Yüzde, Kâr ve Zarar Problemleri

Yüzde, bir sayının 100'e oranını ifade eden temel bir matematik kavramıdır. "Yüzde" kelimesi "yüzden" anlamına gelir ve % sembolü ile gösterilir. Yüzde hesaplamaları KPSS'nin en temel araçlarından biridir; kâr-zarar, faiz, indirim ve nüfus artışı problemlerinin hepsi yüzde kavramına dayanır.

Temel Yüzde Formülü

Bir sayının %A'sı = Sayı × A / 100

Sayıyı bilmiyorsak x olarak tanımlarız. Örneğin bir sayının %10'u dendiğinde: x × 10/100 = x/10 olur.

100x Tekniği (Hızlı Çözüm)

Yüzde problemlerinde sayıyı 100x olarak almak kesirli işlemlerden kurtarır:

• Sayı = 100x ise %10'u = 10x
• %15'i = 15x
• %25'i = 25x
• %40'ı = 40x

Bu teknik özellikle birden fazla yüzde işlemi yapılan problemlerde büyük zaman kazandırır.

Adım Adım Örnek 1

Soru: Bir sayının %30'u ile %40'ının toplamı 140'tır. Bu sayı kaçtır?

1. Sayıya x diyelim
2. %30'u: 30x/100 = 3x/10
3. %40'ı: 40x/100 = 4x/10
4. Toplam: 3x/10 + 4x/10 = 7x/10 = 140
5. x = 140 × 10/7 = 200
6. Kontrol: 200'ün %30'u = 60, %40'ı = 80. Toplam = 60 + 80 = 140. Doğru.

Adım Adım Örnek 2 (100x Tekniği ile)

Soru: A sayısı B'nin %15'ine, B sayısı da C'nin %40'ına eşittir. Buna göre A/C kaçtır?

1. C = 100x olsun
2. B = C'nin %40'ı = 40x
3. A = B'nin %15'i = 40x × 15/100 = 6x
4. A/C = 6x / 100x = 6/100 = 3/50
5. Kontrol: C = 100 ise B = 40, A = 40 × 0,15 = 6. A/C = 6/100 = 3/50. Doğru.

Ardışık yüzde değişimi, bir değere arka arkaya iki veya daha fazla yüzde artış ya da azalış uygulanması durumudur. Bu tip problemlerde en sık yapılan hata, yüzdeleri toplamaktır. Oysa ardışık yüzde değişimleri çarpılır, toplanmaz.

Ardışık Değişim Formülü

%A artış sonra %B azalış → Sonuç = Başlangıç × (1 + A/100) × (1 − B/100)

Örneğin bir ürün önce %30 arttırılıp sonra %20 indirilirse:

• Başlangıç: 100
• %30 artış sonrası: 100 × 1,30 = 130
• %20 indirim sonrası: 130 × 0,80 = 104
• Net değişim: %4 artış (başlangıca göre)

Dikdörtgen Alan Değişimi Örneği

Soru: Bir dikdörtgenin bir kenarı %30 arttırılıp diğer kenarı %20 azaltılırsa alanı yüzde kaç değişir?

1. Kenarları 10 ve 10 alalım (kolay hesap için). Alan = 10 × 10 = 100
2. Birinci kenar %30 arttı: 10 × 1,30 = 13
3. İkinci kenar %20 azaldı: 10 × 0,80 = 8
4. Yeni alan = 13 × 8 = 104
5. Değişim = 104 − 100 = 4, yani %4 artış
6. Kontrol: 1,30 × 0,80 = 1,04. %4 artış. Doğru.

Adım Adım Örnek 2

Soru: Bir ürünün fiyatı önce %50 arttırılıp sonra %30 indirim yapılıyor. Son fiyat, başlangıca göre yüzde kaç değişmiştir?

1. Başlangıç fiyatı: 100
2. %50 artış sonrası: 100 × 1,50 = 150
3. %30 indirim sonrası: 150 × 0,70 = 105
4. Net değişim = 105 − 100 = 5, yani %5 artış
5. Kontrol: 1,50 × 0,70 = 1,05. %5 artış. Doğru.

Adım Adım Örnek 3

Soru: Enflasyon nedeniyle bir ürünün fiyatı %17 arttı. Yeni fiyatı 234 TL ise eski fiyatı kaçtır?

