Atışlar

Atışlar, hava direncinin ihmal edildiği ortamda yalnızca yer çekiminin etkisi altında kalan cisimlerin hareketini inceler. Bu konu aslında bir boyutta sabit ivmeli hareketin özel bir uygulamasıdır: ivme artık bilinmeyen bir sabit değil, yer çekimi ivmesi g’dir. g yaklaşık 10 m/s² alınır ve aşağı yönlüdür.

Dört Atış Türü

• Serbest düşme: İlk hızı sıfır olan cismin yalnız yer çekimiyle düşmesi.
• Düşey atış — yukarıdan aşağıya: Yüksek bir noktadan v₀ hızıyla aşağıya fırlatma.
• Düşey atış — aşağıdan yukarıya: Yerden (ya da belli bir yükseklikten) v₀ hızıyla dikey yukarı atma.
• Yatay atış: Belli bir yükseklikten yatay yönde v₀ hızıyla fırlatma. Hem yatay hem düşey hareket içerir.
• Eğik atış: Yatayla θ açı yapacak biçimde v₀ hızıyla fırlatma.

Aristo’dan Newton’a — Havasız Ortam

Aristo, ağır cisimlerin hafiflerden önce yere düşeceğini öne sürdü. Havasız ortamda yapılan deney bunu çürütür: bowling topu ve kuş tüyü aynı anda yere iner. Newton 2. yasasıyla sebep bellidir: cismin üzerindeki tek kuvvet ağırlıktır.

Görüldüğü gibi kütle sadeleşir; cismin ivmesi g’ye eşittir. Yani havasız ortamda ivme kütleden bağımsızdır, tüm cisimler aynı ivmeyle düşer.

Kütle Neden Yanıltıcı Gelir?

"5 kg’lık taş 1 kg’lık taştan daha şiddetle çekilir" önermesi doğrudur (5 mg > mg). Ancak kütle, cismin eylemsizlik ölçüsüdür: daha büyük kütle hızlandırılmaya daha çok direnir. Bu iki etki birbirini tam olarak dengeler ve her iki cisim de aynı g ivmesiyle hızlanır.

Hava Direnci Olan Ortam — Limit Hız

Gerçek ortamda hava direnci cismin hızıyla orantılıdır: F_dir = k·v. Yani cisim ne kadar hızlanırsa üstüne o kadar çok tepki kuvveti uygulanır. İki kuvvet (ağırlık ve hava direnci) bir noktada eşitlenir ve cisim sabit hıza ulaşır:

Limit hıza ulaşan cisim artık hızlanmaz. Ağır cismin limit hızı büyüktür (bu yüzden bowling topu gerçek atmosferde kuş tüyünden hızlı düşer). Paraşüt açıldığında k büyür, limit hız küçülür; bu sayede paraşütçü yere güvenli bir hızda iner.

Yer Çekimi İvmesi Neden Ortamdan Ortama Farklıdır?

Yer çekimi ivmesi g, bulunduğunuz gök cisminin kütlesine ve yarıçapına bağlıdır. Dünya yüzeyinde yaklaşık 9.81 m/s²’dir ve problemlerde 10 m/s² olarak yuvarlanır. Ay yüzeyinde g_ay ≈ 1.6 m/s²’dir; aynı yüksekliğe çıkan cisim Ay’da yaklaşık √(10/1.6) ≈ 2.5 katı sürede iner. Jüpiter’de g ≈ 24.8 m/s²’dir; cisim daha hızlı düşer.

Dünya’da da enlem ve yüksekliğe göre g değişir: ekvatorda biraz küçük, kutuplarda biraz büyük; deniz seviyesinden yükseldikçe azalır. AYT’de bu farklar genellikle işlenmez; g = 10 kabul edilir.

Serbest Düşme ile Düşey Atış Arasındaki Fark

Atışı sınıflamak için ilk adım ilk hızın ne olduğunu ve yönünün yer çekimine göre nasıl olduğunu tespit etmektir:

• Serbest düşme: v₀ = 0. Cisim düşerken hızlanır. İvme g, hızla aynı yönlü.
• Aşağı yönlü düşey atış: v₀ ≠ 0, aşağı yönlü. Cisim hızlanır; ivme g ile ilk hız aynı yönlü.
• Yukarı yönlü düşey atış: v₀ ≠ 0, yukarı yönlü. Cisim önce yavaşlar, durur (tepe), sonra hızlanarak düşer. İvme sürekli aşağı yönlü.

Bu üç durumda da ivme aynıdır (g), değişen tek şey ilk hızın yönüdür. Çözümde seçtiğiniz pozitif yöne göre işaretleri sabitleyerek dört temel denklemi kullanabilirsiniz.

Serbest düşme, ilk hızı sıfır olan bir cismin yalnız yer çekiminin etkisiyle düşey eksende hareketidir. İvme sabit (g) olduğu için sabit ivmeli hareketin dört denkleminin özel halleri çıkar.

Temel Denklemler

g = 10 m/s² alındığında sayıların nasıl geliştiğini görelim:

• 1. saniye sonunda: hız 10 m/s, düşülen yükseklik 5 m.
• 2. saniye sonunda: hız 20 m/s, toplam düşülen 20 m.
• 3. saniye sonunda: hız 30 m/s, toplam düşülen 45 m.
• 4. saniye sonunda: hız 40 m/s, toplam düşülen 80 m.

