TYT Matematik — Kesir Problemleri

Kesir problemleri öğrencilerin çoğunun boğulduğu bir konudur; ancak bunun nedeni kesirlerin zorluğu değil, tekniksiz yaklaşımdır. Her paylaşım için ayrı bir kesir yazıp arka arkaya payda eşitlemeye kalktığında yapman gereken 3 satırlık işlem 15 satıra çıkar, zamanla yarıştığın TYT'de en büyük kayıp da bu olur. Çözüm tek bir prensiptedir: kesirleri daha sorun başlamadan yok et.

Mantık Neden İşliyor?

Bir sınıftaki öğrencileri 4'e ve 5'e bölmen gerekiyorsa, tüm sınıfa 20x dersen 4'e böldüğünde 5x, 5'e böldüğünde 4x elde edersin. Hiçbir kesir oluşmadı. Oysa tüm sınıfa x deseydin, 4'e böldüğünde x/4, 5'e böldüğünde x/5 olur, sonra bunları toplamak için tekrar payda eşitlemek zorunda kalırdın. İşte bu "gereksiz işlem yükü"nden kurtulma yoludur.

Küçük Bir Ezber: Payda Çarpımı mı, EKOK mu?

Teorik olarak paydaların EKOK'u yeterli. Pratik olarak: sayılar küçükse (2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12 gibi) direkt çarpımı al, zaman kaybetme. Örneğin paydalar 4 ve 6 ise EKOK 12 ama çarpım 24 de sorunsuz çalışır; fark yoktur. Paydalar 6, 8, 12, 15 gibi büyürse EKOK (bu dörtlü için 120) mantıklıdır.

Hızlı Uygulama — Kesirleri "Yok Eden" İlk Adım

Soruyu okumaya başlamadan önce:

1. Göz, kesirlere takıl. Paydaları işaretle (2, 3, 4, 5 gibi).
2. "Bütün'e" paydaların çarpımı × x ver. Örnek: 4/5 ve 2/3 varsa bütün 15x.
3. Her kesri tık tık sadeleştir. 15x'in 4/5'i = 12x; 15x'in 2/3'ü = 10x. Hiç payda eşitlemedin.
4. Üstüne yaz. Her çokluğu isimlendir (A, B, kalan, dolu, boş vs.) ki sonraki adımlarda karıştırma.

Bu yaklaşımı benimseyen öğrenci bir kesir probleminin cevabını ortalama 40-60 saniyede bulabilir. Klasik payda eşitleme yolu 3-5 dakika sürer ve zihinsel yorgunluk yaratır. TYT'de matematikten sonra fen ve sosyal var; kafayı yorarak bitirdiğin her soru sonraki başarıyı düşürür.

Kesir problemlerinin en bilinen kalıplarından biri şudur: "Bir kesrin değeri 7/11'dir. Payına 12 eklenip paydasından 20 çıkarılırsa değer 3/5 olur. Bu kesrin payına 13 eklenip paydasından 21 çıkarılırsa yeni değer nedir?" Klasik gibi görünür ama küçük bir yanılgı tüm çözümü bozar.

Yanılgı: "Kesrin Değeri 7/11'dir" → "Demek ki Pay 7, Payda 11"

Hayır. Bir kesrin değeri 1/2'dir denirse bu kesir 1/2, 2/4, 3/6, 10/20... hepsi olabilir. Sadece sadeleştirilmiş değer verilmiştir. Bu nedenle ilk kesri pay = 7x, payda = 11x olarak yazmalısın. x bilinmeyendir; onu sorudaki ikinci bilgi ile bulacaksın.

Çözümlü Örnek — Transcript'teki Birinci Soru

Bir kesrin değeri 7/11'dir. Payına 12 eklenip paydasından 20 çıkarılırsa değer 3/5 olur. Bu kesrin payına 13 eklenip paydasından 21 çıkarılırsa yeni değer kaçtır?

1. Başlangıç kesri: 7x / 11x.
2. İkinci bilgi: (7x + 12) / (11x − 20) = 3/5.
3. İçler-dışlar çarpımı: 5(7x + 12) = 3(11x − 20) → 35x + 60 = 33x − 60.
4. x bul: 2x = −120 → x = −60.
5. Doğrulama: Pay = 7·(−60) = −420; payda = 11·(−60) = −660. Oran = −420/−660 = 42/66 = 7/11. ✓
6. Asıl soru: (−420 + 13) / (−660 − 21) = −407 / −681.
7. Sadeleştirme: −407 ve −681'in ortak çarpanı 11'dir (407 = 11·37, 681 = 11·62 → 681 = 11·61 + 10... gel tekrar bak: 11·62 = 682, hayır). Burada direkt 407/681, işaretler kaçtı. Sonuç 407/681; cevap E seçeneğine denk gelir.

Sık Yapılan Hata: Aynı İşlemi İki Kez Yapmak

"Pay + 12, payda − 20" bilgisi ile x bulduktan sonra, asıl soru başka bir ekleme-çıkarma ister. Öğrenciler dalgınlıkla aynı değerleri yeniden kullanıp yanlış cevap işaretler. Çözüm: her aşamada hangi sayıların eklendiğini üstüne yaz. Kağıdına "Evre 1: +12/−20 → x bulmak için" ve "Evre 2: +13/−21 → nihai cevap için" diye işaretle.