1. Eski fiyat = x
2. %17 artış: x × 1,17 = 234
3. x = 234 / 1,17 = 200 TL
4. Kontrol: 200 × 1,17 = 234. Doğru.

Kâr-zarar problemlerinin temelinde üç kavram vardır: maliyet (alış fiyatı), satış fiyatı ve bunların farkı olan kâr veya zarar. Bu kavramları doğru anlamak, KPSS'deki tüm kâr-zarar sorularını çözmenin anahtarıdır.

Temel Formüller

Kâr = Satış Fiyatı − Maliyet   |   Zarar = Maliyet − Satış Fiyatı

Durum	Koşul	Sonuç
Satış > Maliyet	Kâr var	Kâr = Satış − Maliyet
Satış < Maliyet	Zarar var	Zarar = Maliyet − Satış
Satış = Maliyet	Başa baş	Kâr = Zarar = 0

Kasaya Giren Para Mantığı

Kâr-zarar problemlerinde asıl bakacağınız şey kasaya giren para ile ödenen para arasındaki farktır. Bir ürünü 10 liraya aldıysanız ve 15 liraya sattıysanız, kasanıza 15 lira girmiş ama 10 lira daha önce çıkmıştır. Fark = 5 lira kârdır.

Adım Adım Örnek 1

Soru: Bir esnaf 100 liralık mal aldı, 150 liraya sattı. Kârı ve kâr yüzdesi kaçtır?

1. Maliyet = 100 TL, Satış = 150 TL
2. Kâr = 150 − 100 = 50 TL
3. Kâr yüzdesi = (50 / 100) × 100 = %50
4. Kontrol: 100'ün %50'si = 50. Maliyet + Kâr = 100 + 50 = 150 = Satış. Doğru.

Adım Adım Örnek 2

Soru: Bir ürünü 150 liraya aldım, 120 liraya sattım. Zarar miktarı ve zarar yüzdesi kaçtır?

1. Maliyet = 150 TL, Satış = 120 TL
2. Zarar = 150 − 120 = 30 TL
3. Zarar yüzdesi = (30 / 150) × 100 = %20
4. Kontrol: 150'nin %20'si = 30. Maliyet − Zarar = 150 − 30 = 120 = Satış. Doğru.

Tablo Yöntemi ile Çözüm

Karmaşık problemlerde tane-fiyat-toplam para tablosu kurmak çok işe yarar:

İşlem	Tane	Birim Fiyat	Toplam Para
Alış	100	80 kr	8.000 kr
Satış	x	100 kr	100x kr

Kâr ve zarar yüzdesi hesaplanırken referans nokta daima maliyettir. "Bu üründen %20 kâr ettim" dendiğinde, kâr miktarının maliyete oranı %20'dir. Bu basit ilkeyi kavramak, KPSS'deki kâr-zarar sorularının %80'ini çözmeye yeter.

Temel Formüller

%K kâr → Satış = Maliyet × (100 + K) / 100   |   %Z zarar → Satış = Maliyet × (100 − Z) / 100

100x Tekniği ile Kâr-Zarar

Maliyeti 100x olarak alırsak:

• %20 kâr → Satış = 120x
• %30 kâr → Satış = 130x
• %20 zarar → Satış = 80x
• %10 zarar → Satış = 90x

Adım Adım Örnek 1

Soru: Bir ürün %10 kârla kaç liraya satılır? (Maliyet: 150 TL)

1. Maliyet = 150 TL
2. %10 kâr = 150 × 10/100 = 15 TL
3. Satış fiyatı = 150 + 15 = 165 TL
4. Kontrol: (165 − 150) / 150 = 15/150 = %10. Doğru.

Adım Adım Örnek 2

Soru: %20 zararla 120 liraya satılan bir ürünün maliyeti kaç liradır?

1. Maliyeti 100x olarak alalım
2. %20 zarar → Satış = 80x
3. 80x = 120 → x = 1,5
4. Maliyet = 100x = 100 × 1,5 = 150 TL
5. Kontrol: 150'nin %20'si = 30. 150 − 30 = 120 = Satış fiyatı. Doğru.

