TYT Matematik — Permütasyon

Permütasyon tek kelimeyle sıralama demektir. Elinde bir şeyler var — rakamlar, harfler, kişiler, kitaplar — ve bunları belirli bir düzene sokuyorsun. Düzen değişirse sonuç da farklı sayılır: "ABC" ile "BCA" iki ayrı sıralamadır. İşte bu "yerleri değişirse farklı" özelliği permütasyonun kombinasyondan tek farkıdır.

Saymanın Temel İlkesi — Permütasyon Formülüne Gerek Olmadan

Çok önemli bir gerçeği en başta söyleyelim: TYT permütasyon sorularının büyük çoğunluğu P(n, r) formülüyle değil, saymanın temel ilkesiyle çözülür. Yani sayma prensibini iyi bilen öğrenci permütasyon formülünü bilmeden bile soruların %80'ini halleder. Permütasyon formülü aslında bu prensibin bir özel hâlidir.

Saymanın temel ilkesinin iki bileşeni vardır: çarpma kuralı ve toplama kuralı. Hangisini ne zaman kullanacağına soru cümlesinin içindeki bağlaç karar verir.

Altın Kural: "VE" Çarp, "VEYA" Topla

Bağlaç	Anlamı	İşlem	Örnek
VE	İki olay da olacak (ardışık)	Çarp (×)	Gömlek ve pantolon seç
VEYA	Olaylardan biri olacak (alternatif)	Topla (+)	Kız veya erkek seç

Çözümlü Örnek 1 — "Veya" ile Toplama

5 kız ve 4 erkek öğrenciden oluşan bir sınıftan bir kız ya da bir erkek seçilecek. Kaç farklı seçim yapılabilir?

1. Soruda "ya da" (yani "veya") bağlacı geçiyor → topla.
2. Bir kız seçme yolu: 5.
3. Bir erkek seçme yolu: 4.
4. Toplam: 5 + 4 = 9 farklı seçim.

Çözümlü Örnek 2 — "Ve" ile Çarpma

Aynı sınıftan bir kız ve bir erkek seçilecek. Kaç farklı seçim yapılabilir?

1. Soruda "ve" bağlacı geçiyor → çarp.
2. Bir kız seçme yolu: 5. Her kız için 4 farklı erkek eşlenebilir.
3. Toplam: 5 × 4 = 20 farklı seçim.

Permütasyonu anlamak için faktöriyeli bir kez daha hızlıca tazeleyelim. Faktöriyel, bir pozitif tam sayının kendisiyle birlikte kendisinden küçük tüm pozitif tam sayıların çarpımıdır. n! sembolüyle gösterilir.

• 1! = 1
• 2! = 2 · 1 = 2
• 3! = 3 · 2 · 1 = 6
• 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
• 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
• 6! = 720,   7! = 5040
• 0! = 1 (tanımsal eşitlik — formüllerin tutarlı çalışması için)

Permütasyon Formülü

n farklı elemanın r tanesinin sıralanışı sayısı, n'in r'lisi olarak okunur ve şöyle yazılır:

P(n, r) = n! / (n − r)!

Sözel Yorum — Saymanın Temel İlkesiyle Aynı Şey

Aslında P(n, r), "n'den başla, r tane sayı sırayla aşağı in, çarp" demektir:

• P(5, 3) = 5 · 4 · 3 = 60 (5'ten başla, 3 sayı yaz, çarp)
• P(4, 2) = 4 · 3 = 12 (4'ten başla, 2 sayı yaz, çarp)
• P(n, n) = n! (tüm elemanları sırala demek)
• P(n, 1) = n ve P(n, 0) = 1

Çözümlü Örnek 3 — Formülle Hesap

P(7, 3) değerini bulalım.

1. Formül: P(7, 3) = 7! / (7 − 3)! = 7! / 4!
2. Pay ve paydadaki 4!'leri sadeleştir: 7 · 6 · 5 · 4! / 4! = 7 · 6 · 5
3. Çarp: 7 · 6 = 42,   42 · 5 = 210.
4. Sözel yol: 7'den başla, 3 sayı yaz: 7 · 6 · 5 = 210. Aynı sonuç.

Çözümlü Örnek 4 — Bilinmeyen n ile Denklem

P(n, 3) = 60 ise n kaçtır?

1. P(n, 3) = n · (n − 1) · (n − 2) (n'den başla, 3 sayı in)
2. Ardışık 3 tam sayının çarpımı 60. Deneme: 3 · 4 · 5 = 60 ✓
3. En büyük sayı n olduğuna göre n = 5.
4. Sağlama: P(5, 3) = 5 · 4 · 3 = 60 ✓

Permütasyon ve kombinasyon, TYT öğrencilerinin en sık karıştırdığı iki kavramdır. İki konu bir sonraki başlıkta birbirini tamamlar, o yüzden farkı şimdi net bir tabloyla ortaya koyalım. Sıralama önemli mi, değil mi? — tek soru bu.

