TYT Matematik — Binom Açılımı

Binom, Latince "iki terimli" anlamına gelir. Matematikte (a+b) ya da (x−y) gibi iki terimin toplam (veya fark) halinde parantez içinde yazılmış ifadelerdir. Binom açılımı dediğimiz şey ise bu tip bir ifadenin n. kuvvetinin (yani parantezin üssünün) açılımını doğrudan hesaplamamıza yarayan formüldür. Parantezin içindekileri n defa kendisiyle çarpıp uzun uzun açmak yerine, hazır bir şablonla katsayıları ve üsleri adım adım yazmamızı sağlar.

Neyin Açılımı, Kaç Terim?

Ana formülümüz şudur:

(a+b)ⁿ = C(n,0)·aⁿ·b⁰ + C(n,1)·aⁿ⁻¹·b¹ + C(n,2)·aⁿ⁻²·b² + … + C(n,n)·a⁰·bⁿ

Kapalı biçimde: (a+b)ⁿ = Σ_k=0..n C(n,k)·a^n−k·b^k. Bu formülde C(n,k) kombinasyon sembolü olup "n'in k'lısı" diye okunur; cebirsel değeri n!/(k!·(n−k)!)'dir.

Temel Gözlemler

• Toplam terim sayısı (n+1)'dir. Yani (a+b)⁵'in açılımında 6 terim, (a+b)¹⁰'un açılımında 11 terim vardır. "Kuvveti 9 olan bir açılımın kaç terimi var?" → 10.
• Her terimin a ve b üsleri toplamı her zaman n'dir. Yani a'nın üssü azalırken b'nin üssü aynı miktarda artar. (a+b)⁵ açılımında bir terim a²b³ ise 2+3=5; başka bir terim a⁴b¹ ise 4+1=5.
• a'nın üssü n'den 0'a azalır, b'nin üssü 0'dan n'e artar. Bu yüzden açılımın ilk terimi aⁿ, son terimi bⁿ'dir.
• Katsayılar Pascal üçgeninden okunur (aşağıda detaylı göreceğiz).

Küçük Bir Hatırlatma: Özdeşliklerle Köprü

Aslında (a+b)² ve (a+b)³ için zaten ezbere bildiğin açılımlar binom açılımının özel halleridir:

• (a+b)² = C(2,0)·a² + C(2,1)·ab + C(2,2)·b² = 1·a² + 2·ab + 1·b² = a²+2ab+b². Doğrulama: özdeşlikten de aynı sonuç. Tik.
• (a+b)³ = C(3,0)·a³ + C(3,1)·a²b + C(3,2)·ab² + C(3,3)·b³ = 1·a³ + 3·a²b + 3·ab² + 1·b³. Doğrulama: özdeşlik eşit. Tik.

Özdeşlikler aslında binomun (a+b)² ve (a+b)³ özel halinden ibaret; binom ise bunu her n için genelleştirir.

Binom açılımının en güzel yanı, katsayıları bulurken illa kombinasyon hesaplamak zorunda olmamandır. Özellikle küçük n değerleri için Pascal üçgeni diye bilinen ve kuşaktan kuşağa geçen muhteşem bir tablo vardır. Tabloyu okumak, C(n,k)'yı hesaplamaktan çok daha hızlıdır.

Pascal Üçgeninin Kuruluşu

Pascal üçgeni şu kurallarla oluşturulur:

• Her satır 1 ile başlar ve 1 ile biter.
• Aradaki her sayı, bir üst satırdaki solundaki ve sağındaki iki komşusunun toplamıdır.
• Satır numaralandırması 0'dan başlar: 0. satırda 1 tane sayı, 1. satırda 2 tane, 2. satırda 3 tane vardır. Yani n. satırda (n+1) sayı bulunur.

