DGS Matematik Temel Kavramlar

DGS Matematik bölümünün kalbinde temel kavramlar yer alır. Sayı kümeleri, bölünebilme, asal sayılar ve mutlak değer gibi başlıklar tek başına soruyla karşımıza çıktığı gibi; problem, denklem, geometri ve fonksiyon sorularının da altyapısını oluşturur. Bu konuyu sağlam kavramayan bir aday, ileri matematik konularında zincirleme zorlanır.

Bu konuda ele alınacak başlıklar üç kategoride toplanabilir:

• Sayı tanıma kavramları: Sayı kümeleri, tek-çift, asal, ardışık.
• Sayı analiz kavramları: Basamak çözümlemesi, bölme-bölünebilme, faktöriyel.
• Sayı manipülasyon kavramları: EBOB-EKOK, rasyonel sayılar, mutlak değer.

Sınav sorularının çoğu birden fazla kavramı aynı anda kullanır. Örneğin bir asal sayı sorusu basamak kavramıyla; bir EBOB-EKOK sorusu rasyonel sayılarla; bir mutlak değer sorusu eşitsizlikle iç içe gelebilir. Bu nedenle konular birbirinden bağımsız değil, birbirini tamamlayan parçalar olarak öğrenilmelidir.

İlerleyen bölümlerde her kavram tanım, kural, formül ve örnekle ele alınacak; ayrıca DGS ve ALES'te en çok tuzağa düşürülen noktalar uyarı kutularıyla vurgulanacaktır.

Sınavda 5 Saniye Hatırlatma — Akronimler

Matematikte sayılar belirli kümelere ayrılır. Bu kümelerin içerdiği sayıları ve birbirleriyle olan ilişkilerini bilmek, sayı türü sorularının temelini oluşturur.

Doğal Sayılar (N)

Sıfır ve pozitif tam sayılardan oluşur: N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Negatif sayı, kesir veya ondalık değer içermez. Sayma işleminin temelidir.

Tam Sayılar (Z)

Pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ve sıfırın oluşturduğu kümedir: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Almancada "Zahlen" (sayı) kelimesinden Z harfi gelir.

Rasyonel Sayılar (Q)

a/b biçiminde yazılabilen, paydası sıfırdan farklı olan sayılardır. Q = { a/b | a, b ∈ Z, b ≠ 0 }. Tüm tam sayılar (paydası 1 olan kesirler) aynı zamanda rasyoneldir. 0,5 = 1/2; -3 = -3/1; 0,333... = 1/3 örnekleridir.

İrrasyonel Sayılar (Q')

Pay/payda biçiminde yazılamayan, virgülden sonraki kısmı ne biten ne de tekrar eden sayılardır. π, e, √2, √3, √5 klasik irrasyonel örnekleridir. √9 = 3 olduğu için irrasyonel değildir; ancak √7 dışarı çıkamadığından irrasyoneldir.

Gerçel Sayılar (R)

Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşiminden oluşan en geniş sayı kümesidir. Sayı doğrusu üzerindeki her noktaya bir gerçel sayı karşılık gelir.

Tek-çift sayı kavramı geçmiş yıl DGS sınavlarında neredeyse her yıl bir soruyla karşımıza çıkan ve doğru tekniklerle hızlı çözülebilecek bir başlıktır. Birler basamağı 0, 2, 4, 6 veya 8 olan sayılar çift; 1, 3, 5, 7, 9 olanlar tek sayıdır.

Toplama-Çıkarma Kuralları

İki tam sayı için:

• Tek + Tek = Çift, Tek - Tek = Çift
• Çift + Çift = Çift, Çift - Çift = Çift
• Tek + Çift = Tek, Tek - Çift = Tek

Pratik kural: Türler aynıysa sonuç çift, farklıysa sonuç tektir.

Çarpma Kuralları (Çok Önemli)

• Tek × Tek = Tek
• Çift × Çift = Çift
• Tek × Çift = Çift

Çarpımda tek bir çift çarpan bile sonucu çift yapar. Tersi de geçerli: bir çarpım tek ise içerdiği tüm çarpanlar tek olmak zorundadır.

Üs (Kuvvet) Durumu — Üç Ayrı Senaryo

Yorum sorularında üssün hangi sayı kümesinde olduğu, sonucun tek/çift yorumunu doğrudan değiştirir. Üç senaryo ayrı ele alınmalıdır:

Pratik özet: üssü pozitif tam sayı ise tabanın tek/çift olma durumu kuvvetle değişmez (tek sayının her pozitif tam kuvveti tek; çift sayının her pozitif tam kuvveti çifttir). Doğal sayı ise tek tabanın sonucu yine tektir; ancak çift tabanlar 0. kuvvette sonuç 1 (tek) verir, dikkat. Herhangi bir tam sayı denirse negatif üs nedeniyle ifade kesir olabilir; tek/çift için önce ifadenin tam sayı olduğu kanıtlanmalıdır.

İşaret İncelemesi

Çarpma ve bölmede işaret kuralı: aynı işaretliler pozitif, farklı işaretliler negatif sonuç verir. Pozitif sayının her kuvveti pozitif; negatif sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir. Örneğin (-2)⁴ = +16, (-2)³ = -8.

Ardışık sayılar, artış miktarı sabit olan sayı dizileridir. Ardışık sayılar konusu hem tek başına soru olarak hem de problem ve denklem sorularının altyapısı olarak DGS'de önemli yer tutar.

Ardışık Sayı Türleri

• Ardışık tam sayılar: n, n+1, n+2, ... (artış miktarı 1)
• Ardışık tek sayılar: n, n+2, n+4, ... (n tek, artış 2)
• Ardışık çift sayılar: n, n+2, n+4, ... (n çift, artış 2)
• Genel ardışık dizi: Artış miktarı sabit her dizi (örneğin 2, 5, 8, 11... → artış 3)

Terim Sayısı Formülü

Ardışık bir dizide kaç sayı olduğunu bulmak için:

Terim Sayısı = (Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı + 1

Örnek: 2, 5, 8, ..., 32 dizisinde terim sayısı = (32-2)/3 + 1 = 30/3 + 1 = 11'dir.

