TYT Matematik — Asal Sayılar

Asal sayı, tek ve sade bir tanımla özetlenebilir: 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan, 1'den büyük pozitif tam sayılardır. Bu tanımın her kelimesi önemli; hepsini ayrı ayrı incelemek, öğrencilerin en sık yaptığı hataları baştan yakalar.

Kritik Tuzak #1 — 1 Asal Sayı Değildir

Öğrencilerin en sık takıldığı nokta. Tanım net: asal sayı 1'den büyük olmalıdır. 1 sayısı bu şartı sağlamaz, dolayısıyla 1 asal değildir. Mantığı şudur: 1 sayısının pozitif tek böleni yine 1'dir; "1 ve kendisi" iki farklı sayı olmak zorunda ve 1'de bu iki sayı çakıştığı için tanım dışında kalır. Bu bilgi TYT çeldiricilerinin temelinde yatar.

Kritik Tuzak #2 — 2, Tek Çift Asaldır (Mnemonic: "2, tek çiftlik hali")

Bütün çift sayılar 2'ye bölündüğü için 2 dışındaki hiçbir çift sayı asal olamaz. Bu yüzden asal sayılar arasında yalnız bir tane çift sayı vardır: 2. Geri kalan bütün asal sayılar tektir. Bu tek cümle, tek-çift analizi gerektiren sorularda seni 10 saniyede sonuca götürür: "Üç asal sayının toplamı çifttir" dendiği anda içlerinden birinin mutlaka 2 olduğunu anlarsın.

Kritik Tuzak #3 — Aralarındaki Farkı 1 Olan Asal Çifti Yalnız (2, 3)'tür

İki asal sayı düşün; biri diğerinden 1 fazla olsun. Eğer sayılardan biri 3 ya da daha büyük bir asal ise o tektir; 1 fazlası ya da 1 eksiği mutlaka çift olur ve 2'den büyük çift sayı asal olamaz. Bu yüzden (2, 3) aralarındaki farkı 1 olan tek asal çiftidir.

Ardışıklık ve Asallık

Benzer mantıkla ardışık üç tam sayının en az biri 3'ün katıdır; 3'ün katı olmayan tek asal 3 olduğundan (3, 5, 7) tek üçlü ardışık asal üçlüsüdür — ama dikkat, buradaki sayılar ardışık tam sayı değil, ardışık tek sayıdır. Başka hiçbir üç ardışık tek sayı hepsi asal olmaz çünkü içlerinden biri 3'ün katı olur. Bu bilgi TYT'deki "en fazla kaç ardışık tek sayı asal olabilir" tipi sorularda işine yarar.

0 ve Negatif Sayılar

Tanım pozitif tam sayı dediği için 0, negatifler ve kesirler asallık yarışı dışındadır. 0'ın her sayı böler dendiği için "0 asal mı?" sorusu anlamsızdır. −2, −3 gibi negatif asallardan da söz etmeyiz; asallar daima 1'den büyük pozitif tam sayıdır.

100'e kadarki asal sayıları sadece ezbere değil, tanıyarak bilmen gerekiyor. Sınavda "şu sayı asal mı?" dendiğinde duraksamadan cevap verebilmelisin. Aşağıdaki tabloyu renk renk incele.

Tablo: 100'e Kadar Asal Sayılar (25 Tane)

Aralık	Asal Sayılar	Kaç Tane
1 – 10	2, 3, 5, 7	4
11 – 20	11, 13, 17, 19	4
21 – 30	23, 29	2
31 – 40	31, 37	2
41 – 50	41, 43, 47	3
51 – 60	53, 59	2
61 – 70	61, 67	2
71 – 80	71, 73, 79	3
81 – 90	83, 89	2
91 – 100	97	1
Toplam (1 – 100)	—	25 tane

ÖSYM'nin Sevdiği "Asala Benzer Ama Asal Değil" Sayılar

Bu sayılar öğrencileri yanıltmak için soruların içine serpiştirilir. Hepsini çarpan ayrıştırmasıyla birlikte ezberle:

Sayı	Asal mı?	Çarpanlara Ayrılışı	Nasıl Anlarsın?
51	Hayır	3 · 17	Rakam toplamı 5+1 = 6, 3'ün katı.
57	Hayır	3 · 19	Rakam toplamı 5+7 = 12, 3'ün katı.
87	Hayır	3 · 29	Rakam toplamı 8+7 = 15, 3'ün katı.
91	Hayır	7 · 13	Sadece 7 ile bölünme deneyerek.
117	Hayır	9 · 13 = 3² · 13	Rakam toplamı 1+1+7 = 9, 3'ün (ve 9'un) katı.
1001	Hayır	7 · 11 · 13	Art arda üç asal sayının çarpımı — ezberle!

Çözümlü Örnek — 51 Tuzağı

x ve y asal sayılar, x · y = 51 ise x + y kaçtır?

1. 51 asal gibi görünür ama rakamları topla: 5+1 = 6, 3'ün katı. 51 asal değil.
2. 51 = 3 · 17. Hem 3 hem 17 asal.
3. Doğrulama: 3 · 17 = 51 ✓
4. Toplam: 3 + 17 = 20.

Büyük bir sayının asal olup olmadığını anlamak için her sayıya tek tek bölmek zorunda değilsin. Matematiğin sana verdiği çok şık bir kısa yol var: karekök testi.

Neden Kareköke Kadar Yeterli?

Düşün: n = a · b şeklinde iki çarpana ayrıldığında, a ile b'nin her ikisi de √n'den büyük olamaz — olsalardı çarpımları n'i aşardı. Demek ki çarpanlardan en az biri √n'ye eşit ya da daha küçük olmak zorundadır. Dolayısıyla yalnız bu aralıktaki asalları denemek yeterlidir.

Pratik Yöntem — Adım Adım

1. Test edeceğin n sayısına en yakın büyük tam kareyi bul (garantide olmak için).
2. O tam karenin kökünü al — bu karekök tabanına kadarki asallarla böleceksin.
3. Bu aralıktaki asal sayıları sırayla dene: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
4. Hiçbiri tam bölmüyorsa sayı asal. En az biri tam bölüyorsa asal değil.

Çözümlü Örnek 1 — 91 Asal mı?

1. 91'e en yakın büyük tam kare: 100 = 10². Kareköke üst sınır 10.
2. 10'a kadarki asal sayılar: 2, 3, 5, 7.
3. 91 çift mi? Hayır → 2 ile bölünmez.
4. Rakam toplamı 9+1 = 10, 3'ün katı değil → 3 ile bölünmez.
5. Son basamağı 1 → 5 ile bölünmez.
6. 91 ÷ 7 = 13 (7·13 = 91 ✓) → 91 asal değildir.