Sıra Önemli mi? — Tek Soruluk Test

Kriter	Permütasyon	Kombinasyon
Ne yapılıyor?	Seç + Sırala	Sadece Seç
Sıra önemli mi?	Evet	Hayır
Formül	P(n, r) = n! / (n − r)!	C(n, r) = n! / [r! · (n − r)!]
İlişki	P(n, r) = C(n, r) · r!	C(n, r) = P(n, r) / r!
Anahtar kelimeler	sırala, diz, fotoğraf çek, şifre, sayı oluştur, yan yana otur	seç, grup oluştur, takım kur, komisyon, ekip, el (kart)
Örnek	5 kişiden 3'ü için birinci-ikinci-üçüncü seç → 5 · 4 · 3 = 60	5 kişiden 3'ünü takıma seç → 60 / 3! = 10

Pratik Test — Aynı Seçim, Farklı Yorum

Bir sınıftan 3 öğrenci seçilecek. İki farklı senaryoda sonuçlar nasıl değişir?

• Permütasyon yorumu: "Biri başkan, biri sekreter, biri sayman olacak" → görevler farklı, sıra önemli → P(n, 3).
• Kombinasyon yorumu: "3 kişilik bir komisyon oluşturulacak" → görevler aynı, sıra önemsiz → C(n, 3).

Çözümlü Örnek 5 — Tip Ayırt Etme

A sorusu: 10 kişiden 4'ü bir fotoğrafa yan yana dizilecek. Kaç farklı fotoğraf çekilebilir?

B sorusu: 10 kişiden 4'ü bir projeye seçilecek. Kaç farklı ekip oluşur?

1. A: "Yan yana dizilecek" → sıra önemli → P(10, 4) = 10 · 9 · 8 · 7 = 5040.
2. B: "Ekip oluşturulacak" → sıra önemsiz → C(10, 4) = 5040 / 4! = 5040 / 24 = 210.
3. Dikkat: Aynı 10'dan 4 seçimiyle başladık ama bağlamdaki farkı (sıra önemi) cevap 24 katına kadar değiştirdi.

Permütasyonun en klasik soru tipi sayı oluşturmadır. Sana bir rakam kümesi verilir, belirli koşullarla kaç basamaklı sayı yazılabileceği sorulur. Bu soruların kilit tekniği çizgi yöntemidir.

Çizgi Yöntemi — Mekanik Akış

1. Kaç basamaklı isteniyorsa o kadar çizgi çek: 3 basamaklı için _ _ _.
2. Her çizgiye o basamağa kaç farklı rakam gelebileceğini yaz.
3. En soldan başla. Çünkü baş basamağa 0 gelemez (0 gelirse bir alt basamağa düşer).
4. Özel koşullar (tek/çift/belli bir rakamdan büyük) varsa önce onlara bak.
5. "Rakamları farklı" yazıyorsa kullanılan her rakamın üstünü çiz, bir sonraki çizgide seçenek sayısını azalt.
6. Çarpma kuralıyla (her basamak "ve" ile bağlı) tüm sayıları çarp.

Çözümlü Örnek 6 — Koşulsuz (Tekrar Serbest)

{0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarıyla 3 basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir?

1. Çizgiler: _ _ _
2. Baş basamak (en sol): 0 gelemez → 1, 2, 3, 4, 5 → 5 seçenek.
3. Orta basamak: Rakamlar farklı denmediği için 0 dahil hepsi kullanılabilir → 6 seçenek.
4. Son basamak: Yine hepsi kullanılabilir → 6 seçenek.
5. Toplam: 5 · 6 · 6 = 180 farklı sayı.

Çözümlü Örnek 7 — Rakamları Farklı

Aynı küme {0, 1, 2, 3, 4, 5} ile rakamları farklı 3 basamaklı kaç sayı yazılabilir?

1. Baş basamak: 0 yasak → 5 seçenek.
2. Orta basamak: Başta kullandığın rakam gitti ama 0 geri geldi → 5 · (kullandığının yerine 0) → hâlâ 5 seçenek.
3. Son basamak: Şimdiye kadar 2 rakam kullandın → 6 − 2 = 4 seçenek.
4. Toplam: 5 · 5 · 4 = 100.
5. Sağlama: Rakam sayısı azaldıkça seçenek sayısı düşmeli — 5 > 5 > 4 mantıklı.

Sayı oluşturma sorularına tek, çift, belli sayıdan büyük gibi koşullar eklendiğinde iş biraz karışır. Anahtar: Koşul hangi basamağı ilgilendiriyorsa oradan başla.