Ortadaki Terim ve Toplam

Ardışık dizide ortadaki terim, baş ve son terimin aritmetik ortalamasıdır:

Orta Terim = (İlk + Son) / 2

Toplam ise:

Toplam = Terim Sayısı × Orta Terim

Örnek (2, 5, 8, ..., 32): Orta terim = (2+32)/2 = 17, Toplam = 11 × 17 = 187.

Klasik Gauss Formülü

1'den n'e kadar ardışık doğal sayıların toplamı:

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

Örnek: 1+2+...+100 = 100·101/2 = 5050.

Diğer Önemli Formüller

• İlk n çift sayı toplamı: 2 + 4 + ... + 2n = n(n+1)
• İlk n tek sayı toplamı: 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n²
• İlk n karenin toplamı: 1² + 2² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6

"Fark Sabit" Tekniği — Sayı Atayarak Çözüm

Ardışık sayılarda iki sayının farkı, üçüncü sayının farkı, dört ardışık sayının farkları gibi tüm fark ifadeleri sabittir. Yani harflerin gerçek değerinden bağımsız olarak farklar değişmez. Bu özellik, soruda yalnızca farklar (örn. a − b, (a + c)/(b − a)) sorulduğunda harf yerine sayı atayarak hızlı çözüm yapmaya izin verir.

Örnek: a, b, c ardışık çift sayılarsa (c − a)/(b − a) ifadesi her zaman 2'ye eşittir. a = 2, b = 4, c = 6 → (6−2)/(4−2) = 4/2 = 2. a = 100, b = 102, c = 104 → (104−100)/(102−100) = 4/2 = 2. Sonuç sabit; çünkü ardışık çift sayılarda c−a = 4 ve b−a = 2 her seferinde aynı kalır. Aynı mantıkla a − 2b + c ifadesi her zaman 0 olur (100−204+104 = 0, 2−8+6 = 0); fark sabit teknik bu tür özdeşlikleri ortaya çıkarır.

Önemli sınır: Bu teknik yalnızca farklar sorulduğunda kullanılır. Soru "a + b + c kaçtır?" gibi sayıların kendi büyüklüğüne bağlı bir cevap istiyorsa rastgele atama yapılamaz; bilgi denkleminden harf değeri çözülür.

Faktöriyel, bir doğal sayının kendisinden başlayarak 1'e kadar olan tüm pozitif tam sayılarla çarpımıdır. n! sembolüyle gösterilir.

Tanım ve Özellikler

Pozitif tam sayı n için:

n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 3 × 2 × 1

• 0! = 1 (özel tanım)
• 1! = 1
• 2! = 2 · 1 = 2
• 3! = 3 · 2 · 1 = 6
• 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
• 5! = 120
• 6! = 720
• 7! = 5040

Önemli Bağıntı

n! = n × (n-1)!

Bu özyinelemeli yapı, sadeleştirme yaparken çok kullanışlıdır.

Faktöriyel Sadeleştirme Tekniği

İki faktöriyelin oranı sorulduğunda büyük olan faktöriyeli, küçük olana benzeyecek şekilde aç ve sadeleştir.

Örnek: 20! / 18!'yi hesaplayın.

20! = 20 · 19 · 18! olduğundan, 20!/18! = 20 · 19 · 18! / 18! = 20 · 19 = 380.

Pratik kural: a! / b! (a > b) sadeleştirmesinde sonuçta b'den sonraki çarpanlar kalır.

• 6!/3! → 3'ten sonraki çarpanlar = 4 · 5 · 6 = 120
• 7!/4! → 4'ten sonraki çarpanlar = 5 · 6 · 7 = 210
• 8!/6! → 6'dan sonraki çarpanlar = 7 · 8 = 56

Toplama-Çıkarmada Parantez Tekniği

n! ± m! biçimindeki ifadelerde küçük olan faktöriyel paranteze alınır.

Örnek: 7! - 6! = 6!(7 - 1) = 6! · 6 = 720 · 6 = 4320

Örnek: (7! + 6!) / 5! = 5!(6·7 + 6) / 5! = 42 + 6 = 48

Basamak çözümlemesi, çok basamaklı sayıları rakamlarının basamak değerleri cinsinden ifade etme işlemidir. DGS'de neredeyse her yıl en az bir basamak sorusu gelir.

Basamak Değeri ve Sayı Değeri

• Sayı değeri: Rakamın kendisi. 237'deki 2'nin sayı değeri 2'dir.
• Basamak değeri: Rakam × bulunduğu basamağın değeri. 237'deki 2'nin basamak değeri 200'dür.

Çözümleme Yöntemi

Bir sayının her rakamı bulunduğu basamağın değeriyle çarpılır:

• İki basamaklı AB sayısı: AB = 10A + B
• Üç basamaklı ABC sayısı: ABC = 100A + 10B + C
• Dört basamaklı ABCD: 1000A + 100B + 10C + D

Çözümleme Örnekleri

İki rakamın yer değiştirmesi gibi klasik kalıplar şu şekilde sadeleştirilir:

• AB + BA = 11A + 11B = 11(A + B)
• AB - BA = 9A - 9B = 9(A - B)
• ABC + CBA = 101A + 20B + 101C = 101(A+C) + 20B
• ABC - CBA = 99(A - C)
• AAA = 111A, BBB = 111B

Aynı Rakamların Farklı Basamaklarda Toplamı

aba sayısında a iki kere yer alır: 100a + 10b + a = 101a + 10b. Bu tip sorularda her harfin tüm basamaklardaki katkıları toplanarak parantez içine alınır.

