DGS / ALES Matematik Problemler

Problemler, DGS sayısal bölümünün en yüksek soru paylı bloğudur. Geçmiş yıl sınavlarının analizi, problem alt başlıklarından her yıl ortalama 6-8 sorunun sorulduğunu göstermektedir. Sayı, yaş, işçi, yüzde, kar-zarar, karışım, hareket ve hız problemleri tek başlarına soruyla karşımıza çıktığı gibi; oran-orantı, denklem ve eşitsizlik konularının da uygulamalı sınanma alanıdır.

Bu konu başlığı dokuz ana alt bölümde toplanır:

• Sayı problemleri: Bilinmeyen tek sayı veya sayı çiftleri; ardışık, basamak, çift-tek koşullu sorular.
• Kesir problemleri: Bütünden parçaya, parçadan bütüne; iç içe kesir tüketme.
• Yaş problemleri: Bugünkü yaş, geçmiş-gelecek yaş, toplam yaş ve yaş farkı.
• Yüzde problemleri: Zam, indirim, art arda yüzde uygulamaları.
• Kar-zarar problemleri: Maliyet, satış, kar oranı; iskonto.
• Faiz problemleri: Basit faiz formülü ve uygulamaları.
• Karışım problemleri: Tuz, şeker, alkol oranları; iki karışımın birleştirilmesi.
• İşçi-havuz problemleri: Birim zamanda yapılan iş; doldurma-boşaltma.
• Hareket-hız problemleri: Yol-hız-zaman ilişkisi; karşılaşma, kovalama, akıntı.

Her alt başlık kendine özgü kalıba sahip olsa da çözüm mantığı ortak bir iskelet üzerinde yükselir: bilinmeyeni tanımla, koşulu denkleme dök, denklemi çöz, sonucu metne göre yorumla. İlerleyen bölümlerde önce bu evrensel strateji ele alınacak; ardından her alt başlık formül, örnek ve sınav uyarılarıyla detaylandırılacaktır.

Sınavda 5 Saniye Hatırlatma — Akronimler ve Pratik Kalıplar

Aşağıdaki dokuz satır, problemler bloğunun tüm refleks sorularını çözen kısa kalıplardır. Sınava bir gün ya da bir hafta kala diğer kaynaklara dönmek yerine bu tabloya bak; her satır bir alt başlığın özüdür ve hem DGS hem ALES Sayısal sorularında doğrudan kullanılır.

DGS problemlerinde başarılı olmak için tek bir formül ezberlemek yetmez; çoğu zaman birden fazla bilinmeyen, iç içe kesir veya art arda işlem söz konusu olur. Bu nedenle problemin türünden bağımsız olarak işleyen dört adımlı genel strateji izlenmelidir.

1. Adım — Soruyu Yavaşça Oku ve Veriyi Çıkar

Problem metni acele okumayı affetmez. Kim, kime, ne kadar, ne zaman, hangi oranda gibi soruları sessizce kendine sor. Sayısal değerleri kâğıdın kenarına simge atayarak yaz: x = aranan, a = bilinen, k = oran.

2. Adım — Bilinmeyeni Akıllıca Tanımla

Bilinmeyeni öyle bir değişkene bağla ki denklem en sade biçime gelsin. Kar-zarar problemlerinde maliyeti 100k, yüzde problemlerinde başlangıcı 100x, oran problemlerinde paydaşları 3k, 4k, 5k şeklinde almak hesabı çoğu zaman beşte bire indirir.

3. Adım — Koşulu Denkleme Dök

Türkçe cümleyi adım adım matematiksel ifadeye dönüştür. "X'in 3 katının 5 fazlası" → 3x + 5. "İki sayının toplamı" → a + b. "Yüzde 20 indirim" → 0,80 × fiyat. Bu çeviri ne kadar doğal olursa, çözüm o kadar hızlı sonuçlanır.

4. Adım — Çöz ve Doğrula

Denklemi çözdükten sonra bulunan değeri orijinal soru metnine yerleştirip mantık denetimi yap. Yaş 0'ın altında, kişi sayısı kesirli, kar oranı %100'ün üzerinde değerler çıkıyorsa hesapta hata vardır.

Sayı problemleri, DGS'de her yıl 1-2 doğrudan soruyla karşımıza çıkan, problem çözme alışkanlığını ölçmeye yönelik temel başlıktır. Soru türlerini üç grupta toplamak mümkündür: tek bilinmeyenli sayı, iki bilinmeyenli sayı ve ardışık-basamak koşullu sayı.

Tek Bilinmeyenli Sayı Problemi

"Bir sayının 3 katının 5 fazlası 26'dır. Bu sayı kaçtır?" gibi sorular tek bilinmeyenle çözülür. Bilinmeyene x dendiğinde koşul 3x + 5 = 26, çözüm x = 7 olur.

