TYT Matematik — Temel Kavramlar (Sayı Kümeleri, Rakam, Sayma Sayıları)

TYT Matematik 40 soruluk bir testtir. Testin ilk 3–5 sorusu neredeyse her yıl "rakam, sayı kümesi, değer verme, max/min" gibi temel kavramlar üzerinden kurgulanır. Bu konu bir moral deposudur: hızlı ve doğru çözülürse öğrenci kitapçığa enerjiyle girer; takılırsa ilk 10 dakikasını kaybeder.

Ama konunun asıl değeri TYT'den de büyüktür. Bu konuda öğrendiğin "toplamı sabit iki sayının çarpımı ne zaman en büyük olur?", "ax+by=c eşitliğini kaç farklı (x,y) ikilisi sağlar?", "(ax+b)/x ifadesi tam sayı olacak şekilde x kaç değer alır?" türü yapılar; AYT'de fonksiyon, diziler, polinom, türev sorularının içine gizlenir. Aynı iskelet, farklı kostümle karşımıza çıkar.

Bu Konuda Beklenen Düşünme Biçimi

Hoca bu konuda sürekli tekrar eden iki cümleyi vurguluyor: "Bilinmeyen harf adedin eşitlik adedinden fazlaysa net sonuç bulamazsın — bu bir değer verme sorusudur." ve "Deneme yanılmada en küçükten başla, kendini kısıtlayan yerde dur." Bu iki cümle hem bu konunun hem de TYT problemlerinin yarısının şifresidir.

Sayı Yapıları	Soru Tipleri	Stratejiler
Rakam, basamak, sayı	Rakam yerleştirmeli 4 işlem	En küçükten başla, yuvarlak içine al
Sayma, doğal, tam, rasyonel, irrasyonel, gerçel	Toplamı/çarpımı verilen max-min	Uzak al – yakın al kuralı, ok tekniği
Pozitif – negatif – sıfır	Diofant ax+by=c	Başlangıç değerini 0 ile ara, çaprazlar kadar sıçra
Bölen, kat, tam sayılı kesir	Kesirli ifade tam sayı olsun	Kalp tekniği (altta tek terim) / polinom bölmesi

Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar kümesi şudur:

Rakamlar = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Toplamda 10 adet rakam vardır. "0 da bir rakamdır" bilgisi TYT'de en çok atlanan detaydır. Öğrenciler sözlü olarak "1, 2, 3 … 9" diye sayar ve 9 tane rakam var sanır; sıfır unutulur.

Sayılar ise bu rakamların bir araya getirilmesiyle oluşur. "7", "15", "−3", "1/2", "√3" hepsi birer sayıdır — ama 15 iki rakamdan (1 ve 5) oluşan bir sayıdır. Günlük hayattaki her niceliği (kilo, para, uzaklık, zaman) sayılarla ifade ederiz.

Örnek 1 — "Rakam" mı "Sayı" mı Ayrımı

a ve b birer rakam olmak üzere a · b = 24 eşitliğini sağlayan kaç farklı (a, b) ikilisi vardır?

Çözüm yöntemi: En küçük a değerinden başlayıp sistematik tara. a = 1 → b = 24 (rakam değil ✗). a = 2 → b = 12 (rakam değil ✗). a = 3 → b = 8 ✓. a = 4 → b = 6 ✓. a = 5 → 24/5 tam değil ✗. a = 6 → b = 4 ✓. a = 7 → tam değil ✗. a = 8 → b = 3 ✓. a = 9 → tam değil ✗. Toplamda 4 farklı ikili: (3,8), (4,6), (6,4), (8,3). "Kaç farklı a değeri?" sorulsaydı cevap yine 4 olurdu.

Matematikte sayıları gruplandırırken halka halka büyüyen bir hiyerarşi kullanırız. Her yeni küme, bir öncekini içine alır (kapsar).

Küme	Sembol	Elemanlar	Örnek
Sayma sayıları	S (bazen ℕ*)	{1, 2, 3, …}	1, 7, 100
Doğal sayılar	ℕ	{0, 1, 2, 3, …}	0, 5, 99
Tam sayılar	ℤ	{…, −2, −1, 0, 1, 2, …}	−7, 0, 4
Rasyonel sayılar	ℚ	a/b biçiminde yazılabilen (a, b ∈ ℤ, b ≠ 0)	1/2, −3/5, 0,75, √4
İrrasyonel sayılar	ℚ′	a/b biçiminde yazılamayan	√2, √3, π, e
Gerçel (reel) sayılar	ℝ	ℚ ∪ ℚ′ (hepsi)	−3, 0, 1/2, √2, π

S ⊂ ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Her Kümenin Özellikleri

Sayma sayıları (S): Adı üstünde — bir şeyleri saymaya başladığımızda ilk söylediğimiz "1" ile başlar. Sıfır bir sayma sayısı değildir. En küçük sayma sayısı 1'dir.

