TYT Geometri — Prizma ve Silindir

Buraya kadar iki boyutlu geometriyle uğraştık: üçgenler, dörtgenler, çokgenler, çember ve daire. Hepsi bir düzlemin üzerinde yaşayan şekillerdi; onların alanı ve çevresi vardı, hacim diye bir kavram yoktu. Katı cisimler ünitesiyle birlikte artık üç boyutlu dünyaya adım atıyoruz: prizma, silindir, piramit, koni ve küre.

Katı cisimlere gözü kapalı başlamanın en mantıklı yeri prizmadır, çünkü iki boyutlu bildiğin her şey — dikdörtgen, kare, üçgen, altıgen — prizmanın tabanına konulunca katı cisme dönüşüyor. Silindirsek dairenin üç boyutlu hâli: altına bir daire koyuyorsun, üstüne aynısını koyuyorsun, yan yüzeyi de dikdörtgenle sarıyorsun. Yani prizma ile silindir, 2D'den 3D'ye köprü niteliğindedir.

Çok Önemli Bir Genel Kural — Tek Cümlede Özet

Katı cisimlerin içindeki bütün formüller, tek bir cümleye bağlanır: "Dik prizmada hacim, taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır; yanal alan ise taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır." Bunu kavradıktan sonra silindiri, kare prizmayı, küpü, üçgen prizmayı tek tek ezberlemek yerine aynı formülün özelleşmiş halleri olarak göreceksin.

• Hacim: V = (Taban alanı) · (Yükseklik). Her dik prizmada ve dik silindirde geçerlidir.
• Yanal alan: Y_A = (Taban çevresi) · (Yükseklik). Yani tabanın etrafını saran dikdörtgen şeridin alanı.
• Yüzey (tüm) alan: T_A = Y_A + 2 · (Taban alanı). Yanal alan artı iki tabandan.

Bu üç satır, prizmalarla ilgili bütün formüllerin anasıdır. Aşağıda tek tek cisimleri incelerken yapacağımız iş, tabana hangi şekil geldi ise onun çevresini ve alanını yerine koymaktan ibaret olacak.

Bu Konuda Göreceğin Cisimler

Cisim	Tabanı	Yan yüzeyleri
Üçgen dik prizma	Üçgen	3 dikdörtgen
Dikdörtgenler prizması	Dikdörtgen	4 dikdörtgen
Kare prizma	Kare	4 dikdörtgen
Küp	Kare	4 kare
Dik silindir	Daire	1 dikdörtgen (sarılı)

Altıgen/beşgen dik prizma da çıkabilir ama TYT'de ağırlıklı olarak yukarıdaki beş cisim karşına çıkacak. Piramit, koni, küre bir sonraki konu olan Piramit ve Koni'de detaylı ele alınacak.

Prizma, paralel iki çokgensel bölgenin köşeleri dikdörtgenlerle birleştirilerek oluşturulan katı cisme denir. Eğer yan yüzeyleri dikdörtgense (yani tabanına dik iniyorsa) bu prizmaya dik prizma adı verilir. TYT'de görülen prizmaların tamamı dik prizmadır; eğik prizma sınav kapsamında değildir.

Alt Taban ve Üst Taban

Bir dik prizmanın alt tabanı ile üst tabanı birbirinin aynısıdır ve birbirine paraleldir. Yani alttaki şekil altıgense üstteki de altıgendir, alttaki üçgense üstteki de aynı kenar uzunluklarında bir üçgendir.

Taban Ayrıtı ve Yanal Ayrıt

• Taban ayrıtı: Tabandaki çokgenin bir kenarı. Bir altıgen dik prizmada 6 adet alt, 6 adet üst taban ayrıtı vardır.
• Yanal ayrıt: Alt tabandaki bir köşeyi üst tabandaki karşısına bağlayan dikey kenar. Dik prizmada yanal ayrıtlar tabana diktir ve hepsi birbirine eşittir; bu uzunluk prizmanın yüksekliğidir.

Taban Şekline Göre İsimlendirme

Prizma her zaman tabanının şekline göre isimlendirilir:

• Taban üçgense → üçgen dik prizma (tabanı eşkenar üçgense "eşkenar üçgen dik prizma" denir).
• Taban dikdörtgense → dikdörtgenler prizması (küboid olarak da bilinir).
• Taban kare ise → kare prizma.
• Tabanı dörtgen olmayan özel bir dörtgen (yamuk) ise → yamuk dik prizma.
• Taban beşgense → beşgen dik prizma; altıgense → altıgen dik prizma.

Yanal Alan Formülünün Nereden Geldiği

Bir dik prizmayı yan yüzeylerinin birinden açıp düz bir kağıda yatırdığını düşün. Tabandaki çokgenin kenarlarını sırayla 1-2-3-... biçiminde düzleştirdiğinde ortaya uzun bir dikdörtgen şerit çıkar. Bu dikdörtgenin kısa kenarı prizmanın yüksekliği h, uzun kenarı ise tabanın bütün kenarlarının uzunluğu, yani taban çevresidir.

Yanal alan = (Taban çevresi) · (Yükseklik)

Bu formül altıgen prizmada da, üçgen prizmada da, dikdörtgenler prizmasında da, silindirde de aynı şekilde çalışır. Fark sadece taban çevresinin formülü: silindirde 2πr, karede 4a, eşkenar üçgende 3a, dikdörtgende 2(a + b) gibi.

Yüzey (Tüm) Alan Formülü

Üç boyutlu bir katı cismin "alanı" sorulduğunda aslında görünen tüm yüzeylerin toplamı, yani yüzey alanı istenir. Bir dik prizmada yanal yüzeyler etraftaki dikdörtgenlerdir, ek olarak alt ve üst tabanlar vardır. Dolayısıyla:

Yüzey alanı = Yanal alan + 2 · (Taban alanı)

Hacim Formülü

Dik prizmada hacim taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır. Sezgisel olarak: tabanı kaç birim karelik bir dilimse, o dilimi h kat yukarı yığdığında o kadar birim küp olur.

