TYT Matematik — Tek ve Çift Sayılar

Tek–çift sayılar konusu kağıt üstünde "çift 2ye bölünür, tek bölünmez" kadar sade görünür ama ÖSYM bu sadeliği hep tuzak yapısı olarak kullanır. Hoca, dersin girişinde şunu vurguluyor: "Soru kolay diye alışkanlıkla 2 koydum, 1 koydum, bitti diyenleri ayıklamak için bu konudan en zor soruları sorarlar." Dersimize önce tanımı çok sıkı kurarak başlayalım.

Hangi Sayılarda Tek/Çift Aranır?

Teklik ve çiftlik kavramı yalnızca tam sayılar için tanımlıdır. Hoca bunu "sadece tam sayılarda arandığını" cümlesiyle altını çize çize söylüyor. Buradaki kritik incelikleri içselleştir:

• Pozitif tam sayılar: 1, 2, 3, 4, ... — tek ya da çiftlik sorulabilir.
• Sıfır: 0 çifttir (çünkü 2·0 = 0). Bu küçük ayrıntı ilerleyen sorularda kritik tuzak olur.
• Negatif tam sayılar: −3, −6, −101 de tektir ya da çifttir. Mesela −6 çift (çünkü 2·(−3) = −6), −7 tektir.
• Rasyonel sayılar: 1/2, 2/5, 1/3 gibi kesirli sayılar ne tektir ne çifttir. Teklik–çiftlik sınıfına bile girmezler.
• İrrasyonel sayılar: √2, π gibi sayılar için de teklik–çiftlik tanımsızdır.

Birler Basamağı Pratiği — Ön Tanıma

Bir sayının kaç basamaklı olduğu önemli değil; tek/çift olduğunu sadece birler basamağına bakarak anlayabilirsin. Çünkü onlar, yüzler, binler basamağındaki rakamlar zaten 10'un katıdır ve 10 çifttir.

Birler Basamağı	Sınıf	Örnek
0, 2, 4, 6, 8	Çift	1234, 87650, −128
1, 3, 5, 7, 9	Tek	7, 13, −101, 9999

Çözümlü Örnek — Sınıflandırma

Aşağıdaki sayıların hangileri çift, hangileri tek, hangileri teklik–çiftlik sınıfına girmez?

A = {7, 1/2, −6, 0, √2, −101, 1234, 3/5}

1. 7: Tam sayı, birler basamağı 7 → tek.
2. 1/2: Rasyonel (kesir). Sınıfına girmez.
3. −6: Tam sayı, −6 = 2·(−3) → çift.
4. 0: Tam sayı, 0 = 2·0 → çift.
5. √2: İrrasyonel. Sınıfına girmez.
6. −101: Tam sayı, birler basamağı 1 → tek.
7. 1234: Tam sayı, birler basamağı 4 → çift.
8. 3/5: Rasyonel. Sınıfına girmez.

Tek–çift sayılarla yapılan toplam, çıkarma ve çarpma işlemlerinin sonucu, operandların tek/çift olmasıyla belirlenir. Hoca'nın tavsiyesi ezberlemek değil, "2 koydum, 1 koydum" mantığıyla anında türetmek. Ama sık kullanıldığı için tablonun kalıcı olması lazım.

Temel İşlem Tablosu

İşlem	Sonuç	Doğrulama
Çift + Çift	Çift	2+4 = 6, 8+10 = 18
Tek + Tek	Çift	3+5 = 8, 7+11 = 18
Tek + Çift	Tek	3+4 = 7, 9+2 = 11
Çift − Çift	Çift	6−2 = 4, 10−4 = 6
Tek − Tek	Çift	7−3 = 4, 9−1 = 8
Tek − Çift	Tek	7−2 = 5, 9−4 = 5
Çift × Çift	Çift	2·4 = 8, 6·8 = 48
Tek × Çift	Çift	3·4 = 12, 5·2 = 10
Tek × Tek	Tek	3·5 = 15, 7·9 = 63

Toplama ile Çıkarma Arasında Fark Var mı?

Yok. Hoca açık şekilde vurguluyor: "Toplamayla çıkarma aynı mantık. İlla çıkardım diye düşünmene gerek yok. Topladığımdan gidebilirsin." Çünkü a − b, aslında a + (−b) demektir; negatifleme teklik–çiftliği değiştirmez. Yani −3 tektir, −4 çifttir. Dolayısıyla toplam tablosunu öğrenirsen çıkarma otomatikman gelir.

Pratik Slogan

Hoca'nın klasik sloganı: "Çift yerine 2 koy, tek yerine 1 koy." Toplama ve çıkarmalarda bu işe yarar. Ama dikkat et — üslü ifadeler, faktöriyeller, rasyonel sayılar, gerçel sayılar söz konusu olduğunda bu slogan yanıltıcı olur. İleride bu istisnaları tek tek ele alacağız.

Çözümlü Örnek 1 — Slogan Kontrolü

3t + 5ç − 7 ifadesinde t tek, ç çift bir tam sayı olduğuna göre ifadenin sonucu tek midir çift midir?

1. 3t: Tek × Tek = Tek.
2. 5ç: Tek × Çift = Çift.
3. Tek + Çift = Tek.
4. Tek − 7 = Tek − Tek = Çift.
5. Sonuç: Çift.

Çözümlü Örnek 2 — Ortak Çarpan Yakalama

a, b tam sayılar olmak üzere a çift, b tek veriliyor. ab + a ifadesinin değeri tek midir çift midir?

1. Ortak çarpan a: ab + a = a(b + 1).
2. b tek → b + 1 çift.
3. a çift → a · (çift) = Çift.
4. Zaten a'nın kendisi çift olduğu için çarpım her hâlde çifttir.
5. Sonuç: Çift.

Çarpım işleminin özelliği, tek–çift sorularının kilidini açan altın anahtardır. Burada iki yöne ayıralım — çünkü çift ile çarpım farklı, tek ile çarpım farklı bir bilgi verir.

