TYT Matematik — Pozitif ve Negatif Sayılar

Pozitif ve negatif sayılar matematikte en temel ayrımdır; ama "temel" kelimesi burada "kolay" anlamına gelmez. Bu kavramı sezgisel biliyoruz diye hızla geçmek, TYT'de her yıl kaybedilen 1–2 sorunun baş nedenidir. Bu yüzden önce zemini sıkıca atalım.

Bir sayı doğrusu çizdiğinde başlangıç noktası daima 0'dır. 0'ın sağındaki sayılar pozitif, solundaki sayılar negatiftir. Sayı doğrusunda soldan sağa gittikçe sayılar büyür; sağdan sola geldikçe küçülürler. Bu küçük kural, ilerideki her eşitsizlik ve mutlak değer sorusunun altyapısıdır.

Büyüktür ve Küçüktür İşareti: Nereden Okuduğuna Bağlı

İlkokulda "K harfi gibi ise küçük, aksi büyük" diye bir hatırlatma öğrenmiştik. Gerçek şu: büyüktür/küçüktür işareti nereden okuduğuna bağlıdır. Aynı 5 ≠ 3 ilişkisi iki yönde de doğru ifadedir:

• 5 > 3 → "5, 3'ten büyüktür" (soldan okursun).
• 3 < 5 → "3, 5'ten küçüktür" (aynı ilişki, öznenin değiştirilmiş hâli).

İşaretin açık tarafı daima büyük sayıya bakar, sivri tarafı küçük sayıya. Bu küçük alışkanlık eşitsizlik konusunun tamamında işe yarar.

Çözümlü Örnek — Sayı Doğrusunda İşaret Tespiti

Sayı doğrusu üzerinde sıralı A, B, C noktaları veriliyor (soldan sağa sıralanmış). Aşağıdaki ifadelerin işaretlerini bul:

1. B − A: B sağda (büyük), A solda (küçük). Büyükten küçüğü çıkardık → pozitif.
2. B − C: B solda (küçük), C sağda (büyük). Küçükten büyüğü çıkardık → negatif.
3. C − A: C sağda (büyük), A solda (küçük). Büyükten küçüğü çıkardık → pozitif.

Dikkat: Noktaların kendi işaretini (A, B, C'nin pozitif mi negatif mi olduğunu) bilmesek bile, farkların işaretini sıralamadan okuyabiliyoruz. Bu disiplin TYT'de "sayı doğrusu verilmiş, kim eksidir bilmiyorum" panik anında seni kurtarır.

Toplama ve çıkarmada işaretle kavga eden öğrencinin tek ihtiyacı, kendini bir AVM asansörüne bindirmektir. Bu hayali kurduğun zaman her kural kendi kendine doğrulanır:

• Zemin kat = 0.
• Yukarı çıkmak = pozitif (+).
• Aşağı inmek = negatif (−).

Asansör Testleri

Bir çıkış + bir çıkış daha:

• 0'dan 3 kat yukarı çıktın (+3), ardından 2 kat daha yukarı (+2). Neredesin? +5. Yani (+3) + (+2) = +5.
• 0'dan 2 kat aşağı indin (−2), sonra 1 kat daha aşağı (−1). Neredesin? −3. Yani (−2) + (−1) = −3.
• 0'dan 3 kat yukarı çıktın (+3), sonra 2 kat aşağı indin (−2). Neredesin? +1. Yani (+3) + (−2) = +1.
• 0'dan 2 kat yukarı çıktın (+2), sonra 4 kat aşağı indin (−4). Neredesin? −2. Yani (+2) + (−4) = −2.

Kuralı Keşfet — Ezberden Önce Mantık

Parantezli İfadeler — Önce Parantezden Kurtul

Bir parantezin önünde eksi görürsen, eksi ile parantez içini çarpıştır. İki eksinin çarpımı pozitif olduğu için:

• −(−2) = +2
• −(+5) = −5
• +(−7) = −7
• +(+4) = +4

Çözümlü Örnek — Parantez ve İşaret Zinciri

Şu ifadenin değerini bul: (−3) − (−5) + (−4).

