Bir Boyutta Sabit İvmeli Hareket

Mekaniğin temelinde üç büyüklük bulunur: konum, hız ve ivme. Bu bölümde üç kavramın matematiksel tanımları ve birbirleriyle ilişkisini yerleştireceğiz.

Konum ve Yer Değiştirme

Konum, cismin bir referans noktasına göre bulunduğu yerdir. Bir boyutta sayı doğrusu üzerindeki bir değere karşılık gelir (ör. x = +4 m). Yer değiştirme, cismin konumundaki değişimdir:

Yer değiştirme bir vektördür; büyüklüğü ve yönü vardır. Bir boyutta yön bilgisi işaret (+/−) ile taşınır: pozitif yön sağa/yukarı, negatif yön sola/aşağı olarak seçilir.

Ortalama Hız ve Anlık Hız

Ortalama hız, yer değiştirmenin geçen zamana oranıdır:

Anlık hız, çok kısa bir zaman aralığındaki ortalama hızın limitidir; matematiksel olarak konumun zamana göre türevidir: v = dx/dt. Sabit hızlı harekette ortalama hız ile anlık hız her zaman eşittir.

İvmenin Tanımı

İvme, birim zamandaki hız değişimidir:

İvme de vektördür; yönü ve büyüklüğü vardır. Birim olarak m/s² kullanılır. İvme Newton'un temel hareket yasasıyla doğrudan ilişkilidir:

İvmeli Hareketin Üç Biçimi

İvme, hızın vektörel değişimidir; hızın büyüklüğü, yönü ya da ikisi de değişirse cisim ivmelenir.

• Hızlanma: hızın büyüklüğü artar (ivme ile hız aynı yönlüdür).
• Yavaşlama: hızın büyüklüğü azalır (ivme ile hız zıt yönlüdür).
• Dönme: hızın büyüklüğü değişmese de yönü değişir; hâlâ ivmelidir.

Sabit hızla bir viraja giren araç, büyüklüğü sabit olmasına karşın hız vektörünün yönü sürekli değiştiği için ivmelidir. Yolcuların savrulması, bu ivmenin yarattığı etki-tepki ikilisinden kaynaklanır.

Örnek 1 — Hız Değişiminden İvme

Yatay yolda +5 m/s hızla giden otomobil 10 saniye sonra hızını +35 m/s'ye çıkarıyor. Hareketi düzgün olduğuna göre ortalama ivmesi kaç m/s²'dir?

Çözüm: İvme formülü: a = (v − v₀) / t = (35 − 5) / 10 = 30/10 = +3 m/s². Araç, her saniye 3 m/s hız kazanmaktadır. Yön pozitif olduğundan ivme de pozitiftir.

Sağlama: v = v₀ + a·t = 5 + 3·10 = 35 m/s ✓.

İvme sabitken hareketi tanımlayan dört bağıntı, AYT sorularının büyük bölümünde kullanılır. Bu bölümde her dördünü de hız-zaman grafiğinin geometrisinden türetiyoruz.

Denklem 1 — Hız Denklemi

İvmenin tanımı a = (v − v₀)/t'dir. v'yi yalnız bırakırsak:

Zaman-hız bağıntısı: t saniye sonra cismin hızı bu formülle bulunur. Geometrik olarak, v-t grafiği düz bir doğrudur ve v₀ y-eksenindeki kesim noktası, a ise doğrunun eğimidir.

Denklem 2 — Yer Değiştirme Denklemi

V-T grafiğinin altındaki alan yer değiştirmeyi verir. Grafik bir yamuk oluşturur: alt kenarı v₀, üst kenarı v = v₀ + at, yüksekliği t. Yamuğu alt dikdörtgen ve üst üçgene bölersek:

• Dikdörtgen alanı: v₀ · t
• Üçgen alanı: (1/2) · (v − v₀) · t = (1/2) · (a·t) · t = (1/2)·a·t²

Toplam yer değiştirme:

Denklem 3 — Zamandan Bağımsız Denklem

Yamuğun alanı farklı bir biçimde de yazılabilir: Δx = ((v₀ + v)/2) · t. Hız denkleminden t = (v − v₀)/a yazıp yerine koyarsak:

Δx = ((v₀ + v)/2) · (v − v₀)/a = (v² − v₀²)/(2a). Sonucu düzenlersek:

Zamandan bağımsız olarak hız ile konum arasında ilişki kurar. İş-kinetik enerji teoreminden de türetilebildiği için özellikle enerji sorularında kullanışlıdır.

