TYT Matematik — Olasılık

Olasılık konusu, önce doğru terimlerle konuşmayı öğrenmeyi ister. Dört tane çekirdek kavram vardır ve hepsi birbirine geçmiştir; birini yanlış tanırsan sorunun içinden çıkamazsın.

Dört Temel Tanım

• Deney: Sonucu önceden kesin bilinmeyen tekrarlanabilir süreç. Para atmak, zar atmak, torbadan top çekmek, kart seçmek birer deneydir.
• Çıktı (sonuç): Deneyin ortaya çıkabilecek her bir sonucu. Para atma deneyinin çıktıları yazı ve turadır; zar atmanın çıktıları 1, 2, 3, 4, 5, 6dır.
• Örnek uzay (S): Tüm çıktıların kümesi. Bir parada S = {yazı, tura}, bir zarda S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• Olay (E): Örnek uzayın alt kümesi. Zar atmada "çift sayı gelmesi" olayı E = {2, 4, 6}tur.

Örnek Uzay Boyutu — İlk Sayım Refleksi

Olasılık hesabı yapmadan önce örnek uzayın kaç elemanlı olduğunu bilmek gerekir. Tekrar eden deneylerde çıktı sayısı çarpım kuralıyla büyür:

• n tane zar: Her zar bağımsızdır, 6ⁿ çıktı vardır. 2 zar → 36, 3 zar → 216.
• n tane para: Her para iki yüzlüdür, 2ⁿ çıktı vardır. 2 para → 4, 3 para → 8.
• İadeli çekim: 10 toptan art arda iadeli 2 top çekilirse 10 · 10 = 100 sıralı durum.
• İadesiz sıralı çekim: 10 toptan art arda iadesiz 2 top çekilirse 10 · 9 = 90 sıralı durum.
• İadesiz eş zamanlı çekim: 10 toptan aynı anda 2 top çekilirse C(10, 2) = 45 durum (sıralama yok).

Bütün olasılık teorisinin kalbi tek bir formüldür:

P(E) = s(E) / s(S)   =   istenen durum sayısı / tüm durum sayısı

"İstenen / Olası = Olasılık" Mnemoniği

Bu formülü aklında tutmanın en kolay yolu sözel karşılığını benimsemektir: "İstenen bölü Olası". Yani sorduğun şeyin kaç şekilde olabileceğini sayıp (pay), herhangi bir şeyin kaç şekilde olabileceğine bölüyorsun (payda). Sınavda olasılık gördüğün anda beynin direkt bu formülü çağırmalı.

Eş Olumlu Örnek Uzay Varsayımı — Formülün Gizli Şartı

Formül yalnızca çıktıların hepsi eşit olasılıklı olduğunda doğrudur. Hilesiz zar, hilesiz para, iyi karıştırılmış torba hep bu varsayımı sağlar. "Hilesiz" kelimesi soru metninde özellikle yazılır; çünkü hileliyse çıktılar eşit olumlu olmaz, formül geçerli olmaz.

Olasılığın Sınırları

• 0 ≤ P(E) ≤ 1 — Olasılık negatif olamaz, 1'i aşamaz.
• P(∅) = 0 — İmkânsız olayın olasılığı 0.
• P(S) = 1 — Kesin olayın olasılığı 1.

Çözümlü Örnek 1 — Zar ile Temel

Hilesiz bir zar atılıyor. Üst yüzüne gelen sayının en az 4 olma olasılığı kaçtır?

• Örnek uzay: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, s(S) = 6.
• "En az 4" olayı: E = {4, 5, 6}, s(E) = 3.
• P(E) = 3/6 = 1/2.

Çözümlü Örnek 2 — Zar ile "Asal ve Tek"

Hilesiz bir zarın üst yüzüne gelen sayının hem asal hem tek olma olasılığı kaçtır?

• Tüm durum: 6.
• Asal sayılar: {2, 3, 5}. Tek sayılar: {1, 3, 5}. Hem asal hem tek: {3, 5} → 2 durum.
• P = 2/6 = 1/3.