Ardışık Saniyelerde Alınan Yol — 1 : 3 : 5 : 7

Yukarıdaki kümülatif değerlerin farkı, her bir saniyede alınan yolu verir:

• 1. saniye: 5 m (0 → 5).
• 2. saniye: 15 m (5 → 20).
• 3. saniye: 25 m (20 → 45).
• 4. saniye: 35 m (45 → 80).

Oranlar: 5 : 15 : 25 : 35 = 1 : 3 : 5 : 7. Bu, tek sayıların ardışık dizisidir. Genel formül: n. saniyede alınan yol xₙ = (2n−1)·g/2.

Kümülatif Yol — 1 : 4 : 9 : 16

İlk n saniyedeki toplam düşülen yükseklik: h(n) = ½·g·n². Değerler 5, 20, 45, 80 m; oran 1 : 4 : 9 : 16 tam kare dizisidir.

Örnek 1 — Ardışık Oran Uygulaması

Bir cisim H yüksekliğinden serbest bırakıldığında yere 4 saniyede ulaşıyor. g = 10 m/s² ve hava direnci ihmal ediliyor. (a) Cismin bırakıldığı yükseklik kaç metredir? (b) Cismin 3. saniyedeki hızı kaç m/s’dir? (c) Cisim son 1 saniyede kaç metre düşmüştür?

Çözüm:

• (a) H = ½·g·t² = ½·10·16 = 80 m.
• (b) v = g·t = 10·3 = 30 m/s.
• (c) Son 1 saniye = 4. saniyedeki ardışık yol. Oran 1 : 3 : 5 : 7 olduğuna göre; 1 birim = 80/(1+3+5+7) = 80/16 = 5 m. 4. saniye = 7·5 = 35 m.

Sağlama: İlk 3 saniyede ½·10·9 = 45 m; 4 saniyede 80 m. Fark 80 − 45 = 35 m ✓.

Örnek 2 — İvme ve Hız-Zaman Grafiği

Bir cisim 80 m yükseklikten serbest bırakılıyor. Cismin yere çarpma hızını iki farklı yöntemle hesaplayın.

Çözüm — Yöntem 1 (zaman üzerinden): t = √(2H/g) = √(160/10) = 4 s. Ardından v = g·t = 40 m/s.

Yöntem 2 (zamandan bağımsız): v² = 2·g·H = 2·10·80 = 1600 ⇒ v = 40 m/s ✓.

Cisim belli bir yükseklikten, aşağı yönlü v₀ ilk hızıyla fırlatılır. Yerçekimi ivmesi ile ilk hız aynı yönlü olduğundan cisim hızlanarak düşer.

Denklemler

Burada h düşülen yüksekliktir (cismin ilk konumundan o ana kadar kat ettiği düşey mesafe). v-t grafiği v₀’dan başlayıp eğimi g olan bir doğrudur; h-t grafiği bir paraboldür.

Grafikler

• İvme-zaman: a = g sabit (yukarıyı artı alırsak −g).
• Hız-zaman: v₀’dan başlayıp doğrusal artar (aşağı yön).
• Konum-zaman: Başlangıçta eğim v₀ olan, gitgide dikleşen parabol.

Örnek 3 — Aşağı Atış Süresi

Bir cisim 60 m yüksekliğinden aşağı yönlü 20 m/s ilk hızıyla fırlatılıyor. g = 10 m/s². (a) Cismin yere çarpma süresi kaç saniyedir? (b) Yere çarpma hızı kaç m/s’dir?

Çözüm — (a): h = v₀·t + ½·g·t² ⇒ 60 = 20t + 5t² ⇒ t² + 4t − 12 = 0 ⇒ (t−2)(t+6) = 0. Pozitif kök t = 2 s.

(b): v = v₀ + g·t = 20 + 10·2 = 40 m/s.

Sağlama — zamandan bağımsız: v² = v₀² + 2·g·h = 400 + 2·10·60 = 1600 ⇒ v = 40 m/s ✓.

Örnek 4 — Aşağı Atış vs Serbest Düşme

Aynı H yüksekliğinden A cismi serbest bırakılıyor, B cismi ise aşağı yönlü 10 m/s hızıyla atılıyor. H = 80 m ve g = 10 m/s². İki cismin yere varış süreleri farkı kaç saniyedir?

Çözüm:

• A (serbest düşme): 80 = ½·10·t_A² ⇒ t_A² = 16 ⇒ t_A = 4 s.
• B (aşağı atış): 80 = 10·t_B + 5·t_B² ⇒ t_B² + 2·t_B − 16 = 0 ⇒ t_B = (−2 + √(4 + 64))/2 = (−2 + √68)/2 ≈ 3.12 s.

Fark: t_A − t_B ≈ 4 − 3.12 ≈ 0.88 s. B cismi, ilk hızı sayesinde yaklaşık 0.88 s önce yere ulaşır. Not: Eşit süreli aşağı atışta v₀ ile birlikte g’nin etkisi üst üste biner, bu yüzden sürekli daha hızlanır.

v-t Grafiği ve Alan

Aşağı atışın v-t grafiği (aşağıyı + yön alırsak) v₀ noktasından başlayıp eğimi g olan bir doğrudur. Belli bir t’ye kadar X ekseniyle arasındaki alan, o ana kadar düşülen yol olur:

• Yamuk alan: h = ((v₀ + v)/2) · t. Bu, ortalama hız yöntemidir.
• Parabolik büyüme: h = v₀·t + ½g·t² (dikdörtgen + üçgen).