Adım Adım Örnek 3

Soru: Bir malın satış fiyatı alış fiyatının %130'una eşittir. Kâr yüzdesi kaçtır?

1. Satış = Maliyet × 130/100 demek: Satış, maliyetin 1,30 katı
2. Yani Satış = 130x, Maliyet = 100x olursa
3. Kâr = 130x − 100x = 30x
4. Kâr % = (30x / 100x) × 100 = %30
5. Kontrol: Maliyet 100, Satış 130. Kâr = 30. 30/100 = %30. Doğru.

Adım Adım Örnek 4 (Limon Problemi)

Soru: Bir manav tanesi 80 kuruştan 100 limon alıyor. Bir kısmı çürüyor. Sağlam limonları tanesi 100 kuruştan satınca %20 kâr ediyor. Kaç limon çürümüştür?

1. Alış: 100 tane × 80 kuruş = 8.000 kuruş (maliyet)
2. %20 kâr: 8.000 × 20/100 = 1.600 kuruş kâr
3. Satış geliri = 8.000 + 1.600 = 9.600 kuruş
4. Sağlam limon sayısı = x. Satış = 100 × x = 100x
5. 100x = 9.600 → x = 96 sağlam limon
6. Çürüyen = 100 − 96 = 4 limon
7. Kontrol: 96 × 100 = 9.600 kr. Maliyet = 8.000 kr. Kâr = 1.600 kr. 1.600/8.000 = %20. Doğru.

İndirim problemleri, bir ürünün etiket fiyatı üzerinden belirli bir yüzde düşürülmesiyle oluşan yeni fiyatı bulmayı gerektirir. İndirim her zaman etiket (satış) fiyatı üzerinden yapılır; kâr-zarar ise maliyet üzerinden hesaplanır. Bu fark KPSS'de çok önemlidir.

Temel İndirim Formülü

İndirimli Fiyat = Etiket Fiyatı × (100 − İndirim%) / 100

Ardışık İndirim

Dikkat: %30 + %20 indirim = %50 indirim değildir! Ardışık indirimler sırayla uygulanır:

• 100 TL'lik ürüne önce %30 indirim: 100 × 0,70 = 70 TL
• Sonra %20 indirim: 70 × 0,80 = 56 TL
• Toplam indirim: 100 − 56 = 44, yani %44 (%50 değil!)

Adım Adım Örnek 1

Soru: Maliyeti 100x olan bir ürün %30 kârla etiketleniyor. Sonra %20 indirim yapılıyor. Son satış fiyatı nedir ve esnaf kâr mı zarar mı eder?

1. Maliyet = 100x
2. %30 kâr ile etiket fiyatı = 130x
3. %20 indirim: 130x × 0,80 = 104x
4. Satış fiyatı = 104x, Maliyet = 100x
5. Kâr = 104x − 100x = 4x → %4 kâr
6. Kontrol: 100x'e aldı, 104x'e sattı. (4x/100x) × 100 = %4. Doğru.

Adım Adım Örnek 2

Soru: Etiket fiyatı 120 TL olan bir ürünün %20'si kadar indirim yapılıyor. Maliyet 96 TL ise kâr veya zarar yüzdesi kaçtır?

1. Etiket fiyatı = 120 TL
2. %20 indirim: 120 × 20/100 = 24 TL indirim
3. Satış fiyatı = 120 − 24 = 96 TL
4. Maliyet = 96 TL, Satış = 96 TL
5. Kâr/Zarar = 96 − 96 = 0 → Başa baş (ne kâr ne zarar)
6. Kontrol: 96 = 96. Doğru.

Adım Adım Örnek 3

Soru: 130 TL etiket fiyatlı bir üründe %25 indirim yapılıyor. Son fiyat kaçtır?

1. %25 indirim: 130 × 25/100 = 32,5 TL
2. Son fiyat = 130 − 32,5 = 97,5 TL
3. Kontrol: 130 × 0,75 = 97,5. Doğru.

Faiz, bankaya veya bir yatırım aracına yatırılan paranın zaman içinde kazandırdığı ek paradır. KPSS'de genellikle basit faiz sorulur; bileşik faiz daha az sıklıkla gelir ancak nüfus artışı problemlerinde karşımıza çıkar.

Basit Faiz Formülü

Faiz = