TYT Matematik — Kombinasyon

Kombinasyon tek kelimeyle seçim demektir. Elinde n tane eleman vardır, bunlardan r tanesini sırası önemli olmadan seçersin. İşte C(n, r) veya "n'in r'lisi" dediğimiz sayı, bunu kaç farklı şekilde yapabileceğini söyler.

Alt Küme ile Bağlantı

Bir A = {1, 2, 3} kümesinin alt kümelerini hatırlayalım. Boş küme vardı, 1 elemanlı olanlar vardı ({1}, {2}, {3}), 2 elemanlı olanlar vardı ({1,2}, {1,3}, {2,3}), ve 3 elemanlı olan vardı ({1,2,3}). Dikkat et: {1,2} ile {2,1} aynı kümedir, çünkü kümede sıralama yoktur. İşte kombinasyon tam da bunu yapıyor:

• C(3, 0) = 1 — 3 elemandan 0 seç: sadece boş küme.
• C(3, 1) = 3 — 3 elemandan 1 seç: {1}, {2}, {3}.
• C(3, 2) = 3 — 3 elemandan 2 seç: {1,2}, {1,3}, {2,3}.
• C(3, 3) = 1 — 3 elemandan 3 seç: {1,2,3}.

Toplarsak: 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³. Bu tesadüf değil — n elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin toplamı 2ⁿ'dir; ileride işimize yarayacak.

Mnemonic — "Sırasız ise kombinasyon"

Bir soruda hangi aracı (permütasyon mu kombinasyon mu) kullanacağını şöyle ayırt et:

Neden Sıralama Önemsiz?

Voleybol takımı kuruyorsun — 6 oyuncu seçtin. Ahmet sağda mı solda mı durmuş, Ayşe önde mi arkada mı oynuyor? Bunu sorun değil; takım kadrosu olarak ikisi de takımda, yeter. Seçilen kişinin kim olduğu önemli, hangi sırayla seçildiği önemsiz. Varlık önemli, diziliş önemsiz — kombinasyon budur.

Buna karşılık iki kişi fotoğraf çektirecekse, Ahmet solda–Ayşe sağda ile Ahmet sağda–Ayşe solda iki farklı fotoğraftır → sıralama önemli → permütasyon.

Kombinasyon formülünü ezbere öğrenmek yerine permütasyondan türet. Permütasyonda sıralama önemliydi; kombinasyonda önemsiz. Yani sıralamayı devre dışı bırakmak için r!'e bölmek yeter.

P(n, r) = r! · C(n, r) Özdeşliği

Bu çok kritik bir ilişkidir:

• Önce n elemandan r elemanı seç → C(n, r) farklı yol.
• Sonra seçtiğin r elemanı kendi içinde sırala → r! farklı yol.
• Toplam: C(n, r) · r! = P(n, r).

Örnek: P(5, 2) değerini bulalım. Önce 5'ten 2 seç → C(5, 2) = 10. Sonra bu ikisini sırala → 2! = 2. Toplam: 10 · 2 = 20 = P(5, 2). Tam oturdu.

Pratik Hesaplama — "Yukarıdan r Sayı, Aşağıdan r!"

C(n, r) formülünü açıkça uygulayacağın zaman hiçbir zaman n!'i tam yazma. Sadece üstteki r sayıyı azalta azalta yaz, alta r!'i yaz:

Çözümlü Örnek — C(n, 2) = 21 Denklemi

C(n, 2) = 21 eşitliğini sağlayan n değerini bul.

1. C(n, 2) = n(n−1) / 2 = 21.
2. Her iki tarafı 2 ile çarpalım: n(n−1) = 42.
3. Art arda gelen iki tam sayının çarpımı 42 — 7 · 6 = 42.
4. Demek ki n = 7.
5. Kontrol: C(7, 2) = 21. Doğrulandı.

Kombinasyonda çok sık karşına çıkan bazı değerler var. Bunları hesaplamadan bilmek süre kazandırır.

Özel Değerler Tablosu

Formül	Değer	Açıklama
C(n, 0)	1	n elemandan 0 seç → sadece boş küme (1 durum).
C(n, n)	1	n elemandan n seç → sadece kümenin kendisi.
C(n, 1)	n	n elemandan 1 seç → n farklı tek elemanlı seçim.
C(n, n−1)	n	n elemandan n−1 seç → hangisini dışarıda bırakacağını seç (n yol).
C(n, 2)	n(n−1)/2	TYT'nin en sevdiği değer; mutlaka ezberle.