Çözümlü Örnek 3 — Torbadan Tek Top

Bir torbada 3 kırmızı, 4 sarı, 2 mavi top vardır. Rastgele bir top çekildiğinde sarı olmama olasılığı kaçtır?

• Toplam: 3 + 4 + 2 = 9 top.
• Sarı olmayan: 3 + 2 = 5 top.
• P = 5/9.

Bir olayın gerçekleşmeme olasılığına tümleyen olasılık denir. Bir olayın olma ve olmama ihtimalleri birbirini tamamlar; toplamları 1'dir.

P(E) + P(E') = 1   ⇒   P(E') = 1 − P(E)

Burada E', E'nin tümleyenidir. Bugün yağmur yağma olasılığı %30 ise yağmama olasılığı %70'tir.

"En Az Bir" Kalıbı

"En az 1 tane şu durum olsun" sorularında doğrudan saymak genellikle zordur (1 tane, 2 tane, 3 tane, ... durumlarının toplamı). Bu durumda tümleyenden hesaplamak kestirme yoldur:

P(en az 1) = 1 − P(hiç olmama)

Çözümlü Örnek 4 — En Az Birine Hediye (2025 TYT benzeri)

Defne, aralarında Doğa ile Duru'nun bulunduğu toplam 6 arkadaşından rastgele ikisine birer hediye verecek. Hediyeyi Doğa veya Duru'dan en az birinin alma olasılığı kaçtır?

Yol 1 — Doğrudan sayım:

• Tüm durum: 6 kişiden 2 seçmek → C(6, 2) = 15.
• İstenen: P(tam 1) + P(2 birden).
• Tam 1 (Doğa veya Duru'dan biri + diğer 4 kişiden biri): C(2, 1) · C(4, 1) = 2 · 4 = 8.
• İkisi birden (Doğa ve Duru): C(2, 2) = 1.
• İstenen toplam: 8 + 1 = 9.
• P = 9/15 = 3/5.

Yol 2 — Tümleyen (kestirme):

• P(hiçbirine vermeme) = C(4, 2) / C(6, 2) = 6/15 = 2/5.
• P(en az birine) = 1 − 2/5 = 3/5.

Çözümlü Örnek 5 — Tümleyen ile Küp

Bir küpün 2 yüzü kırmızı, 2 yüzü mavi, 2 yüzü siyahtır. Küp iki kez atılıyor. Üst yüzüne gelen renklerin farklı olma olasılığı kaçtır?

• Tüm durum: 6 · 6 = 36.
• Tümleyen: Aynı renk gelmesi. Kırmızı-kırmızı: 2 · 2 = 4. Mavi-mavi: 4. Siyah-siyah: 4. Toplam 12.
• P(aynı) = 12/36 = 1/3.
• P(farklı) = 1 − 1/3 = 2/3.

İki olayın birbiriyle ilişkisi üç türlüdür ve her biri farklı formülle hesaplanır. Sınavın en sinsi tuzaklarından biri yanlış ilişki türünü seçmektir.

Olasılık Tiplerinin Kıyası

Tip	Tanım	Formül	Örnek
Ayrık	Aynı anda olamazlar; A ∩ B = ∅.	P(A ∪ B) = P(A) + P(B)	Zar: "tek" ve "çift".
Genel birleşim	Kesişimleri olabilir.	P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)	Zar: "asal" ve "çift" (2 ortak).
Bağımsız	Birinin gerçekleşmesi diğerini etkilemez.	P(A ∩ B) = P(A) · P(B)	İki kez zar; iadeli iki çekim.
Koşullu	B gerçekleşmişken A'nın olma olasılığı.	P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)	İadesiz çekim; "erkek olan kişinin sınav kazanma olasılığı".
Tümleyen	Olayın olmaması.	P(E') = 1 − P(E)	Yağmur yağmama.

Ayrık mı, Bağımsız mı? — Yaygın Karışıklık

"Ayrık" ile "bağımsız" aynı şey değildir, hatta çelişen kavramlardır:

• Ayrık olaylar aynı anda olamazlar. Bir olay gerçekleşirse diğeri kesin gerçekleşmez — yani birbirini etkilerler; dolayısıyla bağımsız değildirler.
• Bağımsız olaylar aynı anda olabilirler, ama biri diğerinin olma şansını değiştirmez.

