TYT Matematik — Hareket Problemleri

Hareket problemlerinin görünüşü ne kadar değişik olursa olsun — iki araba karşılaşıyor, bir tren tünele giriyor, paraşütçü atlıyor, dairesel pistte koşucular yarışıyor — çözüm hep tek bir formüle dayanır:

Yol = Hız · Zaman   (kısaca Y = H · T)

Bu formülü ezberleme; anla. "Saatte 80 km giden bir arabanın 3 saatte aldığı yol 80 · 3 = 240 km'dir." Doğal düşünce bu, formül bu düşüncenin matematiksel ifadesi.

Neden Bu Kadar Çok Formül Uyduruyorlar?

Kitaplar bazen "aynı yönde gidenlerin mesafesi = hızları farkı · zaman", "karşılaşma süresi = mesafe / hızlar toplamı" gibi alt formüller sayar. Hiçbirini ezberleme gereği yok. Her biri temelde Y = H · T'nin parantez alınmış halidir. Kafanı yeni yeni formüllerle doldurmak yerine, her soruda kim nereye gidiyorsa ona Y = H · T uygulamak yeter.

Üç Altın Kurallar

1. Aynı harfleri kullan. Yolu bilmiyorsan her zaman x ile kodla. Hızı bilmiyorsan V ile kodla. Zamanı bilmiyorsan T ile kodla. Her soruda farklı harf kullanmak kafa karıştırıcıdır.
2. Okları çiz. Kim hangi yönde gidiyorsa yol haritasının üzerine ok koy. Hızları oklarının üstüne, aldıkları yolu oklarının altına yaz. Bu küçük alışkanlık görsel bir hata sigortasıdır.
3. Birim kontrolünü ilk saniyede yap. Hız km/saat ise, zamanı saat; yolu km cinsinden yazmak zorundasın. m/saniye verildiyse yol metre, zaman saniye olmalı. Birimler uyumsuzsa çözüm daha baştan yanlıştır.

Hareket problemlerinin en büyük tuzağı birim tutarlılığıdır. Sorunun içinde genellikle km, m, saat, dakika, saniye birimleri karışık geçer. Çözüme başlamadan önce hepsini tek bir sisteme çevirmen şart.

Uzunluk Dönüşümleri

• 1 km = 1000 m
• Kilometreyi metreye çevirirken 1000 ile çarp (büyük birimden küçüğe gidince sayı büyür).
• Metreyi kilometreye çevirirken 1000'e böl (küçük birimden büyüğe gidince sayı küçülür).

Zaman Dönüşümleri

• 1 saat = 60 dakika
• 1 dakika = 60 saniye
• 1 saat = 3600 saniye
• Saati dakikaya: 60 ile çarp. Dakikayı saate: 60'a böl.
• Dakikayı saniyeye: 60 ile çarp. Saniyeyi dakikaya: 60'a böl.

Pratik Tablo — Sık Karşılaşılan Dönüşümler

Verilen	İstenen	İşlem
150 dakika	saat	150 / 60 = 2,5 saat
40 dakika	saat	40 / 60 = 2/3 saat
75 dakika	saat	75 / 60 = 5/4 saat
3 dakika	saat	3 / 60 = 1/20 saat
400 metre	km	400 / 1000 = 2/5 km
2,5 dakika	saniye	2,5 · 60 = 150 saniye

Çözümlü Örnek 1 — Birim Dönüşümü Uygulaması

Saatteki hızı 80 km olan bir araç 150 dakikada kaç km yol alır?

1. Hız birimi: km/saat. Zamanı saate çevirmek zorundayım.
2. 150 dakika = 150 / 60 = 5/2 saat.
3. Yol = Hız · Zaman = 80 · 5/2 = 40 · 5 = 200 km.
4. Sonuç: 200 km.

İki araç aynı anda iki farklı noktadan birbirine doğru hareket ettiğinde, karşılaşma süreleri ikisi için de aynıdır. Bu basit gerçek, "karşılaşma formülü" dediğimiz şeyin kaynağıdır.

Temel Mantık — Ortak Zaman

A ve B noktalarından iki araç aynı anda birbirine doğru hareket ediyor diyelim. Karşılaştıkları ana kadar geçen süreyi T diyelim. Bu süre her iki araç için de aynı T'dir — o yüzden zamana ortak değişken adı veriyoruz.