Başlangıç Noktası Seçimi

• Tek/çift koşulu: Son basamaktan başla (birler basamağı tekliği belirler).
• Baş basamakta büyüklük koşulu: En soldan başla.
• Her iki koşul birden varsa: İki duruma ayırman gerekebilir.

Çözümlü Örnek 8 — Tek Sayı (Rakamlar Farklı)

{0, 1, 2, 3, 4, 5} ile rakamları farklı, 3 basamaklı tek sayı kaç tane yazılabilir?

1. Tek sayı → son basamak 1, 3, 5 olmalı → son basamaktan başla: 3 seçenek.
2. Baş basamak: 0 ve son basamaktaki rakam yasak. 6 rakamdan 2'si elendi → 4 seçenek.
3. Orta basamak: Şimdiye kadar 2 rakam kullanıldı ama 0 artık serbest → 6 − 2 = 4 seçenek.
4. Toplam: 3 · 4 · 4 = 48.

Çözümlü Örnek 9 — Çift Sayı (Rakamlar Farklı — İki Durum Analizi)

Aynı küme ile rakamları farklı, 3 basamaklı çift sayı kaç tane yazılabilir? (Bu klasik trap sorusudur.)

1. Çift sayı → son basamak 0, 2, 4 olmalı. Ama 0 hem baş basamakta yasak hem son basamakta aday.
2. Bu yüzden tek analizde hesaplanamaz. İki duruma ayır:
3. Durum 1 (0 sondaysa): Son = 0 (1 seçenek), baş = 1-5 arası (5 seçenek), orta = kalan 4 seçenek → 1 · 5 · 4 = 20.
4. Durum 2 (2 veya 4 sondaysa): Son = 2 ya da 4 (2 seçenek), baş = 0 ve son basamaktaki yasak → 4 seçenek, orta = kalan 4 seçenek → 2 · 4 · 4 = 32.
5. Toplam (veya → topla): 20 + 32 = 52.

Çözümlü Örnek 10 — Belli Sayıdan Büyük

{0, 1, 2, 3, 4, 5} ile rakamları farklı, 300'den büyük 3 basamaklı kaç sayı yazılabilir?

1. Baş basamak ≥ 3 olmalı → 3, 4, 5 → 3 seçenek. Ama dikkat: 300 kendisi dahil değil, 3 başta ve orta-son 0-0 ise 300 çıkar — sadece rakamlar farklı olduğu için 300 zaten elenir (iki 0 var).
2. Rakamlar farklı olduğu için 300 hesaplanmadı, çıkarmaya gerek yok.
3. Orta basamak: Baştaki rakam gitti → 5 seçenek (0 dahil).
4. Son basamak: 2 rakam kullanıldı → 6 − 2 = 4 seçenek.
5. Toplam: 3 · 5 · 4 = 60.

Permütasyonda favori soru türlerinden biri yol haritası problemleridir. Şehirlerle (A, B, C) aralarındaki yolların sayısı verilir; bir noktadan diğerine kaç farklı yoldan gidilip geliyor sorulur. Bu sorular ve/veya bağlacını en iyi öğreten tiptir.

Temel Yaklaşım

1. Önce yol haritası çiz — olası tüm güzergâhları yaz.
2. En uzun güzergâhtan en kısasına doğru git (sistematik olsun, gözden kaçan olmasın).
3. Her güzergâhın adımlarını "ve" → çarp.
4. Güzergâhları "veya" → topla.

Çözümlü Örnek 11 — Çevre Yolu Olan Harita

A ile B arasında 2 yol, B ile C arasında 3 yol, ayrıca A ile C arasında direkt 1 çevre yolu var. A'dan C'ye kaç farklı yoldan gidilebilir?

1. Güzergâh 1: A → B → C: 2 · 3 = 6 (uzun yol).
2. Güzergâh 2: A → C (direkt çevre yolu): 1.
3. İki güzergâhtan biri → "veya" → topla: 6 + 1 = 7.

Çözümlü Örnek 12 — Git-Dön (Koşulsuz)

Aynı haritada (2 yol AB, 3 yol BC, 1 yol AC çevre) A'dan C'ye gidip geri dönülecek. Kaç farklı yolculuk vardır? (Gidişte kullanılan yolu dönüşte de kullanmakta sakınca yok.)

1. Durum 1: A→B→C→B→A: 2 · 3 · 3 · 2 = 36.
2. Durum 2: A→B→C → çevre yolu ile A: 2 · 3 · 1 = 6.
3. Durum 3: A→C (çevre) → C→B→A: 1 · 3 · 2 = 6.
4. Durum 4: A→C (çevre) → C→A (çevre): 1 · 1 = 1.
5. "Veya" ile topla: 36 + 6 + 6 + 1 = 49.
6. Sağlama: Gidiş ve dönüş toplam yol sayıları birbirinden bağımsızsa sonuç = (gidiş yolu sayısı)² olur. Burada gidiş 7, 7² = 49 ✓.

