TYT Matematik — Fonksiyonlar

Fonksiyon, matematiğin omurgasıdır. Logaritma bir fonksiyondur, trigonometri fonksiyonlardan oluşur, türev ve integral fonksiyonlar üzerine kurulur. TYT’de karşımıza çıkan fonksiyon, AYT’de daha derin bir şekilde yeniden işlenir; dolayısıyla buradaki temelin sağlam atılması büyük önem taşır.

Tanım: A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, A kümesinin her elemanını B kümesinin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen bağıntıya A’dan B’ye tanımlı fonksiyon denir ve f: A → B şeklinde gösterilir.

Üç Kritik Küme

• Tanım kümesi (A): Fonksiyonun “içine girebilecek” değerlerin kümesi. Burada hiçbir eleman açıkta kalamaz.
• Değer kümesi (B): Fonksiyonun çıkışlarının içinden seçildiği hedef küme. Tüm elemanlar kullanılmak zorunda değil.
• Görüntü kümesi f(A): Değer kümesinin fiilen ziyaret edilen kısmı. Her zaman f(A) ⊆ B’dir.

Bir Bağıntının Fonksiyon Olmasının İki Altın Kuralı

1. Tanım kümesinde açıkta eleman kalmayacak. Her x ∈ A bir yere gitmek zorundadır.
2. Bir eleman iki farklı yere gidemez. Yani x, aynı anda hem y₁’e hem y₂’ye eşleşemez.

Çözümlü Örnek 1 — Bağıntı Fonksiyon mu?

A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d} ve bağıntı: {(1,a), (2,b), (3,b)}. Fonksiyon mudur?

1. Tanım kümesindeki 1, 2, 3 elemanlarının her birinin gittiği bir yer var mı? Evet: 1→a, 2→b, 3→b.
2. Bir eleman iki farklı yere gidiyor mu? Hayır, her biri yalnız bir yere gidiyor.
3. Değer kümesinden c ve d açıkta kaldı, ama fonksiyon olma şartı bunu sağlar.
4. Sonuç: Fonksiyondur.

Sana bir kural verildiğinde “bu fonksiyon mudur?” sorusuna cevap vermek için denize kum tanesi kadar reel sayıyı tek tek denemek absürt olurdu. Bunun yerine sıkıntı yaratan duruma odaklanılır. Matematikte fonksiyonun ayağını kaydıran üç klasik tuzak vardır:

Üç Tuzak Tablosu

Tuzak	Şart	Sıkıntı Ne Zaman?
Rasyonel ifade	payda ≠ 0	Payda 0 olursa tanımsız olur.
Çift dereceli kök	içi ≥ 0	İç negatif olursa sonuç reel sayı değildir.
Mutlak değer	|f(x)| ≥ 0	Mutlak değerin sonucu asla negatif olamaz.

Tek dereceli kök (örn. küpkök) için içerisi negatif olsa bile reel sonuç verir — bu durum fonksiyonluğu bozmaz.

Altın Kural — İki Aşamalı Kontrol

1. Sıkıntılı x’i bul. Örn. f(x) = 1/(x-1) için x=1 sıkıntılıdır.
2. Tanım kümesini kontrol et. O sıkıntılı değer tanım kümesinde VARSA fonksiyon değildir. Tanım kümesinde yoksa gönül rahatlığıyla fonksiyondur.

Çözümlü Örnek 2 — Rasyonel Tuzağı

f: ℝ → ℝ, f(x) = 1/(x-1) bir fonksiyon mudur?

1. Payda x-1, x=1’de 0 olur.
2. Tanım kümesi tüm reel sayılardır; yani x=1 koymaya izin veriyor.
3. x=1 koyduğumuzda karşılık tanımsız — 1 elemanı açıkta kalıyor.
4. Fonksiyon değildir.

Çözümlü Örnek 3 — Tanım Kümesiyle Kurtarma

f: ℝ⁻ → ℝ, f(x) = 1/(x-1) için değerlendirelim.

1. Sıkıntılı değer hâlâ x=1.
2. Ama tanım kümesi negatif reel sayılar. 1 pozitif olduğu için tanım kümesinde yok.
3. Yani x=1 zaten koyulmuyor, açıkta kalan eleman da yok.
4. Bu durumda fonksiyondur.

Çözümlü Örnek 4 — Çift Dereceli Kök

f: ℝ → ℝ, f(x) = √(x+3) fonksiyon mudur? x = -10 koyduğumuzda içerisi -7 negatif olur; reel sonuç vermez. Üstelik tanım kümesi tüm reel sayılar olduğu için -10 izinli. Fonksiyon değildir.

Bir fonksiyonun içinde sayısal değer varsa işin çok basittir: x’in yerine ilgili sayıyı koyarsın. Zorluk, içi x yerine x+1, 2x-3, x² gibi ifadelerle verildiğinde başlar. İşte o zaman odağın içeriyi istediğin değere nasıl eşitleyeceğin olur.

Temel Pratik

Eşitlik denge demektir. f’nin içindeki x’in yerine bir ifade koyduğunda, eşitliğin her iki tarafındaki x’lere de aynı ifadeyi koymalısın. Yoksa denge bozulur.

Çözümlü Örnek 5 — Düz Sayısal Değer

f(x) = 2x + 3 için f(5) kaçtır?

1. f(5) istiyorum, içerinin 5 olması için x = 5 koymalıyım.
2. f(5) = 2·5 + 3 = 13.

Çözümlü Örnek 6 — İçerisi Karmaşık, Sayısal

f(x-1) = x² - 4x + 7 veriliyor. f(3) kaçtır?

1. İçinin 3 olması için x - 1 = 3 olmalı, yani x = 4.
2. Eşitliğin sağında da x = 4 koyarım: 16 - 16 + 7 = 7.
3. f(3) = 7.

