İş, Enerji ve Korunumu

Fizikte iş, bir cisim üzerine etki eden kuvvetin, cismin yer değiştirmesiyle birlikte sistemin enerjisini değiştirmesidir. Günlük hayattaki "iş" kavramıyla karıştırılmamalıdır: 10 dakika boyunca elinizde taşıdığınız bir çantayı sabit yükseklikte tutuyorsanız fizik dilinde hiç iş yapmazsınız, çünkü çantanın yer değiştirmesi sıfırdır.

Matematiksel Tanım

Burada F uygulanan kuvvetin büyüklüğü, d (ya da Δx) cismin yer değiştirmesinin büyüklüğü, θ ise bu iki vektör arasındaki açıdır. Birimi Joule’dur: 1 J = 1 N · 1 m. İş skaler büyüklüktür — yönü yoktur, yalnız işareti (+ / −) vardır.

Neden cos θ?

İş aslında iki vektörün (kuvvet ve yer değiştirme) skaler çarpımıdır. Vektörler iki türlü çarpılır: skaler çarpım (sonucu skaler, formülü |A|·|B|·cos θ) ve vektörel çarpım (sonucu vektör, formülü |A|·|B|·sin θ). İş için skaler çarpım geçerlidir. cos θ’nın anlamı şudur: kuvvetin yer değiştirme yönündeki izdüşüm bileşeni iş yapar; dik bileşen iş yapmaz.

İşaretin Anlamı

Durum	Açı θ	cos θ	İş	Anlam
Aynı yön	0°	+1	+F·d	Enerji verildi
Dar açı	0° – 90°	0 – 1	+ (küçük)	Kısmen enerji verildi
Dik	90°	0	0	İş yapılmaz
Geniş açı	90° – 180°	−1 – 0	− (küçük)	Kısmen enerji alındı
Zıt yön	180°	−1	−F·d	Enerji alındı

Örnek 1 — Eğik Kuvvetin İşi

Bir valiz, yatayla θ = 53° açı yapacak şekilde F = 60 N kuvvetiyle çekilerek d = 10 m yer değiştiriyor. (sin 53° = 0.8, cos 53° = 0.6.) F kuvvetinin yaptığı iş kaç Joule’dur?

Çözüm: W = F·d·cos θ = 60·10·0.6 = 360 J.

Sağlama — bileşenle: Kuvvetin yatay bileşeni F_x = F·cos 53° = 60·0.6 = 36 N. Yatay yönde yer değiştirme 10 m olduğu için iş W = F_x · d = 36·10 = 360 J ✓. Düşey bileşen F_y = 48 N iş yapmaz; çünkü cisim düşeyde yer değiştirmiyor.

Birden Fazla Kuvvetin Yaptığı İş

Bir cisme aynı anda birden fazla kuvvet etki ediyorsa, her birinin yaptığı iş ayrı ayrı hesaplanır. Net iş ise, bu işlerin toplamıdır. Alternatif olarak, net kuvvetin yer değiştirmeyle skaler çarpımı da net işi verir:

Örnek 2 — Sürtünmeli Yüzeyde İşler

Yatay sürtünmeli düzlemde duran cisim, F = 20 N kuvvetiyle 5 m çekiliyor. Sürtünme kuvveti f = 6 N. (a) F’nin yaptığı iş, (b) sürtünmenin yaptığı iş, (c) net iş.

Çözüm:

• (a) F ile yer değiştirme aynı yönlü: W_F = 20·5·cos 0° = 100 J (pozitif).
• (b) Sürtünme yer değiştirmeye zıt: W_f = 6·5·cos 180° = −30 J (negatif).
• (c) Net iş: W_net = 100 − 30 = 70 J. Ya da net kuvvetle: F_net = 20 − 6 = 14 N, W_net = 14·5 = 70 J ✓.

Bu 70 J’lük net iş, cisme aktarılan toplam enerjidir; cismin kinetik enerjisindeki artışa eşittir.

Değişken kuvvet altındaki hareketlerde işi formülle tek adımda bulmak zordur. Onun yerine kuvvet-yer değiştirme (F-x) grafiğinden yararlanırız. Grafiğin altında kalan alan, yapılan işe eşittir.

Neden Alan?

İş tanımı W = F·Δx’tir. Sabit kuvvet için bu, grafikte bir dikdörtgen alan’a karşılık gelir (yatay uzunluk Δx, yükseklik F). Değişken kuvvette ise grafik eğri bir şekil olur; bu şeklin altındaki alan, sonsuz küçük dikdörtgenlerin toplamı olarak işe eşit kalır.

Temel Şekiller

Grafik Şekli	Kuvvet Davranışı	İş Formülü
Dikdörtgen	Sabit F	W = F·Δx
Üçgen	Lineer artan / azalan	W = ½·F·Δx
Yamuk	Lineer değişen (sıfırdan değil)	W = ½·(F₁+F₂)·Δx
Yay (doğrusal)	F = k·x	W = ½·k·x² (üçgen)

Eksen Altındaki Alan — Negatif İş

F-x grafiği x ekseninin üstündeyse alan pozitif iş; altındaysa negatif iştir. Örneğin frenleme sürecinde kuvvet yer değiştirmeye zıt yönlü olduğu için grafik eksenin altına düşer ve bu bölgenin alanı negatif iş olarak kabul edilir. Net iş, pozitif ve negatif alanların cebirsel toplamıdır.