Denklem 4 — Ortalama Hız Denklemi

Sabit ivmeli bir aralıkta ortalama hız, ilk ve son hızın aritmetik ortalamasıdır. Yer değiştirme, bu ortalamanın zamanla çarpımıdır:

Bu yöntemin gücü, kare terimlerden kaçınmasıdır: kök alma gerekmeyen aritmetik hesap sunar.

Denklemlerin Özet Tablosu

Denklem	İçindekiler	Eksik Büyüklük
v = v₀ + a·t	v₀, a, t, v	Δx yok
Δx = v₀·t + ½·a·t²	v₀, a, t, Δx	v yok
v² = v₀² + 2·a·Δx	v₀, v, a, Δx	t yok
Δx = ((v₀+v)/2)·t	v₀, v, t, Δx	a yok

Cismin hızlanıp yavaşlamadığı, ivme vektörü ile hız vektörü arasındaki açıya bakılarak belirlenir.

Dört Tipik Kurgu

İlk Hızın Yönü	İvmenin Yönü	Hareket Tipi	Örnek
+ (sağa)	+ (sağa)	Hızlanma (+ yönde)	v₀=+3, a=+1 → v(4s)=+7
+ (sağa)	− (sola)	Yavaşlama (+ yönde)	v₀=+5, a=−1 → v(4s)=+1
− (sola)	− (sola)	Hızlanma (− yönde)	v₀=−5, a=−1 → v(3s)=−8
− (sola)	+ (sağa)	Yavaşlama (− yönde)	v₀=−10, a=+1 → v(6s)=−4

Kural

• Hız ve ivme aynı yönlü → cisim hızlanır (hızın büyüklüğü artar).
• Hız ve ivme zıt yönlü → cisim yavaşlar (hızın büyüklüğü azalır). Hız sıfıra ulaşırsa yön değişir.

Yön Değiştirme

Bir cismin yön değiştirebilmesi için o anda hızının sıfır olması gerekir (sürekli bir fonksiyon için). Örneğin yukarı atılan taşın en üst noktadaki hızı sıfırdır; hemen sonra yer çekimi ivmesi onu aşağı yöne hızlandırır. Yön değişikliği anında ivme sıfır değildir; aksine, ivme cismin yönünü tersine çevirmiştir.

Örnek 2 — Yavaşlayıp Yön Değiştiren Araç

Yatay yolda sürtünmesiz bir ortamda ilk hızı +10 m/s olan araç T = 0'da x = 0 konumundan geçerken sabit bir negatif kuvvet etki etmeye başlıyor. Araç, −10 m/s hıza ulaşana kadar geçen süreyi bulun; ivmenin büyüklüğü 2 m/s² ise.

Çözüm: Hız denklemi: v = v₀ + a·t. Burada v₀ = +10, a = −2, v = −10. Yerine koyarsak: −10 = 10 + (−2)·t ⇒ −20 = −2t ⇒ t = 10 s.

Yorum: Araç ilk 5 saniyede +10 → 0'a kadar yavaşlar (pozitif yönde yavaşlama). t = 5 s'de hızı 0, yön değiştirir. Sonraki 5 saniyede 0 → −10'a kadar negatif yönde hızlanır. Toplam 10 s ✓.

Konum-zaman (x-t) grafiği, cismin zaman ile konumunu gösterir. Sabit hızlı harekette bir doğru, sabit ivmeli harekette ise bir parabol çizer.

Eğim = Anlık Hız

X-t grafiğinin herhangi bir noktasındaki eğim (teğetin eğimi), o andaki anlık hızdır:

Sabit ivmeli harekette konum-zaman grafiği paraboldür; teğet her noktada farklı bir eğime sahiptir. Parabolün biçimine bakarak hareketin tipini okuyabiliriz.

Dört Tipik Parabol Biçimi

Parabol Biçimi	Teğet Eğimi	Hareket
Artarak artan (yukarı açık)	Sağa yatık, dikleşiyor (+ artan)	+ yönde hızlanma
Azalarak artan	Sağa yatık, düzleşiyor (+ azalan)	+ yönde yavaşlama
Artarak azalan (aşağı açık)	Sola yatık, dikleşiyor (− artan)	− yönde hızlanma
Azalarak azalan	Sola yatık, düzleşiyor (− azalan)	− yönde yavaşlama

Eğim İşaretinin Yorumu

• Sağa yatık teğet → pozitif eğim → pozitif hız → cisim artı yönde gidiyor.
• Sola yatık teğet → negatif eğim → negatif hız → cisim eksi yönde gidiyor.
• Yatay teğet → sıfır eğim → sıfır hız → cisim durmuş.
• Teğet dikleşiyor → hızın büyüklüğü artıyor → hızlanıyor.
• Teğet düzleşiyor → hızın büyüklüğü azalıyor → yavaşlıyor.