Simetri Özelliği — C(n, r) = C(n, n−r)

Bu özellik TYT'de hem süre tasarrufu hem de denklem sorularında can kurtarır.

Simetri Örnekleri

• C(7, 5) = C(7, 2) = 21 — 7'nin 5'lisini hesaplamak yerine 7'nin 2'lisiyle iş bitti.
• C(9, 7) = C(9, 2) = 36 — 9 · 8 / 2 = 36.
• C(10, 8) = C(10, 2) = 45 — altlardan küçük olana bakmak hep daha hızlıdır.

Çözümlü Örnek — Simetriyle Denklem Çözme

C(n, 6) = C(n, 7) eşitliği için n'yi bul.

1. Üst sayılar aynı (n), alt sayılar farklı (6 ve 7).
2. Simetri özelliği: ya alt sayılar eşit olmalı (burada değil), ya da alt sayıların toplamı üst sayıya eşit olmalı.
3. 6 + 7 = 13 → n = 13.
4. Kontrol: C(13, 6) = C(13, 7). Simetri tamam.

Kombinasyonda iki özdeşlik TYT'nin sevdiği teorik araçlardır: Pascal özdeşliği ve alt küme toplamı.

Pascal Özdeşliği

Sözel olarak: "n'den r seçiyorsun. Seçimine özel bir eleman'ı dahil ederseniz kalan n−1'den r−1 seçersin (özel eleman zaten var); etmezseniz kalan n−1'den r seçersin. İki durumu topla."

Pascal Örneği — Doğruluğunu Göster

C(6, 2) = C(5, 1) + C(5, 2) eşitliği sağlanır mı?

1. C(6, 2) = 6 · 5 / 2 = 15.
2. C(5, 1) = 5.
3. C(5, 2) = 5 · 4 / 2 = 10.
4. Sağ taraf: 5 + 10 = 15. Eşitlik sağlanır.

Alt Küme Toplamı Özdeşliği

Mantığı: n elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerini hesaplıyorsun. 0 elemanlı, 1 elemanlı, … , n elemanlı alt kümeleri topla → hepsi birlikte tüm alt küme sayısı olan 2ⁿ'ye eşit.

Çözümlü Örnek — Eksik Toplamdan Kaçma

C(n, 1) + C(n, 2) + … + C(n, n − 1) = 62 ise n kaçtır?

1. Tüm toplam: 2ⁿ.
2. Eksik olanlar: C(n, 0) = 1 ve C(n, n) = 1, yani toplam 2 eksik.
3. O halde 2ⁿ − 2 = 62 → 2ⁿ = 64 → n = 6.
4. Kontrol: 2⁶ = 64. Eksik iki terim atılınca 62 kalır. Doğru.

Bu ayrımı iyi yapmazsan TYT'de yanlış hesaba girersin. Cevap şıkta ortaya çıkmaz, başta kararlaştırırsın.

Karşılaştırma Tablosu

Kriter	Permütasyon	Kombinasyon
Sıralama	Önemli	Önemsiz
Cevabı	"Kaç farklı diziliş?"	"Kaç farklı seçim?"
Formül	P(n, r) = n! / (n−r)!	C(n, r) = n! / [r!·(n−r)!]
İlişki	P = r! · C	C = P / r!
Anahtar kelimeler	dizilim, fotoğraf, yarış, basamaklı sayı, koltuk, sıralama	grup, takım, komite, alt küme, seçim, kadro

Sayısal Karşılaştırma

4 elemanlı {A, B, C, D} kümesinden 2 eleman alalım:

Çözümlü Örnek — Aynı Cümle, Farklı Soru

"5 kişilik bir gruptan 3 kişi seçilecek."

• "Kaç farklı grup oluşturulur?" → kombinasyon → C(5, 3) = 10.
• "Seçilen 3 kişi yan yana fotoğraf çekilir, kaç farklı fotoğraf oluşur?" → önce seç sonra sırala → C(5, 3) · 3! = 10 · 6 = 60 = P(5, 3).
• "3 kişi 1.'lik, 2.'lik, 3.'lük alacak, kaç farklı dereceleme olur?" → permütasyon → P(5, 3) = 60.

Kombinasyon sorularında en kritik okuma becerisi şudur: soruda "ve" mi geçiyor, "veya" mı? Buna göre çarpacak mısın toplayacak mısın karar verirsin. Bunu iyi öğrenmezsen en kolay soruyu bile kaçırırsın.

