Newton Hareket Yasaları

Newton I, üzerine etki eden kuvvetlerin vektörel toplamı sıfır olan bir cismin, sahip olduğu hızı koruyacağını söyler. Matematiksel olarak:

Bu ifadenin iki ayrı sonucu vardır: (i) durgun bir cisim durgun kalır, (ii) sabit hızla giden bir cisim aynı hızla gitmeye devam eder. Yani "durmak" Newton I için özel bir durum değildir; hız sıfır olan bir özel halidir. Asıl söylenen şey ivmenin sıfır olmasıdır; ivme sıfırsa hızın büyüklüğü ve yönü değişmez.

Eylemsizlik Nedir?

Eylemsizlik, bir cismin hareket durumunu koruma eğilimidir. Kütle, eylemsizliğin ölçüsüdür; bir cismin kütlesi arttıkça hareketini değiştirmek (hızlandırmak, yavaşlatmak, yönünü çevirmek) için daha büyük kuvvetlere ihtiyaç duyulur. Bu yüzden dolu bir vagonu itmek boş bir vagonu itmekten çok daha zordur.

Günlük Hayatta Eylemsizlik

• Ani fren yapan otobüs: Otobüsün önündeki hava akımı değil, otobüsün kendisi yavaşlar. Yolcu ise sabit hızla gitme eğilimini korumak ister ve ileri doğru savrulur. Emniyet kemeri, yolcunun üzerine geriye doğru kuvvet uygulayarak aracın yavaşlamasına onu da dahil eder.
• Bağlanmamış yük: Kamyon frene bastığında kasasındaki bağlanmamış kaya parçası, kendisini yavaşlatacak bir kuvvet olmadığı için hızını korur; kamyonun ön tarafına çarpar.
• Kapalı vagon: Camları kapalı, ivmesiz hareket eden bir trenin içindeki yolcu, dışarıyı görmedikçe hareket ettiğini anlayamaz. Çünkü sabit hızda net kuvvet sıfırdır ve vücut bu durumu durgunluktan ayırt edemez.

Örnek 1 — Denge Koşulu

Yatay yerde durgun duran 4 kg kütleli bir cisme yatay yönde sağa 12 N, sola 8 N kuvvet uygulanıyor. Yatay zeminle cisim arasında sürtünme vardır ve cisim durmaya devam etmektedir. (a) Cisme etki eden sürtünme kuvvetinin yönünü ve büyüklüğünü bulunuz. (b) Yerçekim ivmesi g = 10 m/s² iken cisim-zemin arası statik sürtünme katsayısı en az kaç olmalıdır?

Çözüm: Cisim durgun ise net kuvvet sıfırdır. Sağa doğru toplam dış kuvvet 12 − 8 = 4 N. Cismi durgun tutan sürtünme kuvveti bu 4 N'u dengelemelidir; dolayısıyla sola doğru 4 N'luk statik sürtünme kuvveti etki eder.

(b) Normal kuvvet: düşeyde dışarıdan kuvvet yok, dolayısıyla N = mg = 4·10 = 40 N. Statik sürtünmenin cisim hâlâ durgunken alabileceği maksimum değer f_s,max = μ_s·N. Cismin yerinde kalması için f_s ≤ f_s,max koşulu gerekir: 4 ≤ μ_s · 40 ⇒ μ_s ≥ 0.1. Minimum değer μ_s,min = 0.1'dir. ✓

Cismin üzerindeki net kuvvet sıfır değilse cisim ivmelenir. İvmenin büyüklüğü net kuvvetle doğru, kütleyle ters orantılıdır:

Birim olarak 1 N = 1 kg · 1 m/s². İvme vektörü daima net kuvvet vektörüyle aynı yönlüdür; yani cisim her an net kuvvetin gösterdiği yönde hızlanmaya çalışır. Newton II ifadesi, Newton I'i de kapsar: net kuvvet sıfır olursa m·a = 0 olur, m ≠ 0 olduğu için zorunlu olarak a = 0 çıkar.

Orantıların Yorumu

Değişken Sabit	Artarsa	İvmeye Etki
Kütle (m) sabit	Net kuvvet (F) artar	İvme (a) doğru orantılı artar
Net kuvvet (F) sabit	Kütle (m) artar	İvme (a) ters orantılı azalır
Her ikisi değişken	F ve m aynı katsayıyla	İvme değişmez

Örnek 2 — Yatay Sürtünmesiz Düzlemde Tek Cisim

5 kg kütleli bir cisme sürtünmesiz yatay yerde sağa doğru 20 N, sola doğru 8 N büyüklüğünde iki yatay kuvvet uygulanıyor. Yerçekim ivmesi g = 10 m/s². Cismin ivmesinin büyüklüğünü ve yönünü bulunuz.