Her iki gösterim aynı sonucu verir. Ortalama hız yöntemi özellikle zaman biliniyorsa daha hızlı sonuç verir; zamandan bağımsız denklem ise yalnız hızlar ve mesafe sorulduğunda tercih edilir.

Cisim v₀ ilk hızıyla yukarı atıldığında, yerçekim ivmesi hızla zıt yönlüdür. Cisim önce yavaşlar, en yüksek noktada hızı sıfırlanır, sonra düşmeye başlayıp tekrar atış noktasına iner.

Kritik Bağıntılar

Simetri Kuralı

Yer çekimi her iki yönde (çıkış ve iniş) aynı büyüklükte etki eder. Bu nedenle:

• Çıkış süresi ile iniş süresi eşittir.
• Aynı yükseklikten çıkış anındaki hız büyüklüğü ile iniş anındaki hız büyüklüğü eşittir, yönleri zıttır.
• Atış noktasından ne hızla çıktıysa geri geldiğinde aynı büyüklükte bir hızla iner (|v_iniş| = v₀).

Örnek 5 — Yerden Yukarı Atış

Bir taş yerden 30 m/s hızla düşey olarak yukarı atılıyor. g = 10 m/s². Bulun: (a) Çıkabildiği maksimum yükseklik. (b) Havada kalma süresi. (c) Havada 2. saniyedeki hızı.

Çözüm:

• (a) h_max = v₀²/(2g) = 900/20 = 45 m.
• (b) T_toplam = 2·v₀/g = 60/10 = 6 s.
• (c) v(t) = v₀ − g·t = 30 − 10·2 = 10 m/s (hâlâ yukarı yönlü, çünkü tepe noktasına ulaşılmamış).

Sağlama — Çıkış süresi: t_çıkış = 30/10 = 3 s. 2. saniyede cisim hâlâ yükselmektedir (3 s’den küçük) ve hızı 10 m/s pozitiftir ✓.

Aynı Yükseklikte İki Ziyaret

Yer ile en yüksek nokta arasındaki herhangi bir yüksekliğe cisim iki kez uğrar: bir kez çıkarken, bir kez inerken. Her iki anın toplamı uçuş süresine eşittir: t_1 + t_2 = T_toplam. Çıkış anında hız büyüklüğü, iniş anında aynıdır (yalnız yön ters).

Yüksekten Yukarı Atış

Eğer atış noktası yer değil H yüksekliğindeyse, cisim önce yukarı çıkar sonra iner ve atış seviyesinden daha aşağıya geçip yere çarpar. Uçuş süresini bulmak için kuadratik denklem kurulur; zamandan bağımsız denklemle yere çarpma hızı doğrudan hesaplanır: v_yere² = v₀² + 2·g·H. Simetri yalnızca atış seviyesinin üstündeki parça için geçerlidir.

Örnek 6 — Balkondan Yukarı Atış

25 m yüksekliğindeki balkondan yukarı yönlü 20 m/s hızıyla bir taş atılıyor. g = 10 m/s². Bulun: (a) Cismin çıkabileceği toplam yükseklik (yerden itibaren). (b) Yere varış süresi. (c) Yere çarpma hızı.

Çözüm:

• (a) Atış noktasının üstüne çıkılan yükseklik: Δh = v₀²/(2g) = 400/20 = 20 m. Yerden itibaren toplam yükseklik: 25 + 20 = 45 m.
• (b) Yukarı yönü + kabul edelim. Cismin yere varış anında konumu y = −25 m. Denklem: −25 = 20·t − 5·t² ⇒ t² − 4t − 5 = 0 ⇒ (t − 5)(t + 1) = 0. Pozitif kök t = 5 s.
• (c) Zamandan bağımsız denklem: v² = v₀² + 2·g·H_total, burada H_total = 45 m (tepe noktasından yere). v² = 0 + 2·10·45 = 900 ⇒ v = 30 m/s.

Sağlama: v = v₀ − g·t = 20 − 10·5 = −30 m/s; işaret negatif olduğundan hız aşağı yönlü. Büyüklük 30 m/s ✓.

Yatay atış, cismin bir yükseklikten yatay yönde v₀ hızıyla fırlatılmasıdır. Örneğin masa kenarından yuvarlanan top. Hareket iki boyutludur: yatay ve düşey eksenler birbirinden bağımsız incelenir.

İki Eksen, İki Farklı Hareket

• Yatay (x) eksen: Kuvvet yok → sabit hızlı hareket. v_x = v₀, x = v₀ · t.
• Düşey (y) eksen: Yalnız yer çekimi → serbest düşme. v_y = g·t, y = ½·g·t².

Uçuş Süresi — Sadece Yükseklik

Cisim yere düştüğünde düşey yer değiştirmesi H’ye eşittir: H = ½·g·t². Buradan:

Görüldüğü gibi uçuş süresi ilk hızdan bağımsızdır. Aynı yükseklikten 5 m/s ile fırlatılan top da 50 m/s ile fırlatılan top da yere aynı anda iner.