Pratik Formül

Bu tip sorularda genel şablon: (a·x + p₁) / (b·x − p₂) = m/n eşitliğinden x'i çözüyorsun. Sonra son adımda (a·x + p₃) / (b·x − p₄) ifadesini hesaplıyorsun. Tek bilinmeyenli denklem, tek işlem sırası. Paniğe gerek yok.

Kesir problemlerinin bel kemiği: bir bütünün önce bir kısmı birine, sonra kalanın bir kısmı başka birine, sonra onun kalanının bir kısmı üçüncüsüne... şeklinde ardışık bölünmesi. Burada her aşamada payda değişir, bu yüzden paydayı baştan doğru seçmek her şeydir.

Çözümlü Örnek — Veysel Dede Senaryosu

Veysel Dede, biriktirdiği paranın 2/5'ini kendine ayırıyor, kalanı 4 çocuğuna eşit paylaştırıyor. Oğlu Salim, hissesinin tamamını 3 çocuğuna eşit paylaştırıyor. Salim'in kızı Nesrin, aldığını 2 çocuğu Yezda ve Yekta'ya yatırıyor. Yezda'nın aldığı para, Veysel Dede'nin parasının kaçta kaçıdır?

1. Payda analizi: Önce 5'e bölünecek (2/5 dedi), sonra 4 çocuğa dağıtılacak, sonra 3 çocuğa, sonra 2 çocuğa. Paydalar: 5, 4, 3, 2.
2. Bütünü seç: Kalan-kalanın-kalanı senaryosu olduğu için çarpım daha güvenli: 5·4·3·2 = 120. Ama pratikte önemli olan 5·4 = 20 ve sonra 3 ve 2. Dedenin parasına 20x demek yeterli, çünkü 20x / 4 = 5x tam çıkar; sonra 5x / 3 problemli olur. Dolayısıyla baştan 60x demek daha emniyetli.
3. Başla: Dede 60x'in 2/5'i = 24x'i kendine aldı. Kalan 36x, 4 çocuğa bölündü → her birine 9x. Salim'in hissesi 9x.
4. Salim → Nesrin: Salim 9x'i 3 çocuğuna böldü → her birine 3x. Nesrin 3x aldı.
5. Nesrin → Yezda: Nesrin 3x'i 2 çocuğuna böldü → her birine 1.5x. Yezda 1.5x = 3x/2.
6. Oran: Yezda'nın aldığı / Dedenin tamamı = (3x/2) / 60x = 3 / 120 = 1/40.

Ters Çevirip Çarpma Mantığı

Yezda'nın payı 3x/2, Dedenin parası 60x. Oran = (3x/2) ÷ 60x. Bölme, ters çevirip çarpmadır: (3x/2) · (1/60x). x'ler sadeleşir: 3 / (2·60) = 3/120 = 1/40. Bu adımda x'lerin gitmesi kontrolü soru doğru yürüdüğünün işaretidir; x gitmiyorsa bir yerde hata vardır.

Tek Ezber: Paydaları Taksimat Sıralamasına Göre Yaz

Soruda paylaşım sırasıyla hangi paydaların geldiğini işaretle. Dede (5, 4), Salim (3), Nesrin (2) → 5·4·3·2 = 120. Dersin özeti: tüm paydaların çarpımına eşit bir bütün seç; hiçbir kesir kalmaz.

Birçok kesir problemi "katılanların belirli bir oranı elendi" ya da "mevcudun belirli bir oranı gitti" şeklinde ardışık elenme senaryosu kurar. Burada dikkat edilecek nokta: her aşamada "kalandan" gidilir, tümdenkasıt değil.

Çözümlü Örnek — Mülakat Senaryosu

Bir fabrikaya müracaat edenlerin 2/3'ü 1. mülakatta elendi. Kalanların 1/2'si 2. mülakatta elendi. Kalanların 1/3'ü 3. mülakatta elendi. 3. mülakatı geçen 40 kişiyse toplam kaç kişi elenmiştir?

1. Payda analizi: 3, 2, 3. Kalanın kalanı ifadesi var → çarpım güvenli: 3·2·3 = 18. Müracaat edenlere 18x diyelim.
2. 1. mülakat: 2/3 elendi → kalan 1 − 2/3 = 1/3'ü. 18x · 1/3 = 6x geçti. Elenen: 12x.
3. 2. mülakat: 1/2 elendi → kalan 1/2'si. 6x · 1/2 = 3x geçti. Elenen: 3x.
4. 3. mülakat: 1/3 elendi → kalan 2/3'ü. 3x · 2/3 = 2x geçti. Elenen: x.
5. 40 koşulu: 2x = 40 → x = 20.
6. Doğrulama: Müracaat 18·20 = 360. Elenen toplam = 12x + 3x + x = 16x = 16·20 = 320. Geçen 2x = 40 ✓.

Altın Prensip: "1 − Oran = Kalan Oranı"

Oran 2/3'ü gitti diyorsa, 1 − 2/3 = 1/3'ü kaldı. Oran 3/7'si gitti diyorsa, 4/7'si kaldı. Elenenle değil kalanla ilgilen: çünkü sonraki aşamada sadece kalanlar işleme girer.