Çözümlü Örnek 7 — Katsayı Bulma

f(x) = ax² + bx + c birim fonksiyon ise a, b, c’yi bul.

1. Birim fonksiyon için f(x) = x olmalı.
2. x²’li terim sağda yok → a = 0.
3. x’li terim sağda 1·x → b = 1.
4. Sabit terim sağda 0 → c = 0.

Bazı fonksiyonların özel isimleri, dolayısıyla özel tipleri vardır. Tipini bildiğin bir fonksiyon, soru önüne geldiğinde kalıbını anında oturtmanı sağlar.

Özel Fonksiyon Türleri

Tür	Kural	Şifreleme
Birim (I)	f(x) = x	“İçi dışı bir”
Sabit	f(x) = c, c ≠ 0	Değişmeyen, her x’te aynı c
Sıfır	f(x) = 0	Sabitin özel hali, hep 0

Birim Fonksiyon — “İçi Dışı Bir”

Tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen fonksiyondur. I(x) = x. İçi x+2 ise dışı x+2, içi g(x) ise dışı g(x)’tir.

Çözümlü Örnek 8 — Birim Fonksiyon Katsayı

f(x) = ax² + (b+5)x + (c+2) birim fonksiyon ise a + b + c?

1. Birim fonksiyonda f(x) = x olacak.
2. Sol tarafı katsayılarına göre ayrıştır: x² terimi a, x terimi (b+5), sabit (c+2).
3. x²’li terim sağda yok → a = 0.
4. x’linin önü sağda 1 → b + 5 = 1 → b = -4.
5. Sabit sağda 0 → c + 2 = 0 → c = -2.
6. Toplam: 0 + (-4) + (-2) = -6.

Sabit Fonksiyon — Sabit Sayıya Eşit

f(x) = c (c ≠ 0). Sen x’e ne koyarsan koy, aynı c değerini döner. x²’li, x’li hiçbir terim barındırmaz.

Çözümlü Örnek 9 — Sabit Fonksiyon Katsayı

f(x) = (a-1)x² + (b+4)x - 3 sabit fonksiyon ise f(50)?

1. Sabit fonksiyonda x² ve x terimleri olamaz.
2. a - 1 = 0 → a = 1; b + 4 = 0 → b = -4.
3. Geriye f(x) = -3 kalır. Sabit fonksiyon olduğu için f(50) = -3.

Rasyonel Biçimde Sabit Fonksiyon

f(x) = (ax+b)/(cx+d) sabit fonksiyon ise, x’lerin sadeleşebilmesi için üstteki x’li katsayı ile alttaki x’li katsayının oranı, üstteki sabit ile alttaki sabitin oranına eşit olmalıdır. Bu oran da f(x) sabitinin kendisidir.

Çözümlü Örnek 10 — Rasyonel Sabit

f(x) = (4x + n)/(6x - 18) sabit fonksiyon olduğuna göre f(n)?

1. Oran: 4/6 = n/(-18).
2. 2/3 = n/(-18) → n = -12.
3. f(x) = 2/3 (oranın kendisi). f(n) = f(-12) = 2/3.

Sıfır Fonksiyonu

Özel bir sabit fonksiyondur: f(x) = 0. “c = 0 olursa sabit değil sıfır” bilgisi ÖSYM’de çeldirici olarak kullanılır.

Doğrusal fonksiyon, grafiği bir doğru olan fonksiyondur. Yani 1. dereceden bir denklemin karşılığıdır: f(x) = ax + b, a ≠ 0.

Çözümlü Örnek 11 — Doğrusal Katsayı Tespiti

f(x) = (k-3)x² + 3x + k+2 doğrusal fonksiyonsa f(-1)?

1. x²’li terim olamayacağına göre k - 3 = 0 → k = 3.
2. f(x) = 3x + (3+2) = 3x + 5.
3. f(-1) = -3 + 5 = 2.

Çözümlü Örnek 12 — İki Denklemle Doğrusal Bulma

Doğrusal f için f(-3) = -2 ve f(2) = 13. f(4)?

1. f(x) = ax + b.
2. f(-3) = -3a + b = -2.
3. f(2) = 2a + b = 13.
4. Alt denklemden üstü çıkar: 5a = 15 → a = 3.
5. 2·3 + b = 13 → b = 7. f(x) = 3x + 7.
6. f(4) = 12 + 7 = 19.

Çözümlü Örnek 13 — Fonksiyonel Eşitlik

Doğrusal f için f(x - 4) + f(2x + 5) = 6x + 8. f(-20)?

1. f(x) = ax + b deriz.
2. f(x-4) = a(x-4) + b = ax - 4a + b.
3. f(2x+5) = 2ax + 5a + b.
4. Toplarsak: 3ax + (a + 2b) = 6x + 8.
5. 3a = 6 → a = 2 ve 2 + 2b = 8 → b = 3.
6. f(x) = 2x + 3, f(-20) = -40 + 3 = -37.

Bir bağıntının fonksiyon olması için tanım kümesinde açıkta eleman kalmaması şarttı; değer kümesinde açıkta eleman kalabilirdi. Şimdi bu değer kümesini de sıkı kurallara bağlayan iki yeni kavram geliyor.

Tanımlar

Tür	Tanım	Grafik Testi
Birebir (1-1)	Farklı x’ler farklı y’lere gider. x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂).	x’e paralel her doğru grafiği en çok 1 noktada kesmeli.
Örten	Değer kümesinin her elemanına en az bir x gidiyor. f(A) = B.	Değer kümesindeki hiçbir y, açıkta kalmamalı.
İçine	Örten olmayan fonksiyondur; değer kümesinde açıkta en az bir eleman var.	Değer kümesinden en az bir y ziyaret edilmemiş.