Örnek 3 — Bileşik F-x Grafiği

Bir cismin üzerine etki eden net kuvvet F-x grafiği şöyle veriliyor: 0 – 5 m arasında sabit F = 10 N; 5 – 10 m arasında ise kuvvet lineer olarak 10 N’dan 0 N’a iniyor. Bu hareket boyunca yapılan toplam iş kaçtır?

Çözüm:

• 0 – 5 m (dikdörtgen): W₁ = 10·5 = 50 J.
• 5 – 10 m (üçgen): W₂ = ½·10·5 = 25 J.
• Toplam: W = 50 + 25 = 75 J.

Sağlama — yamuk formülüyle: 0 – 10 m aralığında başlangıç 10, son 0. Ortalama kuvvet (10 + 0)/2 = 5 N, yer değiştirme 10 m ise W… hayır, değerler farklı bölümlerde olduğu için bölerek toplamak gerekir. Yukarıdaki 75 J doğru ✓.

Yay Grafiği — Özel Durum

Yay üzerinde Hooke yasasıyla F = k·x ilişkisi vardır. Yay grafiği orijinden başlayan, eğimi k olan bir doğrudur. Yayın 0’dan x’e kadar sıkıştırılmasında yapılan iş:

Bu değer aynı zamanda yay potansiyel enerjisidir; yayı sıkıştırmak için yaptığımız iş, yayda bu enerji olarak depolanır.

Kinetik enerji, hareket halindeki bir cismin sahip olduğu enerjidir. Adı Yunanca "kinesis" (hareket) sözcüğünden gelir. Duran cismin kinetik enerjisi sıfırdır.

Burada m cismin kütlesi (kg), v cismin hızının büyüklüğü (m/s). Birim: Joule (kg·m²/s² = J).

Formülün Türetilişi

Sabit F kuvveti duran bir cisme etki edip d yer değiştirme boyunca onu v hızına getirsin. İş: W = F·d. Newton’un 2. yasası: F = m·a. Sabit ivmeli harekette v² = 2·a·d, yani a·d = v²/2. Bunları birleştirince:

Başlangıçtaki kinetik enerji sıfır, sondaki ½·m·v². Yani yapılan iş kadar kinetik enerji kazanılmıştır. Bu gözlem, iş-enerji teoremini doğurur.

İş-Enerji Teoremi

Bir cisim üzerine etki eden net kuvvetin yaptığı iş, cismin kinetik enerjisindeki değişime eşittir. Bu AYT’nin en güçlü enerji bağıntısıdır: zaman bilgisi olmadan, ivmeyi hesaplamadan doğrudan hız-mesafe-kuvvet arasında köprü kurar.

Kinetik Enerji Hıza Göre Nasıl Artar?

Kinetik enerji hıza kare ile bağlıdır. Yani hız v, 2v, 3v, 4v şeklinde büyürse kinetik enerji 1, 4, 9, 16 şeklinde artar. Bu yüzden otomobil hızı iki katına çıkınca frenleme mesafesi dört katına çıkar.

Hız v	v²	KE (m=2 kg)
2 m/s	4	4 J
4 m/s	16	16 J
6 m/s	36	36 J
8 m/s	64	64 J

Örnek 4 — İş-Enerji ile Kuvvet

Sürtünmesiz yatay zeminde m = 2 kg kütleli cisim, başlangıçta v₁ = 3 m/s hızla hareket ediyor. Cisme hareket yönünde sabit F kuvveti uygulanıyor ve Δx = 8 m yer değiştirme sonunda hızı v₂ = 7 m/s oluyor. F’nin değeri nedir?

Çözüm — iş-enerji:

• KE_ilk = ½·2·9 = 9 J.
• KE_son = ½·2·49 = 49 J.
• ΔKE = 49 − 9 = 40 J.
• W_net = F·Δx. 40 = F·8 ⇒ F = 5 N.

Sağlama — Newton yöntemi: v₂² − v₁² = 2·a·d ⇒ 49 − 9 = 2·a·8 ⇒ a = 2.5 m/s². F = m·a = 2·2.5 = 5 N ✓.

Yer çekimi potansiyel enerjisi (PE_g), bir cismin yer çekimi alanında belli bir referansa göre yüksekliğinden kaynaklanan enerjisidir. Cisim serbest bırakıldığında bu enerji kinetik enerjiye dönüşür.

Burada m kütle (kg), g yer çekimi ivmesi (yaklaşık 10 m/s²), h seçilen referans noktasına göre yüksekliktir. Birim: Joule.

Referans Noktası Serbesttir

Potansiyel enerji mutlak bir değer değildir; her zaman bir referansa göre tanımlanır. Genellikle yer seviyesi (h = 0) alınır, fakat hesap kolaylığına göre masanın üstü, yayın denge konumu, eğik düzlemin dibi de seçilebilir. Fiziksel anlam taşıyan şey yükseklik farkı Δh’dir.