Doğal sayılar (ℕ): Sayma sayılarına sıfır eklenmiş halidir. "Natural" kelimesinden gelir. Negatif sayı içermez. En küçük doğal sayı 0'dır.

Tam sayılar (ℤ): Doğal sayılara negatiflerini ekleriz. "Zahl" (Almanca: sayı) kelimesinden gelir. Alt kümeleri:

• Pozitif tam sayılar (ℤ⁺) = {1, 2, 3, …} = sayma sayıları
• Negatif tam sayılar (ℤ⁻) = {…, −3, −2, −1}
• Sıfır (0): ne pozitif ne negatiftir — nötrdür

Rasyonel sayılar (ℚ): Hoca diyor: "Rasyonel sayı = köksüz yazabildiğim sayılar". Resmî tanım: a ve b tam sayı, b ≠ 0 olmak üzere a/b biçiminde yazılabilen sayılardır. Paydanın sıfır olmaması şarttır — aksi halde tanımsız olur. √4 = 2 rasyoneldir (köksüz yazılabildi); 0,75 rasyoneldir (= 3/4). Sonlu ondalıklar ve periyodik ondalıklar da rasyoneldir: 0,333… = 1/3.

İrrasyonel sayılar (ℚ′): Hoca diyor: "Köklü yazmak zorunda kaldıklarım veya sonu belli olmayanlar." Kesir biçiminde yazılamazlar. Klasik örnekler: √2, √3, √5, π (≈ 3,14159…), e (≈ 2,71828…). Virgülden sonraki basamakları ne sona erer ne de periyodik tekrar eder.

Gerçel sayılar (ℝ): Sayı doğrusundaki tüm noktaların kümesi. Rasyonellerle irrasyonellerin birleşimi. Bir sayı ya rasyoneldir ya irrasyoneldir — ikisinin kesişimi boş kümedir.

Örnek 2 — TYT 2024 Tarzı Soru

Aşağıdakilerden hangisi rasyonel olmayan bir gerçel sayıdır?

A) 1/3   B) √9   C) 2³   D) √5   E) i (sanal birim)

Çözüm: Soru iki aşamalıdır. Önce "rasyonel olmayan" diyor — rasyonel şıkları eler. Sonra "gerçel sayı" diyor — sanal sayıları (i gibi) eler.
• 1/3 → rasyonel ✗
• √9 = 3 → rasyonel ✗
• 2³ = 8 → rasyonel ✗
• √5 → irrasyonel ve reel ✓
• i → irrasyonel ama reel değil (sanal) ✗
Cevap: D) √5.

Bir sayı kümesindeki elemanların toplamı, çarpımı, farkı her zaman aynı kümede olmaz. TYT'de "P ile R'nin toplamı nedir?" biçiminde küme diyagramı üzerinden sorular gelir.

Örneğin bir Venn şemasında P: doğal sayılar, R: doğal olmayan tam sayılar (yani negatif tam sayılar), S: tam olmayan rasyoneller (1/2, 3/5 gibi), T: rasyonel olmayan gerçeller (√2, π gibi) bölgeleri verildiğini düşün.

Örnek 3 — Küme Bölgesi Soruları

Aşağıdaki şemaya göre (P doğal, R negatif tam, S tam olmayan rasyonel, T irrasyonel) hangi ifadeler daima doğrudur?

I) P + R her zaman bir tam sayıdır.
II) P + T her zaman irrasyoneldir.
III) R + S sıfır olabilir.

Çözüm:

• I) Doğru. P doğal (örn. 10), R negatif tam (örn. −7). İkisi de tam sayı; iki tam sayının toplamı daima tam sayıdır. Sonuçta rasyonellik veya köklü ortaya çıkma ihtimali yok.
• II) Doğru. P doğal (rasyonel), T irrasyonel (örn. √2). Rasyonel + irrasyonel daima irrasyoneldir. Çünkü toplamda "köklü" kısım hiçbir şekilde kaybolmaz — 2 + √2 ifadesinde √2 yok olmaz.
• III) Yanlış. R ∈ {…, −3, −2, −1}, S tam olmayan rasyoneller (1/2, 3/5 gibi). Toplamlarının 0 olabilmesi için R = −3 iken S = 3 olması gerek. Ama 3 bir tam sayıdır, S bölgesinde olamaz (S'nin elemanları tam olmayan rasyonellerdir). Dolayısıyla R + S = 0 mümkün değildir.

Cevap: Yalnız I ve II doğru.

TYT'nin klasiklerinden biri: "x, y, z birbirinden farklı rakamlardır. 3x + 5y − 2z ifadesinin en büyük / en küçük değerini bul." Bu tipte tek tek deneme yapmak zorunda değilsin. Hocanın ok tekniği seni saniyeler içinde sonuca götürür.