Çözümlü Örnek — "ikisi kız ve ikisi erkek"

4 kız, 5 erkek arasından 4 kişilik bir grup seçilecek. Grupta 2 kız ve 2 erkek bulunacaksa kaç farklı grup oluşur?

1. "Ve" gördüğün için aynı anda iki olay: kızlardan 2 seç + erkeklerden 2 seç.
2. 4 kızdan 2 seç → C(4, 2) = 4 · 3 / 2 = 6.
3. 5 erkekten 2 seç → C(5, 2) = 5 · 4 / 2 = 10.
4. Çarp: 6 · 10 = 60.

Çözümlü Örnek — "kız sayısı erkek sayısından fazla"

Yine 4 kız, 5 erkek, 4 kişilik grup. Grupta kız sayısı erkekten fazla olacaksa kaç farklı grup oluşur?

1. Durum analizi: 4 kişi seç, kız > erkek. Olabilecek dağılımlar:
   • 4 kız + 0 erkek (kız > erkek, tamam)
   • 3 kız + 1 erkek (kız > erkek, tamam)
   • 2 kız + 2 erkek (eşit, atlanır)
2. Durumlar birbirinden ayrık → "veya" ile topla.
3. Durum 1: C(4, 4) · C(5, 0) = 1 · 1 = 1.
4. Durum 2: C(4, 3) · C(5, 1) = 4 · 5 = 20.
5. Toplam: 1 + 20 = 21.

Ve-Veya Birleşik Kalıp

Karışık sorularda iki bağlaç da olur. Önce "ve"'li birleşimi çöz (çarp), sonra "veya"'ları topla.

Bir soruda "en az 2 doktor bulunsun" veya "en çok 3 sütlü ürün olsun" ifadesi geçiyorsa iki strateji vardır. Hangisinin daha az işlem gerektirdiğine bakıp seç.

İki Strateji

Çözümlü Örnek — En Az 2 Doktor

6 doktor, 4 hemşire var. 4 kişilik bir ekip kurulacak. Ekipte en az 2 doktor bulunacaksa kaç farklı ekip oluşur?

1. Durum analizi: 4 kişi, en az 2 doktor.
   • 2 doktor + 2 hemşire
   • 3 doktor + 1 hemşire
   • 4 doktor + 0 hemşire
2. Durum 1: C(6, 2) · C(4, 2) = 15 · 6 = 90.
3. Durum 2: C(6, 3) · C(4, 1) = 20 · 4 = 80.
4. Durum 3: C(6, 4) · C(4, 0) = 15 · 1 = 15.
5. Toplam: 90 + 80 + 15 = 185.

Tümleyenle Alternatif Çözüm

1. Tüm ekipler: C(10, 4) = 10 · 9 · 8 · 7 / 24 = 5040 / 24 = 210.
2. Yasak durumlar (en az 2 doktor değil = 0 veya 1 doktor):
   • 0 doktor + 4 hemşire: C(6, 0) · C(4, 4) = 1 · 1 = 1
   • 1 doktor + 3 hemşire: C(6, 1) · C(4, 3) = 6 · 4 = 24
3. Yasak toplam: 1 + 24 = 25.
4. Geçerli: 210 − 25 = 185. Aynı cevap.

Kritik Karar

Çözümlü Örnek — "Tek Yasak" Durumda Tümleyen

2 satır, 10 sütunlu tabloda 5 hücre kırmızıya boyanacak. Her satırda en az bir hücre kırmızı olacak. Kaç farklı desen oluşur?

1. Tüm yol: C(10, 5) = 10·9·8·7·6 / 120 = 30240 / 120 = 252.
2. Yasak: bir satırın tamamı kırmızı (5 hücre aynı satırda), diğer satır boş.
   • 1. satırın 5 hücresi + 2. satırın 0 hücresi → 1 yol.
   • 2. satırın 5 hücresi + 1. satırın 0 hücresi → 1 yol.
3. Yasak toplam: 2.
4. Geçerli: 252 − 2 = 250.

Soruda "Ahmet kesin olsun", "Zehra olmasın", "Oğuz ile Taner aynı grupta olsun" gibi ismi geçen özel kişiler varsa önce taslağı kurarsın, sonra hesabı.