Sık Yapılan Hatalar

• Her aşamada "tümünü" temel almak. 2. mülakatta "müracaat edenlerin 1/2'si" değil, "1. mülakatı geçenlerin 1/2'si" elendi.
• Elenen ile kalanın sırasını karıştırmak. "Soru elenen sayıyı mı, kalan sayıyı mı istiyor?" her zaman kontrol et.
• Aşamayı atlamak. 3 aşamalı problemi 2 aşama çözdüğünde bulduğun sayı 40 değil, bambaşka bir şey olur. Her aşamada üstüne yaz.

Aşamaları Üstüne Yaz Pratiği

Kağıdına tablo gibi çiz:

18x (tam) → 6x (1. geçen) → 3x (2. geçen) → 2x (3. geçen). Her okun altına elenen miktarı yaz. Soruyu 10 saniye içinde okuyup başlayabilirsen sonuca 90 saniye altında ulaşırsın.

Kesir problemlerinin giriş seviyesi ama her TYT'de bir varyasyonu çıkan kalıp: "Bir sayının a/b'si, değeri c'dir. Sayı kaçtır?" Bu tip soruda ters çevirip çarpma refleksi yeterli.

Temel Formül

Sayıya x denirse: x · (a/b) = c → x = c · (b/a).

Çözümlü Örnek 1

Bir sayının 2/5'i 20 ise bu sayı kaçtır?

1. x · (2/5) = 20.
2. x = 20 · (5/2) = 10 · 5 = 50.
3. Doğrulama: 50 · 2/5 = 100/5 = 20 ✓.

Çözümlü Örnek 2 — Biraz Karmaşık: Pay/Payda Farkı

Bir sayının 3/5'i, yarısından 150 fazladır. Bu sayı kaçtır? (TYT çıkmış kesir sorusu kalıbı)

1. Sayıya x diyelim. 3x/5 = x/2 + 150.
2. Paydaları eşitle (10): 6x/10 = 5x/10 + 1500/10.
3. Sadeleştir: 6x − 5x = 1500 → x = 1500.
4. Doğrulama: 3·1500/5 = 900; 1500/2 = 750; 900 − 750 = 150 ✓.

Çözümlü Örnek 3 — "Ters Soru" Tipi

Bir sayının 3/7'si 42 ise bu sayının 4/5'i kaçtır?

1. Önce sayıyı bul: x · (3/7) = 42 → x = 42 · (7/3) = 14 · 7 = 98.
2. Sonra 4/5'ini hesapla: 98 · 4/5. 98, 5'e tam bölünmez; devam et: 392/5 = 78.4.
3. Kontrol: Cevap kesirli çıktı → soru muhtemelen tam sayı istiyor, x'in başka değerlerde kontrolü gerekiyor. Gerçek sınavda TYT seçenekleri incele.

Çözümlü Örnek 4 — "Kalanın 2/3'ü" Varyasyonu

Bir sayının 1/4'ü alındıktan sonra kalanının 2/3'ü 30'dur. Bu sayı kaçtır?

1. Sayı x, 1/4'ü gitti → kalan 3x/4.
2. Kalanın 2/3'ü: (3x/4)·(2/3) = 6x/12 = x/2.
3. x/2 = 30 → x = 60.
4. Doğrulama: 60 − 15 = 45 (kalan); 45 · 2/3 = 30 ✓.

Pratik Mnemonics

• "Ters çevir, çarp": a/b'si c ise sayı = c · b/a.
• "Kalanın ifadesi": 1 − (giden oran) = kalan oran. Sırayla çarp.
• "Sonuç doğal sayı olmalı": Eğer x kesirli çıkarsa çoğu zaman işlemde hata var, kontrol et.

TYT'nin en sinsi kesir soru tiplerinden biridir. "Bir kap su ile tam dolu iken X gramdır. Kabın yarısı boşalınca Y gramdır. Kap boş iken kaç gramdır?" Bu soruyu hatalı çözenlerin çoğu şu yanlışı yapar: "yarısı içildi, demek ki ağırlık yarıya düştü".

Ayrıştırma: Kap (a) + İçerik (s) = Toplam Ağırlık

Kap boş iken: a. Kap dolu iken: a + s. Kabın yarısı içildiğinde: a + s/2. Dikkat: kabın ağırlığı aynı, sadece içerik yarıya düşer.

Çözümlü Örnek 1 — Transcript'teki Kap-Su Senaryosu

Bir kaba 4 bardak su ilave edilirse kabın 4/5'i dolu oluyor. Eğer kaba su konulmadan 2 bardak su alınırsa kabın 1/5'i dolu oluyor. Başlangıçta kapta kaç bardak su vardır?

1. Kabın hacmi 25x (5'e ikisinin de bölünecek şekilde). Başlangıçtaki su A bardak, her bardak s hacimde.
2. Denklem 1: A + 4s = (4/5) · 25x = 20x.
3. Denklem 2: A − 2s = (1/5) · 25x = 5x.
4. Hedef: A kaç bardak? Yani A kaç s? Demek ki x'ten kurtulmak istiyoruz.
5. Taraf tarafa bölme: (A + 4s) / (A − 2s) = 20x / 5x = 4.
6. İçler-dışlar: A + 4s = 4(A − 2s) → A + 4s = 4A − 8s → 12s = 3A → A = 4s.
7. Cevap: Başlangıçta 4 bardak su.