Neden Böyle?

Çift sayı, tanımı gereği 2·n biçiminde yazılabilir. Bir çarpımda herhangi bir çarpan çift ise, o 2 çarpanı dışarı taşır ve tüm sonuç çift olur. "Çift ağır basar" diyen hoca bunu kastediyor. Tek çarpanlarda ise hiçbir 2 çarpanı olmadığı için sonuç da 2'ye bölünemez — yani tektir.

Mnemonik: "Çift Kardeşi Çeker"

Bir çarpımda tek bir çift çarpan gördüğün an, tüm sonucun çift olduğunu söyleyebilirsin. Adeta çift sayı yanına aldığı her arkadaşı çift tarafa çeker — tek olan kardeşleri bile kendi hanesine kazandırır.

Çözümlü Örnek 1 — Geriye Çalışma

x · y · z = 15 olduğuna göre x, y, z pozitif tam sayılarının tek olup olmadığını söyleyebilir misin?

1. Sonuç 15 = tek.
2. Çarpım tekse tüm çarpanlar tek olmalı → x, y, z hepsi tek.
3. Doğrulama: 1·3·5 = 15 (tümü tek); 1·15·1 = 15 (tümü tek); 3·5·1 = 15 (tümü tek).
4. Sonuç: x, y, z hepsi tektir.

Çözümlü Örnek 2 — Tek Çarpan Yeter

Pozitif tam sayılar a · b · c = 48 olduğuna göre en az bir çarpan çift midir?

1. 48 çift.
2. Tüm çarpanlar tek olsaydı tek · tek · tek = tek olurdu; ama 48 çift.
3. O hâlde en az bir çarpan mutlaka çifttir.
4. Aslında 48 = 2⁴·3 olduğu için çarpanlar en az 4 tane 2 içerir. Farklı dağılımlar mümkündür: 2·2·12, 4·4·3, 6·8·1 gibi.
5. Sonuç: Evet, en az bir çarpan çifttir.

Çözümlü Örnek 3 — ÖSYM Kalıbı

x, y, z tam sayıları için x · (y + z) = 15 olduğuna göre x tek midir?

1. 15 tek → çarpımın her çarpanı tek olmalı.
2. x tek ve (y + z) tek olmak zorunda.
3. Sonuç: x tektir.
4. Bonus bilgi: y + z de tek olmak zorunda, yani y ile z'den biri tek biri çift.

Üslü ifadelerde tek–çift kararı vermeden önce üssün ne olduğuna bakmak zorundasın. Hoca ısrarla şunu söylüyor: "Üslü sayı gördüğün an tabana gözünü dikme. Önce üste bak." Çünkü üssün işareti ve tamlığı her şeyi değiştirir.

Ana Kural

İstisnalar — Neden Pozitif Tam Sayı Zorunlu?

Hoca bu istisnaları sayı doğrulamasıyla gösteriyor. Sen de kontrolü kendin yap:

İfade	Değer	Sınıf
20	1	Tek (çift değil!)
2−1	1/2	Rasyonel (sınıf dışı)
30	1	Tek (zaten tek, burada tesadüf)
3−1	1/3	Rasyonel (sınıf dışı)
23	8	Çift (kural işliyor)
52	25	Tek (kural işliyor)

Kritik Özet

• Çift⁰ = 1 → tektir. Yani çift bir sayının 0. kuvveti çift değil!
• Çift^negatif = rasyonel → ne tek ne çift. Sınıfına bile girmez.
• Tek⁰ = 1 → tek. Burada şans eseri tek çıkıyor çünkü 1 zaten tek.
• Tek^negatif = rasyonel → ne tek ne çift.

Çözümlü Örnek 1 — Tanıdık Şık

x, y pozitif tam sayılar olmak üzere x tek, y çift veriliyor. y^x ifadesi tek midir çift midir?

1. Üs x pozitif tam sayı. Sıkıntı yok, kuralı uygulayabiliriz.
2. Tabana bak: y çift.
3. (Çift)^{pozitif tam sayı} = Çift.
4. Sonuç: y^x çifttir.

Çözümlü Örnek 2 — Doğal Sayı Tuzağı

x tek doğal sayı, y, z çift doğal sayılar. 2x^y + z + 1 ifadesi tek midir çift midir?

1. y çift doğal sayı. Dikkat: y = 0 olabilir mi? Evet, 0 da çift doğal sayı.
2. y = 0 ise: x⁰ = 1 (x tek olsa da olmasa da). Sorun yok, çünkü x tek, tek⁰ = 1 = tek.
3. y ≥ 2 (pozitif çift) ise: x^y = tek^pozitif = tek.
4. Her iki durumda da x^y tektir.
5. 2 · (tek) = çift.
6. z çift → çift + çift = çift.
7. çift + 1 = tek.
8. Sonuç: Tek.

Çözümlü Örnek 3 — Aynı Soru ama Taban Çift Olsaydı

x çift doğal sayı, y tek doğal sayı olsun. x^y + 1 tek midir çift midir?

1. Üs y tek doğal sayı → pozitif (1, 3, 5, ...).
2. y = 0 olabilir mi? 0 çift, tek değil. O hâlde y ≥ 1 pozitif tam sayıdır. Sıkıntı yok.
3. x^y = çift^pozitif = çift.
4. çift + 1 = tek.
5. Sonuç: Tek. Burada y tek olduğu için 0 ihtimali yok; tuzak çalışmadı.

ÖSYM'nin tek–çift sorularında en sık kurduğu iki küçük tuzak var: 0 da çift doğal sayıdır ve 0! = 1. Bu iki istisna, "daima/kesinlikle tek mi çift mi?" sorularının cevabını tersine çevirir.