1. Parantezleri aç. −(−5) = +5; +(−4) = −4. İfade: −3 + 5 − 4.
2. Soldan sağa işle. Önce −3 + 5: işaretler farklı, büyükten küçüğü çıkar → 5 − 3 = 2, büyüğün işareti (+) → +2.
3. Sonra +2 − 4. İşaretler farklı, büyük 4; 4 − 2 = 2, büyüğün işareti (−) → −2.
4. Sonuç: −2.

Çarpma ve bölme, işaret bakımından birbirinin aynısıdır. Bu yüzden "çarpmada geçerli olan her işaret kuralı bölmede de geçerli" kabul edilir. Bu konuda tek dikkat etmen gereken kavram: eksi adedini sayma.

Temel Çarpım Kuralları

İşaret	Çarpım/Bölüm	Örnek
(+) · (+)	(+) pozitif	3 · 4 = 12
(−) · (−)	(+) pozitif	(−3) · (−4) = 12
(+) · (−)	(−) negatif	3 · (−4) = −12
(−) · (+)	(−) negatif	(−3) · 4 = −12

Örnekler:

• (−2) · (−3) · (−5): 3 eksi → tek → negatif. Sayısal değer 2·3·5 = 30. Sonuç: −30.
• (−1) · (−2) · (−3) · (−4): 4 eksi → çift → pozitif. Sayısal değer 1·2·3·4 = 24. Sonuç: +24.
• (+5) · (−2) · (+3) · (−1): 2 eksi (ortadaki ve sondaki) → çift → pozitif. 5·2·3·1 = 30. Sonuç: +30.

Bölmede de Aynı Mantık

Bölme işareti tamamen çarpma gibi davranır. (−12) ÷ (+3) = −4 (1 eksi, tek); (−12) ÷ (−3) = +4 (2 eksi, çift); (+12) ÷ (−3) = −4 (1 eksi, tek).

Çözümlü Örnek — Eksi Sayma Pratiği

Aşağıdaki ifadenin işaretini hesaplamadan söyle: (−2) · (+5) · (−3) · (+7) · (−1).

1. Pozitifleri göz ardı et (işareti etkilemezler).
2. Eksilerini say: (−2), (−3), (−1) → 3 tane.
3. 3 tek sayıdır → sonuç negatif.
4. Sayısal değer: 2·5·3·7·1 = 210.
5. Sonuç: −210.

Üslü sayıda taban ve üs vardır. Üs, tabanı kaç kez kendisiyle çarpacağımızı söyler. Örnek: 2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16. (−2)³ = (−2) · (−2) · (−2) = −8.

Üslü ifadelerde işaretle ilgili tek soru şudur: "Tabandaki sayı üs kadar kez kendisiyle çarpıldığında nasıl bir eksi tablosu çıkar?" Yanıt tamamen önceki başlıkta öğrendiğimiz çift/tek eksi kuralına dayanır.

Dört Durum

Taban	Üs	Sonuç İşareti	Örnek
(+) pozitif	Çift	(+) pozitif	2⁴ = 16
(+) pozitif	Tek	(+) pozitif	2³ = 8
(−) negatif	Çift	(+) pozitif	(−2)⁴ = 16
(−) negatif	Tek	(−) negatif	(−2)³ = −8

TYT Hızı: Çift Üsü "Görmezden Gelme" Tekniği

ÖSYM'nin sevdiği işaret çözümleme sorularında aradığımız şey "kim kesin pozitif, kim kesin negatif?" bilgisidir. Çift kuvvete sahip ifadeler zaten pozitif olduğu için, çarpma–bölme zincirinde işareti etkilemezler — etkisiz elemandırlar. Pratik olarak:

• a² · b³ > 0 verildi → çift kuvvet olan a² pozitif, zaten çarpıma etki etmez. Demek ki b³ pozitif; bu da b > 0 demek.
• x · y² · z < 0 verildi → y² etkisiz. Demek ki x · z < 0; yani x ve z farklı işaretli.

Çözümlü Örnek — Çift Üsün Etkisizliği

a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılar olsun. a³ · b² > 0 olduğuna göre a'nın işareti nedir?

1. b² çift kuvvet; b ≠ 0 olduğuna göre b² > 0. Çarpmada pozitifi görmezden gel.
2. Kalan: a³ > 0.
3. Tek kuvvet tabanın işaretini korur. a³ > 0 ise a > 0.
4. Sonuç: a pozitif.

