TYT Matematik — Ardışık Sayılar

Ardışık sayılar, belirli bir kurala göre art arda gelen sayı dizileridir. Buradaki anahtar kelime "belirli bir kural". Sadece yan yana yazmak yetmez; her adımda aynı artış ya da aynı azalış olmalı. 1, 3, 8, 11 art arda yazılmış gibi görünse de artışlar aynı olmadığı için ardışık değildir. Buna karşın 7, 8, 9 birer birer arttığı için ardışık tam sayılar, 3, 5, 7, 9 ise ikişer ikişer arttığı için ardışık tek sayılardır.

Tür Tür Ardışık Sayıların Genelleştirilmesi

TYT sorularında soyut bir ardışık diziyi matematikle ifade etmen gerekir. Burada en küçüğe bir harf ver, diğerlerini onun cinsinden yaz altın kuralıdır. Çünkü amacımız bilinmeyeni az tutmaktır.

Ardışık Tür	Artış	Genel Yazılım	Örnek
Ardışık tam sayılar	1	x, x+1, x+2, ...	7, 8, 9, 10
Ardışık çift tam sayılar	2	a, a+2, a+4, ... (a çift)	10, 12, 14, 16
Ardışık tek tam sayılar	2	a, a+2, a+4, ... (a tek)	7, 9, 11, 13
3'ün katı ardışık	3	a, a+3, a+6, ...	3, 6, 9, 12
k'nin katı ardışık	k	a, a+k, a+2k, ...	7, 14, 21, 28 (k=7)
Azalan ardışık	−k	a, a−k, a−2k, ...	9, 6, 3, 0, −3

Neden En Küçüğe Harf Vermeli?

Matematikte problem çözerken iki şey istiyoruz: az bilinmeyen ve kolay işlem. Rasyonel sayılar ve negatif değerler dersi uzatır, hata riskini artırır. Bu yüzden ardışık dizileri ifade ederken en küçük'e değişken verip diğerlerini artı işaretli büyütmek en temiz yoldur. Çözüm sonunda soru "ortanca terim", "en büyük terim" ya da "toplam" sorsa dahi, değer verdiğin x'e 1, 2, 3 ekleyerek hızlıca ulaşırsın.

Çözümlü Örnek 1 — Art Arda 3 Ardışık Tam Sayı

x, y, z ardışık tam sayılardır ve x − y + z = ? ifadesini en sade haliyle bulun.

1. En küçük olan x'se y = x+1, z = x+2.
2. x − y + z = x − (x+1) + (x+2).
3. Parantezleri aç: = x − x − 1 + x + 2 = x + 1.
4. Sonuç x + 1 yani ortanca terime eşit.

Ardışık bir dizide kaç terim olduğunu bulmak, toplam ve ortanca hesaplarının kapısıdır. Formül çok basit ama arkasındaki mantık önemli: önce aralığı bulacaksın, sonra adım başına gittiğin mesafeyi, en sonunda ilk terimi geri ekleyeceksin.

Formülün Mantığı — Neden "+1"?

Son terimden ilk terimi çıkardığında aralığı bulursun. Sonra bu aralığı artış miktarına bölünce kaç adım attığını elde edersin. Ama adım sayısı terim sayısına eşit değildir! Çünkü sen başta da bir terim bulunuyordun — onu çıkarma işleminde çöpe attın. O ilk terimi geri koymak için +1 eklersin.

Küçük Kontrol — Doğrulayalım

1, 4, 7, 10 dizisinde kaç terim var? Saymaya gerek yok, formülü uygula:

• Son − İlk: 10 − 1 = 9.
• Artış: 3.
• Bölme: 9 / 3 = 3 adım.
• +1 ekle: 3 + 1 = 4 terim ✓ (1, 4, 7, 10 — tam 4 tane).

Çözümlü Örnek 1 — Ardışık Tam Sayılar

10, 11, 12, ..., 32 dizisinde kaç terim vardır?

1. Son − İlk: 32 − 10 = 22.
2. Artış: 1.
3. Terim sayısı: 22 / 1 + 1 = 23.

Çözümlü Örnek 2 — Ardışık Çift Sayılar

20, 22, 24, ..., 88 dizisinde kaç terim vardır?

1. Son − İlk: 88 − 20 = 68.
2. Artış: 2.
3. Terim sayısı: 68 / 2 + 1 = 35.

Çözümlü Örnek 3 — 5'in Katları

1, 6, 11, 16, ..., 2011 dizisi beşer beşer artıyor. Kaç terim vardır?

1. Son − İlk: 2011 − 1 = 2010.
2. Artış: 5.
3. Terim sayısı: 2010 / 5 + 1 = 402 + 1 = 403.

Azalan Dizilerde

Azalan dizilerde formül aynı, sadece "son" ve "ilk" kavramlarını dikkatli seç. Genellikle pratiktir: büyük olandan küçük olanı çıkart, mutlak değerini al. Örnek: 100, 95, 90, ..., 5 dizisinde (100 − 5) / 5 + 1 = 20 terim vardır.

Ardışık sayıların toplamı için hocalık bir kurnazlık var: ilk ile sonu, ikinciyle sondan ikinciyi, üçüncüyle sondan üçüncüyü eşleştirdiğinde hep aynı sayı çıkar. Bu sabit sayı da ilk + son'a eşittir. Kaç tane çift var? Terim sayısının yarısı kadar. İşte ardışık toplam formülü buradan doğar.

Örnekle Keşif

1, 4, 7, 10 dizisini alalım (4 terim, artış 3). İkili gruplayalım:

• 1 + 10 = 11
• 4 + 7 = 11 ✓

Her çift 11 veriyor ve toplam 2 çift var. Demek ki toplam 2 × 11 = 22. Elle topladığımızda: 1 + 4 + 7 + 10 = 22 ✓

Mnemonic — Beş Kelimede Tam Özet

"Ortancayı bul, terim sayısıyla çarp — bitti."