İki Bilinmeyenli Sayı Problemi

"İki sayının toplamı 50, farkı 14 ise büyük sayı kaçtır?" türünde, iki bilinmeyen ve iki koşul vardır. Klasik kısa yol: Toplam ile farkı toplayıp ikiye bölmek büyük sayıyı, çıkarıp ikiye bölmek küçük sayıyı verir.

• Büyük sayı = (Toplam + Fark) / 2 = (50 + 14) / 2 = 32
• Küçük sayı = (Toplam − Fark) / 2 = (50 − 14) / 2 = 18

Ardışık Sayı Problemleri

Ardışık iki tam sayının farkı her zaman 1, ardışık iki çift veya ardışık iki tek sayının farkı 2'dir. n adet ardışık sayının toplamı, en küçük ile en büyük sayının toplamının n/2 katına eşittir; aritmetik ortalama da en küçük ile en büyüğün toplamının yarısına eşittir.

Basamak Koşullu Sayı Problemleri

İki basamaklı bir sayının onlar basamağı a, birler basamağı b ise sayı 10a + b biçiminde yazılır. Rakamların yer değiştirdiği yeni sayı 10b + a olur. İki sayının farkı her zaman 9(a − b) kadardır; bu yapı, basamak değiştirme sorularında doğrudan kısa yol sağlar.

Kesir problemleri sınavda 1 soruyla sıkça karşılaşılan ve sade bir mantığa dayanan başlıktır. Soru tipleri iki grupta toplanır: bütün biliniyor, parça soruluyor; parça biliniyor, bütün soruluyor.

Bütünden Parçaya

"480 sayfalık kitabın 3/8'i okunmuştur. Geriye kaç sayfa kalmıştır?" Burada bütün (480) bilinmektedir; bütünün belirli bir kesrinin değeri sorulmaktadır.

• Okunan = 3/8 × 480 = 180 sayfa
• Kalan = 480 − 180 = 300 sayfa

Pratik kısa yol: Kalan kesri olan 5/8 ile bütünü doğrudan çarpmak da aynı sonucu verir: 5/8 × 480 = 300.

Parçadan Bütüne

"Kitabın 2/5'i okundu, geriye 120 sayfa kaldı. Kitap kaç sayfadır?" Bu kez parça (kalan 120) biliniyor, bütün soruluyor. Parça olan 120 sayfa, bütünün 3/5'idir.

• Bütün = 120 / (3/5) = 120 × 5/3 = 200 sayfa

İç İçe Kesir Tüketme

"Ahmet parasının 1/3'ünü harcadı, kalanın 1/4'ünü kardeşine verdi. Başlangıçta 240 TL'si varsa şimdi kaç TL'si vardır?" Bu tip sorularda her adımdan sonra kalan kesir üzerinden devam edilmelidir.

• 1/3'ünü harcadı → 2/3'ü kaldı → 240 × 2/3 = 160 TL
• Kalanın 1/4'ünü verdi → 3/4'ü kaldı → 160 × 3/4 = 120 TL

Kesirlerle Eşitlik Kurma

İki ifadenin kesir biçiminde eşitliği verildiğinde paydaları eşitlemek veya çapraz çarpım yapmak çözüme götürür. x/4 = 9/12 denkleminde çapraz çarpım 12x = 36 sonucunu verir, dolayısıyla x = 3 bulunur.

Yaş problemleri, DGS'nin neredeyse her yıl sorduğu, mantığı tek bir kuralda toplanan kolay bloklardandır: iki kişinin yaş farkı zamanla değişmez. Bugün 5 yaş büyük olan kardeş, 20 yıl sonra da 20 yıl önce de 5 yaş büyüktür.

Bugünkü Yaş Sorusu

"Ali 15 yaşında, babası Ali'den 25 yaş büyüktür. Babası kaç yaşındadır?" Bu, yaş farkını doğrudan kullanan en sade tipdir. Cevap: 15 + 25 = 40.

Geçmiş Yaş Sorusu

"5 yıl önce Ayşe'nin yaşı annesinin yaşının yarısıydı. Anne bugün 50 yaşında ise Ayşe bugün kaç yaşındadır?"

• 5 yıl önce anne: 50 − 5 = 45 yaşında
• 5 yıl önce Ayşe: 45 / 2 = 22,5 yaşında — bu noktada problem yapısı yarımı vermeyecek değerlere izin vermez; sayılar uyumlu seçilmelidir.

Yaş problemlerinde geçmiş için yaştan t çıkar, gelecek için yaşa t ekle kuralı kullanılır.

Toplam Yaş ve Yaş Farkı

n kişinin toplam yaşı her geçen yılda n kadar artar. Yani 4 kişilik bir ailenin toplam yaşı 5 yıl sonra 4 × 5 = 20 yaş artmıştır. Buna karşılık, iki kişi arasındaki yaş farkı her zaman aynıdır; t yıl önce de t yıl sonra da değişmez.