V = (Taban alanı) · (Yükseklik)

Tabanı üçgen olan dik prizma, en basit dik prizmadır. Hacim ve alan hesabında üçgenin alan formülünü + 3 tane yanal dikdörtgen alanını birleştirmek yeterlidir.

Tipik Soru

Bir eşkenar üçgen dik prizmanın taban ayrıtı 4 birim, yüksekliği 5 birimdir. Buna göre (a) yanal alanı, (b) tüm yüzey alanı, (c) hacmi kaç birim/birimkare/birimküptür?

Çözüm — (a) Yanal Alan

1. Taban eşkenar üçgen, bir kenarı 4 birim. O hâlde taban çevresi = 3 · 4 = 12 birim.
2. Yükseklik h = 5 birim.
3. Yanal alan = (Taban çevresi) · (Yükseklik) = 12 · 5 = 60 birimkare.

Çözüm — (b) Tüm Yüzey Alanı

1. Taban alanı = (a²√3)/4 = (4²·√3)/4 = (16√3)/4 = 4√3 birimkare.
2. Yüzey alanı = Yanal alan + 2 · Taban alanı = 60 + 2·(4√3) = 60 + 8√3 birimkare.

Çözüm — (c) Hacim

1. V = (Taban alanı) · (Yükseklik) = (4√3) · 5 = 20√3 birimküp.

Aynı yöntem tabanda üçgen yerine ikizkenar yamuk, dik üçgen, paralelkenar, beşgen — ne gelirse çalışır. Tabanın alanı + çevresi bilindikten sonra prizma tarafı sadece formül uygulaması.

İkinci Çözümlü Örnek — Yamuk Dik Prizma

İkizkenar yamuk dik prizmada alt taban 2 birim, üst taban 8 birim, yamuğun iki yan kenarı 5 birim, prizmanın yüksekliği 6 birimdir. Hacmini bulalım.

1. Yamuğun yüksekliğini bulmak için yan kenar 5'ten diklik ininir. Alt ile üst taban farkı 8 − 2 = 6; ikiye bölününce her iki yanda 3 birimlik parça. 3-4-5 dik üçgeninden yamuğun yüksekliği 4 birim.
2. Taban alanı (yamuk) = [(2 + 8)·4]/2 = 40/2 = 20 birimkare.
3. Hacim = 20 · 6 = 120 birimküp.

Bu gibi sorularda en büyük hata "yamuğun yüksekliğini prizmanın yüksekliği ile karıştırmak"tır. Biri iki boyutlu şekle ait, öbürü üç boyutlu cismin yüksekliği; ayrı ayrı bulunur ve formülde ayrı ayrı kullanılır.

Dikdörtgenler prizması, hem tabanı hem de yan yüzeyleri dikdörtgen olan dik prizmadır. Günlük hayatta en çok karşılaştığımız katı cisim — kutular, odalar, kitaplar, tuğlalar — hepsi birer dikdörtgenler prizmasıdır. İngilizce'deki karşılığı cuboid (küboid) olduğu için matematik literatüründe bu adla da geçer.

Temel Özellikler

• 12 ayrıt vardır (altta 4, üstte 4, dikey olarak 4 tane yanal).
• Bu 12 ayrıt 3 farklı uzunluktan oluşur. Genelde bunları a, b, c ile gösteririz; her uzunluktan dörder tane vardır.
• 3 farklı yüzeyi vardır (ön-arka aynı, üst-alt aynı, sağ-sol aynı). Yani 6 yüzeyin üçü ikişer ikişer eşleşir.
• Bütün köşeleri 90°'dir.

Bir odanın köşesine gidip sağ-sol-yukarı-aşağı ve ileri-geri yönlere baktığında, o noktada birleşen üç kenarın birbirine dik olduğunu görürsün. Dikdörtgenler prizmasının geometrisi tam olarak budur.

Yanal Alan, Yüzey Alan, Hacim

Kenarlara a, b (taban kenarları) ve c (yükseklik) diyelim.

• Taban alanı = a · b
• Taban çevresi = 2(a + b)
• Yanal alan = Taban çevresi · Yükseklik = 2(a + b) · c = 2ac + 2bc
• Yüzey alanı = Yanal alan + 2 · Taban alanı = 2ac + 2bc + 2ab = 2(ab + ac + bc)
• Hacim = a · b · c

Aritmetik Doğrulama

a = 2, b = 3, c = 4 olan bir dikdörtgenler prizması için:

• Hacim = 2 · 3 · 4 = 24 birimküp
• Yüzey alanı = 2(2·3 + 2·4 + 3·4) = 2(6 + 8 + 12) = 2 · 26 = 52 birimkare
• Yanal alan = 2(2 + 3) · 4 = 40 birimkare (kontrol: yüzey − 2·taban = 52 − 12 = 40 ✓)

Çözümlü Örnek — Taban Ayrıtları Verilen Prizma

Taban ayrıtları 6 birim ve 8 birim, yüksekliği 5 birim olan dikdörtgenler prizmasının yüzey alanını bulalım.

1. Taban çevresi = 2(6 + 8) = 28 birim.
2. Yanal alan = 28 · 5 = 140 birimkare. (Not: asıl video'daki bir örnekte düzgün dik prizma 6-8-5 ayrıtları üzerinden 6+8=14, iki katı 28 yerine 24 alınır; burada ayrıtlar 6 ve 8 net — kontrol: 2·(6+8)·5=140 veya 2·6·5 + 2·8·5 = 60 + 80 = 140.)
3. Taban alanı = 6 · 8 = 48 birimkare, iki taban için 96 birimkare.
4. Yüzey alanı = 140 + 96 = 236 birimkare.