Taslak Kurma Adımları

1. Soruyu oku, özel kişileri işaretle.
2. Kalan kişi sayısını çıkar (toplam − özel).
3. Kontenjan çizgilerini çiz (kaç kişi seçilecek?).
4. Özel kişilerin varlık/yokluk/birliktelik durumuna göre koşulları analiz et.
5. Her durum için kombinasyonu yaz, "ve" ise çarp, "veya" ise topla.

Çözümlü Örnek — "Yalnız Biri Olacak"

Bir voleybol takımında Zehra ve Eda dahil 11 oyuncu var. 6 kişilik kadro seçilecek. Zehra veya Eda'nın yalnızca biri kadroda olacaksa kaç farklı kadro oluşur?

1. Özel: Z, E. Kalan: 11 − 2 = 9 oyuncu.
2. Kontenjan: 6 kişi.
3. Analiz: "Yalnız biri" → 2 kişiden 1 seç: C(2, 1) = 2.
4. Kalan 5 kişi 9 oyuncu arasından: C(9, 5) = C(9, 4) = 9·8·7·6 / 24 = 3024 / 24 = 126.
5. Çarp: 2 · 126 = 252.

Çözümlü Örnek — "İkisi de Kadroda ve Yan Yana"

Aralarında Ali ve Can'ın da olduğu 6 kişilik ekipten 4 kişi yan yana fotoğraf çekecek. Ali ile Can kesin fotoğrafta ve yan yana duracaksa kaç farklı fotoğraf oluşur?

1. Özel: A, C. Kalan: 6 − 2 = 4 kişi.
2. Önce SEÇİM — Ali ile Can kesin var, kalan 2 kişi 4'ten seçilecek: C(4, 2) = 6.
3. Sonra SIRALAMA — Ali-Can'ı tek blok say (yan yana şartı). Toplam sıralanacak: 2 normal + 1 blok = 3 öğe.
4. 3 öğenin sırası: 3! = 6.
5. Ali-Can bloğunun iç sırası: 2! = 2 (A-C ya da C-A).
6. Toplam: 6 · 6 · 2 = 72.

Çözümlü Örnek — Oğuz ve Taner Aynı Asansörde

Aralarında Oğuz ve Taner'in de olduğu 8 kişi, biri 2 kişilik, ikisi 3 kişilik üç asansöre binecek. Oğuz ve Taner aynı asansörde olacaksa kaç farklı dağılım olur?

1. Özel: O, T. Kalan 6 kişi.
2. Durum 1: O-T 2 kişilik asansöre. Asansör dolu. Kalan 6 kişi: C(6, 3) · C(3, 3) = 20 · 1 = 20.
3. Durum 2: O-T ilk 3 kişilik asansöre. Yanlarına 1 kişi: C(6, 1) = 6. Kalan 5 kişiden 2'si 2 kişiliğe, 3'ü diğer 3 kişiliğe: C(5, 2) · C(3, 3) = 10 · 1 = 10. Toplam: 6 · 10 = 60.
4. Durum 3: O-T ikinci 3 kişilik asansöre. Simetriyle Durum 2 ile aynı: 60.
5. Toplam: 20 + 60 + 60 = 140.

Bir soruda grup oluşturduğunda, bu gruplara isim / kimlik verilmiş mi yoksa sadece "iki grup" mu dendi, bunu iyi ayırmalısın. Aksi halde iki kat saymış olursun.

Çözümlü Örnek — Kimlikli (2 Farklı Takım)

2 öğretmen, 4 kız, 4 erkek öğrenci var. Her takımda 1 öğretmen olacak şekilde A ve B takımı (5'er kişilik) oluşturulacak. Kaç farklı şekilde kurulur?

1. A takımı için öğretmen: 2 öğretmenden 1 seç → C(2, 1) = 2.
2. A takımı için kalan 4 kişi: 8 öğrenciden 4 seç → C(8, 4) = 8·7·6·5 / 24 = 1680/24 = 70.
3. B takımı kalan öğretmen ve 4 öğrenci ile otomatik dolar → 1 yol.
4. Toplam: 2 · 70 = 140.

Çözümlü Örnek — Kimliksiz (2 Eşit Grup)

Aynı soruda "A ve B takımı" yerine "iki takım" denseydi:

1. Kimlikli hesapladık: 140.
2. Ama "A-B" kimlikleri yoksa {Takım1 = X, Takım2 = Y} ile {Takım1 = Y, Takım2 = X} aynı oluşum. Yani her dağılımı iki kez saymışız.
3. Kimliksiz: 140 / 2! = 140 / 2 = 70.