Ok Tekniği — Adım Adım

1. Amaç oku: Soru "max" mı soruyor? Yukarı ok (↑) koy. "Min" mi? Aşağı ok (↓) koy. Bu senin olmak istediğin yön.
2. Terim okları: Her değişkenin katsayısının işaretine bak.
   • Katsayı pozitifse → amaç okuyla aynı yönde ok (yani max'ta yukarı, min'de aşağı).
   • Katsayı negatifse → amaç okunun zıt yönünde ok (yani max'ta aşağı, min'de yukarı).
3. Değer ataması: Yukarı oklu değişkenlere büyük rakamları (9, 8, 7…), aşağı oklu olanlara küçük rakamları (0, 1, 2…) ata.
4. Öncelik kuralı: En büyük etkili terim, katsayısı mutlak değerce en büyük olandır. Ona en uç rakamı (9 veya 0) önce sen ver.

Örnek 4 — Ok Tekniği Uygulaması

x, y, z birbirinden farklı rakamlar olmak üzere 2x − 3y + 4z ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Çözüm:

• Amaç: max → yukarı ok (↑).
• 2x (katsayı +2): yukarı ok → x büyük.
• −3y (katsayı −3): aşağı ok → y küçük.
• 4z (katsayı +4): yukarı ok → z büyük.
• Etki sıralaması: |4| > |3| > |2|, yani z en etkili. Önce z'ye en büyük rakamı ver: z = 9.
• Sonra x'e ikinci büyük: x = 8.
• y'ye en küçük: y = 0.

Hesap: 2·8 − 3·0 + 4·9 = 16 − 0 + 36 = 52.

Örnek 5 — Karışık İfade

a, b, c birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, a + 3b ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Çözüm: Amaç max (↑). Her iki katsayı da pozitif → her ikisi de yukarı ok. Etki sıralaması: b'nin katsayısı 3, a'nın 1. Öncelik b'de. b = 9, a = 8. 8 + 3·9 = 8 + 27 = 35.

ÖSYM TYT'de sıklıkla şu formatı kullanır: dört ayrı rakam verilir (örneğin 2, 3, 4, 7, 8) ve her birini yalnız bir kez kullanarak bir ifade oluşturman istenir: "A × B = 12, C / D = 2, E + F = 7 …" gibi. Şıklar genellikle kullanılmayan rakamların toplamını sorar.

Böyle sorularda hocanın kuralı çok nettir: Önce çarpma ve bölmeye bak. Çünkü toplama ve çıkarma çok sayıda kombinasyon üretirken, çarpma ve bölme seni kısıtlar. Kısıtlayan veriden başlarsan seçenekleri hızlı daraltırsın.

Neden Çarpma ve Bölme Öncelikli?

Toplamı 7 olan iki farklı rakam kaç tane var? (1,6), (2,5), (3,4), (0,7) → 4 seçenek. Çarpımı 7 olan iki farklı rakam? (1,7) → sadece 1 seçenek. Bölümü 7 olan iki farklı rakam? (7,1) → sadece 1 seçenek. Çarpma/bölmede seçenek az, toplama/çıkarmada seçenek çok.

Örnek 6 — Rakam Yerleştirmesi

A = {1, 3, 5, 7, 9} kümesinden birer kez kullanılarak birbirinden farklı a, b, c, d, e rakamları seçilecektir. Aşağıdaki koşullar sağlanıyor:

• a ÷ b = 5
• c + d = 10
• e = kullanılmayan tek rakam

Buna göre e'nin değeri kaçtır?

Çözüm: Önce kısıtlayıcı koşuldan başlıyoruz — bölme.

• 1. adım — bölme: a/b = 5 olacak. Küme {1, 3, 5, 7, 9}. Denemeler: 5/1 = 5 ✓, 15/3 = 5 ama 15 kümede yok, 25/5 ama aynı rakam tekrar edilemez. Tek çözüm: a = 5, b = 1.
• 2. adım — toplam: Kalan rakamlar {3, 7, 9}. c + d = 10 olacak. Denemeler: 3 + 7 = 10 ✓, 3 + 9 = 12 ✗, 7 + 9 = 16 ✗. Tek çözüm: {c, d} = {3, 7}.
• 3. adım — kalan: Kümeden {5, 1, 3, 7} kullanıldı. Geriye yalnızca 9 kaldı → e = 9.

Cevap: e = 9.

Örnek 7 — Dört İşlem Birden (Klasik ÖSYM Formatı)

{2, 3, 4, 6, 7, 8, 9} kümesinden altı rakam birer kez seçilerek birbirinden farklı a, b, c, d, e, f rakamları belirlenecektir. Aşağıdaki koşullar sağlanıyor:

• a × b = 12
• c ÷ d = 2
• e − f = 2

Buna göre kullanılmayan rakam kaçtır?