Menzil

Menzil ilk hızla doğru orantılıdır. İki cisim aynı yükseklikten v₁ ve v₂ ile fırlatılmışsa menzilleri oranı: R₁ / R₂ = v₁ / v₂.

İniş Hızı ve Açısı

Yere çarpma anında hız bileşenleri v_x = v₀ ve v_y = g·t’dir. Bileşke hız:

Örnek 7 — Yatay Atış Temel

Bir top 20 m yükseklikten yatay olarak 15 m/s hızla fırlatılıyor. g = 10 m/s². Bulun: (a) Uçuş süresi. (b) Menzil. (c) Yere çarpma anındaki bileşke hız büyüklüğü.

Çözüm:

• (a) t = √(2·20/10) = √4 = 2 s.
• (b) R = v₀·t = 15·2 = 30 m.
• (c) v_y = g·t = 10·2 = 20 m/s. |v| = √(15² + 20²) = √(225 + 400) = √625 = 25 m/s.

Sağlama: v_y / v_x = 20/15 = 4/3, yani tan θ = 4/3 (3-4-5 üçgeni). Bileşke 25 m/s ✓.

Örnek 8 — İki Farklı Yükseklikten Yatay Atış

A cismi 45 m yükseklikten v_A hızıyla, B cismi 20 m yükseklikten v_B hızıyla yatay atılıyor; ikisi de aynı noktaya düşüyor. v_A / v_B oranını bulun. (g = 10 m/s²).

Çözüm: Uçuş süreleri:

• A: t_A = √(2·45/10) = √9 = 3 s.
• B: t_B = √(2·20/10) = √4 = 2 s.

Aynı noktaya düşme → menzillerin eşit olması: v_A·t_A = v_B·t_B ⇒ v_A·3 = v_B·2 ⇒ v_A / v_B = 2/3.

Yörünge — Parabol

Yatay atışın yörüngesi bir paraboldür ve denklemi şu şekilde türetilir: x = v₀·t ⇒ t = x/v₀. Bunu y = ½·g·t² (aşağı yönde ölçülen düşme) içine koyunca:

Görüldüğü üzere aşağı doğru düşme, yatay mesafenin karesiyle artar. İlk hız v₀ ne kadar büyükse yörünge o kadar yatay olur; küçükse yörünge daha dik biçimde aşağı açılır.

Masadan Yuvarlanan Top Sınıflaması

Yatay atış sık kullanılan kurgulara sahiptir:

• Masa kenarı: Yatay yönde ilk hız + düşey yönde serbest düşme. Masadan uçan top.
• Uçaktan bırakma: Uçağın yatay hızı, bırakılan cismin yatay bileşeni olur (v_x = v_uçak). Cisim uçağın hemen altında kalmaz; uçak ve cisim aynı yatay hızla aynı yatay konumda ilerler.
• Top yuvarlama: Yatay hız, topun masadaki son hızıdır. Yuvarlanma sırasında oluşan sürtünme farkı dikkate alınırsa yatay hızın azaldığı not edilebilir; ancak AYT’de genelde "yataydan uçan top" olarak ideal kabul edilir.

Eğik atış, cismin yatayla θ açı yapacak biçimde v₀ hızıyla fırlatılmasıdır. Top atmak, mermi fırlatmak, su fıskiyesi gibi örnekler bu hareketi temsil eder. Yörüngesi bir paraboldür.

İlk Hız Bileşenleri

Yatay bileşen tüm uçuş boyunca sabittir (yatay kuvvet yok). Düşey bileşen yer çekimiyle değişir:

Yörünge ve Tepe Noktası

En yüksek noktada düşey hız sıfırlanır: v_y = 0 ⇒ t_tepe = v₀·sin θ / g. Yatay hız bileşeni v₀·cos θ ise sıfırlanmaz — cisim tepede de ileri doğru hareket eder. Bu yüzden yörünge tepede kesilen bir paraboldür.

Temel Bağıntılar

Menzili R = v_x·T biçiminde de yazabilirsiniz: R = v₀·cos θ · 2·v₀·sin θ/g = v₀²·sin(2θ)/g.

Örnek 9 — Eğik Atış Temel

Bir cisim yerden 40 m/s hızla yatayla 30° açı yapacak şekilde atılıyor. g = 10 m/s², sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2. Bulun: (a) Uçuş süresi. (b) Maksimum yükseklik. (c) Yatay menzil.

Çözüm — Bileşenler: v₀ₓ = 40·(√3/2) = 20√3 m/s, v₀ᵧ = 40·(1/2) = 20 m/s.

• (a) T = 2·20/10 = 4 s.
• (b) H = 20²/(2·10) = 400/20 = 20 m. Ya da bileşenle: H = v₀²·sin²θ/(2g) = 1600·(1/4)/20 = 20 m ✓.
• (c) R = v_x·T = 20√3 · 4 = 80√3 m ≈ 138.6 m. Formülle sağlama: R = v₀²·sin(2θ)/g = 1600·sin 60°/10 = 160·(√3/2) = 80√3 m ✓.

Paraboldeki Hız Büyüklüğü

Herhangi bir t anında cismin hız büyüklüğü: |v| = √(v_x² + v_y²). Tepe noktasında v_y = 0 olduğu için minimum hız v_x = v₀·cos θ’dır; yani cisim tepede durmaz, sadece en yavaş olur.

Yörünge Denklemi

Zamanı yok edip y’yi x’in fonksiyonu olarak yazabiliriz. x = v₀·cos θ · t ⇒ t = x/(v₀·cos θ). Bunu y = v₀·sin θ · t − ½gt² içine koyunca:

Bu, x’e göre ikinci dereceden bir denklem olduğundan yörünge bir paraboldür. Denklemin kökleri atış noktası (x = 0) ve iniş noktası (x = R)’dir.

Örnek 10 — Yörünge Denklemi ile Menzil

Yerden v₀ = 20 m/s hızıyla θ = 37° açıyla fırlatılan cisim için sin 37° = 0.6, cos 37° = 0.8, g = 10. Yörünge denklemini yazın ve cismin 16 m yatay mesafede hangi yükseklikte olduğunu bulun.

Çözüm: tan 37° = 0.6/0.8 = 0.75. cos²37° = 0.64. Yörünge: y = 0.75·x − 10·x² / (2·400·0.64) = 0.75·x − x²/51.2.

x = 16 için: y = 0.75·16 − 16²/51.2 = 12 − 5 = 7 m.

Sağlama — menzil: R = v₀²·sin(2θ)/g = 400·sin 74°/10 ≈ 400·0.96/10 ≈ 38.4 m. 16 m atış noktasının ortasına yakın olduğu için henüz tırmanıyor (x = 19.2’de tepe). Bulduğumuz 7 m mantıklı ✓.

Eğik atışın en güzel özelliklerinden ikisi uçuş simetrisi ve tamamlayıcı açılardır. Her ikisi de AYT’de çeldiricisi çok olan nüanslar içerir.

Uçuş Simetrisi (Aynı Seviyeye İniş)

Yerden fırlatılıp yine yere inen cisim için:

• Çıkış süresi = iniş süresi = v₀·sin θ / g.
• Atış noktasındaki hız büyüklüğü ile yere inme noktasındaki hız büyüklüğü eşittir (|v_iniş| = v₀).
• Atış açısı ile iniş açısı (yatayla) yine θ’dır; yalnız yukarı yönlü olan aşağı yönlü olur.

Tamamlayıcı Açılar — Aynı Menzil

Menzil formülü R = v₀²·sin(2θ) / g içinde sin(2θ) sinüs fonksiyonunun özelliği nedeniyle θ ve 90°−θ için aynı değeri verir. Çünkü:

Örneğin 30° ve 60° ya da 20° ve 70° açılarıyla aynı v₀ ile atılan cisimler aynı menzile varır. Ancak uçuş süresi ve maksimum yükseklik farklıdır:

Büyüklük	θ = 30°	θ = 60°
Menzil R	sin 60° = √3/2 → eşit	sin 120° = √3/2 → eşit
Uçuş süresi T	sin 30° = 1/2 (küçük)	sin 60° = √3/2 (büyük)
Maksimum yükseklik H	sin²30° = 1/4 (küçük)	sin²60° = 3/4 (büyük)

Yani aynı ilk hızla atılan iki cisimden büyük açılı olan daha yukarı çıkar, daha uzun havada kalır, ama aynı yatay mesafeye iner.

Örnek 11 — Tamamlayıcı Açı

Aynı v₀ = 20 m/s hızla yerden sırasıyla 30° ve 60° açılarla iki cisim atılıyor. g = 10 m/s². Her iki atış için menzili, uçuş süresini ve maksimum yüksekliği bulun.

Çözüm:

• Menzil (her ikisi): R = v₀²·sin(2θ)/g. 30° için sin 60° = √3/2, 60° için sin 120° = √3/2. R = 400·(√3/2)/10 = 20√3 m ≈ 34.64 m. Her iki menzil eşittir ✓.
• Uçuş süresi 30°: T = 2·20·(1/2)/10 = 2 s. 60°: T = 2·20·(√3/2)/10 = 2√3 ≈ 3.46 s.
• Maksimum yükseklik 30°: H = 400·(1/4)/20 = 5 m. 60°: H = 400·(3/4)/20 = 15 m.

Sağlama — oran: H_60° / H_30° = 15/5 = 3. Formülden oran sin²60° / sin²30° = (3/4)/(1/4) = 3 ✓.

Aynı ilk hızla atılan cismin hangi açıyla en uzağa gideceği ya da en yukarı çıkacağı sık test edilen bir konudur.

Maksimum Menzil — 45° Kuralı

Menzil R = v₀²·sin(2θ)/g’dir. sin fonksiyonunun en büyük değeri 1’dir ve bu da 2θ = 90°, yani θ = 45° olduğunda sağlanır. Dolayısıyla:

Bu nedenle gülle atma, mızrak atma, topçu atışı gibi sporlarda ve tatbikatlarda en uzağa atmak için 45°’ye yakın açılar tercih edilir.

Maksimum Yükseklik — 90° Sınırı

Yükseklik formülü H = v₀²·sin²θ/(2g)’dir. sin²θ en büyük değerini θ = 90°’de (yani doğrudan yukarı atışta) alır. O anda:

Ancak 90°’de menzil sıfırdır (cisim atıldığı yere geri düşer). Dolayısıyla "en uzağa at" ile "en yukarı çıksın" talepleri farklı açılar ister.