Birleşim Formülünü Karıştırma

Zar atmada "asal veya çift gelme" olasılığını hesaplayalım:

• P(asal) = 3/6, P(çift) = 3/6, P(asal ∩ çift) = 1/6 (sadece 2).
• P(asal ∪ çift) = 3/6 + 3/6 − 1/6 = 5/6.

İki olay birbirini etkilemiyorsa bağımsızdır ve kesişim olasılığı çarpma ile bulunur:

A ⊥ B   ise   P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Bağımsızlığın Tipik İşaretleri

• İki ayrı zarın sonuçları (biri diğerini bilmez).
• İadeli çekim (çekilen geri koyulur, havuz değişmez).
• Art arda para atışları.
• İki ayrı kişinin ayrı telefon zarları çekmesi.

Çözümlü Örnek 6 — Art Arda Para

Bir madeni para art arda iki kez atılıyor. İkisinin de aynı gelme olasılığı kaçtır?

• Örnek uzay: 2² = 4 (YY, YT, TY, TT).
• İstenen: YY ya da TT → 2 durum.
• P = 2/4 = 1/2.
• Alternatif çarpma: P(ilk Y) · P(ikinci Y) + P(ilk T) · P(ikinci T) = 1/2 · 1/2 + 1/2 · 1/2 = 1/2.

Çözümlü Örnek 7 — Bozuk Klavye (2022 TYT)

Bozuk bir klavyede T tuşuna basıldığında ekrana T gelme olasılığı 3/4, Y gelme olasılığı 1/4'tür. Y tuşuna basıldığında Y gelme olasılığı 2/3, T gelme olasılığı 1/3'tür. Sırasıyla T, T, Y tuşlarına basıldığında ekrana T, Y, T yazısının gelme olasılığı kaçtır?

• Tuşlar arası etkileşim yok — her basış bağımsız.
• 1. adım: T tuşu basıldı, T göründü → 3/4.
• 2. adım: T tuşu basıldı, Y göründü → 1/4.
• 3. adım: Y tuşu basıldı, T göründü → 1/3.
• P = (3/4) · (1/4) · (1/3) = 3/48 = 1/16.

Çözümlü Örnek 8 — İki Farklı Torba

Birinci torbada 2, 4, 6, 8, 0 rakamları; ikinci torbada 1, 3, 5, 7, 9 rakamları var. Her iki torbadan birer rakam çekiliyor. Çekilen rakamların toplamının 5'ten küçük olma olasılığı kaçtır?

• Tüm durum: 5 · 5 = 25.
• Toplam < 5 kombinasyonları: (0, 1), (0, 3), (2, 1). Toplam 3 durum. (4 + 1 = 5 sınır dışında.)
• P = 3/25.

Bir olayın gerçekleştiğini bildiğimiz durumda başka bir olayın olasılığını sorduğumuzda koşullu olasılıka geçeriz:

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

Bu formül B'nin zaten gerçekleştiği varsayımıyla A'nın olma olasılığını verir. Sözel karşılığı: "B kümesinin içinden A'ya da ait olanların oranı".

Koşullu Olasılığın Tipik Tetikleyicileri

• "Kazananların arasından seçilen" → kazanma koşulu verilmiş.
• "Erkek olduğu bilinen bir kişinin ..." → cinsiyet koşulu verilmiş.
• "İadesiz iki top çekildiğinde ikincisinin ..." → birincinin çekilmiş olması koşulu.

Çözümlü Örnek 9 — Sınav Tablosu

120 kişinin katıldığı bir sınavda kazananların sayısı toplamın %75'i yani 90 kişi, kaybedenler 30 kişidir. Kazananların %60'ı yani 54'ü kadın, kalan 36'sı erkektir. Sınavı kazanan bir kişinin erkek olma olasılığı kaçtır?

• Koşul: Kişi kazananlar arasından seçildi. Yeni örnek uzay 90 kişi.
• İstenen: Bu 90 kişiden erkek olan 36 kişi.
• P(erkek | kazanan) = 36/90 = 2/5.

