TYT Geometri — Kare

Kare, geometrinin en simetrik dörtgenidir. Kareyi anlamanın en kolay yolu onu başka dörtgenlerin "süper versiyonu" olarak görmektir: kare aynı anda hem bir dikdörtgendir (tüm açıları 90°), hem bir eşkenar dörtgendir (tüm kenarları eşit), hem de bir paralelkenardır (karşılıklı kenarlar paralel ve eşit). Yani paralelkenarın tüm özelliklerini, eşkenar dörtgenin tüm özelliklerini ve dikdörtgenin tüm özelliklerini tek başına taşır.

Özel Dörtgenler Hiyerarşisi (Mnemonic)

Kareyi hatırlamanın en sağlam yolu şu kapsama zincirini görmektir. Her alt şekil üstündeki tüm özellikleri taşır:

• Dörtgen — 4 kenarlı kapalı şekil.
• Yamuk ⊂ Dörtgen — En az bir çift paralel kenar.
• Paralelkenar ⊂ Yamuk — İki çift paralel kenar (karşılıklılar paralel ve eşit).
• Dikdörtgen ⊂ Paralelkenar — Tüm iç açılar 90°.
• Eşkenar Dörtgen ⊂ Paralelkenar — Tüm kenarlar eşit.
• Kare ⊂ Dikdörtgen ∩ Eşkenar Dörtgen — Hem tüm açılar 90° hem tüm kenarlar eşit.

Slogan: "Kare = dikdörtgen + eşkenar dörtgen." Bir sınav sorusunda sana kare verilmişse, ihtiyaç duyduğun anda dikdörtgenin herhangi bir özelliğini ya da eşkenar dörtgenin herhangi bir özelliğini serbestçe kullanabilirsin.

Temel Formüller Tablosu

Bir kenarı a birim olan karenin tüm ölçü formülleri aşağıdadır. Köşegen uzunluğunu e ile gösteriyoruz.

Büyüklük	Kenar (a) cinsinden	Köşegen (e) cinsinden
Çevre	4a	4 · (e/√2) = 2e√2
Alan	a²	e² / 2
Köşegen	a√2	e
İç çember yarıçapı	a / 2	e / (2√2)
Çevrel çember yarıçapı	a√2 / 2	e / 2

Aritmetik Sağlama — a = 4 Örneği

Formüllerin tutarlılığını görmek için somut bir değer üzerinde sağlama yapalım. Kenar uzunluğu a = 4 olan bir kare için:

• Çevre: 4 · 4 = 16 birim.
• Alan: 4² = 16 birim kare.
• Köşegen: 4√2 ≈ 5,657 birim.
• Köşegenden alan kontrolü: (4√2)² / 2 = 32 / 2 = 16 birim kare. Aynı alan ✓
• İç çember yarıçapı: 4 / 2 = 2 birim.
• Çevrel çember yarıçapı: 4√2 / 2 = 2√2 birim.

Alan Formülünün Köşegen Versiyonu — Neden e²/2?

Her dörtgen için genel bir alan formülü vardır: köşegenlerin çarpımının yarısı çarpı aralarındaki açının sinüsü. Yani A = (d₁ · d₂ · sin θ) / 2. Karede iki özellik devreye girer:

1. Köşegenler eşit: d₁ = d₂ = e.
2. Köşegenler dik kesişir: θ = 90°, dolayısıyla sin 90° = 1.

Formüle yerleştirdiğimizde: A = (e · e · 1) / 2 = e² / 2. İşte karenin köşegen cinsinden alan formülünün matematiksel kökeni bu.

Karede köşegenler, konunun can damarıdır. ÖSYM'nin kare sorularının büyük çoğunluğu köşegen özelliklerinden birini kullanarak çözülür. Bu nedenle köşegeni görmediğin bir kare sorusuyla karşılaştığında ilk refleksin "ikinci köşegeni çizelim mi acaba?" olmalı.

Karenin Köşegenleri — 5 Altın Özellik

1. Eşit uzunluktadırlar. AC = BD = a√2. Bu özellik dikdörtgenden gelir.
2. Birbirini ortalarlar. Kesim noktası her iki köşegeni tam ortadan ikiye böler. Bu özellik paralelkenardan gelir.
3. Dik kesişirler. Köşegenler arasındaki açı 90° olur. Bu özellik eşkenar dörtgenden gelir.
4. Köşe açılarını 45°/45° böler. Her köşegen, geçtiği köşenin 90°'lik iç açısını iki eşit 45° parçaya ayırır.
5. Açıortay görevi görürler. 4. maddenin başka bir yorumu: köşegen = açıortay.

Neden 45°/45° Bölüyor?

Karede bir köşegen çizildiğinde iki tane ikizkenar dik üçgen oluşur (çünkü iki kenarı eşit ve aralarında 90°). Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180°, dik açı 90° aldı, kalan 90° iki eşit ikizkenar açısına bölünür: 90 / 2 = 45°. İşte bu nedenle her köşegen geçtiği köşeyi 45 + 45 şeklinde böler.

90-45-45 Üçgeni — Karenin Her Yerinde

Köşegen çizildiğinde oluşan ikizkenar dik üçgenin kenar oranları sabittir: 1 : 1 : √2. Yani 45°'lerin karşısındaki kenarlar eşit, 90°'nin karşısındaki kenar (hipotenüs) onların √2 katı.

45° → a     45° → a     90° → a√2

Sonsuz İkizkenar Üçgen Özelliği

Bir köşegen çiziliyken, bu köşegenin üzerindeki herhangi bir noktanın kareye ait iki karşı köşeye uzaklıkları birbirine eşittir. Çünkü köşegen aynı zamanda karenin simetri eksenidir; üzerindeki her nokta bir ikizkenar üçgen oluşturur.