3 Eşit Grup — Örnek

9 kişilik bir grup 3'er kişilik 3 eşit kimliksiz gruba ayrılacak. Kaç farklı ayrılma olur?

1. 1. gruba 9'dan 3 seç: C(9, 3) = 84.
2. 2. gruba kalan 6'dan 3 seç: C(6, 3) = 20.
3. 3. gruba kalan 3'ten 3 seç: C(3, 3) = 1.
4. Kimlikli toplam: 84 · 20 · 1 = 1680.
5. 3 grup kimliksiz → 3! = 6'ya böl: 1680 / 6 = 280.

Bu bölümde temel kombinasyon sorularını adım adım çözüyoruz.

Örnek 1 — Kübra'nın Kutusu

Kübra bir kutudaki farklı toplardan 4 tanesini A, 6 tanesini B, 9 tanesini C farklı şekilde seçebileceğini hesaplıyor. B = C olduğuna göre, A kaçtır?

1. Kutuda toplam n top olsun. A = C(n, 4), B = C(n, 6), C = C(n, 9).
2. C(n, 6) = C(n, 9). Simetri ile: ya 6 = 9 (olmaz) ya 6 + 9 = n → n = 15.
3. A = C(15, 4). Hesaplayalım: üstte 15, 14, 13, 12; altta 4! = 24.
4. A = (15 · 14 · 13 · 12) / 24 = 32760 / 24 = 1365.

Örnek 2 — Top-Kutu Seçimi

Numaralandırılmış 5 toptan ({1, 2, 3, 4, 5}) 3 tanesi, 1-2-3 numaralı kutulara her kutuya 1 top olacak şekilde atılacak. Tek numaralı toplar tek numaralı kutulara, çift numaralı toplar çift numaralı kutuya konacak. Kaç farklı şekilde yapılabilir?

1. Çift toplar: 2 ve 4 (2 tane). Çift kutu: 2 numaralı kutu (1 tane). Bu kutuya 2 toptan birini seç: C(2, 1) = 2.
2. Tek toplar: 1, 3, 5 (3 tane). Tek kutular: 1 ve 3 numaralı kutu (2 tane). Önce 3 toptan 2'sini seç: C(3, 2) = 3. Sonra kutulara sırayla yerleştir: 2! = 2.
3. Toplam: 2 · 3 · 2 = 12.

Örnek 3 — Çarpımı Negatif

S = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2} kümesinden 3 sayı seçiliyor. Çarpımı negatif olacak şekilde kaç farklı seçim yapılır?

1. Çarpım negatif olsun: 0 olmamalı (0 yutar), negatiflerin sayısı TEK olmalı.
2. Durumlar: (3 negatif, 0 pozitif) veya (1 negatif, 2 pozitif).
3. Küme: 4 negatif ({−4, −3, −2, −1}), 2 pozitif ({1, 2}), 0.
4. Durum 1: C(4, 3) · C(2, 0) = 4 · 1 = 4.
5. Durum 2: C(4, 1) · C(2, 2) = 4 · 1 = 4.
6. Toplam: 4 + 4 = 8.

Örnek 4 — 8 İşçi, 2 Vardiya

Bir fabrikanın 8 işçisi var. Gece-gündüz vardiyası için ikiye eşit bölünecek (4'er kişi). Aralarındaki en tecrübeli 2 kişi aynı vardiyada olmayacak. Kaç farklı şekilde ayrılır?

1. En tecrübeli 2 kişi: A, B. Kalan: 6 işçi.
2. A ile B farklı vardiyada olsun. A'yı gündüze koy (B otomatik geceye): C(2, 1) = 2 (A gündüz ya da B gündüz).
3. Kalan 6 işçiden 3'ü gündüze, 3'ü geceye: C(6, 3) = 20.
4. Toplam: 2 · 20 = 40.

Örnek 5 — 6 Kişi, 3 Ders, 17 Saat

7 dersin süreleri: 5 saat olanlar (4 ders), 4 saat olanlar (2 ders), 3 saat olanlar (1 ders). Aslı 4 farklı ders alıp toplam 17 saat olmasını istiyor. Kaç farklı seçim yapabilir?