İadesiz Çekimde Olasılık Değişir

İadesiz çekimde bir top çekildikten sonra torbadaki toplam ve çekilmiş rengin sayısı değişir, dolayısıyla sonraki olasılık önceki olasılığa bağlıdır.

Çözümlü Örnek 10 — İadesiz İki Top

Bir torbada 3 kırmızı, 5 mavi top vardır. Art arda iadesiz iki top çekiliyor. İkisinin de kırmızı olma olasılığı kaçtır?

• İlk çekim: Toplam 8, kırmızı 3 → 3/8.
• İkinci çekim (ilki kırmızı çıktıysa): Toplam 7, kırmızı 2 → 2/7.
• P = (3/8) · (2/7) = 6/56 = 3/28.

Aynı soruyu eş zamanlı çekimle de çözebiliriz:

• P = C(3, 2) / C(8, 2) = 3 / 28.
• Sonuç aynıdır — sıralı-bağımlı ile eş zamanlı-sırasız yaklaşımı uyumludur.

"Aynı anda kaç top çekildi" diyen sorular saf kombinasyon sorularının üzerine olasılık cilası çeker. Teknik değişmez: tüm durum da kombinasyon, istenen durum da kombinasyon.

Temel Kalıp: Aynı Anda Çoklu Çekim

n toplam, k tanesi özel (renkli/işaretli). r tanesi aynı anda çekilsin. m tanesi özel çıksın istiyorsak:

P = [ C(k, m) · C(n − k, r − m) ] / C(n, r)

Çözümlü Örnek 11 — İki Bilye, Farklı Renk

4 mavi, 5 yeşil bilyenin olduğu bir torbadan aynı anda iki bilye çekiliyor. İki bilyenin farklı renkte olma olasılığı kaçtır?

• Tüm durum: C(9, 2) = 36.
• İstenen (1 mavi + 1 yeşil): C(4, 1) · C(5, 1) = 4 · 5 = 20.
• P = 20/36 = 5/9.

Çözümlü Örnek 12 — Üç Ülke, İki Kişi

1 Hollandalı, 2 Fransız, 3 Belçikalı'dan oluşan 6 kişilik topluluktan aynı anda iki kişi seçiliyor. İkisinin aynı ülkeden olma olasılığı kaçtır?

• Tüm durum: C(6, 2) = 15.
• Hollandalılardan 2 seçilemez (sadece 1 kişi var).
• Fransızlardan 2: C(2, 2) = 1.
• Belçikalılardan 2: C(3, 2) = 3.
• İstenen: 1 + 3 = 4.
• P = 4/15.

Çözümlü Örnek 13 — En Az 2 Kız

3 kız, 4 erkekten oluşan 7 kişilik sınıftan rastgele 4 kişi seçiliyor. En az 2 kız öğrenci olma olasılığı kaçtır?

• Tüm durum: C(7, 4) = 35.
• Sadece 3 kız olduğu için en fazla 3 kız seçilebilir.
• 2 kız + 2 erkek: C(3, 2) · C(4, 2) = 3 · 6 = 18.
• 3 kız + 1 erkek: C(3, 3) · C(4, 1) = 1 · 4 = 4.
• Toplam istenen: 18 + 4 = 22.
• P = 22/35.

Çözümlü Örnek 14 — Ardışık Çift (Quiz Sorusu 2)

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinden rastgele biri seçildiğinde elemanlarının ardışık olma olasılığı kaçtır?

• Tüm durum: C(9, 2) = 36.
• Ardışık çiftler: {1,2}, {2,3}, {3,4}, {4,5}, {5,6}, {6,7}, {7,8}, {8,9} → 8 çift.
• P = 8/36 = 2/9.

Sıralı yerleştirmeler, koltuk dizilimleri, şifre oluşturma gibi sorularda paydada permütasyon, payda yine permütasyon vardır. Olasılık formülü değişmez.

Çözümlü Örnek 15 — Aile Fotoğrafı

Anne, baba ve iki çocuktan oluşan 4 kişilik aile yan yana sıralanarak fotoğraf çektirecek. Anne ve baba'nın uçlarda olma olasılığı kaçtır?

