İtme, Momentum ve Çarpışmalar

Çizgisel momentum, bir cismin hareketinin "ihtişamını" ölçen fiziksel büyüklüktür. Günlük dildeki karşılığı "hızın ve kütlenin birlikte gücü"dür: büyük kütleli ya da yüksek hızlı bir cismin hareketini değiştirmek zordur, çünkü momentumu büyüktür. Küçük kütleli ve yavaş bir cismin hareketi kolayca değiştirilir, çünkü momentumu küçüktür.

Matematiksel Tanım

Burada m cismin kütlesi (kg), v⃗ ise cismin hız vektörüdür (m/s). Birim: kg·m/s (ayrı bir özel adı yoktur). Momentum vektörel bir büyüklüktür: kütle skaler olduğu için momentum vektörünün yönü daima hız vektörünün yönüyle aynıdır.

Neden Kütle ve Hız?

Hareketin değiştirilme zorluğu hem kütleye hem hıza bağlıdır. Elinizdeki çakıl taşını cama çarpsanız taş geri seker, çünkü kütlesi ve hızı küçük; yani momentumu küçük. Aynı camı büyük bir kayayla vurursanız kaya camı kırar, çünkü kütlesi büyük. Aynı çakıl taşını bu sefer sapanla fırlatsanız cam yine kırılır, çünkü bu sefer hızı büyük. Momentum, bu iki etkeni tek bir büyüklükte birleştirir.

Vektör Özelliği — İşaret Kritiktir

Bir boyutlu problemlerde yönü işaretle göstermek yeterlidir. Sağ tarafa hareketi +, sol tarafa hareketi − kabul edersek:

Cisim	Kütle	Hız	Momentum
A	2 kg	+3 m/s (sağa)	+6 kg·m/s
B	3 kg	−2 m/s (sola)	−6 kg·m/s
A + B	—	—	0 kg·m/s

A ve B cisimlerinin momentum büyüklükleri eşit ama yönleri zıt; sistemin toplam momentumu sıfırdır. Bu, patlama ve fırlatma sorularında sıkça karşımıza çıkan bir durumdur.

Örnek 1 — Karşılaştırmalı Momentum

Aşağıdaki cisimlerden hangilerinin çizgisel momentumu eşittir?

• A: m kütle, sağa doğru v hız.
• B: m kütle, durgun.
• C: 2m kütle, sağa doğru v/2 hız.
• D: m/3 kütle, sola doğru 3v hız.

Çözüm: Momentumları hesaplayalım:

• A: p_A = m·v = +mv (sağa)
• B: p_B = m·0 = 0
• C: p_C = 2m·(v/2) = +mv (sağa)
• D: p_D = (m/3)·(−3v) = −mv (sola)

A ve C momentumları hem büyüklük hem yön olarak eşittir (+mv). D’nin büyüklüğü A ve C ile eşit ama yönü zıt olduğu için farklı bir momentumdur. B’nin momentumu sıfırdır. Cevap: A ile C eşittir.

Newton yasalarından biliyoruz ki kuvvet cisimleri hızlandırır, yavaşlatır ya da yönünü değiştirir. Peki aynı kuvvet uygulandığında sonuç neden farklı olabiliyor? Aynı kuvvetle bir topu 1 saniye itersek bir sonuç alırız; 10 saniye itersek çok daha büyük bir hıza ulaşır. Bu fark, yeni bir kavramı gündeme getirir: itme.

İtmenin Tanımı

İtme (J), uygulanan kuvvetin etkime süresi ile çarpımıdır. Birimi N·s’dir. İtme vektörel bir büyüklüktür; yönü her zaman uygulanan kuvvetin yönüyle aynıdır. Skaler zaman ile çarpılan kuvvet vektörü, yine aynı yönde bir vektör verir.

İtme-Momentum Teoremi

Bir cisme uygulanan net itme, o cismin momentum değişimine tam olarak eşittir. Bu, mekaniğin en güçlü araçlarından biridir:

Bu bağıntı Newton’un ikinci yasasının (F = m·a) zamana göre entegre edilmiş halidir. İçlerini dışlarını çarparsak: F·Δt = m·(v_son − v_ilk) = m·Δv → F = m·Δv/Δt = m·a.

Neden Önemli?