Durma ve Yön Değiştirme

X-t grafiğinde yatay doğru parçası (eğim = 0) cismin durduğu aralığı temsil eder. Parabolün tepe noktası (yerel maksimum ya da minimum) cismin anlık olarak durduğu ve yön değiştirdiği noktadır. Örneğin yukarı fırlatılan taşın x-t grafiği yukarı açık bir paraboldür; tepe noktasında taş anlık olarak durmuş, sonra yere doğru düşmeye başlamıştır.

Örnek 3 — Eksi Konumdan Artı Konuma Hareket

Durgun halden sabit ivmeyle harekete başlayan bir kamyonun konum-zaman grafiğinde t = 0'da x = −10 m, t = 4 s'de x = +30 m olarak veriliyor. Kamyonun 4 s sonraki hızını ve ivmesini bulun.

Çözüm: Yer değiştirme: Δx = x_son − x_ilk = 30 − (−10) = +40 m. İlk hız v₀ = 0 (durgun halden başlıyor). Hız-zaman grafiğinde alan Δx'e eşittir; sabit ivmede grafik üçgendir:

Δx = (1/2) · v_son · t ⇒ 40 = (1/2) · v_son · 4 ⇒ v_son = 20 m/s.

İvme: a = (v_son − v₀)/t = (20 − 0)/4 = +5 m/s².

Sağlama: Δx = v₀·t + (1/2)·a·t² = 0 + (1/2)·5·16 = 40 m ✓.

Yorum: Kamyon −10 m konumundan başlayıp pozitif yönde sabit ivmeyle hızlanarak +30 m konumuna ulaşmıştır. Yön değiştirme yoktur; yalnızca sayı doğrusu üzerinde eksi tarafından artı tarafa geçmiştir.

Hız-zaman (v-t) grafiği, sabit ivmeli hareketin en işlevsel görselidir. Tek bir grafik üzerinden hem ivme hem yer değiştirme hem de yön değiştirme bilgileri okunabilir.

V-T Grafiğinin Üç Anahtarı

• Grafiğin kendisi: t anındaki anlık hızı verir. Artı bölgedeyse cisim pozitif yönde, eksi bölgedeyse negatif yönde hareket ediyor.
• Grafiğin eğimi: İvmeyi verir (a = dv/dt). Sabit ivmeli harekette grafik düz bir doğrudur; eğim sabittir.
• Grafiğin X ekseni ile arasındaki alan: Yer değiştirmeyi verir (Δx = ∫v·dt). X ekseninin üstü pozitif, altı negatif alandır.

Doğrunun Eğiminden İvme

V-t grafiği sabit ivmeli harekette bir doğrudur. İki noktadan eğim hesaplanır:

• Sağa yatık doğru (hızlar ile zaman birlikte artıyor): a > 0 (pozitif ivme).
• Sola yatık doğru (zaman ilerledikçe hızlar azalıyor): a < 0 (negatif ivme).
• Yatay doğru (eğim 0): a = 0 (sabit hızlı hareket).

Alanın İşareti

Alanın işaretine dikkat edilmelidir:

• X ekseninin üstündeki alan pozitif (cisim + yönde yer değiştiriyor).
• X ekseninin altındaki alan negatif (cisim − yönde yer değiştiriyor).

Toplam yer değiştirme, artı alanlar ile eksi alanların cebirsel toplamıdır. Alınan yol ise mutlak değerlerin toplamıdır.

Yön Değiştirme

V-t grafiği X eksenini kestiği anda, yani v = 0 olduğu anda cisim yön değiştirir. Grafik üst bölgeden alt bölgeye (ya da tersi) geçer.

Örnek 4 — Durma Mesafesi

Düz yolda +20 m/s hızla gitmekte olan sürücü, kırmızı ışığı gördüğü anda frene basıyor ve aracı 4 m/s² büyüklüğünde ivmeyle durduruyor. (a) Durma süresini, (b) durma mesafesini bulun.