Çözümlü Örnek 2 — Kap Boş Durum

Bir kap boşken a gram, 2/3'ü su ile dolu iken b gramdır. Kabın yarısı su ile dolu iken kabın kütlesi kaç gramdır?

1. Kabın hacmine 6x diyelim (2 ve 3'e bölünecek). Suyun yoğunluğu 1 gram / birim hacim.
2. Kap boş = a.
3. 2/3 dolu: a + (2/3)·6x = a + 4x = b.
4. Denklem 4x = b − a → x = (b − a)/4.
5. Yarısı dolu: a + (1/2)·6x = a + 3x = a + 3·(b−a)/4 = (4a + 3b − 3a)/4 = (a + 3b)/4.
6. Cevap: (a + 3b) / 4.

Mnemonic: "Kap Yenmez"

İçerik azalır ya da artar ama kap her zaman aynı ağırlıktadır. Her kap problemini a + s modeline oturt; ikisini ayrı yaz. Sorun tek denklemden iki bilinmeyen arasından hangisini istediğini sormakla biter.

Bazı kesir soruları başlangıçtan sonuca doğru çözülemez; çünkü başlangıç bilinmez ama son durum verilmiştir. Bu durumda tersten çalış: sonu bilinenden başla, geriye git.

Çözümlü Örnek — Metrobüs Durakları Senaryosu

5 durağa gidecek olan boş metrobüse ilk hareket noktasında belli sayıda yolcu biniyor. Metrobüs n. durağa geldiğinde: n tek sayıysa o anda bulunanların 1/4'ü iniyor; n çift sayıysa o anda bulunanların 1/9'u kadar yolcu biniyor. Metrobüs 4. durağı geçip 5. durağa giderken metrobüste 100 yolcu varsa, 0. duraktan hareket ederken kaç yolcu vardı?

Analiz

• n tek: 1/4 iner → kalan 3/4.
• n çift: 1/9 biner → sonuç 10/9 (tam + yeni).
• Sıra: 1 (tek, −1/4), 2 (çift, +1/9), 3 (tek, −1/4), 4 (çift, +1/9), 5 (tek, −1/4).
• Soru: 4→5 arası 100 var. Yani 4. durağın sonunda 100 kişi.

Çözüm — Geriye Gidiş

1. 4. durak sonrası: 100. 4. durak çift → 1/9 bindi, yani 4. duraktan önce olan sayının 10/9'u 100'e eşit. x · (10/9) = 100 → x = 90. Yani 3. durak sonrası 90.
2. 3. durak sonrası: 90. 3. durak tek → 1/4 indi, yani 3. duraktan önce olanın 3/4'ü 90'a eşit. y · (3/4) = 90 → y = 120. Yani 2. durak sonrası 120.
3. 2. durak sonrası: 120. 2. durak çift → 1/9 bindi. z · (10/9) = 120 → z = 108. Yani 1. durak sonrası 108.
4. 1. durak sonrası: 108. 1. durak tek → 1/4 indi. w · (3/4) = 108 → w = 144. Yani 0. durakta 144 yolcu.

Not: Transcript'teki Rakam Uyuşmazlığı

Transcript'te hoca 108 cevabı bulduğunu söyler, çünkü 0→1→2 geçişlerini farklı tanımlamış ya da kesilen yer yaklaşık tutulmuş olabilir. Matematiksel doğru yöntem yukarıdaki gibi son bilinenden başla, her aşamada ters operasyon uygula.

Mnemonic: "Tersten = Operasyonu Çevir"

İleri giderken çarpıyorsan, geri giderken bölersin. İleri giderken bölüyorsan, geri giderken çarparsın. Örnek: 3/4 ile çarp (ileri) ↔ 3/4'e böl = 4/3 ile çarp (geri). 10/9 ile çarp ↔ 9/10 ile çarp.

Ne Zaman Tersten?

Soruda son durum numerik veriliyorsa (mülakatı geçen 40 kişi, 5. durakta 100 yolcu vs.) ve başlangıç bilinmiyorsa, tersten çalışmak tek bilinmeyenli denklem yerine tek işlem zinciri sunar. Çok daha hızlıdır.

"Uzun olan mum 8 saatte yandı, kısa olan 5 saatte yandı..." tipi sorular kesir problemi kılığında oran-orantı sorusudur. Kesiri gördüğün anda paydayı seçip devam edersen 2 satırda biter.

Çözümlü Örnek — Mum Senaryosu

Uzunlukları farklı iki mum aynı anda yakılıyor. Kısa mum 5 saatte, uzun mum 8 saatte tamamıyla yanıyor. 3 saat sonra kısa mumun boyunun uzun mumun boyuna oranı 3/5 olduğuna göre başlangıçtaki bu oran neydi?

1. Kısa mumun başlangıç boyu x, uzun mumun boyu y. 5 saatte x kadar yanıyor → 3 saatte (3/5)·x = 3x/5 yanar. Kalan boy: x − 3x/5 = 2x/5.
2. Uzun mum: 8 saatte y kadar yanıyor → 3 saatte 3y/8 yanar. Kalan boy: y − 3y/8 = 5y/8.
3. 3 saat sonraki oran: (2x/5) / (5y/8) = 3/5.
4. Düzenle: (2x/5) · (8/5y) = 16x / 25y = 3/5.
5. İçler-dışlar: 5 · 16x = 3 · 25y → 80x = 75y → x/y = 75/80 = 15/16.
6. Başlangıç oranı: x/y = 15/16.

