TYT Geometri — Çemberde Açı ve Uzunluk

Çember, düzlemde sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu kapalı şekildir. Bu sabit noktaya merkez, merkezden çemberin herhangi bir noktasına olan eşit uzunluğa yarıçap denir. Yarıçap genellikle r harfi ile gösterilir. Çember çizgiseldir; içi dolu değildir. İçi doluysa ona daire deriz (daire ayrı konu — bir sonraki başlıkta işleyeceğiz).

Çap, Kiriş, Kesen

• Çap: Merkezden geçen ve çemberin iki noktasını birleştiren doğru parçası. Uzunluğu 2r'dir. Bir çemberde sonsuz tane çap çizilebilir ama hepsi aynı uzunluktadır.
• Kiriş: Çemberin iki noktasını birleştiren ve merkezden geçmeyen doğru parçası. En uzun kiriş = çaptır.
• Kesen: Çemberi iki noktada kesen doğru; kesen doğrunun çember içinde kalan parçası bir kiriştir.

Teğet ve Teğet Noktası

Çembere tek bir noktada dokunan doğruya teğet, bu tek dokunma noktasına teğet noktası (değme noktası) denir. Teğet doğrusunun çember ile sadece bir ortak noktası vardır.

Yay ve Yay Ölçüsü

Çemberin, iki noktasının arasında kalan eğrisel parçasına yay denir. Yayın iki farklı ölçümü vardır:

• Uzunluk: Gerçek mesafe (birim: cm, birim, vs.). Hesaplanışı: yay uzunluğu = (α / 360°) · 2πr (α, yayın merkez açı ölçüsü).
• Açı ölçüsü: Yayın merkezde gördüğü merkez açının derece ölçüsü. AB yayı'nın açı ölçüsü m(AB) şeklinde yazılır.

Not: Aynı x birim uzunluğundaki iki yay, farklı yarıçaplı çemberlerde farklı açı ölçüsüne sahip olabilir. Aynı α° açı ölçüsündeki iki yay ise farklı yarıçaplarda farklı uzunluğa sahip olur.

Çember, Tam Açı ve Simetri

Bir tam çemberin açı ölçüsü 360°'dir. Yarım çember (çap bir yay olarak düşünülürse) 180°, çeyrek çember 90°'dir. Çember simetriktir: merkezden geçen her doğru çemberi iki eş parçaya böler. Bu simetri, birazdan göreceğimiz "merkezden kirişe inen dikmenin kirişi ortalaması" özelliğinin temelidir.

Çözümlü Örnek 1 — Kavram Tespiti

O merkezli çemberde A, B ve C noktaları çember üzerindedir. |AB| = 10 birim ve AB merkezden geçmektedir. Çemberin yarıçapı kaç birimdir?

1. Merkezden geçen ve iki çember noktasını birleştiren doğru parçası = çap.
2. Çap = 2 · yarıçap → 10 = 2r.
3. r = 5 birim.

Çemberdeki iki temel açı çeşidi: merkez açı ve çevre açı. Bu ikisinin birbiriyle ilişkisini doğru kavramak çember sorularının temelidir. Merkez yarım × 2 = Çevre mnemonic'ini aklında tut: merkez açı, aynı yayı gören çevre açının iki katıdır; çevre açı ise merkez açının yarısıdır.

Merkez Açı — Tanım ve Kural

Köşesi çemberin merkezinde olan açıya merkez açı denir. Merkez açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.

• Eğer m(AOB) = α° ise m(AB yayı) = α°.
• Merkez açı, yarıçapla sınırlı iki koldan oluşur. Dolayısıyla bir merkez açının kenarları her zaman yarıçaptır.

Çevre Açı — Tanım ve Kural

Köşesi çember üzerinde, kolları iki farklı kirişten (veya kiriş ve çap) oluşan açıya çevre açı denir. Çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.

• Eğer m(ACB) çevre açısı ise ve AB yayı'nı görüyorsa: m(ACB) = m(AB) / 2.
• Eş zamanlı olarak: m(AB yayı) = 2 · m(ACB).

İspat Bağlantısı — Neden Yarısı?

Çevre açı ispatı ikizkenar üçgen üzerinden gelir. Çevre açının köşesini merkeze birleştirirsen iki tane ikizkenar üçgen oluşur (çünkü yarıçaplar eşit). İkizkenar üçgenin iç açılarının iç-dış özelliğinden çevre açının iki katı = merkez açı olduğu çıkar.

Çözümlü Örnek 2 — Merkez Açı

O merkezli çemberde m(AOB) = 120°. AB yayının ölçüsü kaç derecedir?