Çözümlü Örnek 14 — y = x + 1 (ℕ → ℕ)

f: ℕ → ℕ, f(x) = x + 1.

1. Birebir mi? x = 0 → 1, x = 1 → 2, x = 2 → 3… Hepsi farklı değer veriyor. Birebir.
2. Örten mi? Değer kümesi ℕ. y = 0’ı veren x var mı? x + 1 = 0 → x = -1, bu ℕ’de yok. Yani 0 açıkta kaldı. Örten değil, içine.

Çözümlü Örnek 15 — y = x² (ℝ → ℝ)

f: ℝ → ℝ, f(x) = x².

1. Birebir mi? f(-1) = 1 ve f(1) = 1. Farklı x’ler aynı y’ye gitti. Birebir değil.
2. Örten mi? y = -4 negatif değerini veren x yok. Örten değil.

Çözümlü Örnek 16 — Birebir Fonksiyon Sayısı

A = {1, 2, 3} ve B = {5, 6, 7, 8}. A’dan B’ye kaç tane birebir fonksiyon yazılabilir?

1. 1’in gidebileceği 4 yer var.
2. Birebir şartından 2, 1’in gittiği yere gidemez → 3 yer kaldı.
3. 3 için 2 yer kaldı.
4. Toplam: 4 · 3 · 2 = 24 birebir fonksiyon.

Çözümlü Örnek 17 — Hangisi Birebir ve Örten?

f: ℝ → ℝ, f(x) = 3x - 4 için:

1. Grafiği eğimli bir doğrudur. x’e paralel her doğru grafiği yalnız 1 noktada keser → birebir.
2. Doğru tüm reel y değerlerini taramaktadır → örten.
3. Hem birebir hem örten.

İki fonksiyonun eşit sayılabilmesi için tanım kümelerinin aynı olması ve her x’te aynı değeri döndürmesi gerekir. Kavramsal olarak: “Aynı dereceli terimlerin önündeki katsayılar birbirine eşit olmalı.”

Çözümlü Örnek 18 — Eşit Fonksiyonlar

f(x) = (a-2)x² + (-b)x + (c+1) ve g(x) = 2x² - 3x - 1 eşitse a · b · c = ?

1. Eşit fonksiyonlarda her dereceden terimin katsayıları eşleşmeli: (a-2)x² + (-b)x + (c+1) = 2x² - 3x - 1.
2. x² katsayısı: a - 2 = 2 ⇒ a = 4.
3. x katsayısı: -b = -3 ⇒ b = 3.
4. Sabit terim: c + 1 = -1 ⇒ c = -2.
5. a · b · c = 4 · 3 · (-2) = -24.

Tek ve Çift Fonksiyonlar

Bir fonksiyonda x yerine -x koyduğumuzda üç sonuçtan biri ortaya çıkar:

• Çift fonksiyon: f(-x) = f(x). Eksi yutulur. Örn. x². Grafiği y eksenine göre simetriktir.
• Tek fonksiyon: f(-x) = -f(x). Eksi dışarı atılır. Örn. x³, x. Grafiği orijine göre simetriktir.
• Ne tek ne çift: İkisinin de şartı sağlanmaz.

Simetri-Tek/Çift Eşlemesi (Mnemonic)

• y = x² parabolü y’ye göre simetriktir → x² → üstü 2 → çift.
• y = x doğrusu orijine göre simetriktir → x¹ → üstü 1 → tek.
• “y’ye göre simetrik” ifadesi çift, “orijine göre simetrik” ifadesi tek’i işaret eder.

Çözümlü Örnek 19 — Tek Fonksiyon Özelliğini Kullanma

f(x) = mx² + (a+7)x + (b-2) tek fonksiyon ise a ve b?

1. Tek fonksiyonda (polinom) x’in üstü çift olamaz. Sabit de olamaz.
2. x²’li terim yasak → m = 0.
3. Sabit yasak → b - 2 = 0 → b = 2.
4. x’li terim kalır → a + 7 herhangi bir değer olabilir; soruda başka veri varsa buradan çıkar.

Çözümlü Örnek 20 — Mutlak Değerli Fonksiyon Türü

f: ℝ → ℝ, f(x) = |x| (yani x’in 0’a uzaklığı).

1. Polinom değil, pratik yöntem geçmiyor. x → -x: f(-x) = |-x| = |x| = f(x). Çift fonksiyon.
2. Birebir mi? f(-3) = 3, f(3) = 3. Farklı x’ler aynı değere gitti → birebir değil.
3. Örten mi? f(x) hep ≥ 0. Negatif y’ler açıkta → örten değil.

Parçalı fonksiyon, x’in değerine göre farklı kural uygulanan fonksiyondur. Sanki “şartlı ifade” gibi düşün: x şu aralıkta ise kural A, bu aralıkta ise kural B. Fonksiyonun kırıldığı x değerlerine kritik nokta denir — bu kavram limit, türev, integralde de çokça duyulur.

Temel İlke

1. Bulmak istediğin f(a) için önce x’in hangi şartı sağladığına bak.
2. O şarta karşılık gelen kuralı seç.
3. O kural üzerinde işlemi yap.

Çözümlü Örnek 21 — Klasik Parçalı

f(x) = { x² + 4, x ≥ 2; 1 - x², x < 2 }. f(4) + f(-2) = ?

1. f(4): 4 ≥ 2 → üst kural. 16 + 4 = 20.
2. f(-2): -2 < 2 → alt kural. 1 - 4 = -3.
3. Toplam: 20 + (-3) = 17.