Burada önemli olan nokta, yanal alan formülünü taban çevresi · yükseklik olarak kurman. "Farklı yan yüzeyler farklı boyutlarda" diye karışırsan hata yaparsın; zaten dikdörtgenler prizmasında dört yan yüzeyin ikisi a·c, ikisi b·c'dir — toplam 2ac + 2bc olur ki o da 2(a + b)·c'ye eşittir.

Dikdörtgenler prizmasında iki tür köşegen tanımlanır: yüzey üzerinde bir dikdörtgenin karşılıklı köşelerini birleştiren yüzey köşegeni ve cismin iki uç köşesini (en alt, en arka, en solla en üst, en ön, en sağ gibi) birleştiren cisim köşegeni. Bu iki kavramın sık karıştırıldığı yerdir.

Yüzey Köşegenleri (3 tane)

Prizmanın 3 farklı yüzeyi olduğu için 3 farklı yüzey köşegeni vardır. Yan-uzun ayrıtlar a, b, c ise:

• Taban (ya da üst taban) üzerinde köşegen: √(a² + b²)
• Ön/arka yüzey üzerinde köşegen: √(a² + c²)
• Sağ/sol yüzey üzerinde köşegen: √(b² + c²)

Her biri Pisagor teoreminin o yüzeydeki iki ayrıta uygulanmış hâlidir. Yüzey köşegeni daima iki boyut üzerinde bulunur.

Cisim Köşegeni (1 tane değer, 4 tane doğru parçası)

Cisim köşegeni, prizmanın bir köşesinden tam karşı köşesine giden ve prizmanın içinden geçen doğru parçasıdır. Dört tane böyle doğru parçası vardır ama hepsinin uzunluğu aynıdır. Uzunluk formülü:

Cisim köşegeni = √(a² + b² + c²)

Neden böyle? Önce tabanın köşegenini Pisagor ile bulursun: √(a² + b²). Sonra bu köşegenle prizmanın yüksekliği c arasında yine bir dik üçgen kurulur (çünkü alt tabanın köşegeni ile dikey ayrıt birbirine diktir). Pisagor bir daha: √((a² + b²) + c²) = √(a² + b² + c²).

Aritmetik Doğrulama

a = 2, b = 3, c = 4 için:

• Taban yüzey köşegeni = √(4 + 9) = √13 ≈ 3,61 birim.
• Ön yüzey köşegeni = √(4 + 16) = √20 = 2√5 ≈ 4,47 birim.
• Sağ yüzey köşegeni = √(9 + 16) = √25 = 5 birim.
• Cisim köşegeni = √(4 + 9 + 16) = √29 ≈ 5,39 birim.

Çözümlü Örnek — Yüzey Köşegenlerinden Boyutları Bulma

Bir dikdörtgenler prizmasının yüzey köşegen uzunlukları 5 birim, 4√10 birim ve √153 birim olarak verilmiştir. Hacmi kaç birimküptür?

1. Yüzey köşegenlerinin karelerini yazalım: a² + b² = 25, b² + c² = 160, a² + c² = 153.
2. Üçünü toplarsak: 2(a² + b² + c²) = 338, yani a² + b² + c² = 169.
3. İlk denklem 25'i çıkarsak c² = 144 → c = 12. İkinciden a² = 169 − 160 = 9 → a = 3. Üçüncüden b² = 169 − 153 = 16 → b = 4.
4. Doğrulama: a·b = 12, b·c = 48, a·c = 36 → prizma 3×4×12.
5. Hacim = a · b · c = 3 · 4 · 12 = 144 birimküp.

Bu tür soruda üç yüzey köşegeni verildiğinde her birinin karesini alıp toplayarak cisim köşegeninin karesinin 2 katını elde etmek klasik bir tekniktir — ezberden çok mantığı kavramak önemli.

Kare prizma, tabanı kare olan dikdörtgenler prizmasıdır. Yani dikdörtgenler prizmasında b = a yazdığın anda tüm formüller otomatik olarak kare prizma formüllerine dönüşür. Küp ise tabanı kare ve yüksekliği de tabanın kenarına eşit olan özel bir kare prizmadır; yani c = a yazarsan küpü elde edersin.

Kare Prizma Formülleri (taban kenarı a, yükseklik b)

Kavram	Formül
Taban çevresi	4a
Taban alanı	a²
Yanal alan	4ab
Yüzey alanı	4ab + 2a²
Hacim	a²b
Taban yüzey köşegeni	a√2
Cisim köşegeni	√(2a² + b²)

Küp Formülleri (tüm ayrıtlar a)

Kavram	Formül
Taban çevresi	4a
Taban alanı	a²
Yanal alan	4a²
Yüzey alanı	6a²
Hacim	a³
Yüzey köşegeni	a√2
Cisim köşegeni	a√3

Aritmetik Doğrulama — Küp

Bir ayrıtı a = 6 birim olan küp için:

• Hacim = 6³ = 216 birimküp.
• Yüzey alanı = 6 · 6² = 6 · 36 = 216 birimkare.
• Yüzey köşegeni = 6√2 ≈ 8,49 birim.
• Cisim köşegeni = 6√3 ≈ 10,39 birim.

Burada ilginç bir nokta: a = 6 için hacim ve yüzey alanının sayısal değeri aynıdır (ikisi de 216). Bu tamamen tesadüftür ve sadece a = 6 için geçerlidir; başka bir a için birbirine eşit olmazlar. (Bu tür "tesadüf" bazen TYT sorularında görsel tuzak olarak yer alır.)