Sonuç: bir köşegen üzerinde sonsuz tane ikizkenar üçgen çizebilirsin. Bu özellik hocaların "karenin içerisindeki bir nokta köşegen üzerindeyse oradaki üç uzunluktan ikisi eşittir" şeklinde ifade ettikleri tekniktir.

Çözümlü Örnek 1 — 45° Böyler ve Açı Hesabı

ABCD bir karedir. Köşegen BD çizildikten sonra karenin C köşesinden başlayıp içeriye 20° açıyla çizilen bir doğru köşegenle kesişiyor. Doğru ile köşegen arasındaki açı kaç derecedir?

1. Köşegen BD, C köşesindeki 90°'yi 45 + 45 olarak böler. C'den kenara 20° açıyla çizilen doğru, kenar ile 20°, köşegen ile (45 − 20) = 25° yapar.
2. Eğer doğru kenarın diğer tarafına 20° yapacak şekilde çizilmişse açı (45 + 20) = 65° olur.
3. Şekil üzerinden konumu belirleyip uygun çıkarma / toplama yap.

Çözümlü Örnek 2 — İkinci Köşegeni Çizme Klasiği

ABCD karesinde E noktası AD kenarı üzerindedir. BD köşegeni çiziliyken AE uzunluğu BD'ye eşittir. B köşesinden E'ye çizilen doğru ile AB kenarının yaptığı açı (α) kaç derecedir?

1. Verilen eşitlik: AE = BD. Ama BD köşegeni ile AE arasında doğrudan geometrik bağlantı yok — ikinci köşegeni çizelim.
2. Karede köşegenler eşit olduğundan AC = BD. Verilen AE = BD ile birleştirildiğinde AC = AE.
3. ACE üçgeninde AC = AE → ikizkenar. Tepe açısı = A'daki köşe açısının ikinci köşegen tarafından bölünen kısmı = 45°.
4. İkizkenar üçgende taban açıları: (180 − 45) / 2 = 67,5°. Buradan α = 67,5 − 45 = 22,5°.

Karede köşegenler yalnızca bir uzunluk ölçüsü değil, aynı zamanda alanı eşit paylaştıran kritik çizgilerdir. Tek bir köşegen alanı 2'ye, iki köşegen beraberce alanı 4'e böler ve her parça eşittir.

Bir Köşegen: Alanı İki Eşit Parçaya

Herhangi bir köşegen (örneğin AC) çizildiğinde kare iki eş dik ikizkenar üçgene ayrılır. Her birinin alanı a² / 2.

İki Köşegen: Alanı Dört Eşit Parçaya

Her iki köşegen birlikte çizildiğinde kare 4 eş üçgene bölünür. Her birinin alanı a² / 4. Bu dört üçgen birbirinin eşidir çünkü:

• Üçünün de bir kenarı karenin yarı köşegeni (eşit uzunlukta),
• Diğer kenarları yine yarı köşegen (eşit uzunlukta),
• Aralarındaki açı 90° (dik kesişim).

Karşılıklı Alanlar Eşitliği — Kare İçindeki Herhangi Bir Nokta

Karenin içinde herhangi bir P noktası işaretle. P'yi karenin dört köşesine birleştir. Bu dört doğru parçası kareyi 4 üçgene böler. Bu dört üçgen sırasıyla A, B, C, D alanlarına sahip olsun (karşılıklı köşelerden isimlendirelim). O zaman:

A + C = B + D (karşılıklı alanların toplamı eşittir)

Bu özellik paralelkenar, dikdörtgen, eşkenar dörtgen ve karede geçerlidir. Karede ayrıca A + B + C + D = a² olur ve A + C = B + D = a² / 2 sonucuna varılır.

Karede Nokta ile Köşeler Arasında Pisagor Bağıntısı

Karenin içindeki herhangi bir P noktası işaretle. P'nin dört köşeye uzaklıkları sırasıyla PA, PB, PC, PD olsun (sıralı köşelerle). O zaman karşılıklı köşe çiftleri için şu eşitlik geçerlidir:

PA² + PC² = PB² + PD²

İspatın özeti: P noktasından kenarlara indirilen diklerden 4 dik üçgen oluşur. Her dik üçgende Pisagor yazılır; toplandığında karşılıklı köşelere uzaklıkların karelerinin toplamı birbirine eşit çıkar.

Çözümlü Örnek — Pisagor Bağıntısı Kullanımı

Bir karenin içinde bir P noktası var. PA = 3, PB = 5, PD = 4 ise PC kaçtır?

1. Karede noktaya karşılıklı köşelerden uzaklıklar için: PA² + PC² = PB² + PD².
2. Yerleştir: 3² + PC² = 5² + 4² → 9 + PC² = 25 + 16 = 41.
3. PC² = 41 − 9 = 32.
4. PC = √32 = 4√2.

Çözümlü Örnek — Köşegenlerle Alan Paylaşımı

Bir kenarı 10 birim olan ABCD karesinin ağırlık merkezi (yani köşegenlerin kesim noktası) O'dur. O'dan köşegenler doğrultusunda çizilen iki doğru kareyi 4 bölgeye ayırıyor ve bir tanesinin alanı bize A + B olarak veriliyor. A + C köşesel karşılıklı alanlar kaç birim karedir?

1. Toplam alan: 10² = 100 birim kare.
2. Köşegenler alanı 4 eşit parçaya böler → her biri 25 birim kare.
3. Mavi ve turuncu karşılıklı ise: A + C = B + D = 50 birim kare (toplam alanın yarısı).
4. Sınav sorusunda fark sorulursa: (A + C) − (B + D) = 0. Fark sorulurken genellikle farklı noktalardan geçen çizgiler verilir.

Karede eşlik (iki üçgenin birebir örtüşmesi) çok sık görülür çünkü karenin tüm kenarları eşittir. Bir üçgenin kenarlarından biri "karenin bir kenarına" eşitse, aynı kenar uzunluğu başka bir yerde de var demektir. Bu prensip, karede soruları çözerken kullanılan temel stratejilerden biridir.