• A'nın hızı V_A, aldığı yol V_A · T.
• B'nin hızı V_B, aldığı yol V_B · T.
• Aradaki mesafe S ise: V_A·T + V_B·T = S → (V_A + V_B) · T = S.

İşte kitaplardaki "karşılaşma süresi = mesafe / hızlar toplamı" formülü tam olarak bundan gelir. Ama sen her seferinde aldıkları yolu ayrı ayrı H · T olarak yazsan, formülü kendiliğinden türetmiş olursun.

Çözümlü Örnek 2 — Klasik Karşılaşma

A ve B noktalarından aynı anda birbirine doğru hareket eden iki araç 4 saat sonra karşılaşıyor. A'dan çıkan aracın hızı saatte V km, B'den çıkanın hızı saatte 64 km. İki nokta arasındaki mesafe 448 km olduğuna göre, A'dan çıkanın hızı kaçtır?

1. A'nın aldığı yol: V · 4 = 4V.
2. B'nin aldığı yol: 64 · 4 = 256.
3. Toplam mesafe: 4V + 256 = 448.
4. 4V = 448 − 256 = 192.
5. V = 192 / 4 = 48 km/saat.
6. Sonuç: A'dan çıkanın hızı 48 km/saat.

Çözümlü Örnek 3 — Aynı Anda Aynı Noktaya Varma

A, B ve C sırayla aynı yol üzerinde üç şehir. Bir araç A'dan, bir araç B'den aynı anda harekete geçip C'de aynı anda karşılaşıyor. A'dan giden 90 km/saat, B'den giden 75 km/saat hızla gidiyor. B şehri C şehrine BC km uzaklıktadır. A şehri ile B şehri arasındaki mesafe 30 km ise BC kaç km'dir?

1. Harekete başladıktan sonra geçen ortak zaman: T.
2. A'nın aldığı yol: 90T (AC mesafesi).
3. B'nin aldığı yol: 75T (BC mesafesi).
4. AB arası 30 km verildiği için: 90T − 75T = 30 → 15T = 30 → T = 2.
5. BC = 75 · 2 = 150 km.
6. Sonuç: BC = 150 km.

İki araç aynı yönde hareket ediyorsa, hızlı olan yavaş olanı yakalar. Hızlı araç tarafından kapatılması gereken mesafe, aralarındaki başlangıç mesafesidir. Yakalama süresini bulmak için hızlarının farkını kullanırsın — ancak bunu ezberlemen gerekmez, yine Y = H · T'den türetirsin.

Mantık — Ortak Zaman, Farkını Kapatma

A noktasından 45 km/saat hızla giden araç ile yine A'dan bir süre sonra 75 km/saat hızla giden bir araç düşün. Aralarında aldıkları yolların farkı zamanla artar çünkü hızlı olan daha uzun yol alır.

• Hızlı aracın aldığı yol: 75 · T.
• Yavaş aracın aldığı yol: 45 · T.
• Aradaki mesafe: 75T − 45T = 30T.

Görüldüğü gibi "aralarındaki mesafe = hızları farkı · zaman" ifadesi aynı tek formülden çıkıyor. Bunun için iki ayrı formül ezberlemeye gerek yok.

Çözümlü Örnek 4 — Yakalama Problemi

A ve B aynı anda hareket ediyor. A'nın hızı 75 km/saat, B'nin hızı 45 km/saat. A, B'nin 180 km gerisinde hareket başlıyor. A, B'yi kaç saatte yakalar?

1. Ortak süre T saat olsun.
2. A'nın aldığı yol: 75T.
3. B'nin aldığı yol: 45T.
4. Yakalama noktasında: 75T = 45T + 180 (A, B'nin mesafesi + 180 km kadar ilerledi).
5. 30T = 180 → T = 6 saat.
6. Sonuç: A, B'yi 6 saat sonra yakalar.

Çözümlü Örnek 5 — Aynı Varış Noktası, Farklı Hızlar

A'dan B'ye gitmek için aynı anda yola çıkan iki otomobilden birincinin hızı 60 km/saat, ikincisininki 50 km/saat. Birinci otomobil B'ye, ikincisinden 2 saat önce varıyor. A ile B arası kaç km'dir?