Çözüm: Araç pozitif yönde gittiği için yavaşlama ivmesi negatiftir: a = −4 m/s², v₀ = +20, v = 0.

• (a) Durma süresi: v = v₀ + a·t ⇒ 0 = 20 + (−4)·t ⇒ t = 5 s.
• (b) Durma mesafesi (v-t grafiği altındaki üçgen alanı): Δx = (1/2)·v₀·t = (1/2)·20·5 = 50 m.

Sağlama — Ortalama hız yöntemi: v_ort = (20+0)/2 = 10 m/s, Δx = v_ort·t = 10·5 = 50 m ✓.

Sağlama — Zamandan bağımsız denklem: v² = v₀² + 2·a·Δx ⇒ 0 = 400 + 2·(−4)·Δx ⇒ Δx = 50 m ✓.

Örnek 5 — Yavaşlamada İlk Saniyedeki Yol

Pozitif yönde +30 m/s sabit hızla gitmekte olan bir araca negatif yönde 6 m/s² büyüklüğünde ivme uygulanıyor. Araç durmadan önceki ilk 1 saniyede aldığı yolu bulun.

Çözüm: Araç pozitif yönde giderken yavaşlıyor → a = −6 m/s², v₀ = +30, t = 1 s. Yer değiştirme:

Δx = v₀·t + (1/2)·a·t² = 30·1 + (1/2)·(−6)·1² = 30 − 3 = 27 m.

Sağlama — Ortalama hız: 1 saniye sonra v = 30 + (−6)·1 = 24 m/s. v_ort = (30+24)/2 = 27 m/s. Δx = 27·1 = 27 m ✓.

İvme-zaman (a-t) grafiği, en az bilgi veren ama AYT sorularında sıklıkla başlangıç noktası olan grafiktir.

Sabit İvmeli Harekette A-T Grafiği

İvme sabit olduğu için a-t grafiği X eksenine paralel yatay bir doğrudur:

• X ekseninin üstündeyse ivme pozitif yönlüdür.
• X ekseninin altındaysa ivme negatif yönlüdür.
• X ekseni üzerinde (eksene çakışık) ise ivme sıfırdır (ivmesiz hareket, sabit hız).

A-T Grafiğinin Altındaki Alan = Hız Değişimi

İvmenin tanımı a = Δv/Δt; yani Δv = a · Δt. A-t grafiğindeki dikdörtgen alanı bu çarpımdır:

Bu alan, yer değiştirmeyi DEĞİL, hız değişimini verir. AYT'de en sık yapılan hata bu ikisini karıştırmaktır.

A-T Grafiğinden V-T Grafiğine Geçiş

Bir a-t grafiği ve v₀ verilmişse v-t grafiği adım adım çıkarılır:

1. T = 0'da v = v₀ olarak başla.
2. Her Δt aralığında alan hesapla (pozitif/negatif).
3. Önceki hıza bu alanı ekle.
4. Noktaları birleştir.

Örnek 6 — A-T Grafiğinden V-T Çıkarma

İlk hızı v₀ = 0 olan bir aracın a-t grafiği şöyle: 0 ≤ t < 2 s arasında a = −8 m/s², 2 ≤ t ≤ 4 s arasında a = +8 m/s². Aracın v-t grafiğini ve 4 saniyedeki son hızını bulun.

Çözüm:

• 0-2 s aralığı: Alan = (−8)·2 = −16 m/s. v(2) = 0 + (−16) = −16 m/s. Araç eksi yönde hızlanmıştır.
• 2-4 s aralığı: Alan = (+8)·2 = +16 m/s. v(4) = −16 + 16 = 0 m/s. Araç bu aralıkta eksi yönde yavaşlayıp durmuştur.

Yorum: Araç 0-2 s arasında eksi yönde hızlanmış (0 → −16), 2-4 s arasında yine eksi yönde ama yavaşlayarak (−16 → 0) durmuştur. Toplam hız değişimi 0'dır; yalnızca bir yöne gittikten sonra geri dönmüştür, ama hareket sonundaki hız tekrar 0 olmuştur.

V-t grafiği: t = 0'da 0, t = 2'de −16, t = 4'te 0. İki farklı eğimli (biri negatif, diğeri pozitif) doğru parçasıdır ve V şeklindedir.

Durgun halden (v₀ = 0) sabit ivmeyle harekete başlayan cismin eşit zaman aralıklarında aldığı yollar iki farklı oran dizisi üretir. İkisini ayırt etmek AYT sorularının anahtarıdır.