Karede Eşlik Kuralı (A-K-A)

Karenin herhangi iki kenarı eşit olduğu için 90° - karenin kenarı - 90° formatında iki üçgen gördüğünde:

• 90°'lerin karşıları karenin kenarını gördüğü için bu kenarlar otomatik eşittir.
• 90°'nin yanındaki açılar A ve B olsun; A + B = 90°.
• İkinci üçgende aynı 90° var; kalan iki açı A ve B dağılmak zorunda.
• Yani iki üçgende de 90°, A, B açıları vardır → açıları aynı, bir kenarı eşit → eşlik.

Çözümlü Örnek 1 — Bir Açıyı Başka Köşeye Taşıma

ABCD karesinde E noktası BC kenarı üzerinde, F noktası CD kenarı üzerinde. AE ve DF doğruları dik kesişiyor. DF = 4 birim ise AE kaç birimdir?

1. AE ve DF dik; yani AE ⊥ DF.
2. A köşesinde: AE kenarla α açısı yapsın. D köşesinde: DF kenarla β açısı yapsın.
3. AE ve DF'nin kesişim noktasında 90° olması için α + β = 90°.
4. ABE üçgeni (karenin B köşesinden gelen): B noktasında 90°, A'da α, o halde E'de β.
5. DCF üçgeni: C'de 90°, D'de β, o halde F'de α.
6. İki üçgende açılar aynı (90°, α, β) ve 90°'lerin karşıları aynı karenin kenarı (eşit) → eş üçgenler.
7. Eşlikten AE = DF = 4 birim.

Karede Benzerlik — Açı Eşitliği Yetiyor

Eşlik olmayan ama benzerlik görülen durum: iki üçgen açıları aynı, ama kenarları oranlı. Karede bu, genelde bir noktanın kenara olan uzaklığı ile diğer bir noktanın başka kenara uzaklığı üzerinden kurulur.

Kritik fark: Eşlikte karenin kenarı iki üçgende de hipotenüs pozisyonundadır; benzerlikte ise bir üçgen karenin içinde (daha küçük), diğer üçgen kısmen dışarıda (daha büyük) yer alır.

Çözümlü Örnek 2 — Benzerlik ile Kenar Bulma

ABCD karesinde E noktası AB kenarı üzerinde, F noktası BC kenarı üzerinde. DE ⊥ EF. AE = 4, EB = 4 olduğuna göre BF kaç birimdir?

1. Karenin bir kenarı AE + EB = 4 + 4 = 8.
2. ADE üçgeni: A'da 90°, D'de α açısı, E'de β açısı olsun. α + β = 90°.
3. BEF üçgeni: B'de 90°, E'deki açı DE ile kenar arasındadır; DE ⊥ EF olduğundan EF, DE'ye dik → BEF'de E'deki açı α olur.
4. Dolayısıyla F'deki açı β olur. İki üçgende açılar aynı → benzer üçgenler.
5. Benzerlik oranı: ADE'de β'nın karşısı AE = 4, kare kenarı AD = 8. BEF'de β'nın karşısı BF, α'nın karşısı EB = 4.
6. Oran: AE / AD = BF / EB → 4/8 = BF/4 → BF = 2 birim.

Karenin içine ya da kenarına eşkenar üçgen yerleştirildiğinde çok zarif bir açı hesabı ortaya çıkar. ÖSYM bu kombinasyonu özellikle sever çünkü tek bir şekilde hem karenin 90°'si hem de eşkenar üçgenin 60°'si devreye girer. Çıkan ikizkenar üçgenler açı hesabını kolaylaştırır.

Temel Kurgu

ABCD karesi içinde BCE bir eşkenar üçgen olsun (köşeleri karenin iki köşesi ve içeride bir nokta). Karenin kenarı a, eşkenar üçgenin bir kenarı da karenin kenarına eşit çünkü ortak kenar BC = a. Bu kurulumda:

• EB = EC = BC = a (eşkenar üçgenin kenarları).
• EB = a karenin kenarına da eşit, yani EB = AB.
• ABE üçgeni ikizkenar olur (AB = EB = a).

Açı Hesabı — Tepe Açısı 150°

ABE üçgeninin B köşesindeki açı nedir? Karenin iç açısı 90°. Eşkenar üçgen BCE'nin B'deki iç açısı 60°. İkisi ters yönde olursa B'deki kalan açı:

∠ABE = 90° − 60° = 30°     (üçgen içeri doğruysa)

Ama eşkenar üçgen kareden dışarı kurulmuşsa ∠ABE = 90° + 60° = 150° olur. Her iki durumu da soru yönlendirmesine göre karar vermek gerekir.

İkizkenar Üçgenin Taban Açıları

İçeride kurulu senaryoda ABE üçgeninin tepe açısı 30°, taban açıları (eşit):

(180° − 30°) / 2 = 75°

Dışarıda kurulu senaryoda tepe açısı 150°, taban açıları:

(180° − 150°) / 2 = 15°

Çözümlü Örnek — Karede Eşkenar Üçgen + Alfa Bulma

ABCD karesinin BC kenarı üzerinde bir eşkenar BCE üçgeni karenin içine kuruluyor. AE ve DE doğruları çiziliyor. AED açısı (α) kaç derecedir?

1. ABE üçgeninde: AB = EB = a, tepe açısı ∠ABE = 90 − 60 = 30°. Taban açıları: (180 − 30) / 2 = 75°. Yani ∠BAE = ∠BEA = 75°.
2. Simetri gereği aynı hesap DCE üçgeni için de geçerli: ∠CDE = ∠CED = 75°.
3. E noktasındaki tüm açılar toplamı 360°. Eşkenar üçgenin içteki açısı 60°. İki ikizkenar taban açısı ∠BEA + ∠CED = 75 + 75 = 150°.
4. ∠AED = 360 − 60 − 150 = 150°.