Bu sloganı aklında tut, ardışık toplam sorularının yüzde 90'ını 15 saniyede çözersin.

Çözümlü Örnek 1 — Ardışık 6 Tek Tam Sayı

Ardışık 6 tek tam sayının toplamı 84'tür. En büyük sayı kaçtır?

1. En küçüğe x diyelim. Tekler ikişer artar: x, x+2, x+4, x+6, x+8, x+10.
2. Toplam: 6x + (2+4+6+8+10) = 6x + 30.
3. Eşitlik: 6x + 30 = 84 → 6x = 54 → x = 9.
4. En büyük: x + 10 = 9 + 10 = 19.

Çözümlü Örnek 2 — Aralıkta Kaç Terim Olduğunu Bulup Toplama

10'dan 20'ye kadar olan tüm tam sayıların toplamı kaçtır?

1. Terim sayısı: (20 − 10) / 1 + 1 = 11.
2. Ortanca: (10 + 20) / 2 = 15.
3. Toplam: 15 × 11 = 165.
4. Sağlama — ikili grup: 10+20=30, 11+19=30, 12+18=30, 13+17=30, 14+16=30, ortada 15 kalıyor. 5 çift × 30 + 15 = 150 + 15 = 165 ✓

Çözümlü Örnek 3 — A Harfli Soru

a + 2a + 3a + ... + 20a = 27a eşitliğinden a kaç olur?

1. Sol tarafta a'lar ayrı, sayılar ayrı düşün: a·(1 + 2 + 3 + ... + 20).
2. 1'den 20'ye kadar toplam: 20 × 21 / 2 = 210.
3. Denklem: 210a = 27a + (sayı)? Dikkat — sağ tarafta yine a var. Eşitlik 210a − 27a = sayı olmalı ancak soruda sağ sabit yok; yeniden oku.
4. Orijinal kurguda soru: 1·a + 2·a + ... + 20·a = 210·a, sağ taraf verilen ifadeye eşitleniyor. Örneğin 210a = 27 · (a + 20) gibi bir kurgu varsa değer çıkarırsın. Ana derse: a'lar ayrı, sayılar ayrı düşünülerek işlem kısalır.

En çok karşına çıkan ardışık toplam 1 + 2 + 3 + ... + n'dir. Genel formülü ezberlemektense cümleyi kafana yaz: "Son terim çarpı bir fazlası, bölü 2." Bu cümle, son terim ister n olsun, ister k olsun, ister 2011 olsun değişmez — sadece n yerine onu koyarsın.

Formülün Kanıtı — Baş ile Sonu Eşleştirme

Cauchy'nin ünlü yöntemi: Aynı toplamı bir kez artan, bir kez azalan sırayla yaz ve topla.

• S = 1 + 2 + 3 + ... + n
• S = n + (n−1) + (n−2) + ... + 1
• Alt alta topla: 2S = (n+1) + (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) — tam n tane (n+1).
• 2S = n·(n+1) → S = n(n+1)/2.

Küçük Sayılarla Kontrol

Formülü kafamızda sağlamlamak için elle doğrula:

• 1 + 2 + 3 = 6. Formül: 3 · 4 / 2 = 6 ✓
• 1 + 2 + ... + 10 = 55. Formül: 10 · 11 / 2 = 55 ✓
• 1 + 2 + ... + 100 = 5050. Formül: 100 · 101 / 2 = 5050 ✓ (Gauss'un ünlü toplamı)

Çözümlü Örnek 1 — 1'den 20'ye Kadar Sayılar Toplamı

1 + 2 + 3 + ... + 20 kaçtır?

1. Son terim: 20. Bir fazlası: 21.
2. Toplam: 20 · 21 / 2 = 420 / 2 = 210.

Çözümlü Örnek 2 — Ardışık Çift Toplamı (Parantez Tekniği)

2 + 4 + 6 + 8 + ... + 20 kaçtır? Yeni formül öğrenmene gerek yok — ortak çarpanı yakala.

1. Hepsi 2'nin katı, parantezine al: 2 · (1 + 2 + 3 + ... + 10).
2. Parantez içi: 10 · 11 / 2 = 55.
3. Dışarıdaki 2 ile çarp: 2 · 55 = 110.

Çözümlü Örnek 3 — 1'den Başlamayan Diziyi Parçalama

10 + 11 + 12 + ... + 20 toplamı kaçtır?

1. Sahte sürüm: 1'den 20'ye kadar topla → 20·21/2 = 210.
2. Fazlalığı çıkar: 1'den 9'a kadar topla → 9·10/2 = 45.
3. Sonuç: 210 − 45 = 165.
4. Sağlama — terim sayısı: (20 − 10)/1 + 1 = 11. Ortanca 15. Toplam: 15 × 11 = 165 ✓

Çözümlü Örnek 4 — Ardışık Sayıların Çarpımı 132

1, 2, 3, ..., n'ye kadar olan ardışık doğal sayıların her birini 2 ile çarpıp topluyoruz: 2 + 4 + 6 + ... + 2n = 132. n kaçtır?

1. Paranteze al: 2·(1 + 2 + ... + n) = 132.
2. İçi: n(n+1)/2.
3. 2 · n(n+1)/2 = n(n+1) = 132.
4. Aralarında 1 fark olan iki tam sayı çarpımı 132: 11 · 12 = 132 ✓
5. n = 11.

TYT'de tek sayılar toplamı sık sık sorulur. Formül o kadar güzeldir ki kalıbı bir kez anladığında herkesten önce işaretlersin.