Klasik Yaş Tuzakları

• "Kaç yıl önce" sorusu: Bilinmeyen olarak geçen yıl sayısını al. Bilinen yaşlar metinde verilen değerlerdir, sen aradığın geçmiş süreyi yalnız bırakmalısın.
• "İki kişinin yaşları toplamı": Yaş farkı sabit, ancak toplam her yıl 2 artar. n kişi varsa n artar.
• "Bir babanın yaşı oğlunun yaşının üç katıdır": Bu ifade sadece bugün geçerlidir. 10 yıl sonra üç katı ilişkisi bozulur; yeni denklem kurman gerekir.

Yüzde, DGS'nin günlük hayatla en bağlantılı problem tipidir. Tek soru olarak gelse de bilgisi kar-zarar, faiz, karışım ve nüfus problemlerinde sürekli devreye girer. Temel kural: yüzde "yüzde başına" anlamında bir orandır ve bütün her zaman 100 birim kabul edilir.

Temel Yüzde Hesabı

"Bir sayının %20'si" demek 0,20 × sayı demektir. 250'nin %20'si = 0,20 × 250 = 50'dir. Pratik kısa yol: %20 = 1/5 kesir karşılığını kullanmak hesabı kolaylaştırır.

Zam ve İndirim

%x oranında zam yapılan bir miktar (100 + x)/100 ile çarpılır. %x oranında indirim için (100 − x)/100 kullanılır.

• 200 TL'lik ürüne %30 zam: 200 × 1,30 = 260 TL
• 200 TL'lik ürüne %30 indirim: 200 × 0,70 = 140 TL

Art Arda Yüzde Uygulaması

Bu, yüzde problemlerinin en sık tuzağa düşürdüğü kısmıdır. %20 zam + %20 indirim peş peşe uygulandığında sonuç başlangıca dönmez. 100 TL üzerinde:

• %20 zam → 100 × 1,20 = 120 TL
• %20 indirim → 120 × 0,80 = 96 TL

Net etki %4'lük kayıp olur; çünkü ikinci işlem zamlı fiyat üzerinden hesaplanır.

Yüzdesel Değişim Soruları

"Bir ürünün fiyatı 80'den 100'e yükseldi. Yüzde kaç zam yapılmıştır?" Formül: (yeni − eski) / eski × 100. Burada (100 − 80) / 80 × 100 = %25 zam. Tersine, 100'den 80'e düşüş (100 − 80) / 100 × 100 = %20 indirim'dir. Kaybedilen yüzde, kazanılan yüzdeden farklıdır; payda her zaman başlangıç değeri olur.

Art Arda Yüzde — Hızlı Formül

İki ardışık yüzde değişikliğinin net etkisi tek formüllik bir kestirimle bulunabilir:

• Net Değişim = a + b + (a·b)/100, burada zamlar pozitif (+), indirimler negatif (−) işaretlidir.
• %20 zam + %20 zam: 20 + 20 + (20·20)/100 = 40 + 4 = %44 zam ✓
• %20 zam + %20 indirim: 20 + (−20) + (20·(−20))/100 = 0 − 4 = %4 kayıp ✓
• %30 indirim + %10 indirim: (−30) + (−10) + (−30·−10)/100 = −40 + 3 = %37 indirim ✓

Çarpan yönteminin sözel karşılığı budur. Sınavda hızlı çözüm için (1+a/100)(1+b/100)−1 dönüşümü daha güvenilirdir; iki yöntem aynı sonucu verir.

Kar-zarar problemleri, yüzde mantığının ticari yaşam üzerinden uygulanmış halidir. Üç temel büyüklük bilinir: maliyet (M), satış fiyatı (S), kar veya zarar miktarı. Bunlar arasındaki tek bağıntı sade bir farktır:

• Kar = Satış − Maliyet (eğer S > M ise)
• Zarar = Maliyet − Satış (eğer M > S ise)

Kar Oranı

Kar oranı, kar miktarının maliyete göre yüzdesidir:

Kar oranı = (Kar / Maliyet) × 100

Maliyeti 80 TL olan bir ürün 100 TL'ye satılırsa: kar = 20 TL, kar oranı = 20/80 × 100 = %25. Yani satıcı, ürünün maliyetinin dörtte biri kadar kar etmiştir.

Maliyet ve Satışı Geri Bulma

"Bir tüccar ürünü %20 karla 360 TL'ye sattı. Maliyet kaç TL'dir?" %20 kar maliyetin 1,20 katı satış demektir. Dolayısıyla: Maliyet = 360 / 1,20 = 300 TL. Kar = 60 TL.

Zararla Satış

%15 zararla satılan bir ürün maliyetin %85'ine elden çıkarılır. 200 TL maliyetli bir ürünün satış fiyatı: 200 × 0,85 = 170 TL. Zarar miktarı 30 TL'dir.

İskonto Soruları

Etiket fiyatı (T) üzerinden %x iskonto yapıldığında satış fiyatı T × (1 − x/100) olur. Etiket 500 TL ürün üzerinden %20 iskonto sonrası fiyat: 500 × 0,80 = 400 TL.

