TYT Matematik — İşçi ve Havuz Problemleri

İşçi problemleri, aslında hareket problemlerinin (yol = hız × zaman) iş yapma versiyonudur. Hareketli bir araçta "yol" neyse, emek verilen bir işte "iş miktarı" da odur. Dolayısıyla mantık değişmez, sadece değişken isimleri değişir:

Formül mekaniği yoldaki gibi: Hız ne kadar büyürse, aynı işi daha kısa zamanda bitirirsin (ters orantı). Hız ne kadar azalırsa iş o kadar uzun sürer. Peki hız nedir burada? Birim zamanda yapılan iş miktarı. Bir saatte duvarın 1/8'ini boyayan işçinin hızı "1/8 duvar/saat"tir. Klasik yöntemde bu kesir kullanılır; ama sınavda çok daha pratik bir yol var: hızları V harfiyle ortak bir birime getirmek.

Klasik Yöntem vs. V Yöntemi

Hoca transcript'te her iki yolu da anlatıyor, ama pratikte ikinci yol çok daha hızlı ve hatasız sonuç veriyor:

• Klasik yöntem (birim zaman): A işçisi bir işi x saatte bitiriyorsa, 1 saatte işin 1/x'ini yapar. İki işçi birlikte çalıştığında hızları toplanır: 1/x + 1/y = 1/t. Kesir toplamı gerekir, mantığı uzun sürer.
• V yöntemi (ortak iş miktarı): İş = hız × zaman. İşin tamamını ortak bir sayıya (genelde sürelerin EKOK'u kadar V'ye) bağlarsın, hızları V cinsinden çıkarırsın. Birlikte çalışınca hızları toplar, süreyi direkt bulursun.

Birim Zaman (Zaman Biriminin Gizli Tuzakları)

Soruda zaman birimine muhakkak dikkat:

• "3 günde bitirir" denirse zaman = 3 (gün).
• "5 saatte bitirir" denirse zaman = 5 (saat).
• "Günde 5 saat çalışarak 3 günde bitirir" denirse zaman = 5 × 3 = 15 (saat).

Bu son satır en sık atlanan detay. Bir sorunun sonunda "günlük çalışma süresi" verildiyse, toplam zaman = gün × günlük saat ile hesaplanmalıdır.

Çözümlü Örnek 1 — Stüdyo Temizleme

Bir stüdyoyu tek başına 3 saatte temizleyen biri, aynı hızda çalışan bir arkadaşıyla birlikte kaç saatte temizler?

1. İş = hız × zaman. İkisinin de hızı aynı olduğu için toplam hız 2 katına çıkar.
2. Aynı iş, 2 kat hız → süre yarıya iner. Yani 3 / 2 = 1,5 saat.
3. Cevap: 1 saat 30 dakika.

İşçi problemlerinin %90'ında iki veya daha fazla işçi vardır ve bunların tek başına süreleri verilir. Süreler farklı olduğu için hızları sayıya dökmek için tek çözüm: sürelerin EKOK'una eşit bir "toplam iş" uydurmak. Bu toplam işi V cinsinden ifade eder, her işçinin hızını V ile yazarsın. Pratikte "işin EKOK'u kadar V olması" kuralı işler.

V Yöntemi Adım Adım

1. Her işçinin tek başına işi bitirme süresini yaz. Mesela: Hilal 6 günde, Kumru 8 günde.
2. Bu sürelerin EKOK'unu bul. Örnek: EKOK(6, 8) = 24.
3. İşin tamamı = 24V olsun.
4. Her işçinin hızı = toplam iş / süre. Hilal: 24V / 6 = 4V. Kumru: 24V / 8 = 3V.
5. Artık hızlar karşılaştırılabilir sayılar oldu: Hilal 4V, Kumru 3V.

Çözümlü Örnek 2 — Hilal ve Kumru

Hilal bir işi 6 günde, Kumru aynı işi 8 günde bitiriyor. İkisi birlikte çalışırsa işi kaç günde bitirirler?