Pascal Üçgeni Tablosu

Satır (n)	(a+b)n	Katsayılar	Satır Toplamı (=2n)
0	(a+b)⁰	1	1
1	(a+b)¹	1  1	2
2	(a+b)²	1  2  1	4
3	(a+b)³	1  3  3  1	8
4	(a+b)⁴	1  4  6  4  1	16
5	(a+b)⁵	1  5  10  10  5  1	32
6	(a+b)⁶	1  6  15  20  15  6  1	64
7	(a+b)⁷	1  7  21  35  35  21  7  1	128

Satır 5'e bak: 1, 5, 10, 10, 5, 1. İçeri doğru aynadaki gibi simetri var. Ayrıca 5 = 1+4 (bir üst satırdan), 10 = 4+6, 10 = 6+4, 5 = 4+1. Kural kendini her satırda tekrar eder.

Mnemonik: "Pascal Satırını Say — Üssü Tutar"

Çözümlü Örnek — Pascal Üçgeni ile (a+b)⁴ Açılımı

(a+b)⁴'ün tüm açılımını yazalım:

1. Pascal 4. satırı: 1, 4, 6, 4, 1.
2. a'nın üssü 4'ten 0'a iner: a⁴, a³, a², a¹, a⁰.
3. b'nin üssü 0'dan 4'e çıkar: b⁰, b¹, b², b³, b⁴.
4. Birleştir: (a+b)⁴ = 1·a⁴ + 4·a³b + 6·a²b² + 4·ab³ + 1·b⁴.
5. Sadeleştir: (a+b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴. Katsayılar toplamı: 1+4+6+4+1 = 16 = 2⁴. Doğrulama: a=b=1 koysak (1+1)⁴ = 16; formülde 1+4+6+4+1 = 16. Eşit. Tik.

Pascal Üçgeni ile Kombinasyon İlişkisi

n. satırın k. sayısı tam olarak C(n,k)'ya eşittir (k=0'dan başlar). Yani:

• C(4,0)=1, C(4,1)=4, C(4,2)=6, C(4,3)=4, C(4,4)=1 — aynı satırı verir.
• Küçük n için Pascal tablosunu kullan; büyük n için kombinasyon formülünü kullan.

Binomun en güçlü silahı genel terim formülüdür. "Beni sadece belirli bir terimle ilgilendir" sorularında tüm açılımı yazmak yerine doğrudan o terime ulaşmanı sağlar. ÖSYM TYT'de binomu neredeyse her zaman bu kalıpla sorar.

Neden "T(k+1)"? Kısa Açıklama

Kombinasyondaki k indisi C(n,0), C(n,1), C(n,2), … şeklinde 0'dan başlar. Ama biz terimleri "1. terim, 2. terim, 3. terim" diye adlandırırız. Dolayısıyla k=0'ın karşılığı 1. terim, k=1'in karşılığı 2. terim olur. Aradaki 1 farkı aşmak için formül T_k+1 diye yazılır. Kısa yol: "k bir eksiği" — kaçıncı terim istiyorsan k'ya onun 1 eksiğini koy.

Ezber Şeması

Kaçıncı Terim?	k Değeri	Terim Formu
1. terim	k=0	C(n,0)·an
2. terim	k=1	C(n,1)·an−1·b
5. terim	k=4	C(n,4)·an−4·b⁴
r. terim	k=r−1	C(n,r−1)·an−(r−1)·br−1

Üslerin Toplamı Her Zaman n

Formülde a'nın üssü (n−k), b'nin üssü k'dır. Topla: (n−k)+k = n. Bu, açılımın her teriminde geçerli bir sağlamadır. Örneğin (x+y)⁹'un herhangi bir teriminin x üssüyle y üssünün toplamı 9 olmak zorunda.

Çözümlü Örnek 1 — (a+b)⁸ Açılımının 4. Terimi

(a+b)⁸ açılımının 4. terimini bul.

1. Formül: T_k+1 = C(n,k)·a^n−k·b^k.
2. 4. terim için k+1=4 ⇒ k=3.
3. n=8, k=3: T₄ = C(8,3)·a⁵·b³.
4. C(8,3) = 8!/(3!·5!) = (8·7·6)/(3·2·1) = 336/6 = 56.
5. Sonuç: T₄ = 56·a⁵·b³. Sağlama: üsler toplamı 5+3=8=n. Tik.

Çözümlü Örnek 2 — (x+2)⁷ Açılımının 6. Terimi

(x+2)⁷ açılımının 6. terimini bul.