1. Merkez açı, gördüğü yayın ölçüsüne eşit.
2. m(AB yayı) = 120°.

Çözümlü Örnek 3 — Çevre Açı

O merkezli çemberde C noktası çember üzerindedir ve m(ACB) = 35°. Merkez açı m(AOB) kaç derecedir?

1. Çevre açı, gördüğü yayın yarısıdır → m(AB yayı) = 2 · 35° = 70°.
2. Aynı yayı gören merkez açı, yayın ölçüsüne eşittir.
3. m(AOB) = 70°.

Çözümlü Örnek 4 — Karışık Uygulama

O merkezli çemberde m(AOB) = 120° ve C noktası çemberin B ve A noktalarının dışında (büyük yay üzerinde) bir noktadır. m(ACB) = ?

1. m(AOB) = 120° ise küçük AB yayı = 120°.
2. Tüm çember 360° olduğundan büyük AB yayı = 360° − 120° = 240°.
3. C büyük yay üzerindeyken, ACB çevre açısı küçük yayı görür (yani 120°'yi gören tarafa bakar).
4. Hayır — dikkat! C büyük yay üzerindeyken ACB, AB arasındaki yayı görür; görmediği taraf kendi bulunduğu taraftır. Yani C büyük yay üzerindeyse, ACB küçük yayı görür: m(ACB) = 120° / 2 = 60°.

Bu özellik TYT çember sorularının altın kuralıdır. Çapı gören çevre açı 90°'dir. Sebep basittir: Çap, 180°'lik bir yay ayırır. Aynı 180°'yi gören çevre açı = 180° / 2 = 90°.

Neden Her Zaman 90°?

AB çapının ayırdığı yay (yarım çember) = 180°. C noktası hangi konumda olursa olsun (küçük yayın bitişiğine yakın, merkeze yakın, uzak), AB yayını görür ve 180°'nin yarısını alır → 90°. Bu özellik C'nin konumuna hiç bağlı değildir.

Soru Tipi — "Çap Varsa Dik Yaratmak"

Sorularda AB çaplı çember ifadesini gördüğünde, A ve B'yi çember üzerindeki herhangi bir başka noktayla birleştirerek dik üçgen oluşturabilirsin. Bu, uzunluk hesaplamalarında Pisagor veya öklit uygulamana kapı açar.

Çözümlü Örnek 5 — Klasik Çap Problemi

AB çaplı çemberde |AC| = 6 birim ve |BC| = 8 birim. C noktası çember üzerindedir. Çemberin yarıçapı kaç birimdir?

1. AB çap, C çember üzerinde → m(ACB) = 90°.
2. ACB dik üçgen. |AB|²= |AC|² + |BC|² = 36 + 64 = 100.
3. |AB| = 10 birim. Bu çaptır.
4. Yarıçap = 10 / 2 = 5 birim.

Çözümlü Örnek 6 — Çap Görmeyen Açıya Dikkat

AB çaplı yarım çemberde C çember üzerinde, m(BAC) = 30°. |BC|'yi, |AB| = 12 birim cinsinden bul.

1. m(ACB) = 90° (çapı gören).
2. m(BAC) = 30° verildi → m(ABC) = 180° − 90° − 30° = 60°.
3. 30-60-90 dik üçgeninde 30°'nin karşısı = hipotenüsün yarısı.
4. Hipotenüs |AB| = 12; 30°'nin karşısı |BC| = 6 birim.

Bir çemberde aynı yayı gören tüm çevre açıların ölçüleri birbirine eşittir. Bu, çevre açı kuralının doğal bir sonucudur — hepsi aynı yayın yarısını alır, dolayısıyla hepsi eşit olur.

Kural

A ve B çemberde iki sabit nokta olsun. C ve D çemberin aynı tarafındaki (aynı yay üzerindeki dışında kalan kısımdan) iki farklı nokta ise: m(ACB) = m(ADB). Her ikisi de aynı AB yayını görür ve yayın yarısına eşittir.

Kiriş Dörtgeni Özelliği

Aynı çember üzerinde köşelere sahip bir dörtgen kiriş dörtgeni'dir. Kiriş dörtgeninde karşılıklı iki açının toplamı 180°'dir:

• m(A) + m(C) = 180°
• m(B) + m(D) = 180°

Sebep: A ve C, BD kirişinin zıt taraflarındadır; A, küçük BD yayını görür (bu yayın yarısı); C, büyük BD yayını görür (bu yayın yarısı). İki yayın toplamı 360°; dolayısıyla açıların toplamı 360° / 2 = 180°.

Çözümlü Örnek 7 — Aynı Yay

Çemberde A, B, C, D noktaları verilsin. C ve D, AB kirişinin aynı tarafında. m(ACB) = 40° olduğuna göre m(ADB) = ?