1. EKOK(6, 8) = 24. İş = 24V al.
2. Hilal'in hızı: 24V / 6 = 4V.
3. Kumru'nun hızı: 24V / 8 = 3V.
4. Birlikte hız: 4V + 3V = 7V.
5. Süre = İş / Hız = 24V / 7V = 24/7 gün ≈ 3 gün 10 saat 17 dakika.

Doğrulama: xy/(x+y) Formülü

İki işçinin birlikte çalışma süresi için pratik bir formül var:

t_birlikte = x · y / (x + y)

Yukarıdaki örnekte: 6 × 8 / (6 + 8) = 48/14 = 24/7 gün. Tıpkı V yöntemi ile bulduğumuz değer. Bu formül aslında 1/x + 1/y = 1/t kesir toplamının sadeleştirilmiş halidir: 1/t = (x+y)/(xy) → t = xy/(x+y).

Üç İşçi Birlikte

Üç işçi aynı anda çalışıyorsa formül genişler:

1/x + 1/y + 1/z = 1/t

Çözümlü Örnek 3 — Üç İşçi

A işçisi bir işi 6 saatte, B işçisi 12 saatte, C işçisi 4 saatte bitiriyor. Üçü birlikte kaç saatte bitirir?

1. EKOK(6, 12, 4) = 12. İş = 12V.
2. A = 12V/6 = 2V, B = 12V/12 = V, C = 12V/4 = 3V.
3. Toplam hız = 2V + V + 3V = 6V.
4. Süre = 12V / 6V = 2 saat.

Bazı sorularda işin sadece bir kısmı (1/4, 3/5, 2/3 gibi) ve o kadar süre verilir. Bu tür sorularda dikkat: "işin bir parçası kaç sürede" bilgisi doğrudan hız bulmak için kullanılır, ama muhakkak bu parçayı tam işe (bütüne) çevirmen gerekir.

İşin Bir Kısmından Tamamına Gitme Stratejisi

• "İşin a/b'sini t sürede bitiriyor" denirse: Tamamı t × (b/a) sürede biter.
• Örnek: 1/4'ünü 3 saatte bitiriyor → tamamını 3 × 4 = 12 saatte bitirir.
• Örnek: 2/5'ini 6 saatte bitiriyor → tamamını 6 × (5/2) = 15 saatte bitirir.
• Örnek: 3/5'ini a sürede bitiriyorsa → tamamını a × (5/3) sürede bitirir.

Bu ilk adım zorunlu. Çünkü farklı işçilerin hızlarını kıyaslayabilmek için hepsinin aynı işi yaptığını kabul etmek şart. Aksi halde "1/6'sı ile 1/4'ünü" kıyaslaman mümkün değil.

Çözümlü Örnek 4 — Aslı ile 3/5 İşi

Aslı bir işin 3/5'ini 15 günde bitiriyor. İşin tamamını kaç günde bitirir?

1. 3/5 = 15 gün ⇒ 1/5 = 15/3 = 5 gün.
2. Tamamı (5/5) = 5 × 5 = 25 gün.
3. Alternatif: 15 × (5/3) = 25 gün. Aynı sonuç.
4. Cevap: 25 gün.

Çözümlü Örnek 5 — İşin Yarısı ile Kalanı

İsmail bir işin 1/4'ünü 3 saatte, Gülden aynı işin 1/6'sını 4 saatte bitiriyor. İkisi birlikte bu işi kaç saatte bitirir?

1. İsmail'in tam iş süresi: 1/4 → 3 saat ⇒ tamamı 4 × 3 = 12 saat.
2. Gülden'in tam iş süresi: 1/6 → 4 saat ⇒ tamamı 6 × 4 = 24 saat.
3. EKOK(12, 24) = 24. İş = 24V.
4. İsmail = 24V/12 = 2V. Gülden = 24V/24 = V.
5. Birlikte hız = 2V + V = 3V.
6. Süre = 24V / 3V = 8 saat.

Kesirli Yapılmış İşin Kalanı

Çoğu soruda "işin a/b'si yapıldı, kalanı kim kaç sürede bitirir?" sorulur. Strateji:

• Önce tüm işi V cinsinden yaz.
• Yapılan iş = (a/b) × toplam iş. Kalan iş = toplamın 1 − a/b kadarı.
• Kalan işi tek başına bitirecek kişinin hızı ile böl, süreyi bul.