• Kuvvetin zaman içinde değiştiği durumlarda Newton’un ikinci yasasından daha kolay kullanılabilir; yalnız başlangıç ve son momentum yeter.
• Kısa süreli çarpışmalarda kuvvet büyüklüğü ölçülemezken itme (momentum değişiminden) kolayca bulunabilir.
• F-t grafiğinde alan itmeyi verir, bu da momentum değişimini verir.

Örnek 2 — Duvara Çarpıp Geri Sekme

Yatay düzlemde hareket eden 2 kg kütleli top, sağa doğru 5 m/s hızla giderken duvara çarpıp sola doğru 3 m/s hızla geri sekiyor. Topun momentum değişimini ve duvarın topa uyguladığı itmeyi bulunuz.

Çözüm: Sağ yönü + alalım.

• İlk momentum: p_ilk = m·v_ilk = 2·(+5) = +10 kg·m/s
• Son momentum: p_son = m·v_son = 2·(−3) = −6 kg·m/s
• Momentum değişimi: Δp = p_son − p_ilk = −6 − (+10) = −16 kg·m/s

Duvarın topa uyguladığı itme, bu momentum değişimine eşittir: J = Δp = −16 N·s. Negatif işaret, itmenin sola doğru olduğunu gösterir. Yorum: Duvar topa sola doğru bir kuvvet uygulamış ve belli bir süre boyunca etkilemiştir; bu da topu sağa doğru 5 m/s’den sola doğru 3 m/s’ye çevirmiştir.

Kısa-Uzun Etkileşim Süresi

Aynı momentum değişimini iki farklı yolla yaratabilirsiniz: büyük kuvveti kısa sürede uygulamak ya da küçük kuvveti uzun sürede uygulamak. Sonuç aynıdır (J = F·Δt), ama cisim üzerindeki etki farklıdır:

Durum	Kuvvet	Süre	Sonuç
Duvara çarpma	Büyük	Çok kısa	Cisim zarar görür
Yaya çarpma	Küçük	Uzun	Cisim korunur
Airbag	Küçük	Uzatılmış	Yolcu korunur
Jimnastik minderi	Küçük	Uzatılmış	Sporcu korunur

Araçlardaki tamponlar, hava yastıkları ve spor minderleri hep etkileşim süresini uzatarak ortalama kuvveti azaltır; momentum değişimi aynıdır ama cisimler daha küçük kuvvetle (yani daha güvenli) durur.

Sabit olmayan bir kuvvetin itmesini doğrudan F·Δt ile hesaplamak zordur. Bu durumda kuvvet-zaman grafiğinden yararlanırız: F-t grafiğinin altında kalan alan uygulanan itmeye eşittir.

Neden Alan?

Sabit kuvvet durumunda J = F·Δt, bu da bir dikdörtgen alandır (yükseklik F, taban Δt). Değişken kuvvette eğri bölümlere ayrılır; her küçük aralıktaki dikdörtgen itmelerin toplamı, grafiğin altındaki toplam alana eşittir. Bu, matematiksel olarak integral alımına karşılık gelir.

Alanın İşareti

• Grafik x ekseninin üstündeyse (F > 0) alan pozitif itmedir.
• Grafik x ekseninin altındayse (F < 0) alan negatif itmedir.
• Net itme, pozitif ve negatif alanların cebirsel toplamıdır.

Momentum-Zaman Grafiği

Benzer şekilde, p-t grafiğinin eğimi uygulanan net kuvveti verir: F_net = Δp/Δt. Bu, itme-momentum teoreminin grafiksel karşılığıdır.

Örnek 3 — Net İtme ve Son Hız

Yatay sürtünmesiz düzlemde başlangıçta durgun olan 2 kg’lık cisme uygulanan kuvvetin zamana bağlı grafiği şöyle verilmiş: 0 – 2 s arasında F = +10 N, 2 – 4 s arasında F = −5 N. Cismin 4. saniye sonundaki hızını bulunuz.

Çözüm: Her iki bölümdeki itmeleri hesaplayalım.