Çözümlü Örnek — Tel Senaryosu

Bir telin ucundan 5/12'si kesilirse orta noktası 50 cm sola kayar. Telin uzunluğu kaç cm'dir?

1. Telin uzunluğu 12x (12'ye bölünecek olduğu için).
2. Kesilen miktar: 5x.
3. Kritik kural: Nereden kesersen orta nokta aksi tarafa, kesilenin yarısı kadar kayar. Yani: 5x / 2 = 50.
4. Çöz: 5x = 100 → x = 20.
5. Toplam uzunluk: 12x = 12·20 = 240 cm.

"Orta Nokta Kayması" Formülü

Bir tel kesildiğinde yeni orta nokta = (eski orta nokta) − (kesilen / 2) eğer sağdan kesildiyse; + (kesilen / 2) eğer soldan kesildiyse. Bu sabit bir geometrik kuraldır; her sefer tekrar ispatlamaya gerek yok.

Mnemonic: "Mum = Orantı + Kesir Kılıfı"

Mum ve tel problemlerini gördüğünde ilk reflex: başlangıç miktar, yanan miktar, kalan miktar üçlüsünü yaz. Kesirle çarpım + yüzde orantısıyla sonuca ulaş. Kalan oranı verilmişse direkt x/y kıyasına gir.

Kesir problemlerinde en çok tekrar eden teknik: verilen oranın tümleyenini (1'e tamamlayanı) bul. Çünkü sonraki aşama hep "kalan" üzerinden işler.

Yöntem: Kalan Oran = 1 − Giden Oran

Bir bütünün a/b'si giderse, kalan 1 − a/b = (b − a)/b. Örnekler:

• 3/5 gitti → 2/5 kaldı.
• 7/12 gitti → 5/12 kaldı.
• 5/9 bitirildi → 4/9 bitmedi.

Çözümlü Örnek — Yasemin'in Harcamaları

Yasemin, parasının 4/9'unu kırtasiyede harcıyor. Kalanının 5/6'sını lokantada harcıyor. Lokantada harcadığı para kırtasiyede harcadığından 2 TL fazla ise Yasemin'in başlangıçtaki parası kaç TL'dir?

1. Paydalar 9 ve 6. Kalanın 5/6'sı ifadesi var → çarpım güvenli: 9·6 = 54x.
2. Kırtasiye: 54x · 4/9 = 24x.
3. Kalan: 54x − 24x = 30x. Ama daha pratik: kalan oranı 1 − 4/9 = 5/9. 54x · 5/9 = 30x ✓.
4. Lokanta: 30x · 5/6 = 25x.
5. Lokanta − kırtasiye = 25x − 24x = x = 2 TL.
6. Başlangıç parası: 54x = 54·2 = 108 TL.

Çözümlü Örnek — Müze Oranı (2020 TYT)

Bir tarihçinin listesindeki müzelerden gittiklerinin gitmediklerine oranı 1/2'dir. Daha önce gitmediklerinden 12 tanesini ziyaret edince bu oran 2/3 olur. Listedeki toplam müze sayısı kaçtır?

1. Gitti : gitmedi = 1 : 2 → gitti = x, gitmedi = 2x, toplam = 3x.
2. 12 müze ziyaret edildi → gitti x + 12, gitmedi 2x − 12.
3. Yeni oran: (x + 12) / (2x − 12) = 2/3.
4. İçler-dışlar: 3(x + 12) = 2(2x − 12) → 3x + 36 = 4x − 24 → x = 60.
5. Toplam: 3x = 180 müze.

Mantıksal Kontrol

Başlangıçta gitti 60, gitmedi 120. 12 yeni ziyaret → gitti 72, gitmedi 108. Oran 72/108 = 2/3 ✓. Toplam 180 sabit.

Mnemonic: "Giden Bilinmez, Kalan Çözer"

Soruda giden oranı verilmişse kalan oranı = 1 − giden formülüyle sonraki aşamaya tek adımda geç. Paydanın 1'e tamamlayanı, matematiksel olarak en güvenli yoldur ve hesap hatalarını minimuma indirir.

Bir topluluğu erkek/kız, başarılı/başarısız, gitmiş/gitmemiş gibi iki alt gruba ayıran sorularda iki değişken gerekir. Bu, tek değişkenli sorulardan bir adım zordur ama sistematik yaklaşımla basitleşir.

Çözümlü Örnek — Transcript'teki Sınıf Senaryosu

Bir sınıftan 5 kız öğrenci çıkarılırsa geriye kalanların 1/5'i kız olur. Eğer kızlar çıkarılmadan 8 erkek öğrenci çıkarılırsa kalanların 1/3'ü erkek olur. Başlangıçta sınıfta kaç öğrenci vardı?

1. Başlangıç: kız = x, erkek = y, toplam = x + y.
2. 5 kız çıkarılırsa: kız = x − 5, erkek = y, toplam = x + y − 5. Şart: (x − 5) / (x + y − 5) = 1/5.
3. Çapraz: 5(x − 5) = x + y − 5 → 5x − 25 = x + y − 5 → 4x − y = 20. (Denklem 1)
4. 8 erkek çıkarılırsa: kız = x, erkek = y − 8, toplam = x + y − 8. Şart: (y − 8) / (x + y − 8) = 1/3.
5. Çapraz: 3(y − 8) = x + y − 8 → 3y − 24 = x + y − 8 → 2y − x = 16. (Denklem 2)
6. Denklem 1'i 2 ile çarp: 8x − 2y = 40. Denklem 2 ile topla: 7x = 56 → x = 8.
7. Yerine koy: 2y − 8 = 16 → y = 12.
8. Toplam: 8 + 12 = 20 öğrenci.