Örnek: İş 24V. 5/6'sı yapıldı → 20V bitti, 4V kaldı. Kalanı 2V hızıyla çalışan biri 4V/2V = 2 saatte bitirir.

Sınavda sık gelen bir kalıp: iki işçi birlikte başlar, belli bir süre sonra biri ayrılır ve kalan işi diğeri tek başına bitirir. Burada iş iki aşamada hesaplanır:

1. Aşama 1: İkisi birlikte t₁ süre çalıştı. Yapılan iş = (toplam hız) × t₁.
2. Aşama 2: Biri kaldı, tek başına t₂ süre çalıştı. Kalan iş = (kalan kişinin hızı) × t₂.
3. Toplam iş = Aşama 1 + Aşama 2. Bu eşitlikten bilinmeyeni çöz.

Çözümlü Örnek 6 — Hilal Erken Ayrılıyor

Hilal bir işi 6 günde, Kumru aynı işi 8 günde bitiriyor. İkisi birlikte 3 gün çalıştıktan sonra Hilal işi bırakıyor. Kalan işi Kumru tek başına kaç günde bitirir?

1. EKOK(6, 8) = 24. İş = 24V.
2. Hilal = 4V, Kumru = 3V.
3. Birlikte 3 gün: Yapılan iş = (4V + 3V) × 3 = 7V × 3 = 21V.
4. Kalan iş: 24V − 21V = 3V.
5. Kumru tek başına bitirecek: Süre = 3V / 3V = 1 gün.

Çözümlü Örnek 7 — Yasemin Tek Başına Ne Kadar Sürer?

Veli'nin çalışma hızı, Yasemin'in çalışma hızının 4/3 katıdır. İkisi birlikte bir işi 18 günde bitirmektedir. Bu işi Yasemin tek başına kaç günde bitirir?

1. Veli'nin hızı = 4V, Yasemin'in hızı = 3V (4/3 oran direkt 4V:3V yazmaya izin verir).
2. Birlikte hız: 4V + 3V = 7V.
3. Birlikte 18 günde bitirdikleri için: İş = 7V × 18 = 126V.
4. Yasemin tek başına: Süre = İş / Yasemin'in hızı = 126V / 3V = 42 gün.

Turan-Selami-Kamuran (Quiz Sorusu)

Turan, Selami ve Kamuran'ın hızları sırasıyla 6V, 4V, 2V'dir. Üçü birlikte bir işi 6 saatte bitiriyor. Aynı işe üçü birlikte başlıyor ama işin yarısı bittiğinde Turan ayrılıyor. Kalan işi Selami + Kamuran bitiriyor. İş bitmesi gerekenden kaç saat geç biter?

1. Toplam hız: 6V + 4V + 2V = 12V.
2. İş = 12V × 6 = 72V.
3. Üçü birlikte işin yarısı (36V) için süre: 36V / 12V = 3 saat. Turan ayrılıyor.
4. Kalan 36V'yi Selami (4V) + Kamuran (2V) = 6V hızla bitirecek. Süre: 36V / 6V = 6 saat.
5. Toplam süre: 3 + 6 = 9 saat. Normal süre 6 saat. Fark: 9 − 6 = 3 saat geç.

Bazı sorularda işçilerin süresi doğrudan verilmez; birinin diğerinden kaç kat hızlı/yavaş olduğu söylenir. Bu durumlarda:

• "A, B'den 3 kat hızlı": V_A = 3 · V_B (A'nın hızı B'nin 3 katı).
• "A, B'den 3 kat yavaş": V_A = V_B / 3 (A, B'nin hızının 1/3'ü kadar hızlı).
• "A'nın hızının 3 katı B'nin hızının 4 katıdır": 3·V_A = 4·V_B. Hızları minimum tam sayıya çevir: V_A = 4V, V_B = 3V.