1. C ve D aynı tarafta → aynı AB yayını görürler.
2. Aynı yayı gören çevre açılar eşit.
3. m(ADB) = 40°.

Çözümlü Örnek 8 — Kiriş Dörtgen

Kiriş dörtgeni ABCD'de m(A) = 75°, m(B) = 110°. m(C) ve m(D) kaç derecedir?

1. m(A) + m(C) = 180° → m(C) = 180° − 75° = 105°.
2. m(B) + m(D) = 180° → m(D) = 180° − 110° = 70°.
3. Kontrol: 75° + 110° + 105° + 70° = 360°. ✓

Çemberdeki tüm açı türlerini ve bunların yay ölçüsüyle ilişkisini tek tabloda topladık. Sınav öncesi son tekrar için bu tablo hızlı referans olarak kullanılır.

Açı Formülleri Tablosu

Açı Türü	Köşenin Konumu	Formül
Merkez açı	Merkezde (O)	Açı = Gördüğü yay
Çevre açı	Çember üzerinde	Açı = Gördüğü yay / 2
Çapı gören çevre açı	Çember üzerinde, kolları çapa	90° (sabit)
Teğet–kiriş açısı	Çember üzerinde (teğet noktası)	Açı = Gördüğü yay / 2
İç açı	Çemberin içinde (kesişen iki kiriş)	Açı = (karşılıklı iki yayın toplamı) / 2
Dış açı	Çemberin dışında (2 kesen, 2 teğet, 1 kesen 1 teğet)	Açı = (büyük yay − küçük yay) / 2
İki teğet dış açı + yay	Dış nokta	Açı + küçük yay = 180°

Slogan Özeti

• Merkezde → aynen: Merkez açı = yay.
• Çember üzerinde → yarısı: Çevre açı = yay / 2. Teğet–kiriş açı da yay / 2.
• İçerde → toplam / 2: İç açı = (yay1 + yay2) / 2.
• Dışarıda → fark / 2: Dış açı = (büyükyay − küçükyay) / 2.

Teğet–kiriş açısı, bir teğet doğrusu ile çemberin o noktasından geçen bir kiriş arasında kalan açıdır. Bu açı, çevre açı gibi davranır: gördüğü yayın yarısına eşittir.

Teğet–Kiriş Açısı

Teğet noktasını A, kirişin diğer ucunu B kabul et. Teğet doğrusuyla AB kirişi arasındaki açı, AB yayının (köşenin bulunduğu tarafın karşısındaki yayın) yarısına eşittir.

• Formül: teğet–kiriş açısı = m(AB yayı) / 2.
• Özel durum: Eğer kiriş aynı zamanda çapsa, teğet–kiriş açısı = 90° (çünkü yay = 180° ve yarısı = 90°).

İki Teğet Arasındaki Açı (Dış Nokta)

Bir P noktasından çembere iki teğet çizilirse (teğet noktaları A ve B):

• İki teğetin uzunlukları eşittir: |PA| = |PB|.
• Açı + küçük yay = 180°: m(APB) + m(AB küçük yay) = 180°. Bu dış açı formülünün özel halidir çünkü dış açı = (büyükyay − küçükyay)/2 olur ve büyük+küçük = 360° olduğundan, açı = (360 − 2·küçük)/2 = 180 − küçük.
• Merkezden P'ye çizilen doğru, APB açısını ortalar (açıortay).

Çözümlü Örnek 9 — Teğet–Kiriş Açısı

Bir çembere A noktasında çizilen teğet ile AB kirişi arasındaki açı 50°. AB yayının ölçüsü kaç derecedir? Aynı yayı gören bir C çevre açısı varsa m(ACB) kaçtır?

1. Teğet–kiriş açısı = yay / 2 → 50 = yay / 2 → yay = 100°.
2. Aynı yayı gören çevre açı = yay / 2 = 100° / 2 = 50°.
3. Zaten teğet–kiriş açısıyla aynı yayı gören çevre açı her zaman eşittir.

Çözümlü Örnek 10 — İki Teğet

Dış nokta P'den çembere iki teğet çizilmiştir; teğet noktaları A ve B'dir. m(APB) = 70°. AB küçük yayının ölçüsü kaçtır?

1. Açı + küçük yay = 180°.
2. 70 + küçük yay = 180°.
3. Küçük yay = 110°.
4. Kontrol: Dış açı formülü → (büyükyay − küçükyay)/2 = (250 − 110)/2 = 140/2 = 70°. ✓

Çözümlü Örnek 11 — İki Teğetin Eşitliği

P noktasından bir çembere çizilen iki teğetin uzunlukları 3x − 4 ve x + 6'dır. x'i bul.