Örnek 12 — 45° Maksimum Menzil

Bir cisim yerden 20 m/s hızla yatayla 45° açı yapacak şekilde fırlatılıyor. g = 10 m/s², sin 45° = cos 45° = √2/2. Bulun: (a) Menzil. (b) Maksimum yükseklik. (c) Uçuş süresi.

Çözüm:

• (a) R = v₀²·sin(2θ)/g = 400·sin 90°/10 = 400/10 = 40 m.
• (b) H = v₀²·sin²θ/(2g) = 400·(1/2)/20 = 10 m.
• (c) T = 2·v₀·sin θ/g = 2·20·(√2/2)/10 = 2√2 ≈ 2.83 s.

Sağlama — menzil başka yoldan: v_x = 20·(√2/2) = 10√2, R = v_x · T = 10√2 · 2√2 = 40 m ✓.

Eşit v₀, Farklı Açılar — Sıralama

• Menzil: 45° en büyük; θ ile 90°−θ açılarında eşit; 0° ve 90°’de sıfır.
• Yükseklik: θ arttıkça artar; 90°’de en büyük, 0°’de sıfır.
• Uçuş süresi: θ arttıkça artar; 90°’de en büyük, 0°’de sıfır.

Menzil-Yükseklik İlişkisi 45°’de

Maksimum menzil açısı 45°’de maksimum yükseklik R/4’e eşittir. Çünkü:

• R_maks = v₀²/g.
• H(45°) = v₀²·(1/2)/(2g) = v₀²/(4g) = R_maks/4.

Bu oran, AYT çözümlerinde hızlı sağlama amacıyla kullanılabilir: 45° atışta menzil yüksekliğin 4 katıdır.

Maksimum Menzilin Yükseklikten Bağımsızlığı

Maks menzil formülü R_maks = v₀²/g’dir; içinde yükseklik geçmez. Çünkü aynı yüksekliğe iniş varsayımı altında türetilmiştir. Eğer atış yüksekten yapılıyor ve cisim yere iniyorsa (farklı yükseklikten inişe geçiyorsa) maksimum menzil açısı artık 45° değildir; daha küçük bir açıda olur. AYT sınavlarında bu kurgu zaman zaman "yerden atış" yerine "yüksek tepeden atış" olarak sunulur; dikkatli okumak gerekir.

Örnek Karşılaştırma — Aynı v₀ Farklı Açılar

v₀ = 30 m/s için g = 10 alındığında (sin/cos özel açılar):

Açı θ	Menzil R (m)	Yükseklik H (m)	Süre T (s)
30°	45√3 ≈ 77.9	11.25	3
45°	90	22.5	3√2 ≈ 4.24
60°	45√3 ≈ 77.9	33.75	3√3 ≈ 5.20
90°	0	45	6

30° ve 60° menzilleri eşit (sin 60° = sin 120°). 45° menzili maksimum. Yükseklik θ arttıkça artar. 90° atışta (düşey) menzil sıfır, yükseklik ise v₀²/(2g) = 45 m maksimum.

Atış sorularının önemli bir kısmı grafik okuma üzerinden gelir. Aşağıda her atış türü için temel grafikler verilmiştir (yukarı yönü artı kabul ediyoruz).

Serbest Düşme (v₀ = 0)

• İvme-zaman: a = −g sabit yatay doğru.
• Hız-zaman: Orijinden başlayıp aşağı doğru eğimi −g olan doğru.
• Konum-zaman: Aşağı açılan parabol (y = −½gt²).

Aşağıdan Yukarıya Düşey Atış

• İvme-zaman: a = −g (yukarı atışa rağmen ivme hep aşağıda).
• Hız-zaman: +v₀’dan başlar, eğimi −g, X eksenini v₀/g anında keser (tepe noktası), sonra negatif değerlere geçer (iniş). Yatay eksenle yapılan alanlar çıkış ve iniş için simetriktir.
• Konum-zaman: Aşağı açılan parabolün tepesi: (v₀/g, v₀²/2g). y(0) = 0 ve y(T_toplam) = 0.

Yatay Atış

• v_x-t: Yatay doğru (v_x = v₀ sabit).
• v_y-t: Orijinden negatif yönde doğrusal; eğimi −g.
• y-t: Parabol (aşağı açılan).
• x-t: Doğru (x = v₀·t).

Eğik Atış

• v_x-t: v₀·cos θ sabit yatay doğru.
• v_y-t: +v₀·sin θ’dan başlar, eğimi −g, T/2 anında X eksenini keser (en yüksek nokta), sonra simetrik biçimde −v₀·sin θ’ya iner.
• |v|-t: En yüksek noktada minimum (v₀·cos θ); atış ve iniş anlarında v₀.
• Yörünge (y-x grafiği): Aşağı açılan parabol.