Çözüm: Sağ yönü (+) alalım. Yatayda net kuvvet: F_net = 20 − 8 = 12 N (sağa). İvme: a = F_net/m = 12/5 = 2.4 m/s² sağa. Düşeyde cisim hareket etmez; N = mg = 50 N normal kuvveti ağırlıkla dengelidir. ✓

Örnek 3 — Etki-Tepki: İki Farklı Kütlede İki Farklı İvme

Paten üzerinde karşılıklı duran iki arkadaştan biri 60 kg, diğeri 40 kg. Büyük olan arkadaş küçük olanı 200 N'luk yatay bir kuvvetle iterse (zemin sürtünmesiz), her iki arkadaşın kazandığı ivmenin büyüklüğünü bulunuz.

Çözüm: Büyük arkadaşın uyguladığı kuvvet küçük arkadaşa etki eder. Newton III gereği küçük arkadaşın da büyük arkadaşa aynı doğrultuda, zıt yönde, eşit büyüklükte (200 N) tepki kuvveti uyguladığı unutulmamalıdır.

• Küçük arkadaş (40 kg): a₁ = 200/40 = 5 m/s² (itiliş yönünde).
• Büyük arkadaş (60 kg): a₂ = 200/60 ≈ 3.33 m/s² (ters yönde).

Aynı tepki kuvveti daha küçük kütleli arkadaşta daha büyük ivme üretir. İşte kütlenin eylemsizlik ölçüsü olduğunun sayısal ispatı.

Newton III şunu söyler: Bir A cismi, B cismine F büyüklüğünde bir kuvvet uyguluyorsa, B cismi de A cismine eşit büyüklükte, zıt yönde ve aynı doğrultuda F kuvveti uygular:

En önemli vurgu: etki ve tepki kuvvetleri iki farklı cisme etki eder. İlki B'nin SCD'sinde, ikincisi A'nın SCD'sinde gösterilir. Aynı cismin SCD'sinde asla yan yana yer almazlar.

Etki-Tepki Çifti Olanlar ve Olmayanlar

• Çift: Bir kitap masada duruyorken kitabın masaya uyguladığı aşağı yönlü basınç kuvveti ile masanın kitaba uyguladığı yukarı yönlü normal kuvvet etki-tepki çifti değildir. Yaygın bir yanılgıdır; doğru kurguda etki-tepki çifti Yer'in kitaba uyguladığı ağırlık (Yer→kitap) ile kitabın Yer'i kendine çekmesidir (kitap→Yer).
• Örnek: Yürüyen bir insan, ayağıyla zemini geriye doğru iter (etki, zemine). Newton III gereği zemin de insanın ayağına ileri yönlü bir kuvvet (tepki, insana) uygular; işte bu tepki kuvveti insanı ileri götüren şeydir. Sürtünme bu mekanizmanın aracıdır.
• Örnek: Kürekçi küreği geriye doğru iter; tepki olarak su, küreği (ve kürekçiyi) ileri iter.
• Örnek: Roketin yakıtı arkaya doğru fırlatması (etki) ile yakıt kütlesinin rokete uyguladığı öne doğru tepki kuvveti; roketin itki kuvvetinin temelidir.

Niçin Aynı Kuvvet İki Cismi Farklı Etkiler?

Etki ile tepki eşit büyüklükte olsa da kütleler farklı olduğu için ivmeler farklıdır. Karınca bir parmağa çarpıp savruluyorsa, karıncanın parmağa uyguladığı kuvvet ile parmağın karıncaya uyguladığı kuvvet aynı büyüklüktedir; fakat parmağın kütlesi karıncanınkinden yüz binlerce kat büyük olduğu için aynı kuvvet parmağa hissedilemez bir ivme, karıncaya ise onu savuran büyük bir ivme kazandırır.

SCD, cisme etki eden tüm kuvvetlerin kuyrukları cismin üzerinde olacak şekilde gösterildiği okları içeren bir şemadır. Newton yasalarını sayısal olarak uygulamanın zorunlu ilk adımıdır. SCD çizmenin doğru disiplini şudur: cisim etrafında hayali bir çerçeve düşünün ve yalnızca bu çerçevenin içinde görünen, yani cisme doğrudan temas eden veya cisme ait olan kuvvetleri çizin.