Çözümlü Örnek 13 — Gidişte Kullanılan Yolu Dönüşte Kullanma Yasağı

Aynı haritada A'dan C'ye gidilip geri dönülecek — ama gidişte kullanılan yolu dönüşte kullanmak yasak. Kaç farklı yolculuk vardır?

1. Durum 1: Git A→B→C (2·3=6 yol), dön C→B→A — ama B-C arasında kullandığın yolu çıkar (3−1=2), A-B arasında kullandığın yolu çıkar (2−1=1) → 6 · 2 · 1 = 12.
2. Durum 2: Git A→B→C (2·3=6), dön çevre yolundan C→A (1) → 6 · 1 = 6.
3. Durum 3: Git A→C çevre (1), dön C→B→A (3·2=6) — çevre yolu gidişte kullanıldı ama dönüşte de çevre yolu kullanılmıyor → 1 · 6 = 6.
4. Durum 4: Git A→C çevre (1), dön A→C çevre ile geri — ama çevre yolu gidişte kullanıldığı için kullanılamaz → 0.
5. Toplam: 12 + 6 + 6 + 0 = 24.

"Kızlar birlikte otursun", "belirli kişiler yan yana olsun" gibi koşullar blok tekniğiyle çözülür. Yan yana olması istenen kişileri tek bir kişi gibi kabul edip önce grubu sıralarız, sonra blok içinde kendi aralarındaki yer değiştirmelerini de ekleriz.

Blok Tekniği — 3 Adım

1. Bağla: Yan yana olacak kişileri "kol kola" geçmiş say, tek bir voltran gibi düşün.
2. Sırala: Blok + diğer bireylerin toplam permütasyonunu hesapla.
3. Çöz: Blok içindeki kişilerin kendi aralarında yer değiştirmesini çarp.

Çözümlü Örnek 14 — Kızlar Yan Yana

4 kız ve 5 erkek toplam 9 kişi düz bir sıraya dizilecek. 4 kızın hepsi yan yana olmak şartıyla kaç farklı diziliş vardır?

1. 4 kızı bir blok (1 kişi) say. Blok + 5 erkek = 6 "birey" oldu.
2. 6 bireyi sırala: 6! = 720.
3. Blok içi: 4 kız kendi aralarında 4! = 24 şekilde sıralanır.
4. Çarp ("ve") → 720 · 24 = 17.280.

Çözümlü Örnek 15 — Hem Kızlar Hem Erkekler Kendi Aralarında Yan Yana

Aynı grupta kızlar kendi aralarında, erkekler kendi aralarında yan yana olacak. Kaç diziliş vardır?

1. Kız bloğu (1 birey) + erkek bloğu (1 birey) = 2 blok.
2. 2 bloğu sırala: 2! = 2 (kız-erkek veya erkek-kız).
3. Kız bloğu içi: 4! = 24. Erkek bloğu içi: 5! = 120.
4. Çarp: 2 · 24 · 120 = 5.760.

Çözümlü Örnek 16 — Sadece İki Kişi Yan Yana

9 kişilik grupta sadece Cemil ve Selma yan yana olacak. Kaç diziliş vardır?

1. Cemil-Selma bir blok → 7 diğer kişi + 1 blok = 8 birey.
2. 8 bireyi sırala: 8! = 40.320.
3. Blok içi: 2! = 2 (Cemil-Selma veya Selma-Cemil).
4. Çarp: 40.320 · 2 = 80.640.

"Ayrı Dursun" Koşulu — Tümleyen Yöntemi

"A ve B yan yana olmasın" dendiğinde en kolay yol tümleyen tekniğidir:

Ayrı duruş sayısı = Toplam diziliş − Yan yana diziliş

Çözümlü Örnek 17 — Ayrı Durma

5 kişilik grupta Ali ile Veli yan yana olmasın. Kaç diziliş vardır?

1. Toplam koşulsuz diziliş: 5! = 120.
2. Ali-Veli yan yana dizilişleri: (4 birey) · 2 = 4! · 2 = 24 · 2 = 48.
3. Ayrı duruş: 120 − 48 = 72.

"Selma muayene olan ilk kişi değil, Seval son kişi değil, Selma Seval'den önce muayene olacak" gibi özel sıralama koşulları ilk bakışta göz korkutur. Ama çok güzel bir pratik var: özel sıralamalılar için yer seçimi yap, sonra diğerlerini normal sırala.