Benzetme Tekniği — Hızlı Çözümleme

İki sayıdan birinin diğerine "katsayı" şeklinde bağlandığı sorularda (örneğin "3 basamaklı 4AB sayısı, 2 basamaklı AB sayısının 17 katıdır") tek tek 100A + 10B çözümlemesi yerine benzetme daha hızlıdır. Yöntem iki temel kurala dayanır:

• Baştaki rakam çıkarma: n basamaklı bir sayıdan baştaki tek rakam çıkarılırsa, o rakamın basamak değerini ayrı yaz, kalanı olduğu gibi bırak. Örneğin 4AB sayısında 4'ü ayır: 4AB = 400 + AB.
• Sondaki rakam çıkarma: Sondaki rakamı ayırdığında geride kalan kısmın sonu sıfır olur, bu da 10 ile çarpıma eşittir. Örneğin AB4 sayısında 4'ü ayır: AB4 = 10·AB + 4. Aynı mantık ABC4 = 10·ABC + 4 ile devam eder.

Örnek: 4AB sayısı, AB sayısının 17 katı ise AB kaçtır?

Klasik çözüm: 100·4 + 10A + B = 17·(10A + B) → 400 + 10A + B = 170A + 17B → 400 = 160A + 16B → 25 = 10A + B → AB = 25.

Benzetme çözümü: 4AB = 400 + AB ve 17·AB ifadeleri eşit; AB ortak terim olarak hareket eder: 400 + AB = 17·AB → 400 = 16·AB → AB = 25. Tek satırda biter.

Üç içine geçmiş benzer durum: 3AB2 sayısını AB cinsinden yazalım. AB iki basamağı şu şekilde gömülü: 3 _ _ 2 → 3AB2 = 3000 + AB·10 + 2 = 3002 + 10·AB. Eğer AB'ye x denirse 3AB2 = 3002 + 10x olur ve sınav denklemi tek satırda yazılır.

Sınır Değer Soruları (En Büyük / En Küçük Basamaklı Sayılar)

"Üç basamaklı en büyük tek sayı 999, iki basamaklı en küçük çift sayı 10" gibi kalıplar DGS'nin klasiğidir. En büyük çift sayı ile en küçük tek sayı arasındaki ilişkilere dikkat: üç basamaklı en küçük tek sayı 101, en büyük çift sayı 998'dir.

Bölme, dört temel işlemin son halkasıdır ve DGS'de hem doğrudan hem de bölünebilme, kalan, EBOB-EKOK, modüler aritmetik gibi türev konuların altyapısı olarak yer alır.

Bölme Algoritması

Bir tam sayı (bölünen) D, sıfırdan farklı bir bölen b'ye bölündüğünde tek bir bölüm q ve tek bir kalan r elde edilir:

D = b · q + r,   0 ≤ r < b

Örnek: 23'ü 5'e böldüğümüzde 23 = 5·4 + 3 olur. Bölüm 4, kalan 3, kalan koşulu 0 ≤ 3 < 5 sağlanır.

Tam Bölünme

Kalan sıfır ise (r = 0) "D, b'ye tam bölünür" denir. Bu durum D = b·q biçiminde yazılabilir ve b, D'nin bir çarpanı; D, b'nin bir katıdır.

Kalan Aritmetiği (Modüler Aritmetik Temeli)

Bir sayı b'ye bölündüğünde alabilecek kalanlar 0, 1, 2, ..., (b-1) değerleridir. Yani b kadar farklı kalan mümkündür.

• 5'e bölündüğünde olası kalanlar: 0, 1, 2, 3, 4
• 7'ye bölündüğünde olası kalanlar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
• 4'e bölündüğünde olası kalanlar: 0, 1, 2, 3

Sayının Yerine Kalanını Kullanma

Modüler aritmetiğin temel ilkesi: bir bölme sorgusunda sayının kendisi yerine kalanını kullanabilirsin.

Örnek: K'nın 4'e bölümünden kalan 2, L'nin 4'e bölümünden kalan 3 ise K + L'nin 4'e bölümünden kalanı bulmak için 2 + 3 = 5; 5'in 4'e bölümünden kalan 1 olur.

Negatif Sayılarda Kalan

Matematiksel tanım gereği kalan daima 0 ile bölen-1 arasında negatif olmayan bir sayıdır. -7'yi 3'e böldüğümüzde sıradan görüntü kalan -1 gibi gözükse de, -7 = 3·(-3) + 2 yazımıyla gerçek kalan 2 olur.

Bölünebilme kuralları, bir sayının belirli bölenlere tam bölünüp bölünmediğini doğrudan bölme yapmadan anlamanın hızlı yollarıdır. DGS'de hem soru olarak hem de işlem hızını artıran araç olarak değerlidir.

Bileşik Bölünebilme Kuralı

Bir sayı m·n'ye bölünmek için (m, n aralarında asal) hem m'ye hem n'ye bölünmelidir.

• 12 = 4 · 3 → Hem 4'e hem 3'e bölünmeli (4 ve 3 aralarında asal)
• 15 = 3 · 5 → Hem 3'e hem 5'e bölünmeli
• 18 = 2 · 9 → Hem 2'ye hem 9'a bölünmeli

11 ile Bölünebilmenin Kısa Yolu

Sayının rakamları sondan başlayarak alternatif olarak +/- ile toplanır; sonuç 11'in katı (veya 0) ise sayı 11'e tam bölünür.

Örnek: 4928 için 8 - 2 + 9 - 4 = 11 → 4928 = 11 · 448, tam bölünür.

Asal sayı, 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan, 1'den büyük doğal sayıdır. Asal sayılar tüm sayıların yapı taşlarıdır; aritmetiğin temel teoremine göre 1'den büyük her doğal sayı, asal sayıların çarpımı olarak tek bir biçimde yazılabilir.

Asal Sayılar (50'ye Kadar)

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Önemli Gözlemler

• 2, tek çift asal sayıdır. Diğer tüm asallar tek sayıdır.
• 1, asal değildir (yalnız bir böleni vardır: kendisi).
• 0, asal değildir (negatif olmayan tam sayı tanımı dışında).
• Negatif sayılar asal değildir (asallık pozitif tam sayılar için tanımlıdır).

Bir Sayının Asal Olup Olmadığını Anlama

n sayısının asal olup olmadığını kontrol etmek için 2'den √n'e kadar olan asal sayılarla bölmeye çalış. Hiçbiri tam bölmüyorsa n asaldır.