Çözümlü Örnek — Küpün Cisim Köşegeni ve Öklit Bağıntısı

Bir ayrıtı 6 birim olan küpte köşeden indirilen bir dikme ile taban köşegeni arasındaki Öklid benzeri ilişkide: cisim köşegeni 6√3, taban köşegeni 6√2, yüksekliği ise 6'dır. Sorularda bu üç değerin dik üçgen oluşturduğunu kullanarak ek yükseklik veya teğet uzunluğu hesaplayan sorular görürsün; özellikle "bir küpün merkezinden kenara uzaklık" gibi sorular bu üç uzunluk arasındaki Pisagor ilişkisine dayanır.

Bir dikdörtgenler prizmasından (veya küpten) başka bir prizma/küp çıkarıldığında, yeni cismin hacmi her zaman azalır (çıkardığın kadar); ancak yüzey alanı artabilir, azalabilir veya değişmeyebilir. Bu, TYT'de katı cisimlerin en sevilen kalıplarındandır ve dikkatli bir kes-yerleştir analizi ister.

Üç Farklı Senaryo

1. Köşeden tam bir küp/prizma çıkarma: Dış köşeyi alırsın. Kaybolan yüzeylerin birebir aynısı yeni içe açılan yüzeylerde ortaya çıkar; yüzey alanı değişmez.
2. Yan yüzeyin ortasından delme (bir tarafı hâlâ açık): Ön yüzeydeki küçük kare kaybolur ama içeriye 3-4 yeni duvar açılır; yüzey alanı artar.
3. Arasına kadar geçen delik (tam tünel): Hem ön hem arka yüzeyden kare kaybolur, ama içeride dört duvarlı bir tünel oluşur; yüzey alanı net olarak artar (kaybolan iki kare < iç tünelin alanı).

Çözümlü Örnek — Köşeden Küp Çıkarma

Bir dikdörtgenler prizmasının bir köşesinden küçük bir küp çıkarılıyor. Prizmanın boyutları 4 birim, 3 birim, 2 birim; çıkarılan küpün ayrıtı 1 birimdir. Kalan cismin yüzey alanı nedir?

1. Çıkış öncesi yüzey alanı = 2(a·b + b·c + a·c) = 2(12 + 6 + 8) = 52 birimkare.
2. Köşeden çıkarmada: üsteki 1 birimkare kaybolur, ama aynı boyutta bir kare alttan içe açılır; ön kaybolur, arka açılır; yan kaybolur, diğer yan açılır. Yüzey alanı sabit kalır.
3. Yanıt: 52 birimkare.

Çözümlü Örnek — İç Gövdeden Silindirik/Küpik Çıkarma

Bir ayrıtı 6 birim olan bir küpten, taban ayrıtı 2 birim ve yüksekliği 6 birim olan kare prizma çıkarılıyor (yani bir uçtan diğerine tünel açılıyor). Yeni cismin yüzey alanı ne olur?

1. Küpün orijinal yüzey alanı = 6 · 6² = 216 birimkare.
2. Ön yüzeydeki 2·2 = 4 birimkarelik kare kaybolur, arkada aynı 4 birimkare kaybolur → −8 birimkare.
3. İç tünelin dört duvarı ortaya çıkar: her biri 2 · 6 = 12 birimkare, 4 duvar için 48 birimkare → +48 birimkare.
4. Net değişim = −8 + 48 = +40 birimkare. Yeni yüzey alanı = 216 + 40 = 256 birimkare.

Çözümlü Örnek — Yüzey Alanı Değişimi Sorusu

Bir ayrıtı 6 birim olan küpten, taban ayrıtı 2 birim olan bir kare prizma (delmeyen, iç içe değil, yüzeyden bir köşeye kadar) çıkarılıyor. Yüzey alanı nasıl değişir?

1. Ön yüzeyden 4 birimkarelik kare kayboluyor.
2. Aynı 4 birimkare arka duvarda (hâlâ duvar) kalıyor, yani arka tarafta bir değişiklik yok.
3. Tünel içeri tam nüfuz etmediği için yeni 4 duvar değil, yalnızca 2 duvar açılıyor (iki yandan); her biri 2·2 = 4 birimkare, toplam 8 birimkare.
4. Bir de çıkan prizmanın tabanı (2·2 = 4) yeni bir iç "alt" yüzey olarak geliyor → +4.
5. Net: − 4 + 8 + 4 = +8 birimkare artış. Yani yüzey alanı 8 birimkare artar.

Bu soruların püf noktası: hayalde şekli 3D olarak canlandırmak. Kağıda veya silindirik kalemle yaparken "gitti-geldi-ekstra çıktı" ayrımını yapmak, sonucu hatasız getirir.

TYT'de çok sık karşına çıkacak bir soru tipi: "Birim küplerden oluşan yapıyı bir küpe/prizmaya tamamlamak için en az kaç birim küp gerekir?" ya da "Bu yapının yüzey alanı kaç birimkare?" Bu soruların çözümü zekaya değil, yukarıdan-kuş bakışı bakışa dayanır.

Tamamlama Tekniği

Şekli kat kat incelemek en hızlı yoldur:

• Tepeden bak, her katta taban görünümünde kaç birim küp dolu kaç birim küp boş onu say.
• Kaç kat olduğunu belirle.
• Her kattaki eksikleri topla.

Çözümlü Örnek — Küpe Tamamlama

Aşağıda birim küplerden oluşan bir yapı verilmiştir. Bu yapıyı bir 3×3×3 küpe tamamlamak için en az kaç birim küp gerekir? (Varsayım: 1. katta 3×3 tabanda sadece 5 birim küp dolu, 2. katta sadece 1 birim küp dolu, 3. katta 0.)

1. 3×3×3 küp toplam 27 birim küp içerir.
2. Şu anki yapıda: 5 + 1 + 0 = 6 birim küp var.
3. Eksik: 27 − 6 = 21 birim küp.