1. 6. terim için k=5, n=7.
2. T₆ = C(7,5)·x²·2⁵.
3. C(7,5) = C(7,2) = (7·6)/2 = 21 (simetri kuralı: C(n,k)=C(n,n−k)).
4. 2⁵ = 32.
5. Sonuç: T₆ = 21·32·x² = 672x². Üsler toplamı: 2+5=7=n. Tik.

Parantezin içindeki ikinci terim negatif olduğunda ne olur? Mesela (a−b)⁵ nasıl açılır? Cevap basit: (a−b)'yi (a+(−b)) diye düşün ve aynı formülü uygula. Katsayılar aynı kalır, ama (−b)'nin üsleri işarette dönüşüm yapar.

İşaret Kuralı: k Çift mi, Tek mi?

• k çiftse: (−1)^k = +1. Yani terim pozitif olur.
• k tekse: (−1)^k = −1. Yani terim negatif olur.

Bu demektir ki (a−b)ⁿ açılımında işaretler +, −, +, −, +, −, … diye dönüşümlü gider: 1. terim artı, 2. terim eksi, 3. terim artı, 4. terim eksi, ve böyle devam eder.

Çözümlü Örnek 3 — (a−b)⁴ Tam Açılımı

1. Pascal 4. satırı: 1, 4, 6, 4, 1.
2. İşaretler: +, −, +, −, +.
3. Birleştir: (a−b)⁴ = a⁴ − 4a³b + 6a²b² − 4ab³ + b⁴.
4. Sağlama: a=1, b=1 ⇒ (1−1)⁴ = 0. Açılımda: 1 − 4 + 6 − 4 + 1 = 0. Tik.

Çözümlü Örnek 4 — (x−2)⁵ Açılımının 3. Terimi

1. 3. terim için k=2 (çift). İşaret: pozitif.
2. T₃ = C(5,2)·x³·(−2)².
3. C(5,2) = 10, (−2)² = 4.
4. Sonuç: T₃ = 10·4·x³ = 40x³. Üsler toplamı: 3+2=5=n. Tik.

Çözümlü Örnek 5 — (x−3)⁶ Açılımının 4. Terimi

1. 4. terim için k=3 (tek). İşaret: negatif.
2. T₄ = C(6,3)·x³·(−3)³.
3. C(6,3) = 20, (−3)³ = −27.
4. Sonuç: T₄ = 20·(−27)·x³ = −540x³. Yani 4. terim negatif olarak geldi; bu k=3 tek olduğundan beklenen sonuç.

TYT'de binomun en klasik soru tipi şudur: "(2x+3)⁸ açılımında x⁵ teriminin katsayısı nedir?" Bu soruyu çözmek için hiç tüm açılımı yazmana gerek yok. Genel terim formülünü yaz, x'in üssünü istediğin değere eşitle, k'yı çöz, yerine koy. Bitti.

Üç Adım Yöntemi

1. Adım 1: Genel terim formülünü yaz: T_k+1 = C(n,k)·(birinci terim)^n−k·(ikinci terim)^k. Katsayıları dağıt: (2x)^n−k = 2^n−k·x^n−k gibi.
2. Adım 2: Değişkenin üssünü (hangi üsle istiyorsa) eşitle. x'in üssü, dağıttığın katsayılara bağlı olarak (n−k), k veya karışık bir ifade olabilir.
3. Adım 3: Bulduğun k'yı formüle koy ve sayısal katsayıyı hesapla. Bu senin cevabındır.

Çözümlü Örnek 6 — (2x+3)⁸ Açılımında x⁵ Teriminin Katsayısı

1. Genel terim: T_k+1 = C(8,k)·(2x)^8−k·3^k.
2. Dağıt: T_k+1 = C(8,k)·2^8−k·x^8−k·3^k.
3. x'in üssü (8−k). İstediğimiz x⁵ olduğuna göre 8−k=5 ⇒ k=3.
4. Katsayı: C(8,3)·2⁵·3³ = 56·32·27.
5. Hesap: 56·32 = 1792, 1792·27 = 48384.
6. Sağlama: üsler toplamı 5+3=8=n. Tik. Cevap: 48384.