İki Bilinmeyen → İki Denklem Kuralı

Erkek + kız tipi problemlerde iki bağımsız denklem kurmak şarttır. Bunlar genellikle "bazı öğrenci çıktıktan sonra oran şu oluyor" kalıbıyla iki ayrı şarttır. Denklemleri kurduktan sonra taraf tarafa toplama/çıkarma veya yerine koyma yöntemiyle çöz.

Çözümlü Örnek — Transcript'teki Sporcu-Gün Sayısı Senaryosu

Bir sınıftaki öğrencilerin bir yıl içinde okula gelmedikleri gün sayıları 3, 4 veya 5'tir. Her gruptaki öğrenci sayısı eşittir. 5 gün gelmeyenlerin 1/2'si, 4 gün gelmeyenlerin 1/4'ü, 3 gün gelmeyenlerin 2/3'ü erkektir. Sınıftaki erkek öğrenci sayısı 17 ise sınıftaki kız sayısı ile erkek sayısı arasındaki fark kaçtır?

1. Üç grup eşit. Paydalar 2, 4, 3 → çarpım 2·4·3 = 24. Her gruba 24x öğrenci.
2. Erkek sayıları: 24x·1/2 = 12x (5 gün grubu); 24x·1/4 = 6x (4 gün grubu); 24x·2/3 = 16x (3 gün grubu).
3. Toplam erkek: 12x + 6x + 16x = 34x = 17 → x = 1/2.
4. Toplam öğrenci: 3 · 24x = 72x = 72·(1/2) = 36.
5. Kız sayısı: 72x − 34x = 38x = 38·(1/2) = 19.
6. Fark: 19 − 17 = 2. (Transcript'te hoca cevabı 19 olarak buluyor ama soru "fark" isteseydi 2 olurdu; hoca "kız sayısı" demiş. Genel çözüm formülü aynı.)

Pratik Reflex: "Grup Eşitliği = Paydaların Çarpımı"

Eğer grup sayıları eşitse ve her grupta farklı oranlar verildiyse, her grubun boyu paydaların çarpımı × x. Böylece x'i bulana kadar tüm kesirler tam sayıdır.

Bir topluluk önce gruplara, sonra alt gruplara ayrılıyorsa ve oranlar veriliyorsa, sistematik düşünmek şart. TYT'nin bu tip soruları "seçici" olarak tanımlanır çünkü küçük bir yanlış tüm zinciri yıkar.

Çözümlü Örnek — Piknik Senaryosu

Pikniğe gidecek 15 kişilik bir arkadaş grubu, liste hazırlama görevini Can'a veriyor. Can listedeki toplam tutarın herkese eşit paylaştırılacağını söyleyerek liste hazırlıyor. Listede salata ve tatlı masrafının tutarı eksik olduğunu fark etmeyen Can, payına düşen tutarı mevcut listeye (540 TL) göre ödüyor. Bu ödediği, gerçek payının 3/4'üne eşit. Tatlının tutarı salatanın 4/5'i ise tatlının fiyatı kaç TL'dir?

1. Can'ın mevcut listeye göre ödediği pay: 540 / 15 = 36 TL.
2. Bu değer gerçek payının 3/4'üne eşit: Gerçek pay · 3/4 = 36 → Gerçek pay = 48 TL.
3. Gerçek toplam: 15 · 48 = 720 TL.
4. Eksik kısım (salata + tatlı): 720 − 540 = 180 TL.
5. Salata = s, tatlı = 4s/5 (tatlı salatanın 4/5'i). s + 4s/5 = 180.
6. Payda 5: 5s/5 + 4s/5 = 9s/5 = 180 → s = 100.
7. Tatlı = 4·100/5 = 80 TL.

Çözümlü Örnek — Sporcu Grup Senaryosu

72 kişilik bir sporcu topluluğu, eşit sayıda 2 gruba ayrılıyor. Sonra bu gruplardan biri (36 kişilik) 1:2 oranında 2 gruba daha ayrılıyor → 12 ve 24 kişi. 3 grup vardır: 36, 12, 24. Her grupta erkek sayıları eşittir. Grupların birindeki erkek sporcu sayısının toplam sporcu sayısına oranı 1/2, diğerinde 1/4'tür. 3 gruptaki toplam erkek sporcu sayısı kaçtır?

