Bağıl Hareket

Fiziğin belki de en sezgiye aykırı fikirlerinden biri, hareketin mutlak olmadığıdır. Bir cismin hareketli mi durgun mu olduğu sorusuna kesin bir cevap verebilmek için önce "kime göre, hangi referans sistemine göre?" diye sormak gerekir. Yolun kenarındaki bir ağaç yoldaki yayaya göre durgun, yoldan geçen araçtaki sürücüye göre ise aracın hızına eşit büyüklükte ve ters yönde hareket ediyor gibidir. Yürüyen merdivende arkadaşınızla üst üste durduğunuzda, arkadaşınız size göre durgundur; merdivenin dışında duran biri ikinizin de aynı hızla yukarı çıktığını söyler. Her üç yorum da kendi referans sistemi içinde doğrudur.

Bu olguya hareketin göreliliği denir. Her hız ifadesi için bir gözlemci (referans sistemi) belirlemek zorunludur. Bağıl hareket konusunda bu, özellikle vurgulanır; ancak fizik boyunca karşınıza çıkan tüm hız değerleri de bir gözlemciye göre tanımlıdır. Soru köklerinde açıkça belirtilmediyse kural olarak yere göre (dünyayı sabit referans kabul eden, yolun kenarındaki durgun bir gözlemciye göre) anlamına gelir.

Üç Gözlemci, Üç Farklı Yorum

Yolun kenarında bir ağaç ve üç gözlemci düşünelim: (i) yolun kenarında duran K, (ii) sağa doğru v hızıyla giden arabadaki L, (iii) sola doğru v hızıyla giden arabadaki M.

• K gözlemcisine göre ağaçlar durgundur, hızları sıfırdır.
• L gözlemcisine göre ağaçlar sola doğru v hızıyla geri gidiyor. Kendi arabasının önündeki direksiyon, yandaki koltuk, direksiyondaki eller durgundur; ağaçlar ise geriye doğru akıp gider.
• M gözlemcisine göre ağaçlar sağa doğru v hızıyla gider. Çünkü M kendini sola doğru hareket ediyor olarak algılamaz; çevresinde durgun olduğunu düşündüğü şeyler geriye akar.

Üç yorum da tutarlıdır. Ağaçlar ne özünde durgun ne de özünde hareketlidir; her biri ilgili gözlemcinin referans sisteminde doğrudur.

Gözlemcinin Kendisini Durgun Görmesi

Sabit hızla hareket eden kapalı bir araçta (örneğin kapı ve perdeleri kapalı bir tren vagonunda) bulunan biri, dışarıyı görmediği sürece hareket ettiğini anlayamaz. İvmesiz hareketlerde (sabit hız) bedenine etki eden dışardan bir kuvvet hissi yoktur; bu yüzden kendini durgun kabul eder. Bağıl hareket sorularının mantığı da tam olarak buna dayanır: gözlemci kendi evreninde durgundur, çevreyi ise buna göre yorumlar.

Bu durum, otogarda yan yana duran iki otobüsün birinde oturuyorken yaşadığımız o tanıdık yanılsamanın kaynağıdır: yandaki otobüs geri çıkmaya başladığı anda kendi otobüsümüzün ileri gittiğini hissederiz; çünkü gözümüzün köşesine takılan en tutarlı referans yandaki otobüstür ve biz kendimiz hakkında oradan yorum yapmaya başlarız. Gerçekte kendi otobüsümüz hiç hareket etmemiştir; yalnızca hareketi yanlış referansa atfetmişizdir.

Bağıl hız, gözlemcinin referans sisteminde gözlenen cismin hızıdır. Vektörel tanım şöyledir:

Türkçe ile söylersek: "bakılan" cismin hızından, "bakanın" hızı vektörel olarak çıkarılır. Bu kısa ifade, AYT'deki bağıl hareket sorularının çözümünün omurgasıdır. İki önemli uyarı:

• İşlem vektöreldir. İki cisim aynı doğrultuda (örneğin otoyolda) ise vektörler yerine "+" ve "−" işaretli sayılar kullanılabilir; aksi halde çizim zorunludur.
• Gözlemciyi yanlış seçmek sonucu yanlış yapar. "L, K'ya bakarak kendi hareketini yorumlar" gibi aynalı ifadelerde gözlemci K gibi davranır (çünkü L kendisi hakkında K aracılığıyla fikir yürütür).