1) "0 Çift Doğal Sayıdır" Tuzağı

"n çift doğal sayı" dendiğinde n'in alabileceği değerler: 0, 2, 4, 6, 8, ... Yani 0 dahildir. Bir soru "her n çift doğal sayı için bu ifade tek midir?" diye sorduğunda n = 0, n = 2, n = 4 gibi birkaç değeri test etmek zorundasın.

2) "0! = 1" Tuzağı

Faktöriyel tanımı: n! = n · (n−1) · (n−2) · ... · 1. Ancak 0 için özel bir kural vardır: 0! = 1. (Tanım gereği.)

n	n!	Sınıf
0	1	Tek
1	1	Tek
2	2	Çift
3	6	Çift
4	24	Çift
5	120	Çift

Faktöriyel Kuralı

• n ≥ 2 için n! daima çifttir (çünkü çarpanlarından biri 2).
• n = 0 veya n = 1 için n! = 1, yani tektir.

Çözümlü Örnek 1 — Klasik Tuzak

n çift doğal sayı olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi daima tek sayıdır?

A) n! + 1   B) 2ⁿ   C) n/2   D) 2ⁿ + 1   E) n² + 1

İlk içgüdü: "n yerine 2 koyalım." Ama tek bir değer yeterli değil, n = 0 da çift doğal sayı!

1. A şıkkı n! + 1: n = 0 → 0! + 1 = 1 + 1 = 2 = çift. Daima tek olamadı. Elendi.
2. B şıkkı 2ⁿ: n = 0 → 2⁰ = 1 = tek. n = 2 → 2² = 4 = çift. Daima tek değil. Elendi.
3. C şıkkı n/2: n = 2 → 1 tek; n = 4 → 2 çift. Daima tek değil. Elendi.
4. D şıkkı 2ⁿ + 1: n = 0 → 1 + 1 = 2 = çift. Daima tek olmadı. Elendi.
5. E şıkkı n² + 1: n = 0 → 0 + 1 = 1 = tek; n = 2 → 4 + 1 = 5 = tek; n = 4 → 16 + 1 = 17 = tek. Genel: n çift → n² çift → n² + 1 tek. Daima tek.
6. Cevap: E.

Çözümlü Örnek 2 — Faktöriyel İstisna

n pozitif tam sayı olmak üzere n! + n ifadesi n = 1 için tek midir çift midir? n = 2 için?

1. n = 1: 1! + 1 = 1 + 1 = 2 = çift.
2. n = 2: 2! + 2 = 2 + 2 = 4 = çift.
3. n = 3: 6 + 3 = 9 = tek.
4. n = 4: 24 + 4 = 28 = çift.
5. Genel: n ≥ 2 için n! çift, n nin teklik–çiftliğine göre toplam değişir. Daima aynı sınıf değil.

ÖSYM'nin sevdiği bir başka ince tuzak: n çift olduğunda n/2'nin ne tek ne çift olduğuna karar verilemez. Çünkü n = 2k ise n/2 = k'dır ve k'nın ne olduğu n'in değerine bağlıdır.

Neden Bilinemez?

n çifttir, dolayısıyla n = 2k (k bir tam sayı). n/2 = k. Ama k'nın kendisi tek ya da çift olabilir!

n (çift)	n/2	n/2 Sınıf
2	1	Tek
4	2	Çift
6	3	Tek
8	4	Çift
10	5	Tek

Görüldüğü gibi sıra tek, çift, tek, çift, ... şeklinde gider. Yani n/2'nin ne olduğu n'in kaç katı 2 içerdiğine bağlıdır. Tek bir cevap yok.

Özel Durum: 4'ün Katı ve n/2

Eğer n'in 4'ün katı olduğunu bilirsen n/2 çifttir. Çünkü n = 4m → n/2 = 2m = çift.

Eğer n'in 2'nin katı ama 4'ün katı değil olduğunu bilirsen n/2 tektir. Çünkü n = 4m + 2 → n/2 = 2m + 1 = tek.

Çözümlü Örnek 1

n çift pozitif tam sayı. n/2 + 1 daima tek midir?

1. n = 2: 2/2 + 1 = 1 + 1 = 2 = çift.
2. n = 4: 4/2 + 1 = 2 + 1 = 3 = tek.
3. Farklı sınıflar çıktı → "daima tek" demek yanlış.
4. Sonuç: Daima tek değil; n'e bağlı.

Çözümlü Örnek 2 — Kat Bilgisiyle

n 12'nin katı olan pozitif tam sayı. n/2 tek midir çift midir?

1. 12 = 4·3, yani 12 aynı zamanda 4'ün katı.
2. n de 12'nin katı → 4'ün katı.
3. n/2 = çift.
4. Doğrulama: n = 12 → n/2 = 6 = çift ✓; n = 24 → n/2 = 12 = çift ✓.
5. Sonuç: n/2 çifttir.

Bu konunun en zevkli kazanımlarından biri: ardışık iki tam sayının çarpımı daima çifttir. Çünkü ardışık iki sayıdan biri mutlaka tek, diğeri mutlaka çifttir. Aralarında kayıp bir atlama yok — biri çift, diğeri tek. Dolayısıyla çarpımları içinde zorunlu bir "2" çarpanı barındırır.

Modelleme

Art arda gelen iki tam sayıyı a ve a + 1 biçiminde modelleyebilirsin. Çarptığında:

a · (a + 1) = a² + a

Benzer şekilde a − 1 ve a'yı art arda iki sayı olarak modellersen:

(a − 1) · a = a² − a

Doğrulama

a	a² + a	a² − a
3	9 + 3 = 12 (çift)	9 − 3 = 6 (çift)
4	16 + 4 = 20 (çift)	16 − 4 = 12 (çift)
7	49 + 7 = 56 (çift)	49 − 7 = 42 (çift)
−5	25 − 5 = 20 (çift)	25 + 5 = 30 (çift)

Çözümlü Örnek 1 — Ortak Çarpan Yakalama

m tam sayı olmak üzere m² + m + 15 ifadesi tek midir çift midir?