İçeri Değişirse — İçi x Olmayan Parçalı

f(1 - x) verildiyse ve f(4) isteniyorsa: içerinin 4 olması için 1 - x = 4 → x = -3. Şart kontrolünü x = -3 üzerinden yapacaksın, 4 üzerinden değil.

Çözümlü Örnek 22 — Sarmal İndirgeme (ÖSYM Klasiği)

f(x) = { x², x < 15; f(x-15), x ≥ 15 }. f(89) = ?

1. Tek tek: f(89) = f(74) = f(59) = f(44) = f(29) = f(14), çünkü her adımda 15 çıkartıyor.
2. 14 < 15 olduğu için üst kurala uyar: f(14) = 14² = 196.
3. Pratik: 89’u 15’e böl → bölüm 5, kalan 14. Yani f(89) = f(14) = 196. Sarmal indirgemenin kısa yolu: x mod 15.

Çözümlü Örnek 23 — Sözel Parçalı

f(x), x tek sayı ise "x ile 2x arasındaki asal sayıların toplamı"; x çift sayı ise "x ile 2x arasındaki asal sayıların toplamı" olarak tanımlansın. f(5) + f(4) = ?

1. f(5): 5 tek. 5 ile 10 arasındaki asallar: 7. Toplam 7.
2. f(4): 4 çift. 4 ile 8 arasındaki asallar: 5, 7. Toplam 12.
3. f(5) + f(4) = 7 + 12 = 19.

Genel yöntem: Önce şartı kontrol et (tek / çift / asal), sonra kuralın tarif ettiği aralığı veya özelliği uygula. Kuralı kendin yorumlamak yerine soruda yazılanı harfi harfine takip et.

İki fonksiyonu toplama, çıkarma, çarpma, bölme işlemleri, o fonksiyonların değerlerinin işlenmesi anlamına gelir. x aynen kalır; değişen kısım fonksiyon değerleridir.

Kurallar

• (f + g)(x) = f(x) + g(x)
• (f - g)(x) = f(x) - g(x)
• (f · g)(x) = f(x) · g(x)
• (f / g)(x) = f(x) / g(x), g(x) ≠ 0 şartıyla.
• (k · f)(x) = k · f(x)

İşlem yapılabilmesi için iki fonksiyonun tanım kümelerinin kesişiminde olunması gerekir. f: A → ℝ ve g: B → ℝ ise (f ± g)’nin tanım kümesi A ∩ B’dir.

Çözümlü Örnek 24 — Sayısal Değerle Sistem

(f + g)(3) = 1, (f - g)(3) = 27. f(3) · g(3) = ?

1. f(3) + g(3) = 1.
2. f(3) - g(3) = 27.
3. Toplarsak: 2f(3) = 28 → f(3) = 14.
4. g(3) = 1 - 14 = -13.
5. Çarpım: 14 · (-13) = -182.

Çözümlü Örnek 25 — Üslü Fonksiyonlarla Çarpma

f(x) = 2^x+m, g(x) = 3^x+1 ve (f · g)(x) = 12 · 6^x ise m = ?

1. f(x) · g(x) = 2^x+m · 3^x+1 = 2^x · 2^m · 3^x · 3 = 2^m · 3 · 6^x.
2. Sağ taraf: 12 · 6^x. Karşılaştır: 2^m · 3 = 12 → 2^m = 4 → m = 2.

Çözümlü Örnek 26 — Parametre Bulma (2023 AYT Tipi)

f(x) = x² + ax + b, g(x) = ax + 2. (f+g)(3) = 4, (f-g)(5) = 6. a - b = ?

1. f(3) + g(3) = 9 + 3a + b + 3a + 2 = 6a + b + 11 = 4 → 6a + b = -7.
2. f(5) - g(5) = 25 + 5a + b - 5a - 2 = b + 23 = 6 → b = -17.
3. 6a - 17 = -7 → 6a = 10 → a = 5/3.
4. a - b = 5/3 - (-17) = 5/3 + 17 = 56/3.

Bir fonksiyon x’i y’ye götürüyorsa, ters fonksiyon aynı yolu tersten alarak y’yi x’e götürür. Sembol: f⁻¹ (“f’in tersi”).

Tersi Bulmanın Klasik Yöntemi (x’i Yalnız Bırakma)

1. f(x) = y yaz.
2. Denklemde x’i yalnız bırakacak şekilde çöz.
3. Elde ettiğin ifadede y gördüğün yere x yaz.

Çözümlü Örnek 27 — Düz Tersi Bulma

f(x) = 2x + 1. f⁻¹(x) = ?

1. y = 2x + 1.
2. y - 1 = 2x → x = (y-1)/2.
3. y yerine x yaz: f⁻¹(x) = (x-1)/2.

Geçişme (Değiş Tokuş) Pratiği — Sayısal Terslerin Kısa Yolu

Soru sana f⁻¹’i genel olarak (x’e bağlı) değil, tek bir sayıda soruyorsa (f⁻¹(-5) = ? gibi), tersi bulmak için uğraşmak zaman kaybıdır. Geçişme tekniği:

1. f(x) = y şeklindeki fonksiyonda x ile y’yi yer değiştir. Yani dıştakini içeri, içtekini dışarı at.
2. O anda yazdığın ifade zaten f⁻¹’dir — ama genel form aramıyorsun.
3. İçerinin istenen sayı olmasını sağlayan x’i bul. Sonuç o x’tir.

Çözümlü Örnek 28 — Geçişme ile Hız

f(x) = 2x + 1. f⁻¹(-5) = ?

1. Geçişirsek: f⁻¹(2x + 1) = x.
2. İçerinin -5 olmasını istiyorum: 2x + 1 = -5 → x = -3.
3. f⁻¹(-5) = -3. Tersi bulmak, sonra -5 yerine koymak zorunda kalmadın.