1. Durum analizi: 4 ders, toplam 17 saat. 5'lilerin kaç tanesi kullanılıyor?
   • 3 tane 5-lik = 15 saat → kalan 1 ders 2 saat olmalı, 2 saatlik ders yok. Olmaz.
   • 2 tane 5-lik = 10 saat → kalan 2 ders toplam 7 saat: 4+3 = 7 ✓.
   • 1 tane 5-lik = 5 saat → kalan 3 ders toplam 12 saat: en büyük 4·3 = 12 ✓ ama sadece 2 tane 4-lük var. Olmaz.
   • 0 tane 5-lik → 4 ders toplam 17 saat: en büyük 4+4+3 = 11, olmaz.
2. Tek geçerli senaryo: 2 adet 5-lik + 1 adet 4-lük + 1 adet 3-lük.
3. C(4, 2) · C(2, 1) · C(1, 1) = 6 · 2 · 1 = 12.

Bu bölümde son yıllarda TYT'de çıkmış tarzda ÖSYM soruları var. Hepsinde durum analizi + taslak yaklaşımı kritik.

Örnek 6 — Telefon Uygulaması Silme (TYT tarzı)

Telefonda her biri 1 GB olan 5 uygulama, 2 GB olan 4 uygulama, 3 GB olan 3 uygulama var. Aslı 2 uygulama silerek en az 4 GB yer açacak. Kaç farklı seçim?

1. Durum analizi: 2 uygulama seçilecek, toplam ≥ 4.
   • 3 + 3 = 6 ✓ → 3 GB'lardan 2: C(3, 2) = 3.
   • 3 + 2 = 5 ✓ → 3 GB'dan 1, 2 GB'dan 1: C(3, 1) · C(4, 1) = 12.
   • 3 + 1 = 4 ✓ → 3 GB'dan 1, 1 GB'dan 1: C(3, 1) · C(5, 1) = 15.
   • 2 + 2 = 4 ✓ → 2 GB'dan 2: C(4, 2) = 6.
   • Diğer durumlar (2+1=3, 1+1=2) < 4 olur, atlanır.
2. Toplam: 3 + 12 + 15 + 6 = 36.

Örnek 7 — Dondurma Sipariş (2022 TYT tarzı)

Bir dondurmacıda 5 çeşit var: vanilya, kakao, antep fıstığı, vanilya-kakao, vanilya-antep. Aslı ve Başak, aynı çeşidi iki kez paylaşmadan ve aynı aromayı içermeyen birer dondurma sipariş verecek. Kaç farklı sipariş?

1. Aslı'nın seçimine göre Başak'ın seçenekleri değişir — detaylı saymalıyız.
2. Aslı vanilya → Başak: vanilya içermeyen (kakao, antep) → 2.
3. Aslı kakao → Başak: kakao içermeyen (vanilya, antep, vanilya-antep) → 3.
4. Aslı antep → Başak: antep içermeyen (vanilya, kakao, vanilya-kakao) → 3.
5. Aslı vanilya-kakao → Başak: vanilya ve kakao yok (antep) → 1.
6. Aslı vanilya-antep → Başak: vanilya ve antep yok (kakao) → 1.
7. Toplam: 2 + 3 + 3 + 1 + 1 = 10.

Örnek 8 — Sigorta Panosu (TYT tarzı)

Bir evde 1 ana akım + 7 oda sigortası (toplam 8) var. Ana akım kapatılınca hepsi kapanır. Ana akım açıkken oda sigortası kapatılınca sadece o oda kapanır. Koridor 2 numaralı sigortaya bağlı. 8 sigortadan 3'ü kapatılacak ve koridor kapalı olacak. Kaç farklı seçim?

1. Durum 1: Ana akım kapalı (1 seçim). Kalan 7 sigortadan 2 kapalı: C(7, 2) = 21.
2. Durum 2: Ana akım açık, koridor kapalı (2 no kapalı). Kalan 6 oda sigortasından 2 kapalı (ana akım hariç): C(6, 2) = 15.
3. Toplam: 21 + 15 = 36.

Örnek 9 — Vardiya Değişimi (TYT tarzı)

A şubesinde 3 kasiyer + 2 reyoncu. B şubesinde 3 kasiyer + 4 reyoncu. A'dan 2 kişi B'ye, B'den 2 kişi A'ya aynı anda geçiyor. Değişim sonucunda A'da 4 kasiyer + 1 reyoncu olacak. Kaç farklı şekilde yapılır?