Ağırlık Kuvvetinin İşi

Cisim h yüksekliğinden 0 seviyesine indiğinde ağırlık kuvveti (m·g, aşağı yönlü) yer değiştirmeyle aynı yönlü olur. Yapılan iş:

Cisim yukarı çıkarken (yer değiştirme yukarı, ağırlık aşağı) ağırlığın yaptığı iş negatif; cisim aşağı inerken pozitiftir. Bir tam döngüde (çıkıp yine aynı noktaya dönüş) ağırlığın yaptığı net iş sıfırdır. Bu özellik ağırlığı korunumlu kuvvet yapar.

Örnek 5 — Serbest Düşme ve Enerji

2 kg kütleli cisim, yerden 20 m yüksekten serbest bırakılıyor. Hava direnci ihmal ediliyor, g = 10 m/s². Yere çarpma hızı kaç m/s’dir?

Çözüm — enerji korunumu: Hava direnci olmadığına göre yalnız ağırlık kuvveti etki eder (korunumlu). Mekanik enerji korunur:

• Başlangıçta: PE = 2·10·20 = 400 J, KE = 0. E_mek = 400 J.
• Yerde (referans): PE = 0, KE = 400 J. Tüm potansiyel kinetiğe dönüşür.
• ½·2·v² = 400 ⇒ v² = 400 ⇒ v = 20 m/s.

Sağlama — kinematik: v² = 2·g·h = 2·10·20 = 400 ⇒ v = 20 m/s ✓.

Kütleden Bağımsız Olma

Serbest düşmede ½·m·v² = m·g·h eşitliğinde kütle sadeleşir: v = √(2·g·h). Yani havasız ortamda tüm cisimler aynı yükseklikten aynı hızla yere iner; kütle önemli değildir. Bu sonuç hava direncinin olmadığı her durumda geçerlidir.

Eğik Düzlemde Hız

Sürtünmesiz eğik düzlemin tepesinden bırakılan cisim, dibe ulaştığında hızı v = √(2gh)’dir. Burada h dikey yükseklik; eğim uzunluğu ya da açı sonuca girmez. Çünkü enerji korunumunda yalnız başlangıç ve son durumların PE-KE değerleri önemlidir, yol önemsizdir.

Bir yayı sıkıştırdığınızda ya da uzattığınızda yay, ilk haline geri dönmek ister. Bu isteği temsil eden kuvvete geri çağırıcı kuvvet denir. Deneysel olarak gözlenen ilişki Hooke yasasıdır.

Hooke Yasası

Burada F yayda oluşan geri çağırıcı kuvvetin büyüklüğü, x yayın orijinal (denge) konumundan uzama ya da sıkışma miktarı, k ise yay sabitidir. Birim: N/m.

Vektörel ifadede eksi işareti, kuvvetin yayın uzama/sıkışma yönüne zıt olduğunu gösterir. Yayı sağa çekerseniz kuvvet sola doğrudur; sola iterseniz kuvvet sağa doğrudur.

Yay Sabiti Nelere Bağlıdır?

• Malzeme: Çelik yay alüminyum yaydan serttir; k büyük.
• Tel kalınlığı: Kalın telli yaylar daha serttir.
• Sarım yarıçapı: Sarım yarıçapı küçükse k büyük.
• Sarım sayısı: Daha fazla sarım varsa yay daha yumuşaktır.
• Uzunluk: Yay uzadıkça k azalır (daha yumuşak).

Örnek 6 — Hooke Yasası

Tavana asılı yay, kendi halinde takılıyken ucuna 200 gramlık cisim asılınca 40 cm uzuyor. g = 10 m/s². Yay sabiti kaç N/m’dir?

Çözüm: Cisim dengedeyken yay kuvveti ağırlığı dengeler. Ağırlık: W = m·g = 0.2·10 = 2 N. Uzama: x = 0.4 m. F = k·x ⇒ 2 = k·0.4 ⇒ k = 5 N/m.

Sağlama — iki katı kütle: 400 gram asılsa uzama x = 4/5 = 0.8 m = 80 cm olur. Yani kütle iki katına çıkınca uzama da iki katına çıkar ✓.

Esneklik Potansiyel Enerjisi

Yayı 0’dan x kadar sıkıştırmak ya da uzatmak için sabit kuvvet değil lineer artan kuvvet uygulanır (Hooke). Yapılan iş F-x grafiğindeki üçgen alandır:

Bu iş yayda depolanır; yay serbest bırakıldığında ucundaki cisme kinetik enerji olarak aktarılır.

Hooke Kuvveti Korunumludur

Yay kuvveti mekanik enerjiyi değiştirmez, yalnız dönüştürür. Yayı sıkıştırırken harcadığımız iş ½kx² olarak potansiyelde depolanır; bıraktığımızda bu enerji tamamen kinetiğe dönüşür. Hiçbir enerji yok olmaz (sürtünme yoksa).

Örnek 7 — Yay Sıkıştırma ve Hız

Yay sabiti k = 200 N/m olan yay, x = 0.1 m (10 cm) sıkıştırılıyor. Yayın ucundaki cisim m = 0.5 kg. Sürtünmesiz yatay yüzeyde yay serbest bırakıldığında cismin ayrılma hızı nedir?