Çözümlü Örnek 29 — İçi Karmaşık Ters

f(x² - 3) = x (x ≥ 0) verildi. f⁻¹(4) = ?

1. f⁻¹(4)’ü bulmak için: f’nin çıktısının 4 olmasını sağlayan girdiyi arıyoruz. Yani f(?) = 4.
2. Verilen eşitlikte f’nin çıktısı x’tir. x = 4 koyarsak girdi x² - 3 = 16 - 3 = 13 olur. Yani f(13) = 4.
3. Tersin tanımı: f(13) = 4 ⇔ f⁻¹(4) = 13.
4. Sonuç: f⁻¹(4) = 13.

Rasyonel Fonksiyonda Tersin Kısa Yolu

f(x) = (ax + b)/(cx + d) formunda ise (önce x’ler, sonra sabitler diziliyse), tersi bulmanın pratik yolu:

• Üsttekinin x’li katsayısı ile alttakinin sabit sayısının hem yerini hem işaretini değiştir.
• Diğer iki katsayı (alttaki x’li ile üstteki sabit) aynı yerde aynı işaretli kalır.

Çözümlü Örnek 30 — Rasyonel Ters (Düz Yöntem)

f(x) = (x - 3)/(x + 2). f⁻¹(x) = ?

1. y = (x-3)/(x+2) yazalım.
2. Paydayı karşıya atarız: y(x+2) = x - 3 ⇒ yx + 2y = x - 3.
3. x’li terimleri bir tarafa topla: yx - x = -3 - 2y ⇒ x(y - 1) = -(2y + 3).
4. x’i yalnız bırak: x = -(2y + 3)/(y - 1) = (2y + 3)/(1 - y).
5. y yerine x yaz: f⁻¹(x) = (2x + 3)/(1 - x).

Aynı Sonucu Kısa Yolla Doğrulama

Rasyonel kısa yol kuralı: (ax + b)/(cx + d) formundaki bir fonksiyonun tersi (-dx + b)/(cx - a)’dır (üst x’li katsayı a ile alttaki sabit d yer ve işaret değiştirir; diğer iki terim yerinde kalır).

1. Verilen: a = 1, b = -3, c = 1, d = 2.
2. Formüle göre: f⁻¹(x) = (-2x - 3)/(x - 1).
3. Pay ve paydayı -1 ile çarparak sadeleştir: (2x + 3)/(1 - x) — düz yöntemle aynı sonuç. ✓

Bir fonksiyonun A → B tanım/değer kümesi verildiğinde, tersi B → A olarak çalışır. Bu yer değişimi, özellikle rasyonel fonksiyonlarda tanım kümelerinden hangisi hangi paydayı sıfırladığını söyler.

Çözümlü Örnek 31 — Tanım Kümesiyle Katsayı

f: ℝ \{M} → ℝ \{N}, f(x) = (5x - 3)/(3x - 5). M · N = ?

1. M: f’nin paydasını sıfırlayan değerdir. 3x - 5 = 0 ⇒ x = 5/3. Yani M = 5/3.
2. N: f⁻¹’nin paydasını sıfırlayan değerdir (eşdeğer: f’in değer olarak alamadığı y). Rasyonel kısa yol ile f⁻¹(x) = (-5x - 3)/(3x - 5). Paydası 3x - 5 = 0 ⇒ x = 5/3. Yani N = 5/3.
3. M · N = (5/3) · (5/3) = 25/9.

Çözümlü Örnek 32 — Bileşke ve Ters Karışımı

f(x) = (x + 1)/(2x), g(x) = 3x + 4. f⁻¹(g⁻¹(22)) = ?

1. İçten başla: g⁻¹(22). Geçişme: g⁻¹(3x + 4) = x. İçerinin 22 olması için 3x + 4 = 22 → x = 6.
2. Dıştaki: f⁻¹(6). Geçişme: f⁻¹((x+1)/(2x)) = x. (x+1)/(2x) = 6 → x + 1 = 12x → 11x = 1 → x = 1/11.
3. Sonuç: f⁻¹(g⁻¹(22)) = 1/11.

Bileşke fonksiyon, iki fonksiyonu birleştirerek tek bir çıkış bulma işlemidir. (g∘f)(x) = g(f(x)) yazılır. Sembolü bir yuvarlaktır ve toplama, çarpma gibi bir dört işlem değildir — birleştirme işlemidir.

Sağdan Sola Okunur

(g∘f)(x) ifadesinde önce f, sonra g uygulanır. Yani “iç → dış” akışı. Eşit görünmelerine rağmen f∘g ≠ g∘f olur genelde — sıra önemlidir.

Bileşke Nasıl Yazılır?

(f∘g)(x) = f(g(x)) demek, f’nin içindeki x yerine g(x)’in tamamını koymak demektir. Sağda ne görüyorsan onu al, soldaki x’in yerine yerleştir.

Çözümlü Örnek 33 — Bileşke Hesabı

f(x) = x² + k, g(x) = 2x - 1 ve (f∘g)(2) = 19 ise k = ?

1. İçten: g(2) = 4 - 1 = 3.
2. Dışa: f(g(2)) = f(3) = 9 + k.
3. 9 + k = 19 → k = 10.

Çözümlü Örnek 34 — Doğrusal Fonksiyonla Bileşke Denklem

Doğrusal f için (f∘f)(x) = f(x+1) + f(x-2) + 1. f(1) = ?

1. f(x) = ax + b koyalım.
2. (f∘f)(x) = f(ax + b) = a(ax + b) + b = a²x + ab + b.
3. f(x+1) + f(x-2) + 1 = (a(x+1) + b) + (a(x-2) + b) + 1 = 2ax - a + 2b + 1.
4. x’li terimleri eşitle: a² = 2a ⇒ a(a-2) = 0. a ≠ 0 olduğundan a = 2.
5. Sabitleri eşitle: ab + b = -a + 2b + 1 ⇒ 2b + b = -2 + 2b + 1 ⇒ b = -1.
6. f(x) = 2x - 1, dolayısıyla f(1) = 2·1 - 1 = 1.