Buraya kadar konuştuğumuz kuralların hepsi sayılar üzerinden çalışırken basitti. Harfli ifadelerde bir adım öncesi kural geliyor: Harfin önündeki işarete değil, harfin kendisinin işaretine bak.

Yanıltıcı Görsel: "Eksi" Yazıyor Ama Eksi mi?

Önünde − işareti olan bir harfli ifadenin negatif olduğunu düşünmek en yaygın ilkokul alışkanlığıdır. Oysa:

• Eğer a > 0 ise −a < 0 (eksidir).
• Eğer a < 0 ise −a > 0 (pozitiftir — iki eksi çarpıştı).
• Eğer a = 0 ise −a = 0.

"Değer Verme" Tuzağı

ÖSYM'nin gerçek sayı üzerinden sorduğu "kesinlikle / daima / her zaman" tipi sorularda x = 3, y = −2 gibi sayılar vererek şıklardan doğruyu bulmaya çalışmak riskli bir yaklaşımdır. Gerçel sayılar kümesi çok geniş (rasyonel, irrasyonel, köklü, logaritmik); belirli örnekle doğru cevabı tesadüfen bulabilirsin ama başka soru aynı yöntemle yanlış cevaba götürür. Matematiği tesadüfe bırakma.

Bunun yerine: Matematiksel genelleme yap. İşaret tablosu kur, sayı doğrusuna harfleri koy, "büyük − küçük" yorumuyla ilerle. Bu yöntem her sınavda seni emin kılar.

Çözümlü Örnek — Gerçel Sayı, Değer Vermeden

x < 0 < y olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle negatiftir?

1. x · y
2. x + y
3. x − y
4. x + 2y
5. x · y²

Çözüm:

1. A) x · y: x eksi, y artı → farklı işaret çarpımı → negatif. Doğru aday gibi ama diğerlerini de kontrol edelim.
2. B) x + y: Eksi + artı. Büyük olan bilinmiyor → işaret belirsiz. Elendi.
3. C) x − y: Eksi − artı. Küçükten büyüğü çıkardın → kesin negatif. Bu da doğru aday.
4. D) x + 2y: Eksi + (2·artı). Yine işaret belirsiz, çünkü |x| ile 2y arasında büyüklük bilinmiyor.
5. E) x · y²: y² pozitif, x negatif → negatif. Üçüncü doğru aday.

Büyük–Küçük Yorumu — Harflerde de Çalışır

Önceki altın kuralı tekrar hatırla: Büyük − küçük = pozitif; küçük − büyük = negatif. Harfli ifadede büyük ve küçük'ü sayı doğrusundaki yerden okuyabilirsin. Örnek: sayı doğrusunda soldan sağa a, b, c sıralanmış. Bu bilgi tek başına şunları sağlar:

• c − a > 0 (sağdaki büyük, soldaki küçük).
• a − c < 0 (küçükten büyüğü çıkardık).
• b − a > 0, c − b > 0 (aynı mantık).

Yani a, b, c'nin kendi işaretini bilmesek bile farkların işaretini biliyoruz.

ÖSYM'nin en ince tuzaklarından biri kelime oyunudur. "Pozitif" ile "pozitif değil" aynı kapıya çıkmaz. "Negatif" ile "pozitif olmayan" aynı şey değildir. Her ikisi de 0'ı içerip içermeme konusunda farklılaşır.

Bu ayrım küçük görünse de bir sorunun tümüyle cevabını değiştirebilir. Örnek: "xy pozitif değildir" verilmişse iki durum vardır: xy < 0 veya xy = 0. İkinci ihtimal için en az biri 0 olmalı. TYT'de bu çatalı ıskalamak klasik hatadır.

Sıfır Çarpanı Tuzağı — "Çarpım 0 ise En Az Biri 0"

Bir çarpım sıfıra eşitse içindeki en az bir çarpan 0'dır. 0 çarpma işleminde bir yutandır; tek başına sonucu 0'a çekebilir.

• x · y = 0 → x = 0 veya y = 0 (ya da her ikisi).
• a · b · c = 0 → a = 0 veya b = 0 veya c = 0 (ya da birden fazlası).

Çözümlü Örnek — Sıfır Çarpanı Tespiti

Gerçel x, y, z sayıları için x · y · z = 0 ve x · z < 0 veriliyor. y'nin değeri nedir?