Çözüm — enerji korunumu:

• Yay enerjisi: PE_yay = ½·200·0.01 = 1 J.
• Tüm enerji KE’ye: 1 = ½·0.5·v² ⇒ v² = 4 ⇒ v = 2 m/s.

Sağlama — Sıkışma iki katına çıkarsa: x = 0.2 m, PE_yay = ½·200·0.04 = 4 J (dört katı). v² = 16 ⇒ v = 4 m/s (iki katı) ✓. Çünkü PE_yay x² ile, KE v² ile orantılı; sıkışma 2×, hız 2×.

Mekanik enerji, bir cismin kinetik ve potansiyel enerjilerinin toplamıdır:

Bir cisim sadece kinetik enerjiye, sadece potansiyel enerjiye ya da her ikisine birden sahip olabilir. Toplama mekanik enerji denir.

Korunum Yasası

Sistemde yalnız korunumlu kuvvetler (ağırlık, yay kuvveti, elektriksel kuvvet) varsa mekanik enerji zamanla değişmez:

Enerji türleri kendi aralarında dönüşür (potansiyel ↔ kinetik), ancak toplam aynı kalır.

Korunumlu ve Korunumsuz Kuvvetler

Korunumlu	Korunumsuz
Ağırlık (yer çekimi)	Sürtünme kuvveti
Yay kuvveti	İp gerilmesi (kısmen)
Elektriksel kuvvet	Hava direnci
Potansiyel enerji tanımlıdır	Uygulanan F kuvveti

Pratik kural: Bir kuvvetin fizikte "potansiyel enerji" karşılığı varsa o kuvvet korunumludur. Yer çekimi → kütle çekim potansiyeli; yay → esneklik potansiyeli; elektriksel kuvvet → elektriksel potansiyel. Sürtünmenin, ip gerilmesinin, normal kuvvetin potansiyel enerjisi yoktur; bunlar korunumsuzdur.

Enerji Dönüşüm Senaryoları

• Serbest düşme: PE_g → KE. Cisim düştükçe yükseklik azalır, hız artar.
• Yukarı atış: KE → PE_g. Tepede tüm kinetik potansiyele dönüşür, sonra tersine.
• Yay sarkacı: PE_yay ↔ KE. Sıkışık yay, serbest bırakılınca cisme hız verir.
• Sarkaç (sallanan): KE ↔ PE_g. En alt noktada maks KE, en üst noktada maks PE.
• Eğik düzlem (sürtünmesiz): PE_g → KE. Dibe ulaşan cismin hızı v = √(2gh).

Örnek 8 — Yüksekten Düşen Cisim ve Yay

1 kg kütleli cisim, ağırlığı önemsiz yay sisteminin H kadar üzerinden serbest bırakılıyor. Yay sabiti k = 400 N/m. Cisim durana kadar yayı 0.2 m sıkıştırıyor. g = 10 m/s². H değeri kaç metredir?

Çözüm — enerji korunumu: Sürtünme yok. Referansı, cismin anlık olarak durduğu konum (sıkışma noktası) olarak alalım.

• Başlangıçta: Cismin yüksekliği H + 0.2, hızı 0. E_mek_ilk = m·g·(H + 0.2) = 1·10·(H + 0.2) = 10H + 2.
• Son durumda: Hız 0 (anlık duruş), yükseklik 0 (referans), yay enerjisi ½·400·0.04 = 8 J. E_mek_son = 8 J.
• Eşitlik: 10H + 2 = 8 ⇒ 10H = 6 ⇒ H = 0.6 m.

Sağlama — yerden referans: Başlangıç yüksekliği yerden H + 0.2 = 0.8 m, sıkışma konumu yerden 0.2 m. Kayıp potansiyel: 1·10·0.6 = 6 J. Yayda depolanan: 8 J. Aradaki 2 J? Sıkışma anında cisim hâlâ yerden 0.2 m yukarıda, PE_g_son = 2 J var. Kontrol: 6 + 2 = 8 ✓.

Örnek 9 — Kinetik + Potansiyel + Yay

12 m yüksekten v₀ = 10 m/s hızla yatay fırlatılan m = 4 kg cisim, sürtünmesiz rampadan aşağı iniyor ve dipten 7 m yüksekteki yatay bölümde k = 200 N/m’lik yaya çarpıp sıkıştırıyor. Maksimum sıkışma x nedir?

Çözüm: Referans yer seviyesi olsun.

• Başlangıç: KE = ½·4·100 = 200 J, PE_g = 4·10·12 = 480 J. E_mek = 680 J.
• Maks sıkışma anı: Cisim anlık duruyor (KE = 0). 7 m’de olduğu için PE_g = 4·10·7 = 280 J. Yayda: ½·200·x² = 100·x².
• Korunum: 680 = 280 + 100·x² ⇒ 100·x² = 400 ⇒ x² = 4 ⇒ x = 2 m.

Sağlama — enerji dönüşüm izlemesi: 480 J PE_g’nin 200 J’ü yere ulaşana kadar yeni kinetiğe eklenir (toplam KE 400 J). 7 m’ye çıkarken 280 J PE_g’ye geri dönüp kinetik 120 J kalır; yay bu 120 J’ü ve henüz harcanmamış 280 J PE_g dönüşümünü absorbe eder. Net hesap 400 J = ½·200·x² → x = 2 m ✓.