Bileşke Parantez Tersi — Çok Kritik Kural

(f∘g)⁻¹(x) = (g⁻¹ ∘ f⁻¹)(x). Dışarıdaki tersi içeri dağıttığında sırayı tersine çevirmek zorundasın. Bu kural neredeyse her TYT/AYT bileşke-ters karışık sorusunda kullanılır.

Çözümlü Örnek 35 — Parantez Tersi

f(x) = 2x - 1, g(x) = x + 3. (f∘g)⁻¹(x) = ?

1. Kurala göre: (g⁻¹ ∘ f⁻¹)(x).
2. f⁻¹(x) = (x+1)/2, g⁻¹(x) = x - 3.
3. (g⁻¹ ∘ f⁻¹)(x) = g⁻¹((x+1)/2) = (x+1)/2 - 3 = (x - 5)/2.

ÖSYM’nin son yıllardaki favori tipi. İki-üç fonksiyon verilir, sayısal değerler üzerinden hem bileşke hem ters istenir. Anahtar: sayısal değer varsa geçişme yap, tersi bulmaya girişme.

Çözümlü Örnek 36 — Tersin Tersi = Düz

(g⁻¹ ∘ f⁻¹)⁻¹(x) = x’in istenen bir değeri için f üzerinden hızla çalışabilirsin; çünkü tersin tersi düzdür: (g⁻¹ ∘ f⁻¹)⁻¹ = f ∘ g.

Çözümlü Örnek 37 — Bileşke Sayısal Ters

f(x) = 4x + 8, g(x) = (x+2)². (g∘f⁻¹)(2) = ?

1. İçten: f⁻¹(2). Geçişme: f⁻¹(4x+8) = x. İçerinin 2 olması için 4x + 8 = 2 → x = -3/2.
2. Dışa: g(-3/2) = (-3/2 + 2)² = (1/2)² = 1/4.
3. Sonuç: 1/4.

Çözümlü Örnek 38 — Aynı Değerden Bileşke Denklemi

f(x) = 2x + a, g(x) = x + 3 ve (f+g)(1) = (f·g)(1) ise a’nın alabileceği değerler?

1. (f+g)(1) = f(1) + g(1) = (2 + a) + 4 = 6 + a.
2. (f·g)(1) = f(1) · g(1) = (2 + a) · 4 = 8 + 4a.
3. Eşitle: 6 + a = 8 + 4a ⇒ -3a = 2 ⇒ a = -2/3.

Prensip: Sayısal değerlerle verilen bileşke veya dört işlem eşitliklerinde, önce değer yerine koy → tek bilinmeyenli denklem çıkar → çöz.

Çözümlü Örnek 39 — Örüntü ile Çoklu Bileşke

f(x) = 2x, g(x) = x². (g ∘ f ∘ f ∘ f ∘ … ∘ f)(1) — f 100 defa, sonra g.

1. f(1) = 2, f(f(1)) = 4 = 2², f(f(f(1))) = 8 = 2³. Örüntü: n. aşamada 2ⁿ.
2. 100 defa f sonucu: 2¹⁰⁰.
3. Dışta g: (2¹⁰⁰)² = 2²⁰⁰.

Çözümlü Örnek 40 — Parçalı + Bileşke (İndirgemeli)

g(x) = { 3x - 3,   x < 10;   g(x - 4),   x ≥ 10 }. g(20) = ?

1. 20 ≥ 10 → alt kural: g(20) = g(16).
2. 16 ≥ 10 → alt kural: g(16) = g(12).
3. 12 ≥ 10 → alt kural: g(12) = g(8).
4. 8 < 10 → üst kural: g(8) = 3·8 - 3 = 21.
5. Sonuç: g(20) = g(16) = g(12) = g(8) = 21.

Püf nokta: İndirgemeli parçalı bileşkede, indirgeme adımı (burada x - 4) mutlaka şart aralığından (x < 10) çıkmayı sağlayacak şekilde seçilir. Soruyu okurken bu şartı mutlaka kontrol et.

Dik koordinat düzleminde y = f(x) grafiği, fonksiyonun kuralını sağlayan tüm (x, y) noktalarının kümesidir. Grafikten okuma, noktanın koordinatlarını fonksiyon eşitliğine yerleştirmekten ibarettir.

Temel Okumalar

• Grafiğin x eksenini kestiği yer: O noktada y = 0, yani f(x) = 0.
• Grafiğin y eksenini kestiği yer: O noktada x = 0, yani f(0) = y-değeri.
• (a, b) noktası grafikte ise: f(a) = b.
• Tanım kümesi: Grafiğin x eksenindeki projeksiyonu.
• Görüntü kümesi: Grafiğin y eksenindeki projeksiyonu.

Ters Grafik Okuma — Geçişme Mantığı

f(a) = b ise f⁻¹(b) = a. Yani grafikteki bir (a, b) noktası, tersi için (b, a) olarak kullanılabilir.

Çözümlü Örnek 41 — Grafikten Değer Okuma

Grafikte (1, 2), (-2, 0), (0, 1) noktaları işaretli. f(0) + f⁻¹(0) = ?

1. f(0): grafik y eksenini 1’de keser → f(0) = 1.
2. f⁻¹(0): y = 0 değerini veren x nedir? Grafik x eksenini -2’de keser → f(-2) = 0 → f⁻¹(0) = -2.
3. Toplam: 1 + (-2) = -1.