Çözüm: Hocanın kuralı: önce kısıtlayıcı koşullardan başla — çarpma ve bölme.

• 1. adım — çarpma: a·b = 12. Kümedeki rakamlarla iki seçenek var: (3, 4) veya (2, 6). İkisini de adayda tut.
• 2. adım — bölme (deneme 1): (a, b) = (3, 4) seçersek kalan {2, 6, 7, 8, 9}. c/d = 2 olacak: 6/3 ✗ (3 kullanıldı), 8/4 ✗ (4 kullanıldı), 6/2 = 3 ✗, 8/2 = 4 ✗. Kalan rakamlarla c/d = 2 kurulamıyor. Geri dön.
• 3. adım — bölme (deneme 2): (a, b) = (2, 6) seçersek kalan {3, 4, 7, 8, 9}. c/d = 2: 8/4 = 2 ✓. (c, d) = (8, 4) oldu.
• 4. adım — çıkarma: Kalan rakamlar {3, 7, 9}. e − f = 2: 9 − 7 = 2 ✓. (e, f) = (9, 7) oldu.
• 5. adım — kalan rakam: Kullanılanlar {2, 6, 8, 4, 9, 7}. Kümede geriye yalnızca 3 kaldı.

Cevap: 3.

Bu konunun en sevilen soru tipi. Soru kalıbı: "a + b = 12 ise a · b çarpımının en büyük / en küçük değeri kaçtır?"

Hocanın Altın Kuralı: Uzak Al – Yakın Al

Neden? Matematiksel olarak a + b sabit iken, a·b çarpımı a = b olduğunda maksimum, farklar büyüdükçe minimuma gider. Bunu hoca sayı tablosuyla gösteriyor:

a	b (a + b = 12)	a · b
1	11	11 (en uzak → min)
2	10	20
3	9	27
4	8	32
5	7	35
6	6	36 (en yakın → max)
7	5	35
11	1	11

Görüldüğü gibi çarpım, (6, 6) ikilisinde maksimum 36, (1, 11) ikilisinde minimum 11 değerini alıyor — bunlar "sayma sayısı" durumu içindir.

Sayı Kümesi Tuzağı — En Kritik Ayrım

Buraya dikkat: hangi sayı kümesinde olduğu cevabı tamamen değiştirir.

• Sayma sayısı (pozitif tam): en küçük değer 1. a + b = 12 için min çarpım = 1 · 11 = 11.
• Doğal sayı (0 dahil): en küçük değer 0. a + b = 12 için min çarpım = 0 · 12 = 0.
• Tam sayı (negatif dahil): en küçük değer yok (sonsuza kadar negatif gidebilir). Örneğin a = −100, b = 112 → a·b = −11200. Tam sayı denilen soruda çarpımın min değeri yoktur. Bu tuzağa düşme — soruyu iyi oku.

"Birbirinden Farklı" Tuzağı

Soruda "a ve b birbirinden farklı" ise a = b = 6 diyemezsin. O zaman max'a ikinci en yakını seç: (5, 7) veya (7, 5) → 5·7 = 35. Hoca buna "al gülüm ver gülüm" diyor: 6'dan 1 alırsın, diğerine verirsin, 5 ve 7 olur. Max çarpım 35.

Örnek 8 — Sayma Sayısı

a ve b sayma sayıları ve a + b = 24 olduğuna göre a·b çarpımının alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin toplamı kaçtır?

Çözüm:

• Max için en yakın: 24/2 = 12. a = b = 12 → çarpım = 144.
• Min için en uzak: sayma sayısı olduğu için en küçük 1. a = 1, b = 23 → çarpım = 23.
• Toplam: 144 + 23 = 167.

Örnek 9 — "Birbirinden Farklı" Eklenince

Aynı soruda a ve b birbirinden farklı sayma sayıları ise max ve min toplamı kaçtır?

Çözüm:

• Max için: 12'ye eşit ol diyemiyoruz. En yakın farklı ikili (11, 13) → 11·13 = 143.
• Min değişmiyor (1 ile 23 zaten farklı): 23.
• Toplam: 143 + 23 = 166.

Şimdi kulağı tersten tutuyoruz. Bu sefer çarpım sabit, toplamın max/min'i soruluyor. Yine bir tablo ile mantığı görelim.

x · y = 12 olacak şekilde pozitif tam sayı ikilileri ve toplamları:

x	y	x + y
1	12	13 (en uzak → max)
2	6	8
3	4	7 (en yakın → min)
4	3	7
6	2	8
12	1	13

Burada dikkat: uzak al → max, yakın al → min. Öncekiyle tam tersi görünüyor ama aslında aynı kuralla birleşir. Hocanın özeti: "Uzak al, yakın al. Büyük olan max'tır, küçük olan min'dir. Arada derede kalan orta değerlerdir. Hangisinde uzakta hangisinde yakında diye düşünme."