• 0 – 2 s: J₁ = F·Δt = (+10)·2 = +20 N·s (dikdörtgen alanı)
• 2 – 4 s: J₂ = F·Δt = (−5)·2 = −10 N·s (x ekseni altındaki dikdörtgen)
• Net itme: J_net = J₁ + J₂ = +20 + (−10) = +10 N·s

İtme-momentum teoreminden: J_net = Δp = m·v_son − m·v_ilk. Cisim başlangıçta durgun (v_ilk = 0) ve kütlesi 2 kg olduğundan:

+10 = 2·v_son − 2·0 → v_son = +5 m/s

Cisim 4. saniye sonunda sağ yönde 5 m/s hızla hareket etmektedir. Net itme pozitif olduğu için hızı da pozitif yönde olmuştur. Sağlama: Birinci bölümde (10 N sabit) cisim 2 saniye içinde 0 → 10 m/s hızlanır; ikinci bölümde (−5 N) cisim 2 saniye içinde 10 → 5 m/s yavaşlar. Son hız 5 m/s ✓.

Fiziğin en güzel korunum yasalarından biri momentumun korunumu yasasıdır. İfadesi oldukça yalındır:

Kapalı Sistem Ne Demek?

Sistemin üzerine net dış kuvvet etki etmiyorsa o sistem kapalı (izole) kabul edilir. Sistem içindeki cisimler birbirine kuvvet uygulayabilir (etki-tepki kuvvetleri); bu kuvvetler iç kuvvetlerdir ve sistemin toplam momentumunu değiştirmez. Yalnız sistemin parçaları arasında momentum aktarımı olur.

Neden Korunur?

Newton’un üçüncü yasasından kolay görülür: Cisim A, cisim B’ye F⃗ kuvveti uygularsa, B de A’ya −F⃗ kuvveti uygular (etki-tepki). Aynı süre boyunca etki ettikleri için A’nın momentum değişimi +J⃗, B’nin momentum değişimi −J⃗’dir. Toplam değişim sıfırdır.

İki Boyutta Korunum

Momentum vektörel olduğu için iki boyutlu sistemlerde x ve y bileşenleri ayrı ayrı korunur:

Bu, iki boyutta çarpışma veya patlama sorularını çözmenin temel aracıdır.

Momentum Ne Zaman Korunmaz?

• Sisteme dışarıdan net kuvvet etki ediyorsa (örn. sürtünme, dış çekim, dış itiş).
• Duvara çarpan top örneği: Top tek başına ele alınırsa duvarın top üzerindeki kuvveti dış kuvvettir; topun momentumu korunmaz. Ama top + duvar + Dünya sistemi için korunur (duvar ve Dünya o kadar ağır ki hız değişimleri ihmal edilebilir).
• Eğik düzlemde inen cisim: Yer çekimi dış kuvvettir, yatay momentum korunabilir ama düşey momentum korunmaz (yerden gelen normal kuvvet düşey ekseni kısıtlar).

Örnek 4 — Patencinin Topu Fırlatması

5m kütleli bir kaykaylı çocuk, elinde m kütleli bir top tutarak doğu yönünde v hızıyla gidiyor. Çocuk topu yere göre 4v büyüklüğünde bir hızla batı yönünde fırlatıyor. Bu anda çocuğun yere göre hızı nedir?

Çözüm: Sistem = çocuk + top. Doğu yönünü + alalım. Dış kuvvet (sürtünme) yok, momentum korunur.

• İlk durum: Çocuk + top birlikte +v hızında, toplam kütle 5m + m = 6m.
  Toplam ilk momentum: p_ilk = 6m·v = +6mv
• Son durum: Top batıya doğru −4v hızla, çocuk V hızla (bulunacak).
  Toplam son momentum: p_son = m·(−4v) + 5m·V = −4mv + 5m·V
• Denklem: +6mv = −4mv + 5m·V

6mv + 4mv = 5m·V → 10mv = 5m·V → V = +2v

Çocuk doğu yönünde 2v hızla hareket eder. Yorum: Topu batıya fırlattığı için tepki olarak doğuya doğru ivmelenmiş, hızını v’den 2v’ye çıkarmıştır. Bu, Newton’un 3. yasasının momentum diliyle ifade edilmiş halidir.

Patlama ve Parçalara Ayrılma

Durgun bir cisim iç kuvvetlerle (kimyasal patlama, yay serbest bırakma) parçalara ayrılırsa ilk momentum sıfırdır, son momentum da sıfır kalmak zorundadır. İki parçaya ayrılan durgun cismin parçaları zıt yönde, momentum büyüklükleri eşit olarak fırlar.

Örnek 5 — Durgun Cismin Patlaması

Yatay düzlemde durgun olan 5 kg’lık bir cisim iç patlama geçirip iki parçaya ayrılıyor. 2 kg’lık parça −x yönünde 6 m/s hızla fırlıyor. Diğer parçanın hızı ve kinetik enerjisi nedir? Patlama sonucu ortaya çıkan toplam kinetik enerjiyi hesaplayınız.