1. İki teğet eşit: 3x − 4 = x + 6.
2. 2x = 10 → x = 5.
3. Teğet uzunlukları = 3·5 − 4 = 11 birim. ✓

Çemberde kirişlerin uzunluklarıyla ayırdıkları yayların ölçüleri arasında doğrudan bir ilişki vardır. Eş (eşit uzunluktaki) kirişler eş yayları ayırır; tersi de doğrudur.

Kural 1 — Eş Kirişlerin Ayırdığı Yaylar Eşit

Aynı çemberde (veya eş çemberlerde) iki kirişin uzunlukları eşitse, ayırdıkları yayların açı ölçüleri de eşittir.

• |AB| = |CD| ⇒ m(AB yayı) = m(CD yayı).
• Tersi: m(AB yayı) = m(CD yayı) ⇒ |AB| = |CD|.

Düzgün Çokgen Bağlantısı

Bir düzgün n-genin tüm köşeleri aynı çember üzerindedir (çember içine çizilidir). Kenarlar eşit uzunlukta birer kirişe karşılık gelir; dolayısıyla her kenarın ayırdığı yayın ölçüsü 360° / n'dir.

• Düzgün altıgen: her kenar 60° yay ayırır.
• Düzgün sekizgen: her kenar 45° yay ayırır.

Kural 2 — Paralel Kirişlerin Arasında Kalan Yaylar Eşit

Aynı çemberde AB ∥ CD ise: AC yayı ve BD yayı (paralellerin arasında kalan iki yay) eş ölçüdedir.

İspat fikri: CB kirişini çekip Z (iç ters) açı eşitliğinden çevre açı özelliğine geçiş yaparak iki yayın eşit olduğu gösterilir.

Kural 3 — Merkezden Kirişe İnen Dikme

Bir çemberin merkezinden bir kirişe indirilen dikme, o kirişi ve kirişin ayırdığı yayı eşit iki parçaya böler.

• Merkezden kirişe dik inmiş: |AH| = |HB| (kiriş ortalandı).
• Aynı zamanda: yay da ortalandı.
• Ters yön: bir kirişe dikme + kiriş ortalanıyor → dikme merkezden geçer.

Çözümlü Örnek 12 — Eş Kiriş

Çemberde |AB| = |CD| ve m(AB yayı) = 80°. Tüm çember 360° olduğuna göre CD yayı ve BC yayı'nın ölçüleri kaç derecedir? (A, B, C, D bu sırayla çember üzerinde.)

1. Eş kirişler eş yaylar: m(CD yayı) = 80°.
2. Toplam: m(AB) + m(BC) + m(CD) + m(DA) = 360°.
3. 80 + m(BC) + 80 + m(DA) = 360 → m(BC) + m(DA) = 200°.
4. Ek bilgi olmadan BC ve DA ayrı ayrı belirlenemez; ama toplam 200°'dir.

Çözümlü Örnek 13 — Paralel Kiriş

Çemberde AB ∥ CD; A, B, C, D sırayla çember üzerindedir. m(AC yayı) = 40°. m(BD yayı) = ?

1. Paralel kirişlerin arasında kalan yaylar eşit.
2. m(BD yayı) = 40°.

Çözümlü Örnek 14 — Merkezden İnen Dik

O merkezli çemberde AB kirişinin uzunluğu 24 birim, merkezden AB'ye inilen dikmenin ayağı H'dir. |OH| = 5 birim. Yarıçap kaç birimdir?

1. Merkezden dik, kirişi ortalar: |AH| = |HB| = 12.
2. OAH dik üçgen (çünkü OH ⊥ AB); hipotenüs OA = r.
3. Pisagor: r² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169.
4. r = 13 birim.
5. Not: 5-12-13 özel üçgeni. Bu üçlüyü tanımak hıza büyük katkı sağlar.

Çemberin içinde kesişen iki kirişin oluşturduğu açıya iç açı denir. Kesişen kirişler 4 tane yay ayırır, ama iç açı karşılıklı iki yayla ilişkilidir.

Formül

İki kiriş AB ve CD, E noktasında kesişsin. AEC açısının karşısındaki iki yay: AC yayı ve BD yayı.

İç açı = (AC yayı + BD yayı) / 2.

• Karşılıklı açılar (ters açılar) birbirine eşit. Tepe-tepe açı eşitliği.
• Komşu açı (yan açı) ile bu iç açının toplamı 180° (doğru üzerindedirler).

Çözümlü Örnek 15 — Klasik İç Açı

Çemberde iki kiriş E'de kesişiyor. m(AC yayı) = 60°, m(BD yayı) = 40°. m(AEC) = ?

1. İç açı formülü: (60 + 40) / 2.
2. m(AEC) = 100 / 2 = 50°.