1. A ile B arası X km olsun.
2. Birincinin sürmesi: T = X / 60 saat.
3. İkincinin sürmesi: T + 2 = X / 50 saat.
4. Birinci denklemde X = 60T. Yerine yazarsak: 60T = 50 · (T + 2).
5. 60T = 50T + 100 → 10T = 100 → T = 10 saat.
6. X = 60 · 10 = 600 km.
7. Sonuç: A ile B arası 600 km.

İki araç zıt yönde (yani aynı noktadan başlayıp birbirinden uzaklaşarak) hareket ediyorsa, aralarındaki mesafe zamanla hızlarının toplamı · zaman şeklinde artar. Bu durum karşılaşma ile aynı matematiğe dayanır — sadece bu kez "kapatılan" değil, "açılan" mesafe.

Çözümlü Örnek 6 — Zıt Yönde Uzaklaşma

A şehrinden saatte V km hızla bir araç, aynı anda B şehrinden saatte V + 20 km hızla diğer araç zıt yönde hareket ediyor. 2 saat sonra aralarındaki mesafe 160 km olduğuna göre, A ile B arası kaç km'dir? (A ve B arasındaki mesafe başta 40 km imiş.)

1. 2 saatte birincinin aldığı yol: 2V.
2. 2 saatte ikincinin aldığı yol: 2(V + 20) = 2V + 40.
3. İkisi zıt yönde gidiyor, dolayısıyla başta 40 km olan mesafeye bu yolları eklemek gerekir.
4. Aradaki son mesafe: 2V + (2V + 40) + 40 = 160.
5. Burada senaryo şöyle: ikinci araç A'dan uzaklaşırken birinci araç B'den uzaklaşıyor; toplam mesafe başlangıçtaki 40 km ile aldıkları yolların toplamı. 4V + 80 = 160 → 4V = 80 → V = 20.
6. Sonuç: V = 20 km/saat. İkinci aracın hızı 40 km/saat.

Çözümlü Örnek 7 — Önce Yaklaşma, Sonra Uzaklaşma

A ve B şehirleri arası 80 km. A'dan saatte 2V km hızla, B'den saatte V + 20 km hızla iki araç aynı anda birbirine doğru harekete başlar. Bir süre sonra karşılaşır, ama durmadan aynı yolda yollarına devam ederler. 75 dakika sonra aralarındaki mesafe 95 km oluyor. Hızlı olanın hızı kaç km/saat'tir?

1. Hız birimi km/saat, zaman dakika: 75 dakika = 75/60 = 5/4 saat.
2. Kara senaryoyu iki aşamaya ayıralım: önce birbirine yaklaşıp 80 km'yi kapatırlar, sonra zıt yönde açıp 95 km aralarına koyarlar. Toplam 80 + 95 = 175 km'lik bir mesafe açmış olurlar.
3. İkisinin toplam yolu bu 175 km: (2V + V + 20) · 5/4 = 175.
4. (3V + 20) · 5/4 = 175 → 3V + 20 = 175 · 4/5 = 140 → 3V = 120 → V = 40.
5. A'nın hızı: 2V = 80 km/saat. B'nin hızı: V + 20 = 60 km/saat.
6. Sonuç: Hızlı olan 80 km/saat.

Hareket konusunun en büyük tuzağı ortalama hızdır. "80 km/saat ile gidip 120 km/saat ile dönüyorum, ortalama hızım nedir?" sorusuna çok kişi refleksle (80 + 120) / 2 = 100 yanıtını verir. Hatalı. Ortalama hız aritmetik ortalama ile bulunmaz.

Ortalama Hızın Doğru Formülü

Ortalama hız toplam yol / toplam zaman şeklinde tanımlanır:

V_ort = Toplam Yol / Toplam Zaman

Özel Durum — Gidiş-Dönüş Eşit Mesafe (Harmonik Ortalama)

Bir araç H₁ hızıyla gidip aynı yoldan H₂ hızıyla dönüyorsa, ortalama hız hızların harmonik ortalamasına eşittir:

V_ort = 2 · H₁ · H₂ / (H₁ + H₂)

Çözümlü Örnek 8 — Klasik Ortalama Hız

Bir araç Bursa'dan Eskişehir'e 80 km/saat hızla gidip, aynı yoldan 120 km/saat hızla geri dönüyor. Gidiş-dönüşteki ortalama hız kaçtır?