"Tam Sayı" Tuzağı — Negatif Sayılar Devrede

Bu tipte en büyük tuzak, soruda "tam sayı" denildiğinde devreye girer. x · y = 12 için tam sayı çözümleri sadece (1,12), (2,6), (3,4) değildir. Negatifler de var: (−1, −12), (−2, −6), (−3, −4), (−4, −3), (−6, −2), (−12, −1).

Ve negatif ikililerde toplamın değeri çok daha küçüktür: (−1) + (−12) = −13; (−3) + (−4) = −7.

Hocanın sloganı: "Pozitif tarafta en büyük olanın karşılığı, negatif tarafta en küçüktür." Yani (1, 12) pozitif maxsa, eksilisi (−1, −12) negatif min'dir.

Örnek 10 — Tam Sayı Tuzağı

a ve b tam sayılar olmak üzere a·b = 24 ise a + b toplamının alabileceği en büyük ve en küçük değerler arasındaki fark kaçtır?

Çözüm:

• Max (pozitif, en uzak): (1, 24) → toplam = 25.
• Min pozitif gözüyle (yakın): (4, 6) → toplam = 10. Ama tam sayı dedi, eksileri düşün.
• Gerçek min: (−1, −24) → toplam = −25.
• Fark: 25 − (−25) = 50.

Eğer soru "sayma sayısı" veya "doğal sayı" deseydi, negatifler devreye girmez, min = 10 olurdu. Fark = 25 − 10 = 15. Cevap tamamen değişir. İşte bu yüzden "tam sayı" sözcüğünü daima yuvarlak içine almak gerekir.

Örnek 11 — Üç Değişkenli

a, b, c tam sayılar ve a·b = 20, b·c = 24 olduğuna göre a + b + c toplamının en büyük ve en küçük değerlerinin toplamı kaçtır?

Çözüm: Ortak harf b. b küçük olursa hem a hem c büyür; b büyük olursa hem a hem c küçülür.

• Max için b'yi küçült: b = 1. O zaman a = 20, c = 24. Toplam = 1 + 20 + 24 = 45.
• Min için (tam sayı!) aynı pozitif ikililerin eksilisi: b = −1, a = −20, c = −24. Toplam = −45.
• Sonuçların toplamı: 45 + (−45) = 0.

Eğer soru "sayma sayısı" deseydi negatifler olamazdı. Bu sefer min bulmak için b'yi büyütmek gerekirdi: b, 20 ve 24'ün ortak böleni olacak → b = 4. a = 5, c = 6. Toplam = 4 + 5 + 6 = 15. Cevap 45 + 15 = 60 olurdu. Kümeye göre cevap tamamen değişiyor.

Eşitliğinde iki bilinmeyen (x ve y) olan ve tam sayı çözümleri aradığımız denklemlere Diofant denklemi denir. Hocanın telaffuzuyla "diyafon" denklem. Genel biçim: ax + by = c.

Bir eşitlik ve iki bilinmeyen varsa sonsuz tane (x, y) çözümü olabilir. Matematik sana der ki: "Bulamayacaksın, sadece deneme yanılma yapabilirsin — ama akıllı denersen kısa sürer."

Hocanın 3 Adımlı Tekniği

1. Başlangıç değerini yakala. Sırayla x = 0, 1, 2 … deneyerek y'nin istenen kümede bir değer aldığı ilk noktayı bul. "0 ile başlamak en kolay" — sayı kümesi doğal veya tam sayıysa 0 deneme serbesttir.
2. Çapraz katsayı kadar sıçra. ax + by = c denkleminde:
   • x'i b kadar arttırırsan y, a kadar azalır.
   • x'i b kadar azaltırsan y, a kadar artar.
3. Kısıtı kontrol et. Küme doğal/sayma/pozitifse negatife girer girmez dur. Bu kısıt sana kaç çözümün olduğunu söyler.

Örnek 12 — Klasik Diofant

x ve y doğal sayılar olmak üzere 5x + 2y = 60 eşitliğini sağlayan kaç farklı (x, y) ikilisi vardır?

Çözüm:

• Başlangıç: x = 0 verelim → 2y = 60 → y = 30. ✓ Doğal sayı, kabul. Başlangıç: (0, 30).
• Çaprazlar: x'i +2 arttırırsak y, 5 azalır. Yani:

  (0, 30) → (2, 25) → (4, 20) → (6, 15) → (8, 10) → (10, 5) → (12, 0) → (14, −5) ✗

• Kısıt: Doğal sayı dedi. 0 ve pozitifler olabilir. Son geçerli: (12, 0). (14, −5) doğal değil, dur.
• Çözüm ikilileri: (0, 30), (2, 25), (4, 20), (6, 15), (8, 10), (10, 5), (12, 0) → 7 ikili.