İşaret Konvansiyonu (Tek Doğrultu)

Tek doğrultulu hareket için şu sadeleştirme çok hızlıdır: bir yöne "+" diğerine "−" diyelim (örneğin doğu +, batı −). Her cismin hızını bu işaretlerle yazın ve bağıl hız formülünde doğrudan kullanın. Sonuç "+" çıkarsa gözlemcinin bakış açısından cisim + yönünde, "−" çıkarsa − yönünde hareketli görünür.

Örnek 1 — Üç Araç, Üç Gözlemci

Paralel yollarda hareket eden A, B, C araçları sırasıyla 15 m/s doğuya, 15 m/s doğuya ve 10 m/s batıya sabit hızla gitmektedir. Doğu yönünü (+) alalım. Bu durumda v_A = +15, v_B = +15, v_C = −10 m/s. Aşağıdakileri bulunuz:

1. A aracındaki gözlemci C aracının hızını nasıl görür?
2. A aracındaki gözlemci B aracının hızını nasıl görür?
3. C aracındaki gözlemci A aracının hızını nasıl görür?

Çözüm:

• A → C: v_{C/A} = v_C − v_A = (−10) − (+15) = −25 m/s. A gözlemcisi C'yi batı yönünde, kendi bakışından 25 m/s büyüklüğünde görür. (Karşı yönden gelen araca otoyolda neden bu kadar hızlı göründüğünün hesabı.)
• A → B: v_{B/A} = v_B − v_A = (+15) − (+15) = 0. A, B'yi durgun görür; ikisi aynı hızda aynı yöne gittiği için B, A'nın yanında asılı kalmış gibidir.
• C → A: v_{A/C} = v_A − v_C = (+15) − (−10) = +25 m/s. C gözlemcisi A'yı doğu yönünde 25 m/s ile görür. İkinci soruda bulunan −25'in tam tersi değeri olması tesadüf değildir: v_{A/C} = −v_{C/A} ilişkisi daima geçerlidir.

Örnek 2 — Bağıl Hızdan Yere Göre Hıza

Doğrusal yolda yere göre sabit hızlarla hareket eden K ve L araçlarından K'nin yere göre hızı doğu yönünde 4 m/s'dir. K aracındaki gözlemci L aracını batı yönünde 1 m/s hızla gidiyormuş gibi gördüğüne göre L aracının yere göre hızı kaç m/s'dir?

Çözüm: Doğu (+) alalım: v_K = +4, v_{L/K} = −1. Formülden v_{L/K} = v_L − v_K ⇒ −1 = v_L − (+4) ⇒ v_L = +3 m/s. L doğu yönünde 3 m/s ile gitmektedir; K daha hızlı olduğu için L'yi "geri gidiyor gibi" görür. ✓

Tek doğrultulu bağıl hareketin iki temel durumu vardır ve ezbere alınmasa da kısa sürede çözüm için çok pratiktir.

Aynı Yönlü İki Araç

Hızları aynı yönde olan iki aracın biri diğerine göre, iki büyüklüğün farkı kadar hızda hareket ediyor gibi görünür; yönü ise daha hızlı olan aracın gittiği yöndedir.

Durum	A gözlemcisinin B'yi gördüğü hız
v_A = v_B (aynı hız)	B durgun görünür (0)
v_B > v_A	B, gittiği yönde v_B − v_A hızıyla uzaklaşıyor görünür
v_A > v_B	B, ters yönde v_A − v_B hızıyla geri kalıyor görünür

Otoyolda 100 km/sa ile giden iki aracın birbirini durgun algılaması, 120 km/sa ve 100 km/sa ile gidenlerinse aralarında yalnızca 20 km/sa'lik bir hız farkı hissetmesi bu yüzdendir.