Çözümlü Örnek 8 — Serhan-Orhan-Burhan

Serhan 1 saat Orhan'a yardım ederse Orhan işini 3 saat erken bitiriyor. Serhan 1 saat Burhan'a yardım ederse Burhan 2 saat erken bitiriyor. Orhan ve Burhan birlikte pasta yapmaya başlıyor, işin 6 saat erken bitmesini istiyorlar. Serhan'dan kaç saat yardım almalılar?

1. "Serhan 1 saatte yaptığı iş = Orhan'ın 3 saatte yaptığı işe bedel" ⇒ V_S × 1 = V_O × 3 ⇒ V_S = 3·V_O.
2. "Serhan 1 saatte yaptığı iş = Burhan'ın 2 saatte yaptığı işe bedel" ⇒ V_S × 1 = V_B × 2 ⇒ V_S = 2·V_B.
3. Serhan'da ortak: V_S = 3·V_O = 2·V_B. EKOK(3, 2) = 6 ⇒ V_S = 6V, V_O = 2V, V_B = 3V.
4. Orhan + Burhan birlikte hız = 2V + 3V = 5V. 6 saat erken bitmesi için yaptıkları ekstra iş = 5V × 6 = 30V.
5. Bu 30V'lik işi Serhan (6V) kaç saatte yapar? 30V / 6V = 5 saat.

Çözümlü Örnek 9 — Hızı 3 Kat Artarsa

Bir boya ustası duvarı normal çalışma hızının 3 katı hızla boyarsa işini 8 saat erken bitiriyor. Normal hızda kaç saatte bitirir?

1. Normal hız V, süre T olsun. İş = V × T.
2. 3V hızında (T − 8) sürede aynı iş: V × T = 3V × (T − 8).
3. V'ler gider: T = 3T − 24 ⇒ 24 = 2T ⇒ T = 12 saat.
4. Kontrol: 12 saatte bitirmek yerine 3 kat hızla 4 saatte biter — aradaki 8 saat.

Çözümlü Örnek 10 — Hızı 2 Katı Olursa Kaç Saat Erken?

Aynı boya ustası duvarı normal hızının 2 katı hızla boyarsa kaç saat erken bitirir?

1. Normal: V × 12 = iş. İki kat hızda: 2V × t = iş ⇒ t = 12 / 2 = 6 saat.
2. Erken bitme: 12 − 6 = 6 saat erken.

Havuz problemleri işçi problemlerinin özel bir versiyonudur. Tek fark: bir doldurma musluğu pozitif hızla (havuza su getirir), bir boşaltma musluğu negatif hızla (havuzdan su götürür) çalışır. Net hız doldurma − boşaltma olur.

Havuz Problem Senaryoları Tablosu

Senaryo	Formül	Örnek
İki doldurma birlikte	VA + VB	A: 6 sa, B: 12 sa → 4 sa
Doldurma + boşaltma birlikte	Vdol − Vboş	Dol: 4 sa, Boş: 6 sa → 12 sa
Dol > Boş (havuz dolar)	Vnet > 0	Hacim / net ile zamanı bul
Dol = Boş (denge)	Vnet = 0	Havuz hiç dolmaz
Dol < Boş (havuz boşalır)	Vnet < 0	Havuz dolamaz, boşalır

Çözümlü Örnek 11 — İki Musluk Ayrı Yönde

Bir havuzu A musluğu tek başına 4 saatte doldurur, B musluğu dolu havuzu 6 saatte boşaltır. İkisi birlikte açılırsa boş havuz kaç saatte dolar?

1. EKOK(4, 6) = 12. Havuz hacmi = 12V.
2. A doldurma hızı: 12V / 4 = +3V/saat.
3. B boşaltma hızı: 12V / 6 = −2V/saat (eksi çünkü boşaltıyor).
4. Net hız: 3V − 2V = V/saat.
5. Süre = 12V / V = 12 saat.

Çözümlü Örnek 12 — Üç Musluk Karışık

Havuzu A musluğu 6 saatte, B musluğu 4 saatte doldurur. C musluğu dolu havuzu 12 saatte boşaltır. Üçü birlikte açılırsa boş havuz kaç saatte dolar?