Çözüm: Sağ yönü +. Diğer parçanın kütlesi: 5 − 2 = 3 kg.

• İlk momentum: p_ilk = 0 (durgun)
• Son momentum: p_son = 2·(−6) + 3·V = −12 + 3V
• Korunum: −12 + 3V = 0 → V = +4 m/s

3 kg’lık parça sağa doğru 4 m/s hızla fırlar. Kinetik enerjileri:

• 2 kg parça: KE₁ = ½·2·6² = 36 J
• 3 kg parça: KE₂ = ½·3·4² = 24 J
• Toplam: KE_son = 36 + 24 = 60 J

Başlangıçta kinetik enerji 0 J idi; patlama sonunda 60 J oldu. Bu enerji cisim içerisindeki kimyasal/potansiyel enerjiden gelmiştir. Momentum korundu (−12 + 12 = 0), kinetik enerji ise artmıştır (patlama ile dışarı verilen iç enerji kinetiğe dönüşmüştür). Doğrulama: p = 2·6 = 12 = 3·4 ✓.

Çarpışmalar, momentum konusunun en çok soru üretilen kısmıdır. Çarpışma tipleri, kinetik enerjinin korunup korunmamasına göre sınıflandırılır:

Çarpışma Tipi	Momentum	Kinetik Enerji	Sonuç
Elastik	Korunur	Korunur	Cisimler ayrılır
Esnek Olmayan	Korunur	Kısmen kaybolur	Cisimler ayrılır (kayıp var)
Tam Esnek Olmayan	Korunur	Maksimum kaybolur	Cisimler yapışır (kenetlenme)

Elastik Çarpışma Tanımı

İki cisim çarpışır, hem momentum hem de kinetik enerji korunursa çarpışma elastik (tam esnek) adını alır:

Bu tür çarpışmalar günlük hayatta nadirdir; ses, ısı ve deformasyon kaybı olmaması gerekir. Atom altı parçacık çarpışmaları, çelik-çelik çarpışmaları iyi yaklaşımdır. Bilardo topları yüzde doksan civarında elastik kabul edilebilir.

AYT Özel Kuralı — Eşit Kütle + 1B Elastik

Eşit kütleli (m₁ = m₂) iki cisim bir boyutta elastik çarpışırsa hızlarını takas ederler:

Bu çok güçlü bir kısa yoldur. Hareketli bir cisim durgun cisme çarparsa, hareketli cisim durur, durgun cisim eski hızla yoluna devam eder. İki cisim farklı hızlarla karşılıklı geliyorsa çarpışma sonunda hızlarını değişir.

Örnek 6 — Eşit Kütleli Elastik Çarpışma (Hız Takası)

1 kg kütleli K cismi sağa doğru 6 m/s hızla giderken, 1 kg kütleli L cismi sola doğru 2 m/s hızla karşı yönden gelmektedir. İki cisim bir boyutta elastik olarak çarpışıyor. Çarpışma sonrası hızları ve KE’lerini bulunuz.

Çözüm: Kütleler eşit → hızlar takas olur.

• K’nin son hızı: L’nin ilk hızı = −2 m/s (sola)
• L’nin son hızı: K’nin ilk hızı = +6 m/s (sağa)

Momentum doğrulaması:

• İlk: 1·(+6) + 1·(−2) = +4 kg·m/s
• Son: 1·(−2) + 1·(+6) = +4 kg·m/s ✓

KE doğrulaması:

• İlk: ½·1·6² + ½·1·2² = 18 + 2 = 20 J
• Son: ½·1·2² + ½·1·6² = 2 + 18 = 20 J ✓

Farklı Kütleli Elastik Çarpışma (Genel Formüller)

Kütleler farklıysa iki denklemi (momentum + KE) eş zamanlı çözmek gerekir. Sonuç:

Bu formüller AYT’de nadiren doğrudan sorulur; öğrencinin bunları ezberlemesi beklenmez. AYT düzeyinde genellikle eşit kütle özel durumu, durgun hedef kurguları ya da sayısal değerlerle basit denklem çözümü gelir.