Yol, yüzey, hava gibi pürüzlü ortamlarda hareket eden cisimler mekanik enerjilerini yitirir. Bu kayıp, sürtünme kuvvetinin negatif iş yapmasıyla mekanik enerjinin ısı enerjisine dönüşmesi şeklinde gerçekleşir.

Sürtünmenin Yaptığı İş

Burada f = μ·N sürtünme kuvveti, d yol, N normal kuvvet (yatay zeminde N = m·g), μ ise sürtünme katsayısıdır. Eksi işaret, sürtünmenin hareket yönüne zıt olduğunu gösterir — sürtünme, hareket doğrultusunda olduğunda bu durum değişebilir (kamyon kasasındaki cisim örneği).

Mekanik Enerji Bilançosu

Sürtünmeli sistemde enerji korunumu şöyle yazılır:

Yani başlangıçtaki mekanik enerji, son mekanik enerjiye artı sürtünmenin yuttuğu enerjiye eşittir. Kaybolan enerji ısı olarak çevreye yayılır; yol ısınır, cisim ısınır, ses enerjisine kısmen dönüşür.

Frenleme Mesafesi ve Hız

Durmakta olan cismin kinetik enerjisi KE = ½mv². Pürüzlü yolda sürtünme kuvveti f = μmg bu enerjiyi tüketir. Durma mesafesi:

Kütle sadeleşir. Durma mesafesi hızın karesiyle doğru, sürtünme katsayısıyla ters orantılıdır. Hız 2 katına çıkarsa durma mesafesi 4 katına; hız 3 katına çıkarsa 9 katına çıkar. Bu, ehliyet kurslarında öğretilen hız-frenleme kuralının fiziksel kökenidir.

Örnek 10 — Sürtünmeli Yüzeyde Durma

Yatay sürtünmeli düzlemde m = 2 kg cisim v = 10 m/s hızla ilerlerken durana kadar yolu nedir? μ = 0.2, g = 10 m/s².

Çözüm — iş-enerji:

• KE_ilk = ½·2·100 = 100 J.
• f = μ·m·g = 0.2·2·10 = 4 N.
• 100 = 4·d ⇒ d = 25 m.

Sağlama — formülle: d = v²/(2μg) = 100/(2·0.2·10) = 100/4 = 25 m ✓.

Sürtünme Her Zaman Negatif Değildir

Genel bir yanılgı: "sürtünme her zaman enerjiyi azaltır, her zaman negatif iş yapar." Bu yanlıştır. Yüzey üzerindeki cisim için sürtünme negatif iş yapabilir; ama hareket eden yüzey üzerindeki cisim üzerinde sürtünme pozitif iş yapabilir.

Örnek 11 — Kamyon Kasasındaki Cisim

Yatay yolda duran kamyonun kasasında m = 8 kg cisim bulunuyor. Kamyon a = 3 m/s² ivmeyle t = 10 s boyunca hızlanıyor, cisim kasada kaymıyor. Yere göre, sürtünme kuvvetinin cisim üzerine yaptığı iş nedir? g = 10 m/s².

Çözüm: Cisim kaymadığına göre kamyon ile aynı ivmeyle hızlanır. Bunu sağlayan tek yatay kuvvet, kasa ile cisim arasındaki statik sürtünmedir. Bu sürtünme, cismi kamyonla birlikte öne (hareket yönünde) iter.

• Son hız: v = a·t = 3·10 = 30 m/s.
• Kinetik enerji değişimi: ΔKE = ½·8·900 = 3600 J.
• İş-enerji teoremi: Net kuvvetin yaptığı iş = ΔKE. Cismin üzerine etkiyen tek yatay kuvvet sürtünme olduğuna göre W_sür = +3600 J (pozitif).

Sağlama — Newton: f = m·a = 8·3 = 24 N. Cisim yere göre d = ½·3·100 = 150 m yer değiştirir. W_sür = 24·150 = 3600 J ✓. Sürtünme burada cisme enerji aktarır, çünkü hareketi sağlar.

Aynı miktarda işi daha kısa sürede yapan sistem, daha güçlü kabul edilir. Güç, iş ya da enerjinin zamana oranıdır.

Güç Tanımı

Birim: Watt (1 W = 1 J/s). Pratik birimler:

• 1 kW = 1000 W = 10³ W (evlerde elektrik tüketimi).
• 1 MW = 10⁶ W (küçük güç santralleri).
• 1 HP ≈ 746 W (otomobil motoru, klima).

P = F·v Formülü

Sabit F kuvveti altında sabit v hızıyla hareket eden cisim için güç ilişkisi türeti şöyledir: W = F·d, P = W/t = F·(d/t) = F·v. Kuvvet ile hız aynı yöndeyse cos θ = 1; zıt yöndeyse cos θ = −1 (negatif güç, sistemden enerji alınıyor demektir).

Örnek 12 — Güç Hesabı

Asansör motoru 800 kg kütleli kabini sabit v = 2 m/s hızla yukarı çıkarıyor. Motor gücü nedir? (g = 10 m/s², sürtünme ihmal.)