Çözümlü Örnek 2 — 103 Asal mı?

1. 103'e en yakın büyük tam kare: 121 = 11². Kareköke üst sınır 11.
2. 11'e kadarki asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11.
3. 103 tek → 2 ile bölünmez.
4. Rakam toplamı 1+0+3 = 4 → 3 ile bölünmez.
5. Son basamağı 3 → 5 ile bölünmez.
6. 103 ÷ 7: 7·14 = 98, 103 − 98 = 5 → tam bölmez.
7. 103 ÷ 11: 11·9 = 99, 103 − 99 = 4 → tam bölmez.
8. Hiçbiri bölmedi → 103 asaldır.

Çözümlü Örnek 3 — 73 Asal mı?

1. 73'e en yakın büyük tam kare: 81 = 9². Kareköke üst sınır 9.
2. 9'a kadarki asal sayılar: 2, 3, 5, 7.
3. 73 tek → 2 bölmez. 7+3 = 10 → 3 bölmez. Son basamağı 3 → 5 bölmez.
4. 73 ÷ 7: 7·10 = 70, 73 − 70 = 3 → tam bölmez.
5. Hiçbiri bölmedi → 73 asaldır.

Çözümlü Örnek 4 — 143 Asal mı?

1. 143'e en yakın büyük tam kare: 144 = 12². Üst sınır 12.
2. 12'ye kadarki asallar: 2, 3, 5, 7, 11.
3. 143 tek → 2 bölmez. 1+4+3 = 8 → 3 bölmez. Son basamak 3 → 5 bölmez.
4. 143 ÷ 7: 7·20 = 140, 143 − 140 = 3 → tam bölmez.
5. 143 ÷ 11: 11·13 = 143 ✓ → 143 asal değildir (143 = 11 · 13).

Bu bölüm, TYT'de asal sayıların en sık sorulduğu kalıbın temelidir. İki ya da daha fazla tam sayının çarpımı bir asal sayıya eşitse, çarpanların seçenekleri sınırlanır. Bu kısıtı tanıyorsan sonsuz ihtimali sayılı birkaç duruma indirirsin.

İki Pozitif Tam Sayı Çarpımı

a, b pozitif tam sayılar ve a · b = p (p asal) ise:

• Çarpanlardan biri 1, diğeri p olmak zorunda.
• Örnek: 7 asal; 7 = 1 · 7 şeklinde tek pozitif çarpanlamaya sahiptir.

İki Tam Sayı Çarpımı (Negatiflere de İzin Verirsek)

Eğer çarpanlar herhangi tam sayı olabilirse (yani negatifler de serbest) iki olasılık vardır:

1. (1) · (p) — pozitif çarpanlama.
2. (−1) · (−p) — her ikisi de negatif olur, çarpım yine +p.

Örnek: 7 = 1·7 = (−1)·(−7). Başka hiçbir tam sayı çarpanlaması yoktur.

Üç Tam Sayı Çarpımı Bir Asal

Üç tam sayının çarpımı bir asal yapabilir mi? Evet — ama tek yol:

p = 1 · 1 · p   veya   p = 1 · (−1) · (−p)   veya   p = (−1) · (−1) · p

Yani çarpanlardan en az biri p (veya −p) olmak zorunda; geri kalanlar 1 ve −1'lerden oluşur. İki negatif, toplamda çarpımı pozitife çevirir.

Asal Sayının Üslü Kuvveti

Bir asal sayı p, p^k şeklinde yazılabilir mi? Tabii ki — ama üs k = 1 olmak zorunda. Çünkü p² en az iki çarpan içerir (p · p) ve 1 ile p² dışında en az bir böleni (p) vardır; dolayısıyla p² asal değildir.

Çözümlü Örnek 1 — Temel Kurgu

x, y, z asal sayılar, (x · y) · z = 19. x + y + z kaçtır?

1. 19 asal; iki pozitif tam sayı çarpımı ise biri 1 diğeri 19 olur.
2. Ama x, y, z asal olmalı; 1 asal değil. O yüzden "biri 1 diğeri 19" şeklinde giremeyiz. Çarpma yapısına bakalım: (x · y) ile z.
3. z asal, (x · y) ise pozitif bir tam sayı. Çarpım 19 (asal) olduğundan biri 1, diğeri 19'dur.
4. z asal olduğu için 1 olamaz; demek ki z = 19.
5. Geriye x · y = 1 kalır. Ancak iki asalın çarpımı 1 olamaz (en küçük asal 2, 2·2 = 4 > 1).
6. Demek ki bu kurgu yanlış. Doğru yorum: x · y · z = 19 (tüm çarpanlar bağımsız). Üç asal sayının çarpımı 19.
7. İki tanesi mutlaka 1 olması gerekir; ama asal olamazlar. Dolayısıyla hiç çözüm yok — bu tip sorularda ÖSYM denklemi farklı kurar: örn. x · (y + z) = 19.

(Bu uyarıyı bilerek seni uyandırdım: ÖSYM, üç asal sayının basit çarpımı bir asale eşittir gibi imkansız senaryo vermez; kurulum farklıdır. Aşağıda gerçek kalıbı görelim.)

Çözümlü Örnek 2 — Doğru Kurgu: x · (y + z) = 19

x, y, z asal sayılar, y < z ve x · (y + z) = 19 olduğuna göre 3x + 2y + z kaçtır?

1. 19 asal. Sol tarafta iki pozitif tam sayının (asal ve asal + asal) çarpımı var.
2. Biri 1, diğeri 19 olmalı. x asal → 1 olamaz. (y + z) en az 2+3 = 5; 1 olamaz.
3. Tek seçenek: x = 1 · ... değil, birinin 1 olma zorunluluğu var → kurgu farklı. Yeniden düşün: x asal ve 19'un böleni. 19'un asal böleni yalnız kendisi. Demek ki x = 19?
4. Ama o zaman y + z = 1 olmalı → imkansız.
5. Geri adım: x = 1 değil de, belki (y + z) = 19, x = 1… Yine x asal olamaz.
6. Tek makul yorum: x · (y + z) = 19 denkleminde sol taraf 19 = 1 · 19 olduğundan ve 1 asal değilken hiçbir kombinasyon uymuyor.
7. Doğru ÖSYM kalıbı şu şekildedir: y + z = 19, y, z asal ve y − z = 1 gibi ek koşul. Çözümü bir sonraki örnekte verelim.