• Tüm durum: 4 kişi yan yana dizilir → 4! = 24.
• İstenen: Anne-baba ikisi uçlarda. Uçlara yerleşme sırası 2! = 2, ortadaki çocukların sırası 2! = 2.
• İstenen sayı: 2 · 2 = 4.
• P = 4/24 = 1/6.

Çözümlü Örnek 16 — Vestiyer Paradoksu

5 kişi vestiyere paltolarını bırakmış, paltolar rastgele dağıtılıyor. Herkesin kendi paltosunu alma olasılığı kaçtır?

• Tüm durum: 5! = 120 dağıtım.
• İstenen: Her palto tam sahibine gidecek tek bir dağılım var → 1.
• P = 1/120.

Çözümlü Örnek 17 — Sadece Biri Yerine (Klasik ÖSYM Tuzağı)

4 lastiğin 4 farklı yere takılması gerekiyor. Tamirci rastgele takıyor. Sadece 1 lastiğin doğru yere takılma olasılığı kaçtır?

• Tüm durum: 4! = 24.
• İstenen durumun sayımı:
  1. Doğru yere giden 1 lastiği seç: C(4, 1) = 4.
  2. Kalan 3 lastiğin hiçbirinin kendi yerine gitmemesi gerekir (düzensiz yerleştirme). 3 elemanlık düzensiz yerleştirme (derangement) sayısı: D₃ = 2.
  3. İstenen sayı: 4 · 2 = 8.
• P = 8/24 = 1/3.

Çözümlü Örnek 18 — Şifre (2019 AYT Benzeri)

4 haneli şifrenin bir rakamı 2 olma olasılığı 1/2, bir rakamı 4 olma olasılığı 1/4, 0 olma olasılığı 0'dır. Kasanın şifresi 1, 2, 4, 2 olma olasılığı kaçtır?

• Olasılık bilgisinden: 4 haneden 2 tanesi 2, 1 tanesi 4, 1 tanesi 0 olmayan başka rakam.
• 4. rakam için olasılıkları: 0 ve 2, 4 çıkarılırsa 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9 → 7 seçenek. Varsayalım x.
• Dört rakamın dizilimleri: 4! / 2! = 12 (iki 2 tekrarlı).
• Toplam şifre sayısı: 7 · 12 = 84.
• Tam olarak 1, 2, 4, 2 sıralaması istendiği için 1 durum.
• P = 1/84.

Bazı sorular birden fazla aşama içerir ve her aşama bir önceki aşamaya bağlıdır. Ağaç diyagramı düşünerek olasılıkları aşama aşama çarpıp, alt ihtimalleri toplarsın.

Çözümlü Örnek 19 — Piknik Planı (2024 Benzeri)

Yusuf'un biri 4 günlük, biri 3 günlük iki tatili var. Her tatilde rastgele 1 gün piknik yapmayı planlıyor. Hava tahminine göre 4 günlük tatilde 2 gün yağışlı, 3 günlük tatilde 1 gün yağışlı. Yusuf, planladığı günlerden sadece birinde pikniği iptal etme olasılığı kaçtır? (Yağışlı seçilirse iptal eder.)

• Tüm durum: İki ayrı seçim bağımsız. 4 · 3 = 12.
• İstenen: Tam 1 iptal = (birinci iptal + ikinci iptal değil) ∪ (birinci iptal değil + ikinci iptal).
• Birinci iptal + ikinci gider: C(2, 1) · C(2, 1) = 2 · 2 = 4.
• Birinci gider + ikinci iptal: C(2, 1) · C(1, 1) = 2 · 1 = 2.
• İstenen toplam: 4 + 2 = 6.
• P = 6/12 = 1/2.

Çözümlü Örnek 20 — Yaşı Bulma (2019 TYT)

4 kart üzerinde 4 farklı yaş yazılı. Rastgele 2 kart seçilip üzerindeki yaşlar toplandığında Yiğit'in yaşını bulma olasılığı 1/3. Yiğit'in yaşı kaçtır? Kartlar: 5, 8, 9, 11.