Çözüm: Sabit hızda, motor kuvveti ağırlığa eşit olmalı (net kuvvet 0): F = m·g = 800·10 = 8000 N. Güç: P = F·v = 8000·2 = 16000 W = 16 kW.

Sağlama — iş üzerinden: 1 saniyede kabin 2 m yükselir. Yapılan iş: W = F·d = 8000·2 = 16000 J. Güç: P = W/t = 16000/1 = 16000 W ✓.

Verim Kavramı

Gerçek sistemlerde verilen enerjinin tamamı yararlı işe dönüşmez; bir kısmı sürtünme, ısı, ses, elektriksel kayıp gibi formlara dağılır. Verim, yararlı olarak çıkan enerjinin verilene oranıdır:

Verim boyutsuz bir orandır; yüzde ya da ondalık (0 – 1) olarak verilir. Gerçek sistemlerde hiçbir zaman %100 değildir; asansörlerde %60 – 80, otomobil motorlarında %25 – 35, LED ampullerde %50, içten yanmalı benzinli motorlarda %30 civarındadır.

Örnek 13 — Verim Hesabı

Bir elektrik motoru 1000 J elektrik enerjisi alıyor ve bu enerjiyle bir yük 8 m yukarı kaldırılıyor. Yük 10 kg, g = 10 m/s². Motorun verimi nedir?

Çözüm:

• Yararlı iş: W_yararlı = m·g·h = 10·10·8 = 800 J (yükseklik kazandırma işi).
• Verilen enerji: W_verilen = 1000 J.
• Verim: η = (800/1000)·100 = %80.

Sağlama — kayıp: Kayıp enerji 1000 − 800 = 200 J, yani verilen enerjinin %20’si ısıya, titreşime, sürtünmeye gitmiş.

Güç-Verim Birleşik Soru

Bir motor saatte üretilen yararlı işi soruyor ise önce güç ve saat üzerinden W = P·t bulun, sonra verimle çarpın: W_yararlı = η·P·t. Ya da tersi: yararlı iş verilmişse W_verilen = W_yararlı / η.

Enerji yaratılmaz ve yok edilmez; yalnızca bir formdan diğerine dönüşür. Bu bölümde AYT’de sık karşılaşılan dönüşüm senaryolarını özetliyoruz.

1. Sürtünmesiz Serbest Düşme

Süreç: Yüksekteki cisim serbest bırakılır.

• Başlangıçta: PE = mgh, KE = 0.
• Herhangi bir anda: PE = mg·(h − Δh), KE = ½·m·v² = mg·Δh.
• Yerde: PE = 0, KE = mgh.

Mekanik enerji: Her an sabit (= mgh). Yükseklik yarıya indiğinde PE yarıya iner, KE sıfırdan yarısına çıkar.

2. Eğik Düzlemden Kayma (Sürtünmesiz)

Süreç: Tepedeki cisim kayarak dibe iner.

• Başlangıç: PE = mgh.
• Dipte: KE = ½·m·v² = mgh, v = √(2gh).

Son hız, eğim açısından ve yoldan bağımsızdır. Aynı yükseklikten bırakılan iki cisim, farklı açılarda kaysalar da dibe aynı hızla ulaşır (kütleden de bağımsız).

3. Eğik Düzlemden Kayma (Sürtünmeli)

Süreç: Tepedeki cisim dibe kadar sürtünmeli yolda iner.

• Başlangıç: PE = mgh.
• Sürtünme iş yapar: |W_sür| = μ·m·g·cos θ · L (burada L yol uzunluğu).
• Dipte: KE = mgh − μ·m·g·cos θ·L, v = √(2·(gh − μg·cos θ·L)).

4. Yay Sarkacı

Süreç: Sıkıştırılmış yay serbest bırakılır, ucundaki cisim fırlar.

• Başlangıç: PE_yay = ½·k·x², KE = 0.
• Yay denge konumuna ulaştığında: PE_yay = 0, KE = ½·m·v² = ½·k·x².
• Hız: v = x·√(k/m).

5. Düşey Yay Sistemi

Süreç: Cisim, düşey yerleştirilmiş yayın üstüne bırakılır; yay cismi yavaşlatır ve anlık olarak durdurur.

• Başlangıç: PE_g = mgh (yay üstünden).
• Maks sıkışma anı: tüm enerji yayda: ½·k·x_max² = m·g·(h + x_max).

6. Basit Sarkaç

Süreç: İpe bağlı cisim denge konumundan çekilip bırakılır.

• En yüksek nokta: PE = mgh, KE = 0.
• Denge (en alt): PE = 0, KE = mgh, v = √(2gh).

Sürtünmesiz sarkaç hiç enerji kaybetmez; salınım sonsuza dek devam eder. Gerçekte hava sürtünmesi ve ip esnekliği küçük kayıplar yapar.

Enerji Bilanço Tablosu

Süreç	Başlangıç	Son	Kayıp
Serbest düşme	PE_g	KE	0
Eğik düzlem (sürtünmesiz)	PE_g	KE	0
Eğik düzlem (sürtünmeli)	PE_g	KE + Isı	W_sür
Yay sarkacı	PE_yay	KE	0
Sarkaç	PE_g	KE	0 (ideal)
Pürüzlü yolda frenleme	KE	Isı	KE’nin tamamı

Bu bölümde yukarıdaki kavramları birleştiren AYT tarzı soruları adım adım çözüyoruz.