Not: Soruya verilen spesifik rakamlara göre değişir; yöntem sabittir: "olması gereken toplam" − "var olan toplam" = eksik sayısı.

Yüzey Alanı — Sayma Yöntemi

Birim küplerden oluşmuş bir yapının yüzey alanı sorulduğunda her birim küp 6 yüzeye sahiptir. Ama komşu küplerin temas ettiği yüzeyler dışarıdan görünmez ve sayıma dahil edilmez. Dolayısıyla:

Yüzey alanı = (Toplam küp sayısı · 6) − 2 · (Birbirine değen yüzey sayısı)

Çarpan 2'nin sebebi: iki küp birbirine değdiğinde hem biri hem de öbürü bir yüzey kaybeder, yani toplam 2 yüzey sayımdan çıkar.

Çözümlü Örnek — Eş Kare Prizmalardan Yapı

Taban ayrıtı 1 birim, yüksekliği 3 birim olan 4 eş kare prizmadan bir yapı oluşturuluyor. Yapının yüzey alanını bulalım.

1. Her bir kare prizmanın yüzey alanı: 4·1·3 + 2·1² = 12 + 2 = 14 birimkare.
2. 4 tane prizma için toplam (tek tek) = 56 birimkare.
3. Yapıda prizmalar birbirine değiyorsa değen yüzey çiftlerini sayıp 2·(temas yüzey alanı) kadar çıkart. Sonuç: 56 − 2·(temas) birimkare.
4. Temas yüzeylerinin toplam alanı soru şekline göre değişir; örneğin her prizma komşusuyla 1·3 = 3 birimkarelik bir yüzeyde birleşmişse ve 3 temas varsa toplam temas = 9, net yüzey = 56 − 18 = 38 birimkare.

Bu soru tipinde hata çoğu zaman şekli doğru okuyamamaktan kaynaklanır; birim küp/birim prizma sayılarını, kat kat ayrı listeleyerek çalış.

Bir dikdörtgenler prizmasında A köşesinden B köşesine yüzey üzerinden en kısa yol bulunmak istendiğinde, prizma düz bir kağıda açılır (yayılır), sonra A ile B arasındaki doğru parçasının uzunluğu Pisagor ile hesaplanır. Bu, katı cisimlerin en güzel sorularından biridir.

Temel Mantık

Üç boyutlu cismin yüzeyinde iki nokta arasındaki doğru değil, eğrisel bir yol vardır. Ama cismi düzlem üzerine açtığında her iki nokta da aynı düzlemin üstüne gelir ve aralarındaki doğrusal uzaklık, yüzey üzerindeki en kısa yolu verir.

Çözümlü Örnek — İki Farklı Açılım, En Kısa Yol

Ayrıtları 3 × 6 × 8 birim olan dikdörtgenler prizmasında A (bir köşe) ile B (karşı köşe) arası yüzey üzerinden en kısa yolu bulalım.

1. Seçenek 1: Alt yüzeyi aç, yan yüzeyle birleştir. Yatay mesafe 3 + 6 = 9, dikey mesafe 8. Pisagor: √(9² + 8²) = √(81 + 64) = √145 ≈ 12,04.
2. Seçenek 2: Üst yüzeyi aç. Yatay mesafe 3 + 8 = 11, dikey mesafe 6. Pisagor: √(11² + 6²) = √(121 + 36) = √157 ≈ 12,53.
3. En kısa: √145 < √157, dolayısıyla en kısa yol √145 birim.

Çözümlü Örnek — Küpün Etrafında Tam Tur

Bir ayrıtı 4 birim olan küpte, A noktasından başlayıp küpün dört yan yüzeyinden dolaşarak tekrar B'ye (A ile aynı dikey köşede) gelen hareketin alabileceği en kısa yol?

1. Dört yan yüzeyi peş peşe düzlem üzerine açarsan, yatay uzaklık 4 · 4 = 16, dikey uzaklık 4.
2. Pisagor: √(16² + 4²) = √(256 + 16) = √272 = √(16 · 17) = 4√17 birim.

Çözümlü Örnek — Zikzak Yüzey (Merdiven Şekli)

Alt merdiven basamaklarının her biri yatayda 3 birim, dikeyde 1 birim olan bir yapıda A'dan B'ye yüzey üzerinden gidilirken yatay düz uzunluk toplamı 12, dikey ise 5'tir. En kısa yol?

1. Tüm basamakları düzlem üzerinde "açmak" demek: basamaklı yüzeyi düzleştirince toplam yatay 12, dikey 5.
2. Pisagor: √(12² + 5²) = √169 = 13 birim.

Bu teknik yüzey üzerindeki her en kısa yol probleminde aynıdır. Önce uygun açılımı seç, sonra Pisagor. Yüzeyden çıkıp içe girmek zorundaysan (üç boyutlu iç doğru) o zaman cisim köşegeni formülünü kullanırsın: √(a² + b² + c²).

Silindir, katı cisimler ünitesinin ikinci büyük ailesidir. TYT ve AYT'de dairesel dik silindir sınırları içinde sorulur; eğik silindir konu kapsamı dışındadır. Silindir, aynı prizma mantığında ama tabanı daire olan katı cisim olarak düşünülebilir.

Silindirin Yapısı

• Alt taban ve üst taban: Birbirine paralel, aynı yarıçaplı iki daire.
• Yan yüzey: Alt tabanın çevresinden üst tabanın çevresine kadar uzanan kavisli bir yüzey. Açılıp düzlem üzerine yatırıldığında tam bir dikdörtgen olur.
• Yükseklik h: İki taban düzlemi arasındaki dik mesafe.
• Yarıçap r: Taban dairesinin yarıçapı.