Çözümlü Örnek 7 — (x²+1/x)⁶ Açılımında Sabit Terim

Sabit terim = x'li kısmın üssü 0 olan terim. (Sabit terim, x içermeyen, sadece sayı olan terimdir.)

1. Genel terim: T_k+1 = C(6,k)·(x²)^6−k·(1/x)^k.
2. Dağıt: x'in üssü 2(6−k) − k = 12 − 3k.
3. Sabit terim için 12−3k=0 ⇒ k=4.
4. Katsayı: C(6,4)·1·1 = 15.
5. Sağlama: k=4 ile sabit terim 15·x⁰·x⁰ = 15. Üssü sıfır olduğundan x yok. Tik. Cevap: 15.

Çözümlü Örnek 8 — (x−1/x²)⁶ Açılımında x³'lü Terim Katsayısı

1. Genel terim: T_k+1 = C(6,k)·x^6−k·(−1/x²)^k = C(6,k)·(−1)^k·x^6−k·x^−2k.
2. x'in üssü: 6−k−2k = 6−3k.
3. x³ için 6−3k=3 ⇒ k=1.
4. Katsayı: C(6,1)·(−1)¹ = 6·(−1) = −6.
5. Sonuç: x³'ün katsayısı −6. (k=1 tek olduğu için negatif geldi — işaret kuralımızla uyumlu.)

Soru şöyle gelir: "(2x−3)⁵ açılımındaki tüm terimlerin katsayıları toplamı kaçtır?" Tüm açılımı yazmak yerine dahiyane bir kestirme vardır: değişkenlere 1 yerleştir.

Neden Çalışıyor?

Çünkü x=1 koyduğunda x^m=1 her üs için, dolayısıyla her terimde sadece katsayı kalır ve hepsi toplanır. Çok pratik ve tamamen güvenli bir yöntem.

Çözümlü Örnek 9 — (2x−3)⁵ Katsayılar Toplamı

1. P(x) = (2x−3)⁵.
2. x=1 koy: P(1) = (2·1−3)⁵ = (−1)⁵ = −1.
3. Katsayılar toplamı = −1. Sağlama: bu açılımı gerçekten yazsaydık, tüm katsayıları işaretiyle toplayınca −1 çıkardı.

Çözümlü Örnek 10 — (3x+2y)⁴ Katsayılar Toplamı

1. P(x,y) = (3x+2y)⁴.
2. x=y=1 koy: P(1,1) = (3+2)⁴ = 5⁴ = 625.
3. Katsayılar toplamı = 625.

Pascal Üçgeninin Satır Toplamı Neden 2^n?

Tıpkı yukarıdaki hile gibi: (a+b)ⁿ açılımında a=b=1 koyarsan (1+1)ⁿ = 2ⁿ. Aynı zamanda açılım şöyle olur: C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n) = 2ⁿ. Yani Pascal'ın n. satırındaki sayıların toplamı 2ⁿ'dir. 4. satır: 1+4+6+4+1=16=2⁴. Tik.

Çözümlü Örnek 11 — x'li Terimlerin Katsayıları Toplamı vs. Sabit Terim

(2x+1)⁴ açılımında x içeren terimlerin katsayıları toplamını bul.

1. Tüm katsayılar toplamı = P(1) = 3⁴ = 81.
2. Sabit terim (x'siz) = P(0) = 1⁴ = 1.
3. X içeren terimlerin katsayıları toplamı = P(1) − P(0) = 81 − 1 = 80.
4. Sonuç: 80. Genel ipucu: P(1)−P(0) formülü x içeren terimlerin toplamını verir.

"Sabit terim" = değişken içermeyen, yani x'in üssünün 0 olduğu terim. "x'li terim" = x'in üssünün 1 olduğu terim. Her ikisi de aynı mantıkla çözülür: genel terimde x'in üssünü yazıp istediğin değere eşitlersin, k'yı bulursun.

Çözümlü Örnek 12 — (x+2/x)⁸ Sabit Terim

1. Genel terim: T_k+1 = C(8,k)·x^8−k·(2/x)^k = C(8,k)·2^k·x^8−k·x^−k.
2. x'in üssü: (8−k)−k = 8−2k.
3. Sabit terim için 8−2k=0 ⇒ k=4.
4. Sabit terim: C(8,4)·2⁴ = 70·16 = 1120.
5. Cevap: 1120.