Zıt Yönlü İki Araç

Hızları zıt yönde olan iki aracın biri diğerine göre iki büyüklüğün toplamı kadar hızla hareket ediyor gibi görünür; yönü ise gözlenen aracın gittiği yöndür.

Otoyolda karşıdan gelen aracın "çok hızlı geçtiği" hissi tam olarak bu kural yüzündendir. Kendi hızınız da bağıl hıza eklenir; iki +90 km/sa araçta olsanız birbirinizi 180 km/sa'lik yaklaşma hızında görürsünüz.

Örnek 3 — Zıt Yönlü Araçlarda Buluşma

Aynı doğrultuda karşılıklı yönlerde hareket eden K ve L araçları arasında 80 m mesafe vardır. K doğu yönünde 15 m/s, L batı yönünde 5 m/s hızla gitmektedir. Araçlar kaç saniye sonra karşılaşır?

Çözüm: Araçlar zıt yönlü olduğu için birbirlerine bağıl yaklaşma hızları büyüklüklerin toplamı kadardır: 15 + 5 = 20 m/s. L'yi durgun kabul edersek, K bu 80 metreyi 20 m/s ile kat eder: t = 80 / 20 = 4 s. Bağıl hareket taktiği sayesinde "ikisi aynı anda gidiyor" kurgusunu "biri dursun, öteki gelsin" kurgusuna çevirdik. Gerçek konumları 4 saniye sonra yapsaydınız: K, 15·4 = 60 m doğuya; L, 5·4 = 20 m batıya gider ve toplam 80 m'lik açıklık kapanır. ✓

Hareketli ortamda bulunan bir cisim (nehirde tekne, rüzgârdaki uçak, yürüme bandındaki yaya) için iki farklı hız tanımı yapılır:

• Suya göre hız (v_tekne): Akıntıyla birlikte taşınan, nehir içindeki durgun bir gözlemci (ör. suda yüzen bir simit) açısından ölçülen hız. Akıntı hızını içermez. Tekne motorunun "kendi çabasıdır".
• Yere göre hız (v_yer): Kıyıda duran bir gözlemcinin gördüğü bileşke hız. Akıntı hızı dahildir.

Akıntıyla Aynı Yönde Gitmek

Tekne akıntıyla aynı yönde ilerlerken akıntı ona yardım eder; kıyıdan bakan hızı daha büyük görür: v_yer = v_tekne + v_akıntı.

Akıntıya Zıt Yönde Gitmek

Tekne akıntıya ters yönelmişse akıntı köstek olur; kıyıdan bakan hızı daha küçük görür: v_yer = v_tekne − v_akıntı (işaretli fark, yön yorumuyla). Üç alt durum çıkar:

• v_tekne > v_akıntı ⇒ tekne yavaşça da olsa gitmek istediği yöne ilerler.
• v_tekne = v_akıntı ⇒ tekne olduğu yerde kalır (kıyıdan bakana göre durgundur).
• v_tekne < v_akıntı ⇒ tekne tersine (akıntı yönüne) sürüklenir.

Spor salonundaki yürüme bandında olduğu yerde sayılmak isteyen birinin, bandın hızına eşit hızda yürümesi gerekmesi de aynı mantıktır.

Örnek 4 — Gidiş-Dönüş Süresi

Akıntı hızı sağa doğru 1 m/s olan bir nehirde, K noktasındaki yüzücü akıntıyla aynı doğrultuda suya göre 3 m/s büyüklüğünde hızla yüzerek L noktasına gider ve geri döner. K ile L arası 100 m'dir. Yolculuğun toplam süresi kaç saniyedir?

Çözüm: Akıntıyı (+) sağ alalım.