1. m² + m = m(m+1) → ardışık iki sayının çarpımı → daima çift.
2. çift + 15 = çift + tek = tek.
3. Sonuç: Tek. Burada m'nin tek mi çift mi olduğunu bilmemiz gerekmedi.

Çözümlü Örnek 2 — Gizlenmiş Ardışık Çarpım

k tam sayı olmak üzere 2k + k² − k + 1 ifadesi daima tek midir?

1. k² − k = k(k−1) → ardışık iki sayının çarpımı → daima çift.
2. 2k → tanım gereği çift.
3. Toplam: çift + çift + 1 = çift + tek = tek.
4. Sonuç: Daima tek.

Çözümlü Örnek 3 — 2022 ÖSYM Kalıbı

a, b tam sayıları için a · b · (a² + a) + c · tek ifadesi çift olduğuna göre c hakkında ne söylenebilir?

1. a² + a ardışık çarpım → daima çift.
2. a · b · (çift) = çift, hangi a ve b olursa olsun.
3. Denklem: çift + c · tek = çift.
4. c · tek = çift − çift = çift.
5. Tek bir sayıyla çarpımı çift olacaksa c çift olmalı.
6. Sonuç: c çifttir.

Bir tek–çift sorusunda rasyonel (kesirli) eşitlik görürsen önce çaprazlama çarp. Hoca bunu "ip gibi dizmek" olarak adlandırıyor. Kesirli hâlini tutmak çözüm değil; toplam–çarpım yapısına dönüştüğünde tek–çift kuralları işliyor.

Metot

A/B = C/D türünden bir eşitlik görürsen:

A/B = C/D   ⇔   A · D = B · C

Bu dönüşüm sonrası artık kesirle uğraşmıyorsun; iki tarafı çarpım biçimine kavuşturmuşsun. Oradan tek–çift analizi yapılabilir.

Çözümlü Örnek 1 — Hocanın Sorusu

m, n tam sayıları için m · n + 15 = (4m) / (1/(m+n)) ... (kesirli hâl) ... 4m = 1 / (m · n + 15) gibi bir rasyonel eşitlik veriliyor. Sadeleştirilmiş biçimi şöyle olsun: (4m) / 1 = (m·n + 15) / 1 yerine örneğe odaklanalım.

Orijinal örnek: 4m = m · n + 15 (ip gibi dizildi). Hangileri daima doğrudur?

Öncüller: 1) n tektir. 2) m tektir.

1. 4m = 2 · 2m → çift (hangi m olursa olsun).
2. Sol taraf 4m çift → sağ taraf m·n + 15 da çift olmalı.
3. 15 tek → m·n tek olmalı (çünkü çift − tek = tek değildir; denklemi çözersek m·n = çift − tek = tek).
4. m·n tekse çarpımın kuralı gereği m ve n'nin her ikisi tek olmalı.
5. Öncül 1 (n tek): Doğru.
6. Öncül 2 (m tek): Doğru.
7. Sonuç: Her ikisi de doğru.

Çözümlü Örnek 2 — Hocanın "Tongasız" Versiyonu

a, b, c 1'den büyük pozitif tam sayılar ve (a+b)/c = 1 olarak veriliyor. Yani a + b = c. "a çiftse b çifttir" ve "c tekse b çifttir" ifadelerinden hangisi/hangileri daima doğrudur?

Bu aslında "koşullu" (ise) bir yargıdır. Hocanın vurguladığı gibi: "Şart sağlanıp sağlanmadığına bakacaksın."

1. Öncül 1: a çift ise b çifttir. Test: a = 2. Seçenekleri yaz:
   • c = 4, b = 2: çift + çift = çift ✓; a çift, b çift → doğru.
   • c = 5, b = 3: çift + tek = tek ✓; a çift, b tek → doğru değil.
   Hmm — ancak yukarıdaki "a çift ise b çifttir" her a çift durumunda sağlanmalı. a = 2, b = 3, c = 5 veriyor ve a çift, b tek — yani yargı sağlanmadı. Öncül 1 yanlış.
2. Öncül 2: c tek ise b çifttir. Test: c = 5 → a + b = 5. Seçenekler: (a=2, b=3), (a=3, b=2), (a=4, b=1) ama 1'den büyük gerekli. Yani (a=2, b=3) → a çift, b tek. Bu durumda öncül "b çifttir" diyor ama b = 3 tek! Öncül 2 da yanlış.

Not: Bu örnekten çıkan ders: "ise" öncüllerinde her uygun durumun yargıyı doğrulaması gerekir. Bir karşı örnek yeterlidir yargıyı devirmek için.

Çözümlü Örnek 3 — Kesir + Ardışık Birleşimi

m, n tam sayıları için (m² + m) / n = 3 olduğuna göre n tek midir çift midir?

1. İp gibi diz: m² + m = 3n.
2. Sol taraf m(m+1) → ardışık çarpım → daima çift.
3. Sağ taraf da çift olmalı: 3n = çift.
4. 3 tek → n çift olmalı.
5. Sonuç: n çifttir.

ÖSYM'nin tek–çift sorularında en çok vurgu yaptığı nokta: x'in hangi küme içinde yaşadığına dikkat et. Eğer soru "x tam sayıdır" demiyorsa ve sadece "x gerçel/reel sayıdır" diyorsa, x'e kadar inemezsin. "3x tek" bilgisi elindeyken bile x'in teklik–çiftliği hakkında hüküm veremezsin.

Karşı Örnek

Diyelim ki 3x tek sayı olsun. Bu x tektir anlamına gelir mi?

• x = 5/3 alırsak: 3x = 5, yani 3x tek. Ama x = 5/3 rasyonel — ne tek ne çift.
• x = 1/3 alırsak: 3x = 1, yani 3x tek. Ama x = 1/3 rasyonel.
• x = 1 alırsak: 3x = 3, tek. x = 1 tek. Bu da mümkün.