Karma Kar-Zarar Soruları

"Bir tüccar iki ürün almıştır; birinden %20 kar, diğerinden %20 zarar etmiştir. Toplam ne yapmıştır?" Çoğu aday içgüdüsel olarak "değişmedi" der; oysa iki ürünün maliyeti aynı değilse sonuç farklı çıkar. Maliyetler eşitse kar ve zarar birbirini götürür; yine de toplam kar oranı hesaplanırken maliyet toplamı kullanılmalıdır.

Faiz problemleri, DGS sayısalında zaman zaman karşılaşılan ve tek bir formülle çözülebilen başlıktır. Sınavda neredeyse tamamı basit faiz mantığına dayanır. Faizin temel mantığı, bir paranın belirli bir oran ve süre boyunca artırılmasıdır.

Basit Faiz Formülü

Anapara A, yıllık faiz oranı n (yüzde olarak), süre t (yıl) olduğunda kazanılan faiz miktarı:

Faiz = (A × n × t) / 100

Toplam birikim ise A + Faiz'dir. 1.000 TL anapara, %20 yıllık faiz, 3 yıl için: Faiz = (1.000 × 20 × 3) / 100 = 600 TL. Toplam birikim 1.600 TL olur.

Aylık ve Günlük Süreler

Yıllık oran verildiğinde süre yıla çevrilmelidir. 1 ay = 1/12 yıl, 1 gün = 1/360 yıl (ticari hesap kuralı) kabul edilir. 6 ay için 6/12 = 1/2 yıl yerine konur.

• 2.000 TL, %18 yıllık faizle 8 ay yatırılırsa: Faiz = (2.000 × 18 × 8/12) / 100 = 240 TL.

Anaparayı Geri Bulma

"%24 yıllık faizle 5 yılda kazanılan faiz 1.200 TL'dir. Anapara nedir?" Formülü tersine çevirerek: A = (Faiz × 100) / (n × t) = (1.200 × 100) / (24 × 5) = 1.000 TL.

Süreyi Bulma

"500 TL anapara %20 ile kaç yılda 100 TL faiz getirir?" Formül: t = (Faiz × 100) / (A × n) = (100 × 100) / (500 × 20) = 1 yıl.

Karışım problemleri, oran-orantının uygulamalı sınanma alanıdır. Karışımı oluşturan iki büyüklük vardır: çözücü (genellikle su) ve çözünen (tuz, şeker, alkol, asit). Karışımın derişimi, çözünen miktarının toplam karışım miktarına oranıdır.

Derişim (oran) = Çözünen / Toplam Karışım × 100

Tek Karışım Hesabı

"100 gram tuzlu suda 20 gram tuz vardır. Karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?" Toplam 100, tuz 20 → oran 20 / 100 × 100 = %20.

Suya Tuz Eklemek (Çözüneni Artırma)

Mevcut karışıma çözünen eklendiğinde toplam ve çözünen birlikte artar. "200 gram %10'luk tuzlu suya 20 gram daha tuz eklenirse yeni oran ne olur?"

• Başlangıç tuz: 200 × 0,10 = 20 g
• Ekleme sonrası tuz: 20 + 20 = 40 g
• Yeni toplam: 200 + 20 = 220 g
• Yeni oran: 40 / 220 × 100 ≈ %18,18

Karışıma Su Eklemek (Çözünenden Sulandırma)

Yalnızca su eklendiğinde tuz miktarı sabit kalır, toplam artar; bu nedenle oran düşer. "200 gram %10'luk tuzlu suya 50 gram su eklenirse yeni oran ne olur?"

• Tuz miktarı sabit: 20 g
• Yeni toplam: 200 + 50 = 250 g
• Yeni oran: 20 / 250 × 100 = %8

İki Karışımı Birleştirme

"%20'lik 100 gram tuzlu su ile %50'lik 50 gram tuzlu su karıştırılıyor. Yeni karışımın oranı?"

• Birinci karışımdaki tuz: 100 × 0,20 = 20 g
• İkinci karışımdaki tuz: 50 × 0,50 = 25 g
• Toplam tuz: 45 g; Toplam karışım: 150 g
• Yeni oran: 45 / 150 × 100 = %30

Buharlaşma

Su buharlaştığında toplam azalır, çözünen miktarı sabit kalır; oran artar. Buharlaşma soruları "su ekleme" sorularının ters okunmuş halidir.