• Gidiş (K → L): Yüzücü akıntıyla aynı yönde: v_gidiş = 3 + 1 = 4 m/s. t_1 = 100 / 4 = 25 s.
• Dönüş (L → K): Yüzücü akıntıya zıt: v_dönüş = 3 − 1 = 2 m/s. t_2 = 100 / 2 = 50 s.
• Toplam: t = 25 + 50 = 75 s. ✓

Örnek 5 — Karşılaşma Süresi Akıntıdan Etkilenir mi?

Aralarında 60 m olan iki yüzücü, yere göre 2 m/s büyüklüğündeki hızlarla birbirlerine doğru yüzmektedir. Nehirde 1 m/s akıntı vardır. Yüzücüler kaç saniye sonra karşılaşır? Akıntı olmasaydı süre değişir miydi?

Çözüm: Soruda yere göre hızlar verildiği için akıntı zaten dahil edilmiş. Zıt yönlü iki yüzücünün bağıl yaklaşma hızı 2 + 2 = 4 m/s. t = 60 / 4 = 15 s. Akıntı olmasaydı: yüzücülerin suya göre hızları sırasıyla 2 − 1 = 1 m/s ve 2 + 1 = 3 m/s idi (biri akıntıyla, diğeri akıntıya karşıydı). Akıntı yok kabul edildiğinde her ikisi de kendi çabalarıyla gider; toplam yaklaşma hızı yine 1 + 3 = 4 m/s olur ve t = 15 s değişmez.

Aynı mantık yalnızca nehre özgü değildir. Üzerinde hareket edilen bir platform da bir "akıntı" gibi davranır. Üç yaygın örnek:

Yürüme Bandı

Yere göre yukarı doğru 1 m/s ile giden bir banda çıkan biri banta göre durgunsa yere göre hızı 1 m/s'dir (bant taşıyor). Aynı kişi bantla aynı yönde 2 m/s ile yürürse yere göre hızı 3 m/s olur. Zıt yönde yürürse yere göre hızı 2 − 1 = 1 m/s (bandın yönünde, zira kişi bandı yenemez).

Rüzgârlı Havada Uçak

Havaya göre sağa doğru 60 m/s ile uçan bir uçak, yere göre sağa 10 m/s esen rüzgârla aynı yönde gidiyorsa: v_yere-göre-uçak = 60 + 10 = 70 m/s. Uçak içindeki yolcu uçağa göre sağa 1 m/s ile yürüyorsa:

• Yolcunun uçağa göre hızı: 1 m/s
• Yolcunun havaya göre hızı: 60 + 1 = 61 m/s
• Yolcunun yere göre hızı: 70 + 1 = 71 m/s

Yolcu uçakla zıt yönde (sola) 1 m/s yürüyorsa:

• Havaya göre: 60 − 1 = 59 m/s (uçağın gidiş yönünde).
• Yere göre: 59 + 10 = 69 m/s (yine uçağın gidiş yönünde; zira yolcu uçağın kendi hızını yenemedi).

Örnek 6 — Paralel Yürüme Bantları

Metro istasyonunda birbirine paralel iki yürüme bandı vardır. A bandı batıya, B bandı doğuya, her ikisi de yere göre 5 m/s ile hareket etmektedir. Ahmet A bandında bantla aynı yönde banta göre 2 m/s ile yürümektedir; Betül B bandında banta göre durgundur. (a) Ahmet ve Betül'ün yere göre hızlarını, (b) Betül'ün bakış açısından Ahmet'in ve A bandının hızlarını bulunuz.

Çözüm: Doğuyu (+) alalım. v_{A bandı} = −5, v_{B bandı} = +5 m/s.

• Ahmet (yere göre): Banta göre −2 m/s; bant zaten −5 m/s. Aynı yönde, toplam: −2 + (−5) = −7 m/s. Ahmet batıya 7 m/s ile gider.
• Betül (yere göre): Banta göre 0; bant +5. Betül'ün yere göre hızı: +5 m/s.
• A bandının Betül'e göre hızı: v_{A/Betül} = v_A − v_Betül = (−5) − (+5) = −10 m/s. Zıt yönlü olduğu için büyüklüklerin toplamı kadar.
• Ahmet'in Betül'e göre hızı: v_{Ahmet/Betül} = (−7) − (+5) = −12 m/s. Batıya 12 m/s.

