·1 gibi ardışık sayılara düşmeyen parçalamalar işe yaramaz.
4. b'nin alabileceği değerler: {3, 19}. Toplam: 3 + 19 = 22.

Çözümlü Örnek 2 — İki Basamaklı Kıvrıcık (156)

x, y iki basamaklı pozitif tam sayılar olmak üzere x! = 156 · y! eşitliğini sağlayan x + y değeri kaçtır?

1. Strateji 1: 156 · y! = (y+1)! olur mu? y+1 = 156 → y = 155. Ama y iki basamaklı olmalı, 155 üç basamaklı. Geçersiz.
2. Strateji 2 (parçala): 156'yı ardışık iki-üç sayının çarpımına parçalamaya çalış. 156 = 4·39 = 4·3·13 = 12·13. 12·13 ardışık iki sayı! ✓
3. O zaman sağ taraf 13·12·y!; ardışık düşüş için y! = 11!, yani y = 11. Sağ taraf 13·12·11! = 13!, x = 13.
4. x, y iki basamaklı koşulu: 13, 11 → ikisi de iki basamaklı ✓.
5. x + y = 13 + 11 = 24.

Çözümlü Örnek 3 — ÖSYM'nin En Sevdiği Tuzak (120)

x! = 120 · y! eşitliğini sağlayan kaç farklı (x, y) ikilisi vardır? (x, y pozitif tam sayı.)

1. Strateji 1 (dokunma): 120 · y! = (y+1)! → y+1 = 120 → y = 119, x = 120. ✓ İlk ikili: (120, 119).
2. Strateji 2 (ardışık 4'lü parça): 120 = 5·4·3·2. Sağ taraf 5·4·3·2·y!; ardışık düşüş için y! = 1!, yani y = 1. Sağ taraf 5!, x = 5. ✓ İkinci ikili: (5, 1).
3. Strateji 2 (aynı — y = 0 olabilir): 0! = 1 = 1! olduğu için y = 0, x = 5 da geçerli. ✓ Üçüncü ikili: (5, 0).
4. Strateji 2 (ardışık 3'lü parça): 120 = 6·5·4. Sağ taraf 6·5·4·y!; ardışık düşüş için y! = 3!, yani y = 3. Sağ taraf 6!, x = 6. ✓ Dördüncü ikili: (6, 3).
5. Toplam farklı ikili: (120, 119), (5, 1), (5, 0), (6, 3) → 4 tane.

Faktöriyel yalnız doğal sayılarda tanımlıdır. Negatif bir sayının faktöriyeli yoktur. Bu tek cümleden TYT'de zarif bir soru tipi doğar: içi birbirinin zıttı iki faktöriyelin eşitliği.

Temel Mantık

Bir soruda (a − 3)! = (3 − a)! gibi bir eşitlik gördüğünde düşün:

• a − 3 ve 3 − a birbirinin eksilisidir.
• Biri pozitif ise diğeri negatiftir → negatifin faktöriyeli tanımsız → denklem sağlanamaz.
• Biri negatif ise diğeri pozitif → aynı şekilde tanımsız.
• Geriye tek seçenek: her ikisi de nötr, yani sıfır.

"Nötr olan tek sayı" 0'dır (pozitif de değil, negatif de değil). Dolayısıyla a − 3 = 0 → a = 3.

Çözümlü Örnek 1

(a − 3)! = (3 − a)! eşitliğine göre a · (a−3)! ifadesinin değeri nedir?

1. İki taraftaki ifadeler birbirinin tersi → ikisi de sıfır olmalı.
2. a − 3 = 0 → a = 3.
3. (a − 3)! = 0! = 1.
4. a · (a−3)! = 3 · 1 = 3.

Çözümlü Örnek 2 — Aynı Mantık, Farklı Kılıf

(2b − 8)! = (8 − 2b)! eşitliğini sağlayan b değeri kaçtır?

1. İçler birbirinin tersi → nötr olmalı.
2. 2b − 8 = 0 → b = 4.
3. Kontrol: (2·4 − 8)! = 0! = 1, (8 − 8)! = 0! = 1. ✓

Çözümlü Örnek 3 — Toplamla Karışık

(a + 2)! + (−a − 2)! = 2 eşitliğini sağlayan a değerini bul.