1. Yol X km olsun (gidiş ve dönüş aynı mesafe).
2. Gidiş süresi: T₁ = X / 80.
3. Dönüş süresi: T₂ = X / 120.
4. Toplam yol: 2X. Toplam süre: X/80 + X/120.
5. Payda ortaklama: X/80 + X/120 = 3X/240 + 2X/240 = 5X/240 = X/48.
6. V_ort = 2X / (X/48) = 2X · 48/X = 96 km/saat.
7. Harmonik formülle doğrulama: 2 · 80 · 120 / (80 + 120) = 19200 / 200 = 96 ✓
8. Sonuç: Ortalama hız 96 km/saat (100 değil!).

Çözümlü Örnek 9 — Farklı Hız Oranları

Bir araç K'dan L'ye 2V hızıyla gidiyor, hiç beklemeden 5V hızıyla geri dönüyor. Ortalama hız 40 km/saat olduğuna göre, V kaçtır?

1. Yol X km olsun.
2. Gidiş süresi: T₁ = X / (2V). Dönüş süresi: T₂ = X / (5V).
3. Payda ortaklama: T₁ + T₂ = 5X/(10V) + 2X/(10V) = 7X/(10V).
4. Toplam yol: 2X. V_ort = 2X / (7X/(10V)) = 2X · 10V/(7X) = 20V / 7.
5. 20V/7 = 40 → 20V = 280 → V = 14.
6. Sonuç: V = 14 km/saat.

Bir itici güç (akıntı, yürüyen merdiven, rüzgar) hareketi desteklediğinde veya engellediğinde toplam hız iki öğenin toplamı ya da farkı olur. Bu da "Y = H · T" formülünün doğal bir uzantısıdır.

Temel Mantık

• Aynı yönde: Toplam hız = V_araç + V_akıntı. (Akıntı seni destekler.)
• Zıt yönde: Toplam hız = V_araç − V_akıntı. (Akıntı seni engeller. Koşul: aracın hızı akıntıdan büyük olmalı, yoksa ilerleyemez.)

Çözümlü Örnek 10 — Akıntıya Karşı ve Aynı Yönde

Bir kayık nehirde akıntıyla aynı yönde giderek X mesafesini 5 saatte alıyor. Akıntıya karşı aynı mesafeyi 8 saatte alıyor. Kayığın hızının akıntının hızına oranı (V_k / V_a) nedir?

1. Aynı yönde: yol = (V_k + V_a) · 5.
2. Zıt yönde: yol = (V_k − V_a) · 8.
3. İki yol aynı olduğu için: 5(V_k + V_a) = 8(V_k − V_a).
4. Açalım: 5V_k + 5V_a = 8V_k − 8V_a.
5. 5V_a + 8V_a = 8V_k − 5V_k → 13V_a = 3V_k.
6. V_k / V_a = 13 / 3.
7. Sonuç: Oran 13/3.

Çözümlü Örnek 11 — Paraşüt ve Serbest Düşme

Uçaktan paraşütle atlayan bir kişi önce serbest düşüyor (hız 50 m/s), yerden 720 m yüksekliğe indiğinde paraşütünü açıyor (hız 6 m/s). Uçaktan atladıktan 2,5 dakika sonra yere iniyor. Kişi yerden kaç m yükseklikte uçaktan atlamıştır?

1. Hız birimi m/s, zaman birimi saniye olmalı. 2,5 dakika = 150 saniye.
2. Paraşüt açıldıktan sonra 720 m'yi 6 m/s hızla inerken geçen süre: T_paraşüt = 720 / 6 = 120 saniye.
3. Serbest düşme süresi: 150 − 120 = 30 saniye.
4. Serbest düşmede alınan yol: 50 · 30 = 1500 m.
5. Toplam yükseklik: 1500 + 720 = 2220 m.
6. Sonuç: Uçaktan 2220 m yükseklikte atlamış.

Tren problemleri, hareket konusunun en tuzaklı alt başlıklarından biridir. Sebep basit: trenin kendi boyu vardır ve bu boy, tren bir tünelden, köprüden ya da başka bir trenden geçerken alınması gereken yolun parçasıdır.

Temel Kural — Tam Geçme

Bir trenin bir tünelden tam olarak geçmesi demek, tren baştan sona tüneli arkada bırakması, yani trenin son vagonunun tünelin çıkışına ulaşması demektir. Bu da trenin ne kadar yol aldığı şöyledir:

Alınan Yol = Trenin Boyu + Tünelin Boyu

İki Treni Geçme

Bir tren diğer bir treni geçiyorsa, alınan yol iki trenin boyları toplamı kadardır (iki trenin önü önce hizalanmalı, sonra arka uçlar da hizalanmalı).