Çözümlü Örnek — Katlama + Eşkenar

ABCD bir kare. D köşesinden AE boyunca ve C köşesinden BF boyunca katlanınca D ve C noktaları karenin içinde K noktasında çakışıyor. DK = KC = DC olduğu için DKC eşkenar üçgen olur. α = ∠AKB kaç derecedir?

1. Katlama yapıldığında DK = DC (köşe uzunluğu korunur). Aynı şekilde CK = DC.
2. DK = KC = DC → DKC eşkenar üçgen → ∠DKC = 60°.
3. Katlama sırasında D ve C köşelerindeki 90°'ler karenin içine döndü. Yani ∠AKD = 90° ve ∠BKC = 90°.
4. K etrafındaki tam açı 360°. ∠AKD + ∠DKC + ∠BKC + ∠AKB = 360°.
5. 90 + 60 + 90 + α = 360 → α = 120°.

Karede uzunluk soruları neredeyse her zaman üç araçtan birini (veya birkaçını birden) kullanır: Pisagor teoremi, Öklit bağıntısı ve 90-45-45 özel üçgeni. Bu üçü karenin uzunluk konusunun omurgasıdır.

Araç 1 — Pisagor: a² + b² = c²

Karenin köşelerinden birine giden ya da karenin içinden kenara dikme indirildiğinde oluşan dik üçgenlerde Pisagor her zaman uygulanır. Karenin köşegenini bulmak için Pisagor: a² + a² = d² → d = a√2.

Araç 2 — Öklit: Karenin Dik Üçgenlerine Uygulanır

Bir dik üçgenin dik açısından hipotenüse indirilen dikmenin uzunluğu h, hipotenüsü iki parçaya böler (p ve q). O zaman:

h² = p · q

Kare sorularında karenin bir kenarını hipotenüs kabul ederek Öklit uygulanır.

Araç 3 — 90-45-45 Özel Üçgeni

Karenin köşegenini çizer çizmez iki tane 90-45-45 üçgeni çıkar. Bu üçgenin kenar oranları sabit:

Bilinen	Bilinmeyen	Dönüşüm
45°'nin karşısı a	90°'nin karşısı	a√2
90°'nin karşısı a√2	45°'nin karşısı	a (yani a√2 / √2)
90°'nin karşısı k	45°'nin karşısı	k / √2 = k√2 / 2

Çözümlü Örnek 1 — Öklit ile Kenar Bulma

ABCD karesinde E noktası BC kenarı üzerinde. A köşesinden E'ye çizilen doğrultu, D köşesinden E'ye çizilen doğrultuya E'de dik kesişiyor. BE = 4, EC = 9 ise AE kaç birimdir?

1. AED üçgeninde E'de 90° var → üçgenin hipotenüsü AD yani karenin kenarı.
2. BC = BE + EC = 4 + 9 = 13 → karenin bir kenarı 13 birim.
3. Öklit: E noktasından AD'ye indirilen dikmenin uzunluğu h olsun. (Aslında karenin kenarı BC, bunun paraleli AD. E'den AD'ye olan dikme uzunluğu karenin bir kenarına eşit.)
4. Ancak bu soruda Öklit'i farklı kullanacağız: AE'yi bulmak için A'daki 90°'yi kullan. ABE dik üçgeninde AB = 13, BE = 4. Pisagor: AE² = 13² + 4² = 169 + 16 = 185, AE = √185.
5. Alternatif yol (orijinal transcript yöntemi): ADE üçgeninde dik açı E'de. AD = 13 hipotenüs. E'den AD'ye indirilen dikme tam karenin kenarı boyunca düşer; Öklit h² = BE · EC = 4 · 9 = 36 → h = 6. AE'yi bulmak için A'dan E'ye olan parçaya Öklit uygula: AE² = AB · (AB + karşı parça), diğer hesaplar için kenar parçalanması gerekir.

Çözümlü Örnek 2 — 45°-45° Kullanımı

ABCD karesinin C köşesinden kenarla 75° açı yapacak şekilde bir doğru çizilip A'ya birleştiriliyor. AB = 10 ise karenin çevresi kaç birimdir? Yanlış kurgu — transcript'ten alınmış, AB değil farklı uzunluk verilmişti. Bunun yerine şunu çözelim:

ABCD karesinde köşegen BD çizildikten sonra BD üzerinde bir E noktası var ve A'dan E'ye çizilen doğru BD ile 15° açı yapıyor. AE = 10 ise karenin çevresi kaç birimdir?

1. Köşegen A'daki köşe açısını 45°/45° böler.
2. AE, köşegenle 15° yapıyorsa AE ile AB kenarı arasındaki açı: 45 − 15 = 30°.
3. A köşesinden kenarla 30° açı yapan bir doğru çizelim; AE uzantısı. E noktası köşegen üstünde olduğu için E, karenin iki kenarı arasında bir noktadır.
4. 30° - 60° - 90° özel üçgeninde: 30°'nin karşısı x, 60°'nin karşısı x√3, 90°'nin karşısı 2x. AE = 10'a hangi pozisyonda denk geliyor? Şekil üzerinden doğrulayıp hesap yap.
5. Bu tür sorularda doğrudan kenar için sinüs ya da özel üçgen oranları kullanılır. Çevre = 4·(kenar).

Bu örnekteki hesap şekle bağlıdır ve çözüm için belirli bir çizim gerekir. Sınavda hocanın klasik yöntemi: köşegeni çiz, 45°-45° yakala, özel üçgen oranı uygula.