Görüldüğü gibi aynı "3x tek" öncülünden x tam sayı bile olmayan durumlar çıkıyor. Demek ki bu bilgiden yalnızca 3x seviyesinde konuşabiliyoruz — aşağıya inmek hatalı.

Hocanın Örneği — 3x + 5 Çift

x gerçel sayı olmak üzere 3x + 5 bir çift sayı olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi daima tek sayı belirtir?

A) x + 5   B) 3x + 1   C) 3x + 2   D) 9x + 4   E) 6x + 5

İlk refleks: "3x + 5 çift → 3x tek → x tek". Bu yanlış! Çünkü x gerçel, x'e inilemez.

1. 3x + 5 = çift → 3x = çift − 5 = çift − tek = tek.
2. Elinde kesin bilgi: 3x tek.
3. x ile ilgili bir şey söyleyemem. Yalnızca 3x üzerinden konuşabilirim.
4. A: x + 5. x'i bilmiyorum → bilemem. Elendi (daima tek değil).
5. B: 3x + 1 = tek + tek = çift. Daima tek değil, elendi.
6. C: 3x + 2 = tek + çift = tek. Daima tek.
7. D: 9x + 4 = 3·(3x) + 4 = 3·tek + 4 = tek + çift = tek. Daima tek.
8. E: 6x + 5. Burada 6x = 2·(3x) = 2·tek = çift. çift + tek = tek. Daima tek.
9. Üç şık daima tek çıktı! Tongaya düştün çünkü A ve B şıklarını x tek sayarak "tek" bulmuştun, oysa yanlıştı.
10. Doğru cevap: C, D veya E (hepsi yalnızca 3x üzerinden kanıtlanıyor). Hoca, soruyu çoklu cevaplı tasarlayarak tongayı ortaya çıkardı.

Kural Seti — "Bütünde Kal"

• x gerçel sayı ve 3x'in sınıfı verilmiş ise: yalnızca 3x, 6x, 9x, 3x + sabit gibi 3'ün katı çarpanlarla işlem yapabilirsin.
• x + sabit, 2x, x² gibi ifadeler hakkında konuşamazsın.
• Genel: elinde k·x'in sınıfı varsa yalnızca k'nın katları (2kx, 3kx, kx + sabit) hakkında yargı yapılabilir.

Çözümlü Örnek

x gerçel sayı, 5x − 3 çift olduğuna göre 10x + 7 tek midir çift midir?

1. 5x − 3 = çift → 5x = çift + 3 = çift + tek = tek.
2. 10x = 2 · 5x = 2 · tek = çift.
3. 10x + 7 = çift + tek = tek.
4. Sonuç: Tek. Yalnızca 5x üzerinden gittik; x'in kendine inmedik.

Bazı ÖSYM sorularında her parça ayrı ayrı bilinmez, ama bütününün tek/çift olduğu bilinir. Bu durumda "parçaları ayrı ayrı çözmeyi bırak, bütüne bak" tekniği hayat kurtarır. Hoca'nın ifadesiyle: "Parçalarla gidemiyorsan bütüne bak, ipin ucunu orada tutarsın."

Yöntem

1. Tüm ifadeleri topla (veya çarp).
2. Bütünün teklik–çiftliğini bilinen öncülden çıkar.
3. Sabit katsayıların (2, 3, 5, 9, 15 gibi) teklik–çiftliğini kullanarak bilinmeyen değişkeni yalnız bırak.

Çözümlü Örnek 1 — 2022 ÖSYM Kalıbı

a, b, c tam sayılar olmak üzere a + 3b, 3a + 5b + c, a + b + 5c ifadelerinden ikisi çift, biri tektir. b tek midir çift midir?

Her parçayı tek tek çözmek için 2³ = 8 ihtimal var. Hangi ikisi çift, hangisi tek? Bir piti piti oyunu. Çakal ol: hepsini topla.

1. Toplam: (a + 3b) + (3a + 5b + c) + (a + b + 5c) = 5a + 9b + 6c.
2. İki çift + bir tek = tek. Yani toplam tektir.
3. 5a + 9b + 6c tek. 6c = çift (2'nin çarpanı var). 5a + 9b tek (çift + ? = tek → ? tek).
4. 5 tek → 5a'nın teklik–çiftliği a'nın teklik–çiftliğine bağlı. Benzer şekilde 9b → b'ye bağlı.
5. Aslında 5a + 9b tek ⇔ a + b tek (tek katsayılar sınıfı değiştirmez).
6. Bu bilgiyle a ve b'den biri tek biri çift (ama hangisi?) — Ek analiz yaparsak:
7. Üçüncü ifade a + b + 5c. a + b tek → bu ifadenin teklik–çiftliği 5c'ye bağlı. Yani c'ye.
8. İkinci ifade 3a + 5b + c. 3a + 5b'nin sınıfı a + b'ye eşit (tek). Bu → ifadenin sınıfı c'ye bağlı.
9. Birinci ifade a + 3b. Bu a + b'ye eşit sınıfta (tek).
10. Yani birinci ifade tektir. Diğer ikisi çift olmalı → c çift ve a + b + 5c = çift + 5c; 5c = çift ⇒ a + b + çift = çift ⇒ a + b = çift. Çelişki!
11. Hesapta hata var; hocanın yolundan gidelim daha doğrudan: 5a + 9b + 6c'de 6c çift. 5a + 9b tek. Hoca kestirme yaparak 9b tek → b tek diyor. Ama bu, 5a'nın çift olmasını gerektirir; yani a çift.
12. Test et: a = 2, b = 1. İfadeler: 2 + 3 = 5 (tek), 6 + 5 + c = 11 + c, 2 + 1 + 5c = 3 + 5c. Bu iki çift + bir tek olacak şekilde c ayarlanmalı.
13. c = 1 deneyelim: 11 + 1 = 12 (çift), 3 + 5 = 8 (çift). Evet iki çift + bir tek oldu (birinci tek). Koşul sağlandı.
14. Sonuç: b tek, a çift (ve c tek).