1. Her grupta erkek sayısı eşit: e.
2. Hangi grupta 1/2, hangi grupta 1/4? Bilinmez. Hangi grubun oranı hangisi olursa uyar? Test et.
3. Grup 1: 12 kişi. Erkek oranı 1/2 olsaydı erkek = 6, olur. 1/4 olsaydı erkek = 3, olur.
4. Grup 2: 24 kişi. 1/2 → 12, 1/4 → 6, 1/6 → 4.
5. Grup 3: 36 kişi. 1/2 → 18, 1/4 → 9, 1/6 → 6.
6. Eşit erkek şartı: 3 grupta aynı sayıda erkek. 6 = 6 = 6 olabilir mi? Grup 1'de 6 (1/2 oranı) + Grup 2'de 6 (1/4 oranı) + Grup 3'te 6 (1/6 oranı, ama soru 1/2 ve 1/4 diyor, 1/6 verilmemiş).
7. Soruda sadece iki oran (1/2 ve 1/4) bilgisi var; üçüncü grup için oran verilmemiş olabilir. Transcript'e göre: 12 kişilik grup 1/2 (erkek = 6), 24 kişilik grup 1/4 (erkek = 6), 36 kişilik grup erkek = 6. Toplam erkek = 18.

Mnemonic: "Mantık Süzgecinden Geçir"

Erkek/kız alt grubu sorularında oran verilmeden önce kişi sayısı + verilen oranı kıyasla. Her mümkün kombinasyonu kağıda yaz, uymayanları çiz. Kalan tek seçenek doğru cevabı verir.

Birkaç tip soruda başlangıç oranı veriliyor ve belirli bir sayının değişmesiyle oran yeni bir değer alıyor. Bu tipe "oran kaydırması" denebilir ve sabit bir formülle biter: başlangıç oranı = x:y, sonuç oranı = m:n, değişim = değer → tek denklem, tek bilinmeyen.

Genel Şablon

A grubu : B grubu oranı a:b. A'ya d eklenir, B'den d çıkarılır. Yeni oran m:n.

• Başlangıç: A = a·k, B = b·k.
• Sonrası: A = a·k + d, B = b·k − d.
• Şart: (a·k + d) / (b·k − d) = m/n.
• İçler-dışlar: n(a·k + d) = m(b·k − d).

Çözümlü Örnek 1 — Gitti/Gitmedi Oranı

Gitti : gitmedi = 1 : 2. Gitmediğinden 12 tanesini gezer → oran 2 : 3 olur. Toplam kaç?

1. Başlangıç: gitti x, gitmedi 2x.
2. Sonrası: gitti x + 12, gitmedi 2x − 12.
3. (x + 12)/(2x − 12) = 2/3 → 3x + 36 = 4x − 24 → x = 60.
4. Toplam = 3x = 180.

Çözümlü Örnek 2 — Otobüsler Arası Yolcu Kayması

Otogarda boş iki otobüse binen yolcu sayıları tabloda: A = 36, B = 24. A'ya binmesi gerekirken B'ye binen, B'ye binmesi gerekirken A'ya binen bazı yolcular olduğu anlaşılıyor. Birindeki yolcu sayısının 1/3'ü kadar yanlış binen yolcu diğer otobüse geçiyor. Sonra diğer otobüsteki yolcu sayısının 1/6'sı kadar yanlış binen yolcu ilk otobüse geçince sayılar eşit oluyor. Yanlış otobüse binen toplam yolcu sayısı kaçtır?

1. İlk aşama: "Birindeki yolcu sayısının 1/3'ü" - A'dan mı B'den mi? Dene: A'dan 1/3 = 12 kişi B'ye geçsin. A: 36 − 12 = 24; B: 24 + 12 = 36.
2. İkinci aşama: Şimdi B'de 36 var. 1/6'sı = 6 kişi A'ya geçer. A: 24 + 6 = 30; B: 36 − 6 = 30. ✓ Eşit.
3. Yanlış binen toplam: A'dan B'ye geçen 12 + B'den A'ya geçen 6 = 18 kişi.

Çözümlü Örnek 3 — Transcript'teki Defter Soruları

Yarısı çizgili diğer yarısı kareli bir defterde, tüm sayfaların 1/8'i matematik dersi için, 1/6'sı Türkçe dersi için kullanıldı. Kullanılan sayfalar atıldığında defter, kareli sayfa sayısının çizgili sayfa sayısından 6 fazla olduğu şekle geldi. Defterde başlangıçta kaç sayfa vardı?

1. Paydalar 8 ve 6 → çarpım 48x. Defter: 48x sayfa.
2. Kareli = çizgili = 24x.
3. Matematik (kareli kullanıldı): 48x · 1/8 = 6x. Kalan kareli: 24x − 6x = 18x.
4. Türkçe (çizgili kullanıldı): 48x · 1/6 = 8x. Kalan çizgili: 24x − 8x = 16x.
5. Fark: 18x − 16x = 2x = 6 → x = 3.
6. Toplam başlangıçta: 48x = 144 sayfa. Kullanılan çıkarılınca kalan: 18x + 16x = 34x = 102 sayfa.

Mnemonic: "Şablon Hazır, Değişkeni Doldur"

Bu tip soruların tamamı "oran × bütün = alt grup" mantığının ardışık uygulanmasıdır. Bütünü paydaların çarpımı × x seçersen alt gruplar tam sayıyla çıkar ve zinciri kolay takip edersin.

2025 TYT'de ÖSYM kesir problemini çaktırmadan kesir sıralaması ile birleştirdi. Öğrencinin hem problem kurmayı hem de basit/bileşik kesir sıralamasını aynı anda bilmesini gerektiren seçici sorular geldi.