1. A başlangıç: 3K + 2R. Hedef: 4K + 1R. Net değişim: +1K, −1R.
2. Senaryo 1: A'dan giden 1K+1R, B'den gelen 2K. Kontrol: A sonrası = (3−1)K + (2−1)R + 2K = 4K + 1R ✓.
   • A'dan seçim: C(3, 1) · C(2, 1) = 3 · 2 = 6.
   • B'den seçim: C(3, 2) · C(4, 0) = 3 · 1 = 3.
   • Çarp: 6 · 3 = 18.
3. Senaryo 2: A'dan giden 0K+2R, B'den gelen 1K+1R. Kontrol: A sonrası = 3K + 0R + 1K + 1R = 4K + 1R ✓.
   • A'dan seçim: C(3, 0) · C(2, 2) = 1 · 1 = 1.
   • B'den seçim: C(3, 1) · C(4, 1) = 3 · 4 = 12.
   • Çarp: 1 · 12 = 12.
4. Toplam: 18 + 12 = 30.

Örnek 10 — Duru'nun Grupları

Bir sınıfta Duru dahil n öğrenci var. Oluşturulabilecek tüm 3 kişilik grupların 45 tanesinde Duru var. Bu durumda Duru'nun olmadığı 3 kişilik grup sayısı kaçtır?

1. Duru grupta kesinse kalan 2 kişi n − 1 kişiden seçilir: C(n − 1, 2) = 45.
2. (n − 1)(n − 2) / 2 = 45 → (n − 1)(n − 2) = 90.
3. Art arda iki sayı 90: 10 · 9 = 90 → n − 1 = 10 → n = 11.
4. Duru'suz gruplar: n − 1 = 10 kişiden 3 seç → C(10, 3) = 10·9·8 / 6 = 720/6 = 120.

Örnek 11 — Erkek/Kız İsim Seçimi

İkiz bebeklerden biri kız biri erkek. İsim listeleri: sadece erkek (5), sadece kız (4), unisex (6). Aynı isim iki kez kullanılmaz. Kaç farklı seçim?

1. Durum 1: Erkeğe sadece-erkek listesinden isim (5 seçenek). Kıza kalan 4 sadece-kız + 6 unisex = 10 seçenek.
   • 5 · 10 = 50
2. Durum 2: Erkeğe unisex listesinden isim (6 seçenek). Kıza kalan 4 sadece-kız + 5 unisex = 9 seçenek (biri gitti).
   • 6 · 9 = 54
3. Toplam: 50 + 54 = 104.

Örnek 12 — Menü Seçimi

İçecekler: 4 çeşit. Tatlı: 3 çeşit. Tuzlu: 2 çeşit. Bir içecek ve (bir tatlı veya bir tuzlu) sipariş verilecek. Kaç farklı seçim?

1. İçecek: 4 yol.
2. Tatlı veya tuzlu: 3 + 2 = 5 yol.
3. "Ve" gördüğümüz için çarp: 4 · 5 = 20.

Örnek 13 — 3 Deniz, 3 İl

Karadeniz'e kıyısı olan 3 il, Akdeniz'e 3 il, Ege'ye 2 il. Toplam 8 ilden 3'ü gezilecek. Aynı denize kıyısı olan en çok 2 il seçilecek. Kaç farklı seçim?

1. Tüm seçim: C(8, 3) = 8·7·6 / 6 = 56.
2. Yasak: aynı denizden 3 il.
   • Karadeniz'den 3: C(3, 3) = 1.
   • Akdeniz'den 3: C(3, 3) = 1.
   • Ege'den 3: C(2, 3) = 0 (imkansız).
3. Yasak toplam: 1 + 1 + 0 = 2.
4. Geçerli: 56 − 2 = 54.

Örnek 14 — Geometri: Nokta Seçimi

Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan 8 nokta var. Bu noktalardan geçen kaç farklı (a) doğru, (b) üçgen çizilir?

1. (a) Doğru için 2 nokta gerekli. Hiçbir sıkıntı yok (doğrusallık yok). C(8, 2) = 8·7/2 = 28 doğru.
2. (b) Üçgen için 3 nokta gerekli ve doğrusal olmamalı. Zaten şart sağlanıyor. C(8, 3) = 8·7·6/6 = 56 üçgen.

Örnek 15 — Geometri: Doğrusallıklı Durum

Bir düzlemde 8 nokta var. Bunlardan 3 tanesi bir doğru üzerinde, başka 5 tanesi başka bir doğru üzerinde. Geri kalan yok. Bu noktalarla kaç farklı (a) doğru, (b) üçgen oluşur?

1. (a) Doğru — sıkıntısız varsayıp yasakları çıkar.
   • Sıkıntısız: C(8, 2) = 28 doğru.
   • 3'lü doğrusal nokta: C(3, 2) = 3 "farklı doğru" saymış olduk ama gerçekte 1 doğru. Çıkar 3, tekrar ekle 1 → net −2.
   • 5'li doğrusal nokta: C(5, 2) = 10 "farklı doğru" saymış olduk, gerçekte 1. Çıkar 10, ekle 1 → net −9.
   • Toplam doğru: 28 − 2 − 9 = 17.
2. (b) Üçgen — 3 doğrusal nokta üçgen kurmaz.
   • Sıkıntısız: C(8, 3) = 56.
   • 3 doğrusal noktadan 3 üçgen saymış oluruz ama üçgen yok: C(3, 3) = 1 çıkar.
   • 5 doğrusal noktadan seçtiğimiz 3'ü de üçgen yok: C(5, 3) = 10 çıkar.
   • "+1" eklemiyoruz çünkü atılan şey üçgen değil, yok olan.
   • Toplam: 56 − 1 − 10 = 45.

Kombinasyon sorularında sık düşülen tuzakları bilmek kadar önemli bir şey yok. TYT'de bu hatalar kaçırılan puanların çoğunu açıklıyor.

Hata 1: "Sıralama Önemli mi?" Sorusunu Atlamak

Hata 2: "Ve" ile "Veya"'yı Karıştırmak

Hata 3: Kimliksiz Grubu İki Kat Saymak

Hata 4: Tümleyen Yöntemini Göz Ardı Etmek

Hata 5: Simetriyi Unutup Büyük Hesap Yapmak

Hata 6: Özel Kişileri Toplam İçinde Saymayı Unutmak

Kontrol Listesi

1. Sıralama önemli mi? (Fotoğraf/yarış/koltuk → evet; takım/grup → hayır)
2. Özel kişi/nesne var mı? Taslağı çiz.
3. "Ve" mi "veya" mı? Çarpma mı toplama mı?
4. "En az/en çok" var mı? Tümleyeni değerlendir.
5. Gruplar kimlikli mi? Kimliksizse k!'e böl.
6. Simetri: C(n, r) yerine C(n, n−r) daha kolay mı?
7. Aritmetik doğrulaması: C(5,2)=10, C(6,3)=20, C(7,2)=21, C(8,3)=56, C(10,2)=45 akılda.

Son TYT'lerde (2022, 2023, 2024) kombinasyon sorularının izlediği kalıp bellidir. İşte strateji.

ÖSYM'nin Tercih Ettiği Soru Türleri

• Günlük hayat kurguları: telefon uygulaması silme, sigorta panosu, tablo boyama, dolap seçimi, vardiya değişimi, dondurma sipariş.
• Şartlı seçim: "aynı denize en çok 2", "aynı saatte en fazla 1", "birleşik aroma çakışmasın".
• Kısıtlı kombinasyon: tümleyen yöntemi gerektiren "en az 1 / en çok 2" senaryoları.
• Olasılığa dönüşen sorular: "kaç seçim?" yerine "seçim yapınca X'in kapalı olma olasılığı".

Nadiren Gelen Türler

• Saf geometrik kombinasyon (nokta-doğru-üçgen) — 2020 sonrası neredeyse hiç gelmiyor.
• Denklem soruları (C(n, r) = 45 tipi) — eskiden sık, artık nadir.
• Permütasyonla karışık denklemler — çok nadir; daha çok AYT tarafında.

Süre Stratejisi

YKS Puanlama Kuralı

2019 YKS reformundan itibaren YKS'de yanlış cevap doğruyu götürmez. Bu, kombinasyon gibi "yorum ağırlıklı" sorularda akıllı tahminin değerini arttırır. Cevap seçeneklerinden mantıksız olanları ele, kalanlardan tercih et. Ama ideali tabii ki soruyu gerçekten çözmek.

Kombinasyon–Permütasyon–Olasılık Üçgeni

Olasılık Dönüşüm Örneği

"10 kişiden 4 kişi seçilecek. En az 2 doktor olacak kaç yol?" → 185 (önceki bölümde hesapladık).

"...olma olasılığı nedir?" olursa: pay = 185, payda = C(10, 4) = 210. Olasılık = 185/210 = 37/42.