SCD'de Bulunabilecek Kuvvetler

Kuvvet	Kaynağı	Yönü
Ağırlık (G = mg)	Yer çekimi (daima var)	Daima düşey aşağı
Normal kuvvet (N)	Yüzeyler arası temas	Yüzeye diktir, cisme doğru
İp gerilmesi (T)	Gergin bir ip varsa	İpin cisimden uzaklaşan yönde
Sürtünme (f)	Temas yüzeyi	Bağıl hareketin tersine
Dışarıdan uygulanan (F)	Dış etken (el, yay, motor)	Uygulanan yön

Yerde Duran Cisim

Yatay yerde duran m kütleli bir cisme iki kuvvet etki eder: aşağı yönlü mg ağırlık ve yukarı yönlü N normal kuvvet. Cisim durgunsa Newton I gereği bu ikisi büyüklük olarak eşittir: N = mg. Ağırlık ile normal kuvvet etki-tepki çifti değildir — çünkü ikisi de aynı cisim (yani yerdeki cisim) üzerindedir.

Tavana İple Asılan Cisim

Havada askıda olan bir cisme iki kuvvet etki eder: aşağı yönlü mg ve yukarı yönlü T ip gerilmesi. Cisim durgunsa T = mg.

Duvara Yatay Kuvvetle Bastırılan Cisim

Yatay yöndeki F kuvvetiyle bir düşey duvara bastırılan cisme dört kuvvet etki eder: mg (aşağı), F (sağa), N (sola, duvardan gelen normal kuvvet), f (yukarı, statik sürtünme — cismi aşağı çeken ağırlığa karşı). Cisim durgunsa: yatayda N = F, düşeyde f = mg. Sürtünme için gerekli en düşük katsayı μ_s,min = mg/F.

İki Cisim İple Bağlı — Her Cismin SCD'si Ayrıdır

Yatay sürtünmesiz zeminde iple birbirine bağlı m₁ (arka) ve m₂ (ön) kütleleri, öndeki cisme sağdan uygulanan F ile çekilmektedir.

• m₁'in SCD'si: m₁g aşağı, N₁ yukarı, T sağa (ipten). Yatay denklem: T = m₁·a.
• m₂'nin SCD'si: m₂g aşağı, N₂ yukarı, F sağa, T sola (ipten; aynı ip, aynı büyüklük, zıt yön). Yatay denklem: F − T = m₂·a.

İki denklem toplanırsa ortak ivme a = F/(m₁+m₂) bulunur; ardından T = m₁·a ile ip gerilmesi hesaplanır. Bu yöntem, Newton II'yi sistematik kullanmanın tek doğru yoludur.

Sürtünme, temas halindeki iki yüzeyin birbirine paralel yönde karşılıklı uyguladığı ve göreli hareketi engelleyen kuvvettir. İki ayrı bölge vardır: statik (cisim durgun iken) ve kinetik (cisim hareket iken).

Statik Sürtünme

Dışarıdan uygulanan yatay kuvvet küçük iken cisim hareket etmez. Statik sürtünme bu kuvveti dengeleyecek büyüklüğe kendiliğinden ayarlanır: f_s = F_dış. Bu değer bir tavana (maksimum) sahiptir:

Yani cismi hareketlendirmek için aşılması gereken eşik f_s,max = μ_s·N'dir. Bu değerin altındaki kuvvetler sürtünmeyle dengelenir; üstüne çıkılırsa cisim hareket eder.

Kinetik Sürtünme

Cisim hareket halindeyken sürtünme büyüklüğü uygulanan kuvvetten bağımsızdır ve sabittir:

Genelde μ_k < μ_s olduğundan, cismi yerinden oynatmak onu götürmekten daha zordur. Bu yüzden bir eşyayı iterken başlangıçta büyük bir kuvvet gerekir, hareket başlayınca daha az çabayla itmeye devam edebilirsiniz.

Sürtünme Kuvveti Grafiği

Yatay eksende dışarıdan uygulanan yatay kuvvet F, düşey eksende sürtünme kuvvetinin büyüklüğü f: grafik, orijinden başlayarak eğimi 1 olan bir doğru çıkar (statik bölge, f_s = F). F = μ_s·N değerine ulaşıldığında küçük bir düşüş yaşanır ve f = μ_k·N değerinde sabitlenir (kinetik bölge). Bu düşüş, μ_k'nın μ_s'den küçük olmasındandır.

Normal Kuvvetin Hesabı — Kilit Nokta

Sürtünme kuvveti N'ye bağlı olduğu için her soruda önce normal kuvveti doğru bulmak gerekir. Üç tipik durum:

• Yatay zemin, düşeyde kuvvet yok: N = mg.
• Yatay zemin, cisme yukarı ya da aşağı düşey kuvvet: N = mg ± F_y (yukarı ise −, aşağı ise +).
• Eğik düzlem: N = mg·cos θ.