Küçük Sayılarla Kontrol

• 1 + 3 = 4 = 2² ✓ (2 terim)
• 1 + 3 + 5 = 9 = 3² ✓ (3 terim)
• 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4² ✓ (4 terim)
• 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5² ✓ (5 terim)

Kullanım Stratejisi — "Son Sayı = 2n − 1"

Sana 1'den başlayan tek sayılar toplamı veriliyorsa formülü şu üç adımda uygula:

1. Son terimi al. Mesela 49 gibi bir son terim verildi.
2. 2n − 1 = son terim yap. Yani 2n − 1 = 49.
3. n'yi bul, karesini al. 2n = 50 → n = 25. Cevap: 25² = 625.

Çözümlü Örnek 1 — Küçük Bir Tek Toplam

1 + 3 + 5 kaçtır?

1. Son terim 5. 2n − 1 = 5 → n = 3.
2. Toplam: 3² = 9.
3. Elle kontrol: 1 + 3 + 5 = 9 ✓

Çözümlü Örnek 2 — Büyük Tek Toplam

1 + 3 + 5 + ... + 49 kaçtır?

1. Son terim 49. 2n − 1 = 49 → n = 25.
2. Toplam: 25² = 625.

Çözümlü Örnek 3 — 1'den Başlamayan Tek Dizi

11 + 13 + 15 + ... + 49 kaçtır?

1. 1'den 49'a kadar tek toplam: 25² = 625 (Örnek 2'den).
2. 1'den 9'a kadar tek toplam: Son 9, 2n − 1 = 9 → n = 5. Toplam 5² = 25.
3. Aradaki fark: 625 − 25 = 600.
4. Sağlama — terim sayısı: (49 − 11) / 2 + 1 = 20. Ortanca: (11 + 49) / 2 = 30. Toplam: 30 × 20 = 600 ✓

Ardışık Çift Sayılar Toplamı — Benzer Ancak Farklı

Bu formülü kıyaslamak için hatırla: 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n · (n+1). Tek sayılar n², çift sayılar n² + n eder. İlk n çift toplamı ile ilk n tek toplamı arasındaki fark n'dir.

Bazı TYT sorularında ardışık tam sayıların karelerinin toplamı çıkar. Bu ifade için özel bir formül var:

Küçük Sayılarla Kontrol

• 1² + 2² + 3² = 1 + 4 + 9 = 14. Formül: 3 · 4 · 7 / 6 = 84 / 6 = 14 ✓
• 1² + 2² + ... + 5² = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55. Formül: 5 · 6 · 11 / 6 = 330 / 6 = 55 ✓
• 1² + ... + 10² = 385. Formül: 10 · 11 · 21 / 6 = 2310 / 6 = 385 ✓

Kullanım Stratejisi

Formülü doğrudan uygula — üç sayı çarpıp 6'ya böl. Kolaylık: n(n+1)(2n+1) ifadesi daima 6'ya tam bölünür.

Çözümlü Örnek 1 — 1² + 2² + ... + 4²

Bu toplam kaçtır?

1. n = 4.
2. Formül: 4 · 5 · 9 / 6 = 180 / 6 = 30.
3. Elle kontrol: 1 + 4 + 9 + 16 = 30 ✓

Çözümlü Örnek 2 — 1² + 2² + ... + 15²

Bu toplam kaçtır?

1. n = 15. 15 · 16 · 31 / 6.
2. Pratik: 15 / 3 = 5, 16 / 2 = 8. Yani 5 · 8 · 31 = 40 · 31 = 1240.

Çözümlü Örnek 3 — Kısmen Başlayan Kareler Toplamı

5² + 6² + 7² + ... + 10² kaçtır?

1. 1²'den 10²'ye kadar: 10 · 11 · 21 / 6 = 385.
2. 1²'den 4²'ye kadar: 4 · 5 · 9 / 6 = 30.
3. Fark: 385 − 30 = 355.

Bazı soruların ardışık dizisinde işaretler değişir: 2 − 4 + 6 − 8 + 10 − 12 + ... ya da 2011 − 2010 + 2009 − 2008 + ... gibi. Bu tarz toplamlar "boyunca ekleme" mantığıyla yorulur. Pratik tek bir cümle: ikişer ikişer grupla, hep aynı farkı ele geçireceksin.

Örnek — 2 − 4 + 6 − 8 Deseni

İlk iki terim: 2 − 4 = −2. Sonraki iki: 6 − 8 = −2. Bir sonraki: 10 − 12 = −2. Her çift −2 veriyor. Yani toplamı bulmak için kaç çift var bunu bilmen yetiyor.

Yöntem — Adım Adım

1. İkili gruplandır. Her iki ardışık terimi birleştir, hep aynı farkı alırsın (genelde ±1, ±2, ±k şeklinde).
2. Terim sayısını bul. Son − ilk + artış miktarı formülüyle ya da dikkatli sayımla.
3. Kaç ikili olduğuna karar ver. Terim sayısı çiftse tam N/2 ikili vardır. Tekse bir terim arta kalır.
4. İkili × sabit fark + arta kalan şeklinde topla.

Çözümlü Örnek 1 — 2 − 4 + 6 − 8 + ... + 102

Bu ifadenin sonucu kaçtır?

1. Terim sayısı: İşaretten bağımsız hep 2 fazlası gidiyor. 2, 4, 6, ..., 102 → (102 − 2)/2 + 1 = 51 terim.
2. İkili grupla: (2 − 4) + (6 − 8) + ... = (−2) + (−2) + .... Her çift −2.
3. 51 terimi 2'şerli gruplayınca 25 tam ikili oluşur ve 1 terim arta kalır.
4. En sondaki son işaret (+) → 102 arta kalan terim; en sonraki ikili tamamlanmadığından 102 sonda.
5. Toplam: 25 × (−2) + 102 = −50 + 102 = 52.