Örnek: 97 asal mıdır? √97 ≈ 9,8 → 2, 3, 5, 7 asallarına böl. 97/2, 97/3, 97/5, 97/7 hiçbiri tam değil → 97 asaldır.

Asal Çarpanlara Ayırma

1'den büyük her sayı, asal çarpanların çarpımı olarak yazılır. Yöntem: en küçük asal sayıdan başlayarak böl, kalmayana kadar devam et.

• 60 = 2 · 30 = 2 · 2 · 15 = 2² · 3 · 5
• 360 = 2³ · 3² · 5
• 504 = 2³ · 3² · 7

Pozitif Bölen Sayısı Formülü

n = p₁^a · p₂^b · p₃^c ... biçimindeyse n'in pozitif bölen sayısı:

(a+1) · (b+1) · (c+1) ...

Örnek: 60 = 2² · 3 · 5 → bölen sayısı (2+1)(1+1)(1+1) = 3·2·2 = 12'dir.

Eratosthenes Eleği (Yöntem)

Belirli bir aralıktaki tüm asalları bulmak için: 2'den n'e kadar yaz, 2'nin kendisi dışındaki katlarını üstünü çiz, sonra 3 için aynı, sonra 5 için aynı... √n'e kadar süreci tekrarla. Geriye asallar kalır.

EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat) iki veya daha fazla pozitif tam sayının ortak özellikleridir. DGS'de EBOB-EKOK her yıl en az bir doğrudan soruyla ve birçok problemin altyapısı olarak gelir.

Tanımlar

• EBOB(a, b): Hem a'yı hem b'yi tam bölen pozitif tam sayıların en büyüğü. OBEB olarak da yazılır.
• EKOK(a, b): Hem a'nın hem b'nin pozitif katı olan en küçük doğal sayı. OKEK olarak da yazılır.

Asal Çarpanlarla Bulma

Sayıları asal çarpanlara ayır:

• EBOB: Ortak asal çarpanların en küçük üslü hali alınır.
• EKOK: Tüm asal çarpanların en büyük üslü hali alınır (ortak olmayanlar dahil).

Örnek: 12 ve 18 için

• 12 = 2² · 3
• 18 = 2 · 3²
• EBOB(12, 18) = 2¹ · 3¹ = 6
• EKOK(12, 18) = 2² · 3² = 36

Bölme Tablosu Yöntemi

Sayıları yan yana yazıp en küçük asaldan başlayarak böl:

• EBOB için: Sadece her ikisini birden bölen asallarla devam et. Sol sütundakileri çarp.
• EKOK için: En az bir tanesini bölen her asalla devam et (bölünmeyen aynen yazılır). Sol sütundakileri çarp.

Önemli Özellikler

EBOB(a, b) · EKOK(a, b) = a · b

İki sayının çarpımı, EBOB ile EKOK çarpımına eşittir. Bu özellik, biri verilip diğeri sorulan problemlerde altın anahtardır.

• EBOB(a, b) ≤ a, b (EBOB daima sayılardan küçük veya eşittir)
• EKOK(a, b) ≥ a, b (EKOK daima sayılardan büyük veya eşittir)
• a, b'nin katı ise: EBOB(a, b) = b, EKOK(a, b) = a
• a ve b aralarında asal ise: EBOB(a, b) = 1, EKOK(a, b) = a · b

Klasik Problem Tipleri

• EBOB problemi: "Aynı boyda en büyük kareler ne büyüklükte" türü sorularda EBOB.
• EKOK problemi: "İki periyot kaç günde bir aynı anda gerçekleşir" türü sorularda EKOK.
• Yan yana sıralama: İki kümeyi bölmeden eşit gruplara ayırma → EBOB.
• Buluşma: Periyodik olayların ilk birlikte tekrarı → EKOK.

Rasyonel sayılar, a/b biçiminde yazılabilen ve paydası sıfırdan farklı sayılardır. DGS'de rasyonel sayılarda dört işlem, sadeleştirme, sıralama ve ondalık dönüşümleri sıkça sorulur.

Dört İşlem Kuralları

Toplama-Çıkarma: Paydalar eşit değilse paydaları eşitle (EKOK kullan), sonra payları topla/çıkar.

a/b ± c/d = (ad ± bc) / (bd)

Örnek: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6

Çarpma: Paylar payla, paydalar paydayla çarpılır.

a/b · c/d = (ac) / (bd)

Örnek: 2/3 · 4/5 = 8/15

Bölme: Birinci kesir aynen, ikinci kesir ters çevrilir; çarpma yapılır.

a/b ÷ c/d = (a/b) · (d/c) = (ad) / (bc)

Örnek: 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 · 5/2 = 15/8

Sadeleştirme

Pay ve paydanın ortak çarpanına bölerek kesri en sade biçime indir. Örnek: 12/18 → EBOB(12,18) = 6 → 12/18 = (12÷6)/(18÷6) = 2/3.

Tam Kesirli Yazım

Bileşik kesirler tam sayılı kesirler biçiminde yazılır:

Örnek: 17/5 = 3 tam 2/5 (çünkü 17 = 5·3 + 2)

Ondalık Sayı Dönüşümü

Kesir → Ondalık: Pay paydaya bölünür. 3/4 = 0,75; 1/3 = 0,333... (devirli)

Ondalık → Kesir: Virgülden sonraki rakam sayısına göre 10, 100, 1000... payda yapılır.

• 0,3 = 3/10
• 0,75 = 75/100 = 3/4
• 0,125 = 125/1000 = 1/8

Devirli Ondalık Sayılar

Bir devirli ondalık sayı a, bcd̄ biçimindeyse (devir kısmı d ise):

Tüm sayı - devir öncesi sayı / 9'lar ve 0'lar

Örnek: 0,3̄ = 3/9 = 1/3;   0,16̄ = (16-1)/90 = 15/90 = 1/6

Sıralama

Pozitif rasyonel sayılarda paydası eşitle, payı büyük olan büyüktür. Negatiflerde tersi geçerlidir (mutlak değeri büyük olan küçüktür).