Çözümlü Örnek 3 — Gerçek Kalıp: Aralarındaki Fark 1 Olan Asallar

x, y, z asal sayılar, x > y, x − y = 1 ve y + z = 19 olsun. 3x + 2y + z kaçtır?

1. Aralarındaki farkı 1 olan tek asal çifti: (3, 2). Büyük olan x, küçük olan y → x = 3, y = 2.
2. y + z = 19 → 2 + z = 19 → z = 17. 17 asal, doğrulandı.
3. 3x + 2y + z = 3·3 + 2·2 + 17 = 9 + 4 + 17 = 30.

Çözümlü Örnek 4 — "a + 1 ve b − 2 Asal"

a, b pozitif tam sayılar, (a + 1) · (b − 2) = 13 olsun. a + b kaçtır?

1. 13 asal; iki pozitif tam sayı çarpımı ise çarpanlar 1 ve 13.
2. a + 1 ≥ 2 (çünkü a ≥ 1) → 1 olamaz. Demek ki a + 1 = 13, b − 2 = 1.
3. a = 12, b = 3.
4. a + b = 12 + 3 = 15.
5. Doğrulama: (12+1)·(3−2) = 13·1 = 13 ✓

ÖSYM sık sık şu kurguyu kullanır: sol tarafta iki denklem, sağ tarafta iki ayrı sayı; yapılan işlemlerle bir bilinmeyen gider, denklem sadeleşir ve asallık devreye girer.

Klasik Kalıp

x, y, z asal sayılar.

• x · (y − z) = 20
• z · (y − x) = 33

x + y − z kaçtır?

Uzun Çözüm (Deneme-Yanılma — İşlem Hamalı)

20'nin asal çarpanları: 2 ve 5. Demek ki x, 2 veya 5 olabilir; (y − z) da kalan değer olur. 33'ün asal çarpanları 3 ve 11. z 3 veya 11 olabilir. Kombinasyonlar çoğalır, kafa dağılır.

Kısa Çözüm (Ortak Paranteze Alma)

1. Parantezleri aç: xy − xz = 20 ve zy − zx = 33.
2. İki denklemde de xz terimi var. Üstteki denklemi −1 ile çarpıp alt taraftakiyle topla:
   • −(xy − xz) = −20 → −xy + xz = −20
   • Topla: (−xy + xz) + (zy − zx) = −20 + 33
   • Sadeleştir: −xy + zy = 13 → y · (z − x) = 13
3. 13 asal; y ve (z − x) asal/tam sayılar. y asal olduğundan y = 13, (z − x) = 1.
4. z − x = 1 ve ikisi asal → tek çözüm (z, x) = (3, 2).
5. Doğrulama:
   • x·(y − z) = 2·(13 − 3) = 2·10 = 20 ✓
   • z·(y − x) = 3·(13 − 2) = 3·11 = 33 ✓
6. x + y − z = 2 + 13 − 3 = 12.

Çözümlü Örnek 2 — Sadece Tek Denklem

x, y, z asal sayılar. x · (y − z) = 35 ve y − z = 5 olduğuna göre x + y + z kaçtır?

1. y − z = 5 doğrudan verilmiş. x · 5 = 35 → x = 7.
2. 35 = 5 · 7; hem 5 hem 7 asal ✓.
3. y − z = 5 ve y, z asal. Çözümler: (y, z) = (7, 2). Başka? Eğer z = 3, y = 8 olur; 8 asal değil. z = 5, y = 10; değil. Tek çözüm: (7, 2).
4. Ancak x = 7 ve y = 7 olursa aynı sayılar, koşul buna izin veriyorsa sorun yok (genelde "birbirinden farklı" denir). "Farklı" koşulu yoksa devam edelim.
5. x + y + z = 7 + 7 + 2 = 16.

Çözümlü Örnek 3 — İki Kare Farkı ile Asallık

a, b pozitif tam sayılar, a² − b² = 103 ve 103 asal. (a + b) + (a − b)'nin alabileceği değer kaçtır?

1. Önce 103 asal mı doğrula. √103 < √121 = 11. 11'e kadarki asallar: 2, 3, 5, 7, 11.
   • 103 tek → 2 bölmez. 1+0+3 = 4 → 3 bölmez. Son basamak 3 → 5 bölmez.
   • 103 ÷ 7: 7·14 = 98; kalan 5 → bölmez. 103 ÷ 11: 11·9 = 99; kalan 4 → bölmez.
   • 103 asaldır.
2. a² − b² = (a + b)(a − b) = 103. 103 asal olduğu için çarpanlar 1 ve 103.
3. a + b > a − b (çünkü b pozitif). Demek ki a − b = 1, a + b = 103.
4. Topla: 2a = 104 → a = 52. b = 51.
5. Doğrulama: 52² − 51² = (52−51)(52+51) = 1 · 103 = 103 ✓
6. (a + b) + (a − b) = 103 + 1 = 104.

Aralarında asal kavramı, asal sayı kavramıyla karıştırılmamalıdır. İki kavram birbirinden farklıdır: asal sayı bir sayının kendi özelliğidir; aralarında asallık ise iki (veya daha fazla) sayının ilişkisidir.

Temel Kurallar Tablosu

Kural	Örnek	Açıklama
İki farklı asal daima aralarında asaldır.	5 ile 11	5'in bölenleri {1, 5}; 11'in bölenleri {1, 11}. Ortak bölen yalnız 1.
1, her pozitif tam sayıyla aralarında asaldır.	1 ile 1000	1'in tek pozitif böleni 1; her sayıyla ortak bölen yalnız 1 olur.
Ardışık iki tam sayı aralarında asaldır.	7 ve 8	İkisini bölen ortak sayı 1'den büyük olamaz (fark 1 olduğundan).
Ardışık iki tek tam sayı da aralarında asaldır.	9 ve 11	İki tek sayının ortak çarpanı olsa o çarpan farklarını da böler; fark 2, demek ki ortak çarpan 1 veya 2. Ama her ikisi tek → 2 olamaz.
Ardışık iki çift sayı aralarında asal değildir.	8 ve 10	Her ikisi 2'ye bölünür; 2 ortak bölen.
Her iki sayı da asal olmak zorunda değil.	21 ve 44	21 = 3·7, 44 = 4·11. Ortak asal çarpan yok → aralarında asal.

Doğrulama: 21 ile 44

1. 21'in asal çarpanları: 3 ve 7.
2. 44'ün asal çarpanları: 2 ve 11 (44 = 2² · 11).
3. Kesişim (ortak asal çarpan): yok.
4. EBOB(21, 44) = 1 → aralarında asal ✓

Çözümlü Örnek 1 — Aralarında Asal Rakam Sayısı

45 ile aralarında asal kaç tane rakam vardır?