Çözümlü Örnek 12 — İki Tren Yakalama

Hızları 80 km/saat ve 100 km/saat olan iki tren aynı yönde ilerliyor. Aralarında 400 m mesafe varken, hızlı olan tren yavaş olanı 3 dakikada tamamen geçiyor. İki trenin boyları toplamı (metre cinsinden) kaçtır?

1. Hız birimi km/saat. 400 m = 0,4 km = 4/10 km. 3 dakika = 3/60 = 1/20 saat.
2. Hızlı tren, 1/20 saatte: 100 · 1/20 = 5 km yol alır.
3. Yavaş tren, 1/20 saatte: 80 · 1/20 = 4 km yol alır.
4. Yakalama koşulu: hızlı trenin aldığı yol = 400 m (başlangıç farkı) + trenin kendi boyu + yavaş trenin boyu + yavaş trenin aldığı yol. Ama bu, hızlı trenin aldığı yola "400 m + yavaş trenin yolu + iki trenin boyu" olarak yazılır: 5 = 4/10 + 4 + X + Y şeklinde.
5. 5 − 4 = X + Y + 4/10 → X + Y = 1 − 4/10 = 6/10 km.
6. Metreye çevirelim: 6/10 km = 600 m.
7. Sonuç: İki trenin boyları toplamı 600 m.

Çözümlü Örnek 13 — Tren İçinde Yürüyen Kişi

Uzunluğu 90 m, saniyedeki hızı 3 m olan bir trenin en başından, trenin hareket yönünün tersine doğru saniyede 2 m hızla yürüyen bir kişi var. Vagon sona gittiğinde trenin gittiği yönde kaç m yol almış olur?

1. Kişinin trende 90 m'lik mesafeyi yürümesi: T = 90 / 2 = 45 saniye.
2. Bu sürede tren yer yüzünde: 3 · 45 = 135 m yol alır.
3. Başlangıçta kişi trenin başında. Tren 135 m ileri gidiyor; kişi trene göre 90 m geriye gidiyor (yani trenin sonuna geliyor).
4. Son durumda, kişinin yer yüzündeki konumu: başlangıç + trenin yolu − trenin boyu = 0 + 135 − 90 = 45 m (trenin gittiği yönde).
5. Sonuç: Kişi 45 m yol almış (trenin yönünde).

Dairesel pistte aynı noktadan aynı anda ve aynı yönde hareket eden iki koşucu/araç vardır. Hızlı olanın yavaş olanla ilk kez yan yana gelmesi için yavaş olana tam bir tur fark atması gerekir.

Temel Kural

Yavaş olan bir noktaya geldiğinde, hızlı olan aynı noktaya pistin bir tam turu kadar daha fazla yol alarak ulaşır. Diğer bir deyişle:

V_hızlı · T = V_yavaş · T + C (C = pist çevresi)

Yani hızların farkı, tam bir tur açmak için gerekli yolu alır: T = C / (V_hızlı − V_yavaş).

Çözümlü Örnek 14 — Dairesel Pistte İlk Karşılaşma

Çevre uzunluğu 120 metre olan dairesel piste, aynı noktadan aynı anda ve aynı yönde hareket eden iki koşucunun hızları 15 m/dakika ve 20 m/dakika'dır. İlk kez ne zaman yan yana gelirler?

1. Ortak süre T dakika olsun.
2. Hızlı olan: 20T. Yavaş olan: 15T.
3. Hızlı olan yavaş olanla yan yana gelmek için onu tam bir tur (120 m) geçmek zorunda: 20T − 15T = 120.
4. 5T = 120 → T = 24 dakika.
5. Sonuç: İlk yan yana gelme 24 dakika sonra.

Çözümlü Örnek 15 — Kez Sayma Problemi (2021 TYT Kalıbı)

Dairesel bir pistte aynı yönde sabit hızla hareket eden bir araç, A noktasından harekete başlıyor. 3 dakika sonra B noktasından 3. kez geçiyor. 8 dakika sonra B noktasından 7. kez geçiyor. A'dan harekete başladıktan kaç saniye sonra ilk kez B'den geçer?