Bir nehir genişliği D olan, tek taraflı sabit akıntılı bir bant düşünelim. Akıntı kıyıya paraleldir (yataydır). Tekne veya yüzücü karşı kıyıya geçmek için suya bir yönde girer; ancak akıntı yatay olarak sürüklediği için karşıda hedeflediği noktadan farklı bir yere varır. Bu senaryoyu çözmenin anahtarı, hareketi iki dik bileşenine ayırmaktır:

• Düşey bileşen (v_düşey): Teknenin kıyıya dik hızı. Karşıya geçme süresini yalnızca bu belirler: t = D / v_düşey.
• Yatay bileşen net hız (v_yatay): Teknenin kendi yatay hızı ile akıntı hızının işaretli toplamı. Karşıda nerede çıkılacağını bu belirler: x = v_yatay · t.

Temel kural: Akıntı yataydadır; geçiş süresini etkilemez, yalnızca çıkış noktasını kaydırır.

Durum A — Akıntıya Dik Yüzüş (Klasik Senaryo)

Yüzücü suya kıyıya dik yönelir. Kendi hızının yatay bileşeni sıfırdır; akıntı onu yatayda tek başına sürükler. Karşı kıyıya vardığında yere göre izlediği yol çaprazdır.

Örnek 7 — Akıntıya Dik Yüzüş

Akıntı hızı kıyıya paralel sabit 3 m/s, nehir genişliği 80 m'dir. Yüzücü O noktasından suya göre 4 m/s hızla akıntıya dik olarak yüzmeye başlar. (a) Karşıya geçme süresi? (b) Sürüklenme mesafesi? (c) Yer değiştirme büyüklüğü?

Çözüm:

• Düşey hız: yüzücünün kendi hızı = 4 m/s. t = 80 / 4 = 20 s.
• Yatay net hız: yalnızca akıntı = 3 m/s. Sürüklenme: s = 3 · 20 = 60 m.
• Yere göre bileşke hız: v_yer = √(4² + 3²) = √25 = 5 m/s. Yer değiştirme: |Δr| = 5 · 20 = 100 m. (Pisagor ile: √(80² + 60²) = √(6400+3600) = √10000 = 100 m. ✓)

Sayısal sonuçların 3-4-5 üçgeni ile uyumlu olması AYT'de tipiktir. 6-8-10 veya 37°-53°-90° üçgenlerinin kenar oranları bu sorularda doğrudan kısa yol sağlar.

Durum B — Tekne Akıntıya Karşı Eğik Girerse

Teknenin suya göre hızının yatay bileşeni akıntıyla aynı yönde veya zıt yönde olabilir. Yatay net hız iki katkının işaretli toplamıdır:

• Yatay bileşen akıntıyla aynı yönde: v_yatay_net = v_tekne_y + v_akıntı (sürüklenme daha fazla olur).
• Yatay bileşen akıntıya zıt yönde: v_yatay_net = v_akıntı − v_tekne_y (sürüklenme azalır, hatta akıntıyı yenerse tam karşıya varır).

Örnek 8 — Eğik Giriş, Akıntıyla Aynı Yatay Yön

Akıntı kıyıya paralel sabit 4 m/s'dir. Yüzücü suya göre 10 m/s hızla suya girer ve hız vektörü akıntı yönüyle 53° açı yapar (düşey ile 37°). Yüzücünün yatay bileşeni akıntıyla aynı yöndedir. Nehir genişliği 24 m'dir. (a) Hareket süresi? (b) Hedef noktaya (L) göre çıkış noktasının kaç metre ötede olduğunu bulunuz.