Not: Hocanın pratik yolu: "Hepsini topla → 5a + 9b + 6c çıkar → 6c çift kesin → 5a ve 9b'den biri tek. 9b tekse b tek. Katsayı 9 önemli değil, b'nin sınıfına eşittir."

Çözümlü Örnek 2 — A + B + C = Çift

A, B, C tam sayıları için A + B + C çift olduğuna göre aşağıdaki seçeneklerden en az biri kesin söylenebilir:

• A) Üçü de çift.
• B) Üçü de tek.
• C) İkisi tek biri çift.
• D) İkisi çift biri tek.

1. A: çift + çift + çift = çift ✓ olur ama her zaman üçü çift demek değil.
2. B: tek + tek + tek = tek — yanlış.
3. C: tek + tek + çift = çift ✓ olur.
4. D: çift + çift + tek = tek — yanlış.
5. Doğru cevap "üçü çift VEYA ikisi tek biri çift" olabilir. Yani A VEYA C.

Tek–çift sorularının bir kısmı "Eğer A çift ise B çifttir" veya "a tek ise c çift olamaz" gibi koşullu (ise–öyleyse) yargılardan oluşur. Bu tür sorularda Hoca'nın tavsiyesi net: tüm seçenekleri bir tabloda listele, her satırı denkleme uygulayarak koşulun sağlanıp sağlanmadığını kontrol et.

Yöntem

1. Değişkenlerin alabileceği tek/çift durumlarını sistematik listele.
2. Her satırı soruda verilen denkleme yerleştir. Sağlıyor mu? Sağlıyorsa o satır geçerli.
3. Geçerli satırlar arasında istenen yargı her seferinde doğru mu diye kontrol et.
4. Koşullu yargılarda "her geçerli durumda sağlanmalı" → tek bir karşı örnek yargıyı devirir.

Çözümlü Örnek 1 — 3 Değişkenli Sistem

a, b, c 1'den büyük pozitif tam sayılar ve a + b = c olduğuna göre aşağıdaki yargılardan hangisi/hangileri daima doğrudur?

• I. a çift ise b çifttir.
• II. a tek ise c çifttir.
• III. c tek ise b çifttir.

Önce a + b = c denklemini sağlayan olası (a, b, c) sınıf kombinasyonlarını listele:

a	b	c = a + b	Geçerli mi?
Çift	Çift	Çift	✓
Çift	Tek	Tek	✓
Tek	Çift	Tek	✓
Tek	Tek	Çift	✓

Şimdi yargıları kontrol et:

• I. a çift ise b çifttir: a çift olan satırlar: 1. (b çift ✓) ve 2. (b tek ✗). b bazen tek olabiliyor. Daima doğru değil.
• II. a tek ise c çifttir: a tek olan satırlar: 3. (c tek ✗) ve 4. (c çift ✓). c bazen tek olabiliyor. Daima doğru değil.
• III. c tek ise b çifttir: c tek olan satırlar: 2. (b tek ✗) ve 3. (b çift ✓). b bazen tek olabiliyor. Daima doğru değil.

Hmm, üçü de daima doğru değil mi? Test tekrar et — özellikle III için c tek olan satır 2: a çift, b tek, c tek. "c tek ise b çift" diyor ama burada c tek iken b tek. Demek ki III daima doğru değil. Doğru cevap: hiçbiri daima doğru değildir (eğer şıklarda "hiçbiri" varsa).

Not: Hocanın orijinal soruda III daima doğru çıkıyordu çünkü soru biraz farklıydı (yargı yönü değişik). Buradaki örnek konuyu göstermek için basitleştirildi.

Çözümlü Örnek 2 — "Her Zaman Tek"

x · y tek, x + y + z tek olduğuna göre z çift midir?

1. x · y tek → x ve y hepsi tek.
2. x + y = tek + tek = çift.
3. x + y + z tek → çift + z tek → z tek olmalı (çift + tek = tek).
4. Sonuç: z tektir, çift değildir.

Tablo Hazırlama İpucu

Değişken sayısı arttıkça ihtimal sayısı 2ⁿ kadar büyür: 2 değişkende 4, 3'te 8, 4'te 16. Akıllıca ilerlemek için verilen koşulu baştan uygula; geçerli satırları süz, sadece onlarla çalış.

ÖSYM 2020'den beri "yeni nesil" (pedagojik, hayat temalı) sorular soruyor. Tek–çift konusunda bu soruların klasik kalıbı: döngüsel olaylar (ip çekme, lamba, ışık) üzerinden teklik–çiftlik paritesi kurma.

Kalıp: Döngüsel Lamba

Kapalı bir lambanın ipi çekilip bırakılıyor. Çekim sırası:

1. Birinci çekim: Loş ışık.
2. İkinci çekim: Gün ışığı.
3. Üçüncü çekim: Parlak ışık.
4. Dördüncü çekim: Kapalı.
5. Beşinci çekim: Tekrar loş (döngü başa döner).

Bu 4'lü bir döngü olduğundan, n. çekimde lambanın durumu n mod 4'e göre belirlenir:

n mod 4	Durum	n formatı
1	Loş	4k + 1
2	Gün ışığı	4k + 2
3	Parlak	4k + 3
0	Kapalı	4k

Çözümlü Örnek — Hocanın Sorusu

Başlangıçta kapalı olan lambanın ipi önce A kez çekiliyor ve lamba parlak veriyor. Ardından B kez daha çekiliyor, gün ışığı veriyor. Son olarak C kez daha çekiliyor ve lamba kapanıyor. Hangileri çift sayıdır?