Çözümlü Örnek 16 — Analog Saat Sorusu

Analog saat kadranında 12 rakamı arasında 12 eşit parça bulunur. 9 rakamı ile 4 rakamı arasına bir kiriş, 2 rakamı ile 7 rakamı arasına diğer bir kiriş çiziliyor. Bu iki kirişin kadranın içinde oluşturduğu iç açının ölçüsü kaç derecedir?

1. Saat kadranındaki ardışık iki rakam arası yay = 360° / 12 = 30°.
2. Kirişler şu rakamlardaki noktaları birleştiriyor: 9↔4 ve 2↔7. Bu iki kiriş, kadranın içinde tam kesişir (çünkü 9 ile 4, 2 ile 7 çemberin karşılıklı kısımlarındadır).
3. Oluşan iç açının karşılıklı iki yayı: birinci yay 9'dan 7'ye (saat yönü tersine 2 rakam) = 2 · 30° = 60°. İkinci yay 4'ten 2'ye (saat yönü tersine 2 rakam) = 2 · 30° = 60°.
4. İç açı = (60° + 60°) / 2 = 120° / 2 = 60°.

Genel yöntem: Her rakam arası 30°. Kirişlerin ayırdığı karşılıklı iki yayı say (iç açının köşesinin iki tarafındaki). Toplamı 2'ye böl. Sonuç iç açıdır.

Çözümlü Örnek 17 — Yay ve İç Açı Karışık

Çemberde kesişen iki kirişten oluşan iç açı 75° ise karşılıklı iki yayın toplamı kaç derecedir?

1. İç açı = yaylar toplamı / 2.
2. 75 = toplam / 2 → toplam = 150°.

Çemberin dışındaki bir P noktasında iki kesen, iki teğet ya da bir kesen + bir teğetin oluşturduğu açıya dış açı denir.

Formül

Dış açı = (büyük yay − küçük yay) / 2.

• Büyük yay: Dış açının kollarının uzak tarafındaki yay (kollar arasında kalan uzak yay).
• Küçük yay: Dış açının kollarının yakın tarafındaki yay (noktaya yakın, iki kol arasında kalan).
• İki teğet özel hali: büyük yay + küçük yay = 360°; dolayısıyla açı = (büyükyay − küçükyay)/2 = 180° − küçükyay → açı + küçükyay = 180°.

Üç Dış Açı Türü

1. İki kesen: Her biri çemberi iki noktada keser. Kesenlerin oluşturduğu dış açı = (uzak yay − yakın yay) / 2.
2. İki teğet: Her biri çembere bir noktada dokunur. açı + küçük yay = 180°.
3. Bir kesen + bir teğet: Aynı formül: açı = (büyük yay − küçük yay) / 2.

Çözümlü Örnek 18 — İki Kesen

Çember dışındaki P noktasından iki kesen çizilmiş. Kesenlerin ayırdığı büyük yay 120°, küçük yay 40°. m(P) = ?

1. Dış açı = (120 − 40) / 2.
2. m(P) = 80 / 2 = 40°.

Çözümlü Örnek 19 — İki Teğet

Dış nokta P'den bir çembere iki teğet çiziliyor; küçük yay 150°. m(APB) = ?

1. İki teğet özel hali: açı + küçük yay = 180°.
2. m(APB) = 180° − 150° = 30°.
3. Kontrol: Dış açı formülüyle → (büyük 210° − küçük 150°)/2 = 60°/2 = 30°. ✓

Çözümlü Örnek 20 — Teğet + Kesen

P noktasından çembere bir teğet ve bir kesen çiziliyor. Kesenin ayırdığı yaylardan büyük olan 100°, küçük olan 20°. m(P) = ?

1. Dış açı = (100 − 20) / 2 = 80 / 2.
2. m(P) = 40°.

Çemberde uzunluk soruları "bir uzunluğu bul" şeklinde gelir. Teknik, çok yönlü ama büyük oranda yarıçapı etkin kullanma + dik üçgen yaratma + Pisagor/özel üçgen üçlüsüne dayanır.

Temel Refleksler

1. Yarıçap yaratma: Soruda iki nokta merkeze birleştirilmemişse, merkezi çember üzerindeki bir noktayla birleştirerek yarıçap yarat. Bu sayede iki farklı uzunluğun aslında aynı r olduğu ortaya çıkar (eşitlik sağlar).
2. Merkezden kirişe dik: Merkezden bir kirişe dik indir → kiriş ikiye bölünür, yay ikiye bölünür, dik üçgen ve Pisagor devreye girer.
3. Merkezden teğete dik: Teğet görürsen merkezden teğet noktasına birleştir → diklik ve yarıçap kazandın.
4. Çapı gören = dik üçgen: Çap varsa çember üzerindeki noktaya birleştir, 90° yakaladın; Pisagor veya özel üçgene geçiş kolay.