Çözümlü Örnek 13 — (x²−1/x)⁹ Açılımında x'li Terim Katsayısı

1. Genel terim: T_k+1 = C(9,k)·(x²)^9−k·(−1/x)^k = C(9,k)·(−1)^k·x^18−2k·x^−k.
2. x'in üssü: 18−2k−k = 18−3k.
3. X'li terim için 18−3k=1 ⇒ 3k=17 ⇒ k=17/3. Bu tam sayı değil, dolayısıyla bu açılımda x'li (üssü 1 olan) terim yoktur. Soru bu tür bir cevap isterse "yoktur" denir.

Çözümlü Örnek 14 — (√x + 1/x)¹⁰ Sabit Terim

1. Değişkenleri üs cinsinden yaz: √x = x^1/2, 1/x = x⁻¹.
2. Genel terim: T_k+1 = C(10,k)·(x^1/2)^10−k·(x⁻¹)^k = C(10,k)·x^(10−k)/2·x^−k.
3. x'in üssü: (10−k)/2 − k = (10−k−2k)/2 = (10−3k)/2.
4. Sabit terim için (10−3k)/2 = 0 ⇒ 10−3k=0 ⇒ k=10/3. Tam sayı değil ⇒ bu açılımda sabit terim yoktur. Cevap: 0.

Üs Eşitleme Özeti

İstenen Terim	x'in Üssü	Denklem
Sabit terim	0	(x'in toplam üssü) = 0
x'li (tek x)	1	(x'in toplam üssü) = 1
x²'li	2	(x'in toplam üssü) = 2
xm'li	m	(x'in toplam üssü) = m

ÖSYM'nin sevdiği bir başka tipik soru: "(a+b)ⁿ açılımında 4. ve 12. terimlerin katsayıları birbirine eşittir. n kaçtır?" Bu tipi çözmek için binomdan çok kombinasyondaki bir özelliği bilmek gerekir.

Neden a+b=n? Kısa İspat

Çünkü C(n,k) = C(n,n−k) simetri özelliği vardır. Yani n'in 3'lüsü ile n'in (n−3)'lüsü birbirine eşittir. Pascal üçgenine bakarsan: her satır aynaya bakıyormuş gibi simetriktir. Dolayısıyla C(n,a)=C(n,b) olmasının (farklı a,b için) tek yolu b=n−a olmasıdır, yani a+b=n.

Çözümlü Örnek 15 — 4. ve 12. Terim Katsayıları Eşitse n=?

1. Kaçıncı terimse k bir eksiktir: 4. terim → k=3, 12. terim → k=11.
2. Katsayılar: C(n,3) ve C(n,11).
3. Eşitse: 3=11 (imkansız, trivial değil) ya da 3+11=n ⇒ n=14.
4. Sonuç: n=14. Sağlama: C(14,3) = 364, C(14,11) = C(14,3) = 364. Eşit. Tik.

Çözümlü Örnek 16 — x⁵ ve x⁷ Katsayıları Eşit

(x+1)ⁿ açılımında x⁵ ve x⁷ katsayıları eşittir. n kaçtır?

1. (x+1)ⁿ için genel terim: T_k+1 = C(n,k)·x^n−k (çünkü ikinci terim 1).
2. x⁵ için n−k=5 ⇒ k=n−5, katsayı C(n,n−5)=C(n,5).
3. x⁷ için n−k=7 ⇒ k=n−7, katsayı C(n,n−7)=C(n,7).
4. Eşitlik: C(n,5)=C(n,7) ⇒ 5+7=n ⇒ n=12.
5. Sağlama: C(12,5)=792, C(12,7)=C(12,5)=792. Eşit. Cevap: n=12.

Buraya kadar hep ikili (a+b) veya (x+sabit) gördük. Soru biraz daha karıştığında, örneğin (x+y+z)ⁿ ya da çok parantezli ifadeler geldiğinde ne yapılır? TYT seviyesinde bu tarz sorular nadir ama olabilir — temel mantık aynı, sadece hesap biraz uzar.