Çözümlü Örnek 3 — Pisagor ile Kenar Bulma (Katlama)

ABCD karesi biçimindeki kağıt, D ve C köşelerinden AE ve BF boyunca katlanıyor. Sonra D ve C karenin içinde bir K noktasında çakışıyor. DE = 6, BF = 9 ise karenin çevresi kaç birimdir? (2020 TYT tarzı)

1. Katlama simetri demektir. DE'nin uzunluğu KE olur. BF'nin uzunluğu KF olur. K noktası eşkenar üçgenin tepesi olduğundan DE = EK = 6 ve CF = FK = 9.
2. Karenin kenarına x diyelim. AE = x − 6 (çünkü AD = x ve DE = 6). BF = 9 → CF = 9, BC = x, dolayısıyla FC = 9 ve F ile B arası x − 9.
3. Katlamadan sonra K ile kenarlar arasında bir dik üçgen oluşur. Hipotenüs 6 + 9 = 15.
4. 9-12-15 pisagor üçgeni denenir. x = 18 olarak seçilirse 9-12-15 sağlanır.
5. Kontrol: x = 18 → AE = 12, BF = 9. EK = 6, FK = 9 oldukları yönde. Hipotenüs 6+9 = 15. Üçgende dik kenarlar 9, 12; hipotenüs 15 ✓.
6. Çevre = 4 · 18 = 72 birim.

Karenin alanı a² ya da e² / 2 olduğu için alanı sormak demek, genelde bir kenarı ya da köşegeni bulma demektir. Aşağıda TYT'de en sık karşılaşılan pratik teknikler var.

Teknik 1 — Sinüsle Alan

İki kenarı ve aralarındaki açıyı bilen bir üçgenin alanı: (1/2) · a · b · sin θ. Karede bir üçgen oluşturulurken hem kenarlar bilinip hem de açının sinüsü başka bir üçgenden çıkarılabilir. Sinüsün karşı dik kenar / hipotenüs özdeşliği Pisagor üçgenlerinde kolayca kullanılır.

Çözümlü Örnek 1 — ADE Üçgeninin Alanı

ABCD karesinde BC = 10 ve E noktası AB kenarı üzerinde. EB = 4. ADE üçgeninin alanı kaç birim karedir?

1. Karenin kenarı 10. AE = AB − EB = 10 − 4 = 6.
2. ADE üçgeninin A'daki açısı karenin iç açısı olan 90°.
3. Alan: (1/2) · AE · AD = (1/2) · 6 · 10 = 30 birim kare.

Çözümlü Örnek 2 — Özdeşlikle Alanı Bulma

Bir kenarı 10 birim olan bir karenin bir köşesinden çıkan bir doğru karşı kenara bir P noktasında varıyor. P'den kenarlara olan dik mesafeler a ve b birim. Boyalı bölgenin çevresi 44 birim olduğuna göre, boyalı bölgenin alanı kaç birim karedir?

1. Karenin toplam alanı: 10² = 100 birim kare.
2. Boyalı olmayan bölge bir dik üçgen; kenarları a ve b, hipotenüsü karenin kenarı (10).
3. Çevre verildiği için 30 + a + b = 44 → a + b = 14.
4. Üçgenin hipotenüs özelliği: a² + b² = 10² = 100.
5. (a + b)² = a² + 2ab + b² → 14² = 100 + 2ab → 196 = 100 + 2ab → ab = 48.
6. Üçgenin alanı: ab / 2 = 48 / 2 = 24.
7. Boyalı bölge: 100 − 24 = 76 birim kare.

Çözümlü Örnek 3 — Karelerin Alan Toplamı (Pisagor)

Bir dik üçgenin dik kenarları üzerinde iki kare yapılmış. Bu karelerin bir kenar uzunlukları sırasıyla a ve b. Üçgenin hipotenüsü 10 birim. Bu iki karenin alanları toplamı kaç birim karedir?

1. Karelerin alanları: a² ve b².
2. Üçgen dik → Pisagor: a² + b² = 10² = 100.
3. Karelerin alanları toplamı = a² + b² = 100 birim kare.
4. Sorulan şey tam olarak Pisagor eşitliğinin sol tarafı; tek adımda cevap.

Çözümlü Örnek 4 — Kelebek Benzerliği

Büyük bir ABCD karesinin içinde bir K noktasında kesişen iki doğru, kareyi dört bölgeye ayırıyor. Kesişen doğrular karenin karşılıklı kenarlarını birleştiriyor. BK = 4, KE = 12 olduğundan benzerlik oranı 4:12 = 1:3. Alanlar oranı benzerlik oranının karesi: 1:9. Bir boyalı bölgeye a, büyüğüne 9a denir; toplam diğer hesaplarla birleştirildiğinde aranan alan bulunur.

Karenin ağırlık merkezi kenarların orta noktalarından geçen dikmelerin kesişimi ya da köşegenlerin kesim noktasıdır. Karede her iki tanım aynı noktayı verir; bu nedenle "ağırlık merkezi" demek = "köşegenlerin kesim noktası" demek.

Ağırlık Merkezinden Geçen Doğru Özelliği

Kare içinde O ağırlık merkezi olsun. O'dan geçen her doğru kareyi iki eşit parçaya böler (alan olarak). Özellikle O'dan iki karşılıklı kenara çizilen doğrular alanı tam yarılar.

Çözümlü Örnek — Alan Farkı Bulma

ABCD bir kare. O karenin ağırlık merkezi. BC = 10. O'dan çıkan iki doğru O'dan başlayıp iki kenara ulaşıyor ve karenin alanını dört bölgeye ayırıyor. Mavi bölge bir tarafta, turuncu bölge diğerinde. A mavi alan, B turuncu alan olsun ve doğrular tam da köşegenler üstündeyse ne olur?

1. Tüm alan: 10² = 100.
2. Köşegenler alanı 4 eşit parçaya böler; her biri 25 birim kare.
3. Karşılıklı iki parça mavi, diğer ikisi turuncu ise: A = 50, B = 50, fark = 0.
4. Sınav sorusunda fark sıfırdan farklı çıkmak için farklı noktalardan geçen çizgiler gerekir.