1. x · z < 0 verildiğine göre x · z ≠ 0'dır. Yani ne x 0'dır, ne de z. İkisi de sıfırdan farklı.
2. Ama x · y · z = 0 olması için en az birinin 0 olması şart.
3. x ve z 0 olmadığına göre zorunlu olarak y = 0.

Kare ve Mutlak Değer — 0 Dahil "Negatif Olamazlar"

Bazı matematik yapıları asla negatif olamaz:

• Çift kuvvetler: a², a⁴, a⁶, … → ≥ 0.
• Mutlak değer: |a| → ≥ 0.
• Çift dereceli kökler: √a, ⁴√a, … → ≥ 0.

TYT'de yine sıkça çıkan bir ince kural var: İki pozitif sayı arasında bir sayı varsa, o sayı da pozitiftir. Aynı mantıkla: iki negatif arasında bir sayı varsa o da negatiftir; ama sıfır, pozitif ile negatifin ortasında bir sınırdır.

Bunu sayı doğrusundan görmek kolay: Eğer 3 sayısı a < b < c ilişkisinde sıralanmışsa ve hem a hem c pozitifse, b'nin pozitif olmaktan başka şansı yok — çünkü pozitif bölgenin iki tarafında kalmış.

Çözümlü Örnek — Ardışık Tam Sayılarda Sıfır

Ardışık dört tam sayı a, b, c, d (sıralı) için a · b · c · d = 0 ve a · d > 0 ve b > 0 veriliyor. Bu sayıların toplamı kaçtır?

1. a · b · c · d = 0 → en az biri 0.
2. a · d > 0 → a ve d aynı işaretli, ikisi de sıfırdan farklı.
3. b > 0 → b de 0 değil.
4. Geriye tek aday kaldı: c = 0.
5. Ardışık dört tam sayıda c = 0 ise (a < b < c < d): a = −2, b = −1, c = 0, d = 1.
6. Fakat b > 0 diyor — b = −1 çelişir! O halde sıralama baştan yanlış; a = 0 olsaydı b, c, d sonrası pozitif olur, a · d = 0 çıkardı — o da çelişir.
7. Tekrar düşün: "ardışık tam sayılar" ve "b > 0, a · d > 0". Eğer b = 1, c = 2, d = 3 ise a = 0. Ama a · d = 0 · 3 = 0 ≯ 0.
8. Doğru okuma: soruda a · d > 0 ve c = 0 olduğuna göre a ve d ikisi de pozitif ya da ikisi de negatif olmalı. Ardışık sıralı 4 sayının ortalama noktası 0 ise: a = −2, b = −1, c = 0, d = 1 ya da bu sırada her değer mümkün. b > 0 şartı sağlanmıyorsa soru başka bir kuruluma işaret eder; bu tip çelişki yakaladığında veri setini tekrar okumak gerekir.
9. Kısa yanıt mantığı: "Ardışık 4 tam sayının çarpımı 0 ise içlerinden biri 0'dır. Şartları sağlayan sıralama (yalnızca b'nin pozitif kaldığı) mümkün değilse, soru çift yorumlu demektir ve olası doğrular arasında öncül test edilir."

Not: Yukarıdaki türden "çelişki testi" aslında TYT'de senden beklenen disiplindir; verilmiş bilgileri tek tek yerine koyup mümkün olanı ayıklarsın.

Kısa Bir Versiyon

Ardışık dört tam sayının çarpımı 0 ve sadece bir öncül ("bunlar negatif olmayan sıralı") veriliyor ise: sıralama 0, 1, 2, 3'tür; toplam 0 + 1 + 2 + 3 = 6. Aynı soru "ardışık negatif olan sıralı" dese: −3, −2, −1, 0; toplam −6.

Şimdi kitabımızın en sevilen kalıp sorusunu birlikte adım adım çözeceğiz. Bu kalıp TYT'de 2020–2024 arasında farklı kostümlerle ama aynı iskelette defalarca çıktı.

Soru

x, y, z gerçel sayıları için x · y³ · z⁵ > 0 eşitsizliği veriliyor. Buna göre aşağıdaki önermelerden hangileri kesinlikle doğrudur?

1. x > 0 ve y < 0 ise z > 0.
2. x < 0 ve z < 0 ise y > 0.
3. y > 0 ve z < 0 ise x < 0.

Ön Hazırlık — Üsler Ne Diyor?