1. EKOK(6, 4, 12) = 12. Havuz = 12V.
2. A = +2V, B = +3V, C = −V (eksi çünkü boşaltma).
3. Net = 2V + 3V − V = 4V/saat.
4. Süre = 12V / 4V = 3 saat.

Yeni nesil TYT sorularında en sık gelen kalıplardan biri: bir hızın belli bir oranda düşmesi veya artması. Kapasitesi düşen bir fabrika, hızı 1/3 azalan bir işçi, arızalanan bir musluk gibi. Bu tarz sorularda:

• "Kapasite 1/n oranında düştü" ⇒ Kalan hız = tam kapasite × (1 − 1/n) = (n−1)/n.
• "Hızı k katına çıktı" ⇒ Yeni hız = k × eski hız.
• Yeni zaman = İş / Yeni hız — yine ana formül.

Çözümlü Örnek 13 — İplik Fabrikası

Bir iplik fabrikasına gelen tüccar, önceki siparişinin aynısının aynı sürede teslim edilmesini istiyor. Satış sorumlusu "Makinelerimiz bakımda, kapasitemiz 1/5 oranında düştü. Bu yüzden 3 gün daha geç teslim ederiz" diyor. Son sipariş kaç günde teslim edilir?

1. Tam kapasite 5V al. 1/5 düşüş ⇒ V kadar düştü ⇒ Şu anki kapasite 4V.
2. İş = hız × zaman. Önceden: 5V × T.
3. Şimdi: 4V × (T + 3) [3 gün geç].
4. Eşitle: 5V·T = 4V·(T + 3) ⇒ 5T = 4T + 12 ⇒ T = 12.
5. Son sipariş süresi: T + 3 = 15 gün.

Çözümlü Örnek 14 — Hız 2/3 Oranında Artarsa

Bir işçi normal hızını 2/3 oranında artırarak çalışırsa işini normalden 4 saat erken bitiriyor. Normal hızda kaç saatte biter?

1. Normal hız 3V al (payda 3, kolay katlama için). Artış: 2/3 × 3V = 2V ⇒ Yeni hız = 3V + 2V = 5V.
2. İş = 3V × T = 5V × (T − 4).
3. 3T = 5T − 20 ⇒ 20 = 2T ⇒ T = 10 saat.

Çözümlü Örnek 15 — Kaç Katı Hız?

Bir makine hızını 3 katına çıkarırsa aynı işi 8 saat erken bitiriyor. Normal sürede kaç saatte biter?

1. V × T = 3V × (T − 8).
2. T = 3T − 24 ⇒ 24 = 2T ⇒ T = 12 saat.
3. Bu soru Örnek 9'a eş; hız 3 kat = süre 1/3'e iner. 12 / 3 = 4 saat, aradaki 8 saatlik fark doğrulandı.

ÖSYM'nin 2023-2024 TYT sınavlarında özellikle sevdiği kalıp: bir cihazın farklı kademelerde farklı hızlarda çalışması. Fırın, blender, bulaşık makinesi, elektrikli ısıtıcı gibi ürünlerin 1. kademe, 2. kademe gibi hız ayarları var. Her kademede aynı işin (yemeğin pişmesi, suyun kaynaması) farklı sürede tamamlandığı verilir.

Strateji

1. Aynı iş her kademede farklı sürede bitiyor ⇒ kademelerin hızlarını V cinsinden çıkar (iş tamamı ortak).
2. Kademeler arasındaki hız oranı yemeği pişirme ile aynı orantıda.
3. Süreçte geçirilen zamanlarda hızlar değişiyorsa iş = Σ (hız_i × zaman_i).

Çözümlü Örnek 16 — Üç Kademeli Fırın

Üç kademeli bir fırın 1. kademede yemeği 216 dakikada, 2. kademede 108 dakikada, 3. kademede 72 dakikada pişiriyor. Nihal Hanım yemeği önce 1. kademede 30 dakika, sonra 2. kademede 30 dakika, son olarak 3. kademede bitene kadar pişiriyor. Yemek toplam kaç dakikada pişti?