Birim Fiyat Karışımı (Karma Mal)

Karışım mantığı yalnızca tuz-alkol oranı için değil, farklı kg birim fiyatlarına sahip iki malın karıştırılması için de geçerlidir. Burada "çözünen" rolünü toplam tutar, "toplam karışım" rolünü toplam miktar oynar:

Ortalama Birim Fiyat = (m₁·f₁ + m₂·f₂) / (m₁ + m₂)

Örnek: 2 kg ürün 30 TL/kg ve 3 kg ürün 20 TL/kg fiyatla karıştırılırsa karışımın kg fiyatı:

• Toplam tutar: 2 × 30 + 3 × 20 = 60 + 60 = 120 TL
• Toplam miktar: 2 + 3 = 5 kg
• Ortalama birim fiyat: 120 / 5 = 24 TL/kg

Aynı kalıp çay-kahve, tahıl-baklagil, akaryakıt-katkı maddesi gibi tüm karma mal sorularında işler. Aritmetik ortalama (30 + 20) / 2 = 25 TL yalnızca miktarlar eşit olduğunda doğru sonuca götürür; miktarlar farklıysa ağırlıklı ortalama formülünü kullan.

İşçi problemleri, ters orantı mantığının ekmek-su gibi ifadelerle hayata uygulandığı bir başlıktır. Çözümün temel taşı şudur: bir işin tamamı 1 birim olarak alınır ve her işçinin birim zamanda yaptığı iş miktarı (örneğin günlük iş) bir kesirle ifade edilir.

Tek İşçi Mantığı

Bir işçi bir işi 6 günde bitiriyorsa, günde işin 1/6'sını bitirir. Bu, problemleri çözerken hep yararlanacağın temel düşüncedir.

Birlikte Çalışma Formülü

İki işçi ayrı ayrı a ve b günde bir işi bitiriyorsa, birlikte günde 1/a + 1/b kadarını bitirirler. Birlikte tüm işi bitirme süresi:

T = (a × b) / (a + b)

Örnek Hesap

"A işçisi 12 günde, B işçisi 6 günde işi bitiriyor. Birlikte kaç günde bitirirler?"

• A'nın günlük işi: 1/12
• B'nin günlük işi: 1/6 = 2/12
• Birlikte günlük iş: 3/12 = 1/4
• Birlikte toplam süre: 1 / (1/4) = 4 gün

Üç ve Daha Fazla İşçi

n işçi varsa hepsinin günlük katkısını topla, sonra tersini al: 1 / (1/a + 1/b + 1/c). Pratik ipucu: en küçük ortak kat (EKOK) kullanarak işçilerin günlük iş paylarını tam sayıya çevir, sonra topla.

Ters Orantı: İşçi Sayısı–Süre

Aynı işi 3 işçi 12 günde bitiriyorsa, 4 işçi 9 günde bitirir. Ters orantı kuralı: işçi sayısı oranı kadar süre kısalır.

• 3 × 12 = 36 işgünü (sabit iş miktarı)
• 4 işçi: 36 / 4 = 9 gün

Karma İş Problemleri

"3 işçi bir işin 1/4'ünü 5 günde yapıyor. 5 işçi tamamını kaç günde bitirir?"

• 3 işçi × 5 gün = 15 işgünü, bu işin 1/4'ünü bitirir.
• Tamamı için 15 × 4 = 60 işgünü gerekir.
• 5 işçi için: 60 / 5 = 12 gün

Havuz problemleri, işçi problemlerinin su akışıyla giydirilmiş halidir. Mantık aynıdır: havuzun tamamı 1 birim, her musluğun saatlik (veya dakikalık) doldurma-boşaltma katkısı bir kesirle ifade edilir.

Tek Musluk Mantığı

Bir havuzu 4 saatte dolduran musluk saatte havuzun 1/4'ünü doldurur. 6 saatte dolduran musluk saatte 1/6'sını doldurur.

İki Musluk Birlikte Açıldığında

İki musluğun saatlik katkıları toplanır. "A musluğu havuzu 4 saatte, B musluğu 6 saatte dolduruyor. İkisi birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?"

• A: 1/4, B: 1/6 → toplam: 3/12 + 2/12 = 5/12
• Birlikte süre: 1 / (5/12) = 12/5 = 2,4 saat

Doldurma ve Boşaltma Birlikte

Bir musluk doldururken diğeri boşaltıyorsa, doldurmanın katkısı artı, boşaltmanın katkısı eksi olarak alınır. "A musluğu havuzu 6 saatte doldururken, B musluğu 12 saatte boşaltıyor. Aynı anda açılırsa havuz kaç saatte dolar?"

• Net saatlik dolum: 1/6 − 1/12 = 2/12 − 1/12 = 1/12
• Toplam dolma süresi: 1 / (1/12) = 12 saat

Kısmi Doldurma

Bazı sorularda havuzun yalnızca bir kısmı (örneğin yarısı) doldurulur. Bu durumda her şey aynı orandadır; toplam süre, dolum oranıyla doğrudan çarpılır.

• Tamamını 6 saatte dolduran musluk yarısını 3 saatte doldurur.
• Tamamını 12 saatte boşaltan musluk üçte birini 4 saatte boşaltır.

Birden Fazla Musluk Tipi

Üç doldurma musluğu varsa hepsinin katkıları toplanır. Eğer ikisi doldurma, biri boşaltma ise ilk ikisinin toplamından üçüncüsünün katkısı çıkarılır. Pratik kural: doldurmalar artı, boşaltmalar eksi.