Örnek 14 — Eğik Düzlem Sürtünmeli (İş-Enerji)

Yatayla 37° açı yapan sürtünmeli eğik düzlemin tepesinden m = 2 kg cisim serbest bırakılıyor. Eğim uzunluğu L = 5 m, sürtünme katsayısı μ = 0.25. sin 37° = 0.6, cos 37° = 0.8, g = 10 m/s². Cismin dipteki hızı nedir?

Çözüm:

• Yükseklik: h = L·sin 37° = 5·0.6 = 3 m.
• Başlangıç mek. enerji: PE = m·g·h = 2·10·3 = 60 J, KE = 0.
• Normal kuvvet: N = m·g·cos 37° = 2·10·0.8 = 16 N.
• Sürtünme kuvveti: f = μ·N = 0.25·16 = 4 N.
• Sürtünme işi: |W_sür| = f·L = 4·5 = 20 J.
• Dipte kinetik: KE = 60 − 20 = 40 J.
• Hız: ½·2·v² = 40 ⇒ v² = 40 ⇒ v = 2√10 m/s ≈ 6.32 m/s.

Sağlama — sürtünmesiz karşılaştırma: Sürtünme olmasaydı v = √(2·10·3) = √60 ≈ 7.75 m/s. Sürtünme hızı yaklaşık 1.4 m/s düşürdü ✓.

Örnek 15 — Sabit Kuvvet ile Hızlanma (Eşit Bölmeli)

Sürtünmesiz yatay yolda duran cisim, üzerine etki eden sabit F kuvvetiyle eşit bölmelere ayrılmış bir yoldan hızlandırılıyor. Cisim L noktasında v hızındadır. Hangi noktada 2v hızına ulaşır?

Çözüm — iş-enerji: Sabit kuvvetle eşit aralıklarda eşit iş yapılır. Başlangıç (0 noktası)’ndan L’ye 1 bölme geçmişse:

• 0 → L: W = F·x (1 bölme), KE = ½·m·v² = E.
• KE, bölme sayısıyla orantılıdır; KE iki katına çıkarsa 2 bölme, üç katına çıkarsa 3 bölme…
• 2v’ye ulaşmak için KE = ½·m·(2v)² = 4E; yani 4 katı KE, 4 bölme gerekir.
• Cisim 0 noktasından itibaren 4 bölme sonra 2v hızına ulaşır. L’den 3 bölme ileridedir.

Sağlama: KE aralıkları: 0 (0 noktası), E (L), 2E (M = 2 bölme), 3E (N = 3 bölme), 4E (P = 4 bölme). Hızlar: 0, v, √2·v, √3·v, 2v. Yani 2v hızı P noktasındadır ✓.

Örnek 16 — Yay + Sürtünme

Sürtünme katsayısı μ = 0.1 olan yatay pürüzlü yüzeyde k = 100 N/m’lik yayın ucundaki m = 2 kg cisim, yay x = 0.4 m sıkıştırılıp bırakılıyor. g = 10 m/s². Cisim yay denge konumundan ayrıldıktan sonra kaç metre daha ilerleyip durur?

Çözüm:

• Başlangıç mek. enerji (yay): PE_yay = ½·100·0.16 = 8 J.
• Sürtünme kuvveti: f = μ·m·g = 0.1·2·10 = 2 N.
• Yay sıkışıktan denge konumuna (0.4 m) kadar sürtünme: 2·0.4 = 0.8 J. Bu kısmı ayırmak gerekir.
• Denge konumundaki KE: 8 − 0.8 = 7.2 J.
• Denge konumundan durana kadar yol d: 7.2 = 2·d ⇒ d = 3.6 m.

Sağlama — sürtünmesiz karşılaştırma: Sürtünme olmasaydı, cismin denge konumundaki hızı v = √(2·8/2) = √8; ancak sürtünme yoksa cisim durmaz, sonsuza dek gider. Bu soruda sürtünme kaybı, cismin denge konumundan sonra ek 3.6 m gidip durmasına izin verir.

Örnek 17 — Güç ve Verim Birleşik

Bir vinç motoru 500 W güçte çalışıyor ve 20 saniyede 100 kg yükü 5 m yükseğe çıkarıyor. g = 10 m/s². Sistemin verimi nedir?

Çözüm:

• Verilen enerji: W_verilen = P·t = 500·20 = 10000 J.
• Yararlı iş: W_yararlı = m·g·h = 100·10·5 = 5000 J.
• Verim: η = (5000/10000)·100 = %50.

Sağlama — kayıp: Kayıp enerji 10000 − 5000 = 5000 J, yani motor verdiği enerjinin yarısını sürtünme/ısı gibi kayıplarda harcamış ✓.

Örnek 18 — İş-Enerji Teoremi ile Kuvvet-Yol

Yatay sürtünmesiz düzlemde duran m = 3 kg cisme etki eden net kuvvet F-x grafiği şöyle: 0 – 4 m arasında sabit F₁ = 6 N (pozitif), 4 – 8 m arasında sabit F₂ = −3 N (zıt yön). Cismin 8 m sonundaki hızı nedir?