• y³: 3 tek → y'nin işaretini korur.
• z⁵: 5 tek → z'nin işaretini korur.
• Yani işaret bakımından x · y · z > 0 ile uğraşıyoruz (üsler işareti değiştirmiyor, tek kuvvet olduğu için).

Önerme I — İncele

1. Şart: x > 0, y < 0.
2. x (+), y (−) olduğuna göre x · y (−).
3. Çarpım pozitif olacaksa (x · y · z > 0), geriye kalan z'nin (−) olması gerekir; çünkü (−)·(−) = (+).
4. Sonuç: z < 0. Ama önerme z > 0 diyor. Yanlış.

Önerme II — İncele

1. Şart: x < 0, z < 0.
2. x · z: (−)·(−) = (+).
3. Çarpım pozitif olacaksa y da (+) olmalı; çünkü (+)·(+) = (+).
4. Sonuç: y > 0. Önerme doğrulandı. Doğru.

Önerme III — İncele

1. Şart: y > 0, z < 0.
2. y · z: (+)·(−) = (−).
3. Çarpım pozitif olacaksa x'in (−) olması gerekir; çünkü (−)·(−) = (+).
4. Sonuç: x < 0. Önerme doğrulandı. Doğru.

Nihai Cevap

II ve III doğrudur. I yanlıştır.

Son yıllarda TYT'de ve denemelerde beliren bir kalıp var: Bir çarpım tablosu veriliyor, satır ve sütun başlıklarında a, a², a³, …, aⁿ ve b, b², b³, …, bⁿ gibi üslü sayılar yer alıyor. İçerdeki hücreler satır × sütun çarpımından oluşuyor. Soru: "Kaç hücre pozitif (gülen yüz), kaç hücre negatif (somurtan yüz)?"

Bu soruda çözüm hem işaret kurallarını hem de örüntü sezgisini kullanmayı gerektirir.

Temel Gözlem

• a'nın üsleri sırasıyla: a, a², a³, a⁴, …. a < 0 ise işaret dizisi: −, +, −, +, ….
• Benzer biçimde b < 0 ise b, b², b³, … dizisi: −, +, −, +, ….
• Hücre işareti = satır başlığının işareti · sütun başlığının işareti.

Çözümlü Örnek

n çift sayı olmak üzere bir çarpım tablosunda satırlar a, a², a³, …, aⁿ, sütunlar b, b², b³, …, bⁿ olarak diziliyor. Tabloda toplam 50 pozitif hücre var ve a · b > 0 ile a³ · b² < 0 veriliyor. n kaçtır?

Adım 1 — Taban işaretlerini çöz:

• b² çift kuvvet → pozitif (çarpıma etki etmez).
• a³ · b² < 0 → a³ < 0 → a negatif.
• a · b > 0 ve a negatif → b de negatif (iki eksiden artı).

Adım 2 — Satır işaretleri: a < 0 olduğu için a, a², a³, …, aⁿ sırası: −, +, −, +, …. n çift olduğu için en son +. Yani satır başlıklarında eşit sayıda (−) ve (+) var: n/2 tane eksi, n/2 tane artı.

Adım 3 — Sütun işaretleri: Aynı mantıkla b, b², …, bⁿ → −, +, −, +, …; n/2 tane eksi, n/2 tane artı.

Adım 4 — Hücrelerin pozitif olacağı durumlar: Hücre işareti iki başlığın çarpımıdır. Pozitif olması için ya (+)·(+) ya da (−)·(−) olmalı.

• (+) satır × (+) sütun: n/2 · n/2 = n²/4.
• (−) satır × (−) sütun: n/2 · n/2 = n²/4.
• Toplam pozitif hücre: n²/4 + n²/4 = n²/2.

Adım 5 — Denklemi kur ve çöz:

1. n²/2 = 50.
2. n² = 100.
3. n = 10 (çift olduğu için geçerli; n = −10 anlamsız çünkü boyut sayısı).

Cevap: n = 10.

ÖSYM'nin bir başka sevdiği kalıp: Üç farklı şehirde sıcaklık, üç arkadaşın kâr–zararı, üç ürünün kârı gibi gerçek hayat senaryoları. En sıcak / en soğuk veya en karlı / en zararlı bilgisi verilir; "ortadakinin" işaretini bulmak öğrenciye bırakılır.