1. 45 = 9 · 5 = 3² · 5. Asal çarpanları: 3 ve 5.
2. Rakamlar 0-9. 0 ile aralarında asallık tanımlı değil (standart soruda geçerli rakamlar 1-9 alınır).
3. 3'ün katı olanları (3, 6, 9) ve 5'in katı olanı (5) ele.
4. Geriye kalan rakamlar: 1, 2, 4, 7, 8.
5. Doğrulama: EBOB(45, 1) = 1 ✓; EBOB(45, 2) = 1 ✓; EBOB(45, 4) = 1 ✓; EBOB(45, 7) = 1 ✓; EBOB(45, 8) = 1 ✓.
6. Sonuç: 5 tane.

Çözümlü Örnek 2 — 24 ile Aralarında Asal Olan 1-12 Arası Sayılar

1. 24 = 2³ · 3. Asal çarpanları: 2 ve 3.
2. 1-12 aralığında 2 veya 3'ün katı olanları ele:
   • 2'nin katları: 2, 4, 6, 8, 10, 12 → ele.
   • 3'ün katları (henüz elenmemiş): 3, 9 → ele.
3. Kalan: 1, 5, 7, 11.
4. Sonuç: 4 sayı; EBOB(24, 1) = EBOB(24, 5) = EBOB(24, 7) = EBOB(24, 11) = 1 ✓

TYT'de aralarında asallıkla ilgili soruların büyük çoğunluğu şu kalıpta gelir: sol tarafta bir rasyonel (kesir) eşitliği, sağ tarafta iki sayı. İlk iş sağ tarafı en küçük hale sadeleştirmek; ikinci iş ise sorunun sana hangi değişkenleri aralarında asal verdiğini dikkatle okumak. Bu iki iş, çözüm rotanı belirler.

İki Farklı Rota

Soruda "a + 2 ve 2b − 3 aralarında asal" denirse rota A; "a ve b aralarında asal" denirse rota B. Aralarındaki fark:

• Rota A: Sadeleştirilmiş kesir çapraz çarpımsız okunabilir. Pay payla, payda paydayla eşleşir.
• Rota B: Çapraz çarpım yapılır (içler dışlar), sonra a'lılar bir tarafa b'liler öbür tarafa toplanır; kim hangi sayının katı olmalı mantığı kullanılır.

Rota A — Temel Bileşenler Aralarında Asal

a + 2 ile 2b − 3 aralarında asal sayılardır ve (a + 2) / (2b − 3) = 48/60. a · b kaçtır?

1. Sağ tarafı sadeleştir: 48/60. EBOB(48, 60) = 12. 48 ÷ 12 = 4; 60 ÷ 12 = 5. Sadeleşmiş kesir: 4/5.
2. (a + 2) / (2b − 3) = 4/5. a + 2 ve 2b − 3 aralarında asal olduğu için bu kesir zaten en sade halinde.
3. Pay paya, payda paydaya eşitle: a + 2 = 4 → a = 2. 2b − 3 = 5 → b = 4.
4. Doğrulama: (2 + 2)/(2·4 − 3) = 4/5 ✓
5. a · b = 2 · 4 = 8.

Rota B — Temel Değişkenler Aralarında Asal

x, y aralarında asal pozitif tam sayılar ve (2x − y) / (3x + 2y) = 2/7. x + y kaçtır?

1. Sağ taraf 2/7 zaten sadeleşmiş (EBOB(2,7) = 1).
2. Çapraz çarpım (içler dışlar): 7·(2x − y) = 2·(3x + 2y) → 14x − 7y = 6x + 4y.
3. Değişkenleri topla: 14x − 6x = 7y + 4y → 8x = 11y.
4. x ve y aralarında asal. 8x = 11y eşitliğinde x, 11'in katı olmak zorunda (çünkü sol tarafa 11 çarpanı girmesi gerekir, 8'in 11 çarpanı yok). Ama x tam sayı; en küçük değer x = 11. Simetrik olarak y = 8.
5. Doğrulama: 8·11 = 11·8 = 88 ✓. EBOB(11, 8) = 1 ✓.
6. Orijinal eşitlik: (2·11 − 8) / (3·11 + 2·8) = (22 − 8) / (33 + 16) = 14/49 = 2/7 ✓
7. x + y = 11 + 8 = 19.

Rota B — İkinci Örnek

a, b aralarında asal pozitif tam sayılar. 3a / 5b = 4/15. a + b kaçtır?

1. Sağ tarafı kontrol et: 4/15 sadeleşmiş (EBOB(4, 15) = 1).
2. Çapraz çarpım: 15·(3a) = 4·(5b) → 45a = 20b.
3. Her tarafı 5'e böl: 9a = 4b.
4. a, b aralarında asal. a, 4'ün katı olmalı; b, 9'un katı olmalı. En küçük: a = 4, b = 9.
5. Doğrulama: 9·4 = 4·9 = 36 ✓. EBOB(4, 9) = 1 ✓. Orijinal: (3·4)/(5·9) = 12/45 = 4/15 ✓
6. a + b = 4 + 9 = 13.

Bir sayıyı iki aralarında asal çarpanın çarpımı olarak yazmak TYT'de yeni nesil sorularda sıkça karşına çıkar. Yöntem, sayıyı asal çarpanlarına ayırıp her asalı ya tümüyle bir gruba ya da tümüyle diğerine vermeye dayanır.

Kural: Bir Asalı Bölme, Bütün Ver

Aralarında asal olmaları için ortak asal çarpan olmaması gerekir. Bir asalın bazı kuvvetleri bir grupta, bazıları diğerinde olursa ortak asal çarpan doğar → aralarında asal olmazlar.

Çözümlü Örnek — 90'ı İki Aralarında Asal Çarpana Ayırma

1. 90'ı asal çarpanlarına ayır: 90 = 2 · 45 = 2 · 9 · 5 = 2 · 3² · 5.
2. Üç asal kuvveti var: 2, 3², 5.
3. Her asal bütün olarak ya birinci ya ikinci çarpana gidecek. İki çarpan için her asalın 2 seçeneği → 2³ = 8 dağılım, simetri yarı → 4 farklı {grup1, grup2} ikilisi.
4. Olası ayrışımlar:
   • 1 · 90 (hepsi ikinci grupta)
   • 2 · 45 (2 birinci, 9·5 = 45 ikinci)
   • 9 · 10 (9 birinci, 2·5 = 10 ikinci)
   • 5 · 18 (5 birinci, 2·9 = 18 ikinci)
5. Doğrulamalar:
   • 1·90 = 90 ✓; EBOB(1, 90) = 1 ✓
   • 2·45 = 90 ✓; 2'nin asalı {2}, 45 = 9·5'in asalı {3, 5}; kesişim yok ✓
   • 9·10 = 90 ✓; 9 = 3²'nin asalı {3}, 10 = 2·5'in asalı {2, 5}; kesişim yok ✓
   • 5·18 = 90 ✓; 5'in asalı {5}, 18 = 2·3²'nin asalı {2, 3}; kesişim yok ✓

Soruya Bağlama — TYT Kalıbı

x, y aralarında asal tam sayılar. (x − 3) · (y + 6) = 90. x + y'nin en küçük değeri kaçtır?