Çözüm:

• 0 – 4 m: W₁ = 6·4 = 24 J (pozitif alan).
• 4 – 8 m: W₂ = −3·4 = −12 J (negatif alan).
• Net iş: W_net = 24 − 12 = 12 J.
• İş-enerji: ½·3·v² = 12 ⇒ v² = 8 ⇒ v = 2√2 m/s ≈ 2.83 m/s.

Sağlama — ara hız: 4 m sonunda ½·3·v₁² = 24 ⇒ v₁² = 16 ⇒ v₁ = 4 m/s. 4 – 8 m aralığında zıt kuvvet yavaşlatır: ½·3·(v₁² − v²) = 12 ⇒ v² = 16 − 8 = 8 ⇒ v = 2√2 m/s ✓.

Örnek 19 — Eğik Düzlemden Yatay Pürüzlü Yüzeye

Sürtünmesiz 30° eğik düzlemin tepesinden, yerden h = 2 m yükseklikteki bir noktada serbest bırakılan m = 1 kg cisim, eğim boyunca dipte yatay zemine geçiyor. Yatay zemin sürtünmeli olup μ = 0.2. Cisim yatay zeminde kaç metre sonra durur? g = 10 m/s².

Çözüm:

• Eğimin dibinde hız (sürtünmesiz): ½·m·v² = m·g·h ⇒ v² = 2·10·2 = 40, v = 2√10 m/s.
• Dipte kinetik enerji: KE = m·g·h = 1·10·2 = 20 J.
• Yatay yüzeyde sürtünme kuvveti: f = μ·m·g = 0.2·1·10 = 2 N.
• Durma mesafesi: 20 = 2·d ⇒ d = 10 m.

Sağlama — kinematik: Yatay ivme a = f/m = 2 m/s². v² = 2·a·d ⇒ 40 = 2·2·d ⇒ d = 10 m ✓.

Örnek 20 — Düşeyden Yay ile Karşılaşma

Düşeyde yerleştirilmiş yay sabiti k = 500 N/m olan yayın üst ucuna değmeyecek şekilde, yayın üst seviyesinden h = 1.6 m yüksekten m = 2 kg cisim serbest bırakılıyor. Cisim yaya çarpıp maksimum sıkıştırıyor. Maksimum sıkışma x nedir? (g = 10 m/s², hava direnci ihmal.)

Çözüm — referans: yayın maksimum sıkıştığı konum:

• Başlangıç yüksekliği (referansa göre): h + x. Başlangıç PE_g: m·g·(h + x) = 20·(1.6 + x) = 32 + 20x.
• Son durumda: KE = 0, PE_g = 0 (referans), PE_yay = ½·500·x² = 250·x².
• Korunum: 32 + 20x = 250·x², 250·x² − 20x − 32 = 0.
• Sadeleştir (÷2): 125·x² − 10x − 16 = 0.
• Delta: Δ = 100 + 4·125·16 = 100 + 8000 = 8100 ⇒ √Δ = 90.
• Kök: x = (10 + 90)/250 = 100/250 = 0.4 m.

Sağlama: 32 + 20·0.4 = 40 J. 250·0.16 = 40 J ✓. Enerji korunumu sağlandı.

Örnek 21 — Güç, Zaman ve Mekanik Enerji

Bir asansör motoru η = %75 verimle çalışıyor ve kabini + yolcu toplam m = 600 kg olan asansörü sabit v = 1.5 m/s hızla yukarı çıkarıyor. Motorun çektiği elektrik gücü nedir? g = 10 m/s², sürtünme yok.

Çözüm:

• Yararlı kuvvet (ağırlığa karşı): F = m·g = 600·10 = 6000 N.
• Yararlı güç: P_yararlı = F·v = 6000·1.5 = 9000 W = 9 kW.
• Verim: η = P_yararlı / P_verilen ⇒ P_verilen = 9000 / 0.75 = 12000 W = 12 kW.

Sağlama: Kayıp güç 12 − 9 = 3 kW, verilen gücün %25’i ✓.

Son Söz

İş-Enerji ünitesi AYT Fizik’in en bağlantılı konusudur: Newton yasaları, atışlar, itme-momentum, dairesel hareket, elektrik, modern fizik konularında hep geri döner. Formülleri ezberlemek yerine dört temel ilkeyi içselleştirin: (1) İş = F·d·cos θ skaler çarpımıdır, (2) İş-enerji teoremi net iş ile kinetik enerji değişimini bağlar, (3) Mekanik enerjinin korunumu sürtünmesiz sistemlerde geçerlidir, (4) Sürtünme varsa kayıp enerji ısıya dönüşür ve bilanço eksilmeyle yazılır. Bu dört ilkeyi sorunuzdaki durum için uyarladığınızda, klasik kinematik adımlara gerek kalmadan çözüme ulaşırsınız. AYT’de enerji sorularının büyük çoğunluğu bu ilkelerin birleştirilmesiyle çözülür; ezber yerine durumu anlamaya ve doğru enerji türlerini tanımlamaya odaklanın.