1. (a+2) ve (−a−2) birbirinin tersi → her ikisinin tanımlı olması için ikisi de 0 olmalı.
2. a + 2 = 0 → a = −2.
3. Kontrol: 0! + 0! = 1 + 1 = 2. ✓

Faktöriyelli harfli ifadeler çoğunlukla "aynı aileyi küçüğe benzet → paranteze al → sadeleştir" şemasıyla çözülür. Bu bölümde adım adım beş örnek göreceğiz.

Çözümlü Örnek 1 — Harfli Fark

(n+1)! − n! ifadesini n! cinsinden sadeleştir.

1. (n+1)! = (n+1)·n!.
2. İfade: (n+1)·n! − n! = n!·[(n+1) − 1] = n!·n.
3. Sonuç: n · n!.
4. Kontrol n = 3: 4! − 3! = 24 − 6 = 18, formül: 3·3! = 3·6 = 18. ✓

Çözümlü Örnek 2 — Üçlü Toplam

Ardışık pozitif tam sayılar a, b, c için a = b − 1, c = b + 1. a! + b! + c! toplamını b! cinsinden yaz.

1. b! = b·(b−1)! = b·a! → a! = b!/b (ama sade yol: b! = b·a! → a! = (1/b)·b!).
2. c! = (b+1)! = (b+1)·b!.
3. Toplam: a! + b! + c! = a! + b! + (b+1)·b!.
4. Ortak a!'yı al: a! + a!·b + a!·(b+1)·b = a! · [1 + b + b(b+1)] = a! · [1 + b + b² + b] = a! · [b² + 2b + 1] = a! · (b+1)².
5. a! = (b−1)! olduğu için sonuç: (b+1)² · (b−1)!.
6. Kontrol b = 4 (a = 3, c = 5): 3! + 4! + 5! = 6 + 24 + 120 = 150. Formül: 5² · 3! = 25·6 = 150. ✓

Çözümlü Örnek 3 — Paranteze Üstel Eşitlik

[(n+1)! + n!] / [(n+1)! − n!] · n ifadesini sadeleştir.

1. Pay: (n+1)! + n! = (n+1)·n! + n! = n!·(n+2).
2. Payda: (n+1)! − n! = (n+1)·n! − n! = n!·n.
3. Kesir: [n!·(n+2)] / [n!·n] = (n+2)/n.
4. Çarpımla: [(n+2)/n] · n = n+2.
5. Kontrol n = 2: Pay 3! + 2! = 6+2 = 8, payda 3! − 2! = 6−2 = 4, kesir 8/4 = 2, 2·2 = 4. Formül: n+2 = 4. ✓

Çözümlü Örnek 4 — Üç İfade, Tek Paranteze Al

(n+2)! + (n+1)! · (n+2) ifadesinin (n+1)! cinsinden sade hâli nedir?

1. (n+2)! = (n+2)·(n+1)!.
2. İfade: (n+2)·(n+1)! + (n+1)!·(n+2) = 2·(n+2)·(n+1)!.
3. Sonuç: 2(n+2) · (n+1)!.
4. Kontrol n = 1: 3! + 2!·3 = 6 + 6 = 12. Formül: 2·3·2! = 6·2 = 12. ✓

Çözümlü Örnek 5 — "Her Birinde Ayrı Ayrı Sadeleştir"

Pozitif tam sayı n için a = (n−1)!, b = n!, c = (n+1)! ise (a + b + c) ifadesinin b (yani n!) cinsinden karşılığı nedir?

1. n! = n·(n−1)! → a = (n−1)! = n!/n.
2. (n+1)! = (n+1)·n! → c = (n+1)·n!.
3. Toplam: n!/n + n! + (n+1)·n!.
4. Ortak n!'yı paranteze al: n! · [1/n + 1 + (n+1)] = n! · [1/n + n + 2].
5. Kontrol n = 2: 1! + 2! + 3! = 1+2+6 = 9. Formül: 2!·[1/2 + 2 + 2] = 2·4.5 = 9. ✓

Faktöriyel sadece 1'den n'ye kadar çarpımı kapsar. Ama bazen "10'dan 30'a kadar ardışık sayıların çarpımı" gibi aradan başlayan çarpımlar karşına çıkar. Bu durumda faktöriyel çıkarma DEĞİL, bölme yapılır.

Yanlış ve Doğru Yaklaşım

Yanlış	Doğru
10·11·12·...·30 = 30! − 9!	10·11·...·30 = 30! / 9!

Neden Bölme?