Newton Beşiği (Pratik Deney)

Beş özdeş küre yanyana asılmış haldedir. Kenardaki kürelerden birini çekip bıraktığınızda aynı kütlede olan tüm küreler momentum ve kinetik enerjiyi zincirleme aktarır; en sondaki küre aynı hızla fırlar. İki küreyi birlikte bıraktığınızda diğer uçtan iki küre fırlar; tek bir küre iki katı hızla fırlamaz. Çünkü iki küre bırakmak aynı anda "iki özdeş elastik çarpışma" demektir ve kinetik enerji korunumu tek kürenin iki katı hızlanmasına izin vermez.

İki boyutta elastik çarpışmalarda momentum hem x hem y bileşeninde ayrı ayrı korunur; kinetik enerji ise ayrı bir denklemle korunur. Üç denklemli sistem genellikle sayısal çözüm gerektirir. Fakat AYT’de sıkça kullanılan çok güçlü bir özel durum vardır:

İspat — Neden 90°?

Momentum korunumu (vektörel): p⃗₁ = p⃗₁′ + p⃗₂′. Bu ilk momentum vektörü, iki parçalı son momentum vektörlerinin uç uca toplanmasıyla oluşan bir üçgenin hipotenüsügibi durur.

Kinetik enerji korunumu: Pratik bir yazım kullanalım: KE = p²/(2m). Kütleler eşit (m₁ = m₂ = m) olduğundan:

Bu denklem Pisagor bağıntısıdır! Momentum vektörlerinin oluşturduğu üçgenin kenarları arasında a² = b² + c² ilişkisi varsa, o üçgen dik üçgendir. Yani p⃗₁′ ile p⃗₂′ arasındaki açı 90°’dir.

Örnek 7 — Eşit Kütle + 2B Elastik (90° Kuralı)

Sürtünmesiz yatay düzlemde, m kütleli K cismi v₀ hızıyla doğu yönünde ilerlerken, yine m kütleli durgun L cismine çarpıyor. Çarpışma elastiktir. Çarpışma sonrasında K cismi yatayla 37° yukarıda v₁′ hızıyla hareket etmektedir. L cisminin saçılma yönünü ve iki cismin hızlarını bulunuz.

Çözüm: 90° kuralı gereği L cismi, K ile 90° yapacak şekilde hareket eder. K cismi kuzey-doğu yönünde 37° açıyla saçıldıysa, L cismi güney-doğu yönünde 53° açıyla saçılır (37° + 53° = 90°).

Hızları bulmak için momentum bileşenlerini yazalım:

• İlk momentum: p_x = m·v₀, p_y = 0
• Son momentum (x): m·v₁′·cos 37° + m·v₂′·cos 53° = m·v₀ → 0.8·v₁′ + 0.6·v₂′ = v₀
• Son momentum (y): m·v₁′·sin 37° − m·v₂′·sin 53° = 0 → 0.6·v₁′ = 0.8·v₂′ → v₁′ = (4/3)·v₂′

İkincisini birincide yerine koyalım: 0.8·(4/3)·v₂′ + 0.6·v₂′ = v₀ → (3.2/3 + 0.6)·v₂′ = v₀ → (1.067 + 0.6)·v₂′ = v₀ → 1.667·v₂′ = v₀ → v₂′ = 0.6·v₀ ve v₁′ = 0.8·v₀.

Doğrulama (KE):

• İlk KE: ½·m·v₀²
• Son KE: ½·m·(0.8v₀)² + ½·m·(0.6v₀)² = ½·m·v₀²·(0.64 + 0.36) = ½·m·v₀² ✓

Hem momentum hem de kinetik enerji korunur; 90° kuralı doğrulanmıştır.

Gerçek dünyadaki çarpışmaların çoğunda ses, ısı ya da deformasyon kaybı oluşur. Kinetik enerji tamamen korunmaz; bir kısmı başka enerji formlarına dönüşür. Bu tür çarpışmalar esnek olmayan (inelastic) çarpışma olarak adlandırılır.

Esnek olmayan çarpışmaların en uç hali, cisimlerin çarpışıp birbirine yapışarak aynı hızla gitmesi durumudur. Bu, tam esnek olmayan (perfectly inelastic) çarpışma olarak bilinir ve maksimum kinetik enerji kaybının gerçekleştiği durumdur.

Tam Esnek Olmayan Çarpışma — Ortak Hız

Ortak hız, sistemin kütle merkezi hızıdır aslında. Cisimler yapıştığı anda tek bir birleşik cisim olmuş gibi davranırlar.