Örnek 4 — Sürtünmeli Yatay Düzlemde İvme

Yatay zeminde m = 5 kg kütleli bir cisme yatay yönde F = 30 N kuvvet uygulanıyor. Cisim-zemin arası kinetik sürtünme katsayısı μ_k = 0.2. Yerçekim ivmesi g = 10 m/s². Cisim hareket halindeyse ivmesini bulunuz.

Çözüm:

• Normal kuvvet: N = mg = 5·10 = 50 N.
• Kinetik sürtünme: f_k = μ_k·N = 0.2·50 = 10 N (harekete ters yönde).
• Yatayda net kuvvet: F_net = F − f_k = 30 − 10 = 20 N.
• İvme: a = F_net/m = 20/5 = 4 m/s². ✓

Örnek 5 — Duvara Bastırılan Cisim

Yatay yönde F = 40 N kuvvetle düşey duvara bastırılan m = 2 kg kütleli cisim duvarda durgun kalıyor. Duvar-cisim arası statik sürtünme katsayısı μ_s'dir. Cismin düşmeden kalabilmesi için μ_s en az kaç olmalıdır? (g = 10 m/s²)

Çözüm: Cismin SCD'sinde: mg = 20 N aşağı, F = 40 N sağa (duvara doğru), N = 40 N sola (duvardan gelen normal kuvvet), f_s yukarı (sürtünme, düşmeyi engelliyor). Cisim düşmeyecekse f_s = mg = 20 N. Sürtünmenin tavanı: f_s ≤ μ_s · N ⇒ 20 ≤ μ_s · 40 ⇒ μ_s ≥ 0.5. Minimum değer μ_s = 0.5. ✓

Bu bölümde iple birbirine bağlı cisimlerin Newton II analizini sistematik olarak göreceğiz. Tek ivmeli sistemlerin çözümünde iki yol vardır: (i) tüm sistemi tek cisim gibi düşünüp net dış kuvveti toplam kütleye bölmek, (ii) her cismi ayrı SCD ile ele alıp denklemleri üst üste koymak. İkisi de aynı sonucu verir; AYT'de ip gerilmesi sorulursa ikinci yol zorunludur.

İki Cisim, Sürtünmesiz Zemin

Aynı yatay doğrultuda m₁ (solda, arkadaki) ve m₂ (sağda, öndeki) kütleleri iple bağlı. Öndeki cisme sağa doğru F uygulanıyor. Sistem sağa doğru ortak a ivmesi kazanır.

Sistemi tek cisim saymak: Tüm dış kuvvetlerin bileşkesi F'dir (ip gerilmeleri iç kuvvettir, sistem denkleminde görünmez). Toplam kütle m₁ + m₂:

m₁'i ayrı analiz: m₁'e yalnız ip gerilmesi T etki ediyor: T = m₁·a = m₁·F / (m₁+m₂).

Örnek 6 — İple Bağlı İki Cisim

Sürtünmesiz yatay zeminde m₁ = 2 kg ve m₂ = 3 kg kütleli cisimler gergin bir iple birbirine bağlı. m₂'ye sağa doğru F = 20 N yatay kuvvet uygulanıyor. (a) Sistemin ortak ivmesi, (b) iki cisim arasındaki ip gerilmesi kaç N?

Çözüm:

• Ortak ivme: a = F/(m₁ + m₂) = 20/(2+3) = 20/5 = 4 m/s².
• İp gerilmesi: m₁'e yalnız T etki ediyor; T = m₁·a = 2·4 = 8 N. ✓

Doğrulama: m₂'nin SCD'sinden: F − T = m₂·a ⇒ 20 − T = 3·4 = 12 ⇒ T = 8 N. ✓

Sürtünmeli Zemin

Zemin-cisim arası kinetik sürtünme varsa (aynı katsayı μ kabul edelim), her iki cisim için sürtünme kuvveti ayrı hesaplanır: f₁ = μ·m₁·g, f₂ = μ·m₂·g. Her ikisi de harekete zıt yönde (sola doğru). Ortak ivme:

İp gerilmesi yine m₁'in SCD'sinden: T − μ·m₁·g = m₁·a ⇒ T = m₁·(a + μ·g).

Alt cisim m₁ yerde, üst cisim m₂ ise alt cismin üstünde duruyor. m₁'e yatay F uygulandığında iki olasılık vardır: (A) iki cisim birlikte kayar (aynı ivme), (B) alt cisim kayar, üst cisim geride kalır (ayrı ivmeler). Hangisinin olacağı üst-alt sürtünme ile belirlenir.