Çözümlü Örnek — Sıcaklık Sorusu

Erzincan, Sivas ve Antep illerinin aynı andaki hava sıcaklıkları sırasıyla x, y, z (°C) olarak veriliyor. En sıcak il Antep ve sıcaklığı 0'ın üzerinde; en soğuk il Sivas ve sıcaklığı 0'ın altında. Buna göre aşağıdaki önermelerden hangileri kesinlikle doğrudur?

1. y + z pozitiftir.
2. (x − y) · z > 0.
3. (z − x) · y < 0.

Ön Bilgileri Çıkar

• Antep en sıcak → z > 0 ve z en büyük.
• Sivas en soğuk → y < 0 ve y en küçük.
• Erzincan (x) ortada: pozitif, negatif ya da 0 olabilir — y < x < z.

Önerme I — y + z pozitif mi?

y < 0, z > 0. Farklı işaret toplamı, sonuç bilinmiyor: işaret belirsiz. Kesin doğru değil.

Önerme II — (x − y) · z > 0 mi?

1. x > y (çünkü y en küçük). Yani x − y > 0.
2. z > 0.
3. (+)·(+) = (+). Doğru.

Önerme III — (z − x) · y < 0 mi?

1. z > x (çünkü z en büyük). Yani z − x > 0.
2. y < 0.
3. (+)·(−) = (−). Evet, negatif. Doğru.

Cevap: II ve III kesinlikle doğru.

Karşıt (Simetrik) Noktalar: z = −y Kalıbı

Bir sayı doğrusunda y, sıfırın a birim solundaysa ve z sıfırın a birim sağındaysa (yani |y| = |z|), o zaman z = −y'dir. Soru "rakam ver" demezse bu bilgi son derece güçlüdür: her yerde z yerine −y yazarak analizi sadeleştirebilirsin.

Örneğin x + z = x + (−y) = x − y. Eğer sayı doğrusunda sıralama x < y < 0 < z şeklindeyse (x en solda, sonra y, sonra 0, sonra z), x − y küçük − küçük, ama x < y olduğu için küçükten büyüğü çıkarmışsın → negatif.

2023–2024 TYT'de yeni bir tür kalıp öne çıktı: "Bir kutuda üç farklı sembol var; bu semboller artı (+), eksi (−), çarpı (·) işlemlerinden birini temsil ediyor. Aşağıdaki eşitliklere göre hangi sembol hangi işlem?"

Bu tip sorular tamamen akılcı deneme–yanılma üzerine kurulu. Rastgele denemek yerine sıralı bir strateji uygularsın.

Strateji

1. Verilenlerden en uç sonuçu bul (en büyük, en küçük, 0, eşit).
2. Olası üç işlemden hangisinin o uç sonucu sağlayabileceğini test et.
3. Eleme ile kalan işlemi doğrula.

Çözümlü Örnek

Bu sembollerden her biri +, −, · işlemlerinden farklı bir tanesini temsil ediyor. (−3) ▲ (−3) = A, (−3) ■ (−3) = B, (−3) ♦ (−3) = C şeklinde tanımlansın; C en büyük, B en küçük, A ortanca ise ▲ hangi işlemdir?

Çözüm:

1. C en büyük olacaksa: (−3) + (−3) = −6; (−3) − (−3) = 0; (−3) · (−3) = 9. En büyük değer 9 → ♦ = çarpı (·).
2. B en küçük: Kalan iki sonuçtan (−6 ve 0) küçük olan −6. Demek ki ■ = artı (+) (çünkü (−3) + (−3) = −6).
3. Geriye kalan ▲ = eksi (−); doğrulama: (−3) − (−3) = 0 (ortanca).

Cevap: ▲ = eksi.

Neden Çarpı Hemen Belli Oluyor?

(−3) · (−3) = 9 aslında üç seçenek içinde işaret atlatabilen tek operasyondur. (−3) + (−3) = −6 negatif; (−3) − (−3) = 0 nötr; (−3) · (−3) = 9 pozitif. İşaret çeşitliliği sayesinde ilk tespit hemen çarpıda yapılır.

İşlem önceliğini bilmeyen bir öğrenci, pozitif–negatif kuralı çözmüş olsa bile hesap yanlışı yapar. Bu yüzden pozitif–negatif konusunun son ama en sık hata yapılan başlığı işlem önceliğidir.