1. 90'ın aralarında asal pozitif çarpanlama olasılıkları: {1, 90}, {2, 45}, {5, 18}, {9, 10}.
2. x + y'yi en küçük yapmak için x − 3 ve y + 6'nın toplamını küçültmek gerekir.
3. Toplamları en küçük olan ikili: {9, 10} → 9 + 10 = 19.
4. Dağılımı iki şekilde denemek gerek:
   • x − 3 = 9, y + 6 = 10 → x = 12, y = 4. Toplam: 16.
   • x − 3 = 10, y + 6 = 9 → x = 13, y = 3. Toplam: 16.
5. Her iki durumda da x + y = 16.
6. Doğrulama (birinci): (12 − 3)·(4 + 6) = 9·10 = 90 ✓. EBOB(9, 10) = 1 ✓.

Genel Strateji — Ara Sonuç Çıkarma

Bazen sorunun ilk satırında "(x − 3)(y + 6) = ?" direkt verilmez; ek bir denklem üzerinden hesaplanır. Örnek: (x − 3)(y + 6) + 18 = 108 → sol tarafı 90'a düşür. Sonra yukarıdaki paylaştırma uygulanır.

ÖSYM son yıllarda tanımlama soruları çok seviyor: yeni bir kavram tanımlanıyor, bir-iki örnek veriliyor, sonra soru sana bu kavramı özgür biçimde uygulatıyor. Asal sayılarda iki popüler tanım var: yarı asal ve ikiz asal.

Yarı Asal Sayı

20 ile 30 Arasındaki Yarı Asal Sayılar

1. 21 = 3 · 7 ✓ (iki farklı asal)
2. 22 = 2 · 11 ✓
3. 23 = asal (tek bir asal, yarı asal değil)
4. 24 = 2³ · 3 = 2·2·2·3 (dört asal çarpan) — yarı asal değil
5. 25 = 5² = 5 · 5 ✓ (iki asalın çarpımı, aynı asal da olsa)
6. 26 = 2 · 13 ✓
7. 27 = 3³ (üç asal çarpan) — yarı asal değil
8. 28 = 2² · 7 = 2·2·7 (üç asal çarpan) — yarı asal değil
9. 29 = asal, değil

Sonuç: 20-30 arası yarı asal sayılar: 21, 22, 25, 26 → 4 tane.

Yarı Asal Sayının Pozitif Tam Bölen Sayısı

Bir yarı asal sayı p · q (p ≠ q asal) ise pozitif tam bölenleri: 1, p, q, p · q → 4 tane.

Eğer p = q (yani sayı p²) ise pozitif tam bölenleri: 1, p, p² → 3 tane.

Yarı Asalın Tüm Tam Bölen Sayısı (Negatifler Dahil)

Pozitif bölen sayısı × 2 = tüm tam bölen sayısı. Örn: 15 = 3·5'in pozitif bölenleri {1, 3, 5, 15}; tam bölenleri {±1, ±3, ±5, ±15} → 8 tane. TYT'de "sayının tam bölen sayısı" sorulduğunda ± gelir.

İkiz Asal Sayılar

100'e Kadar İkiz Asal Çiftleri

Çift	Toplam	Not
(3, 5)	8	En küçük
(5, 7)	12	5 hem (3,5)'te hem (5,7)'de
(11, 13)	24
(17, 19)	36
(29, 31)	60
(41, 43)	84
(59, 61)	120
(71, 73)	144

Çözümlü Örnek — İkiz Asal Toplamı

a, b ikiz asal sayılar ve |a − b| = 2. a + b aşağıdakilerden hangisi olabilir? Seçenekler: 82, 104, 114, 124, 144.

1. Toplam 2a + 2 (küçük olana a denirse): yani toplamın 2'den 2 eksiği çift bir sayı ve ikisi asal.
2. 82 − 2 = 80 → a = 40 (asal değil, çift ve 2'den büyük) ✗
3. 104 − 2 = 102 → a = 51 (51 = 3·17, asal değil) ✗
4. 114 − 2 = 112 → a = 56 (çift, asal değil) ✗
5. 124 − 2 = 122 → a = 61 (asal ✓), b = 63 (63 = 9·7, asal değil) ✗
6. 144 − 2 = 142 → a = 71 (asal ✓), b = 73 (asal ✓). Doğrulama: 71 asal mı? √71 < 9; 2, 3, 5, 7 ile test: 71/7 = 10 kalan 1 → bölmez. 71 asal ✓. 73 asal mı? 73/7 = 10 kalan 3 → bölmez. 73 asal ✓.
7. Sonuç: 144.

Bir sayının asal bölenleri, o sayıyı tam bölen asal sayılardır. TYT'de sıkça "N sayısının asal böleni sayısı k'dir" gibi verilerle bilinmeyenleri daraltan sorular çıkar.

Asal Çarpanlara Ayırma

Bir sayı N = p₁^a · p₂^b · p₃^c şeklinde yazıldığında:

• Asal bölen sayısı = farklı asal çarpan sayısı. Yani 3 tane: p₁, p₂, p₃.
• Pozitif tam bölen sayısı = (a+1)(b+1)(c+1).

Örnek — 120

1. 120'yi asal çarpanlara ayır: 120 = 12·10 = (4·3)·(2·5) = 2²·3·2·5 = 2³·3·5.
2. Asal bölenler: {2, 3, 5} → 3 tane.
3. Pozitif tam bölen sayısı: (3+1)(1+1)(1+1) = 4·2·2 = 16.

Çözümlü Örnek — ÖSYM Çıkmış Tipi

N doğal sayısı iki asal sayının çarpımına eşittir. 70 · N sayısının asal bölen sayısı 5, N'in asal bölen sayısı 3 ise N kaçtır?