Kinetik Enerji Kaybı

Kaybolan kinetik enerji ΔKE = KE_ilk − KE_son olarak hesaplanır. Bu enerji ses, ısı, deformasyon ve titreşim olarak çevreye dağılır.

Örnek 8 — Yapışmalı Çarpışma

Yatay sürtünmesiz düzlemde 3 kg kütleli K cismi sağa doğru 4 m/s hızla, durgun 2 kg kütleli L cismine çarparak kenetleniyor. Kenetlenmiş sistem hangi hızla gider? Bu çarpışmada ne kadar kinetik enerji kayboldu?

Çözüm: Tam esnek olmayan çarpışma. Sağ yönü +.

• İlk momentum: p_ilk = 3·4 + 2·0 = 12 kg·m/s
• Ortak hız: v_ortak = 12 / (3+2) = +2.4 m/s
• İlk KE: KE_ilk = ½·3·4² + ½·2·0² = 24 J
• Son KE: KE_son = ½·5·2.4² = ½·5·5.76 = 14.4 J
• Kayıp: ΔKE = 24 − 14.4 = 9.6 J

Kinetik enerjinin 40%’ı kaybolmuştur; bu enerji ses ve ısıya dönüşmüştür. Doğrulama: Son momentum 5·2.4 = 12 kg·m/s ✓ (korunum sağlandı).

Balistik Sarkaç — Klasik Problem

Balistik sarkaç, bir merminin hızını ölçmek için kullanılan tarihi bir düzenektir. Bir tahta bloğu ipten asılmış halde, mermi bloğa girip saplanır (tam esnek olmayan), ardından blok+mermi birlikte yukarı salınır. Enerji korunumundan yüksekliğe dönüşen kinetik enerjiyle merminin ilk hızı geri hesaplanabilir.

Örnek 9 — Balistik Sarkaç Benzeri (Enerji + Momentum)

Sürtünmesiz eğik yolda h yüksekliğinden serbest bırakılan m kütleli K cismi, yoldaki durgun L cismine çarpıp kenetleniyor. Birleşik sistem aynı yoldan yukarı h/9 yüksekliğine çıkabildiğine göre L cisminin kütlesini bulunuz.

Çözüm: İki aşamalı problem.

Aşama 1 — K’nin çarpışma anındaki hızı: mgh = ½mv² → v = √(2gh)

Aşama 2 — Çarpışma (momentum korunumu): m·v = (m + m_L)·v_ortak → v_ortak = m·v / (m + m_L)

Aşama 3 — Birleşik sistem h/9’e çıkar (enerji korunumu): ½(m+m_L)·v_ortak² = (m+m_L)·g·(h/9) → v_ortak² = 2g·h/9 → v_ortak = √(2gh/9) = v/3

Aşama 4 — Kütleyi bul: v_ortak = v/3 = m·v/(m+m_L) → (m+m_L)/3 = m → m+m_L = 3m → m_L = 2m

L cisminin kütlesi K’nin iki katıdır. Yorum: Çarpışma sırasında hız 1/3’e düşmüş, bu da kinetik enerjinin 1/9’ına düşmesine yol açmıştır; bu yüzden birleşik sistem yalnız h/9 yüksekliğine çıkabilir.

Cisimlerin iki boyutlu düzlemde (x ve y eksenlerinde) hareket edip çarpıştığı durumlarda momentum bileşenleri ayrı ayrı korunur. Esnek olmayan çarpışmada ek olarak kinetik enerji kaybolur ama bu kayıp denklemlere dahil edilmez; yalnız momentum kullanılır.

Yöntem

1. Her cismin momentum vektörünü x ve y bileşenlerine ayır (p_x = m·v·cos θ, p_y = m·v·sin θ).
2. x bileşeninde momentum korunumu: Σp_x_ilk = Σp_x_son.
3. y bileşeninde momentum korunumu: Σp_y_ilk = Σp_y_son.
4. Yapışma varsa son durumda tek bir cisim ve bir ortak hız vardır; iki bileşen ayrı hesaplanır.
5. Ortak hızın büyüklüğü: |v_ortak| = √(v_x² + v_y²), yönü: tan θ = v_y / v_x.