Bir Dikdörtgenin 360° Dönmesiyle Silindir

Kare veya dikdörtgeni kenarlarından biri etrafında 360° döndürdüğünde bir dik dairesel silindir oluşur. Döndürülen kenar silindirin yüksekliği, dikdörtgenin bu kenara komşu kenarı ise silindirin yarıçapı olur.

Silindir Formülleri

Taban yarıçapı r, yükseklik h olsun.

Kavram	Formül	Açıklama
Taban çevresi	2πr	Dairenin çevresi
Taban alanı	πr²	Dairenin alanı
Yanal alan	2πrh	Taban çevresi · yükseklik
Yüzey alanı	2πr(r + h) = 2πr² + 2πrh	Yanal alan + 2·taban alanı
Hacim	πr²h	Taban alanı · yükseklik

Aritmetik Doğrulama

r = 3, h = 5 olan silindir için:

• Taban çevresi = 2π·3 = 6π birim.
• Taban alanı = π·9 = 9π birimkare.
• Yanal alan = 6π · 5 = 30π birimkare.
• Yüzey alanı = 30π + 2·9π = 30π + 18π = 48π birimkare.
• Hacim = 9π · 5 = 45π birimküp.

Verilen boyutlar r = 3, h = 6 olsaydı hacim = 9π · 6 = 54π birimküp, yüzey alanı da 2π·3(3+6) = 54π birimkare olurdu — dikkat edilmesi gereken, r ve h'a göre hacim ve yüzey alanının değerleri sayısal olarak eşleşebilir ama birimleri (küp ve kare) farklıdır; karıştırma.

Silindirle ilgili sorularda en sık görülen üç tip: (1) r ve h verilen silindirde hacim/alan bulma, (2) silindir içinden başka silindir çıkarma, (3) silindire başka bir cisim yerleştirme (iç içe) sorusu.

Çözümlü Örnek 1 — Temel Hesap

Taban yarıçapı 3, yüksekliği 6 olan dik silindirin (a) hacmini, (b) yanal alanını, (c) yüzey alanını bulalım.

1. Hacim: V = πr²h = π · 9 · 6 = 54π birimküp.
2. Yanal alan: Y_A = 2πrh = 2π · 3 · 6 = 36π birimkare.
3. Yüzey alan: T_A = 2πrh + 2πr² = 36π + 2π·9 = 36π + 18π = 54π birimkare.

Çözümlü Örnek 2 — Taban Alanı = Yanal Alan Koşulu

Dik silindirde taban alanı ile yanal alan birbirine eşittir. Buna göre yarıçapın yüksekliğe oranı (r/h) kaçtır?

1. Taban alanı = πr². Yanal alan = 2πrh. Eşitle: πr² = 2πrh.
2. Sadeleştir (π ve bir r götür): r = 2h.
3. Oran: r/h = 2.

Çözümlü Örnek 3 — Yanal Alan ve Hacim Verilince Boyut Bulma

Silindirin yanal alanı 36π, hacmi 54π birimküptür. r ve h değerleri nedir?

1. Yanal alan: 2πrh = 36π → rh = 18.
2. Hacim: πr²h = 54π → r²h = 54.
3. İkinci denklemi birinciye böl: r = 54/18 = 3.
4. r = 3 ise rh = 18 denkleminden h = 6.

Çözümlü Örnek 4 — İç İçe Silindir ile Hacim Farkı

Taban yarıçapı 5 birim, yüksekliği 8 birim olan dik silindirden taban yarıçapı 2 birim olan (yükseklik aynı) iç silindir çıkarılıyor. Kalan cismin hacmi?

1. Büyük silindir hacmi = π·25·8 = 200π birimküp.
2. Küçük silindir hacmi = π·4·8 = 32π birimküp.
3. Fark (kalan): 200π − 32π = 168π birimküp.

Çözümlü Örnek 5 — İç İçe Silindirin Yüzey Alanı

Yukarıdaki örnekteki kalan cismin yüzey alanı?

1. Dış silindirin yanal alanı = 2π·5·8 = 80π birimkare.
2. Tabanları halka şeklindedir (büyük daire − küçük daire) → her halkanın alanı π(25 − 4) = 21π, iki taban için 42π birimkare.
3. İçerdeki küçük silindirin yanal alanı (artık iç duvar oldu) = 2π·2·8 = 32π birimkare.
4. Toplam yüzey = 80π + 42π + 32π = 154π birimkare.

Iç içe silindir sorularında en kritik hata, iç yüzeyin (kuyu gibi) bir duvar olarak yüzeye eklendiğini unutmaktır. Dikkat: iç silindir tamamen dış silindirin içindeyse, iç silindirin tabanları yüzeyde görünmez, sadece yan duvarı görünür.

Bu tip soruda iki cisim iç içe yerleştirilir: bir cisim dıştan, diğeri onun tam içine sığacak en büyük boyda (ya da verilen koşula uyan boyda). Bu tür sorularda kilit nokta, iki cismin ortak olduğu yarıçap/yükseklik ilişkisini doğru kurmaktır.

Silindir İçine Kare Prizma

Hacmi 80π birimküp olan bir dik silindirin içine, tabanı köşegeni silindirin çap olan kare prizma yerleştiriliyor. Silindirin yüksekliği kare prizmanın yüksekliği ile aynı (h = 10 birim). Kare prizmanın yanal alanı?

1. Silindir hacmi: πr²h = 80π → r²·10 = 80 → r² = 8 → r = 2√2 birim.
2. Silindirin çapı = 2r = 4√2 birim. Kare prizmanın köşegeni bu çapa eşittir (Thales / çapın görüp gördüğü çevre açı 90°).
3. Kenarı a olan karenin köşegeni a√2. Öyleyse a√2 = 4√2 → a = 4 birim.
4. Yanal alan = 4a·h = 4·4·10 = 160 birimkare.