Grafik-Formül Eşleştirmesi

Grafik	Eğim	Alan
x-t (konum-zaman)	anlık hız	—
v-t (hız-zaman)	ivme	yer değiştirme
a-t (ivme-zaman)	—	hız değişimi

Grafik Yorumlama Adımları

Atış grafiği sorularını çözerken şu adımları izlemek güvenlidir:

1. Yön seçimi: Önce pozitif yönü belirleyin (genelde yukarı + alınır). Tüm büyüklükleri bu seçime göre işaretleyin.
2. İvme-zaman: Hava direnci ihmalse atışın tüm türünde a = −g; grafiği yatay bir doğru olarak çizin.
3. Hız-zaman: Başlangıç hızı için v₀ değerini düşey eksende işaretleyin. Eğim −g’dir. Tepe noktasını (hız sıfır olduğu an) X ekseninin kesim noktasında işaretleyin.
4. Alan = Yer değiştirme: X ekseninin üzerindeki alan pozitif (yukarı), altındaki alan negatif (aşağı) yer değiştirme. Toplam yer değiştirme işaretli alanların toplamıdır.
5. Konum-zaman: Parabol. Tepe noktasının zamanı hız-zaman grafiğinin X ekseniyle kesişim zamanıdır; konum değeri ise o ana kadarki alandır.

Örnek Grafik — Yerden Yukarı Atış

Cisim yerden 20 m/s ile yukarı atılıyor (g = 10 m/s²). Grafik değerleri:

• İvme-zaman: a = −10 m/s² sabit (0 → 4 s).
• Hız-zaman: (0, +20)’den (2, 0)’a düz bir çizgi (çıkış). Sonra (2, 0)’dan (4, −20)’ye düz çizgi (iniş). Toplam alan 0’dır (başlangıç ve bitiş aynı noktada).
• Konum-zaman: Parabol. Tepe (2, 20). Başlangıç ve bitiş (0, 0) ve (4, 0).

Yüksekten Atış — Asimetrik Grafik

Balkondan yukarı atılan cisim için v-t grafiği yerden atıştaki gibi v₀’dan başlar, sıfıra iner, sonra negatif değerlere geçer — ama cisim atış seviyesinin altına geçince grafik sıfırın altında kalır. Bu nedenle X ekseninin altındaki toplam alan üstündekinden büyüktür; toplam işaretli alan −H (balkonun yerden yüksekliği kadar aşağı iniş) olur.

Bu kapanış bölümünde en sık yapılan hataları ve AYT düzeyinde kombine örnekleri bir araya getiriyoruz.

Birim ve İşaret Seçimi

Atış problemlerinde en temel alışkanlık, çözüme başlarken pozitif yönü net biçimde seçmektir. Yukarıyı + alırsanız ilk hızı +v₀, ivmeyi −g yazmanız gerekir. Aşağıyı + alırsanız (bazı serbest düşme problemlerinde daha kolay), ilk hız (yukarı atılıyorsa) −v₀, ivme +g olur. Her iki yön seçimi de aynı sonucu verir; tutarlılık yeterlidir. Birim için g her zaman m/s² kullanılır; v₀ için "km/sa"nın verildiği sorularda km/sa ÷ 3.6 = m/s dönüşümü unutulmamalıdır. Örneğin 72 km/sa hızla atılan bir cismin v₀ = 20 m/s olarak kullanılması gerekir; problemdeki 72 rakamı doğrudan m/s yerine konursa menzil dört katı büyük, süre iki katı büyük yanlış çıkar.

Sekiz Kritik Tuzak

1. "En yüksek noktada ivme sıfırdır" yanılgısı: Hız sıfır, ivme hâlâ g. Aksi halde cisim tepede asılı kalırdı.
2. Yatay atış süresinin v₀’a bağlı olduğu sanısı: Doğrusu t = √(2H/g); yalnız yükseklik belirler. Aynı yükseklikten 10 m/s ile de 100 m/s ile de fırlatılan top aynı anda yere iner.
3. Eğik atışta menzili v₀·T ile hesaplamak: Doğrusu v_x·T = v₀·cos θ · T. Sadece yatay bileşen menzile katkı yapar.
4. Ardışık ile kümülatif oran karışıklığı: "3. saniyede" 25 m (ardışık, 5 × 5), "ilk 3 saniyede" 45 m (kümülatif, 5 × 9).
5. Hava direnci yokken kütlenin düşme süresini etkilediği sanısı: Havasız ortamda tüm cisimler aynı g ile iner; kütle sadeleşir.
6. Tamamlayıcı açılarda her şeyin eşit olduğu sanısı: Yalnız menzil eşit. Yükseklik ve süre büyük açıda daha büyüktür.
7. Yüksekten yukarı atışta simetri sanısı: Atış noktasının altına inen yol için simetri geçerli değildir. Yere iniş zamanı ile tepeden iniş zamanı farklıdır.
8. v_y sıfır diye hız sıfır sanmak: Eğik atışın tepesinde v_y = 0 ama v_x = v₀·cos θ sıfır değildir; cisim hâlâ ileri hareket ediyordur.