Yay Uzunluğu ve Çemberin Çevresi

• Çember çevresi: C = 2πr veya C = πd (d = 2r çap).
• Yay uzunluğu: yay uzunluğu = (α / 360°) · 2πr — burada α, yayın merkez açı ölçüsüdür.
• Yarım çember uzunluğu = πr. Çeyrek çember uzunluğu = πr/2.

Özel Üçgenleri Bilmek Altın Değerindedir

Çember uzunluk sorularında en sık karşılaşılan özel üçgenler:

• 3-4-5: Dik üçgen kenarları. |AC| = 3, |BC| = 4 → |AB| = 5.
• 5-12-13: 5 ve 12 dik kenarlar, 13 hipotenüs.
• 8-15-17: Benzer şekilde.
• 30-60-90: Kenarlar oranı 1 : √3 : 2. 30°'nin karşısı = yarım hipotenüs.
• 45-45-90: Kenarlar oranı 1 : 1 : √2. Hipotenüs = dik kenarın √2 katı.

Çözümlü Örnek 21 — Yarıçap Yaratma

O merkezli çeyrek çemberde A, B, C, D noktaları belirli konumlarda. |OA| = 12, |OC| = 5 ve OABC bir dikdörtgendir (|AB| çember üzerinde B noktasına kadar uzanıyor). |BD| = x uzunluğunu bul (D çember üzerinde, OD yarıçap doğrultusunda).

1. B çember üzerinde → |OB| yarıçap.
2. OABC dikdörtgen → |OA| = |CB| = 12, |OC| = |AB| = 5.
3. Dik üçgen OCB'de Pisagor: |OB|² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 → |OB| = 13.
4. Yarıçap = 13. |OD| = 13 da olur; |OC| = 5 zaten biliniyor.
5. |CD| = |OD| − |OC| = 13 − 5 = 8 birim.

Not: 5-12-13 özel üçgenini tanımak hesabı kısaltır.

Çözümlü Örnek 22 — Merkezden Kirişe Dik

O merkezli çemberde AB bir kiriş ve |AB| = 16 birim. Merkezden AB'ye inilen dikmenin ayağı H'dir ve |OH| = 6 birim. Yarıçap kaçtır?

1. Merkezden kirişe dik, kirişi ortalar: |AH| = |HB| = 8.
2. OAH dik üçgen: |OA|² = |OH|² + |AH|² = 36 + 64 = 100.
3. |OA| = r = 10 birim.
4. Kontrol: 6-8-10 → 3-4-5'in 2 katı. ✓

İki çember birbirine göre üç ana durumda olabilir: kesişen, teğet (dıştan veya içten) ve ayrık. Teğet durumlarda merkezleri birleştiren doğru teğet noktasından geçer.

İki Çemberin Durumları

Durum	Merkezler Arası Uzaklık (d)	Ortak Nokta Sayısı
Ayrık — dıştan	d > r₁ + r₂	0
Dıştan teğet	d = r₁ + r₂	1
Kesişen	|r₁ − r₂| < d < r₁ + r₂	2
İçten teğet	d = |r₁ − r₂|	1
İç içe — ayrık	d < |r₁ − r₂|	0

Ortak Teğet Uzunluğu (Dış Teğet)

İki ayrık çembere çizilen ortak dış teğet uzunluğu; dik yamuk / Pisagor yardımıyla bulunur.

• Merkezler arası mesafe d, yarıçaplar r₁ ve r₂ (r₁ > r₂) ise:
• ortak dış teğet uzunluğu = √(d² − (r₁ − r₂)²).
• Geometrik mantık: Küçük merkezi büyük yarıçap doğrultusunda (r₁ − r₂) kadar kaydırıp dik üçgen kur.

Ortak Teğet Uzunluğu (İç Teğet)

İki dış ayrık çembere çizilen ortak iç teğet (X şeklinde, merkezler arasında):

• ortak iç teğet uzunluğu = √(d² − (r₁ + r₂)²).
• Bu formülün gerçek olması için d > r₁ + r₂ (iki çember dıştan ayrık) olmalı.

Çözümlü Örnek 23 — Dıştan Teğet

Yarıçapları 4 ve 6 birim olan iki çember dıştan teğet. Merkezler arası uzaklık kaç birimdir?

1. Dıştan teğet: d = r₁ + r₂.
2. d = 4 + 6 = 10 birim.

Çözümlü Örnek 24 — İçten Teğet

Yarıçapları 10 ve 3 birim olan iki çember içten teğet (küçük, büyüğün içinde). Merkezler arası uzaklık kaçtır?