Üst Cismi Götüren Tek Kuvvet: Sürtünme

Üst cisim (m₂) üzerine dışarıdan hiç kuvvet uygulanmıyor; onu ileri götürebilecek yegâne kuvvet alt cismin yüzeyinden gelen sürtünmedir. Alt cisim sağa hızlanırsa, üst cismin tabanıyla alt cismin üst yüzeyi arasında göreli kayma eğilimi oluşur (üst, alt'a göre sola kaymak ister). Sürtünme bu eğilime karşı çıkar ve üst cisme sağa doğru bir kuvvet uygular; işte üst cismin ivmelenmesinin sebebi budur.

Birlikte Kayma Koşulu

İki cisim birlikte kayıyorsa aynı a ivmesine sahiptirler. Üst cisme gereken sürtünme: f_gerekli = m₂·a. Bu değer, üst-alt yüzey arasındaki maksimum statik sürtünmeyi (μ_s·m₂·g) aşmamalıdır:

Yani birlikte kayabilmenin maksimum ivmesi a_max = μ_s·g'dir. Bunu aşarsa üst cisim geride kalır. Dikkat: bu koşul üst cismin kütlesinden bağımsızdır.

Örnek 7 — Üst Üste Cisimler, Birlikte Kayma

Sürtünmesiz yatay zeminde m₁ = 4 kg kütleli alt cismin üstünde m₂ = 2 kg kütleli üst cisim duruyor. Alt cisme yatay yönde F = 18 N uygulanıyor. Üst-alt yüzey arası statik sürtünme katsayısı μ_s = 0.4. İki cisim birlikte kayar mı; cevap evetse ortak ivme ve üst cisme etki eden sürtünme kuvveti nedir? (g = 10 m/s²)

Çözüm: Önce birlikte kayma varsayımıyla ortak ivmeyi bulalım: a = F/(m₁+m₂) = 18/6 = 3 m/s². Şimdi üst cismi götüren sürtünmenin gerekli değerine bakalım: f_gerekli = m₂·a = 2·3 = 6 N. Maksimum mevcut statik sürtünme: f_s,max = μ_s·m₂·g = 0.4·2·10 = 8 N. f_gerekli = 6 N ≤ 8 N = f_s,max olduğundan sürtünme yeterlidir ve iki cisim birlikte kayar. Ortak ivme 3 m/s², üst cisme etki eden sürtünme kuvveti 6 N (sağa yönde). ✓

Sınır İvme ve Ayrılma

Ayrılma anında a = μ_s·g'dir. Bu ivmeyi bulmak için sistemi ikiye ayırmadan önce "birlikte kayma" varsayımıyla bulunan ortak ivmenin μ_s·g'den büyük olup olmadığına bakılır. Büyükse iki cisim ayrılır; bu durumda üst cismin ivmesi sürtünmenin kinetik değerinden: a₂ = μ_k·g. Alt cismin ivmesi ise ayrı ayrı yazılmış denklemlerden bulunur.

Makara, ipin yönünü değiştiren dairesel bir mekanizmadır. İki temel tipi vardır: sabit makara (tavana asılı, döner ama konumu değişmez) ve hareketli makara (sistemle birlikte hareket eder). Lise müfredatında ve AYT'de ağırlıklı olarak sabit makaralar ve Atwood makinesi çözülür; makara ve ipin kütlesi ihmal edilir, makara sürtünmesizdir.

Sabit Makaranın İki Önemli Özelliği

• Makaradan geçen tek ipin her yerinde aynı T gerilmesi vardır. Makara yalnızca ipin yönünü değiştirir; gerilmeyi bölmez veya büyütmez.
• Tek ipin uçlarına bağlı iki cismin ivmelerinin büyüklükleri eşit; yönleri zıttır. Biri aşağı inerken diğeri aynı hızla yukarı çıkar.

Atwood Makinesi

Tavandaki sabit makaradan geçen ipin iki ucuna bağlı m₁ ve m₂ kütleleri (m₂ > m₁) asılıdır. Ağır kütle aşağı, hafif kütle yukarı hareket eder. İki cismin SCD'lerini yazalım (aşağı yönü +, yukarı yönü − alalım her cisim için kendi hareket yönüne göre):

• m₂ (aşağı iniyor): Ağırlık m₂g aşağı, ip T yukarı. Newton II: m₂g − T = m₂·a.
• m₁ (yukarı çıkıyor): Ağırlık m₁g aşağı, ip T yukarı. Newton II: T − m₁g = m₁·a.