1. Sürelerin EKOK'u: EKOK(216, 108, 72) = 216. Ama daha pratiği: oranlara bak. 216 : 108 : 72 = 3 : 1,5 : 1 = 6 : 3 : 2 (2 ile çarparsak tam sayı). Yani 1. kademede 2V, 2. kademede ... dur, tersten: süre uzunsa hız düşüktür.
2. Hız = İş / Süre. İş = 216V olsun. 1. kademe hız = 216V/216 = V. 2. kademe = 216V/108 = 2V. 3. kademe = 216V/72 = 3V.
3. Yapılan iş = V × 30 + 2V × 30 + 3V × t = 216V, burada t 3. kademede geçen süre.
4. 30V + 60V + 3V·t = 216V ⇒ 3V·t = 126V ⇒ t = 42 dakika.
5. Toplam süre: 30 + 30 + 42 = 102 dakika.

Çözümlü Örnek 17 — İki Isıtıcı

Seda Hanım'ın iki ısıtıcısı var. Elektrikli ısıtıcı 2 L suyu 12 dakikada, gazlı ısıtıcı 1 L suyu 15 dakikada kaynatır. 2 L suyu önce 10 dakika elektrikli ısıtıcıda kaynatıyor, sonra gazlı ısıtıcıya alıp devam ediyor. Gazlı ısıtıcıda kaç dakika kaynattı?

1. Aynı iş: 2 L suyu kaynatma. Gazlı ile 1 L = 15 dk olduğuna göre 2 L = 30 dk sürer.
2. İki ısıtıcının 2 L su için süreleri: Elektrikli 12 dk, Gazlı 30 dk.
3. EKOK(12, 30) = 60. İş = 60V. Elektrikli hız = 60V/12 = 5V. Gazlı hız = 60V/30 = 2V.
4. Elektrikli 10 dk: Yapılan iş = 5V × 10 = 50V.
5. Kalan iş: 60V − 50V = 10V. Gazlıda: 10V / 2V = 5 dakika.
6. Toplam süre: 10 + 5 = 15 dakika.

TYT'nin en son nesil sorularından biri: tek bir kaynağın (telefon, sunucu, musluk) sabit kapasiteyi dosya/kullanıcı sayısına eşit paylaştırması. Bir dosya bittiğinde paylaşım değişir, böylece hızlar zamanla artar.

Strateji

1. Toplam kapasite sabit. Dosya sayısı ile bölündüğünde her dosyanın anlık hızı çıkar.
2. Dosya bittiğinde kalan dosyaların hızı artar (aynı kapasite az kişiye bölünür).
3. Aşama aşama, "her dosyadan ne kadar indi" tablo gibi takip et.

Çözümlü Örnek 18 — 3 Dosya İndirme

Bir telefon 1 dakikada toplam 30 MB indirebiliyor. Aynı anda birden fazla dosya inerse toplam kapasite eşit paylaşılır. A (150 MB), B (90 MB), C (120 MB) aynı anda indirilmeye başlanıyor. B kaç dakika sonra biter?

1. Başta 3 dosya: Herkes 10 MB/dk hızında iner. İlk bitecek en küçük: B = 90 MB.
2. B'nin bitmesi için: 90 / 10 = 9 dk? Ama dikkat — C (120 MB) aynı anda biterse paylaşım değişir. C, B'den sonra. 90 MB'a ulaşmak için önce.
3. İlk 3 dk'da: A'dan 30, B'den 30, C'den 30 indi. Kalan: A = 120, B = 60, C = 90.
4. Hiçbiri bitmedi. Devam ederek B'nin bitme anını bul: B = 90 MB, tüm süre 3 dosyada 10 MB/dk. Süre = 9 dk.
5. Hmm, bu sorunun alternatif formu (transcript'teki): B = 30 MB (küçük dosya), bittiğinde paylaşım 2'ye düşer. İlk 1 dk'da her dosyadan 10 MB indi; B'den 30 MB inmesi için 3 dk gerekti.