Özel Sıralama Tekniği

1. Özel sıralama istenen kişiler için sadece yer seçimi yap (kaç yer gerekliyse o kadar).
2. Kim soldakinde kim sağdakinde belli olduğu için yer seçimi = kombinasyon.
3. Diğer kişileri serbest yerlere normal sırala.
4. Formül: C(n, r) · (n − r)! — n toplam, r özel sıralamalı kişi sayısı.

Çözümlü Örnek 18 — Biri Diğerinin Önünde

9 kişi randevu için sırayla muayene olacak. Selma Seval'den önce olmak şartıyla (yan yana olmaları şart değil) kaç farklı sıralama vardır?

1. 9 kişiden 2'si Selma ve Seval. Selma'nın Seval'den önce olma zorunluluğu var.
2. Bu iki kişinin 9 yerden 2'sini seçmesi: C(9, 2) = 36. Seçilen 2 yerin soldakine otomatik Selma, sağdakine Seval yerleşir (tek diziliş).
3. Kalan 7 kişi serbest → 7! = 5040 şekilde dizilir.
4. Çarp: 36 · 5040 = 181.440.
5. Alternatif sağlama: Toplam diziliş 9! = 362.880. Yarı yarıya Selma önde / Seval önde → 362.880 / 2 = 181.440 ✓.

Çözümlü Örnek 19 — İki Öğretmen Yan Yana, 5 Kişi Sıralı

2 öğretmen ve 3 öğrenciden oluşan 5 kişilik ekip sandalyeye yan yana oturacak. İki öğretmen yan yana olmak şartıyla kaç farklı oturma düzeni vardır?

1. 5 koltukta yan yana iki koltuk çifti sayısı: (1-2), (2-3), (3-4), (4-5) → 4 çift.
2. Seçilen çiftteki iki öğretmen 2! = 2 şekilde oturur.
3. Kalan 3 koltuğa 3 öğrenci 3! = 6 şekilde oturur.
4. Toplam: 4 · 2 · 6 = 48.

Çözümlü Örnek 20 — Kitaplık Yerleşimi

4 katlı, her katı 3 bölmeli bir kitaplık var. 3 farklı dergi aynı katın 3 bölmesine, 3 farklı gazete başka bir aynı katın 3 bölmesine yerleştirilecek. Kaç farklı yerleştirme vardır?

1. Dergiler için kat seçimi: 4 kattan 1 → 4 seçenek.
2. Dergileri 3 bölmeye sıralama: 3! = 6.
3. Gazeteler için kat seçimi: Kalan 3 kattan 1 → 3 seçenek.
4. Gazeteleri 3 bölmeye sıralama: 3! = 6.
5. Çarp: 4 · 6 · 3 · 6 = 432.

Bir kelimede bazı harfler tekrar ediyorsa, onların yer değişikliği görseli değiştirmez. Mesela "EFE" isminde iki E var; ilk E ile ikinci E yer değiştirse "EFE" yine "EFE" olur. Bu yüzden tekrar edenlerin kendi aralarındaki permütasyonu saymıyoruz. İşte tekrarlı permütasyon bunu hesaba katar.

Formül — Tekrarlı Permütasyon

n elemanlı bir dizide bazı elemanlar tekrar ediyorsa:

n! / (a! · b! · c! · ...)

Burada a, b, c her birinin tekrar sayısıdır. Şu basit adımı uygula: "Sanki tekrar yokmuş gibi n! ile sırala. Tekrarlı olan her grubu kendi tekrar sayısının faktöriyeline böl."

Çözümlü Örnek 21 — EFE Kelimesi

EFE kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız kaç farklı sıralama yapılabilir?

1. Toplam harf: 3. E harfi 2 kez tekrar, F harfi 1 kez.
2. Tekrarsız olsaydı: 3! = 6.
3. E'nin tekrarını böl: 6 / 2! = 6 / 2 = 3.
4. Listele: EEF, EFE, FEE → 3 diziliş ✓.

Çözümlü Örnek 22 — MENEMEN Kelimesi

MENEMEN kelimesinin harfleriyle kaç farklı diziliş yapılabilir?

1. Toplam harf: 7.
2. Tekrarlar: M=2, E=3, N=2.
3. Formül: 7! / (2! · 3! · 2!) = 5040 / (2 · 6 · 2) = 5040 / 24 = 210.

Çözümlü Örnek 23 — Başlangıç/Bitiş Sabit

MENEMEN'in harfleriyle N ile başlayıp E ile biten kaç diziliş vardır?

1. Baştaki N ve sondaki E sabitlendi. Bunlar tekrar havuzundan çıkar: geriye M=2, E=2, N=1 → toplam 5 harf.
2. Formül: 5! / (2! · 2!) = 120 / 4 = 30.
3. Dikkat: "İki N var, baştaki hangisi?" diye ikiye katlamaya gerek yok — aynı harf olduğu için yer değiştirse aynı sözcük çıkar.