İki denklemi topladığımızda T gider:

Denklemlerin birini kullanarak T:

Örnek 8 — Atwood Makinesi

Sabit bir makaradan geçen kütlesiz ipin uçlarına m₁ = 3 kg ve m₂ = 5 kg kütleler bağlıdır. Sistem serbest bırakılıyor. Yerçekim ivmesi g = 10 m/s² ve sürtünmeler ihmal. (a) Ortak ivmenin büyüklüğü, (b) ip gerilmesi.

Çözüm:

• İvme: a = (m₂ − m₁)·g / (m₁ + m₂) = (5 − 3)·10 / (3 + 5) = 20/8 = 2.5 m/s².
• İp gerilmesi: T = 2·m₁·m₂·g / (m₁+m₂) = 2·3·5·10 / 8 = 300/8 = 37.5 N.
• Doğrulama: m₁ denkleminden T − m₁g = m₁·a ⇒ T − 30 = 3·2.5 = 7.5 ⇒ T = 37.5 N. ✓

Yatay-Düşey Karma Makara Sistemi

Yaygın bir kurgu: masanın kenarındaki sabit makaradan geçen ipin bir ucu masa üstündeki m₁ kütlesine, diğer ucu masanın kenarından sarkan m₂ kütlesine bağlıdır. m₂'nin ağırlığı sistemi çeker; m₁ yatayda ilerler.

• m₁ (yatay, sürtünmeli olsun): T − μ·m₁·g = m₁·a.
• m₂ (düşey, aşağı): m₂·g − T = m₂·a.

Toplarsak a = (m₂·g − μ·m₁·g) / (m₁+m₂) = ((m₂ − μ·m₁)·g) / (m₁+m₂). Sürtünmesizse a = m₂·g / (m₁+m₂).

Açısı θ olan eğik düzlem üzerindeki bir cismin analizinde, ağırlık vektörü iki dik bileşene ayrılır: (i) yüzeye paralel (cismi aşağı kaydıran), (ii) yüzeye dik (normal kuvveti dengeleyen):

Bu ayırmayla eğik düzlem analizi yatay düzlem gibi basitleşir: bir eksen (yüzeye paralel, aşağı yön +) cismin hareketini gösterir; diğer eksen (yüzeye dik) sadece normal kuvvet için kullanılır.

Sürtünmesiz Eğik Düzlem

Cisim üzerindeki kuvvetler: mg·sin θ (yüzeyde aşağı), N = mg·cos θ (yüzeye dik). Hareket denklemi yüzey yönünde:

Önemli: Sürtünmesiz eğik düzlemde ivme kütleden bağımsızdır. Aynı açılı eğik düzlemde bir kibrit ile bir kaya aynı ivmeyle aşağı kayar.

Sürtünmeli Eğik Düzlem

Cisim aşağı kayarken kinetik sürtünme yüzeye paralel, yukarı yönlüdür: f_k = μ_k·N = μ_k·mg·cos θ. Hareket denklemi:

Üç alt durum çıkar:

• sin θ > μ·cos θ yani tan θ > μ: cisim aşağı kayar, ivmesi formülden pozitiftir.
• sin θ = μ·cos θ yani tan θ = μ: cisim sabit hızla kayar ya da kayma sınırında durur.
• sin θ < μ_s·cos θ yani tan θ < μ_s: cisim durgun kalır; sürtünme kuvveti büyüklüğü mg·sin θ'ya eşit olur (statik bölge).

Örnek 9 — Sürtünmesiz Eğik Düzlem

θ = 37° eğimli sürtünmesiz bir düzleme konulan m = 2 kg kütleli cisim serbest bırakılıyor. Yerçekim ivmesi g = 10 m/s², sin 37° = 0.6, cos 37° = 0.8. (a) Cismin ivmesi, (b) eğik düzlemden gelen normal kuvvet nedir?

Çözüm:

• İvme: a = g·sin θ = 10·0.6 = 6 m/s² (aşağı yönde).
• Normal kuvvet: N = mg·cos θ = 2·10·0.8 = 16 N.

Örnek 10 — Sürtünmeli Eğik Düzlem

θ = 37° eğimli bir eğik düzleme konulan m = 4 kg kütleli cisim, kinetik sürtünme katsayısı μ_k = 0.25 olan yüzeyde aşağı doğru kayıyor. g = 10 m/s², sin 37° = 0.6, cos 37° = 0.8. Cismin ivmesinin büyüklüğünü bulunuz.