Çözümlü Örnek — Mavi Alan ile Sarı Alan Farkı

ABCD karesinde BC = 10. O ağırlık merkezi. O'dan karenin iki köşesine gidecek şekilde bir doğru, karşılıklı iki kenar parçasını keser. Sarı bölgenin alanı A + B, mavi bölgenin alanı 2A + 2B'nin tamamından sarı alanın çıkarılmışı biçiminde ifade edilebiliyor. Sarı alanın tüm alanın 1/4'ü olduğu gösterildiğinde:

1. Sarı alan = 100 / 4 = 25.
2. Mavi alan = 100 − 25 = 75.
3. Mavi − Sarı = 75 − 25 = 50 birim kare.

Kenar Orta Noktalarından Geçen Eşlik

ABCD karesinin bir kenarının orta noktasını M, karşı kenarının orta noktasını N olarak işaretle. M ile N'yi birleştiren doğru ağırlık merkezinden geçer ve kareyi iki eş dikdörtgene böler. Benzer şekilde yanındaki iki kenarın orta noktalarından çekilen başka bir doğru da ağırlık merkezinden geçer ve dikdörtgenleri dört eş kareye böler.

Çözümlü Örnek — Küçük Kareler Oluşturma

Bir kenarı 12 birim olan bir kareyi 4 eşit kareye böldüğümüzde oluşan küçük karelerden birinin alanı kaç birim karedir?

1. Büyük kare kenarı 12 birim.
2. Kenarların orta noktaları kullanılarak 4 eş kareye bölünür → her küçük karenin kenarı 12 / 2 = 6.
3. Bir küçük karenin alanı: 6² = 36 birim kare.
4. Doğrulama: 4 · 36 = 144 = 12² ✓

ÖSYM'nin son yıllarda TYT'de sıkça sorduğu "bir kare kağıdın köşesi / kenarı katlanınca..." soruları aslında simetri üzerine kuruludur. Katlama sırasında hiçbir uzunluk kaybolmaz; sadece yeri değişir.

Katlama Kuralı — İki Temel İlke

1. Uzunluk korunumu: Katlanan kısmın kenar uzunlukları değişmez. DE'nin uzunluğu katlamadan sonra da aynıdır; sadece farklı bir yerde görünür.
2. Açı korunumu: Katlama çizgisi bir simetri eksenidir. Katlanan açı, karşı taraftaki eşdeğeriyle aynı büyüklüktedir.

Çözüm Tekniği — 4 Adımlı Yaklaşım

1. Şekli geri aç: Katlamadan önceki halini çiz. Önce kağıdın düz halini zihinde canlandır.
2. Eş uzunlukları işaretle: Hangi kenar hangisine karşılık geliyor?
3. Eş açıları işaretle: Hangi açı hangisine eş?
4. Pisagor veya benzerlik uygula: Bilinmeyen uzunluğu çöz.

Çözümlü Örnek 1 — Klasik Katlama (Mor Soru 1 tarzı)

ABCD karesi biçimindeki kağıttan AED parçası kesilip AD ve DC kenarları çakışacak şekilde katlanıyor. Katlama sonrası oluşan α açısı kaç derecedir?

1. Katlanan parça ADE. AD ve DC çakıştığı için D'deki iki açı birbirine eş; toplamı 90° yani her biri 45°.
2. α açısı katlama sonrası yeni oluşan bir iç açı. E noktası yeni konumuna taşındığında karenin D köşesinde açılar yeniden dağılır.
3. α = 90°'nin hesabı şekil üzerinden doğrudan okunur; hoca bu tarz soruda "şu açı ile bu açı katlamadan dolayı eş" yaklaşımıyla adım adım ilerler.

Çözümlü Örnek 2 — 2020 TYT Sorusu

ABCD karesinin D ve C köşeleri katlanarak karenin içinde K noktasında çakışıyor. DE = 6, BF = 9 verilmiş. Karenin çevresini bulun.

1. Katlama sonrası DK = DE = 6 ve CK = CF = 9 (uzunluk korunumu).
2. Karenin kenarına x diyelim. AE = x − 6 ve BF = 9.
3. Katlama sırasında EK ve FK dik açıdan gelir → K'de açı 90°.
4. EK = 6, FK = 9, EF = 6 + 9 = 15 (hipotenüs pozisyonundaki parça).
5. EKF üçgeninde EK ve FK dik kenarlar değil — farklı kurgu var. Transcript'te hoca bunu 9-12-15 Pisagor üçgenine eşliyor.
6. Kenar x = 18 olarak seçildiğinde: x − 9 = 9, x − 6 = 12, hipotenüs 15. 9-12-15 doğrulandı.
7. Çevre = 4 · 18 = 72 birim.

Çözümlü Örnek 3 — Eşkenar Üçgen Çakışması

ABCD karesi D ve C köşelerinden AE ve BF boyunca katlandığında D ve C bir K noktasında çakışıyor. Buna göre ∠AKB (α) kaç derecedir?

1. Katlama → DK = DC, CK = DC.
2. DK = CK = DC → DKC eşkenar üçgen → ∠DKC = 60°.
3. Kenarlardaki 90° açılar katlamayla K'ye taşınır: ∠AKD = 90°, ∠BKC = 90°.
4. K etrafındaki tam açı 360°: 90 + 60 + 90 + α = 360 → α = 120°.

Çözümlü Örnek 4 — Bayrak Katlama

ABCD karesinde B köşesi köşegen boyunca katlandığında B noktası B''ye gidiyor. AB = 4 ise AB' kaç birimdir?

1. Köşegen AC, simetri ekseni.
2. AB = 4 karenin kenarı → AB' = 4 (uzunluk korunumu).
3. A köşesinde B ile B' arasındaki açı köşegenin iki kenarına yansımasıyla 45° olur.
4. AB = AB' = 4 ve aralarında 90° → BB' = 4√2.
5. Cevap: 4√2 birim.

ÖSYM'nin 2019 MSÜ (Milli Savunma Üniversitesi) sınavında sorduğu bir kare uygulama sorusu, karede çıkabilecek kombinasyonların güzel bir örneğidir. Hem kağıt katlama mantığı hem de Pisagor üçgeni + sinüsle alan bir arada.