Çözüm: sin 37° = 0.6, cos 37° = 0.8. Yüzücünün bileşenleri:

• Düşey (kıyıya dik): 10 · cos 37° = 10 · 0.8 = 8 m/s.
• Yatay (akıntı yönünde): 10 · sin 37° = 10 · 0.6 = 6 m/s.
• Hareket süresi: t = 24 / 8 = 3 s.
• Yatay net hız: 6 + 4 = 10 m/s (akıntı aynı yönde olduğu için eklenir).
• L noktasına olan yatay uzaklık: x = 10 · 3 = 30 m. Yüzücü L'nin akıntı yönünde 30 m ilerisinde çıkar.

Durum C — Tam Karşıya (Dik) Varış

Hedef noktanın tam karşısına (kıyıya dik) varmak istiyorsanız, tekneyi akıntıya karşı öyle bir açıyla yönlendirmelisiniz ki teknenin yatay bileşeni akıntıyı tam olarak söndürsün:

Bu durumda yere göre hız yalnızca düşey bileşendir: v_yer = v_tekne · cos θ = √(v_tekne² − v_akıntı²). Süre: t = D / v_yer.

Örnek 9 — Tam Karşıya Varış

Akıntı 3 m/s, nehir genişliği 80 m, yüzücü suya göre 5 m/s hızla yüzmektedir. Yüzücü karşı kıyıda tam hedef noktaya varmak için hangi açıyla ilerlemeli; süresi ne kadar olur?

Çözüm: Koşul: 5 · sin θ = 3 ⇒ sin θ = 0.6 ⇒ θ = 37° (akıntıya karşı). Düşey hız: 5 · cos 37° = 5 · 0.8 = 4 m/s. Süre: t = 80 / 4 = 20 s. (Karşılaştırma: aynı nehirde akıntıya dik yönelseydi t = 80/5 = 16 s olurdu; tam karşıya varış daha uzun sürdü, ancak sürüklenme sıfır oldu.)

İki boyutlu bağıl hız sorularında cebirsel işaretler yetmez; vektör çizimi zorunludur. İki kullanışlı yöntem vardır:

Yöntem 1 — Tersleyip Uç Uca Ekleme

v⃗_{B/A} = v⃗_B − v⃗_A = v⃗_B + (−v⃗_A) tanımını kullanır. v⃗_A'nın yönünü ters çevirin (−v⃗_A) ve v⃗_B'nin ucuna kuyruğundan ekleyin. Bileşke vektör (başlangıçtan bitişe çizilen ok) bağıl hız vektörüdür.

Yöntem 2 — Başlangıç Noktalarını Birleştirme (Pratik Kısayol)

Tersleyip eklemeye gerek yok. v⃗_A ve v⃗_B'nin kuyruklarını ortak noktadan çizin (başlangıç noktalarını birleştirin). "A, B'ye bakıyor" (yani gözlemci A, gözlenen B) ise A'nın ucundan B'nin ucuna çekilen ok bağıl hız vektörüdür. Başka ifadeyle: çıkarılan (gözlemcinin) ucundan çıkarana (gözlenene) doğru.

İki yöntem de aynı sonucu verir. İkincisi, kartezyen tarzda düzlem üzerine yerleşmiş hız vektörlerinde çok daha pratiktir ve AYT'nin tipik soru düzenine birebir uyar.

Örnek 10 — Kartezyen Düzlemde Bağıl Hız

Yere göre Batı yönünde sabit 3 m/s hızla giden K aracı ile kuzey yönünde sabit 4 m/s hızla giden L aracı düşünelim. L aracındaki gözlemciye göre K aracının hızını bulunuz.

Çözüm: Gözlemci L, gözlenen K. Kuyruklarını ortak noktadan çizelim: v⃗_L yukarı 4 birim, v⃗_K sola 3 birim. L'nin ucundan K'nin ucuna çekilen ok, bağıl hız vektörüdür. Burada K'nin ucu ile L'nin ucu arasında dik üçgen oluşur (bileşenler arasındaki açı 90°). Büyüklük: |v⃗_{K/L}| = √(3² + 4²) = 5 m/s. Yön: sola ve aşağı (Güney-Batı) doğru çapraz; tan α = 4/3 ⇒ α ≈ 53° (yatayla).