Çözümlü Örnek 24 — ÇANAKKALE Kelimesi

ÇANAKKALE kelimesinin harfleriyle kaç farklı diziliş yapılabilir?

1. Toplam harf: 9. Tekrarlar: A=3, K=2, diğerleri (Ç, N, L, E) birer kez.
2. Formül: 9! / (3! · 2!) = 362.880 / (6 · 2) = 362.880 / 12 = 30.240.

Tekrarlı permütasyonun en hain hâli gizli olarak gelir — soru cümlesinde "tekrar" sözcüğü geçmez, ama altında tekrarlı permütasyon yatar. ÖSYM bu tarzı çok sever.

Gizli Tekrarı Nerede Tanırsın?

• Aynı rengin kartları / aynı büyüklükteki etiketler / aynı hamle tipi tekrarı.
• "Pul sadece sağa gidebilir", "aynı renk kartlardan elinde yeterli sayıda var".
• Aynı boy perde sayısı, aynı büyüklük pencere sayısı.

Çözümlü Örnek 25 — Pul Sağa İtme Problemi (Gizli Tekrarlı)

4 pul 4. sütunda toplanacak. Her hamlede yalnızca bir pul bir kare sağa itilebilir. Farklı pulların sütun 4'e ulaşmak için gerekli hamle sayıları: A pulu 3 hamle, B pulu 2 hamle, C pulu 3 hamle (örnek değerlerdir).

Gerçek soru: Pullar farklı başlangıç kolonlarındaysa, B=3 hamle, C=2 hamle, D=3 hamle olduğu varsayılırsa toplam hamle sırası kaç farklı şekilde yapılabilir?

1. Toplam hamle: 3 + 2 + 3 = 8 hamle.
2. Her pulun kendi hamleleri birbirinin aynısı (önce hangi B hamlesi, sonra hangi B hamlesi sıralaması yok — B-B-B tek yol).
3. Bu aynı hamleleri 8 hamle sırasında yerleştirmek → tekrarlı permütasyon.
4. Formül: 8! / (3! · 2! · 3!) = 40.320 / (6 · 2 · 6) = 40.320 / 72 = 560.

Çözümlü Örnek 26 — Etiket Kesme (Diafon Denklem + Tekrarlı Permütasyon)

10 × 30 cm'lik dikdörtgen etiket 6 eş parçaya kesilecek. Her parça 5 × 10 cm olacak. Uzun kenarın (30 cm) üstüne sadece 5 cm veya 10 cm genişliğinde parçalar gelebilir; 5 cm genişlikli parçalar çift kat olarak gelmek zorunda (çünkü 10 cm yüksekliği doldurması lazım).

1. Diafon denklem: x tane 5 cm + y tane 10 cm = 30 cm → 5x + 10y = 30 → x + 2y = 6.
2. Çözümler (x, y): (0,3), (2,2), (4,1), (6,0) — 4 olası durum.
3. Durum 1 (0, 3): 3 tane 10 cm yan yana → hepsi aynı → 1 diziliş.
4. Durum 2 (2, 2): 2 tane 5cm bloğu + 2 tane 10cm bloğu = 4 blok → 4! / (2! · 2!) = 6.
5. Durum 3 (4, 1): 4 tane 5cm bloğu (yani 2 kez 5cm çifti) + 1 tane 10cm → 5 parça → ama 5cm çiftleri aynı renk olunca tekrarlı: 5! / (4! · 1!) = 5.   (Nagihan Hoca'nın çözümüne göre 5.)
6. Durum 4 (6, 0): Tüm uzun kenar 5cm çiftleriyle dolu → 1 diziliş.
7. Toplam: 1 + 6 + 5 + 1 = 13.
8. Not: Bu soru 2 adım bir arada istediği için (diafon denklem çözümü + her durumun tekrarlı permütasyonu) TYT'nin en seçici sorularındandır.

Çözümlü Örnek 27 — Perde-Pencere Yerleşimi

Bir evde 3 büyük, 3 küçük pencere var. Elde 4 farklı renk uzun perde (büyük pencereleri kapatır, küçük pencereleri de kapatır) ve 3 farklı renk kısa perde (sadece küçük pencereleri kapatır) var. Her pencereye 1 perde takılacak, tüm pencereler kapatılacak. Kaç farklı seçim vardır?

1. Büyük pencereler: Sadece uzun perde gelir. 4 uzun perdeden 3'ünü seçip sıralama: P(4, 3) = 4 · 3 · 2 = 24.
2. Küçük pencereler: 1 uzun perde kaldı + 3 kısa perde = 4 perde. 3 küçük pencere için: P(4, 3) = 4 · 3 · 2 = 24.
3. Çarp ("ve"): 24 · 24 = 576.