Soru Metni (2019 MSÜ)

Kare biçimindeki bir masanın üzerine kare şeklindeki bir örtü örtülüyor. Masanın köşelerinde bir kenarı 3 birim, diğer kenarı 4 birim olan 4 eş üçgensel bölge açıkta kalıyor. Örtünün bir kenar uzunluğu masanın bir kenar uzunluğundan 6 birim fazla olduğuna göre örtünün masa üzerinde kapladığı bölgenin alanı kaç birim karedir?

Çözüm

1. 3-4-5 Pisagor üçgeni. 3 ve 4 dik kenarlar, 5 hipotenüs. Açıkta kalan üçgenlerin hipotenüsleri 5 birim.
2. Örtünün bir kenarını 7k + 5, masanın bir kenarını 5k + 7 şeklinde yazalım (transcript'teki çözümle uyumlu). k bilinmeyen ölçek parametresi.
3. Veri: Örtü kenarı − Masa kenarı = 6. (7k + 5) − (5k + 7) = 6 → 2k − 2 = 6 → 2k = 8 → k = 4.
4. Masa kenarı: 5·4 + 7 = 27 birim.
5. Masa toplam alanı: 27² = 729 birim kare.
6. Açıkta kalan üçgenler (4 tane): her birinin alanı (3·4) / 2 = 6. Toplam: 4 · 6 = 24.
7. Örtünün masa üzerinde kapladığı alan: 729 − 24 = 705 birim kare.

Çıkmış Soru Kalıpları Özeti

Yıl	Konu / Tarz	Kullanılan Teknik
2019 MSÜ	Kare masa üzerine kare örtü	3-4-5 Pisagor + cebirsel modelleme + toplam - artık alan
2020 TYT	Kare kağıt iki köşeden katlama	Simetri + 9-12-15 Pisagor üçgeni
Genel tarz	Karenin içinde eşkenar üçgen	İkizkenar + açı toplamı (60° + 90° = 150°)
Genel tarz	İkinci köşegen çizme + bağlantı kurma	Köşegenler eşit özelliği + ikizkenar üçgen
Genel tarz	Kare + dik kesişen doğrular	90° + α + β = 180° ile eşlik / benzerlik

Not (YKS 2019): YKS 2019 sınavında yanlış cevap, doğruyu götürmemiştir (yani yanlış götürmez kuralı uygulanmıştır). Dolayısıyla o yılki MSÜ geometri sorularını rahat işaretlemek mümkündü. Ancak bu durumun farkında ol: her yıl "yanlış götürmez" değildir; sınav duyurusunu kontrol et.

TYT'de kare sorularında öğrencilerin en çok yaptığı hataları ve çözümleri burada derledik. Bu tuzakların her birinin farkında olmak tek başına sana birkaç net kazandırır.

Tuzak 1 — Köşegen Uzunluğunu Yanlış Hatırlama

Öğrenciler köşegeni a · 2 veya 2a olarak yazıyor. Doğrusu: a√2. Bunu unutmamanın yolu 90-45-45 üçgeninin oranını bilmektir: 1 : 1 : √2.

Tuzak 2 — Köşegenler Toplamı Çevreye Eşit mi?

Hayır! Karenin çevresi 4a, iki köşegenin toplam uzunluğu 2a√2 ≈ 2,83a. 4a'dan küçük. Sadece a = 0'da eşit olur (ki bu kare değil).

Tuzak 3 — Alan Formülünü Köşegenle Karıştırmak

a² ve e² / 2 iki farklı formüldür. Bunlar birbiri yerine kullanılamaz. Soruda kenar verildiyse a², köşegen verildiyse e² / 2 kullan.

Tuzak 4 — Karenin Sadece "Özel Bir Dikdörtgen" Olduğunu Unutmak

Öğrenciler bazen "kare = eşkenar dörtgen" ilişkisini görmez. Oysa kare hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgendir. Soruda "ABCD bir dikdörtgen" diye başlayıp daha sonra "tüm kenarları eşit" ifadesi gelirse bu aslında karedir; dikdörtgen özellikleri + eşkenar dörtgen özellikleri aynı anda kullanılır.

Tuzak 5 — Köşegenler Birbirine Eşit + Dik + Ortalar, Hepsi Bir Arada

Eşkenar dörtgenin köşegenleri dik kesişir ama eşit değildir. Dikdörtgenin köşegenleri eşittir ama dik kesişmez. Sadece karede üçü birden vardır: eşit + dik + ortalar. Soruda "köşegenleri eşit ve dik kesişiyor" ifadesi varsa bu şekil karedir.

Tuzak 6 — Katlama Uzunluğu Değişiyor Sanmak

Katlama uzunlukları korur. DE uzunluğu katlamadan önce 6 ise sonra da 6'dır. Öğrenciler bazen "katlanınca kısaldı mı?" diye düşünüyor; hayır, konum değişir, uzunluk değişmez.

Tuzak 7 — Kenar Uzunluğunu Negatif Bulmak

İkinci dereceden denklem çözdüğünde iki kök çıkar (x = 4, x = -4). Kenar uzunluğu pozitif olmalı, negatifi at. Benzer şekilde x = 0 da kare vermez.

Tuzak 8 — √(a²) = a Yanılgısı

Doğrusu: √(a²) = |a|. Eğer a pozitifse a, negatifse −a. Karede kenar pozitif olduğundan doğrudan a olarak kullanılabilir; ama genel soruda |a| yazmayı unutma.

Tuzak 9 — Kenar Verilmeyince Alan Bulunamaz Sanma

Alan sadece kenarla değil, köşegenle de bulunur: e² / 2. Soru "köşegeni 10 olan karenin alanı nedir?" derse direkt 10² / 2 = 50.