1. İçten teğet: d = |r₁ − r₂|.
2. d = |10 − 3| = 7 birim.

Çözümlü Örnek 25 — Ortak Dış Teğet

Yarıçapları 5 ve 2 olan iki çemberin merkezleri arasındaki uzaklık 5 birimdir. İki çember kesişmektedir. İki çembere çizilen ortak dış teğetin uzunluğu kaç birimdir?

1. |r₁ − r₂| = 3, r₁ + r₂ = 7, d = 5 → 3 < 5 < 7 → kesişen çemberler. ✓
2. Formül: ortak dış teğet = √(d² − (r₁ − r₂)²) = √(25 − 9) = √16 = 4 birim.

Şimdi açıları ve uzunlukları birleştiren karma soru tipleri. Bu örnekler, TYT'de karşına çıkabilecek sentez sorularına hazırlık içindir.

Çözümlü Örnek 26 — Yarıçapa Eşit Kiriş

O merkezli çemberde bir kiriş AB'nin uzunluğu r (yarıçapa eşit). AB yayının ölçüsü kaç derecedir?

1. O'yu A ve B'ye birleştir: |OA| = |OB| = r.
2. |AB| = r de olduğundan OAB eşkenar üçgen.
3. Tüm açıları 60°. m(AOB) = 60°.
4. Merkez açı = yay → m(AB) = 60°.

Pratik bilgi: Yarıçapa eşit bir kiriş her zaman 60°'lik bir yay ayırır. Benzer şekilde r√2 kiriş 90°, r√3 kiriş 120° ayırır.

Çözümlü Örnek 27 — Çap Teğet Karışık

AB çaplı çemberde teğet, B noktasından çizilmiş. C çember üzerinde, m(BAC) = 40°. Teğet ile AC arasındaki açının ölçüsü kaç derecedir?

1. AB çap + C çember üzerinde → m(ACB) = 90°.
2. Üçgende iç açı toplamı: m(ABC) = 180° − 90° − 40° = 50°.
3. B teğet noktası; teğet ile BC kirişi arasındaki açı = m(BC yayı)/2.
4. m(BC yayı) = 2 · m(BAC) = 80° → teğet-kiriş (B'deki BC ile) = 40°.
5. Teğet ile AC arasındaki açıyı, teğet ile BC açısı ve m(ACB) = 90° bilgilerini kullanarak hesapla. Ayrıntılı: Teğet doğrusu AB'ye dik (merkezden teğete inen dik, AB çap zaten merkezden geçiyor). Teğet ile AB arasında 90°; teğet ile AC arasındaki açı = 90° − 40° = 50°.

Çözümlü Örnek 28 — İki Teğetle Üçgen

Dış nokta P'den çembere iki teğet çiziliyor (teğet noktaları A, B). m(APB) = 60°. |PA| = 12 birim. Yarıçap kaçtır?

1. İki teğetin uzunlukları eşit: |PB| = 12.
2. Merkez O'ya P'yi birleştir: OP açıortay, yani m(APO) = 30°.
3. OA ⊥ PA (yarıçap teğete dik), dolayısıyla OAP dik üçgen.
4. 30-60-90 dik üçgeninde: |OA| (30°'nin karşısı) = |PA| (60°'nin karşısı) / √3 = 12/√3 = 4√3.
5. Yarıçap = 4√3 birim.

Çözümlü Örnek 29 — Kiriş Dörtgeni ve İç Açı

Bir kiriş dörtgeninin üç açısı 85°, 95°, 70°. Dördüncü açı kaçtır?

1. 85° + 95° = 180° → A ve C karşılıklı.
2. 70° + x = 180° → x = 110°.
3. Kontrol toplam: 85 + 95 + 70 + 110 = 360°. ✓

Çözümlü Örnek 30 — Eş Kirişlerle Yay Bulma

Çemberde A, B, C, D sırayla çember üzerinde. |AB| = |BC| = |CD| ve m(AD yayı) = 120° (tek parça, D'den A'ya kısa yay). Her bir AB, BC, CD yayının ölçüsü kaçtır?

1. Eş kirişler eş yaylar: m(AB) = m(BC) = m(CD) = x.
2. Toplam çember 360°: x + x + x + 120 = 360.
3. 3x = 240 → x = 80°.

Çember konusu TYT Geometri'de 1-2 soruyla her yıl sabit karşımıza çıkar. Bazen tek başına (saf çember sorusu), bazen katı cisim (silindir tabanı, koni tabanı), bazen analitik geometri (çember denklemi) içinde gelir. Aşağıda tipik soru kalıpları ve tuzaklar var.