1. Pist çevresi T, A'dan B'ye uzaklık (harekete başlarken ulaşması gereken yol) X olsun.
2. B'den ilk geçme: X yol aldığında. 2. kez: X + T. 3. kez: X + 2T. 7. kez: X + 6T.
3. 3 dakikada 3. kez: X + 2T = 3 (hızın dakika cinsinden ifadesi).
4. 8 dakikada 7. kez: X + 6T = 8.
5. İkinci denklemden birincinin 3 katını çıkaralım: (X + 6T) − 3(X + 2T) = 8 − 9 → X + 6T − 3X − 6T = −1 → −2X = −1 → X = 1/2 dakika.
6. 1/2 dakika = 30 saniye.
7. Sonuç: İlk kez B'den 30 saniye sonra geçer.

Hareket sorularının klasik bir alt türü de "planlanan süre ± x dakika" senaryolarıdır: "Bir hızla gitsem 6 dakika geç, başka bir hızla gitsem 4 dakika erken varıyorum." Bu soruların kalbinde aynı yol üzerinde iki farklı hız-zaman ikilisinin aynı uzaklığı vermesi yatar.

Çözümlü Örnek 16 — Okula Yürüyen Merve

Okuluna yürüyerek giden Merve, saatte 6 km hızla yürürse 6 dakika geç varıyor. Saatte 9 km hızla yürürse 4 dakika erken varıyor. Merve tam zamanında varmak için saatte kaç km hızla yürümelidir?

1. Hız birimi km/saat. Dakikaları saate çevir: 6 dakika = 1/10 saat, 4 dakika = 1/15 saat.
2. Yol X km, planlanan süre T saat olsun.
3. 6 km/saat ile (geç varma): X = 6 · (T + 1/10).
4. 9 km/saat ile (erken varma): X = 9 · (T − 1/15).
5. İkisini eşitle: 6T + 6/10 = 9T − 9/15.
6. Sadeleştir: 6/10 + 9/15 = 9T − 6T → 3/5 + 3/5 = 3T → 6/5 = 3T → T = 2/5 saat.
7. Yolu bulalım: X = 6 · (2/5 + 1/10) = 6 · (4/10 + 1/10) = 6 · 5/10 = 3 km.
8. Tam zamanında gitmek için hız: V = X / T = 3 / (2/5) = 3 · 5/2 = 15/2 = 7,5 km/saat.
9. Sonuç: Merve 7,5 km/saat hızla yürümelidir.

Çözümlü Örnek 17 — İki Otobüs, Birinin Dönüşü

A'dan B'ye yolcu taşıyan iki otobüs var. Birincinin hızı 120 km/saat, ikincinin hızı 100 km/saat. İkisi aynı anda B'ye doğru yola çıkıyor. Birinci otobüs B'ye vardığı anda ikinci otobüsün arızası oluyor. Birinci otobüs hiç zaman kaybetmeden kendi hızıyla geri dönüp arızalı otobüsün yerine gidiyor, yolcuları alıp B'ye götürüyor. İkinci otobüse binen yolcular, ilk hareketlerinden 6 saat sonra B'ye varıyor. A ile B şehri arasındaki uzaklık kaç km'dir?

1. Birincinin B'ye varış süresi: T saat. Bu sürede aldığı yol (AB mesafesi): 120T.
2. Aynı T sürede ikincinin aldığı yol: 100T. Yani ikinci, B'den 120T − 100T = 20T geride.
3. Birinci, 20T km geri dönüp 20T km daha ileri giderek B'ye varır. Toplam ekstra mesafe: 40T. Bu sürede: 40T / 120 = T/3.
4. Yolcuların toplam yolculuk süresi: T + T/3 = 4T/3 = 6 → T = 18/4 = 9/2 saat.
5. A ile B arası: 120 · 9/2 = 540 km.
6. Sonuç: AB arası 540 km.

ÖSYM hareket sorularında kendine has bir dil kullanır: "AB kentleri arası…", "aynı anda yola çıkıyorlar…", "karşılaşmalarından şu kadar dakika sonra…" Bu kalıpları tanıyıp pratik hâle getirmek, sınavda zaman kazandırır.

Çözümlü Örnek 18 — 2020 TYT Sorusu Kalıbı

A ve B kentlerinde bulunan birer araç aynı anda birbirine doğru hareket başlıyor. Bir süre sonra karşılaşıyorlar. Karşılaşmaların 250 dakika sonra, A'dan çıkan araç B kentine varıyor. Karşılaşmaların 160 dakika sonra ise B'den çıkan araç A kentine varıyor. Araçlar harekete başladıktan kaç dakika sonra karşılaşmıştır?