1. 70'i asal çarpanlarına ayır: 70 = 7·10 = 7·2·5 = 2·5·7. Asal bölenleri {2, 5, 7} — 3 tane.
2. N'nin asal bölen sayısı 3. N iki asalın çarpımı olduğu için N = p · q (ya farklı iki asal, ya aynı asalın karesi).
3. Eğer N = p² olsaydı asal bölen sayısı 1'di; ama 3 dendi → N iki farklı asalın çarpımı olmalı. Ama bu da 2 asal bölen yapar; 3 değil.
4. Yeniden bak: Verilen "N'in asal bölen sayısı 3" ifadesi, 70·N'nin olabilirdi; doğru okunuşu şu: 70·N'nin asal bölen sayısı 5, diğer veri yok.
5. Doğru kurgu: 70 = 2·5·7 (3 asal bölen). Çarpım 70·N'nin asal bölen sayısı 5 olması için N'in en az 2 tane yeni (70'te olmayan) asal böleni olmalı.
6. N = p · q (iki asal çarpım). p, q {2, 5, 7}'nin dışında mı? İkisi de dışındaysa yeni asal bölen sayısı 2 → toplam 5 ✓. Yalnız biri dışındaysa yeni 1 → toplam 4 ✗.
7. En küçük yeni iki asal: 3 ve 11. (3'ü seçtik çünkü {2,5,7} dışı en küçük asallar 3, 11, 13...)
8. N = 3·11 = 33? Ama 3 küçük bir asal. 3 neden 70'e girmiyor? Çünkü 70 = 2·5·7, 3 yok. ✓
9. Doğrulama: 70·33 = 2310. Asal çarpanlar: 2·5·7·3·11. 5 farklı asal ✓
10. Ama soruda bir seçenek daha var: N = 5·7 = 35 olsaydı 70·35 = 2450 = 2·5²·7²; asal bölenler {2, 5, 7} → yalnız 3 tane, 5 değil ✗
11. Doğru cevap N = 35 olur mu? 35'in asal bölenleri {5, 7} yalnız iki tane. 70·35 = 2·5²·7² = 2450 sadece 3 asal. Olmadı.
12. Kurguyu tekrar oku: "N'in asal bölenleri 3 tane" yerine "N iki asalın çarpımı" ve "70·N'nin asal bölen sayısı 5 değil, 70 ile aynı sayıda"... Transcript'te tam kurgu: 70·N'nin asal böleni 5, N'in asal böleni 3. Bu tutarlı değil çünkü N iki asal çarpımı olup 3 asal bölene sahip olamaz.
13. Transcript'e sadık kalarak: doğru kurgu "70·N'nin asal bölenleri 3 tane, N'nin asal bölen sayısı 5 değil, sırasıyla 5 ve 3". Yani 70·N'nin 5 asal böleni, N'nin kendi başına 3 asal böleni olabilir (N'in tanımı iki asal çarpımı varsayımıyla çelişir; ezberleme). Sonuç örnek değer: N = 5·7 yerine N iki asalın çarpımı ve 70·N = 5 asal bölen.

Daha Temiz Çözümlü Örnek — 7·N'nin Asal Bölen Sayısı

N doğal sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5. 7·N'nin asal bölen sayısı kaçtır?

1. N'in asal çarpanları: {2, 3, 5} — 3 tane.
2. 7 asal ve N'de yok. 7·N'nin asal çarpanları: {2, 3, 5, 7} — 4 tane.
3. Doğrulama: örn. N = 30 = 2·3·5. 7·30 = 210 = 2·3·5·7 → 4 asal bölen ✓

Sonu Sıfırlı Sayıları Çarpan Ayrıştırma Pratiği

Sonu sıfırlı bir sayıyı asal çarpanlarına ayırırken küçük adımlardan başla:

• 70 = 7 · 10 = 7 · 2 · 5 = 2 · 5 · 7
• 120 = 12 · 10 = (4·3) · (2·5) = 2³ · 3 · 5
• 900 = 9 · 100 = 3² · (4·25) = 3² · 2² · 5²

Büyük sayıyı önce küçük ikiliye parçala, sonra her küçük parçayı ayrıştır; hem hızlı hem de hatasız.

Bir asal sayılar sorusunda seçenek çok ve deneme yanılma işlem hamalı olacak gibi görünüyorsa, tek-çift analizi senin kurtarıcındır. Mantık basit: asal sayılardan yalnız 2 çifttir; diğerleri hepsi tek.

Tek-Çift Kombinasyonları

Durum	2 Kaç Kez Var?	Üç Asal Toplamı
Hepsi tek (2 yok)	0	tek + tek + tek = tek
Biri 2 (farklı ise)	1	2 + tek + tek = çift
Birbirinden farklı 3 asal — "2 en küçük olmak zorunda"	1 (2, diğer ikisi tek)	daima çift

Çözümlü Örnek 1 — Üç Farklı Asalın Toplamı 48

x, y, z birbirinden farklı asal sayılar, x < y < z ve x + y + z = 48. y'nin en büyük değeri kaçtır?

1. 48 çift. Üç tek asalın toplamı tek olurdu → içlerinden biri 2 olmak zorunda.
2. x en küçük → x = 2.
3. y + z = 46. y < z ve her ikisi asal.
4. y'yi en büyük yapmak için y'yi z'ye yaklaştır ama daima y < z olsun.
5. Orta nokta 23. y'yi 23'ten aşağı denemeye başla:
   • y = 23, z = 23 → eşitlik, kural ihlal.
   • y = 21 (asal değil, 3·7) ✗
   • y = 19, z = 27 (27 = 3³, asal değil) ✗
   • y = 17, z = 29 (asal ✓). Doğrulama: 2+17+29 = 48 ✓
6. Bekle: y'yi daha büyük yapabilmek için 17 ile 23 arasındaki asalları kontrol et. 19 denedik: z = 27 asal değil. 23 denedik: z = 23 eşit, izin yok.
7. Sonuç: y'nin en büyük değeri 17, z = 29.

Çözümlü Örnek 2 — İki Asalın Çarpımı Çift İse

p · q iki asal sayının çarpımı çift sayıdır. p, q hakkında ne söylenebilir?

1. İki tek sayının çarpımı tektir.
2. Çarpım çift → en az biri çift. Asal sayılarda tek çift asal 2.
3. Demek ki p veya q (ya da her ikisi eşitse ikisi birden) 2 olmak zorunda.

Çözümlü Örnek 3 — Rakamları Toplama Tuzağı

A iki basamaklı doğal sayı. A'nın rakamları toplamı A + 3'ün rakamları toplamı asal sayı ise A'nın birler basamağı kaç farklı değer alabilir?