Önbilgi: Kesir Sıralaması Kuralları

• Basit kesir (pay < payda): Payı veya paydası aynı olanları karşılaştırırken pay büyük olan büyüktür (pay aynıysa payda küçük olan büyüktür).
• Bileşik kesir (pay > payda): Mantık ters; pay büyük olan daha büyük sayı, payda büyük olan daha küçük.
• Pay ile payda arasındaki fark sabitse: Basit kesirde fark sabit + pay artınca değer büyür. Bileşik kesirde fark sabit + pay artınca değer küçülür.

Çözümlü Örnek — Efe'nin Basket Atışları (2025 TYT Kalıbı)

Efe bir basket antrenmanında 6 atış yapıyor. Her atıştan sonra o ana kadarki atışların kaçta kaçının isabetli olduğunu not ediyor. Efe'nin not ettiği 6 sayının en büyüğü 3/4 oluyor. Efe'nin tam olarak 4 atışı isabetli olduğuna göre kaçıncı atışları isabetli olmamıştır?

1. 6 atıştan 4'ü isabetli (2 ıska). Her aşamada oran: a₁/1, a₂/2, ..., a₆/6. En büyük değer 3/4 → bu ancak 4. aşamada (3/4) ortaya çıkabilir; diğer paydalarda (1, 2, 3, 5, 6) 3/4'e eşit kesir yok.
2. 4. aşamada 3/4 → ilk 4 atışta 3 isabetli, 1 ıska.
3. 5. atış isabetli olsaydı oran 4/5 = 0.8 > 3/4 → en büyük 4/5 olurdu. Demek ki 5. atış ıska. Toplam ıska 2'ye ulaştı.
4. 6. atış isabetli olmak zorunda (4 isabetli tamamlansın): oran 4/6 = 2/3 < 3/4 ✓.
5. İlk 4 atışta 1 ıska hangisi? 1. atış isabetli olsa oran 1/1 = 1 > 3/4 olurdu → 1. atış ıska. 2, 3, 4. atışlar isabetli: oranlar 1/2, 2/3, 3/4 ✓.
6. Cevap: 1. ve 5. atışlar isabetli değildir.

Genel Strateji

Sıralama + problem karışımı sorularında:

1. Her aşamada mümkün oranları listele (izinli seçeneklerle).
2. Verilen ekstrem (en büyük / en küçük) ile tutarsız olanları ele.
3. Mantıksal eliminasyonla tek senaryoyu bul.

Mnemonic: "En Büyük = Zorlayan Tek Nokta"

Bir soru "bu oranların en büyüğü şu kadardır" dediğinde, tüm diğer aşamalardaki oranların ondan küçük ya da eşit olması şarttır. Sadece bir aşamada o maksimum değere varılmasına izin verilir. Bu kısıt soruyu teke indirir.

Kesir problemlerinde gördüğün tüm soru tiplerinin özeti ve sınavda kullanacağın pratik formüller aşağıda. TYT öncesi son tekrar için bu tabloya gözatmak yeterli.

Kesir Problemleri Soru Tipleri ve Çözüm Stratejisi

Soru Tipi	Anahtar Teknik
Sayının a/b'si c ise sayı kaç?	Sayı = c · (b/a)
Kesrin değeri m/n, pay+p1 payda−p2 olunca değer değişiyor	Pay = m·x, payda = n·x, tek bilinmeyenli denklem
Ardışık paylaştırma (yarısı → kalanın 1/3'ü → ...)	Bütün = paydaların çarpımı × x; x iptal olur
"Kalanın" ifadesi (1/3'ü elendi, kalanın 1/2'si elendi)	Kalan oran = 1 − giden oran; sıralı çarpım
Kap + içerik (yarısı içildi, kap ne)	Toplam = a (kap) + s (içerik); a sabit, s değişken
Son durum verilmiş, başlangıç sorulmuş	Tersten gidiş; ileri operasyonu tersine çevir (×3/4 ↔ ×4/3)
Mum/tel (kalan oran veriliyor)	x/y oranını izle; x ve y ayrı değişkenler
Erkek/kız + iki farklı şart	İki bilinmeyen, iki denklem; taraf tarafa topla/çıkar
Oran kaydırması (gitti:gitmedi → yeni oran)	Oranı değişkenle ifade et, sonra çapraz çarpım
Kesir sıralaması + problem (2025 kalıbı)	Mümkün senaryoları listele; ekstremla tutarsızları ele

Genel TYT Formülü

Kaçınılacak 5 Hata

1. Her kesre ayrı x demek. Tüm bütün için tek bir ifade kullan (paydaların çarpımı × x).
2. "Kalanın" ifadesini atlamak. 1 − giden oranı = kalan oranı; sıralı çarpım şart.
3. Kap ile içeriği karıştırmak. Kap sabit, içerik değişken.
4. İki değişkenli soruda tek denklemle yetinmek. Erkek/kız tipi sorularda iki bağımsız şart olmalı.
5. Sıralamayı ihmal etmek. 2025 kalıbı bu tuzakla geldi; basit/bileşik kesir bilgini kullan.

Zaman Stratejisi

Kesir problemi için ideal süre 90-120 saniye. Soru okunarak 20 saniye, paydayı seçip başlangıç denklemini kurmak 30 saniye, çözüm 30-60 saniye, doğrulama 10-20 saniye. 3 dakikayı geçen her soru geçilip sona atılmalı. YKS'de TYT yanlış cevap net düşürmediği için takılan soruyu atlayıp sonra dönmek rahat strateji; sonda zaman kalırsa tahminle işaretle.