Üçgen Dik Prizma İçine Silindir

Taban ayrıtları 6, 8, 10 olan (3-4-5 ölçekli dik üçgen) üçgen dik prizma içerisine, tabanı üçgene içten teğet daire olacak şekilde en büyük silindir yerleştiriliyor. Prizmanın yüksekliği 10 birim. Silindirin hacmi?

1. Dik üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı: r = (a + b − c)/2, burada c hipotenüs. Yani r = (6 + 8 − 10)/2 = 2 birim.
2. Silindirin yarıçapı 2, yüksekliği 10. V = π·4·10 = 40π birimküp.

Not: Bir üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı daha genel formda r = Alan / (Yarı çevre) ile bulunur; dik üçgen özel hâli için yukarıdaki kısa formül kullanılır.

Çözümlü Örnek — Silindir Kesme (Düzlemle Kesip Dikdörtgen Alma)

Taban yarıçapı 8 birim olan dik silindir, taban merkezinden 4 birim uzaklıkta bir düzlemle kesiliyor. Kesişim dikdörtgen şeklindedir (çünkü silindir eksenine paralel bir düzlemle kesildi). Bu dikdörtgen ara kesitin alanı? (Silindirin yüksekliği 10 birim.)

1. Kesim düzlemi merkezden 4 birim uzakta, yarıçap 8 birim → merkez-düzlem-çember kenarı dik üçgeni (4, x, 8). Pisagor: x² = 64 − 16 = 48 → x = 4√3 birim.
2. Dikdörtgenin taban kenarı = kirişin iki katı = 2·4√3 = 8√3 birim.
3. Dikdörtgenin yüksekliği = silindirin yüksekliği = 10 birim.
4. Alan = 8√3 · 10 = 80√3 birimkare.

ÖSYM'nin özellikle son yıllarda sevdiği silindir sorularından biri: silindir biçimindeki bir kap suyla doldurulur, belli bir açıyla yan yatırılır, ne kadar su taşar hesaplanır. Ya da iki farklı boyda silindirik kap arasında su aktarılır, son seviyeler karşılaştırılır.

Eğilen Silindirden Su Taşması

Bir silindir kap suyla tamamen dolu iken yerle 60° açı yapacak biçimde eğilirse yere kaç birim su dökülür? Kapın taban yarıçapı 2√3 birim, yüksekliği 8 birim olsun.

1. Silindir eğildiğinde, su yüzeyi yere paralel kalır ve silindirin çapının üstündeki bir miktar su dışarı akar.
2. 60° açıda, silindirin çap uzunluğu (= 2·2√3 = 4√3 birim) yere 60° ile yatkın. 30-60-90 üçgeni: hipotenüs 4√3, 60° karşısı 4√3·sin60° = 4√3·(√3/2) = 6 birim.
3. Yere 60° eğilince silindirin üst ucu, dik silindire göre 4 birim aşağı iner; boşalan yer silindirin üst yarısında kaçan suya eşit.
4. Dökülen su ≈ silindirin üst 2 biriminin yarısı = π·(2√3)²·2 · (1/2) = 12π·2·(1/2) = 12π birimküp.
5. Not: Bu hesap geometrik olarak iki yamuksal prizma kesitinin hacmiyle bulunur; gerçek TYT sorularında verilen açıya göre spesifik geometri kurulur. Anahtar: değişmeyen şey, kaptaki sabit olan su miktarı.

İki Silindir Arasında Su Transferi

Büyük silindirin içinde daha küçük bir silindir bulunur (eksenleri aynı). İçteki silindir tamamı suyla doludur. İçteki silindire tabana yakın bir delik açıldığında su iki silindir arasındaki boşluğa akar. Son durumda suyun yüksekliği kaç birim olur?

İçteki silindir: taban yarıçapı 2, yüksekliği 8. Dış silindir: taban yarıçapı 4, yüksekliği 8. Yani iki silindirin yükseklikleri eşit.

1. Başlangıç suyu (iç silindirin hacmi): π·4·8 = 32π birimküp.
2. Son durumda su, iç ve dış silindir arasındaki halka bölgede bulunur. Bu halkanın taban alanı = π(16 − 4) = 12π birimkare.
3. Su hacmi aynı: 12π · h = 32π → h = 8/3 birim ≈ 2,67 birim.

Eğer ekses 32/12 = 8/3 çıkıyorsa yukarıdaki çözümdeki "2 birim" yerine 8/3 birim cevap doğrudur. (Transcript'teki özel örnekte iç silindir farklı boyutlarla geldiği için sayı değişmiştir; yöntem evrenseldir.)

Çözümlü Örnek — Kesik Silindir Hacmi

Bir dik silindirin üst kısmı eğik bir düzlemle kesilmiş. Kalan cisim: alt tarafta silindir 6 birim yüksek, üst tarafta silindir 2 birim yüksek (eksenel kesit bir yamuk oluşturur), taban yarıçapı 2 birim. Kesik silindirin hacmi?

1. Kesik silindir, tam silindirin hacmi + yarım silindirden oluşmuş gibi düşünülebilir.
2. Alt (tam) silindir: π·4·6 = 24π birimküp.
3. Üst kısım: yarım silindir (silindirin yarısı), π·4·2·(1/2) = 4π birimküp.
4. Toplam hacim = 24π + 4π = 28π birimküp.

Bir dik silindirin yüzeyinde A noktasından B noktasına en kısa yol soruluyorsa, yine dikdörtgenler prizmasındaki mantıkla silindirin yanal yüzeyi açılıp yatırılır (bir dikdörtgen olur), sonra A ile B arası düz doğru parçası çizilir, Pisagor ile hesaplanır. Silindirde yanal yüzey açılımı dikdörtgendir; kısa kenarı 2πr (taban çevresi), uzun kenarı h (yükseklik).