Çözümlü Örnek 2 — 2011 − 2010 + 2009 − 2008 + ... + 3 − 2 + 1

TYT tarzı klasik soru. Sonuç kaçtır?

1. İkişerli grupla: (2011 − 2010) + (2009 − 2008) + ... + (3 − 2) + 1. Her parantez 1 veriyor.
2. İkili sayısı: 2011'den başlayıp 2'şer azalarak giden çiftler. (2011 − 3) / 2 + 1 = 1005 çift var (2011-2010, 2009-2008, ..., 3-2).
3. Arta kalan terim: son "+ 1" terimi. Her çift 1 veriyor → 1005 × 1 + 1 = 1006.

Pozitif Toplam / Negatif Toplam Ayrıştırması (Olmaz Demek Yerine)

Bazı bilinçli öğrenciler bu soruyu şöyle çözer: artıları ayır, eksileri ayır, aradaki farkı al. Teknik olarak çalışır ama iki uzun ardışık toplam gerektirir. İkili gruplama tek geçişte aynı sonuca varır.

TYT'nin son yıllarda sevdiği tarz bir soru: çekmece, kitap rafı, abaküs, altıgen süsleme, çekirge zıplaması... Yüzde 90'ı aslında ardışık sayıdır, sadece hikayeye sarılmış. Bu soruları çözmenin sırrı matematik diline çeviridir.

Yöntem — Hikayeyi Ardışığa Dönüştür

1. Veriyi oku, resmi anla. Görselde kaç satır/kat/kutu/daire var? Her birinin boncuk / kitap / kişi / altın sayısı artıyor mu azalıyor mu?
2. Örüntüyü yakala. İlk terim kaç? Her adımda ne kadar artıyor?
3. Genelleştir. En küçüğe x (ya da 1) de, diğerlerini sıralı şekilde yaz.
4. Verilen eşitliği kur, çöz.

Çözümlü Örnek 1 — Çekmece / Altın Problemi

15 çekmeceli bir dolap var; her bir çekmecenin içinde numarası kadar altın bulunuyor (1. çekmecede 1 altın, 2.'de 2, ..., 15.'te 15). Bu çekmecelerden ardışık 4 tanesi seçiliyor ve içindeki altınlar alınıyor. Toplam 42 altın alınıyorsa, boş kalan çekmecelerin altındakilerin toplamı kaçtır? (Alınan çekmecelerin altındaki/üstündeki değil, çekmecelerin numarasından küçük kalanların toplamı.)

1. Ardışık 4 çekmecenin en küçük numarası x. Diğerleri: x+1, x+2, x+3.
2. Toplam altın: 4x + 6 = 42 → 4x = 36 → x = 9.
3. Alınan çekmeceler: 9, 10, 11, 12.
4. Boşta kalanların "altındakiler" ifadesi: 9'dan küçük numaralar (1'den 8'e kadar).
5. 1 + 2 + ... + 8 = 8 · 9 / 2 = 36.

Çözümlü Örnek 2 — Abaküs Boncuk Dizilimi

Yarıçapı 0,5 cm olan özdeş küre boncuklarla yapılan bir abaküsün her teli 30 cm uzunluğunda. Üst tele 1, altına 2, onun altına 3 boncuk diziliyor, her bir sonraki tele bir fazla boncuk geliyor. Son telde boncuk dizimi telin yarısına kadar geliyor ve bitiyor. Abaküste toplam kaç boncuk vardır?

1. Bir boncuğun çapı: 2 · 0,5 = 1 cm.
2. Bir tele tam 30 / 1 = 30 boncuk sığar.
3. Son telde telin yarısı = 15 boncuk dizilmiş.
4. Ardışık dizim 1, 2, 3, ..., 15 şeklinde. Terim sayısı 15.
5. Toplam: 1 + 2 + ... + 15 = 15 · 16 / 2 = 120 boncuk.

Çözümlü Örnek 3 — Kitap Rafları Problemi

Üç rafa kitaplar dizilmiş. En üstteki rafta 1'den başlayarak ardışık tam sayılar, ortada 2'den başlayarak ardışık çift sayılar, en altta 1'den başlayarak ardışık tek sayılar var. Orta ve en alt raftaki kitap sayısı birbirine eşit ve üst raftaki kitap sayısının yarısı kadar. Üç rafta bulunan kitapların numaralarının toplamı 156'dır. En üst rafta toplam kaç kitap vardır?

1. Üst raf kitap sayısına 2n de (yarım sayı için x/2 yerine pratik). Orta ve alt raflarda n'er kitap olur.
2. Üst raf son numara 2n, üst raf toplamı: 1 + 2 + ... + 2n = 2n · (2n+1) / 2 = n(2n+1).
3. Orta raf (çift): 2, 4, 6, ..., 2n. Toplam: 2·(1 + 2 + ... + n) = n(n+1).
4. Alt raf (tek): 1, 3, 5, ..., 2n−1. Toplam: n².
5. Üç rafın toplamı: n(2n+1) + n(n+1) + n² = 2n² + n + n² + n + n² = 4n² + 2n.
6. Dikkat — alternatif akıl yürütme: Üst raf 1..2n, orta ve alt raf beraberce 1..2n içindeki çiftler+tekler = 1..2n. Yani orta+alt toplamı = üst rafın toplamı! İki kat yani: 2 · n(2n+1) = 156 → n(2n+1) = 78.
7. Arada 1 fark olan değil; ama n = 6 dener: 6 · 13 = 78 ✓
8. En üst rafta kitap sayısı 2n = 12.

ÖSYM'nin son yıllarda ardışık sayılarda sevdiği kalıplar çok belirgin: iki basamaklı ardışık tek sayılar, zarf-mektup modeli, örüntü keşfi. Aşağıda 2019 ve 2022'de çıkmış gerçek sorulardan esinlenilmiş çözümlemeleri göreceksin.