Çözüm:

• Paralel bileşen: mg·sin θ = 4·10·0.6 = 24 N (aşağı).
• Dik bileşen: N = mg·cos θ = 4·10·0.8 = 32 N.
• Kinetik sürtünme: f_k = μ_k·N = 0.25·32 = 8 N (yukarı).
• Net paralel kuvvet: F_net = 24 − 8 = 16 N (aşağı).
• İvme: a = 16/4 = 4 m/s². ✓ (Formül kontrolü: a = g(sin θ − μ cos θ) = 10(0.6 − 0.25·0.8) = 10·0.4 = 4 m/s².)

Asansörde tartı üzerinde duran bir kişinin okuduğu değer, tartının kişiye uyguladığı normal kuvvete eşittir. Newton II'ye göre kişinin düşeyde denge denklemi kurulur ve N dört farklı senaryoda dört farklı değer alır.

Dört Temel Senaryo

Senaryo	İvme	Tartının okuması (N)
Asansör duruyor veya sabit hızla gidiyor	a = 0	N = mg (gerçek ağırlık)
Yukarı yönde hızlanıyor (ya da aşağı yönde yavaşlıyor)	a yukarı	N = m·(g + a) > mg
Aşağı yönde hızlanıyor (ya da yukarı yönde yavaşlıyor)	a aşağı	N = m·(g − a) < mg
Halat koparsa (serbest düşüş)	a = g aşağı	N = 0 (ağırlıksızlık)

Neden Böyle Oluyor?

Tartı doğru kurguda kütleyi değil, üzerine uygulanan normal kuvveti ölçer. Sabit hızda ivme sıfır olduğu için normal kuvvet ağırlıkla aynıdır. Asansör yukarı hızlanıyorsa kişiyi yukarı ivmelendiren net kuvvet gerekir; bu kuvveti sağlayan yegâne etken N'nin ağırlıktan büyük olmasıdır: N − mg = m·a ⇒ N = m(g+a). Aşağı hızlanmada tam tersi olur: yerçekimi kısmen kişiyi ivmelendirdiği için tartı daha az kuvvetle destekler.

Örnek 11 — Asansörde Dinamometre

Asansörün tavanına bağlı bir dinamometreden m = 6 kg kütleli cisim asılmıştır. Yerçekim ivmesi g = 10 m/s². (a) Asansör sabit hızla çıkarken, (b) a = 4 m/s² ile yukarı yönde hızlanırken, (c) a = 4 m/s² ile aşağı yönde hızlanırken, (d) halat koparsa dinamometrenin okuyacağı değerleri (ip gerilmesini) bulunuz.

Çözüm: Dinamometrenin okuduğu değer = ip gerilmesi T. Cismin SCD'si: mg aşağı, T yukarı.

• (a) Sabit hız: a = 0 ⇒ T = mg = 6·10 = 60 N.
• (b) Yukarı ivme a = 4: T − mg = m·a ⇒ T = m(g+a) = 6·14 = 84 N.
• (c) Aşağı ivme a = 4: mg − T = m·a ⇒ T = m(g−a) = 6·6 = 36 N.
• (d) Serbest düşüş (a = g = 10): T = m(g−g) = 0. Cisim ağırlıksız hisseder.

Sayısal doğrulama: ivmesiz durumda tartı 60 N; yukarı 2 m/s² ivmelenseydi 6·12 = 72 N, yukarı 6 m/s² ivmelenseydi 6·16 = 96 N okurdu. ✓

Örnek 12 — Asansörde Kişinin Tartısı

70 kg kütleli bir kişi asansörde bir tartının üstünde duruyor. (a) Asansör duruyorken, (b) yukarı 2 m/s² ivmeyle hızlanırken, (c) aşağı 2 m/s² ivmeyle hızlanırken tartı kaç kg okur? (g = 10 m/s²; tartı kg cinsinden okuma yapıyor)

Çözüm: Tartının okuduğu kütle m_okuma = N/g.

• (a) N = 70·10 = 700 N, m_okuma = 70 kg.
• (b) N = 70·(10+2) = 840 N, m_okuma = 84 kg.
• (c) N = 70·(10−2) = 560 N, m_okuma = 56 kg.

Asansör yukarı hızlanırken kişi kendini daha ağır hisseder (ayaklarına basınç artar), aşağı hızlanırken daha hafif hisseder; gerçek kütle değişmez. ✓

Bu bölümde önceki bölümlerde görülen bilgilerin birleştiği iki tipik AYT kurgusunu çözüyoruz.