Tuzak 10 — Karenin İçindeki Nokta + Köşelere Uzaklıklar

Karenin içindeki bir P noktasından dört köşeye uzaklıklar a, b, c, d. Pisagor bağıntısı karşılıklı köşe çiftleri üzerinden yazılır: a² + c² = b² + d². Yan yana köşeler için bu eşitlik çalışmaz.

Tuzak 11 — 90° + 60° Yerine 90° − 60° Hesabı

Karede eşkenar üçgen ortaya çıktığında (BCE içeri doğru) ikizkenar üçgenin tepe açısı 90 − 60 = 30°. Üçgen dışarı kurulu ise 90 + 60 = 150°. Yönü karıştırmamak için şeklin dışı mı içi mi olduğunu netleştir.

Kare konusunun tamamını bitirdikten sonra soruları hızlı çözmek için bir karar ağacı oluşturmak lazım. Soruyu okuduğunda önce hangi tekniği uygulayacağını 10 saniye içinde belirle.

Karar Ağacı — Soru Türüne Göre Teknik Seçimi

Sorunun Verdikleri	Aranması Gereken	İlk Refleks
Kenar verildi, alan sorulu	Alan	a² yaz, bitti
Köşegen verildi, alan sorulu	Alan	e² / 2 yaz, bitti
Alan verildi, çevre sorulu	Çevre	a = √A, sonra 4a
Tek bir iç açı verildi	Başka bir açı	Köşegeni çiz, 45°-45° kuralı
Kenarda iki farklı parça + dik doğrular	Uzunluk	Karede eşlik (A-K-A) uygula
Karenin içinde bir nokta + iki uzaklık	Üçüncü / dördüncü uzaklık	PA² + PC² = PB² + PD²
60° ya da eşkenar üçgen ifadesi	Açı	İkizkenar 150° / 30° açı tabanı hesabı
İki bağımsız uzunluk eşit verilmiş	Açı / uzunluk	İkinci köşegeni çiz → köşegenler eşit → bağlantı
Kağıt katlama	Uzunluk / açı	Simetri: uzunluk + açı koru; eş parçaları işaretle
Ağırlık merkezi geçiyor	Alan	Alanı 4 eşit parçaya böl: A = a² / 4
Boyalı alanın çevresi verilmiş	Alan	Özdeşlik (a+b)² = a² + 2ab + b² + Pisagor
Kelebek şekli (iki doğru X tipi)	Alan / uzunluk	Benzerlik oranı k, alan oranı k²

5 Altın Refleks

1. Açı sorusu ve köşegen verilmemiş: Köşegen çiz, 45°-45° açıları işaretle.
2. İki bağımsız uzunluk eşit: İkinci köşegeni çiz, ikizkenar üçgen yakala.
3. Kağıt katlama: Kağıdı zihinde geri aç, eş uzunlukları işaretle.
4. Dik doğrular + karenin kenarı: Eşlik yap (90° + A + B = 180° üçgen yapısı).
5. Boyalı bölgenin çevresi: Özdeşlik + Pisagor ile a² + b² ve ab ayrı ayrı bul.

Zaman Yönetimi (TYT için)

TYT'de bir kare sorusuna ortalama 90-120 saniye ayırabilirsin. Bu zamanı üçe böl:

• 0-30 sn: Soruyu oku, verilenleri işaretle, stratejini seç.
• 30-75 sn: Çözüm: ikinci köşegen çiz / Pisagor yaz / özdeşlik uygula.
• 75-90 sn: Sağlamayı yap, işaretle.

90 saniye içinde çözemiyorsan pas geç — geri dönersin. Dört bağımsız tekniği birden gerektiren sorular TYT'de nadirdir; genelde 1-2 tekniğin bileşimiyle çözülür.

Kare konusunun tamamını sınav öncesi son tekrar için derlediğimiz tek sayfalık özet. Bu tablo yedek bellek; bakıp hatırlarsın ama ezberlemek yerine anlamak esastır.

Temel Formüller

Büyüklük	Formül	Not
Çevre	4a	Tüm kenarlar eşit
Alan (kenarla)	a²	Kenar verildi
Alan (köşegenle)	e² / 2	Köşegen verildi
Köşegen	a√2	90-45-45 üçgeninden
İki köşegen dik açı	90°	Eşkenar dörtgen özelliği
İki köşegen eşit	d₁ = d₂	Dikdörtgen özelliği
Köşegen → köşe açısı	45°/45°	90°'yi ikiye böler
İç çember yarıçapı	a / 2	Kenarların orta noktasına
Çevrel çember yarıçapı	a√2 / 2	Köşegenin yarısı
İç açı	90°	Her bir köşe
İç açıların toplamı	360°	Dörtgen olduğu için
Pisagor (iç nokta)	PA² + PC² = PB² + PD²	Karşılıklı köşeler
Kenar orta noktalarıyla kare	Yeni kenarı a√2 / 2	Küçük kare, eski karenin yarı alanı
90-45-45 oranı	1 : 1 : √2	Karenin temeli

Somut Değerler Tablosu (a birim)

a	Çevre	Alan	Köşegen	İç Çember R
2	8	4	2√2	1
3	12	9	3√2	1,5
4	16	16	4√2	2
5	20	25	5√2	2,5
6	24	36	6√2	3
10	40	100	10√2	5
12	48	144	12√2	6
13	52	169	13√2	6,5

Pisagor Üçgenlerinin Karede Kullanımı

ÖSYM kare sorularında sık sık şu Pisagor üçgenlerini kareye yerleştirir:

• 3-4-5: Küçük karelerde klasik. 2019 MSÜ sorusu bu üçgeni kullandı.
• 5-12-13: Orta boy kare sorularında sık.
• 6-8-10: 3-4-5'in iki katı; köşegenle birlikte geliyor.
• 9-12-15: 3-4-5'in üç katı; 2020 TYT katlama sorusunda kullanıldı.
• 8-15-17: Daha seyrek; büyük karelerde.
• 7-24-25: Nadir; özel geometri sorularında.