Atış Kombinasyonları — Pratik Tablo

Farklı atış türlerinde kritik büyüklüklerin nasıl hesaplandığını tek bakışta görebilmek için aşağıdaki tablo özellikle AYT’de hızlı eleme için kullanışlıdır:

Atış Türü	Uçuş Süresi	Menzil	Yere Çarpma Hızı
Serbest düşme	√(2H/g)	—	√(2gH)
Aşağı düşey atış	kuadratik	—	√(v₀² + 2gH)
Yukarı (yerden)	2·v₀/g	—	v₀
Yatay atış	√(2H/g)	v₀·√(2H/g)	√(v₀² + 2gH)
Eğik atış (aynı seviyede)	2·v₀·sin θ/g	v₀²·sin 2θ/g	v₀ (simetri)

Örnek 13 — Kombinasyon: Yatay Atış + Eğik Atış Menzil Karşılaştırma

Bir cisim 20 m yükseklikten yatay olarak 10 m/s ile fırlatılıyor (A olayı). Aynı v₀ = 10 m/s hızla, ancak bu kez yerden yatayla 45° açıyla atılıyor (B olayı). g = 10 m/s². Menzilleri karşılaştırın.

Çözüm — A (yatay atış): t_A = √(2·20/10) = 2 s. R_A = v₀·t_A = 10·2 = 20 m.

Çözüm — B (eğik atış 45°): R_B = v₀²·sin 90°/g = 100/10 = 10 m.

Sonuç: R_A = 20 m > R_B = 10 m. Yüksekten yatay atılan cisim, yerden eğik atılan cisme göre iki kat daha uzağa gitmiş. Sebep: A’nın uçuş süresi yükseklik sayesinde 2 s’ye çıkarken, B’nin süresi yalnız 2·10·(√2/2)/10 = √2 ≈ 1.41 s kadardır.

Örnek 14 — Aynı Anda İniş Kurgusu

Bir masadan yuvarlanan top A +5 m/s hızla, aynı masanın kenarından aşağı bırakılan top B ise v₀ = 0 ile aynı anda hareket ediyor. Masanın yerden yüksekliği 1.25 m, g = 10 m/s². Hangisi önce yere düşer?

Çözüm: Yatay atış uçuş süresi yalnız yüksekliğe bağlıdır. Her iki cisim için: t = √(2·1.25/10) = √0.25 = 0.5 s.

Sonuç: İkisi de aynı anda yere düşer. A, bu sürede 5·0.5 = 2.5 m ilerde, B ise masanın altına düşer.

Örnek 15 — Tamamlayıcı Açı ve Süre Oranı

Aynı yerden aynı v₀ hızıyla θ₁ = 30° ve θ₂ = 60° açılarla iki cisim atılıyor. Menzilleri eşit olduğuna göre T₂ / T₁ oranı nedir? sin 30° = 1/2, sin 60° = √3/2.

Çözüm: T = 2·v₀·sin θ/g. Oran:

Yani 60° atışının süresi, 30° atışının süresinin √3 ≈ 1.73 katıdır. Menzilleri aynı olsa da yüksek açılı atış havada daha uzun kalır.

Örnek 16 — Düşey Atış, Aynı Yükseklikte İki Anın Süresi

Yerden 40 m/s ile yukarı atılan cisim, atıldığı noktadan 60 m yükseklikte iki farklı anda bulunmaktadır. Bu anların birbiri arasındaki süreyi bulun. g = 10 m/s².

Çözüm: Konum denklemi: 60 = 40t − 5t² ⇒ t² − 8t + 12 = 0 ⇒ (t−2)(t−6) = 0.

Cisim 60 m yüksekliği sırasıyla t₁ = 2 s (çıkarken) ve t₂ = 6 s (inerken) anlarında geçer. Aralarındaki süre: t₂ − t₁ = 4 s.

Sağlama — simetri: Tepe noktası t_tepe = v₀/g = 4 s. 60 m yükseklikteki iki an tepeye göre simetriktir: 4 − 2 = 6 − 4 = 2 s. Toplam aralık 4 s ✓.

Örnek 17 — Yatay Atış: Aynı Yere İniş

A cismi h yükseklikten v hızıyla yatay atılıyor; aynı yere inen B cismi ise 4h yükseklikten yatay olarak atılıyor. B’nin ilk hızı nedir? g = 10 m/s².

Çözüm: Uçuş süreleri:

• t_A = √(2h/g), t_B = √(8h/g) = 2·√(2h/g) = 2·t_A.
• Menziller eşit: v·t_A = v_B · 2t_A ⇒ v_B = v/2.

Sonuç: B, A’nın hızının yarısıyla fırlatılmalıdır. Çünkü yukarıdan düşen cisim daha uzun süre uçar; o süreyi daha küçük bir yatay hızla aynı mesafeye çevirir.

Örnek 18 — Eğik Atışta Tepe Noktasındaki Hız

Yerden 50 m/s hızla yatayla θ açı yapacak şekilde atılan cismin tepe noktasındaki hızı 30 m/s’dir. Atış açısı nedir?

Çözüm: Tepe noktasında hız, yalnız yatay bileşenin büyüklüğüne eşittir: v_x = v₀·cos θ = 30. Buradan cos θ = 30/50 = 3/5. Ters kosinüs: θ ≈ 53° (3-4-5 üçgeninden bilinen özel açı).

Sağlama: sin 53° = 4/5 = 0.8. v₀·sin θ = 50·(4/5) = 40 m/s (başlangıç düşey hızı). Maksimum yükseklik H = 40²/20 = 80 m. Uçuş süresi T = 2·40/10 = 8 s. Menzil R = 30·8 = 240 m. Tüm değerler tutarlı ✓.