1. A'nın birler basamağına a dersek, a + 3'ün asal olması isteniyor (diyelim 10'dan küçük kalsın).
2. 3'ten büyük asal sayılar hepsi tektir. Tek + 3 = çift değil, çift + 3 = tek.
3. a + 3 tek asal olması için a çift olmalı.
4. Çift rakamlar: 0, 2, 4, 6, 8. a = 0: 0+3 = 3 asal ✓ (ama burada a ile toplamı ayrı yorumlu, dikkat). Transcript'e göre a'nın kendisini değil A'nın birler basamağını inceliyoruz.
5. Transcript kurgusu: A = "(onlar)(birler)" iki basamaklı. "A'nın rakamlar toplamı asal" koşulu veriliyor; a çift olmak zorunda çıkıyor.
6. Onlar basamağı denendiğinde a çift olsun: 2 → toplam 5 (asal ✓), 4 → 7 (asal ✓), 6 → 9 (asal değil ✗), 8 → 11 (asal ✓). 0 ise iki basamaklı olmaz.
7. Sonuç: {2, 4, 8} → 3 farklı değer. Toplam: 14 (orijinal transcript örnekleri).

Çözümlü Örnek 4 — Tek Bir Para Birimi

Tuna Cumhuriyeti'nde para birimi 20'den küçük asal sayılardır (yani 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 tunalık birimler var). 41 tunalık bir ödeme en az kaç banknotla yapılır?

1. En az banknot için en büyük birimleri kullan.
2. 19 tunalığı kaç kez kullanabilirim? 19·2 = 38, kalır 3.
3. 3 birimi kalan → 1 adet 3 tunalık yeter.
4. Toplam: 2 adet (19) + 1 adet (3) = 3 banknot.
5. Doğrulama: 19 + 19 + 3 = 41 ✓

ÖSYM son 3 yılda TYT'de asal sayılarda özgün tanımlar yarattı: "asalsı sayı", "mülk asalı", "asal görünümlü sayı" gibi. Bu tür sorularda kural sabit: önce tanımı tam okunacak, sonra malzeme dökülecek, ardından soruya uygun elemeler yapılacak.

1) Asalsı Sayı (2023 ÖSYM TYT)

A, B, C 0'dan farklı ve birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, AB ve BC sayıları asal ise üç basamaklı ABC sayısı asalsı olarak isimlendirilir.

Çözümlü: En Küçük Asalsı Sayı

1. En küçük sayı için yüzler basamağını en küçük al: A = 1.
2. AB = "1_" iki basamaklı asal olacak. Asal 10'lu sayılar: 11 (rakam tekrarı), 13, 17, 19.
3. En küçük için AB = 13 → B = 3.
4. BC = "3_" iki basamaklı asal olacak. 30'lu asallar: 31 (rakam tekrarı 1 ile A), 37.
5. C = 7 → BC = 37 asal ✓, rakamlar farklı (1, 3, 7) ✓.
6. En küçük asalsı sayı: 137.
7. Doğrulama: 13 asal ✓, 37 asal ✓, rakamlar {1, 3, 7} birbirinden farklı ✓.

Çözümlü: En Büyük Asalsı Sayı

1. En büyük için A = 9.
2. AB = "9_" asal. 90'lı asallar: 97.
3. B = 7 → AB = 97 asal ✓.
4. BC = "7_" asal olacak. 70'li asallar: 71 (kullanılabilir), 73, 79 (rakam tekrarı 9 ile A).
5. En büyük için C en büyük olmalı: 79 → C = 9 ama A ile tekrar. 73 → C = 3 kabul.
6. Alternatif 71 → C = 1; 73 büyüktür → C = 3.
7. En büyük asalsı: 973.
8. Doğrulama: 97 asal ✓, 73 asal ✓, rakamlar {9, 7, 3} farklı ✓.

Toplamı

137 + 973 = 1110.

2) Mülk Asalı (TYT Yeni Nesil)

AB iki basamaklı sayı olmak üzere A + B asal sayı ise AB sayısına "mülk asalı" denir. Örneğin 21 → 2+1 = 3 asal ✓.

Çözümlü: A'nın Alabileceği Değerler Toplamı (B = 3)

1. AB = A3 iki basamaklı, A ∈ {1,...,9}.
2. A + 3 asal olsun.
3. 3'ten büyük asal hepsi tek → A + 3 tek → A çift.
4. Çift rakamlar (iki basamaklı olması için A ≠ 0): 2, 4, 6, 8.
5. Dene: A = 2: 2+3 = 5 asal ✓; A = 4: 4+3 = 7 asal ✓; A = 6: 6+3 = 9 asal değil ✗; A = 8: 8+3 = 11 asal ✓.
6. Geçerli A: {2, 4, 8}.
7. Toplam: 2 + 4 + 8 = 14.

3) Asal Görünümlü Sayı

Kendisi asal olmayıp tüm basamaklarındaki rakamları asal olan sayılara asal görünümlü sayı denir.

Çözümlü: İki Basamaklı En Büyük Asal Görünümlü Sayı

1. Rakam asalları: {2, 3, 5, 7}.
2. İki basamaklı en büyük için onlar ve birler basamağını en büyük rakam asallarıyla doldur.
3. Onlar 7, birler 7 → 77. Asal mı? 77 = 7·11, asal değil ✓ (istenen zaten "kendisi asal olmasın").
4. Rakamlar asal {7, 7} ✓.
5. Sonuç: 77.

Çözümlü: Üç Basamaklı, Rakamları Farklı En Küçük Asal Görünümlü Sayı

1. Rakam asalları {2, 3, 5, 7}'den 3 farklısı seçilecek.
2. En küçük için yüzler rakamı en küçük asal: 2.
3. Sonra onlar en küçük kalan: 3.
4. Birler en küçük kalan: 5.
5. Aday: 235. 235 = 5·47, asal değil ✓.
6. Doğrulama: Rakamlar {2, 3, 5} hepsi asal ✓, sayı asal değil ✓.

Toplamı

77 + 235 = 312.

4) Bir Sayıyı Kesinlikle Bölen Asal Bulma

P ve R birbirinden farklı asallar, 180 · R = P · K olsun. P kesinlikle aşağıdakilerden hangisini böler?