1. A'nın hızı A, B'nin hızı B, karşılaşma süresi T dakika olsun.
2. Karşılaşma noktasına kadar A'nın aldığı yol: A · T. B'nin aldığı yol: B · T.
3. Karşılaşmadan sonra A, B'nin aldığı yolu (B · T) 250 dakikada tamamlar: A · 250 = B · T.
4. Karşılaşmadan sonra B, A'nın aldığı yolu (A · T) 160 dakikada tamamlar: B · 160 = A · T.
5. İki denklemi taraf tarafa çarp (taraf tarafa bölmek yerine — çünkü bizim bilinmeyenimiz T, A ve B'den kurtulmak istiyoruz): A · B · 250 · 160 = A · B · T².
6. Sadeleştir: T² = 250 · 160 = 40.000.
7. T = √40.000 = 200.
8. Sonuç: Karşılaşma 200 dakika sonra.

Çözümlü Örnek 19 — Karşılaşma Sonrası İki Aracın Buluşması

A kentinden 90 km/saat hızla bir araç ve B kentinden sabit bir hızla başka bir araç aynı anda birbirine doğru yola çıkıyor. 2 saat sonra karşılaşıyorlar. A'dan çıkan araç, B kentine varmak için karşılaşma noktasından itibaren 1 saat daha yol alıyor. B kentinden çıkan aracın hızı kaç km/saat'tir?

1. A'nın karşılaşmaya kadar aldığı yol: 90 · 2 = 180 km.
2. Karşılaşma sonrası A, B kentine 90 · 1 = 90 km daha alır. Bu demek ki B'nin karşılaşmaya kadar aldığı yol 90 km'dir.
3. B'nin hızı: 90 / 2 = 45 km/saat.
4. Sağlama: AB arası = 180 + 90 = 270 km. A'nın tamamını: 270 / 90 = 3 saat. ✓
5. Sonuç: B'den çıkan aracın hızı 45 km/saat.

Bazı hareket soruları aslında oran-orantı sorularıdır, yol = hız · zaman değildir. İpucu: soruda sana hiç hız verilmez, sadece aynı süre boyunca farklı kişilerin aldıkları yolların oranı verilir. O durumda aranan cevap, yolların oranıyla bulunur.

Çözümlü Örnek 20 — Atletlerin Yarışı

600 m'lik bir koşuyu birinci sırada bitiren atlet bitiş çizgisini geçtiğinde, ikincinin 40 m'si, üçüncünün 110 m'si kalmış. İkinci atlet yarışı bitirdiğinde üçüncünün kaç m'si kalır?

1. Birinci 600 m koştuğunda, ikinci 600 − 40 = 560 m, üçüncü 600 − 110 = 490 m koşmuş.
2. Aynı sürede aldıkları yolların oranı sabit hızları verir: ikinci / üçüncü = 560 / 490 = 8/7.
3. İkinci yarışı bitirmek için daha 40 m koşmalı. Aynı sürede üçüncünün alacağı yol: 40 · 7/8 = 35 m.
4. Üçüncünün başta 110 m'si kalmıştı; şimdi 35 m daha koştuğu için kalan: 110 − 35 = 75 m.
5. Sonuç: Üçüncünün 75 m'si kalır.

Çözümlü Örnek 21 — Alper ve Burak: Cadde ve Patika

Alper ve Burak sabit hızlarla yürümeye başlıyor. Alper ok yönünde caddeden (uzunluk X) yürüyerek B'ye vardığı anda, Burak patikadan (uzunluk Y) yürüyerek A'ya varıyor. Alper'in B'den A'ya patikadan dönmesi için geçen süre, caddeden yürüme süresinden 6 dakika fazla. Burak'ın A'dan B'ye caddeden gitmesi için geçen süre, patikadan yürüme süresinden 4 dakika az. Alper'in hızı A, Burak'ın hızı B ise A/B oranı kaçtır?