Küme değişirse: Soru "sayma sayısı" (yani pozitif tam, x ≥ 1, y ≥ 1) deseydi (0, 30) ve (12, 0) çözüm olmazdı → 5 ikili.

Örnek 13 — Başlangıç Değeri Zor Bulunan

x ve y doğal sayılar olmak üzere 5x + 2y = 61 eşitliğini sağlayan kaç farklı (x, y) ikilisi vardır?

Çözüm:

• x = 0 → 2y = 61 → y tam değil ✗. x = 1 → 5 + 2y = 61 → 2y = 56 → y = 28 ✓. Başlangıç: (1, 28).
• Çaprazlar: x'i +2 arttır, y'yi 5 azalt. (1,28) → (3,23) → (5,18) → (7,13) → (9,8) → (11,3) → (13,−2) ✗.
• Doğal sayı çözümleri: (1,28), (3,23), (5,18), (7,13), (9,8), (11,3) → 6 ikili.

Örnek 14 — Hikâyeli Diofant (TYT Tipi)

Bir öğretmen öğrencisine şunu söylüyor: "Birbirinden farklı iki doğal sayı tut. Birini 2, diğerini 7 ile çarpıp topla, sonucu söyle." Öğrenci 53 diyor.
Öğretmen tekrar soruyor: "Aynı iki sayıdan birini 4, diğerini 5 ile çarpıp toplasaydın, alabileceğin en büyük sonuç kaç olurdu?"

Çözüm: Bu soru iki aşamalıdır. Sakın tek adımda "büyük katsayıya büyük sayı ver" deme — önce hangi (a, b) ikililerinin mümkün olduğunu bulmalısın, sonra her ikili için 4a + 5b ve 5a + 4b olasılıklarını hesaplayıp en büyüğü seçmelisin.

Aşama 1 — Diofant çözüm kümesini bul.

• Eşitlik: 2a + 7b = 53. a, b birbirinden farklı doğal sayılar.
• Başlangıç: b = 1 verelim → 2a = 46 → a = 23 ✓. İlk ikili: (a, b) = (23, 1).
• Çapraz sıçrama: b'yi +2 arttır, a'yı 7 azalt. (23, 1) → (16, 3) → (9, 5) → (2, 7) → (−5, 9) ✗.
• Geçerli ikililer: (23, 1), (16, 3), (9, 5), (2, 7). Dördünde de a ≠ b koşulu sağlanıyor.

Aşama 2 — Her ikili için 4a + 5b değerini hesapla ve maksimumu seç.

Dikkat: soruda "birini 4, diğerini 5 ile çarp" dediği için hangi sayıya 4, hangisine 5 çarpanı geleceği bize serbest bırakılmış. Her ikili için iki kombinasyonu da değerlendir, büyük olanı al.

(a, b)	4a + 5b	5a + 4b	İkili için en büyük
(23, 1)	92 + 5 = 97	115 + 4 = 119	119
(16, 3)	64 + 15 = 79	80 + 12 = 92	92
(9, 5)	36 + 25 = 61	45 + 20 = 65	65
(2, 7)	8 + 35 = 43	10 + 28 = 38	43

Tablodan görüldüğü gibi en büyük sonuç (23, 1) ikilisinde, 5 çarpanı 23'e, 4 çarpanı 1'e gittiğinde: 5·23 + 4·1 = 119.

TYT'nin en önemli kalıplarından biri: "(ax + b) / x ifadesi tam sayı olduğuna göre x'in kaç farklı değeri vardır?" veya "(ax + b) / (x + c) bir tam sayı ise x'in değerler toplamı nedir?".

Bu sorularda nihai amaç, kesirli ifadeyi tam sayılı kesir biçiminde yazmaktır: (tam kısım) + (sabit sayı / paydadaki ifade). Böylece "tam sayı olsun" koşulu sadece sabit sayı / payda kısmına iner.

Tip 1 — Aşağıda Tek Terim Varsa: Kalp Tekniği

Hoca buna "sev soruyu" diyor ve gerçekten kalp çiziyor. Mantık şu: payda sadece bir terim içeriyorsa (x, y, n gibi), kesri ikiye böl. Soldan aynı paydayı kullanan kısmı sadeleştir; sağdan sabit sayıyı paydada bırak.

(5x + 13) / x = 5x/x + 13/x = 5 + 13/x

5x/x kısmı sadeleşir (x'ler gider, 5 kalır). Kalan 13/x için x, 13'ün bir böleni olmalıdır.

Örnek 15 — Pozitif Tam Sayı Kısıtı

x pozitif tam sayı olmak üzere (2x + 10) / x ifadesi tam sayı ise x'in değerler toplamı kaçtır?