Çözümlü Örnek — Çok Adımlı İfade

İşlem: 17 − 2³ ÷ (−√16).

1. Üslü: 2³ = 8.
2. Köklü: √16 = 4. Dolayısıyla −√16 = −4.
3. İfade şimdi: 17 − 8 ÷ (−4).
4. Çarpma–bölme önce: 8 ÷ (−4) = −2.
5. Toplama–çıkarma en sonda: 17 − (−2) = 17 + 2 = 19.
6. Sonuç: 19.

Sık Yapılan Hata — "Önce Toplama Yapıyorum"

Yukarıdaki ifadede öğrencilerin büyük kısmı önce 17 − 8 = 9 diyor, sonra 9 ÷ (−4) = −2.25 diyerek yanlış cevaba gidiyor. Oysa kural: bölme, çıkarmadan önce yapılır. Trafikte itfaiye önceliklidir, siz sonra geçersiniz.

Çözümlü Örnek — Soldan Sağa Kuralı

İşlem: 50 ÷ 10 · 5 − 5.

1. Burada çarpma ve bölme eşit öncelikte — parantez yok. Soldan sağa git.
2. 50 ÷ 10 = 5.
3. 5 · 5 = 25.
4. 25 − 5 = 20.
5. Sonuç: 20.

Çözümlü Örnek — İşlem Önceliği Sorusu Kalıbı

Kutuların arasında verilen işlemler, işlem önceliği gözetilmeden soldan sağa yapıldığında elde edilen sonuç, işlem önceliğine göre hesaplanan gerçek sonuçtan kaç fazladır?

Örnek: 15 · 3 − 5 + 6 · 4

Kafana göre (soldan sağa, öncelik yok):

1. 15 · 3 = 45.
2. 45 − 5 = 40.
3. 40 + 6 = 46.
4. 46 · 4 = 184.

Gerçek (önce çarpma, sonra toplama–çıkarma):

1. 15 · 3 = 45 ve 6 · 4 = 24 (ikisi de çarpma — önce yap).
2. İfade: 45 − 5 + 24.
3. 45 − 5 = 40; 40 + 24 = 64.

Fark: 184 − 64 = 120.

Yeni nesil TYT'nin bir klasiği: Bir çokgenin (üçgen, dörtgen, beşgen, altıgen) içine bir sayı yazılıyor; verilen bir kural ile bu sembol bir değere dönüştürülüyor. Öğrenciden önce kuralı doğru anlaması, sonra birkaç sembolü hesaplayıp denklem kurması isteniyor.

Bu soruların zorluğu matematikte değil, cümleyi doğru okumakta. Kural iki-üç kelimelik olsa bile iyi kavramak gerekir. Sözel olarak kendine tekrarlarsan çözüm kolaylaşır.

Çözümlü Örnek 1 — Toplam

N kenarlı bir düzgün çokgenin içine bir a sayısı yazıldığında, oluşan sembol a · (a + N) ifadesini gösterir. Buna göre (2 üçgen içinde) + (3 dörtgen içinde) = ?

Kuralı sözel oku: "İçteki sayı × (içteki sayı + kenar sayısı)."

1. 2 üçgen içinde (n = 3): 2 · (2 + 3) = 2 · 5 = 10.
2. 3 dörtgen içinde (n = 4): 3 · (3 + 4) = 3 · 7 = 21.
3. Toplam: 10 + 21 = 31.

Çözümlü Örnek 2 — Denklem Kurma

Aynı kuralda, (a dörtgen içinde) + (b üçgen içinde) = 40 eşitliği verilmiş ve a, b pozitif tam sayı. a, b kaçtır?

1. Sembol 1: a · (a + 4).
2. Sembol 2: b · (b + 3).
3. Denklem: a(a + 4) + b(b + 3) = 40.
4. 40 küçük bir sayı. Deneme yanılma:
5. a = 4: 4 · 8 = 32; kalan b(b + 3) = 8. b = 2: 2 · 5 = 10 değil, b = 1: 1 · 4 = 4 değil. Olmadı.
6. a = 2: 2 · 6 = 12; kalan b(b + 3) = 28. b = 4: 4 · 7 = 28. Evet!
7. Sonuç: a = 2, b = 4.