A) A   B) B · C   C) B · C + 1   D) (A − B) + C   E) C

1. A çekimden sonra parlak ışık → A = 4k + 3 formatında. Yani A = çift + tek = tek. A tek.
2. A + B çekimden sonra gün ışığı → A + B = 4m + 2 = çift. A tek → B tek (tek + tek = çift).
3. A + B + C çekimden sonra kapalı → A + B + C = 4p = çift. A + B çift → C çift.
4. Şimdi şıkları test et:
   • A: A tek. Elendi.
   • B: B · C = tek · çift = çift. Doğru.
   • C: B · C + 1 = çift + 1 = tek. Elendi.
   • D: (A − B) + C = (tek − tek) + çift = çift + çift = çift. Doğru.
   • E: C çift. Doğru.
5. Soru "hangileri" derse birden fazla doğru olabilir. Doğru seçenekler: B, D, E.

Çözümlü Örnek 2 — Sepetten Top Seçimi

1, 2, 3, 4, 5 numaralı toplar bir sepettedir. Sarp iki top seçiyor; hem toplamı hem çarpımı çift çıkıyor. Mestan kalan üç topu aldığına göre Mestan'ın toplamı kaçtır?

1. İki topun çarpımı çift → en az biri çift olmalı.
2. İki topun toplamı çift → ikisi aynı sınıf (ikisi çift veya ikisi tek).
3. "İki çift" ve "en az bir çift" kesişimi: ikisi de çift.
4. 1-5 arası çift sayılar: {2, 4}. Sarp'ın alabileceği tek set: {2, 4}.
5. Mestan'ın aldığı: {1, 3, 5}.
6. Toplam: 1 + 3 + 5 = 9.
7. Sonuç: 9.

Matematik sorularında bazen kavramları yeniden tanımlayarak tuzak kurulur. Tek–çift konusunda klasik bir örnek: "tek grup" ve "çift grup" tanımları. Hoca uyarıyor: "Tek grup diyor tek sayı demiyor. Dikkat et."

Verilen Tanım

Bir grubun içindeki kadın ve erkek sayısı eşitse o grup "çift grup"tur. Eşit değilse "tek grup"tur.

Dikkat: Tanım kişi sayısının teklik–çiftliği ile ilgili değil; kadın–erkek sayılarının eşitliği ile ilgili.

Örnekler

• Kadın: 2, Erkek: 4 → eşit değil → tek grup (toplam kişi sayısı 6 çift ama fark eder mi? Etmez.)
• Kadın: 3, Erkek: 3 → eşit → çift grup.
• Kadın: 2, Erkek: 3 → eşit değil → tek grup.

Çözümlü Örnek — Hocanın Sorusu

Bir tek gruba aşağıdaki eklemelerden hangisi yapılırsa yeni oluşan grup kesinlikle tek grup olur?

• I. 2 kadın + 1 erkek
• II. 2 kadın
• III. 2 kadın + 2 erkek

Tek grup: kadın sayısı x, erkek sayısı y, x ≠ y.

1. I. 2 kadın + 1 erkek: yeni grup x+2 kadın, y+1 erkek. Kesinlikle x+2 ≠ y+1 demek: x + 1 ≠ y. Orijinal koşul x ≠ y; bu x + 1 = y ihtimalini engellemiyor. Karşı örnek: x=2, y=3 → x+2=4, y+1=4 → EŞİT! Tek grup olamadı, çift grup oldu. I garanti değil.
2. II. 2 kadın: yeni grup x+2 kadın, y erkek. Kesinlikle x+2 ≠ y. Orijinal koşul x ≠ y; bu y = x + 2 ihtimalini engellemiyor. Karşı örnek: x=2, y=4 → x+2=4, y=4 → EŞİT! II garanti değil.
3. III. 2 kadın + 2 erkek: yeni grup x+2 kadın, y+2 erkek. x + 2 = y + 2 ⇔ x = y. Ama orijinalde x ≠ y. Demek ki x + 2 ≠ y + 2 ⇒ yeni grup kesinlikle tek grup. III garanti.
4. Sonuç: Yalnız III.

Hocanın Kazanımı

"Farkı koruyan işlem" kavramı — her iki tarafa aynı sayıyı eklemek farkı değiştirmez. Yani x ≠ y → x + k ≠ y + k. Ama farklı sayılar eklersek (2 kadın, 1 erkek gibi) farkı 1 birim değiştirdiğimiz için önceden eşitsizlik sağlandığı hâlde yeni grupta eşitlik oluşabilir.

Çözümlü Örnek — Sayısal Uyarlama

Tanım: "ikili çarpım" (x, y): x · y çift ise ikili çifttir, aksi takdirde tektir. (3, 5), (2, 7), (4, 6) ikililerinden kaçı çifttir?

1. (3, 5): 3 · 5 = 15 tek → tek ikili.
2. (2, 7): 2 · 7 = 14 çift → çift ikili.
3. (4, 6): 4 · 6 = 24 çift → çift ikili.
4. Sonuç: 2 tanesi çifttir.

Tek–çift sorularının bir alt türü: belirli bir aralıkta kaç tane tek, kaç tane çift sayı olduğunu saymak. Bu genelde "yeni nesil" paragraflı sorularda karşımıza çıkar ve bazen tek–çift sayılarının eşit olmadığı yerlere dikkat çeker.

Temel Kural: Ardışık 2k Tam Sayıda Tek ve Çift Eşittir

Ardışık olarak 2k tane tam sayı (çift sayıda terim) alırsak, tam yarısı tek, yarısı çifttir.

Sınır Değerler

Aralığın uçlarına dikkat! Örnek: 4'ten 56'ya kadar (4 ve 56 dahil) kaç tane sayı var, kaç tanesi tek, kaç tanesi çift?

1. Toplam sayı: 56 − 4 + 1 = 53.
2. Ama 53 tek sayıda terim; tek sayılar ve çift sayılar eşit olamaz.
3. 4 çift, 5 tek, 6 çift, 7 tek, ..., 55 tek, 56 çift.
4. Başlangıç çift (4), bitiş çift (56). Çift sayılar: 4, 6, 8, ..., 56 = (56−4)/2 + 1 = 27 tane.
5. Tek sayılar: 5, 7, 9, ..., 55 = (55−5)/2 + 1 = 26 tane.
6. Çift sayılar (27) tek sayılardan (26) bir fazladır.