Hareket problemleri, fizik ile matematiğin DGS sınavındaki kesişim noktasıdır. Tek bir temel formül üzerine kuruludur: Yol = Hız × Zaman. Üç büyüklükten ikisi bilindiğinde üçüncüsü doğrudan hesaplanır.

• Yol = Hız × Zaman
• Hız = Yol / Zaman
• Zaman = Yol / Hız

Birim Tutarlılığı

Hız genelde km/saat, mesafe km, zaman saat olarak verilir. Eğer süre dakika cinsinden veriliyorsa 60'a bölerek saate çevir, ya da hızı m/dakikaya çevir. Birim çelişkisi DGS'de en sık yapılan hatadır.

Karşılıklı Hareket (Karşılaşma)

İki araç karşılıklı yönlerden birbirine doğru hareket ediyorsa hızları toplanır.

• Karşılaşma süresi = Aralarındaki Mesafe / (V₁ + V₂)

İki şehir arası 300 km, biri 60 km/saat, diğeri 90 km/saat hızla yola çıkarsa: 300 / (60 + 90) = 2 saatte karşılaşırlar.

Aynı Yönde Hareket (Kovalama)

İki araç aynı yönde hareket ederse hızlar farkı belirleyicidir. Önde olan araca arkadakinin yetişme süresi:

• Yetişme süresi = Aradaki Mesafe / (V₂ − V₁)

Önde 50 km olan araca, hızı 80 km/saat olan ikinci araç peşinden 30 km/saat hızla yola çıkarsa yetişemez; çünkü arkadaki daha hızlı olmalıdır. Hız farkı 30 km/saat olduğunda 50 km'lik ara: 50 / 30 ≈ 1,67 saatte kapanır.

Ortalama Hız (Harmonik)

"A şehrinden B şehrine 60 km/saat, dönüşte 40 km/saat hızla yol alındı. Ortalama hız nedir?" Burada aritmetik ortalama yanlıştır.

• Doğru formül: Ortalama Hız = (2 × V₁ × V₂) / (V₁ + V₂)
• (2 × 60 × 40) / (60 + 40) = 4.800 / 100 = 48 km/saat

Aritmetik ortalama (60 + 40) / 2 = 50 olurdu; oysa toplam yol / toplam zaman bakışıyla harmonik ortalama 48 verir. Aralarındaki 2 km/saat fark, sınav puanı için ciddi bir yanlıştır.

Akıntı ve Su Hareketi

Bir teknenin durgun sudaki hızı V, ırmağın akıntı hızı a olsun.

• Akıntı yönünde gidişte: V_net = V + a
• Akıntıya karşı gidişte: V_net = V − a

Bu, hava aracında "rüzgâr arkadan" ve "rüzgâr karşıdan" durumlarına da aynen uyarlanır. Soru gidiş-dönüş süreleri verirse iki denklem kurulup V ve a birlikte çözülür.

Tren-Köprü ve Tren-Tünel Problemleri

Trenin uzunluğu da hesaba katılan klasik bir tiptir. Bir tren bir köprünün/tünelin başına geldiği andan kuyruğunun çıktığı ana kadar geçen sürede aldığı yol, köprü uzunluğu + tren uzunluğu'na eşittir.

• Tren · köprü: Yol = Köprü uzunluğu + Tren uzunluğu
• Tren · tünel: Yol = Tünel uzunluğu + Tren uzunluğu
• Tren · direk/insan: Yol = Tren uzunluğu (direk noktasal kabul edilir)

Örnek: 200 m uzunluğundaki bir tren 500 m'lik bir köprüyü 35 saniyede geçiyorsa hızı kaç m/s'dir? Toplam yol = 500 + 200 = 700 m. Hız = 700 / 35 = 20 m/s.

İkili senaryo: Aynı tren 800 m'lik bir tünelden kaç saniyede geçer? Toplam yol = 800 + 200 = 1000 m. Süre = 1000 / 20 = 50 sn.

DGS son yıllarda tablo, sütun grafiği ve daire grafiği üzerinden okuma-yorum becerisi sınamaktadır. Bu sorular doğrudan formül ezberinden çok sayısal okuma + oran-yüzde uygulaması isterler.

Tablo Soruları

Tabloda satırlar genellikle kategorileri (yıllar, şehirler, ürünler), sütunlar değerleri içerir. Önce tablonun başlığını, ardından satır-sütun etiketlerini oku; sonra soruda istenen değeri ara.

• Satır toplamı, sütun toplamı veya genel toplam soruluyorsa hesabı kâğıdın kenarına ayrı yaz.
• "Yüzde kaç artmıştır" sorusu için: (yeni − eski) / eski × 100 formülünü kullan.