Örnek 10 — İki Boyutta Yapışma

Kaykay üzerinde bulunan 8 kg kütleli bir çocuk, yatay düzlemde sağa doğru 7 m/s hızla hareket etmektedir. Aniden 2 kg kütleli bir macun topu, sol taraftan ve aşağı yönlü 45° açıyla 10√2 m/s hızıyla çocuğa yapışır (cos 45° = sin 45° = √2/2). Yapışmadan sonra çocuk+macun sisteminin yere göre hızını bulunuz. (Zeminden gelen normal kuvvet düşey momentumu anında sıfırlar.)

Çözüm: Sağ yönü +x, yukarı yönü +y alalım. Macunun hızının bileşenleri:

• Macun x: 10√2·cos 45° = 10√2·(√2/2) = 10 m/s sola = −10 m/s
• Macun y: 10√2·sin 45° = 10 m/s aşağı = −10 m/s

Yatay momentum korunumu:

• İlk x: p_x = 8·(+7) + 2·(−10) = 56 − 20 = +36 kg·m/s
• Son x: (8+2)·v_x_ortak = 10·v_x_ortak
• Denklem: 10·v_x_ortak = +36 → v_x_ortak = +3.6 m/s

Düşey: Zeminden gelen normal kuvvet macunun aşağı momentumunu anında sıfırlar; kaykay yerin altına gömülemez. Dolayısıyla düşey momentum korunmaz (dış kuvvet var). Sistem yalnız yatayda hareket eder.

Sonuç: Kaykay+macun sağa doğru 3.6 m/s hızla gitmeye devam eder. Macunun yapışmasıyla kaykayın hızı 7’den 3.6’ya düşmüştür; yatayda momentum korunmuştur. Doğrulama: Yatay momentum 10·3.6 = 36 kg·m/s ✓.

Uçakta Yakıt Atımı / Cismi Fırlatma Problemleri

Havada ilerleyen bir cisim (uçak, roket, top) aşağıya doğru bir parçasını atarsa kendisi yukarı doğru ivmelenir; bu 2B momentum korunumunun klasik uygulamasıdır. Problem her zaman aynı yöntemi izler: x ve y momentumlarını ayrı ayrı koru.

Patlama ve fırlatma senaryoları, "bir cismin parçalara ayrılıp momentum transferi yapması" şeklinde özetlenebilir. Hepsinin arkasında tek bir prensip vardır: dış kuvvet yoksa sistemin toplam momentumu değişmez.

Durgun Cismin Patlaması

Başlangıç momentumu sıfırsa, son toplam momentum da sıfır olmak zorundadır. İki parçaya ayrılan durgun cisimde parçalar zıt yönlerde, momentum büyüklükleri eşit olarak fırlar:

Küçük kütleli parça hızlı, büyük kütleli parça yavaş fırlar. Üç parçaya ayrılmada vektörel toplam sıfır olmalıdır; parçalar düzlemsel olarak saçılır (uç uca eklendiğinde kapalı bir şekil oluşturur).

Silah Tepmesi

Tüfek ateşlendiğinde mermi ileri fırlar, tüfek geri teper. Sistem başta durgundur, mermi fırladığında silahın geri tepme hızı:

Silah kütlesi merminin kütlesinden çok büyük olduğu için silahın geri tepme hızı merminin hızından çok küçüktür.

Örnek 11 — Tüfek Tepmesi

Yerle sürtünmesi ihmal edilen 2 kg kütleli bir tüfek, 10 g (0.01 kg) kütleli mermiyi ileri doğru 400 m/s hızla fırlatıyor. Tüfeğin geri tepme hızını ve enerjik dengeyi kurun.

Çözüm: İleri yönü +. İlk durum durgun.

• Momentum korunumu: 0 = 0.01·(+400) + 2·V_tüfek
• V_tüfek = −4/2 = −2 m/s (geri tepme)

Tüfek geriye doğru 2 m/s hızla teper. Doğrulama (momentum): 0.01·400 + 2·(−2) = 4 − 4 = 0 ✓. Enerji:

• Mermi KE: ½·0.01·400² = 800 J
• Tüfek KE: ½·2·2² = 4 J
• Toplam: 804 J (barut kimyasal enerjisinden geldi)

Mermi enerjinin büyük kısmını taşır (99.5%); küçük kütleli parçalar enerjinin büyük kısmını taşır. Bu, "küçük kütle yüksek hız → yüksek KE" ilkesinin doğal sonucudur.