• 1/2 ile 2/3 karşılaştırma: 3/6 ile 4/6 → 2/3 büyüktür.
• -1/3 ile -1/4: -1/3 daha küçüktür (mutlak değer 1/3 > 1/4).

Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusu üzerindeki sıfıra olan uzaklığıdır. Sayının işaretinden bağımsız, daima negatif olmayan bir değerdir. |x| sembolüyle gösterilir.

Tanım

|a| = a,   eğer a ≥ 0   ;   |a| = -a,   eğer a < 0

Örnekler:

• |5| = 5
• |-7| = 7
• |0| = 0
• |-3,2| = 3,2

Temel Özellikler

Mutlak Değerli Denklem Çözümü

|x| = a (a ≥ 0) denkleminin çözümü x = a veya x = -a'dır. a < 0 ise çözüm kümesi boş kümedir.

Örnek: |x - 3| = 5 → x - 3 = 5 ya da x - 3 = -5 → x = 8 ya da x = -2 → Çözüm = {-2, 8}

Mutlak Değerli Eşitsizlik Çözümü (Basit Eşitsizlikler ile İlişki)

Basit eşitsizlikler kavramı (a < b, a ≤ b vb.) mutlak değerli ifadelerle birleştiğinde aralık çözümleri üretir:

• |x| < a (a > 0): -a < x < a, çözüm aralık (-a, a)
• |x| > a (a > 0): x < -a veya x > a, çözüm (-∞, -a) ∪ (a, ∞)
• |x| ≤ a: -a ≤ x ≤ a
• |x| ≥ a: x ≤ -a veya x ≥ a

Örnek: |x - 2| ≤ 3 → -3 ≤ x - 2 ≤ 3 → -1 ≤ x ≤ 5

Önemli kural: Basit eşitsizliği negatif bir sayıyla çarpıp böldüğünüzde eşitsizliğin yönü değişir. Örneğin -3x + 6 > 0 → -3x > -6 → x < 2 (her iki tarafı -3'e böldük, yön ters döndü).

İçi Negatif Çıkan Mutlak Değer

|f(x)| ifadesinde f(x) negatif olabiliyorsa iki durum incelenir:

• f(x) ≥ 0 ise |f(x)| = f(x)
• f(x) < 0 ise |f(x)| = -f(x)

Örnek: |x - 5| ifadesi, x ≥ 5 için x - 5; x < 5 için 5 - x'tir.

İç İçe Mutlak Değer (Yuvalı İfadeler)

İçinde başka mutlak değer barındıran ifadeler en içten dışa doğru çözülür. Önce iç mutlak değerlerin değerlerini hesapla, sonra dış mutlak değeri uygula. Sonuç her zaman negatif olmayan bir sayıdır.

• ||−3| − |−7|| = |3 − 7| = |−4| = 4
• ||5| − |−2|| + |−4| = |5 − 2| + 4 = 3 + 4 = 7
• ||−6| + |−1| − 10| = |6 + 1 − 10| = |−3| = 3

İpucu: İç mutlak değerler her zaman pozitif (veya 0) sonuç verdiği için iç içe ifadelerde önce iç değerleri sayıya çevir, sonra normal işlem yap.

Bir sayının kaç farklı pozitif böleni olduğu ve bunların toplamı, asal çarpan analizinden elde edilen önemli sonuçlardır. DGS'de "n sayısının kaç pozitif böleni vardır" türü doğrudan sorular sıkça gelir.

Pozitif Bölen Sayısı

n = p₁^a · p₂^b · p₃^c ... biçiminde asal çarpanlarına ayrılırsa pozitif bölen sayısı:

τ(n) = (a+1)(b+1)(c+1)...

• 72 = 2³ · 3² → (3+1)(2+1) = 4·3 = 12 bölen
• 100 = 2² · 5² → 3·3 = 9 bölen
• 360 = 2³ · 3² · 5 → 4·3·2 = 24 bölen

Bölenler Toplamı

Aynı asal çarpan ayrımı için bölenler toplamı:

σ(n) = [(p₁^a+1 - 1)/(p₁ - 1)] · [(p₂^b+1 - 1)/(p₂ - 1)] ...

Örnek: 12 = 2² · 3 → σ(12) = [(2³-1)/1] · [(3²-1)/2] = 7 · 4 = 28 (1+2+3+4+6+12 = 28).

Pozitif Çift ve Tek Bölen Sayısı

n'in tüm pozitif bölenleri arasından:

• Tek bölen sayısı: n'i 2'ye bölünmesi gerekiyor; n'in 2 dışındaki asal çarpan ayrımındaki bölen sayısıdır.
• Çift bölen sayısı: Toplam bölen - Tek bölen.

Örnek: 60 = 2² · 3 · 5 → toplam bölen 12, 2'siz hâli 3·5 → bölen 4 (tek bölen). Çift bölen = 12 - 4 = 8.

Tam Kare ve Asal Bölen İlişkisi

Bir sayı tam kare ise pozitif bölen sayısı tek olur. Çünkü asal çarpanların üsleri çift olduğunda (a+1)(b+1)... çarpımı tek sayı yapar.

Örnek: 36 = 2² · 3² → 3·3 = 9 bölen (tek sayıda).

Asal Çarpan Sayısı vs Asal Bölen Sayısı

• Asal çarpan sayısı (üslerle): 12 = 2²·3 → çarpan sayısı 3 (iki tane 2, bir tane 3)
• Farklı asal bölen sayısı: 12 → {2, 3} → 2 farklı asal

Soru ifadesine dikkat: "asal çarpanlarının sayısı" ile "farklı asal çarpanı" farklı kavramlardır.

Üslü ve köklü sayılar ileri konularda detaylı işlenir; ancak temel kavramlar düzeyinde bilinmesi gereken bazı kurallar vardır. Bu kurallar bölme, sadeleştirme ve EBOB-EKOK problemlerinde karşımıza çıkar.