1. 180'i asal çarpanlarına ayır: 180 = 18·10 = (2·3²) · (2·5) = 2² · 3² · 5.
2. 180·R'nin asal çarpanları {2, 3, 5, R}.
3. P, R'den farklı; denklem 180·R = P·K olduğundan P sol tarafı bölmek zorunda. R'yi bölmez (farklı). O halde 180'i böler.
4. 180 = 2²·3²·5 → P asal ve 180'i böler → P ∈ {2, 3, 5}.
5. P'nin kesinlikle böldüğü sayı: 2, 3 ve 5'in ortak katı olan sayı → EKOK(2, 3, 5) = 30.
6. Cevap: P her koşulda 30'u böler.
7. Doğrulama: P = 2 → 30/2 = 15 ✓; P = 3 → 30/3 = 10 ✓; P = 5 → 30/5 = 6 ✓.

TYT'de asal sayıları gerçek hayatla bağlayan modelleme soruları çıkıyor: boş bidonlar, paralar, cetveller gibi. Ortak çözüm prensibi şudur: toplamı/bileşkeyi al, sonra eleme yap.

Örnek Kurgu — Boş Bidon

Litreleri sırasıyla 8, 12, 13, 17, 19 olan 5 bidon var. 4 tanesi zeytinyağı ile doldurulmuş, 1'i boş. Kullanılan toplam yağ miktarı 1'den büyük tam sayı böleni yalnız kendisi olan bir sayıysa (yani asal), boş kalan bidon hangisidir?

Adım 1: Tüm Bidonların Toplamı

1. 8 + 12 = 20
2. 13 + 17 = 30
3. 20 + 30 = 50
4. 50 + 19 = 69.

Adım 2: Her Bidon Tek Tek Çıkarılırsa Kalan Asal mı?

Boş Bidon	Toplam − Bidon	Asal mı?
8 lt	69 − 8 = 61	Asal ✓ (61 asal)
12 lt	69 − 12 = 57	Asal değil (57 = 3·19)
13 lt	69 − 13 = 56	Asal değil (çift)
17 lt	69 − 17 = 52	Asal değil (çift)
19 lt	69 − 19 = 50	Asal değil (çift)

Sonuç

Boş kalan bidon: 8 litrelik. Kullanılan toplam yağ 61 litre (asal).

Alternatif Problem — Para Birimleri

Bir ülkede 20'den küçük asal sayı birimlerinde paralar var (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19). 112 tutarında ödeme en az kaç para ile yapılır?

1. En büyük birimi (19) kullan. 112 ÷ 19: 19·5 = 95, kalır 17.
2. 17 zaten bir birim → 1 adet 17.
3. Toplam: 5 adet (19) + 1 adet (17) = 6 adet para.
4. Doğrulama: 5·19 + 17 = 95 + 17 = 112 ✓

Alternatif — 32 Tutarında Ödeme

1. En büyük (19): 32 − 19 = 13. 13 zaten birim → 1 adet.
2. Toplam: 1 + 1 = 2 adet.
3. Doğrulama: 19 + 13 = 32 ✓

Alternatif — 41 Tutarında Ödeme

1. En büyük (19): 41 ÷ 19: 19·2 = 38, kalır 3. 3 zaten birim → 1 adet.
2. Toplam: 2 + 1 = 3 adet.
3. Doğrulama: 19 + 19 + 3 = 41 ✓

Asal sayılar konusu, hem TYT hem AYT hem KPSS Matematik'te ortak olarak sınanan temel kavramlar başlığı altındadır. Öğrencilerin en sık karıştırdığı noktaları burada bir araya getirdim.

Karıştırılan Kavramlar Tablosu

Kavram	Tanım	Örnek
Asal sayı	1 ve kendisinden başka pozitif böleni yok.	2, 3, 5, 7, 11...
Aralarında asal	İki sayının EBOB'u 1; ortak asal çarpan yok.	9 ve 10; 21 ve 44
Asal çarpan	Bir sayının bölenleri arasındaki asallar.	60 = 2²·3·5 → asal çarpanlar {2, 3, 5}
Yarı asal	İki asal sayının çarpımı.	15 = 3·5, 25 = 5·5, 49 = 7·7
İkiz asal	Fark = 2 olan asal çifti.	(3,5), (5,7), (11,13), (17,19)
Asal görünümlü	Kendi asal değil ama tüm basamakları asal rakam.	22, 25, 27, 32, 35, 52, 55...

Asal Sayılarda Tuzak Listesi — Hatırla!

1. 1 asal değil. "1 ve kendisi" ayrı iki sayı olmak zorunda.
2. 2 tek çift asal. Çift sayılar arasında asal olan yalnız 2'dir.
3. Aralarındaki fark 1 olan tek asal çifti: (2, 3). Başka yoktur.
4. 51 = 3·17, 91 = 7·13, 1001 = 7·11·13. Asal gibi görünür ama değildir.
5. Asal sayının pozitif böleni 2'dir (kendisi ve 1). Tüm bölen sayısı (± dahil) 4'tür.
6. 2 asalın çarpımı bir asal olamaz. (p·q hiç bir zaman asal değildir, çünkü p ve q ayrı çarpanlar olarak kalır).
7. İki farklı asalın çarpımı aralarında asal değildir asal çarpanları farklı olsa bile; kastedilen sonuç bir yarı asal olur.
8. Asal sayıların sonsuz tane olduğu ispatlanmıştır (Öklid, M.Ö. 300). Ezberlemek mümkün değil; test yöntemini öğren.

Hızlı Kontrol Listesi — Sınavda Zaman Kazan

1. Sayı çift mi? 2'den büyükse asal değil → ele.
2. Rakam toplamı 3'ün katı mı? 3'ten büyükse asal değil → ele.
3. Son basamak 0 veya 5 mi? 5'ten büyükse asal değil → ele.
4. 7'ye bölünmeyi dene (100'den küçük sayılar için özellikle 91, 49, 77, 63 için).
5. 11, 13 ile bölünmeyi dene (200'den büyük sayılar için).
6. Hepsi başarısızsa sayı muhtemelen asaldır.

Son Çözümlü Örnek — Kapsam İçi Özet

p, q aralarındaki farkı 2 olan asal sayılar. p < q ve p + q = 24. p · q kaçtır?

1. İkiz asal ve toplam 24. Toplamı 24 olan iki asal için ortalamalar 12 civarı.
2. (11, 13): 11 + 13 = 24 ✓. Aralarındaki fark 13 − 11 = 2 ✓. İkiz asal ✓.
3. Doğrulama: 11 asal (test: 2 bölmez, 1+1=2 → 3 bölmez, 5 bölmez, √11 < 4 → test biter). 13 asal (1+3 = 4 → 3 bölmez, 5 bölmez, √13 < 4).
4. Çarpım: 11 · 13 = 143. (Aritmetik doğrulama: 11·13 = 11·10 + 11·3 = 110 + 33 = 143 ✓).