Daire Grafiği (Pasta Grafiği)

Daire grafiğinde tüm dilimlerin yüzde toplamı %100, açıların toplamı 360°'dir. Bir dilimin yüzdesi açının 360'a bölümüyle bulunur:

Yüzde = (Dilimin Açısı / 360) × 100

• 72° açıya sahip dilim: 72 / 360 × 100 = %20'lik dilimdir.
• %25 olan bir dilim: 25/100 × 360 = 90° açıyla gösterilir.

Sütun ve Çizgi Grafiği

Sütun grafikleri kategoriler arası karşılaştırma içindir; çizgi grafikleri ise zaman içindeki değişimi gösterir. Soru "hangi yılda en yüksek artış olmuştur" diye sorduğunda yıllar arası farkı sütun yüksekliklerinden çıkararak en büyüğü işaretle.

Tablodan Hareket-Kar-Karışım Problemi

Bazı sorularda tablo doğrudan kar-zarar veya hareket bilgisi taşır. Örneğin yıllara göre kazanılan TL miktarı verilir, "yüzde kaç artış olmuştur" diye sorulur. Bu durumda tablodan veri okuma ve yüzde değişim hesaplama tek soruda birleşir.

Bu bölümde DGS ve ALES sayısalında sıkça karşılaşılan problem tiplerinden seçilmiş on bir çözümlü örnek incelenecektir. Her örneğin yanına çözüm stratejisi ve cevabı kontrol etmek için kullanılabilecek hızlı bir doğrulama yöntemi eklenmiştir.

Örnek 1 — Sayı Problemi

Bir sayının üç katının 7 fazlası 31 ise sayı kaçtır?

Çözüm: Sayı x olsun. 3x + 7 = 31 → 3x = 24 → x = 8. Doğrulama: 3 × 8 + 7 = 31 ✓.

Örnek 2 — Kesir Problemi

Bir kitabın önce 1/3'ü, ardından kalanın 1/2'si okunuyor. Geriye 60 sayfa kaldıysa kitap kaç sayfadır?

Çözüm:

• 1/3'ü okundu → 2/3'ü kaldı.
• Kalanın 1/2'si okundu → kalanın 1/2'si kaldı → 2/3 × 1/2 = 1/3'ü hâlâ kalmıştır.
• 1/3'ü = 60 → tamamı: 60 × 3 = 180 sayfa.

Örnek 3 — Yaş Problemi

Bugün anne 40, kız 12 yaşındadır. Kaç yıl sonra annenin yaşı kızının yaşının iki katı olacaktır?

Çözüm: t yıl sonra: 40 + t = 2(12 + t) → 40 + t = 24 + 2t → t = 16 yıl. Doğrulama: 40 + 16 = 56, 12 + 16 = 28; 56 = 2 × 28 ✓.

Örnek 4 — Yüzde Problemi

Bir ürünün fiyatına önce %20 zam, ardından %25 indirim yapılıyor. Net etki nedir?

Çözüm: Çarpan yöntemi: 1,20 × 0,75 = 0,90. Yani fiyat %10 düşmüştür. Aritmetik tahmin (-%5 zam etkisi) yanlıştır.

Örnek 5 — Kar-Zarar

Maliyeti 250 TL olan bir ürün %20 karla satılmıştır. Satış fiyatı ve kar miktarı nedir?

Çözüm: Satış = 250 × 1,20 = 300 TL. Kar = 50 TL. Kar oranı: 50 / 250 × 100 = %20 ✓.

Örnek 6 — İşçi Problemi

Bir işçi 8 günde, ikincisi 12 günde işin tamamını bitiriyor. İkisi birlikte kaç günde bitirir?

Çözüm: 1/8 + 1/12 = 3/24 + 2/24 = 5/24. Toplam süre: 1 / (5/24) = 24/5 = 4,8 gün. Doğrulama: 4,8 < 8 ✓.

Örnek 7 — Hareket Problemi

İki şehir arası 240 km'dir. Aynı anda iki araç birbirine doğru yola çıkıyor; biri 60 km/saat, diğeri 80 km/saat hızla. Kaç saat sonra karşılaşırlar?

Çözüm: Karşılaşma için hızlar toplanır: 60 + 80 = 140. Süre: 240 / 140 = 12/7 ≈ 1,71 saat (yaklaşık 1 saat 43 dakika).

Örnek 8 — Yaş Klasiği

A bugün 32 yaşındadır. 8 yıl sonra A'nın yaşı, B'nin o günkü yaşının iki katı olacaktır. B bugün kaç yaşındadır?

Çözüm: 8 yıl sonra A'nın yaşı 32 + 8 = 40 olur. Koşul: 40 = 2 · (B + 8) → 40 = 2B + 16 → 2B = 24 → B = 12. Doğrulama: 8 yıl sonra B 20 yaşında, A 40 yaşında; 40 = 2 × 20 ✓. Sınavda yaş problemleri her zaman tam sayı sonuç verecek biçimde kurgulanır; ondalık çıkıyorsa denklem yanlış kurulmuş demektir, kurgudan değil sayıdan dön ve yeniden yaz.