• Tüm durum: C(4, 2) = 6.
• İstenen: Olasılık 1/3 = 2/6 olduğundan toplamı tam olarak 2 kez veren bir değer aranıyor.
• Tüm çift toplamları: 5+8=13, 5+9=14, 5+11=16, 8+9=17, 8+11=19, 9+11=20. Tüm toplamlar farklı!
• Verilen soruda kartlar 5, 9, 11, 15 olsaydı: 5+15=20 ve 9+11=20 → iki kez 20 çıkar. Yiğit'in yaşı 20.
• Burada soru kartların Yiğit'in yaşını 2 kez üreten bir toplam değerini işaret eder; cevap iki yoldan aynı toplamı veren değerdir.

Çözümlü Örnek 21 — İki Taraflı Masa

6 kişilik masada karşılıklı 3-3 dizilim var. Her tarafta tam olarak 1 çay, 1 kahve, 1 limonata sipariş ediliyor. Masada karşılıklı oturan Ahmet ve Can'ın ikisinin de kahve içme olasılığı kaçtır?

• Tüm durum: Her tarafın içeceği 3! yolla dağılır. 3! · 3! = 36.
• İstenen: Ahmet kahve, Can kahve. Ahmet'in tarafındaki diğer 2 kişi çay + limonata → 2! = 2; Can'ın tarafındaki diğer 2 kişi çay + limonata → 2! = 2.
• İstenen: 2 · 2 = 4.
• P = 4/36 = 1/9.

Çözümlü Örnek 22 — Spor Salonu Takvimi

Bir haftada kadın ve erkeklerin aynı anda spor yapabildiği gün sayısı 3'tür. Bir çift rastgele 2 gün seçer. Her iki günde de beraber spor yapabilme olasılığı kaçtır?

• Tüm durum: 7 günden 2 seçmek → C(7, 2) = 21.
• İstenen: 3 ortak günden 2 seçmek → C(3, 2) = 3.
• P = 3/21 = 1/7.

Son 5 yılın TYT/AYT olasılık soruları "görsele bak, say, böl" tipine kaymıştır. Formüller aynıdır; ekstra iş durum analizini görselden çıkartmaktır.

Çözümlü Örnek 23 — Altıgen Devrilme

Çevresi 72 cm olan düzgün altıgenin (bir kenarı 12 cm) 6 yüzü farklı renklere boyalı. Kırmızı kenarı zeminde duruyor. 60 cm uzunluğundaki zemin üzerinde saat yönünde devrilerek ilerleyecek. Durduğunda alt yüzünün sarı olma olasılığı kaçtır?

• Başlangıçta 12 cm kaplanmış; önünde 60 − 12 = 48 cm yol var.
• Her devrilme 12 cm ilerleme = 48 / 12 = 4 devrilme mümkün.
• Tüm durum: 4 olası bitiş konumu.
• Bu 4 konumdan sadece 1 tanesi sarı → P = 1/4.

Çözümlü Örnek 24 — Telefon Kilidi Deseni

3×3 noktadan oluşan telefon kilidinde "ikizkenar dik üçgen" şeklinde şifre girilmiş. Pelin'in dik köşe adayları arasında hangisinde deneme sayısı en çok olur (dolayısıyla deseni bulma olasılığı en düşük olur)?

• Her köşe için o köşeyi dik köşe yapan ikizkenar dik üçgen sayısını say.
• Köşe başına üçgen sayıları (kenarlardaki vs. merkezdeki): 2, 2, 3, 4, 3 şeklinde değişir.
• En çok seçenek (en küçük doğru olasılığı 1/4) → o köşeyi seçmek deneme sayısını en çok artırır.
• Sorunun cevabı en çok üçgen oluşturabilen köşedir.

Çözümlü Örnek 25 — Ateşleyici (2023 TYT)

1 büyük, 2 orta, 1 küçük olmak üzere 4 ocak bölmesi için 4 ateşleyici düğme var. Tuş etiketleri silinmiş; rastgele 2 düğmeye basılıyor. 1 orta + 1 küçük bölmenin açılma olasılığı kaçtır?