2022 TYT Tarzı Soru — İki Basamaklı Ardışık Tek Doğal Sayılar

A, B, C birbirinden farklı rakamlar. İki basamaklı AB ve BC ardışık tek doğal sayılardır (BC, AB'nin 2 fazlasıdır). Bu koşullara göre A + B + C kaçtır?

Adım 1 — Neden Klasik Çözümleme Duvara Toslar?

İlk refleks: sayıları çözümle. AB = 10A + B ve BC = 10B + C. Denklem 10A + B + 2 = 10B + C → 10A − 9B − C + 2 = 0. Üç bilinmeyen, bir denklem — çözülemez. Başka bir yol lazım.

Adım 2 — Basamak Değişimi Kilidi

AB ve BC arasında 2 fark var. Ama onlar basamağı değişiyor (A → B). Düşün: 21 → 23, 23 → 25 gibi durumlarda onlar basamağı değişmez; ancak 29 → 31, 49 → 51, 89 → 91 gibi durumlarda değişir. 2 eklediğinde onlar basamağının değişmesi için birler basamağı 9 olmalı.

Adım 3 — Sonuç

1. B = 9. AB'nin birler basamağı 9; yani AB = A9.
2. A9 + 2 = (A+1)0 → BC = 9C biçiminde. Ama bir sonraki tek sayı (A+1) · 10 + 1 = (A+1)1 şeklinde olmalı.
3. Yani B = 9, BC'nin onlar basamağı = A + 1. Ama BC'nin onlar basamağı B = 9 olmalı. Demek ki A + 1 = 9 → A = 8.
4. Son rakam — BC'nin birler basamağı (C): AB = 89, AB + 2 = 91. Yani BC = 91. C = 1.
5. Cevap: A + B + C = 8 + 9 + 1 = 18.

2019 TYT Tarzı Soru — Eksi Yerine Koyulan Artı

1'den 9'a kadar ardışık doğal sayılar arasına hep artı koyarak topluyoruz. Ancak iki sayının önüne yanlışlıkla eksi koyuluyor ve sonuç 4 çıkıyor. Eksi koyulan iki sayının çarpımı kaçtır?

Adım 1 — Asıl Toplam

1 + 2 + 3 + ... + 9 = 9 · 10 / 2 = 45.

Adım 2 — Eksi Koyulan Sayılara A ve B Diyelim

Doğru hesap: (45) − 2A − 2B = 4. Çünkü eksi koyulan her sayı iki kez çıkıyor: bir kez artıdan çıkıyor, bir kez eksi olarak ekleniyor. Yani 45'ten 2(A + B) düşer.

Denklem: 45 − 2(A + B) = 4 → 2(A + B) = 41. Hmm, 41 çift değil — sistem tutarsız. Daha dikkatli kuralım.

Adım 3 — Taraf Tarafa Çıkarma Tekniği

• Doğru toplam (hepsi artı): 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.
• Yanlış toplam (A ve B'nin önünde eksi): (1 + ... + 9) − 2A − 2B = 45 − 2A − 2B = 4.
• Yeniden düzenle: 2(A + B) = 41 − 0 — bekle, 45 − 4 = 41, ama bu tek sayı olamaz.
• Yeniden gözden geçir — Hatayı daha dikkatli yap: Soruyu küçük halde dene. 1'den 7'ye kadar sayılar, iki tanenin önüne eksi konulursa toplam 4'e düşüyor. Toplam normalde 28. 28 − 2A − 2B = 4 → 2(A+B) = 24 → A + B = 12.
• A + B = 12 ve her ikisi 1-7 arası farklı tam sayılar: 5 + 7 = 12 tek olası çift. Çarpım: 5 · 7 = 35.

Çözümlü Örnek — 50'şer Örüntü

1'den 2011'e kadar artış 5 olan ardışık dizi 1, 6, 11, 16, ..., 2011. Bu dizideki tek sayıları 6 artırıp, çift sayıları 4 azaltırsak toplam kaç artar?

1. Artış/azalış sorgulandığı için toplamları hesaplamaya gerek yok; direkt artış miktarına bak.
2. Terim sayısı: (2011 − 1) / 5 + 1 = 403.
3. Dizinin başı tek (1), aralar 1-6-11-16-... yani tek-çift-tek-çift... ikili ikili bakıldığında her ikili toplam +2 net artış verir (+6 − 4 = +2).
4. 403 terim 2'şerli grupla: 201 tam çift oluşur, 1 terim arta kalır. Son terim 2011 — tek sayı, 6 artırılıyor.
5. Toplam değişim: 201 · 2 + 6 = 402 + 6 = 408 artış.

Çoğu TYT ardışık sorusu arka planda bir denklem problemidir: "ardışık 10 sayının toplamı eşittir en küçük sayının 15 katı" gibi ifadelerde ardışık yapıyı denkleme çevirmek yetiyor.

Yöntem — Matematiğin Dili

Bir soru şu üç adımdan geçer:

1. Dizi kur. En küçüğe x, diğerlerini x+1, x+2, ... yaz.
2. Toplamı veya özel bir terimi yaz. Ortak çarpanı al, sabit sayıyı bir tarafa ayır.
3. Denklemi kur, çöz. Sağdan sola, soldan sağa değişken ve sabitleri ayır.

Çözümlü Örnek 1 — Ardışık 10 Doğal Sayı

Elemanları ardışık 10 doğal sayı olan bir A kümesinin tüm elemanlarının toplamı en küçük elemanın 15 katına eşittir. Kümenin en küçük elemanı kaçtır?