Trinom Açılımı (Üç Terim)

(x+y+z)ⁿ açılımı, binom değil multinomialdir. TYT'de nadirse de mantık: İki terimi bir torbada topla, binom uygula, sonra içeri ikinci binom uygula. Örneğin (x+y+z)² = ((x+y)+z)² şeklinde düşün.

Çözümlü Örnek 17 — (x+y+z)² Açılımı

1. Grupla: ((x+y)+z)².
2. Binom uygula: (x+y)² + 2(x+y)z + z².
3. İçteki binomu aç: (x+y)² = x²+2xy+y².
4. Birleştir: x²+2xy+y² + 2xz+2yz + z².
5. Sonuç: (x+y+z)² = x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz. Bu formül ezberlenirse yararlıdır.

(1+x)^n Basit Açılımı — Özel Durum

İkinci terim 1 olduğunda açılım çok sadeleşir:

(1+x)ⁿ = C(n,0) + C(n,1)·x + C(n,2)·x² + … + C(n,n)·xⁿ

Bu açılımda x'in üssü doğrudan k'ya eşittir: "x^m katsayısı" sorulduğunda doğrudan C(n,m) yaz. Üs eşitleme bile gerekmez.

Çözümlü Örnek 18 — (1+x)¹⁰ Açılımında x⁴ Katsayısı

1. (1+x)¹⁰'un x⁴ katsayısı doğrudan C(10,4).
2. C(10,4) = 10·9·8·7/(4·3·2·1) = 5040/24 = 210.
3. Sonuç: 210.

Katsayı Önceden Verilmiş — (ax+b)^n Tipi

Önemli detay: (ax+b)ⁿ açılımında her terime a^n−k ve b^k çarpılır. Yani sadece C(n,k) değil, yanına katsayı güçlerini de yazmak zorundasın.

Çözümlü Örnek 19 — (3x+2)⁵ Açılımında x³ Katsayısı

1. Genel terim: T_k+1 = C(5,k)·(3x)^5−k·2^k.
2. Dağıt: T_k+1 = C(5,k)·3^5−k·2^k·x^5−k.
3. x³ için 5−k=3 ⇒ k=2.
4. Katsayı: C(5,2)·3³·2² = 10·27·4 = 1080.
5. Sonuç: 1080.

Soru tiplerini hızla tanıyabilmek için bu karşılaştırma tablosunu ezberle — çarpımdaki işaretlere ve özel durumlara göre formüller değişmez ama uygulaması değişir.

Açılım Tipleri Tablosu

İfade	Genel Terim	Katsayılar Toplamı	Not
(a+b)n	C(n,k)·an−k·bk	(a=b=1) ⇒ 2n	Tüm terimler +
(a−b)n	C(n,k)·(−1)k·an−k·bk	(a=1,b=1) ⇒ 0	k tek ⇒ −, k çift ⇒ +
(1+x)n	C(n,k)·xk	(x=1) ⇒ 2n	xm katsayısı = C(n,m)
(1−x)n	C(n,k)·(−1)k·xk	(x=1) ⇒ 0	İşaretler +, −, +, −, …
(ax+b)n	C(n,k)·an−k·bk·xn−k	(x=1) ⇒ (a+b)n	a'nın üssü n−k olur

Sağlama Mantığı — Özel Değerler

Açılımın doğruluğunu kontrol etmek için özel değerler yerleştir:

• a=b=1: (a+b)ⁿ = 2ⁿ olmalı. Eğer açılımının katsayılar toplamı 2ⁿ çıkmazsa bir hata var demektir.
• a=1, b=−1: (1−1)ⁿ = 0. Yani (a−b)ⁿ açılımında katsayıların işaretli toplamı 0 olmalı.
• a=0: Açılım bⁿ'e düşer — son terim doğrulanmış olur.
• b=0: Açılım aⁿ'e düşer — ilk terim doğrulanmış olur.

ÖSYM'nin binomda gezindiği bir avuç soru tipi vardır. Hepsinin çözüm refleksi farklıdır ama sistematiktir. Bu tabloyu kapatırsan binom neredeyse tamam demektir.