• Tüm durum: 4 düğmeden 2 seçmek → C(4, 2) = 6.
• İstenen: 2 ortadan 1 + 1 küçükten 1 → C(2, 1) · C(1, 1) = 2 · 1 = 2.
• P = 2/6 = 1/3.

Çözümlü Örnek 26 — Tencere Kapak (2022 AYT)

1 büyük + 2 orta + 3 küçük = 6 tencere; 1 büyük + 1 orta + 1 küçük = 3 kapak var. Kapak kendi boyundaki ve daha küçük tencereyi kapatabilir. Rastgele 1 kapak ve 1 tencere seçildiğinde kapağın tencereyi kapatma olasılığı kaçtır?

• Tüm durum: 3 kapak × 6 tencere = 18.
• İstenen:
  • Büyük kapak → 6 tencereyi de kapatır → 6 durum.
  • Orta kapak → orta + küçük tencereler (2 + 3 = 5) → 5 durum.
  • Küçük kapak → sadece küçükler (3) → 3 durum.
• İstenen toplam: 6 + 5 + 3 = 14.
• P = 14/18 = 7/9.

Çözümlü Örnek 27 — Hediye Çeki (2023 AYT)

Bir mağazanın 200, 400, 600, 800 TL'lik 4 hediye çeki var. Baba, iki kızı Yasemin (300 TL elbise) ve Zehra (500 TL elbise) için rastgele 2 çek seçip birer tane veriyor (biri Yasemin'e, biri Zehra'ya). İki kızın da elbiseleri alabilme olasılığı kaçtır?

• Tüm durum: Yasemin için 4 çekten 1, Zehra için kalan 3'ten 1 → 4 · 3 = 12.
• İstenen: Yasemin ≥ 300 TL çek + Zehra ≥ 500 TL çek.
• Olası dağılımlar: Yasemin-800 + Zehra-500 değil (500 yok) → Yasemin-800 + Zehra-600 (ok); Yasemin-800 + Zehra-400 (hayır, 400 < 500); Yasemin-600 + Zehra-800 (ok); Yasemin-600 + Zehra-400 (hayır); Yasemin-400 + Zehra-800 (ok); Yasemin-400 + Zehra-600 (ok).
• Detaylı sayım ile istenen: 4 durum.
• P = 4/12 = 1/3.

Olasılık sorusu gördüğün an öğretmenler tek bir tavsiye verir: "Önce paydayı yaz, sonra payı düşün." Bu basit sıralama çoğu karmaşık soruda işini yarıya indirir.

Refleksin Üç Adımı

1. Örnek uzayı belirle (payda): "Kaç tane zar", "iadeli mi iadesiz mi", "sıralı mı eş zamanlı mı" sorularına cevap ver. s(S)'i tek bir sayı olarak yaz.
2. Durum analizi yap: "İstenen" ifadesini kelime kelime oku. Hangi renk? Kaç tane? Hangi koşul? Her durumu kısa bir liste halinde tahtaya döndür.
3. İstenen sayısını hesapla (pay): Listeden her alt durumu permütasyon veya kombinasyonla say. "Veya" varsa topla, "ve" varsa çarp.

Çözümlü Örnek 28 — Üç Basamaklı Sayı

0, 1, 2, 3, 4, 5 rakamlarından rakamları farklı üç basamaklı tüm doğal sayılar yazılıyor. Bu sayılardan rastgele seçilen birinin 5 ile bölünebilme olasılığı kaçtır?

• Tüm durum (payda): Yüzler basamağı 0 olamaz → 5 seçenek. Onlar basamağı kalan 5. Birler basamağı kalan 4. Toplam: 5 · 5 · 4 = 100.
• İstenen (pay): Son rakam 0 veya 5.
  1. Son rakam 0: Yüzler 5 seçenek, onlar kalan 4. Sayı: 5 · 4 = 20.
  2. Son rakam 5: Yüzler 0 olamaz → 1 den 4 e 4 seçenek. Onlar kalan 4 seçenek. Sayı: 4 · 4 = 16.
• İstenen toplam: 20 + 16 = 36.
• P = 36/100 = 9/25.

Çözümlü Örnek 29 — İki Yan Yana Küp

Sıralı 6 küpten rastgele aynı anda 2 tanesi alınıyor. Seçilen iki küpün yan yana olma olasılığı kaçtır?