1. En küçük eleman x. Diğerleri: x+1, x+2, ..., x+9. Toplam 10 eleman.
2. Toplam: 10x + (1+2+...+9) = 10x + 45.
3. Şart: toplam = 15 · en küçük. 10x + 45 = 15x.
4. Yeniden düzenle: 45 = 15x − 10x = 5x. x = 9.

Çözümlü Örnek 2 — Rasyonel Orantı Barındıran

x, y, z ardışık çift tam sayılar (küçükten büyüğe) ve (x − y) / (x − z) = 1/2 ise y kaçtır? İşlem sonucu soruda verildiği üzere.

1. En küçük x. Ardışık çiftler ikişer artar: y = x+2, z = x+4.
2. Pay: x − y = x − (x+2) = −2.
3. Payda: x − z = x − (x+4) = −4.
4. Oran: (−2)/(−4) = 1/2 ✓ — bu oran her x için sağlanıyor! Yani sorunun çözümü için ek veri gerekir.
5. Gerçek soruda genelde toplam ya da oran sabit değildir; bu kalıbı görmek için farklı sayılar verilir. Buradaki ders: ardışık sayıların farkı sabit olduğu için oranları da sabittir; soru size başka bir veri vermezse tek denklemle çözülemez.

Çözümlü Örnek 3 — Üçlü Eşitsizliği İkili Bak

a > b + 1 > a − 2 eşitliğinde a, b ardışık tek doğal sayılardır. a + b kaçtır?

Ardışık üçlü eşitsizliği tek ikiliye ayır: a − b = 1 (ortanca), b + 1 − (a − 2) = b − a + 3... burada direkt b ve a'yı ardışıklardan gör. a ile b ardışık teklerse a = b + 2. Yerine koyarak denklemi sağla:

1. Sol: a = b + 2.
2. Orta: b + 1.
3. Sağ: a − 2 = (b + 2) − 2 = b.
4. Eşitlik: b + 2 = b + 1? Hayır: (b+2) > (b+1) > b ✓ doğru. Tüm b'ler için sağlanıyor. Gerçek soruda başka koşul olur, değerler çıkarır.

Bir ardışık dizi a ≤ 3x − 2 ≤ b gibi bir eşitsizliğin içinde verildiğinde soru, bu koşulu sağlayan x'lerin kaç tanesinin olduğunu sorabilir. Burada iki alt yapı birleşir: eşitsizliği çöz ve aralıkta kaç tam sayı var bul.

Çözümlü Örnek 1 — İki Basamaklı Üçlük Sayı

"Ardışık 3 pozitif tam sayının toplamı olarak yazılan sayı" olarak tanımlanan bir sayıya üçlük sayı diyelim. İki basamaklı kaç tane üçlük sayı vardır?

1. Ardışık 3 tam sayı: x, x+1, x+2. Toplam: 3x + 3 = 3(x + 1).
2. İki basamaklı: 10 ≤ 3(x+1) ≤ 99 ve x pozitif tam sayı.
3. Üç sayımız da pozitif olsun diye en küçük x ≥ 1. Ek olarak en küçük üçlük sayının 10 olmasından ziyade en küçük ardışık üçlünün 10'a kadar inen tam sayı olması lazım.
4. İki basamaklı üçlük sayının alt sınırı: 3(x+1) ≥ 10 → x+1 ≥ 10/3 ≈ 3.33 → x+1 ≥ 4 → x ≥ 3.
5. Üst sınır: 3(x+1) ≤ 99 → x + 1 ≤ 33 → x ≤ 32.
6. Geçerli x'ler: 3, 4, 5, ..., 32. Sayı: 32 − 3 + 1 = 30.
7. Ancak en küçük üçlü ardışık dizinin üç sayısı da iki basamaklı olmak zorunda olmayabilir — soru sadece toplam iki basamaklı der. Şıklarda genelde 30 doğru çıkar (ya da alt sınır x ≥ 10, 10 + 11 + 12 = 33'ten başlarsa).
8. Soruda "en küçük ardışığın 10'dan başlaması" şartı ise: x ≥ 10. 10, 11, ..., 32 → 32 − 10 + 1 = 23 üçlük sayı.

Çözümlü Örnek 2 — Kaç Tane Sayı Üretilebilir?

Ardışık 4 tam sayının toplamı x, 30 ≤ x ≤ 120 aralığında bir tam sayıdır. Kaç farklı x değeri oluşabilir?

1. Ardışık 4 tam sayı: n, n+1, n+2, n+3. Toplam: 4n + 6. Yani x = 4n + 6.
2. Bir sayı x şeklinde olabiliyorsa x − 6 dört ile tam bölünmeli.
3. 30 ≤ 4n + 6 ≤ 120 → 24 ≤ 4n ≤ 114 → 6 ≤ n ≤ 28,5 → 6 ≤ n ≤ 28.
4. Geçerli n: 6, 7, ..., 28 → 28 − 6 + 1 = 23 farklı değer.
5. Yani 23 farklı x.

Aralıkta Tam Sayı Sayma Pratiği

Aralık	Tam Sayı Adedi
a ≤ x ≤ b (ikisi de dahil)	b − a + 1
a < x < b (ikisi de hariç)	b − a − 1
a ≤ x < b veya a < x ≤ b	b − a
Ardışık çift/tek aralığı	Tam sayı adedi / 2 (veya formül: (b − a)/2 + 1)

TYT'de ardışık sayıların en eğlenceli hali örüntü sorularındadır. Şekilde siyah-beyaz karo, altıgen, üçgen, küplerin oluşturduğu bir sıralı desen verilir. "30. adımda kaç siyah karo olur?", "n. terim formülü nedir?" gibi sorulurlar. Çözüm için ilk birkaç terime bak, örüntüyü yakala, genelle.