TYT'de Sık Çıkan Çember Soru Tipleri

Soru Tipi	Strateji	Süre
Merkez–çevre açı dönüşümü	Merkez = 2 × çevre; belirle, dönüştür.	20 sn
Çap gören açı uygulaması	90° yakala, 30-60-90 / 3-4-5 devreye al.	30 sn
Aynı yayı gören çevre açıların eşitliği	Eşitlikleri aç, Z kuralı veya üçgen bazında ilerle.	30 sn
İç açı (kesişen kirişler)	Karşılıklı iki yay toplamı / 2.	30 sn
Dış açı (iki kesen / iki teğet)	(Büyük yay − küçük yay) / 2. Teğet ise açı + küçükyay = 180°.	30 sn
Kiriş dörtgeni	Karşılıklı iki açı toplamı = 180°.	20 sn
Merkezden kirişe dik (uzunluk)	Kiriş ortalanır, Pisagor yap.	40 sn
Merkezden teğete dik (uzunluk)	Dik gelir, yarıçap + teğet uzunluğu ile Pisagor.	40 sn
İki teğet çember (ortak teğet uzunluğu)	Dik yamuk kur, Pisagor.	60 sn
Katlanan kâğıt / çakışma senaryoları	Katlama simetri → eşit uzunluk + dik. Yarıçap refleksini kullan.	60-90 sn
Analog saat / daire dilimi (rüzgâr gülü)	360°'yi eşit parçalara böl (saat: 30°/rakam), yaylardan yola çık.	60 sn

Sık Yapılan Hatalar — Tuzaklar

1. Merkez/çevre karışıklığı: Soruda verilen açı merkez mi çevre mi? İki katı mı yarısı mı? Köşenin konumuna bak: merkezde → merkez; çember üzerinde → çevre.
2. Hangi yayı gördüğü: Çevre açının köşesi hangi taraftaysa gördüğü yay karşı tarafındaki yaydır. Aynı noktada yayın bütünü değil, "gözlenen" kısmı.
3. Teğet–yarıçap dik: Teğet gördüğünde merkezden dik inme özelliğini unutma. Bu özelliği atlayan öğrenci uzunluk sorularında saatlerce dolaşır.
4. İki teğet formülü: "Açı + yay = 180°" kuralı sadece iki teğet durumunda geçerlidir. İki kesende (büyükyay − küçükyay)/2 formülü kullanılır.
5. Eş kiriş yanılgısı: Farklı iki çemberde eş kirişlerin eş yay ayırması garantili değildir; aynı çemberde olmak zorunda.
6. Kiriş dörtgeni şartı: Dört köşe aynı çember üzerinde olmalı. Değilse "karşılıklı açı toplamı = 180°" iddiası yanlış.

Sınav Günü 4 Altın Adım

1. Şekli çiz (5 sn): Çember, verilen noktalar, kiriş, teğet, kesen. Merkez işaretli mi?
2. Refleks rutinine gir (3 sn):
   • Çap görüyor musun → 90° yakala.
   • Teğet var mı → merkezden dik indir.
   • Çember üzerinde iki nokta merkezle birleşmemiş mi → birleştir, yarıçap yarat.
   • Kesişen iki kiriş mi var → iç açı formülü düşün.
   • Çember dışında nokta mı var → dış açı formülü düşün.
3. Özel üçgen seç (5 sn): 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 30-60-90, 45-45-90, eşkenar. Hangisi devreye girebilir?
4. Hesapla + sağlama (10 sn): Pisagor, çevre açı × 2, iç/dış açı formülü ile ilerle. Cevabı soru metnine koyup tutarlı mı kontrol et.

Son Tekrar Kartı — Altın Özet

Konu	Formül / Kural
Merkez açı	Açı = gördüğü yay
Çevre açı	Açı = gördüğü yay / 2
Çapı gören çevre açı	90° (her zaman)
Aynı yayı gören çevre açılar	Birbirine eşit
Teğet–kiriş açı	Gördüğü yay / 2
İç açı (kesişen 2 kiriş)	(Karşı 2 yayın toplamı) / 2
Dış açı (2 kesen / 2 teğet)	(Büyük yay − küçük yay) / 2
2 teğet açı + yay	180°
Merkezden kirişe dik	Kirişi ortalar, yayı ortalar
Merkezden teğete dik	Uzunluğu yarıçap = r, teğete dik
Çember çevresi	2πr
Yay uzunluğu (α° merkez açı)	(α / 360°) · 2πr
Dıştan teğet iki çember	d = r₁ + r₂
İçten teğet iki çember	d = |r₁ − r₂|
Ortak dış teğet uzunluğu	√(d² − (r₁ − r₂)²)
r'ye eşit kirişin ayırdığı yay	60°
r√2 kirişin ayırdığı yay	90°
r√3 kirişin ayırdığı yay	120°