İçi Karmaşıksa — Kopya Çıkar

Grafik y = f(x) + 3 veya y = f(x-1) gibi, fonksiyonun içi veya dışı modifiye edilmiş şekilde verilebilir. Böyle durumlarda grafikteki (a, b) noktası doğrudan f(a) = b anlamına gelmez. Pratik:

1. Verilen noktaları y = f(x) + 3 (veya ilgili modifikasyon) eşitliğine yerleştir.
2. Elde ettiğin f(…) eşitlikleri kopyaya çevir.
3. Soru ister düz, ister ters olsun — kopyadan çöz.

Çözümlü Örnek 42 — İçi x-1, Grafikte 3 Nokta

Grafikte y = f(x - 1) + 3 fonksiyonunun üzerinde (5, 9), (1, 2), (0, 1) noktaları var. f⁻¹(6) = ?

1. Her noktayı eşitliğe yerleştir — y = f(x-1) + 3 ⇒ f(x-1) = y - 3.
2. (5, 9): f(5 - 1) = 9 - 3 ⇒ f(4) = 6.
3. (1, 2): f(0) = -1.
4. (0, 1): f(-1) = -2.
5. Kopya: f(4) = 6 olduğuna göre f⁻¹(6) = 4.

Son yıllarda ÖSYM, düz “f(3) = ?” yerine “x ∈ (1, 2) ise f(x) hangi aralıktadır?” tarzında aralık-aralık yorum soruları tercih ediyor. Çözüm mantığı: içten dışa, aralık aralık takip.

Çözümlü Örnek 43 — f(f(x)) Aralık Takibi

x ∈ (1, 2) ise f(f(x)) hangi aralıkta? (Grafikte f, (1,2) aralığında (3, 3.5) değerleri alsın.)

1. İçten başla. f(1, 2) ⊂ (3, 3.5). Bu aralıkta f’e bak. Grafikte f, (3, 3.5)’te mesela (2, 3) aralığına gidiyor.
2. Sonuç: f(f(x)) ∈ (2, 3).

Çözümlü Örnek 44 — Üç Fonksiyonun Karşılaştırılması

f, g, h’nin grafikleri verilmiş. P ∈ (0, 1) bilindiğinde hangi sıralama doğrudur?

1. Kritik nokta: f, g, h’nin kesiştiği yer. Kesişim öncesi ve sonrası sıralama değişebilir.
2. Her aralıkta “en üstte olan en büyük” ilkesinden gidilir.
3. Verilen öncül (örn. g(P) > f(P)) sana hangi aralıkta olduğunu söyler. Oradan diğer karşılaştırmaları doğrular veya çürütürsün.

Çözümlü Örnek 45 — Simetrik Noktalarla Sıralama

f(A) = f(B) = f(C) ise g(A), g(B), g(C) nasıl sıralanır? (Grafikte f yatay bir doğruyla 3 noktada kesiliyor, A < B < C.)

1. A, B, C yaklaşık olarak grafiğin verilen aralığına dağılmış 3 noktadır.
2. g’nin artan bir fonksiyon olduğunu varsayarsak g(A) < g(B) < g(C).
3. Grafik tipine göre “artan/azalan” sonucu değişebilir; her durumda kesin kıyaslamalardan kaçın.

Çözümlü Örnek 46 — (f - g)(x) · Çarpım İşaretli Eşitsizlik

0 ≤ x ≤ 20 aralığında (f - g)(x) · (f(x) - g(x)) > 0 olacak şekilde kaç tam sayı değer vardır?

1. Aralıkları kritik noktalara (kesişim yerlerine) göre böl.
2. Her aralıkta f - g’nin işaretini belirle.
3. Transkripteki örnek: 0–8 arasında 7 tam sayı, 9–16 arasında 8 tam sayı; 17–20 arasında 0. Toplam 15.

Çözümlü Örnek 47 — Hangi Fonksiyon Hangisi?

Üç doğrusal fonksiyonun grafiği verilmiş ancak hangisinin f, g, h olduğu belirsiz. Verilen tek ipucu: f(1) = g(1).

1. f(1) = g(1) iki doğrunun x = 1’de kesiştiği anlamına gelir.
2. Grafikte tam bir noktada kesişen iki doğruyu bul — bunlar f ile g; geriye kalan h’dir.
3. Başka ipuçları (f(A) = h(B) gibi) eklenince tam atama yapılır.

Artık fonksiyon bilgini en zorlu sorularda test edelim. Her örnek, birkaç konuyu birlikte sorguluyor.

Çözümlü Örnek 48 — Grafikle f(f(a)) = 4 Denklemi

f’nin grafiği verilmiş. f(f(a)) = 4 olacak kaç farklı a değeri vardır?

1. Dıştan içe: f’in hangi girdisi için çıktısı 4? Grafikte f(x) = 4’ü sağlayan x = 2 (mesela). Yani f(a) = 2 olmalı.
2. f(a) = 2’yi sağlayan kaç a var? Grafikte y = 2 yatay çizgisi grafiği kaç noktada kesiyor?
3. Kesişim sayısı kadar a vardır.

Çözümlü Örnek 49 — Üç Fonksiyon + Grafik Soru

Grafikte f eğri, g doğru olarak verilmiş, (A, f(A)), (0, f(0)) gibi noktalar işaretli. f(A) - g(A) = -6 ve f(A) = B, f(0) + g(0) = 10 ise B?

1. Grafikten okuma: f(A) = B, g(A) = 10 - B (eşitliklere yerleştirdiğinde).
2. f(A) - g(A) = B - (10 - B) = 2B - 10 = -6 → 2B = 4 → B = 2.

Çözümlü Örnek 50 — İki Bilinmeyenli Sistem

f(x) · g(x) = 18, f(x) / g(x) = 2. f veya g’yi bul.