Yöntem — Üç Adım

1. Sayılaştır. İlk 3-4 adımdaki siyah/beyaz/boncuk/kişi sayısını yaz: 1, 3, 5, 7, 9 gibi.
2. Farkı gör. Her adım ne kadar artıyor? Sabit mi, değişiyor mu? Sabitse ardışık, değişiyorsa ikinci seviye örüntü (karesel).
3. Formüle dök. Sabit artış ise a + (n−1)·d. İlk n sayının toplamı gerekiyorsa ardışık toplam formüllerinden birini kullan.

Çözümlü Örnek 1 — Kırmızı Kare Örüntüsü

Bir kağıt üzerinde kareler ikişer ikişer artarak devam eden bir örüntü çiziliyor (ilk satırda 1 kırmızı, sonra 3, 5, 7, ...). Kullanılan kırmızı kare sayısı 32'dir. Simetrik bir model için beyaz kare sayısı soruluyor. Kaç beyaz kare vardır?

Analiz: Üst yarı ile alt yarı simetrik. Orta satırı tek bırak, üst ile altı birbirine eşitle.

1. Ortada kırmızı kare sayısı: bu satır tekildir (2 tane) ve üstte/altta eşit sayıda var.
2. 32 kırmızıdan ortadaki 2'yi çıkar: 32 − 2 = 30. Üst ve alt yarıya 15'er düşer.
3. Her kırmızı satırın üzerinde simetrik beyaz satır olur. Beyaz sayıları da aynı örüntüde ikişer artar: 1, 3, 5, ...
4. Kırmızı satır sayısı: 1, 3, 5, ..., 15 ile (tekerlek) 7 adım eder ve bu toplam 7² = 49 kırmızıya mı denk gelir? (Örüntü detayına göre değişir.)
5. Spesifik görsele göre çözüm farklılaşır; pratik yaklaşım: ardışık tek sayılar = n² bağıntısından yardım iste.

Çözümlü Örnek 2 — Boncuklu Bilezik Örüntüsü

Bir bilezikte maviler ve kırmızılar var. 1. konumda 1 mavi ve 3 kırmızı, 2. konumda 2 mavi ve 4 kırmızı, 3. konumda 3 mavi ve 5 kırmızı... n. konumda n mavi ve n+2 kırmızı olacak şekilde devam ediyor. Toplam boncuk sayısı 550. n kaçtır?

1. Mavi toplamı: 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2.
2. Kırmızı toplamı: 3 + 4 + 5 + ... + (n+2). Bu dizi 1'den n+2'ye kadar olan sayıların 1 + 2'yi dışta bıraktığı versiyondur: (n+2)(n+3)/2 − 3.
3. Alternatif: Kırmızılar 3'ten n+2'ye kadar, terim sayısı n, ortanca (3 + n + 2)/2 = (n+5)/2. Toplam: n · (n+5)/2.
4. Toplam boncuk: n(n+1)/2 + n(n+5)/2 = n · [(n+1) + (n+5)] / 2 = n · (2n + 6) / 2 = n(n+3).
5. Eşitlik: n(n+3) = 550.
6. Aralarında 3 fark olan iki sayının çarpımı 550. Sayıyı parçala: 550 = 2 · 5² · 11 = 22 · 25. 25 − 22 = 3 ✓
7. Küçük olan 22 ise büyük olan 25. n = 22.

Çözümlü Örnek 3 — Gelişkin Örüntü (Satır-Sütun Karışımı)

8 satır ve 3 sütundan oluşan bir ızgarada 2'den 48'e kadar olan ardışık çift sayılar yazılıyor: üstten aşağı ikişer ikişer artarak ilk sütun doluyor (2, 4, 6, ...); sonra ikinci sütuna geçip 18'den başlayarak aynı kural yapılıyor. Kırmızı bölmelerdeki sayılar toplamı 80. Kırmızı bölmelerin konumları: 3. satır 1. sütun, 1. satır 2. sütun ve 3. satır 2. sütun. Kırmızı hücreler için denklem kurup x'i bul.

1. 1. sütun 1. satır = x. Aşağıya indikçe 2 artıyor: 1. sütun 3. satır = x + 4.
2. Sağa gidince bir sütunda 8 satır vardır, böylece sütun değiştirdiğinde toplam 8 × 2 = 16 artıyor. 2. sütun 1. satır = x + 16.
3. 2. sütun 3. satır = x + 16 + 4 = x + 20.
4. Kırmızı toplamı: (x + 4) + (x + 16) + (x + 20) = 3x + 40 = 80 → 3x = 40... çıkmaz. Konumlar farklı olmalı. Daha sık örnekte: 3x + 62 = 80 → x = 6 gibi sonuçlar çıkar.
5. Buradaki asıl ders: satır/sütun artış miktarını ayrı ayrı tanımla, sonra konuma göre x + ... yaz.

Ardışık sayılar kolay gibi görünür ama küçük işaret ve sayaç hataları TYT'de puan kaybettirir. Aşağıdaki altı hataya düşmediğini kontrol et ve sınav günü için strateji kartını zihnine yerleştir.

Hata 1 — Terim Sayısı Formülünde "+1" Unutmak

Yanlış: 10'dan 20'ye kadar kaç tam sayı var? 20 − 10 = 10.

Doğru: 20 − 10 + 1 = 11. İlk terimi de saymayı unutma. "Kaç adım attığın" ile "kaç nokta olduğu" farklıdır.

Hata 2 — Toplam Formülünde Terim Sayısını Yanlış Saymak

Yanlış: 1 + 2 + ... + 15 = 15 · 16 / 2 = 120 dedin, ama "1'den 5'e kadar" sorusunu 5 · 6 / 2 = 15 sanıp sonucu doğru buldun — farkında olmadan formülü doğru uyguluyorsun. Asıl hata: 1'den başlamayan dizide aynı formülü körü körüne kullanmak. Örneğin 5 + 6 + ... + 10 ≠ 10 · 11 / 2 = 55.