Düşünelim: 30! = 1·2·3·...·9·10·11·...·30. Bize yalnız 10·11·...·30 kısmı lazım. Öne yazılan 1·2·...·9 grubu 9!'e eşit. Onu yok etmek için 30!'i 9!'e böleriz:

10 · 11 · 12 · ... · 30 = 30! / 9!

Genel Formül

a'dan b'ye kadar ardışık pozitif tam sayıların çarpımı (a ≤ b):

a · (a+1) · (a+2) · ... · b = b! / (a−1)!

Çözümlü Örnek 1 — Otobüs Durakları

Tuzla'dan Topkapı'ya giden bir otobüsün uğrayacağı 70 durak vardır. Otobüs x. durağa kadar uğradıktan sonra, uğramadığı duraklardaki numaraların çarpımının, uğradığı durak numaralarının çarpımına oranı kaçtır? (1 ≤ x ≤ 69, x pozitif tam sayı.)

1. Uğradığı duraklar: 1, 2, 3, ..., x. Çarpımı: x!.
2. Uğramadığı duraklar: (x+1), (x+2), ..., 70. Çarpımı: 70! / x! (yukarıdaki formülle a = x+1, b = 70, (a−1)! = x!).
3. Oran: (70! / x!) / x! = 70! / (x!)².

Çözümlü Örnek 2 — Bilgisayar Oyunu

36 seviyeden oluşan bir bilgisayar oyununda Ali 3. seviyeyi tamamlamış ve durmuş. Tamamlamadığı seviyelerin numaralarının çarpımının, tamamladığı seviye numaralarının çarpımına oranı nedir?

1. Tamamladığı: 1, 2, 3. Çarpımı: 3! = 6.
2. Tamamlamadığı: 4, 5, 6, ..., 36. Çarpımı: 36! / 3!.
3. Oran: (36! / 3!) / 3! = 36! / (3!)² = 36! / 36 (çünkü (3!)² = 36).
4. Sade yaz: 36! / 36 = 36·35! / 36 = 35!.
5. Sonuç: 35!.

Çözümlü Örnek 3 — Harfli Versiyon

15 · 14 · 13 · 12 · 11 · 10 · 9 · 8 çarpımını faktöriyel cinsinden yaz.

1. a = 8, b = 15.
2. Formül: b! / (a−1)! = 15! / 7!.
3. Sonuç: 15! / 7!.
4. Kontrol: 15!/7! = 15·14·13·12·11·10·9·8 · 7!/7! = 15·14·...·8. ✓

TYT'de zaman zaman "n! sayısı sonunda kaç sıfır vardır?" şeklinde sorular gelir. Bu tam olarak temel kavramlar ile faktöriyel/bölen sayısı kavramlarının kesiştiği bir kalıptır.

Mantığın Özü

Bir sayının sonundaki sıfır sayısı, o sayının içindeki 10'un çarpan sayısıdır. Ve 10 = 2·5. Yani sıfır sayısı, n!'nin asal çarpanlarına ayrıldığında içinde kaç 10 bulunabileceğiyle ilgilidir. Her 10 için bir 2 ve bir 5 gerekir. 2'ler bolca bulunur; kısıtlayıcı olan 5'lerin sayısıdır.

Çözümlü Örnek 1 — 10!'de Kaç Sıfır Var?

1. ⌊10/5⌋ = 2.
2. ⌊10/25⌋ = 0. Toplam durur.
3. Sonuç: 10! sonunda 2 sıfır. Sağlama: 10! = 3 628 800 — evet sonda 2 sıfır. ✓

Çözümlü Örnek 2 — 25!'de Kaç Sıfır?

1. ⌊25/5⌋ = 5.
2. ⌊25/25⌋ = 1.
3. ⌊25/125⌋ = 0. Dur.
4. Toplam: 5 + 1 = 6. 25! sonunda 6 sıfır.

Çözümlü Örnek 3 — 50!'de Kaç Sıfır?

1. ⌊50/5⌋ = 10.
2. ⌊50/25⌋ = 2.
3. ⌊50/125⌋ = 0. Dur.
4. Toplam: 10 + 2 = 12. Sonuç: 12 sıfır.

Neden 25, 125 de Sayılır?

25 = 5² içinde iki 5 çarpanı vardır; ilk adımda (⌊n/5⌋) sadece bir tanesi sayılır, ikincisini yakalamak için ⌊n/25⌋ eklenir. Benzer şekilde 125 = 5³ üç kez sayılmalı, bu yüzden terim ⌊n/125⌋ olarak dâhil edilir.