Soru Tipleri Rehberi

Soru Kalıbı	Refleks
"(a+b)n açılımında kaç terim vardır?"	n+1
"r. terimi bul"	k=r−1, Tr=C(n,r−1)·an−r+1·br−1
"xm teriminin katsayısı"	x'in üssü = m; k'yı çöz; katsayıyı hesapla
"Sabit terimi bul"	x'in üssü = 0; k'yı çöz
"Katsayılar toplamı"	Tüm değişkenlere 1 koy, P(1,1,…) hesapla
"İki terim katsayıları eşit, n=?"	k'ları topla, sonuç n olur
"Pascal n. satırı toplamı"	2n
"(a−b)n xm katsayısı"	Aynı yöntem + (−1)k işareti
"x'li terimlerin katsayıları toplamı"	P(1) − P(0)

Çözümlü Örnek 20 — Karışık Deneme: (x+1/x)⁶ Açılımında

(a) Toplam terim sayısı? (b) Sabit terim? (c) Katsayılar toplamı? (d) x² teriminin katsayısı?

1. (a) n=6 ⇒ terim sayısı = 7.
2. Genel terim: T_k+1 = C(6,k)·x^6−k·x^−k = C(6,k)·x^6−2k.
3. (b) Sabit terim: 6−2k=0 ⇒ k=3. Katsayı: C(6,3)=20.
4. (c) Katsayılar toplamı: x=1 koy ⇒ (1+1)⁶ = 64.
5. (d) x² için 6−2k=2 ⇒ k=2. Katsayı: C(6,2)=15. Tik (6−4=2; üsler toplamı 2+ 1/x üssü için 2⇒k=2 tutarlı).

Çözümlü Örnek 21 — (2x−1)⁶ Açılımında Karışık Karma

(a) 3. terim? (b) x⁴ katsayısı? (c) Katsayılar toplamı?

1. (a) 3. terim: k=2. T₃ = C(6,2)·(2x)⁴·(−1)² = 15·16·x⁴·1 = 240x⁴.
2. (b) x⁴ için 6−k=4 ⇒ k=2. Katsayı: C(6,2)·2⁴·(−1)² = 15·16·1 = 240. (a) ile aynı — çünkü 3. terim zaten x⁴'lü terimmiş.
3. (c) Katsayılar toplamı: x=1 ⇒ (2·1−1)⁶ = 1⁶ = 1.

Binomda öğrencilerin düştüğü tipik tuzaklar vardır. Bu listeyi bilmek, aynı hataları tekrarlamamanı sağlar.

Hata 1 — "k Değerini Doğrudan Terim Numarası Sandım"

Hata 2 — Katsayı Güçlerini Unutmak

Hata 3 — (a−b)^n İşaretini Atlamak

Hata 4 — Üs Eşitleme Denkleminde Hata

Hata 5 — n+1 Terim Sayısını Kaçırmak

Hata 6 — k'nın Tam Sayı Olmadığını Fark Etmemek

Hata 7 — C(n,a)=C(n,b) Kuralını Karıştırma

Sınav Öncesi Hatırlatma — Mnemonikler ve YKS 2019 Notu

• "Pascal satırını say — üssü tutar": n. satırda n+1 sayı vardır.
• "k bir eksik": r. terim istiyorsan k=r−1.
• "a'dan aşağı, b'de yukarı": a'nın üssü n'den 0'a iner, b'nin üssü 0'dan n'e çıkar.
• "Eksi varsa sıradan sırf işaret": (a−b)ⁿ açılımında katsayı aynı, işaret (−1)^k.
• "1 yerleştir, topla — tamam": katsayılar toplamı için değişkenlere 1 yaz.

2019'da YKS'de yanlış götürmez sistemi uygulandı — yani yanlış cevaplar doğruları götürmez. Binom gibi sistemli bir konuda, genel terim formülünü ezbere bilirsen doğruyu bulma ihtimalin çok yüksek; yanlış götürmediği için boş bırakmamak avantajlı. Yine de tahmin etmeden, önce kalıbı tanı, refleksi uygula — 30 saniyede sonuca varırsın.