1. Taraf tarafa böl: (f·g)/(f/g) = g² = 18/2 = 9 → g = ±3.
2. g’nin tanım şartına göre (pozitif/negatif) seçim yap.

Çözümlü Örnek 51 — Fonksiyonun Tersinin Genel Kuralı

f: [1, ∞) → ℝ, f(x) = x² - 2x + 5. f⁻¹(x) = ?

1. y = x² - 2x + 5. x’i yalnız bırakmak için tam kare oluştur: y = (x - 1)² + 4.
2. y - 4 = (x - 1)².
3. Kök alırken mutlak değer dikkat: √((x-1)²) = |x - 1|. Tanım kümesi x ≥ 1 olduğu için x - 1 ≥ 0, yani |x - 1| = x - 1.
4. √(y - 4) = x - 1 → x = 1 + √(y - 4).
5. f⁻¹(x) = 1 + √(x - 4).

Çözümlü Örnek 52 — f(x + k) Tipi Tanım Aralığı

f: ℝ → ℝ, f(0) = k bilgisi veriliyor ve k bir tam sayı. Parçalı tanım verildiyse k’yı şartlardan çıkar.

1. x = 0 yerleştir, tanım şartını kontrol et: örn. k - 1 ≤ 0 < k → k = 1.
2. Sonra f(5/3), f(13/5) gibi değerleri aynı mantıkla ardışık tam sayı aralıklarını bulup parçalı kuralı uygula.

Çözümlü Örnek 53 — ÖSYM 2022 Bileşke Denklemi

f(g(x)) = x (yani f ile g birbirinin tersi) ve f(x) = 2x + 1 ise g(x) = ?

1. f’in tersi istenirse: y = 2x + 1 → x = (y-1)/2.
2. g(x) = f⁻¹(x) = (x - 1)/2.

Çözümlü Örnek 54 — Grafikten Yorumlama

f(A) = f(B) = f(C), A < B < C, A, B, C ∈ (0, 1). Yatay bir y = k doğrusu f’i 3 noktada keser. Aynı aralıkta g monoton artan ise g(A), g(B), g(C) sıralaması?

1. Yatay doğru f’i 3 noktada kestiği için A, B, C apsisleri farklıdır; sıralama A < B < C.
2. g monoton artan olduğundan “küçük girdi → küçük çıktı” ilkesi geçerli.
3. Sonuç: g(A) < g(B) < g(C).

Not: Gerçek ÖSYM sorusunda g’nin artan mı azalan mı olduğu grafiğinden okunur. Bu örnekte monotonluk verildi; azalan olsaydı sıralama tersine dönerdi (g(A) > g(B) > g(C)).

Fonksiyon konusu öğrencilerin en çok kafa karıştırdığı konudur çünkü tek başına bir konu değil; sonraki tüm matematik alanlarının dili. TYT’de doğru yaklaşım, şu beş altın adımdır:

TYT’de Fonksiyon Stratejisi

1. Sayısal değer varsa uğraşma. f⁻¹ bulmak için, bileşke genel kural için zaman kaybetme. Geçişme ile içteki sayıyı yakala.
2. Tipi bilinen fonksiyon yazıldığında kalıbı yerleştir. “Doğrusal” → ax + b. “Birim” → x. “Sabit” → c.
3. İçi karmaşıksa noktaları kopya çıkar. Grafikte y = f(x + 3) - 1 varsa ezbere ters çevirme; noktaları eşitliğe yerleştir.
4. Parçalı fonksiyonlarda önce aralığı belirle. Değer sorulduğunda x’in hangi kuralı sağladığını dikkatle seç.
5. Grafik sorularında kritik noktaları bul. Kesişim yerleri sıralamanın değiştiği yerlerdir; her bölge ayrı analiz edilir.

En Çok Yapılan 10 Hata

• Rasyonel fonksiyonda “payda 0 olur” görünce tanım kümesini kontrol etmeden “fonksiyon değildir” demek.
• (f∘g)⁻¹’i f⁻¹ ∘ g⁻¹ yazmak (doğrusu g⁻¹ ∘ f⁻¹).
• Birebir ve örten kontrolünü tanım-değer kümesi verilmeden yapmak.
• f(x-1) = y’de x = 3 konulunca içerinin 3 olmayacağını unutmak.
• Tek-çift fonksiyonda polinom pratik kuralını tüm fonksiyonlara uygulamak (mutlak, kök, trigonometri için -x koymak gerekir).
• Tersi bulmada √((x-1)²)’yi x - 1 yazmak (mutlak değeri unutmak).
• Sabit fonksiyonun c = 0 olduğunda “sabit” değil “sıfır” fonksiyon olduğunu gözden kaçırmak.
• Grafikte y = f(x) değil y = f(x) + 2 yazılı olduğunda, noktayı direkt f(a) = b olarak okumak.
• Bileşke hesabında f(g(x)) yerine g(f(x)) çözmek (sıra karıştırma).
• Parçalı fonksiyonda kritik noktanın hangi kurala dahil olduğunu (< mi, ≤ mi) yanlış seçmek.

Karşılaştırma: Ters mi, Bileşke mi?

Özellik	Ters Fonksiyon	Bileşke Fonksiyon
Sembol	f⁻¹	g ∘ f
Yorum	Yolu tersten git	İki yolu birleştir (çevre yolu)
Sıra	Tek fonksiyon	Sağdan sola (içten dışa)
Şart	Birebir ve örten olmalı	İç fonksiyonun görüntü kümesi, dış fonksiyonun tanım kümesinin altkümesi olmalı
Önemli Kural	f(f⁻¹(x)) = x	Genelde f ∘ g ≠ g ∘ f