Üslü Sayıların Temel Kuralları

Köklü Sayıların Temel Kuralları

• √(a·b) = √a · √b (a, b ≥ 0)
• √(a/b) = √a / √b (a ≥ 0, b > 0)
• √(a²) = |a| (mutlak değer alınır)
• √(a²·b) = |a|·√b
• Özel değerler: √0 = 0, √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5

Kök İçinden Çıkarma (Sadeleştirme)

Kök içindeki ifade tam kare bir çarpan içeriyorsa o çarpan kök dışına |a|·√b biçiminde çıkarılır. Pratik adım: kök içindeki sayıyı asal çarpanlarına ayır, çift üslü çarpanları ikişer ikişer dışarı al.

• √50 = √(25·2) = 5√2
• √72 = √(36·2) = 6√2
• √12 = √(4·3) = 2√3
• √27 = √(9·3) = 3√3

Benzer Kökleri Toplama-Çıkarma

Kök içleri eşit olan kökler (benzer kökler) bir araya toplanabilir; tıpkı x'li terimlerin toplandığı gibi katsayılar toplanır, kök kısmı aynen kalır. Kök içleri farklıysa önce sadeleştirme yapılır, sonra toplanır.

• 2√3 + 5√3 = 7√3 (kök içi aynı, katsayılar toplandı)
• √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3 (önce sadeleştir, sonra topla)
• √8 − √2 = 2√2 − √2 = √2

Önemli: √2 + √3 toplanamaz; çünkü kök içleri farklıdır ve birbirine sadeleştirilemez. Bu ifade en sade biçimiyle kalır.

Küp Kök ve Daha Yüksek Dereceli Kökler

Küp kök ∛a sembolü, "kendisi ile üç kere çarpıldığında a veren sayı" anlamındadır. ∛a³ = a. Küp kök içindeki sayı negatif olabilir; çünkü tek dereceli kök her gerçel sayı için tanımlıdır.

• ∛8 = 2 (çünkü 2³ = 8)
• ∛27 = 3 (çünkü 3³ = 27)
• ∛64 = 4, ∛125 = 5, ∛1000 = 10
• ∛(−8) = −2 (negatifin küp kökü tanımlı)

Genel kural: ⁿ√(aⁿ) = a (n tek ise her a için, n çift ise yalnız a ≥ 0 için). Çift dereceli kökte tabanın negatif olamayacağı, tek dereceli kökte negatif değer alabileceği unutulmamalıdır.

Sayının Sondaki Sıfır Sayısı

n! içindeki 5 asal çarpan sayısı, sayının sonundaki sıfırların sayısını verir (çünkü sondaki sıfır = 10 = 2·5 ve 2'ler her zaman 5'lerden çoktur).

Örnek: 25!'in sonunda kaç sıfır vardır? → ⌊25/5⌋ + ⌊25/25⌋ = 5 + 1 = 6 sıfır.

Örnek: 100!'ün sonunda kaç sıfır vardır? → 100/5 + 100/25 + 100/125 = 20 + 4 + 0 = 24 sıfır.

Çarpımın Sondaki Sıfırı

Bir çarpımda sondaki sıfır sayısı, içindeki 2 ve 5 asal çarpanlarının küçüğü kadardır.

Örnek: 4 · 25 = 100 (2 sıfır). 4 = 2², 25 = 5²; min(2, 2) = 2 sıfır.

Çarpanlara ayırma, bir polinomu çarpımlar biçiminde yazma işlemidir. DGS Sayısal'da denklem çözümünden önce sıkça kullanılır; özellikle ikinci dereceden ifadelerin köklerini bulmak için zorunludur.

Temel Çarpanlara Ayırma Yöntemleri

1. Ortak Çarpan Parantezi: Tüm terimlerde ortak olan çarpan dışarı alınır. Örn: 6x²+9x = 3x(2x+3).
2. İki Kare Farkı: a²-b² = (a-b)(a+b). Örn: x²-9 = (x-3)(x+3); 4x²-25 = (2x-5)(2x+5).
3. Tam Kare İfade: a²±2ab+b² = (a±b)². Örn: x²+6x+9 = (x+3)²; 4x²-12x+9 = (2x-3)².
4. x²+bx+c Tipi (basit): Çarpımı c, toplamı b olan iki sayıyı bul. Örn: x²+5x+6 = (x+2)(x+3) (2·3=6, 2+3=5).
5. ax²+bx+c Tipi (a≠1): Çapraz çarpan yöntemi. Örn: 2x²+7x+3 = (2x+1)(x+3).
6. Gruplandırma: Dört terimi 2-2 gruplandır, ortak çarpan bul. Örn: ax+ay+bx+by = a(x+y)+b(x+y) = (a+b)(x+y).

Kübik İfadeler (Bonus)

İki küp toplamı/farkı: a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²); a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²).

Oran, iki büyüklüğün birbirine bölünmesidir (a/b). Orantı ise iki oranın eşitliğidir (a/b = c/d). DGS'de doğru orantı, ters orantı, işçi-havuz problemleri ve yüzde hesapları bu kavrama dayanır.

Doğru Orantı

İki büyüklükten biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa doğru orantılıdır: a/b = c/d veya a·d = b·c (içler dışlar çarpımı).

Örn: 3 işçi 12 saatte tamamlayan bir işi 6 işçi kaç saatte yapar? 3/6 = x/12 değil, çünkü işçi sayısı arttıkça süre AZALIR (ters orantı).

Ters Orantı

İki büyüklükten biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa ters orantılıdır: a·b = c·d (çarpımları eşit).

Örn: 3 işçi 12 saatte iş yapıyor → 6 işçi: 3·12 = 6·x → x = 6 saat. İşçi 2 katına çıkınca süre yarıya iner.

Karışık Orantı

Üç veya daha fazla büyüklüğün ilişkisinde bazıları doğru, bazıları ters orantılı olabilir. Önce her birinin türünü belirle.

Örn: 4 işçi 6 günde 1200 m duvar örüyor → 6 işçi 8 günde kaç m? İşçi-iş doğru, gün-iş doğru orantı: (6/4)·(8/6)·1200 = 1·8·200 = 2400 m.

Aritmetik Ortalama ve Ağırlıklı Ortalama

Aritmetik ortalama: (a₁+a₂+...+a_n)/n. Ağırlıklı ortalama: ∑(a_i·w_i)/∑w_i.