Aynalı Soru Tipi — L Kendisini Nasıl Görür?

"L aracındaki gözlemci K aracına bakarak kendi hızını nasıl görür?" sorusunda, gözlemci K'ye benzetilmiş hale getirilir: L kendisini K'ye göre yorumlar. Bu durumda gözlemci K'dir, gözlenen L'dir. Yani v⃗_{L/K} hesaplanır ve bu, bir önceki sonucun tam tersi yönlüdür: büyüklük 5 m/s, yön Kuzey-Doğu çapraz. Gözlemciyi yanlış seçmek bu tipteki soruların en sık tuzaklarından biridir.

AYT Fizikte bağıl hareket doğrudan bir grafik sorusuna da dönüşebilir. En sık görülen iki grafik türü şunlardır:

Konum–Zaman Grafiği

İki aracın konum değerleri zamana karşı çizilirse, her doğrunun eğimi ilgili aracın yere göre hızına eşittir (v = Δx / Δt). İki doğrunun kesiştiği an, araçların yere göre buluşma anıdır.

Örnek 11 — Konum-Zaman Grafiğinden Bağıl Hız

Doğrusal yolda hareket eden A ve B araçlarının konum-zaman grafiklerinin eğimlerinden hızları v_A = +1 m/s ve v_B = +3 m/s olarak okunur (her ikisi de doğuya). A aracındaki gözlemciye göre B aracını nasıl görür?

Çözüm: v_{B/A} = v_B − v_A = (+3) − (+1) = +2 m/s. A, B'yi doğu yönünde 2 m/s hızla uzaklaşıyor görür. Aynı grafikte B aracındaki gözlemciye göre A'nın hızı ise v_{A/B} = 1 − 3 = −2 m/s; B, A'yı batı yönünde (yani tersine) 2 m/s hızla gidiyor gibi görür.

Hız–Zaman Grafiği

Aynı zaman ekseni üzerinde iki aracın hızı çizilmişse, belirli bir anda iki eğri arasındaki dikey fark, o andaki bağıl hızdır: v_{Y/X}(t) = v_Y(t) − v_X(t). Eğriler altındaki alanların farkı, araçların o ana kadar aldıkları yollar arasındaki fark, yani aralarındaki açıklıktır. Grafikte alanların eşitlendiği anda araçlar yan yana gelir (buluşma). Bu okuma TYT'den tanıdıktır; bağıl hareket konusunda yeniden kullanışlıdır.

Örnek 12 — Yolun Kenarındaki Ağaçların Hızı

Yolun kenarında sıralı ağaçlar vardır. Yolun üzerinde sağa doğru 50 km/sa ile giden araçtaki sürücünün ağaçları nasıl gördüğünü bulalım.

Çözüm: Sağa "+" alalım. Yere göre ağaçlar durgundur: v_ağaç = 0. Sürücünün hızı: v_L = +50 km/sa. Sürücüye göre ağaçların bağıl hızı: v_{ağaç/L} = 0 − 50 = −50 km/sa. Sürücü ağaçları sola doğru (ters yönde) 50 km/sa hızla gidiyor gibi görür. Aynı sürücü için yolun kenarındaki sabit her nesne (kilometre taşı, elektrik direği, bilboard) aynı sonucu verir: yere göre durgun olan tüm cisimleri, hareket eden bir gözlemci kendi hızı kadar ters yönde gidiyor görür.

Pratik olarak bu yorum, pencere dışına bakıp ne kadar hızlı gittiğimizi tahmin edebilmemizin de temelidir: ağaçlar ne kadar hızlı geçiyorsa araç o kadar hızlı gidiyor demektir.

Bağıl hareket konusunda AYT sıklıkla aşağıdaki özel kurguları kullanır.

Aynalı Soru: "Gözlemci Kendini Nasıl Görür?"