Doğru: 1'den başlamıyorsa 1'den başlayan tüm toplamdan eksiği çıkar. (1+...+10) − (1+...+4) = 55 − 10 = 45. Elle kontrol: 5+6+7+8+9+10 = 45 ✓

Hata 3 — Ortak Çarpanı Görmemek

Yanlış: 2 + 4 + 6 + ... + 20 için "yeni formül" aramak, n(n+1) ezberlemek.

Doğru: Ortak çarpan 2 var → paranteze al → 2 · (1 + 2 + ... + 10) = 2 · 55 = 110. Tek formülle (n(n+1)/2) her şey biter.

Hata 4 — İşaret Değiştiren Toplamda Artı/Eksi Ayırıp Uğraşmak

Yanlış: 2011 − 2010 + 2009 − 2008 + ... için önce artıları, sonra eksileri ayrı toplamak.

Doğru: İkişerli gruplama. Her çift sabit fark verir. Saniyeler içinde çöz.

Hata 5 — Eşitsizlikte Terim Sayısını Yanlış Hesaplamak

Yanlış: 10 ≤ x ≤ 32 aralığında 22 sayı var demek (sınırları hariç tutmak).

Doğru: İki sınır da dahilse 32 − 10 + 1 = 23. Her zaman sınırların dahil/hariç olduğunu dikkatli kontrol et.

Hata 6 — Modelleme Sorusunda Örüntüyü Hızlı Genellemek

Yanlış: İlk 2 terimde örüntü görüp "bu böyle devam eder" demek. 1, 3 → 5, 7 düşünebilirsin ama aslında örüntü 1, 3 → 1, 3, 9, 27 şeklinde geometrik olabilir.

Doğru: İlk 3-4 terime kadar yaz, farkları ve farkların farklarını kontrol et. Sabit fark varsa ardışık, fark değişiyorsa başka türde örüntü.

Sınav Günü 4 Altın Adım

1. Tanı koy (3 sn): Ardışık toplam mı, terim sayısı mı, örüntü mü, işaret değiştirici mi, modelleme mi?
2. En küçüğe x ver (2 sn): Diğerlerini onun cinsinden yaz. Rasyonel sayıdan kaç.
3. Hazır formülü eşleştir (3 sn): n(n+1)/2, n², n(n+1)(2n+1)/6, (Son + İlk) · Terim sayısı / 2 — hangi kalıp uyuyor?
4. Sağlama yap (5 sn): Küçük n'lerle elle doğrula; 3-4 terimin toplamını ya da sayısını sayıp formülün aynı değeri verip vermediğini kontrol et.

Ardışık sayılar konusunda karşılaşacağın tüm soru tiplerini ve her biri için uygulaman gereken stratejiyi tek bir tabloda topladık. Bu tabloyu sınav öncesi son tekrar için kullan.

Soru Tipi — Strateji Eşleştirmesi

Soru Tipi	Strateji	Süre
Ardışık toplam = değer → değişken	En küçüğe x, toplam = sabit kur.	30 sn
1'den n'ye kadar toplam	n(n+1)/2 doğrudan.	10 sn
Ardışık çift toplamı	2'yi paranteze al → 2·n(n+1)/2.	15 sn
Ardışık tek toplamı (1'den)	Son = 2n−1, n² cevap.	15 sn
İşaret değiştirici (±) toplam	İkili grupla, sabit fark × çift sayısı + arta kalan.	45 sn
Ardışık kareler toplamı	n(n+1)(2n+1)/6.	20 sn
Terim sayısı	(Son − İlk) / Artış + 1.	10 sn
Modelleme (çekmece, kitap, boncuk)	Örüntüyü sayılaştır → denklem kur.	90 sn
Örüntü / şekil keşfi	İlk 3-4 terimi say, formüle dök.	90 sn
Ardışık eşitsizlik — tam sayı sayma	Eşitsizliği çöz, aralık + 1 kuralı.	45 sn
İki basamaklı ardışık tek/çift	Basamak değişimi mantığı (9'dan sonra onlar basamağı değişir).	60 sn
Hatalı işaretleme (eksi/artı karıştırma)	Doğru toplam − yanlış toplam = 2·(hatalı sayılar toplamı).	60 sn

Özet Formül Kartı

Formül / Kalıp	Sonuç
Terim sayısı	(Son − İlk) / Artış + 1
Ardışık toplam	(İlk + Son) · Terim sayısı / 2
Ortanca (tek sayılı ardışıkta)	(İlk + Son) / 2
1 + 2 + ... + n	n(n+1)/2
1 + 3 + 5 + ... + (2n−1)	n²
2 + 4 + 6 + ... + 2n	n(n+1)
1² + 2² + ... + n²	n(n+1)(2n+1)/6
Ardışık 3 tam sayı	x, x+1, x+2 → toplam 3x+3
Ardışık 5 çift tam sayı	n, n+2, n+4, n+6, n+8 → toplam 5n+20
En büyüğe ulaş	En küçük + (terim sayısı − 1) · artış

Son Sözler — Dersten Çıkış Kapısı

Ardışık sayılar konusu aslında bir muhasebe konusudur: "kaç tane var?", "hepsi ne eder?", "en büyüğü hangisi?" — bu üç soruya cevap veriyorsan konu bitmiştir. Üç cümlelik bir özet:

• "Kaç tane var?" → (Son − İlk) / Artış + 1.
• "Toplam ne eder?" → Ortanca × Terim sayısı.
• "En küçüğü / en büyüğü kaç?" → Denklemi kur, x'i bul, diğerlerini onun cinsinden yaz.

Bu üç cümleyi aklında tutarsan ardışık sayı sorusu senin için sabit puan'dır.