Çözümlü Örnek 19 — Uçakta Servis

180 yolculu dolu bir uçakta Beyza önden, Sema arkadan aynı anda çay servisine başlıyor, ortada buluşmayı hedefliyorlar (herkes 90 yolcuya hizmet edecek). Sema 90 yolcuya servis yapıp ortaya gelince Beyza'nın 30 yolcusu eksik. Kalan 30 yolcuya aynı hızlarla devam edip bitirdiklerinde Beyza toplam kaç yolcuya servis yapmıştır?

1. Aynı sürede: Beyza 60 yolcuya servis yaparken Sema 90 yolcuya yapıyor. Yani hız oranı Beyza : Sema = 60 : 90 = 2 : 3 (10'a bölünmüş).
2. Kalan 30 yolcu aynı hızlarla paylaşılacak. Beyza payı: 30 × (2/5) = 12 yolcu (2+3=5 toplam).
3. Beyza toplam: 60 + 12 = 72 yolcu.

Bu soru aslında işçi problemi değil, saf oran-orantı. İşçi problemlerinin tamamı oran-orantının bir uygulamasıdır; hoca transcript'te "işçi problemleri bildiğin oran orantı problemidir" diyor.

İşçi-havuz problemlerinde öğrencilerin en sık yaptığı hatalar ve nasıl önleneceği:

Yanlış	Doğru
Süreleri toplamak (6 + 8 = 14 sa birlikte)	Hızlar toplanır, süreler değil. Süre = İş / (toplam hız)
"1/4'ünü 3 saatte" → 3 saat diye kaydetmek	Tamamı = 3 × 4 = 12 saat. Hızı tamamla üzerinden hesapla
Boşaltma musluğunu pozitif hız saymak	Boşaltma hızı negatiftir. Net = Dol − Boş
"Günde 5 saat çalışarak 3 günde" → 3 gün	Toplam zaman = 5 × 3 = 15 saat (gerçek çalışma süresi)
"3 kat hızlı" → süre 3 kat uzun	Hız 3 kat ⇒ süre 1/3 (ters orantı)
İşin kesri verildiğinde o kesre göre hesap	Muhakkak tamamı bul, hızları ortak iş üzerinden kıyasla
Dolmuşken boşaltma süresini bilmeyip formül uygulamak	"Dolu havuzu boşaltma süresi" ayrı veri — hız hesabında kullan

Klasik Yöntemle Tutarlılık Kontrolü

V yöntemi ile elde edilen sonucu klasik 1/x yöntemiyle doğrula:

1. V yöntemi: x = 6, y = 8 ⇒ birlikte 24/7 gün.
2. Klasik yöntem: 1/6 + 1/8 = 4/24 + 3/24 = 7/24 ⇒ birlikte = 24/7 gün.
3. xy/(x+y): 48/14 = 24/7. Üç yöntem de aynı sonucu verir.

Zaman Birimi Dönüşümü

• 1 saat = 60 dakika. 24/7 saat = 24/7 × 60/1 = 1440/7 dakika ≈ 205,7 dk.
• Sorunun sonucu kesirli çıkıyorsa paydayı sadeleştir; gerekiyorsa dakika/saniyeye çevir.
• "2 gün 6 saat" tipinde karışık birim cevap istenirse: kesirli süreyi (11/4 gün gibi) gün-saat ayrıştır.

İşçi-havuz sorularında bazen klasik formül işe yaramaz; özel durumlar özel çözüm gerektirir.

Durum 1 — Net Hız Sıfır (Havuz Hiç Dolmuyor)

Doldurma hızı = Boşaltma hızı ise net hız 0. Havuz ne dolar ne boşalır (mevcut seviye sabit kalır). Bu tipte soru: "Kaç saatte dolar?" ⇒ Hiç dolmaz. Sorunun çeldiricisi olarak kullanılır.

Durum 2 — Net Hız Negatif (Havuz Boşalıyor)

Boşaltma > Doldurma ise havuz dolu başlarsa boşalır, boş başlarsa dolmaz. Bu durumda:

• Havuz başta yarı doluysa ve net hız negatifse: süre = (mevcut su) / |V_net|.
• Havuz boş başlamış ve net hız negatifse: "Kaç saatte dolar?" cevabı yoktur (hiç dolmaz).