TYT/AYT'nin son yıllardaki tercihi hayattan senaryolarla örülmüş permütasyon sorularıdır. Formül aynı, saymanın temel ilkesi aynı — değişen sadece hikâye. Üç farklı ÖSYM tarzı soruyu baştan sona çözelim.

Çözümlü Örnek 28 — Zar Görüntüsü (2024 Tarzı)

Şenol bir zarın açık hâlini şekilde görüyor. Zarın üst yüzeyini defterine çizecek, ama zarın kenarları ile defter çizgileri çakışacak biçimde yerleştiriyor. 1, 2, 3, 4, 5, 6 sayılarının defterde kaç farklı görüntüsü oluşabilir?

1. 1: Ortada tek nokta → nasıl döndürürsen döndür aynı → 1 görüntü.
2. 2: İki nokta yan yana veya çapraz → 2 farklı yön → 2 görüntü.
3. 3: Diyagonal noktalar → iki çapraz yön → 2 görüntü.
4. 4: Dört köşe nokta → simetrik, tek → 1 görüntü.
5. 5: Dört köşe + orta → simetrik, tek → 1 görüntü.
6. 6: İki satır × üç sütun veya üç satır × iki sütun → 2 görüntü.
7. Toplam: 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 2 = 9.
8. Nagihan Hoca'nın çözümünde 8 olarak söylenmiştir; tavla zarının 6'sının yönüne bağlıdır. Soru kökündeki görsele göre kesin değer değişebilir. Temel yaklaşım: her sayı için kaç farklı simetrik olmayan yön var, onları topla.

Çözümlü Örnek 29 — Kart Çekme Oyunu (Puan Sıfır)

Kart destesinde 200, 300, 400 puan; ×2 (önceki toplamı 2'ye katlar); iflas (önceki toplamı sıfırlar) kartları var. 4 kart çekildiğinde toplam puanın 0 olması için kaç farklı çekim sırası vardır?

1. Son kart mutlaka iflas olmalı (iflas sonrası başka eksi puan olmadığına göre 0 kalması için en son iflas).
2. İflasın son yeri sabit → 1 seçenek.
3. Kalan 3 yere (1, 2, 3. sıralara) 5 karttan (200, 300, 400, ×2 — 4 kart, iflas elendi sonrası 4) farklı seçim.
4. İlk yer: 5 seçenek (kalan 5 kart farklı, her biri uygun — iflas zaten sona gitti). Wait: kart destesinde 5 kart + 1 iflas. İflas sonda. Diğer 3 yere kalan 5 karttan 3 farklı seçim ve sıralama → P(5, 3) = 5 · 4 · 3 = 60.
5. Toplam: 60 · 1 = 60.

Çözümlü Örnek 30 — 2025 TYT: Aktivite Sıralaması

Aras bir pazar günü 5 aktiviteyi tamamlayacak: Spor, Film, Ödev, Ev işi, Banyo. Koşullar:

• B (banyo), S (spor)'dan sonra olacak.
• Ö (ödev) ve E (ev işi), F (film)'den önce olacak.

Kaç farklı sıralama vardır?

1. Toplam 5 yer. F'nin pozisyonuna göre dallan.
2. F 3. sıradaysa: Ö ve E F'den önce olduğu için 1-2. sıralarda → 2! = 2. B, S'den sonra → 4-5. sıraları S ve B (S önce, B sonra, sabit) → 1. Durum: 2 · 1 = 2.
3. F 4. sıradaysa: Ö ve E için 1-3 aralığında 2 yer seçimi → C(3, 2) · 2! = 3 · 2 = 6. Kalan 1 yer ve 5. sıra S-B için (S önce, B sonra) → 1. Durum: 6 · 1 = 6.
4. F 5. sıradaysa: Ö ve E için 1-4 aralığında 2 yer → C(4, 2) · 2! = 6 · 2 = 12. Kalan 2 yer ve S-B için (S önce, B sonra) → 1. Durum: 12 · 1 = 12.
5. Toplam: 2 + 6 + 12 = 20.

TYT müfredatında çok sık görünmese de dairesel permütasyonu tanımak faydalıdır. Kişiler yuvarlak masanın etrafına oturacaksa, tüm elemanlar aynı anda saatin tersine kayarsa sıralama değişmemiş sayılır.

Dairesel Permütasyon Formülü

n farklı eleman yuvarlak masanın etrafına (n − 1)! şekilde oturabilir. Sebep: Bir kişinin yerini sabit kabul edersin, kalan (n − 1) kişiyi sırala.

Çözümlü Örnek 31 — Dairesel

5 kişi yuvarlak masanın etrafına kaç farklı şekilde oturabilir?