Fırlatma Problemleri (Namlu Hızı vs Yere Göre Hız)

Bir araç hareket halindeyken mermi fırlatıyorsa, merminin "namludan çıkış hızı" ile "yere göre hızı" farklıdır. Namludan çıkış hızı aracın anlık hızına göre ölçülür; aracın hızı da fırlatma anında değişmiş olabilir. Bağıl hız denklemi: v_mermi_yere = v_mermi_namluya + v_namlu_yere. Fakat namlu, fırlatma anında aracın değişmiş hızıyla hareket eder; bu yüzden denklem kurarken fırlatma anındaki aracın hızını kullanmak gerekir, başlangıçtaki hızını değil.

Roket İtişi

Roket, aşağıya doğru yüksek hızla atık gaz atar; momentum korunumundan kendisi yukarı doğru momentum kazanır. Her saniye atılan gazın dm/dt kütle akışı ve atıma hızı u olarak tanımlandığında, roketin itiş kuvveti: F_itiş = u·(dm/dt). Bu, AYT’de kavramsal olarak sorulur; roket denklemini çözmek istenmez.

Çarpışma sırasında cisimler birbirine değip ayrılıyorsa momentum korunur; ama yay aracılığıyla itişme/çekişme varsa, cisimler bir süre birbirleriyle etkileşir. Bu dinamiği anlamak için kütle merkezi hızı kavramı çok yararlıdır.

Kütle Merkezi Hızı

Bir sistemin toplam momentumu, toplam kütle × kütle merkezi hızına eşittir: p_toplam = (m₁+m₂)·v_km. Sistemin momentumu korunduğunda kütle merkezi hızı değişmez. Bu, tüm etkileşim boyunca geçerlidir; yalnız çarpışmanın başlangıç ve sonunda değil.

Yay ile Birbirine Bağlı Arabalar

Birbirine yayla bağlı iki arabanın durumunu düşünelim. Hareket halinde arkadaki araba yayı sıkıştırmaya başlar, yay da arabalara kuvvet uygular. Hızlar değişir fakat kütle merkezi hızı sabittir. Şöyle bir "yolculuk" yaparlar:

1. Başta: Arkadaki hızlı, öndeki yavaş; yay gevşek.
2. Yay sıkışmaya başlar; arkadaki yavaşlar, öndeki hızlanır. Yay kuvveti iki arabaya zıt yönlerde eşit büyüklükte etki eder (iç kuvvet).
3. Bir an gelir, iki arabanın hızı eşitlenir; işte bu an yayın maksimum sıkışık olduğu andır. Bu hız, kütle merkezi hızına eşittir.
4. Yay gevşemeye başlar, ön araba iyice hızlanır, arkadaki iyice yavaşlar.
5. Eşit kütleli arabalar için sonuçta: arkadaki araba durur, öndeki araba eski hızla gider.

Maksimum sıkışma anında yayda depolanan enerji enerji korunumundan bulunur: E_yay = KE_ilk − KE_ortak = (½m₁v₁² + ½m₂v₂²) − ½(m₁+m₂)v_km².

Örnek 12 — Yayla Birbirine Dönen Arabalar

Sürtünmesiz yatay düzlemde 2 kg kütleli bir araba 6 m/s hızla sağa doğru gidip yaya bağlı 2 kg kütleli durgun bir arabaya çarpıyor. Yay sabiti k = 100 N/m. Yayın maksimum sıkıştığı andaki arabaların hızı ve yayın sıkışma miktarı nedir?

Çözüm: İki aşamalı problem.

Aşama 1 — Maksimum sıkışma anında hızlar eşit: Momentum korunumu:

• p_ilk = 2·6 + 2·0 = 12 kg·m/s
• Max sıkışmada ortak hız v: (2+2)·v = 12 → v = 3 m/s

Aşama 2 — Enerji korunumu (yay enerjisi):

• İlk KE: ½·2·6² = 36 J
• Max sıkışmada ortak KE: ½·4·3² = 18 J
• Yayda depolanan: E_yay = 36 − 18 = 18 J
• Yay enerjisi: ½·k·x² = 18 → ½·100·x² = 18 → x² = 0.36 → x = 0.6 m = 60 cm

Maksimum sıkışma anında her iki araba da sağa doğru 3 m/s hızla gider; yay 60 cm sıkışmıştır. Sonraki süreç: Yay gevşedikçe ön araba hızlanır, arka araba yavaşlar. Eşit kütleli elastik sistem olduğu için sonunda arka araba durur (v = 0), ön araba 6 m/s hızla gider (hız takası).