Örn: 30 öğrenci ortalama 70, 20 öğrenci ortalama 80 → toplam ortalama: (30·70+20·80)/50 = (2100+1600)/50 = 74.

Eşitlik (=) ile eşitsizlik (<, >, ≤, ≥) çözüm yöntemleri benzerdir; tek fark: eşitsizliği negatif bir sayıyla çarparken/bölerken eşitsizliğin yönü ters döner.

Birinci Dereceden Denklem Çözümü

Bilinmeyen tek tarafa toplanır, sayılar diğer tarafa atılır.

Örn: 3x+5 = 17 → 3x = 12 → x = 4. Örn: 5x-2 = 2x+10 → 3x = 12 → x = 4.

Birinci Dereceden Eşitsizlik Çözümü

Aynı yöntemle çözülür; ama negatif çarpma/bölmede yön ters döner.

Örn: 2x+3 > 9 → 2x > 6 → x > 3.

Örn: -3x+6 > 0 → -3x > -6 → x < 2 (negatife böldük, yön döndü).

İkili Eşitsizlik (Aralık Bulma)

Örn: 5 ≤ 2x+1 < 11 → 4 ≤ 2x < 10 → 2 ≤ x < 5. Tam sayılar: {2, 3, 4} (3 tane).

Mutlak Değerli Eşitsizlik

• |x| < a → -a < x < a
• |x| > a → x < -a veya x > a
• |x-c| ≤ r → c-r ≤ x ≤ c+r (c merkez, r yarıçap)

Örn: |2x-6| ≤ 4 → -4 ≤ 2x-6 ≤ 4 → 2 ≤ 2x ≤ 10 → 1 ≤ x ≤ 5. Tam sayı: 5 tane.

Aşağıda DGS ve ALES sınavlarında karşılaşılan tarzda 12 örnek soru ve adım adım çözümleri yer almaktadır. Her örnek farklı bir kavramı vurgular; ilk sekiz örnek temel kalıpları, son dört örnek (9-12) ileri seviye karma soruları kapsar.

Örnek 1: Tek-Çift Yorum

Soru: a, b, c birer tam sayıdır. a + b çift, a - c tek olduğuna göre a · b · c ifadesi her zaman ne türdür?

Çözüm: a + b çift olduğu için a ve b aynı türdedir. a - c tek olduğu için a ile c farklı türdedir. İki durum: (a, b çift; c tek) veya (a, b tek; c çift). Her iki durumda da çarpım a·b·c'de en az bir çift sayı bulunur. Sonuç: her zaman çift.

Örnek 2: Ardışık Sayılar

Soru: Ardışık 5 tek sayının toplamı 95 ise en büyük sayı kaçtır?

Çözüm: Ortadaki sayı = Toplam / Adet = 95 / 5 = 19. Ardışık tek sayılarda iki yana ikişer artılır: 15, 17, 19, 21, 23. En büyük sayı 23'tür.

Örnek 3: Bölünebilme Kuralı

Soru: 723A sayısı 9'a tam bölünüyorsa A kaçtır? (A bir rakamdır)

Çözüm: 9'a bölünme kuralı: rakamlar toplamı 9'a bölünmeli. 7+2+3+A = 12+A. 12+A'nın 9'un katı olması için A = 6 (12+6=18, 9'un katı). A = 6.

Örnek 4: EBOB-EKOK Problemi

Soru: İki sayının EBOB'u 6, EKOK'u 72'dir. Bu sayılardan biri 18 ise diğeri kaçtır?

Çözüm: EBOB · EKOK = a · b kuralından 6 · 72 = 18 · b → 432 = 18b → b = 24.

Örnek 5: Asal Çarpan

Soru: 360 sayısının pozitif bölen sayısı kaçtır?

Çözüm: 360 = 2³ · 3² · 5. Pozitif bölen sayısı = (3+1)(2+1)(1+1) = 4·3·2 = 24.

Örnek 6: Mutlak Değer

Soru: |2x - 6| ≤ 4 eşitsizliğinin tam sayı çözümleri kaç tanedir?

Çözüm: -4 ≤ 2x - 6 ≤ 4 → 2 ≤ 2x ≤ 10 → 1 ≤ x ≤ 5. Tam sayı çözümleri: 1, 2, 3, 4, 5 → 5 tane.

Örnek 7: Faktöriyel Sadeleştirme

Soru: (10! - 9!) / 8! ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm: Pay = 10·9·8! - 9·8! = 8!·(90 - 9) = 8!·81. Pay/Payda = 8!·81 / 8! = 81.

Örnek 8: Basamak Çözümleme

Soru: İki basamaklı AB sayısının rakamlarının yer değiştirmesiyle elde edilen BA sayısı, AB'den 27 küçüktür. A + B kaçtır? (A > B)

Çözüm: AB - BA = 27 → 9(A - B) = 27 → A - B = 3. Bu sadece A ile B'nin farkını verir; toplamı belirsizdir. Eğer ek koşul olarak A + B'ye dair bilgi verilseydi çözülebilirdi; bu örnek koşulun yetersizliğini gösteriyor.

Örnek 9: Mutlak Değer Toplamının Minimumu

Soru: f(x) = |x − 3| + |x + 2| ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Çözüm: İki mutlak değerin toplamı, x sayı doğrusunda kritik noktalar arasında (yani −2 ile 3 arasında) sabittir ve değeri kritik noktalar arasındaki uzaklıktır. |3 − (−2)| = 5. Yani her x ∈ [−2, 3] için f(x) = 5 olur; dışına çıkıldığında değer artar. Bu özellik "iki sabit noktaya en yakın nokta arası" yorumuyla DGS-ALES'te sıkça gelir.

Örnek 10: Reel Sayı Tanıma

Soru: Aşağıdakilerden hangisi kesinlikle irrasyonel sayıdır?