1. Formül: (5 − 1)! = 4! = 24.
2. Karşılaştır: Aynı 5 kişi düz sıraya oturduğunda 5! = 120. Dairesel 24 (5 kat az) çünkü dönme simetrisi var.

Dairesel + İçinden Özel Koşul

Yuvarlak masada 2 kişi yan yana olacaksa: Onları bir blok say → (n − 1) birey yerine (n − 2 + 1) = (n − 1) birey. Dairesel (n − 2)! · 2 (blok içi 2!).

Çözümlü Örnek 32 — Dairesel, Yan Yana Koşullu

6 kişi yuvarlak masaya oturacak. Ali ve Ayşe yan yana olmak şartıyla kaç farklı oturuş vardır?

1. Ali-Ayşe bir blok → 5 birey.
2. Dairesel sıralama: (5 − 1)! = 24.
3. Blok içi: 2! = 2.
4. Çarp: 24 · 2 = 48.

İpucu Permütasyonu (Açık Uçlu Sıra)

Bir boncuk ipine geçirileceğinde ters çevirme simetrisi de eklenir: n! / 2. TYT'de nadir çıksa da bilmen lazım.

Permütasyon konusunda TYT'de karşına çıkabilecek tüm soru tipleri ve her biri için uygulanacak stratejiyi tek tabloda topladık. Sınav öncesi son tekrar için kullan.

Soru Tipi — Strateji Eşleştirmesi

Soru Tipi	Strateji	Süre
Basit seçim (1 kız veya 1 erkek)	Topla (veya)	15 sn
Ardışık seçim (gömlek ve pantolon)	Çarp (ve)	15 sn
P(n, r) formülü	n! / (n−r)! veya n'den başla r kez in	20 sn
Sayı oluşturma (koşulsuz)	Çizgi yöntemi, baştan başla	30 sn
Sayı oluşturma (rakamlar farklı)	Kullanılan rakamı çıkar, 0 geri gelir	45 sn
Sayı oluşturma (tek/çift)	Son basamaktan başla	45 sn
Çift + rakamlar farklı (0 sorunlu)	İki duruma ayır (0 sonda / 0 sonda değil)	60 sn
Belli sayıdan büyük	Baş basamağı kısıtla, eşit durumu çıkar	45 sn
Yol haritası (basit)	Ara durak varsa çarp, yoksa topla	30 sn
Yol haritası (git-dön, çevre yollu)	Güzergâhları ayrı ayrı yaz, topla	90 sn
Yan yana durma	Blok tekniği: bağla → sırala → iç permütasyonla çarp	45 sn
Ayrı durma (yan yana değil)	Tümleyen: Toplam − Yan yana	45 sn
Özel sıralama (A önde, B sonda)	C(n, r) · (n − r)!	45 sn
Tekrarlı permütasyon (harf)	n! / (tekrar!)	30 sn
Gizli tekrarlı (sağa itme, perde)	Tekrar tipini fark et, formülü uygula	60 sn
Diafon denklem + tekrarlı	Olası (x, y) çözümlerini listele, her biri için ayrı permütasyon	120 sn
Dairesel (yuvarlak masa)	(n − 1)!	20 sn
Senaryo (kart, zar, aktivite)	Koşulları listele, her durumu ayrı çöz, topla	90 sn

Sınav Günü 5 Altın Adım

1. Oku ve sınıflandır (5 sn): Sıralama mı (permütasyon)? Seçim mi (kombinasyon)? Olasılık mı? Cümledeki anahtar kelimelere bak.
2. Koşulları listele (10 sn): Yan yana, önde/arkada, tek/çift, rakamlar farklı, yasaklı rakam (0), belli sayıdan büyük — hepsini kenara yaz.
3. Durum mu dal, tek mi çöz (5 sn): Koşullar birbirini etkiliyor mu? Eğer 0 hem yasak hem aday ise 2 duruma ayır.
4. Çizgi çek, rakam yaz (20 sn): Her basamağa seçenek sayısı yaz; ve ile çarp, veya ile topla.
5. Sağlama yap (10 sn): Sonuç mantıklı mı? Örnek üret, ilk birkaç diziliş listele, küçük n için formülü doğrula.

Özet Formül Kartı

İfade	Sonuç
P(n, r)	n! / (n−r)!
P(n, n)	n!
P(n, n−1)	n!
P(n, 1)	n
P(n, 0), 0!	1
Yan yana (blok)	(n − k + 1)! · k!
Yan yana değil (tümleyen)	n! − yan yana sayısı
A, B'den önde (özel sıralama)	n! / 2
Tekrarlı permütasyon	n! / (a! · b! · c! · ...)
Dairesel permütasyon	(n − 1)!
İp permütasyonu (boncuk)	n! / 2