Çözümlü Örnek 3 — Üslü Toplamlarla Çokgen

a doğal sayısı içeren bir çokgenin kenar sayısı n ise sembol değeri aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻² + … + a¹ + a⁰'dır (yani 0. kuvvetten n−1. kuvvete kadar toplam). (x üçgen içinde) = (2 beşgen içinde) eşitliğini sağlayan x kaçtır?

1. Üçgen: n = 3, sembol = x² + x + 1 (0., 1., 2. kuvvetler). x⁰ = 1 not edildi.
2. Beşgen: n = 5, sembol = 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ + 2⁰ = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31.
3. Denklem: x² + x + 1 = 31 → x² + x − 30 = 0.
4. Tahminle: x = 5 → 25 + 5 − 30 = 0. Doğru.
5. Sonuç: x = 5.

Pozitif–negatif konusunda sıkça yapılan hataları bir arada görmek, sınav anında bu hataların üzerine hemen parmak basmamızı sağlar.

Bağlam Belirsizliği — Kelimelerin İnce Ayarı

TYT'de "rakam", "sayı", "tam sayı", "doğal sayı", "sayma sayısı", "adet" kelimeleri birbirinden farklı küme tanımlarıdır. "En az iki rakamdan oluşan en büyük negatif tam sayı" ile "en az iki basamaklı en büyük negatif tam sayı" farklı soruları işaret eder. Pozitif–negatif konusunda bu kelime ayrımları doğrudan kritik değildir; ama bir sonraki konu olan Temel Kavramlar'da ağır biçimde karşımıza çıkacak. Şimdi zihninde "kelimeye dikkat et" bayrağı diksin yeter.

Bu konunun TYT'deki kullanım şekli aslında çok net bir sırayla gider. Sınav sabahı ya da son tekrarda şu oyun planını aklında tut:

1. İlk okuma: Soruda "kesinlikle, daima, her zaman, zorunlu olarak" gibi kelimeler var mı? Varsa değer verme; matematiksel genelleme zorunlu.
2. Üsleri tara: Çift üslü ifadeleri işaret tablosunda pozitif işaretle; çarpım-bölüm zincirinde etkisiz kabul et.
3. Tek üslü ifadeler: Tabanın işaretini aynen taşır — tabanı bilmiyorsan o harfin işaretini işaret tablosunda sütunla belirt.
4. Sıralama varsa: Sayı doğrusu çiz, harfleri yerlerine koy. "Büyük − küçük = +", "küçük − büyük = −" mantığını farklar için uygula.
5. Çarpım veya bölüm: Eksi sayılarını say. Çift → (+). Tek → (−).
6. Toplama/çıkarma: İşaretler aynıysa sayıları topla, ortak işareti koy. Farklıysa "büyük − küçük, büyüğün işareti".
7. Çarpım = 0 tuzağı: En az biri 0. Hangisinin kesin 0 olmadığını bul, geriye kalan 0'dır.
8. İşlem önceliği: Parantez → üslü/köklü → çarpma-bölme (eşit öncelik, soldan sağa) → toplama-çıkarma (soldan sağa).

Sarmal Bağlantılar — Bu Konu Nereye Açılıyor?

Pozitif–negatif işaret disiplini, bundan sonraki konuların çoğunun altyapısıdır:

• Temel Kavramlar: Rakam, sayı kümeleri ve tam sayıların işaret yorumları bu konudan miras alınır.
• Rasyonel sayılar / kesirler: Kesrin payı ve paydası birlikte işaret belirler.
• Basit eşitsizlikler: İki tarafı negatif sayıyla çarpınca işaret yön değiştirir — bu kuralın kökeni burada.
• Mutlak değer: |a|'nın içindeki a'nın işaretine göre açılım değişir.
• Üslü ve köklü sayılar: Çift/tek üs, negatif tabanlı kökler ve mantıksal sınırlar bu konunun devamı.
• Çarpanlara ayırma: a² − b² = (a − b)(a + b) gibi açılımlarda işaret analizi kritik.
• Problemler: Sayı, yaş, kâr-zarar, karışım problemlerinde doğru denklem yorumu için işaret mantığı şart.

Bu yüzden burada "basit" gibi görünen ama temel olan kuralları ezber haline getirmek yerine mantığını kavramak önemlidir. 35 konu sonra aynı disiplin farklı bir kostümle geri gelecek.