Ardışık (Diferansiyel) Yol Oranları

Cismin n. saniyede aldığı yol (yani (n−1). ve n. saniye arasındaki yer değiştirme):

Hesap adımları (v₀ = 0):

• 1. saniyedeki yol: Δx(0→1) = (1/2)·a·1² − 0 = a/2 → x₁ = a/2
• 2. saniyedeki yol: Δx(1→2) = (1/2)·a·4 − (1/2)·a·1 = 3a/2 → x₂ = 3a/2
• 3. saniyedeki yol: Δx(2→3) = (1/2)·a·9 − (1/2)·a·4 = 5a/2 → x₃ = 5a/2
• 4. saniyedeki yol: x₄ = 7a/2

Oranlar:

Tek sayıların ardışık toplamı; saniye başına alınan yol arttıkça büyüyen bir dizi.

Kümülatif (Toplam) Yol Oranları

Cismin ilk n saniyedeki toplam yer değiştirmesi:

Hesap adımları:

• İlk 1 saniye: X(1) = a/2
• İlk 2 saniye: X(2) = 2a
• İlk 3 saniye: X(3) = 9a/2
• İlk 4 saniye: X(4) = 8a

Oranlar:

Tam karelerin dizisi; cismin baştan itibaren ne kadar yol aldığını anlatır.

İki Dizi Arasındaki İlişki

n	n. saniyedeki yol	Kümülatif (ilk n saniye)
1	1 (birim)	1
2	3	1 + 3 = 4
3	5	1 + 3 + 5 = 9
4	7	1 + 3 + 5 + 7 = 16

Tek sayıların ardışık toplamının tam kareye eşit olması (1 + 3 + 5 + ... + (2n−1) = n²) bilinen bir cebirsel özdeşliktir.

Örnek 7 — İlk Saniye 5 m ise 4 Saniye Sonra Ne Kadar?

Durgun halden sabit ivmeyle harekete başlayan bir araç 1. saniyede 5 m yol alıyor. (a) İvmesini, (b) ilk 4 saniyede aldığı toplam yolu, (c) 3. saniyedeki (sadece 2-3 saniye arası) yolu bulun.

Çözüm:

• (a) 1. saniyedeki yol: x₁ = a/2 = 5 ⇒ a = 10 m/s².
• (b) Kümülatif formül: X(4) = (1/2)·10·4² = 80 m. Ya da oran: 5 · 16 = 80 m.
• (c) 3. saniyedeki yol: x₃ = 5a/2 = 25 m. Ya da oran: 5 · 5 = 25 m. (1. saniye 5 m ⇒ 2. saniye 15 m ⇒ 3. saniye 25 m.)

Sağlama — Direkt denklemle:

• 2. saniyedeki hız: v(2) = 0 + 10·2 = 20 m/s.
• 3. saniyedeki hız: v(3) = 30 m/s.
• 2-3 saniye arası ortalama hız: (20+30)/2 = 25 m/s.
• Bir saniyelik yol: 25·1 = 25 m ✓.

AYT'de en sık sorulan grafik tiplerinden biri "verilen bir grafikten diğer ikisini çıkarma"dır. Üç grafik türev-integral ilişkisiyle bağlıdır.

Türev Zinciri

Üstte konum-zaman grafiğinin o andaki eğimi hızı, hız-zaman grafiğinin eğimi ise ivmeyi verir.

İntegral Zinciri

Altta ivme-zaman grafiğinin X ekseni ile arasındaki alan hız değişimini, hız-zaman grafiğinin alanı ise yer değiştirmeyi verir.

Grafik Kombinasyonlarının Tablosu

Hareket Tipi	x-t	v-t	a-t
Durgun	Yatay doğru	X ekseninde	X ekseninde
Sabit + hız	Sağa yatık doğru	Yatay doğru (üstte)	X ekseninde
+ yönde hızlanma	Artarak artan parabol	Sağa yatık (üstte)	Yatay (+, üstte)
+ yönde yavaşlama	Azalarak artan parabol	Sola yatık (üstten 0'a)	Yatay (−, altta)
− yönde hızlanma	Artarak azalan parabol	Sola yatık (altta)	Yatay (−, altta)
− yönde yavaşlama	Azalarak azalan parabol	Sağa yatık (alttan 0'a)	Yatay (+, üstte)

Örnek 8 — Kompleks V-T'den X-T ve A-T

Düz yolda T = 0'da x = 0'dan geçen aracın v-t grafiği şöyledir: 0-2 s arası +10 → 0 (yavaşlayarak durma), 2-4 s arası 0 (durgun), 4-6 s arası 0 → −10 (eksi yönde hızlanma). Aracın a-t ve x-t grafiklerini yorumlayın.