• Tüm durum: C(6, 2) = 15.
• Yan yana çiftler: (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6) → 5 çift.
• P = 5/15 = 1/3.

Çözümlü Örnek 30 — Küme Alt Kümeleri

6 elemanlı A kümesinin alt kümelerinden rastgele biri seçildiğinde, bu alt kümenin A'nın belirli 3 elemanlı bir B alt kümesini kapsama olasılığı kaçtır?

• Tüm durum: A'nın alt küme sayısı 2⁶ = 64.
• İstenen: B'yi kapsayan alt kümeler. B'nin 3 elemanı zaten içeride, geriye 3 eleman kalır. Bu 3 elemanın her biri ''var / yok'' → 2³ = 8 alt küme.
• P = 8/64 = 1/8.

Çözümlü Örnek 31 — Üç Basamak Rakam Üretimi

5'ten rastgele seçilen iki basamaklı bir doğal sayının onlar basamağı a, birler basamağı b. 2a ve 2b yan yana yazılarak yeni bir sayı elde ediliyor (ör. a = 2, b = 8 → 4 ile 16 yan yana → 416). Elde edilen sayının 3 basamaklı olma olasılığı kaçtır?

• Tüm durum: Onlar basamağı 1-9 → 9, birler basamağı 0-9 → 10. Toplam: 9 · 10 = 90.
• 3 basamak için iki alt durum:
  1. 2a tek, 2b çift basamak: a ∈ {1, 2, 3, 4} (4) ve b ∈ {5, 6, 7, 8, 9} (5) → 4 · 5 = 20.
  2. 2a çift, 2b tek basamak: a ∈ {5, 6, 7, 8, 9} (5) ve b ∈ {0, 1, 2, 3, 4} (5) → 5 · 5 = 25.
• İstenen toplam: 20 + 25 = 45.
• P = 45/90 = 1/2.

Konuyu tek bir tabloda özetlemek ve strateji reçetesi vermek pratik yapma sırasında en çok başvuracağın sayfadır.

Soru Tipi → Yaklaşım Tablosu

Soru İpucu	Yaklaşım	Formül
"Aynı anda ... seçildi"	Kombinasyon	C(n, r)
"Sırayla / art arda iadesiz"	Sıralı çarpım	n · (n−1) · ...
"Art arda iadeli"	Bağımsız çarpım	n · n · ...
"A ve B olsun"	Kesişim	P(A) · P(B) (bağımsızsa)
"A veya B olsun"	Birleşim	P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
"En az 1 ..."	Tümleyen	1 − P(hiç)
"... iken ..."	Koşullu	P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
"Sıralı yerleştirme"	Permütasyon	n! / (n−r)!

Son Bir Çözümlü Örnek — Tam Karenin Olasılığı

1'den n'ye kadar sayıları içeren kartlardan rastgele biri çekiliyor. Bu kartın üzerindeki sayının tam kare olma olasılığı 1/5'tir. n en az kaçtır?

• Tam kare sayılar: 1, 4, 9, 16, 25, ...
• n = 5: tam kareler {1, 4} → 2/5. Hayır.
• n = 10: tam kareler {1, 4, 9} → 3/10. Hayır.
• n = 15: tam kareler {1, 4, 9} → 3/15 = 1/5. Evet!
• Cevap: n = 15.

Sık Karşılaşılan Tuzaklar

• Eş olumluluk varsayımını kontrol etmemek (hileli, taraflı deney uyarısı).
• "Aynı anda" ile "sırayla" ayrımını karıştırmak.
• Ayrık olmayan olaylarda kesişimi çıkarmayı unutmak.
• Koşullu ile bileşik olasılığı karıştırmak.
• "En az 1" sorularını doğrudan sayıp vaktini uzatmak (tümleyen kısayolunu atlamak).
• İadesiz çekimlerde ikinci çekimde payda ve payı güncellemeyi unutmak.
• Permütasyonlu problemde tekrarlı öğeleri ezberden sayıp n! / (tekrar sayısı faktöriyel) bölmesini atlamak.