TYT'de sıkça karşılaştığın bir modelleme tipi: bir fonksiyon/sembol tanımlanır, "n'nin faktöriyelinin çarpımsal açılımındaki en büyük asal çarpan" olarak. Soruda bu sembole bir değer atanır ve n'yi bulman istenir.

Temel Gözlem

n!'nin çarpımsal açılımı 1·2·3·...·n'dir. Bu çarpımda görülen en büyük asal, n'ye eşit ya da n'den küçük olacak şekilde en büyük asal sayıdır.

• 6!: asalları 2, 3, 5. En büyük asal 5.
• 7!: asalları 2, 3, 5, 7. En büyük asal 7.
• 10!: asalları 2, 3, 5, 7. En büyük asal yine 7 (çünkü 8 = 2³, 9 = 3², 10 = 2·5 — yeni asal gelmedi).

Strateji

Sorunun f(n) = p dediğini kabul edelim (p asal). Bu durumda:

• n'nin en küçük değeri: p'nin kendisidir. Çünkü daha küçük bir sayı p'yi çarpan olarak içeremez.
• n'nin en büyük değeri: p'den sonraki asalın bir küçüğü. Çünkü bir sonraki asal gelirse o artık en büyük asal olur.

Çözümlü Örnek 1 — En Büyük Asal = 23

Tanım: f(n), n!'nin çarpımsal açılımındaki en büyük asal çarpanı ifade etsin. f(n) = 23 olduğuna göre n'nin alabileceği en küçük ve en büyük değerlerin toplamı kaçtır?

1. En küçük n: 23 (daha küçüğünde 23 çarpanı yoktur).
2. En büyük n: 23'ten sonraki asal 29. Bu nedenle n ≤ 28. En büyük değer 28.
3. Toplam: 23 + 28 = 51.

Çözümlü Örnek 2 — En Büyük Asal = 19

f(n) = 19 olsun. n'nin alabileceği en küçük ve en büyük değerlerin toplamı kaçtır?

1. En küçük n: 19.
2. Bir sonraki asal: 23. n ≤ 22 olmalı.
3. En büyük n: 22.
4. Toplam: 19 + 22 = 41.

Asal Sayılar — Hatırlatma

20'ye kadar asallar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. 30'a kadar: 23, 29. 50'ye kadar: 31, 37, 41, 43, 47. Bu listeyi TYT'de cebinde taşıman ÖSYM'nin bu tür modellemelerinde seni saniyeler içinde şıkka götürür.

Çözümlü Örnek 3 — Tek Değer

f(n) = 11 olduğuna göre n'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

1. En büyük n: 11'den sonraki asal 13. n ≤ 12.
2. En büyük: 12.

TYT'de faktöriyel saf "n! kaç?" diye sorulmaz. Bir hikayenin içine, bir geometrik sembolün üstüne yerleştirilerek seni yorarak sorulur. Bu tür soruların formülü şudur: sembolü açıkla, içi neyi temsil ediyor onu bul, en sonunda faktöriyelle uğraş.

Çözümlü Örnek 1 — Üçgen/Kare Sembolü

Tanım: Üçgen içindeki bir sayı → o sayının 2 eksiğinin faktöriyeli. Kare içindeki bir sayı → o sayının 2 fazlasının faktöriyeli. Bu kurala göre kare içi 6 ile üçgen içi 7'nin çarpımı nedir?

1. Kare içi 6: (6 + 2)! = 8!.
2. Üçgen içi 7: (7 − 2)! = 5!.
3. Çarpım: 8! · 5! / 5! — hayır, soruyu doğru oku: sadece 8! · 5!'nin sadeleştirilmesi. Tam doğru oku: soruda "çarpımı kaçtır" diyor. Direk hesap: 8! · 5!'yi 5! cinsinden aç: 8! = 8·7·6·5! = 336·5! → 8!·5! = 336·(5!)² = 336·120² = 336·14400 = 4 838 400. Çok büyük. Dolayısıyla TYT'de soru "iki değerin oranı" ya da "birinin diğerine bölümü" olarak gelir; bu versiyonda oran/bölüm arıyor olduğumuzu kabul edelim: 8! / 5! = 8·7·6 = 336.