Çözüm:

• a-t: 0-2 s'de eğim (0 − 10)/2 = −5 m/s² → yatay −5 doğrusu. 2-4 s'de eğim 0 → X ekseninde. 4-6 s'de eğim (−10 − 0)/2 = −5 m/s² → yine yatay −5 doğrusu.
• x-t: 0-2 s'de araç + yönde yavaşlıyor → azalarak artan parabol. x(2) = (10+0)/2 · 2 = 10 m. 2-4 s'de durgun → yatay doğru, x = 10. 4-6 s'de eksi yönde hızlanma → artarak azalan parabol. Δx = (0 + (−10))/2 · 2 = −10 m. x(6) = 10 − 10 = 0 m.

Araç pozitif yönde 10 m gitmiş, 2 s durmuş, sonra eksi yönde hızlanıp x = 0'a geri dönmüştür.

AYT'de iki aracın birlikte hareket ettiği senaryolar iki ana kurguda sorulur: (i) aynı yönde arkadan yetişme/çarpma, (ii) zıt yönlü buluşma.

Kurgu 1 — Arkadan Yakalama (Aynı Yönde)

Öndeki araç L sabit hızla gidiyor; arkadan gelen K daha hızlı. Aralarında başlangıç mesafesi d var.

• Çarpma sınırı: K, L'nin hızına ulaştığında artık yaklaşmaz. Bu andan sonra aynı hızla giderlerse mesafe sabit kalır. K'nın L'yi yakalamaması (çarpmaması) için K yavaşlayarak L'nin hızına ulaşana kadar aldığı ek yol (alan farkı), en fazla d olmalıdır.

Örnek 9 — Frenleyen Araç, Çarpma Sınırı

Düz yolda önde L aracı +10 m/s sabit hızla, arkada K aracı +50 m/s hızla gidiyor. Aralarındaki mesafe 100 m iken K frene basıyor. K'nın L'ye çarpmaması için yavaşlama ivmesinin en az ne kadar olması gerekir?

Çözüm: K'nın L'yi yakalamaması için en uç durum, K'nın v_K = v_L = 10 m/s'ye yavaşlayana kadar aldığı ek yolun 100 m'yi geçmemesidir. Yavaşlama süresi boyunca:

• K'nın yer değiştirmesi: V-T grafiğinde yamuk; Δx_K = ((50 + 10)/2) · t = 30t.
• L'nin yer değiştirmesi: sabit hız; Δx_L = 10 · t.
• Alan farkı (K — L): 30t − 10t = 20t. Yani yamuk ile dikdörtgen arasındaki üçgen: (50−10)·t / 2 = 20t.

Çarpmama koşulu: 20t = 100 ⇒ t = 5 s. Bu sürede hız 50 → 10'a indi: a = (10 − 50)/5 = −8 m/s². Yavaşlama ivmesinin büyüklüğü en az 8 m/s² olmalıdır.

Sağlama: Bu ivmeyle K'nın durma mesafesi Δx_K = (50+10)/2 · 5 = 150 m; L'nin aynı sürede gittiği mesafe 10·5 = 50 m. K'nın L'ye göre fazladan aldığı 150 − 50 = 100 m ✓.

Kurgu 2 — Zıt Yönlü Buluşma

İki araç birbirine doğru yavaşlayarak ilerliyor. Her iki araç da eninde sonunda durur (ya da bir yerde buluşur). Başlangıç mesafesi d iseler ve ön uçlar aynı hizaya geldiğinde tam olarak duruyorlarsa: iki aracın alanlarının (yer değiştirmelerinin büyüklükleri) toplamı d'ye eşittir.

Örnek 10 — Karşı Yönlü Frenleme

Yatay yolda K aracı +60 m/s hızla sağa, L aracı −30 m/s hızla sola gidiyor. Aralarında 300 m varken aynı büyüklükteki ivmeler uygulanmaya başlıyor ve her iki araç da aynı anda durup ön uçları aynı hizaya geliyor. Yavaşlama ivmelerinin büyüklüklerini bulun.