Durum 3 — Doldurma Musluğu Sonradan Açılıyor

Havuza önce boşaltma musluğu açılıp bir süre boşaltıyor, sonra doldurma açılıyor tipinde sorular:

1. 1. aşama: Sadece boşaltma çalışıyor. Belli sürede havuzdan belli miktar su çıktı.
2. 2. aşama: Her iki musluk birlikte. Net hız ile kalan süreyi hesapla.
3. Toplam zaman = Aşama 1 + Aşama 2.

Çözümlü Örnek 20 — Havuz Yarıdan Boşalıyor

A musluğu havuzu 10 saatte doldurur, B musluğu dolu havuzu 15 saatte boşaltır. Yarısı dolu havuza ikisi birlikte açılırsa havuz kaç saatte tamamen dolar?

1. EKOK(10, 15) = 30. Havuz = 30V.
2. A = +3V, B = −2V. Net = +V/saat.
3. Başta yarı dolu: 15V su var. Doldurulacak: 30V − 15V = 15V.
4. Süre = 15V / V = 15 saat.

Durum 4 — Musluk Açılıp Kapanıyor

Doldurma musluğu tüm süre açık, boşaltma musluğu yarı yolda açılır tipi:

• 1. aşama (sadece dol.): Yapılan iş = V_dol × t₁.
• 2. aşama (dol. + boş.): Yapılan iş = V_net × t₂.
• Toplam iş = havuz hacmi = 1. aşama + 2. aşama.

Çözümlü Örnek 21 — Boşaltma Sonradan

A musluğu havuzu 8 saatte doldurur, B musluğu 12 saatte boşaltır. A açılır, 2 saat sonra B de açılır. Havuz toplam kaç saatte dolar?

1. EKOK(8, 12) = 24. Havuz = 24V. A = 3V, B = 2V (boşaltma ⇒ −2V).
2. İlk 2 saat: A tek başına yaptı = 3V × 2 = 6V.
3. Kalan iş: 24V − 6V = 18V.
4. Net hız (2. aşama): 3V − 2V = V.
5. Kalan süre: 18V / V = 18 saat.
6. Toplam: 2 + 18 = 20 saat.

Konunun en kritik hatırlanması gereken bilgileri ve TYT'de bu konudan gelebilecek tüm kalıplar:

Altın Formüller — Her İşçi Sorusunda

• İş = Hız × Zaman (ana formül).
• Birlikte çalışma: hızlar toplanır (süreler değil).
• İki işçi pratik: t = xy / (x + y).
• Üç işçi: 1/x + 1/y + 1/z = 1/t.
• Havuz net hız = Doldurma − Boşaltma.
• Hız k kat artarsa süre 1/k olur.
• Kapasite 1/n düşerse kalan kapasite (n−1)/n.

V Yöntemi Akış Şeması

1. Süreleri yaz. Kesir varsa önce tamamı bul (1/a → a × süre).
2. Sürelerin EKOK'unu bul. İş = EKOK × V al.
3. Her işçinin hızını V cinsinden yaz (iş / süre).
4. Birlikte çalışanlar için hızları topla. Boşaltmalar negatif.
5. Aşamaları ayrı yaz: İş = Σ (hız_i × zaman_i).
6. Bilinmeyeni bul, kesirsiz çıkmalı.

TYT'de Sık Çıkan Soru Tipleri

Kalıp	Strateji
İki işçi birlikte	xy/(x+y)
Biri erken ayrılır	Aşama 1 + Aşama 2 = iş
Hız k kat artar	V·T = kV·(T−fark)
İşin a/b'si verilmiş	Tamamı = süre × (b/a)
Havuz + boşaltma	Net = Dol − Boş
Kademeli cihaz	İş = Σ hızi × ti
Hız oranı	VA:VB = n:m
Kapasite düşüşü	Yeni = (n−1)/n × eski
Paylaşımlı kaynak	Kapasite ÷ dosya sayısı