Soru "L otobüsündeki yolcu K otobüsüne bakarak kendi hareketini nasıl yorumlar?" diyorsa, gözlemci K gibi davranır (L, K'yi ayna olarak kullanır). Benzer bir kurgu otogarda yan yana iki otobüs sahnesidir: biriniz geri manevrayla kalkarken siz durgun olmanıza rağmen bir an ileri gittiğinizi hissedersiniz; çünkü yandaki otobüsü ayna olarak kullanıp kendiniz hakkında yorum yaparsınız.

Kağıdı Suya Düşürme

Sandalın içinde bulunan biri nehirde karşıdan karşıya geçerken suya bir kağıt parçası bırakırsa, kağıt akıntının boyunduruğuna girer; artık akıntı hızıyla sağa doğru (akıntı yönünde) ilerler. Aynı nehirde bulunan sandal da aynı akıntıdan aynı şekilde etkilenir. Karşı kıyıya vardığınız anda kağıdın bulunduğu yer, suya düştüğü ilk yatay konumdan v_akıntı · t kadar ötededir. Aynı süre boyunca sandal da aynı mesafe sürüklenmiştir; dolayısıyla sandaldaki kişi ile kağıt parçası yataydaki aynı hizada kalır. Aralarındaki mesafe yalnızca nehir genişliği kadardır.

Paralel Karşılaşan İki Motor

Nehirde karşılıklı yönlerde (biri akıntıyla aynı, diğeri zıt) yüzerek ilerleyen iki teknenin karşılaşma süresini akıntı değiştirmez; yalnızca karşılaşma yerini kaydırır. Bu bilgi, "akıntı hızı 2 m/s'den 7 m/s'ye çıkarsa karşılaşma süresi nasıl değişir?" biçiminde doğrudan çeldirici ile gelen sorulara cevabı tek satırda verir: değişmez. Matematiksel ispatı: v_1_yere-göre = v_1 − v_a, v_2_yere-göre = v_2 + v_a. Yaklaşma hızı (v_1 − v_a) + (v_2 + v_a) = v_1 + v_2; akıntı hız teriminde kaybolur.

Karşılaşma Süresini Azaltmak

Sürükle genişliği sabit bir nehirde karşı kıyıya geçme süresini azaltmak için:

1. Yüzücünün suya göre hızı büyütülür (v_tekne ↑ ⇒ v_düşey ↑).
2. Yüzücünün suya giriş açısı düşeye yaklaştırılır (θ düşey ile azalır ⇒ cos θ ↑ ⇒ v_düşey ↑).
3. Nehir genişliği azaltılırsa süre tanım gereği azalır.

Akıntı hızını değiştirmek süreyi etkilemez; yalnızca sürüklenme mesafesini değiştirir. Bu, soruda "aşağıdakilerden hangisi süreyi azaltır?" tipinde çeldirici için kısa yoldur.

Kritik Kısayollar — AYT'de Zamandan Kazandıranlar

• Aynı yönde aynı hız ⇒ durgun görünüm. Soruda "K, L'yi duruyor görüyor" gibi bir ifade varsa anında iki hızın eşit ve aynı yönde olduğunu yazabilirsiniz.
• Aynı yönde ⇒ farkı al, zıt yönde ⇒ toplam al (bağıl hızın büyüklüğü için). Yönü ise gözlenen cismin gittiği yöndür.
• Nehirde karşıya geçme süresi yalnızca düşey hıza bağlıdır; akıntının veya yatay bileşenin süreye etkisi yoktur.
• İki yüzücünün karşılaşma süresi akıntıdan bağımsızdır. Yalnızca buluşma yeri kayar.
• En kısa süre için kıyıya dik yönel; en kısa yol (tam karşıya) için akıntıya karşı eğik yönel. sin θ = v_akıntı / v_tekne.
• Gözlemciyi ayna gibi kullanan sorularda (L, K'ye bakarak kendini yorumluyor) gözlemci K'dir. L gözlemciymiş gibi yazarsanız sonuç yanlış çıkar.
• "Suya göre" hız akıntısızdır, "yere göre" hız akıntıyı içerir. Soruyu çözmeden önce verilen değerin hangisi olduğunu işaretleyin.