Çözüm: İki aracın da durma süresi aynı olmalı: t. V-T grafiğinde K +60'tan 0'a, L −30'dan 0'a iniyor.

• K'nın yer değiştirmesinin büyüklüğü: |Δx_K| = (60/2)·t = 30t.
• L'nin yer değiştirmesinin büyüklüğü: |Δx_L| = (30/2)·t = 15t.
• Toplam: 30t + 15t = 45t = 300 ⇒ t = 20/3 s.

İvmeler:

• |a_K| = 60 / (20/3) = 60·3/20 = 9 m/s².
• |a_L| = 30 / (20/3) = 30·3/20 = 4.5 m/s².

Sağlama — Yer değiştirmeler: Δx_K = 30·(20/3) = 200 m, Δx_L = 15·(20/3) = 100 m, toplam 300 m ✓. K'nın ivmesi büyüktür çünkü daha yüksek hızdan aynı anda durdurulması gerekmiştir.

Bu son bölümde öğrencinin en sık yaptığı beş tuzağı anlatıp, tipik AYT düzeyinde üç kapanış örneği çözüyoruz.

Yedi Kritik Tuzak

1. X-T ile V-T'yi karıştırma: Konum-zamanda artıdan eksiye geçme yön değiştirme değildir; V-T'deki eksen kesimiyse gerçek yön değiştirmedir. Örneğin x = −10'dan x = +30'a düz çizgiyle çıkan x-t grafiği tek yönlü pozitif harekettir.
2. İvmenin işaretini hareket tipine çevirme: Pozitif ivme = hızlanma DEĞİLDİR; yön bilgisine bakın. Eksi yönde giden (v = −5) cisme uygulanan pozitif ivme (a = +2), cismi yavaşlatır, durdurur, sonra pozitif yöne hızlandırır.
3. Ardışık oran vs kümülatif oran: "3. saniyede" = sadece 2-3 arası; "ilk 3 saniyede" = 0-3 arası. Birincisi 5a/2, ikincisi 9a/2. "İlk saniyede 5 m" bilgisi birim birimdeki a/2 = 5 demektir, yani a = 10 m/s².
4. Birim dönüşümü: 1 km/h = 1/3.6 m/s. 90 km/h = 25 m/s, 72 km/h = 20 m/s, 36 km/h = 10 m/s. Grafikte birim metre/saniye verilmişse km/saat değerini dönüştürmeden kullanmayın.
5. Alanın işareti: V-T grafiğinde X ekseninin altındaki alan negatiftir (eksi yönde yer değiştirme). Net yer değiştirme için işaretli toplam alınır; alınan yol için mutlak değerlerin toplamı. Grafik yön değiştirmişse iki sonuç farklıdır.
6. Ortalama hızın yanlış uygulanması: v_ort = (v₀+v)/2 yalnızca tek parça düzgün hızlanma/yavaşlamada geçerlidir. Hız-zaman grafiği kırılıyorsa (ivme değişiyorsa) her parça ayrı ele alınmalı. Baştan sona ortalama alıp Δx = v_ort·T yazmak genellikle yanlıştır.
7. Durma zorunluluğu sanma: Arkadan gelen hızlı araç frene bastığında, öndeki sabit hızlı araca çarpmamak için durması gerekmez; öndekiyle aynı hıza ulaşması yeterlidir. Çarpma sınırı koşulu bu ortak hıza ulaşana kadarki alan farkıdır, tam durma anına kadar değil.

Örnek 11 — Birim Dönüşümlü Hızlanma

Yolda 90 km/h hız sınırı olan otomobil durgun halden harekete başlayarak 5 m/s² sabit ivmeyle hızlanıyor. Hız sınırına ulaştıktan sonra şoför gaz pedalını sabit tutuyor ve hareket sabit hızla devam ediyor. Şoför kaçıncı saniyeye kadar hızlanmıştır (gaz köklemiştir)?

Çözüm: Önce birim dönüşümü: v_max = 90 km/h = 90/3.6 = 25 m/s. Durgun halden v = v₀ + a·t: 25 = 0 + 5·t ⇒ t = 5 s. Şoför ilk 5 saniye boyunca hızlanmış, sonrasında sabit hızla sürmüştür.

Örnek 12 — Üç Parçalı Hareket

K noktasında durgun halden harekete başlayan otomobil 6 m/s² ivmeyle 2 saniye boyunca hızlanıyor (L noktasına ulaşıyor). Sonra 4 m/s² büyüklüğünde yavaşlama ivmesiyle duruyor (M noktasında). K-L ve L-M arası mesafeleri bulun.