Kural Seti

Aralık	Başlangıç–Bitiş	Tek Sayısı	Çift Sayısı
Çift başlar, çift biter	Mesela 4–56	Bir eksik	Bir fazla
Tek başlar, tek biter	Mesela 3–57	Bir fazla	Bir eksik
Çift başlar, tek biter	Mesela 4–57	Eşit	Eşit
Tek başlar, çift biter	Mesela 3–56	Eşit	Eşit

"Kadar" ve "Arasında" Farkı

Türkçe kelimesi ile matematiksel karşılığı karıştırmamak lazım:

• "X'ten Y'ye kadar" → X ve Y dahil. Aralık: [X, Y].
• "X ile Y arasında" → X ve Y dahil değil. Aralık: (X, Y).

Çözümlü Örnek — Üç Kutu Problemi

4 ile 56 arasındaki (4 ve 56 dahil) sayılar üç kutuya şöyle dağıtılıyor: 1. kutuya bazı tek sayılar, 2. kutuya bazı çift sayılar, 3. kutuya kalanlar. "3. kutuda tek bir çift sayı varsa 1. ve 2. kutuda eşit sayıda taş vardır" yargısı doğru mudur?

1. Toplam sayılar: 4–56 arasında 53 tane (27 çift, 26 tek).
2. 3. kutuda tek bir çift sayı varsa diğer 52 sayı 1. ve 2. kutularda dağılmış.
3. 1. kutuda tekler var: en fazla 26 tane.
4. 2. kutuda çiftler var: en fazla 27 − 1 = 26 tane (biri 3. kutuya gitti).
5. Eğer 1. kutuya 26 tek ve 2. kutuya 26 çift konmuşsa sayılar eşit. Yargı doğrulanabilir.
6. Hoca'nın ifadesiyle "bir çift fazla → 3. kutuya o fazla çifti koyduğunda 1. ve 2. kutudakilerin adedi eşit olur."

Bu başlık, şu ana kadar öğrendiklerini tuzak haritası olarak özetler. ÖSYM (hem TYT'de hem KPSS'de) tek–çift sorularında belirli kalıpları sürekli tekrar eder.

Tuzak Haritası

Tuzak	Ne Yapar?	Nasıl Çözülür?
"x gerçel sayı"	x için tek/çift hükmü verdirme	Yalnız kx seviyesinde kal
"n çift doğal sayı"	n = 0 ihtimalini unuttur	Özel olarak n = 0 değerini test et
Çift0 tuzağı	(çift)n hep çift sandırma	n pozitif tam sayı mı? Kontrol et
0! = 1 istisnası	n! hep çift sandırma	n ≥ 2 için n! çift; n = 0, 1 için tek
n/2 belirsizliği	n çift olunca n/2 çift sandırma	n'nin 4'ün katı mı olduğunu kontrol et
Rasyonel eşitlik	Kesirli hâlde analiz ettirme	İp gibi diz → çarpıma dönüştür
Çokluk piti piti	Parçaları tek tek çözdürme	Hepsini topla, bütüne bak
"Daima/kesinlikle"	Tek değerle karar verdirme	Tüm durumları listele, karşı örnek ara
Tanım oyunu	"Tek grup"un tek sayı sandırma	Verilen tanımı harfi harfine uygula

Çözümlü Örnek — 2025 ÖSYM

a, b, c tam sayılar olmak üzere (a + b) · c çift bir tam sayı ise a + c ifadesi ne olabilir?

1. İp gibi dizdim: (a + b) · c çift → (a + b) veya c'den en az biri çift.
2. a + c = a'ya c ekleme.
3. Durumları listele:
   • c çift: a + c = a'nın sınıfına eşit. Ama a bilinmiyor → tek ya da çift.
   • c tek ve (a+b) çift: a + b çift → a ve b aynı sınıfta. a tek ise b tek; a çift ise b çift. a + c = a + tek → a'nın tersine sınıf.
4. Hangi durumda olursak olalım, a + c hem tek hem çift olabiliyor.
5. Soru eğer "aşağıdakilerden hangisi kesin?" tipinde ise kesin bir şey söylenemez.

Hocanın Öğütleri

1. Ortak çarpan gördün mü, paranteze al. Matematik boşuna ortak çarpan vermez.
2. Rasyonel eşitlik gördün mü, ip gibi diz. Kesirle çalışma.
3. Üslü ifade gördün mü, önce üsse bak. Pozitif tam sayı mı?
4. Faktöriyel gördün mü, 0! = 1 istisnasını hatırla.
5. "Doğal sayı" gördün mü, 0'ı unutma.
6. "Gerçel sayı" gördün mü, temel bileşene inme.
7. Çokluk gördün mü, bütüne bak. Parçaları ayrı çözme.
8. "Daima" gördün mü, tüm durumları yaz. Tek değer yetmez.
9. Özel tanım gördün mü, sözlük değilmiş gibi uygula. "Tek grup" ≠ "tek sayı".

Son Çözümlü Örnek — 2025 Taze Soru

a, b, c tam sayıları için a + b çift, (a + c) · b tek. Daima çift olan ifade hangisidir?

Şıklar: I. a + b + c   II. a · (b + c)   III. a + b · c

1. a + b çift → a ve b aynı sınıf.
2. (a + c) · b tek → (a + c) tek ve b tek.
3. b tek → a da tek (aynı sınıf).
4. a tek, (a + c) tek → c = (a + c) − a = tek − tek = çift.
5. Özet: a tek, b tek, c çift.
6. I: tek + tek + çift = çift + çift = çift. Doğru.
7. II: tek · (tek + çift) = tek · tek = tek. Elendi.
8. III: tek + tek · çift = tek + çift = tek. Elendi.
9. Cevap: Yalnız I.