Temel Senaryolar

1. Yarım tur: A ve B aynı düşey doğrunun üstünde ama karşı taraflarda (180° ayrık). Yatay uzaklık yarım çevre = πr.
2. Tam tur: Silindirin etrafından tam dönüp aynı düşey hattaki başka noktaya varma. Yatay uzaklık tam çevre = 2πr.
3. 1,5 tur: Önce tam tur, sonra yarım tur daha. Yatay uzaklık = 2πr + πr = 3πr.

Dikey uzaklık ise silindirin yüksekliği h ya da iki nokta arasındaki dikey farktır. Pisagor ile düz uzaklık = √(yatay² + dikey²).

Çözümlü Örnek 1 — Yarım Tur

Bir silindirin taban yarıçapı 3 birim, yüksekliği 8π birimdir. A noktası alt tabanda, B noktası üst tabanda ve A'nın tam karşısındadır (180° ötede). Yüzey üzerinden en kısa yol?

1. Yatay uzaklık = πr = 3π birim. (Buraya dikkat: yarım tur = πr, tam tur = 2πr.)
2. Dikey uzaklık = 8π birim.
3. En kısa yol = √((3π)² + (8π)²) = π·√(9 + 64) = π·√73 ≈ π√73 birim.

Not: Transcript'teki bir örnekte sonuç "10π" şeklinde düzgün bir sayı olacak şekilde taban çevresi 6π ve yükseklik 8π alınmış; bu durumda Pisagor (6π, 8π, 10π) 3-4-5 üçgen ailesi vererek kısa yolu 10π verir. Gerçek soruda verilen sayılar uygun seçilir, genelde 3-4-5, 5-12-13 gibi Pisagor üçlüsü çıkacak şekilde düzenlenir.

Çözümlü Örnek 2 — Tam Tur

Taban yarıçapı 6, yüksekliği 9π olan silindir yüzeyinde A'dan B'ye tam tur atarak en kısa yol?

1. Yatay uzaklık = 2π·6 = 12π birim.
2. Dikey uzaklık = 9π birim.
3. 9, 12, 15 üçgeni (3-4-5 ölçekli) → en kısa yol = 15π birim.

Çözümlü Örnek 3 — 1,5 Tur

Taban yarıçapı 5, yüksekliği 8π olan silindirde A'dan başlayarak 1,5 tur atıp B'ye en kısa yol?

1. Yatay uzaklık = 2π·5 + π·5 = 15π birim.
2. Dikey uzaklık = 8π birim.
3. 8-15-17 üçgeni → en kısa yol = 17π birim.

Çözümlü Örnek 4 — Dikdörtgenin Kıvrılmasıyla Silindir

ABCD dikdörtgeninin AD = 20, AB = 4π. Dikdörtgen AD ve BC birleşecek şekilde kıvrıldığında bir silindir oluşuyor. Silindirin hacmi?

1. AD ve BC birleşmesi → AB = 4π silindirin tabanının çevresi. Yani 2πr = 4π → r = 2.
2. Yükseklik = AD = 20 birim.
3. Hacim = π·4·20 = 80π birimküp.

Prizma ve silindir sorularında yapılan klasik hatalar, formülleri ezberleyen ama kavramı tam oturtamayan öğrencilerin başına gelir. Aşağıda en sık yanılgılar ve onlara yönelik uyarılar bulunuyor.

1. Küp ile Kare Prizma Karıştırması

Küpte bütün ayrıtlar eşittir (a), kare prizmada yalnızca tabanın iki kenarı eşit (a), yüksekliği farklı (b). Bir küpün yüzey alanı 6a², kare prizmanın yüzey alanı 4ab + 2a². Formülü küp diye uygulayıp a³ bulmak yerine a²·b kullanman gerekir.

2. Yüzey Köşegeni ile Cisim Köşegeni

Yüzey köşegeni iki boyutlu, bir yüzeyin üstünde duran bir doğru parçası (√(a²+b²) gibi). Cisim köşegeni üç boyutlu, prizmanın tamamını köşeden köşeye geçen doğru parçası (√(a²+b²+c²)). "Köşegen" kelimesi tek başına geçerse soru hangisini istediğini netleştirmeli.

3. Silindir Açınım Dikdörtgeni

Silindirin yanal yüzeyi açıldığında oluşan dikdörtgen çok karıştırılır: biri 2πr (taban çevresi), biri h (yükseklik). Öğrenciler "dikdörtgenin kenarı r mi, 2r mi, πr mi, 2πr mi?" diye tereddüt eder. Formülün kendisine bakınca net: taban çevresi = 2πr, ve açınım dikdörtgeninin bir kenarı da bu çevredir.

4. Köşeden Çıkarma ile İç Tünel Arasındaki Fark

Köşeden küp çıkarıldığında yüzey alanı değişmez; iç kısımdan tünel açıldığında artar. Sorularda "yüzey alanı nasıl değişir?" denince bu iki senaryoyu ayırt etmek zorundasın.

5. Hacim ve Yüzey Alanı Sayısal Eşitliği

a = 6 olan küpün hacmi (216 birimküp) ve yüzey alanı (216 birimkare) sayısal olarak eşittir. Başka a değerleri için bu eşitlik kaybolur. Birimler (küp vs. kare) asla aynı değildir; sayısal eşitlik ≠ geometrik özdeşlik.

6. Silindirde Tam Çevre − Yarım Çevre − 1.5 Çevre

En kısa yol sorularında yatay uzaklığı yanlış seçmek ciddi bir tuzak. "A'dan B'ye yarım tur atarak" ile "tam tur atarak" taban çevresinin sırasıyla πr ve 2πr'sini verir. Soruyu iyi oku, çizgiyi göz önüne getir.