A) √16   B) 0,272727...   C) π/2   D) 22/7   E) 0

Çözüm: A) √16 = 4 (rasyonel, hatta tam sayı). B) 0,272727... devirli ondalık → rasyonel (27/99). C) π irrasyonel olduğundan π/2 de irrasyoneldir → kesinlikle irrasyonel. D) 22/7 ≈ 3,1428... görünüşte π'ye yakın ama 22/7 bir kesirdir, rasyoneldir; π'nin kendisi değildir. E) 0 = 0/1 → rasyonel. Cevap: C. Bu kalıp "22/7 ≈ π" tuzağıyla en sık tuzağa düşürülen sorudur; π yaklaşık değer değil, tam değerdir.

Örnek 11: Asal Çarpan Sayısı (n!)

Soru: 24! sayısının kaç farklı asal çarpanı vardır?

Çözüm: n!'in farklı asal çarpan sayısı, n'e kadar olan asal sayıların adedidir. 24'e kadar asallar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 → 9 farklı asal çarpan. Sonraki asal 29'dur, bu nedenle 25!, 26!, 27!, 28!'in de aynı 9 asal çarpanı vardır; 29!'de sayı 10'a çıkar. Bu kalıp "n!'in farklı asal çarpan sayısı X ise n için kaç değer mümkündür?" sorularında kullanılır.

Örnek 12: Sondaki Sıfır Sayısı (Legendre)

Soru: 50! sayısının sonunda kaç sıfır vardır?

Çözüm: Sondaki sıfır = içerideki 10 = 2·5 çarpanlarının sayısı. 2'ler her zaman 5'lerden çok olduğundan 5'i sayarız: ⌊50/5⌋ + ⌊50/25⌋ + ⌊50/125⌋ = 10 + 2 + 0 = 12 sıfır. Bu Legendre formülü, ALES'in sevdiği "n!'in 5 çarpanlarının sayısı" sorularında doğrudan kullanılır.

DGS sayısal sınavlarında temel kavramlar bölümünde geçmiş yıllarda en çok düşülen hataları ve karıştırılan kavramları toplu olarak ele alıyoruz. Bu bölüm sınavda hızlı düşünmenin anahtarıdır.

1. EBOB ile EKOK Karışıklığı

Sınav stresinde sayıların hangisinin EBOB hangisinin EKOK olduğu karıştırılır. Hızlı kontrol: EBOB sayılardan küçük, EKOK sayılardan büyük olur. EBOB > sayılardan biri ise sonuç yanlıştır.

2. "Tam Sayı" ile "Pozitif Tam Sayı" Farkı

Soru kökünde "tam sayı" denildiğinde negatif sayılar dahil; "pozitif tam sayı" veya "doğal sayı" denildiğinde negatifler hariçtir. Bu fark çözüm kümesini büyük ölçüde değiştirir.

3. Mutlak Değer Tek Çözüm Tuzağı

|x - a| = b denklemleri iki çözüm üretir (x = a+b ve x = a-b). Sadece pozitif durumu yazıp diğerini unutmak en sık yapılan hatadır.

4. Bölünme Kuralında 6 ve 12

"6'ya bölünüyor" ifadesi hem 2'ye hem 3'e bölünmeyi gerektirir (aralarında asal). "12'ye bölünüyor" ise hem 4'e hem 3'e bölünmeyi gerektirir (12 = 4·3 ve aralarında asal). 12 için "2'ye ve 6'ya bölünüyor" denilemez (2 ile 6 aralarında asal değil).

5. Çift Sayı Tanımı ve Sıfır

0 bir çift sayıdır (2'ye tam bölünür: 0 = 2·0). Aynı şekilde negatif çift sayılar da vardır (-2, -4, -6...). DGS'de "0 çift midir" tartışması yapılırsa cevap çifttir.

6. 1 Asal Değildir

1 sayısı asal değildir. Asal sayı tanımında "1'den büyük" ifadesi vardır. 2, en küçük asal sayıdır ve tek çift asaldır.

7. Faktöriyel Tanım Aralığı

Faktöriyel sadece sıfır ve pozitif tam sayılar için tanımlıdır. Negatif sayıların ve kesirlerin faktöriyeli yoktur. 0! = 1 özel tanımdır.

8. Rasyonel ile İrrasyonel Karışıklığı

Bir sayının rasyonel olup olmadığı için "a/b biçiminde yazılabilir mi?" sorusu sorulur. 0,333... = 1/3 rasyoneldir (devirli ondalık). 0,1010010001... gibi tekrar etmeyen ondalık irrasyoneldir.

9. Üs İşareti Tuzağı

(-2)⁴ = 16 ama -2⁴ = -16'dır. Parantez varsa negatif üs çift kuvvette pozitif olur; parantez yoksa önce kuvvet alınıp sonra negatif okunur. Bu fark sınavda dikkatlice incelenmelidir.

10. Bölme Kalan Sınırı

Bir sayıyı b'ye böldüğünüzde kalan 0 ile b-1 arasındadır. Kalan eksi olmaz, b'ye eşit veya b'den büyük olmaz. "b'ye böldüğümde kalan b'dir" gibi bir ifade yanlıştır.

11. AB Sayısı ile A·B Çarpımı

AB harfli ifadesi sayı olarak 10A+B'dir. AB ile A·B çarpımı kesinlikle aynı şey değildir. Soru ifadesinde "AB sayısı" denmişse çözümleme yapılır, "A·B çarpımı" denmişse çarpılır.

12. Aralarında Asal Yanılgısı

İki sayının aralarında asal olması, ikisinin de asal olduğu anlamına gelmez. Örneğin 8 ve 9 aralarında asaldır (EBOB(8,9)=1) ama hiçbiri asal sayı değildir.

13. Mutlak Değer Negatif Sonuç

|x| = -3 denklemi çözümsüzdür (boş küme). Mutlak değer asla negatif olmaz; bu temel ilkedir.

Aşağıdaki tablo, temel kavramların tüm kritik kurallarını tek bakışta hatırlamak için hazırlanmış sınav öncesi başvuru kaynağıdır. Sınava bir gün ya da bir hafta kala diğer kaynaklara dönmek yerine bu dizine bak; her satır bir alt başlığın özüdür.