Örnek 9 — Yüzde Ardışık (Net Etki)

Bir ürünün fiyatına önce %20 zam, ardından %25 indirim yapılıyor. Net etki nedir? "Aynı sırayla %25 indirim sonra %20 zam" sonucu farklı mıdır?

Çözüm: Çarpan yöntemi sırayı önemsizleştirir, çünkü çarpma değişmelidir. 1,20 × 0,75 = 0,90 ve 0,75 × 1,20 = 0,90. Net etki %10 düşüş'tür. Net Değişim formülü: 20 + (−25) + (20·(−25))/100 = −5 − 5 = −%10 ✓. Aritmetik tahmin (-%5) yanlıştır; çünkü ikinci işlem değişen değer üzerinden hesaplanır.

Örnek 10 — Kar Tuzağı

Bir tüccar maliyetinin %25 üstüne ürünü satışa çıkarmıştır. Ardından etiket fiyatından %20 iskonto yaparak satmıştır. Tüccarın kar oranı yüzde kaçtır?

Çözüm: Maliyet 100 alınsın. Etiket = 100 × 1,25 = 125 TL. Satış = 125 × 0,80 = 100 TL. Kar = 100 − 100 = 0 TL; kar oranı %0. Tuzak: %25 zammın %20 indirimi tam karşılaması beklenmez ama bu özel oranda denge tam tutar (1,25 × 0,80 = 1,00). Çoğu aday "%25 − %20 = %5 kar" der; sayılarda art arda yüzde tuzağına düşer. Çarpan yöntemi her zaman doğru sonucu verir.

Örnek 11 — Karışım

%30'luk 100 mL alkollü su ile %50'lik 100 mL alkollü su karıştırılıyor. Yeni karışımın derişimi yüzde kaçtır?

Çözüm:

• Birinci karışımdaki alkol: 100 × 0,30 = 30 mL
• İkinci karışımdaki alkol: 100 × 0,50 = 50 mL
• Toplam alkol: 30 + 50 = 80 mL; Toplam karışım: 100 + 100 = 200 mL
• Yeni derişim: 80 / 200 × 100 = %40

Tuzak: Miktarlar eşit olduğunda aritmetik ortalama doğru çalışır: (30 + 50)/2 = 40. Ancak miktarlar farklı olsaydı (örneğin 100 mL %30 + 200 mL %50), ortalama (30 · 100 + 50 · 200)/(100 + 200) = 130/3 ≈ %43,3 olurdu; aritmetik ortalama %40 yanlış sonuca götürürdü. Her zaman çözünen toplam / toplam karışım formülünü kullan.

DGS'de problem sorularını yüksek doğrulukla çözmek tek başına matematik bilgisinden ibaret değildir; aynı zamanda sınav anındaki zaman yönetimi ve okuma disiplini de belirleyicidir. Bu bölümde son yılların verileri ışığında en sık yapılan hatalar ve çözüm önerileri özetlenmiştir.

1. Yanlış Bilinmeyen Tanımı

"Çiftin küçük üyesini bul" diyen bir soruda bilinmeyen olarak büyük üyeyi seçen aday, doğru denklem kursa bile sonunda ters şıkkı işaretler. Çözüm: Sorunun ne istediğini soruyu okumadan denkleme geçme; soruda altını çiz.

2. Birim Çelişkisi

Hız km/saat, süre dakika ise sonuç saçma çıkar. Birim dönüşümü denklem kurmadan önce yapılmalıdır. Çözüm: Tüm değerleri tek birime indirgeyerek başla.

3. Art Arda Yüzdeler

%20 zam + %20 indirim = ilk fiyat sanmak en yaygın yanılgıdır. Çarpan yöntemi her zaman doğru sonucu verir.

4. Aritmetik Ortalama / Harmonik Ortalama Karışıklığı

Aynı mesafede iki farklı hızla gidiş-dönüş yapılan ortalama hız sorularında aritmetik ortalama yanlıştır. Doğru formül 2V₁V₂ / (V₁ + V₂)'dir.

5. Bütün-Parça Karıştırma

"%20'si okundu, geriye 100 sayfa kaldı" sorusunda 100 sayfanın bütünün %20'si değil %80'i olduğunu kaçıran aday yanlış sonuca varır.

6. Karışım Yüzdelerini Topla-Böl Hatası

İki karışımı birleştirirken yüzdeleri ortalayarak çözmek, karışımların miktarları eşit değilse hatalıdır. Çözüm: Tuz miktarı üzerinden ağırlıklı ortalama hesapla.

Aşağıdaki tablo, problemler bloğunun tüm kritik kurallarını tek bakışta hatırlamak için hazırlanmış sınav öncesi başvuru kaynağıdır. Sınava bir gün ya da bir hafta kala diğer kaynaklara dönmek yerine bu dizine bak; her satır bir alt başlığın özüdür ve hem DGS hem ALES Sayısal sorularında doğrudan kullanılır.