Çözüm:

• Kalbi çiz: (2x + 10)/x = 2 + 10/x.
• 2 zaten tam sayı. 10/x'in tam sayı olması için x, 10'un böleni olmalı.
• 10'un pozitif bölenleri: 1, 2, 5, 10.
• Toplam: 1 + 2 + 5 + 10 = 18.

Örnek 16 — Tam Sayı Kısıtı (Negatifler Dahil)

x tam sayı olmak üzere (2x + 10) / x ifadesi tam sayı ise x kaç farklı değer alır?

Çözüm:

• Aynı analiz: 2 + 10/x. x, 10'u bölmeli.
• 10'un tam sayı bölenleri: ±1, ±2, ±5, ±10. (x = 0 yasak, payda sıfır olamaz.)
• Kaç farklı değer? 8 farklı x.

Tip 2 — Aşağıda İki Terim Varsa: Polinom Bölmesi Mantığı

Payda (x + c) gibi iki terimli ise kalp çizemezsin. Hocanın önerisi: "17/5 gibi bileşik kesri 3 tam 2/5 yazmayı biliyorsun → aynı tekniği polinomda kullan."

(5x + 13) / (x + 1) = 5 + 8/(x + 1)

Nasıl bulduk? Paydayı (x+1) aynen bırak. x'leri yakalamak için 5 ile çarp: 5·(x+1) = 5x + 5. Paymız 5x + 13 olduğundan eksik kısım 13 − 5 = 8. O yüzden sonuç 5 + 8/(x+1). Bu polinom bölmesinin kısa yoludur.

Örnek 17 — Payda İki Terim

x tam sayı olmak üzere (5x + 13) / (x + 1) ifadesi tam sayı ise x kaç farklı değer alır?

Çözüm:

• Polinom bölmesi: (5x+13)/(x+1) = 5 + 8/(x+1).
• 5 tam. 8/(x+1) tam olsun: (x+1), 8'in böleni olmalı.
• 8'in tam sayı bölenleri: ±1, ±2, ±4, ±8 → toplam 8 bölen.
• Her birinden x'i bulmak için 1 çıkar: x+1 = 1 → x = 0; x+1 = −1 → x = −2; x+1 = 2 → x = 1; … x+1 = ±8 için x = 7 veya −9.
• Her bölenden 1 farklı x değeri geldiği için x de 8 farklı değer alır.

Tip 3 — İki Bilinmeyenli İfade (TYT'nin Zor Sorusu)

Sorunun ileri versiyonu: "x, y sayma sayıları ve xy − 3y + 2x = 23 eşitliğini sağlıyor. x + y kaçtır?" Burada kalp de polinom bölmesi de doğrudan uygulanamaz. Önce bir değişkeni yalnız bırakıyoruz.

Örnek 18 — Yalnız Bırakma + Polinom Bölmesi

x ve y sayma sayıları olmak üzere xy + 2x − 3y = 23 ise x + y kaçtır?

Çözüm:

• x'i yalnız bırak: xy + 2x = 3y + 23 → x(y + 2) = 3y + 23 → x = (3y + 23)/(y + 2).
• Polinom bölmesi: payda (y+2) aynı kalır; 3·(y+2) = 3y + 6. Eksik: 23 − 6 = 17. Yani x = 3 + 17/(y+2).
• x sayma sayısı olacaksa 17/(y+2) tam sayı olmalı → (y+2), 17'nin böleni. 17 asal, bölenleri: ±1, ±17.
• y sayma sayısı ise y ≥ 1, yani y+2 ≥ 3. Tek seçenek: y + 2 = 17 → y = 15.
• x = 3 + 17/17 = 3 + 1 = 4.
• x + y = 4 + 15 = 19.

Bu tip sorularda AYT'ye de geçerlidir: sorunun "y = f(x) bulunuz" biçiminde fonksiyon sorusu olarak karşına çıktığında çözüm yolu aynıdır. Hocanın uyarısı: "Temeller burada atılıyor, ilerleyen konuların içerisine girdiğinde aynı soru seni bekliyor."

ÖSYM son yıllarda TYT'de temel kavramlar sorularını hikâyeleştiriyor: ağırlıklar, topların sayısı, kutulardaki küpler, boncuk dizileri. Ama matematik iskelet aynıdır — ya Diofant ya max/min ya küme kısıtı.

Örnek 19 — Yeni Nesil Toplam Max/Min (A, B, C, D Kutuları)

A, B, C, D kutularında sırasıyla a, b, c, d adet pozitif tam sayı top vardır. A'da 6a, C'de 9c topla beraber B kutusundaki b topları ile birlikte toplam 53 top bulunmaktadır: 6a + b + 9c = 53. D kutusunda ise a + b + c adet top vardır. D kutusundaki topların alabileceği max ve min değerleri arasındaki fark kaçtır?