Örnek 13 — Eğik Düzlemli Makara Sistemi

θ = 30° açılı sürtünmesiz bir eğik düzlemin üstündeki m₁ = 4 kg kütleli cisim, eğik düzlemin tepesine yerleştirilmiş sabit bir makaradan geçen kütlesiz iple, eğik düzlemin dışında düşey olarak asılı m₂ = 6 kg kütlesine bağlıdır. Sistem serbest bırakılıyor. g = 10 m/s², sin 30° = 0.5. (a) Sistemin ivmesi, (b) ip gerilmesi nedir?

Çözüm: m₂ ağır olup aşağı inmek istiyor; bu durumda m₁ eğik düzlem boyunca yukarı kayar.

• m₂ (düşey, aşağı): m₂g − T = m₂·a ⇒ 60 − T = 6a.
• m₁ (eğik düzlem boyunca yukarı): Yüzeye paralel denklem: T − m₁g·sin θ = m₁·a ⇒ T − 4·10·0.5 = 4a ⇒ T − 20 = 4a.

İkisini toplarsak: 60 − 20 = (6+4)·a ⇒ 40 = 10a ⇒ a = 4 m/s². İp gerilmesi: T = 20 + 4a = 20 + 16 = 36 N. ✓

Doğrulama: m₂ denkleminden T = m₂·(g − a) = 6·(10 − 4) = 36 N. ✓

Kurgu Sınırları: Aynı kurguda m₁ ile m₂ yer değiştirseydi (m₁ = 6 kg eğik düzlemde, m₂ = 4 kg sarkmış olsun) denklemler: m₂ aşağı iniyor? — Hayır, çünkü eğik düzlemdeki m₁g·sin θ = 6·10·0.5 = 30 N, m₂'nin ağırlığı m₂g = 40 N. Ağırlık hâlâ büyük; m₂ yine aşağı iner. Ama m₁g·sin θ eğik düzlemdeki cismi aşağı kaydırmak ister. Net sürükleyici kuvvet m₂·g − m₁·g·sin θ = 40 − 30 = 10 N. Toplam kütle 10 kg: a = 10/10 = 1 m/s². Görüldüğü gibi sürüklenmenin yönü, her zaman düşey kütlenin ağırlığıyla eğik düzlem üstündeki kütlenin mg·sin θ bileşeninin karşılaştırılmasıyla belirlenir.

Örnek 14 — Bileşen Ayırma: Çapraz Kuvvet Altındaki Cisim

Yatay zeminde m = 3 kg kütleli bir cisme, yatayla 53° açı yapan ve cismi yukarı-sağa doğru çeken F = 20 N kuvvet uygulanıyor. Zemin-cisim arası kinetik sürtünme katsayısı μ_k = 0.5. g = 10 m/s², sin 53° = 0.8, cos 53° = 0.6. Cismin yatay ivmesini bulunuz (cisim hareket halinde).

Çözüm: Kuvveti bileşenlere ayıralım:

• Yatay: F_x = F·cos 53° = 20·0.6 = 12 N (sağa).
• Düşey: F_y = F·sin 53° = 20·0.8 = 16 N (yukarı).

Düşeyde net kuvvet sıfırdır (cisim düşeyde hareket etmez): N + F_y = mg ⇒ N = mg − F_y = 30 − 16 = 14 N. Normal kuvvet ağırlıktan daha küçük çıktı çünkü dış kuvvetin düşey bileşeni cismi yukarıya doğru "hafifletiyor".

Kinetik sürtünme: f_k = μ_k·N = 0.5·14 = 7 N (harekete zıt, yani sola).

Yatay net kuvvet: F_net = F_x − f_k = 12 − 7 = 5 N.

İvme: a = F_net / m = 5/3 ≈ 1.67 m/s² (sağa). ✓

Örnek 15 — Maksimum İvmede Ayrılma Sınırı

Üst üste duran m₁ = 6 kg alt ve m₂ = 2 kg üst cisimden oluşan sistem, sürtünmesiz yatay zeminde alt cisme uygulanan F yatay kuvvetiyle çekilmektedir. Üst-alt yüzey arası statik sürtünme katsayısı μ_s = 0.3. İki cismin birlikte kalabilmesi için uygulanabilecek maksimum F değeri nedir? (g = 10 m/s²)

Çözüm: Birlikte kayma sınırı a_max = μ_s·g = 0.3·10 = 3 m/s². Bu ivmede sistemin toplam kütlesi m₁ + m₂ = 8 kg:

• Maksimum F: F_max = (m₁ + m₂) · a_max = 8 · 3 = 24 N.

Bu değerin üzerindeki F uygulandığında üst cismi götürecek sürtünme yetersiz kalır ve üst cisim geride kalmaya başlar (alt cisme göre kayar). ✓