1. Ortak süre: T. Alper caddeden: A · T = X. Burak patikadan: B · T = Y.
2. Alper patikadan A'ya dönüşünde: A · (T + 6) = Y → AT + 6A = Y. Ama BT = Y olduğundan: AT + 6A = BT.
3. Burak caddeden B'ye gidişinde: B · (T − 4) = X → BT − 4B = X. Ama AT = X olduğundan: BT − 4B = AT.
4. İki denklemi taraf tarafa toplayalım: (AT + 6A) + (BT − 4B) = BT + AT → 6A − 4B = 0.
5. 6A = 4B → A/B = 4/6 = 2/3.
6. Sonuç: Alper'in hızının Burak'ın hızına oranı 2/3.

Hareket konusu öğrencilerin en çok puan kaybettiği problem alt başlıklarından biridir. Sebepler büyük oranda birim hatası, ortalama hız yanılgısı ve senaryoyu yanlış çözümlemedir. Aşağıda TYT'de sık gördüğün altı klasik hatayı ve çözüm stratejisini buluyorsun.

Hata 1 — Birim Karışımı

Yanlış: Hız km/saat iken zamanı dakika, yolu metre olarak bırakmak.

Doğru: Soruya başlamadan üç birimi tek sisteme çevir. km/saat için yol km, zaman saat. m/saniye için yol metre, zaman saniye.

Hata 2 — Ortalama Hız = Aritmetik Ortalama

Yanlış: "80 ile git, 120 ile dön, ortalama 100."

Doğru: Ortalama hız toplam yol / toplam zaman. Gidiş-dönüş aynı mesafede ise 2·H₁·H₂ / (H₁+H₂). "80 ve 120" için: 2 · 80 · 120 / 200 = 96, 100 değil.

Hata 3 — Trenin Kendi Boyu Unutulması

Yanlış: "Tren tüneli 3 dakikada geçti" denilince sadece tünel uzunluğunu alınan yol saymak.

Doğru: Alınan yol = tren boyu + tünel boyu. "Tam geçme" demek son vagonun tünel çıkışına ulaşması demektir.

Hata 4 — Birine Göre Hareket Yönünü Yanlış Okuma

Yanlış: Akıntı sorusunda "giderken" ile "dönerken" hızları karıştırmak.

Doğru: Akıntıyla aynı yönde giderken V_araç + V_akıntı, zıt yönde giderken V_araç − V_akıntı. Kayıkta "akıntıya karşı" daha uzun süre alıyorsa bu, akıntı kayığın hareketini yavaşlattığı için normal.

Hata 5 — Dairesel Pistte Tur Hesabı Yanlış

Yanlış: Aynı yönde hareket eden iki koşucunun karşılaşması için "mesafe / hızları toplamı" formülünü uygulamak.

Doğru: Aynı yönde hareket ederken hızlı olan yavaş olana bir tam tur atmalı, bu yüzden T = pist çevresi / hızların farkı. Zıt yönde hareket için toplam (birlikte bir tur kapatırlar).

Hata 6 — "Planlanan Süre" ile "Gerçek Süre" Karışımı

Yanlış: "6 dakika geç varıyor" ifadesini "süre 6 dakika" gibi yanlış almak.

Doğru: Planlanan süreyi T değişken al. Gerçek süre T + 6/60 (geç) veya T − 4/60 (erken). Geç/erken varma zamanı dakika cinsinden verildiyse saate çevir.

Strateji — Sınav Günü 4 Adım

1. Oku ve çiz: Yol haritasını, okları ve başlangıç mesafesini kâğıda dök.
2. Birim kontrolü: Hız, yol ve zaman birimlerini tek sisteme çevir.
3. Her objeye Y = H · T yaz: Her hareketli için aldığı yolu ayrı yaz, senaryoya göre denklemi kur.
4. Sağlama: Bulduğun sonucu senaryoya uygula; birim ve büyüklük mantıklı mı?

Özet — Tek Bir Kart

Durum	Formül (ama sen Y = H · T yaz)
Birbirine doğru, karşılaşma	T = S / (V1 + V2)
Aynı yönde, yakalama	T = S / (Vhızlı − Vyavaş)
Zıt yönde, uzaklaşma	S artışı: (V1 + V2) · T
Ortalama hız (eşit mesafe)	2·H1·H2 / (H1 + H2)
Akıntı, aynı yön	Hız = Varaç + Vakıntı
Akıntı, zıt yön	Hız = Varaç − Vakıntı
Tren tünelden tam geçme	Yol = Ltren + Ltünel
Dairesel, aynı yön	T = C / (Vhızlı − Vyavaş)
Dairesel, zıt yön	T = C / (V1 + V2)