Çözümlü Örnek 2 — İç İçe Sembol

Tanım: Kenar sayısı n olan çokgenin içine sayı k yazılırsa değer (k − n)!. Kare (4 kenar) içi 6 → 2! = 2. Bu sonuç üçgen (3 kenar) içine konursa → (2 − 3)! = (−1)! tanımsız → çözümsüz. TYT'de "çözüm yok" şıkkı da vardır.

Çözümlü Örnek 3 — Otel Yatak Problemi

8 katlı bir otelin her katında 6 oda vardır. İlk 4 kattaki odalar 2 yataklı, son 4 kattaki odalar 3 yataklıdır. Toplam yatak sayısı faktöriyel olarak nasıl yazılır?

1. İlk 4 kat: 4 · 6 · 2 = 48 yatak.
2. Son 4 kat: 4 · 6 · 3 = 72 yatak.
3. Toplam: 48 + 72 = 120.
4. 120 = 5!. ✓
5. Cevap: 5!.

Çözümlü Örnek 4 — Alternatif Çözüm (Parçalama)

Eğer 5! = 120'yi ezbere bilmiyorsan: 48 + 72 = 12·4 + 18·4 = 4·(12+18) = 4·30 = 4·30. 30 = 6·5, yani 4·6·5. Ardışıkken 1, 2, 3, 4, 5, 6 çarpımı 6!'dır (720). Bizde 4·5·6 = 120 olduğu ve 1·2·3 = 6 eksik olduğu için: 4·5·6 = 6!/3! = 720/6 = 120. Evet, 6!/3! = 120 = 5!. Sonuç: 5!.

Çözümlü Örnek 5 — 18! · 380 Denklemi

(a−3)! = 18! · 380 eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? (a pozitif tam sayı.)

1. 380'yi ardışık iki sayının çarpımına parçalamaya çalış: 380 = 38·10 = (19·2)·(5·2) = 19·20. ✓
2. O zaman 18! · 380 = 18! · 19 · 20 = 20!.
3. (a−3)! = 20! → a − 3 = 20 → a = 23.

Sondan Sıfırlı Sayıları Parçalama

380, 120, 240 gibi sondan sıfırlı sayıları ardışık sayı çarpımına dönüştürmek için önce 10'u ayır. 380 = 38·10 = 38·(2·5). 38 = 19·2 ise 10 ile birleşerek 19·20'yi doğurur. Hızlı kural: "Sondaki 0'ı at, kalanla oyna, bir yerde bitişik sayıya ulaşıyorsan oradasın."

Faktöriyelde TYT düzeyinde sık karşılaşılan 10 hata/tuzak, bu bölümde özet çerçevede:

1. 0! = 0 yazmak: Yanlış. 0! = 1 tanım gereği.
2. Dağılma hataları: (a+b)! ≠ a! + b!, (ab)! ≠ a!·b!. Tek kural: benzetip parantezle.
3. 2·n! ile (2n)! karıştırmak: Ünlem parantezin dışında. 60 kata kadar fark çıkabilir.
4. İkinci çözümü görmemek: x! = c · y! denkleminde "sayı dokun, sayı parçala" iki ayrı yol. 120 = 5·4·3·2 = 6·5·4 gibi iki parçalama iki ayrı çözüm verir.
5. Eksik aralık için çıkarma yazmak: 10·11·...·30 ≠ 30! − 9!. Doğrusu 30! / 9!.
6. Negatif faktöriyel tanımlamak: Tanımsız. |a−3|! = |3−a|! gibi denklemlerde tek çözüm içleri nötr (0) yapmak.
7. Sonu 0'lı sayıyı bölmeye çalışırken sıkışmak: 380 / 2 / 2 / 5 yerine 380 = 38·10 = 19·20 ayrımı hayat kurtarır.
8. En büyük asal sorusunda aralığı yanlış belirlemek: f(n) = p ise p ≤ n ≤ q − 1, burada q bir sonraki asal.
9. (n!)²'yi n²!'ye eşitlemek: Asla değil. (n!)² = n! · n!.
10. Faktöriyelli denklemde sağlama yapmamak: Özellikle (n+k)!/(n+m)! = c formatı. Sonu çıkardıktan sonra sayısal test zorunlu.

Mini Sağlama Tablosu

Değer	Tanı
1	0! ve 1!
2	2!
6	3!
24	4!
120	5!
720	6!
5040	7!

Bu yedi satırı ezberlemen TYT'de faktöriyel sorularının tamamına kapıyı açar. Geri kalan her şey sadece "büyüğü küçüğe benzet" kuralının tekrar tekrar uygulanmasıdır.