Çözüm:

• İstenilen D = a + b + c. Eşitlik: 6a + b + 9c = 53.
• a, b, c pozitif tam sayı.
• D'nin MAX'ı: D'yi büyütmek için katsayısı en büyük olanlara (6a ve 9c) küçük değer ver, b'ye büyük kalsın. a = c = 1 → 6 + b + 9 = 53 → b = 38. D = 1 + 38 + 1 = 40.
• D'nin MIN'i: D'yi küçültmek için katsayısı büyüklere büyük değer ver, b küçük kalsın. 9c'yi olabildiğince büyüt: c'ye verebildiğin en büyük değer ne olur? 9c ≤ 53 − 6·1 − 1 = 46, c ≤ 5 (çünkü 9·6 = 54 aşar). Dene c = 5 → 45. 6a + b = 8. Pozitif çözümler: a = 1 → b = 2. D = 1 + 2 + 5 = 8.
• Fark: 40 − 8 = 32.

Örnek 20 — Tartılan Cisimler (Diofant Altyapısı)

Bir terazide, 3'er kg'lık küplerden a adet ve 8'er kg'lık kürelerden b adet birlikte tartıldığında toplam 46 kg geliyor: 3a + 8b = 46. Buna göre a + b toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? (a, b doğal sayı)

Çözüm:

• a + b büyük olacaksa → en küçük katsayılıya büyük değer ver (çünkü toplam sabit değil, denklem değişiyor). Hocanın hilesi: b'ye en küçük değeri vermek, daha çok a'ya pay bırakır.
• b = 0 → 3a = 46 → a tam değil ✗.
• b = 1 → 3a = 38 → tam değil ✗.
• b = 2 → 3a = 30 → a = 10. a + b = 12.
• b = 3 → 3a = 22 → tam değil ✗.
• b = 4 → 3a = 14 → tam değil ✗.
• b = 5 → 3a = 6 → a = 2. a + b = 7.
• b değeri arttıkça a + b azalıyor. En büyük a + b = 12 (a = 10, b = 2).

Sık Yapılan 5 Hata

Hata	Doğrusu
"Sayma sayıları 0'dan başlar"	Sayma sayıları 1'den başlar; doğal sayılar 0'dan.
0 pozitif veya negatif sanmak	0 nötrdür; ne pozitif ne negatiftir. Ama bir tam sayı ve çift sayıdır.
"Tam sayı" derken negatifleri unutmak	Tam sayı = pozitif + sıfır + negatif. Max/min sorularında eksileri mutlaka düşün.
√4 irrasyonel sanmak	√4 = 2, rasyoneldir. Sadece tam kare olmayan kökler (√2, √3, √5, √7…) irrasyoneldir.
"Birbirinden farklı"yı atlamak	Birbirinden farklı deniyorsa aynı değeri iki harfe veremezsin. Max için "al gülüm ver gülüm" kuralı devreye girer.

Bu konuyu bitirirken TYT'ye kadar kafanda olması gereken 10 cümleyi özetleyelim:

1. 10 rakam var: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Sıfır da bir rakamdır.
2. Sayma sayıları 1'den, doğal sayılar 0'dan başlar. Bu ayrım sınavın tuzağıdır.
3. Tam sayılar negatifi de içerir. "Tam sayı" sözcüğü görünce yuvarlak içine al, negatifi düşün.
4. Rasyonel = köksüz yazabildiğim sayılar (p/q, q ≠ 0). İrrasyonel = köklü veya sonu belirsiz (√2, π, e).
5. Sayı kümeleri hiyerarşisi: S ⊂ ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
6. Rakam yerleştirmeli soruda en küçükten başla ve sistemli dene; ok tekniğiyle katsayısı büyük olana büyük rakam ver.
7. 4 işlem rakam sorusunda önce çarpma ve bölmeye bak — onlar seçenekleri kısıtlar.
8. Toplamı verilen ifadede uzak al → min, yakın al → max; çarpımı verilende tam tersi.
9. Diofant (ax+by=c) sorularında başlangıç değerini 0 ile ara, çaprazlar kadar sıçra, kısıtla dur.
10. Kesir tam sayı olsun sorularında altta tek terim varsa kalp yap, iki terim varsa polinom bölmesi mantığıyla tam sayılı kesre çevir.

Sınava Yaklaşım

Bir sonraki konumuzda (Tek–Çift Sayılar) bu temeli kullanarak daha derin bir katmana ineceğiz. Orada "tek, çift, ardışık" kavramları üzerinden aynı ok tekniği, aynı kısıt mantığı çalışıyor olacak — sadece "rakam" yerine "T ve Ç" harflerini koyacağız.