Çözüm — Önce L'deki hızı bulalım:

• K → L: v_L = 0 + 6·2 = 12 m/s.
• K-L arası mesafe (ortalama hız): Δx_KL = (0 + 12)/2 · 2 = 12 m.
• L → M: v_M = 0, a = −4 m/s². 0 = 12 + (−4)·t_LM ⇒ t_LM = 3 s.
• L-M arası mesafe: Δx_LM = (12 + 0)/2 · 3 = 18 m.

Sağlama — Zamandan bağımsız denklemle:

• K-L: v_L² = 0 + 2·6·Δx_KL ⇒ 144 = 12·Δx_KL ⇒ Δx_KL = 12 m ✓.
• L-M: 0 = 144 + 2·(−4)·Δx_LM ⇒ Δx_LM = 144/8 = 18 m ✓.

Örnek 13 — Karışık İşaretli Yer Değiştirme

Bir aracın v-t grafiği 0-2 s arası +6 → +10 (hızlanma), 2-4 s arası +10 sabit, 4-6 s arası +10 → 0 (yavaşlama), 6-8 s arası 0 → −10 (eksi yönde hızlanma) biçimindedir. Aracın 0-8 saniye arasındaki toplam yer değiştirmesini bulun.

Çözüm: V-T grafiği parçalara ayrılıp alanlar ayrı ayrı hesaplanır:

• 0-2 s (yamuk): (6+10)/2 · 2 = +16 m.
• 2-4 s (dikdörtgen): 10 · 2 = +20 m.
• 4-6 s (üçgen, üstte): (1/2)·10·2 = +10 m.
• 6-8 s (üçgen, altta): (1/2)·(−10)·2 = −10 m.

Toplam: Δx = 16 + 20 + 10 − 10 = +36 m.

Araç başlangıç konumundan 36 m sağa (+ yönde) yer değiştirmiştir. Alınan yol ise 16 + 20 + 10 + 10 = 56 m'dir (mutlak toplam).

Örnek 14 — Kümülatif Oran Uygulaması

Durgun halden sabit ivmeyle harekete başlayan bir cisim ilk 2 saniyede 8 m yol alıyor. Cismin (a) ivmesini, (b) ilk 5 saniyedeki toplam yolu, (c) 5. saniyedeki yolu (sadece 4-5 saniye arası) bulun.

Çözüm:

• (a) İlk 2 saniye kümülatif: X(2) = (1/2)·a·2² = 2a = 8 ⇒ a = 4 m/s².
• (b) İlk 5 saniye kümülatif: X(5) = (1/2)·4·25 = 50 m. Ya da oran yaklaşımı: ilk 2 s'de 8 m alınıyor, oran 4 : 25 olduğundan ilk 5 s'de 8 · (25/4) = 50 m ✓.
• (c) 5. saniyedeki yol (ardışık): x₅ = (2·5−1)·a/2 = 9·4/2 = 18 m. Ya da X(5) − X(4) = 50 − (1/2)·4·16 = 50 − 32 = 18 m ✓.

Doğrulama — Tek sayı oranıyla: İlk 2 saniyede alınan 8 m, x₁ + x₂'ye eşittir (oran 1 + 3 = 4). Demek ki 1 birim = 2 m. Böylece: x₁ = 2 m, x₂ = 6 m, x₃ = 10 m, x₄ = 14 m, x₅ = 18 m. İlk 5 saniye toplamı: 2+6+10+14+18 = 50 m ✓.

Örnek 15 — Zamandan Bağımsız Denklem Kullanımı

Yatay yolda +15 m/s hızla giden aracın motoru durduruluyor. Sürtünme nedeniyle araç 2.5 m/s² büyüklüğünde ivmeyle yavaşlıyor. Araç durana kadar kaç metre yol alır?

Çözüm: Zaman verilmemiş ve istenmemiş → zamandan bağımsız denklem. v² = v₀² + 2·a·Δx. Pozitif yönde yavaşlama a = −2.5 m/s², v₀ = +15, v = 0. 0 = 225 + 2·(−2.5)·Δx ⇒ Δx = 225/5 = 45 m.

Sağlama — Ortalama hız: t = v₀/|a| = 15/2.5 = 6 s. Δx = (15+0)/2 · 6 = 45 m ✓.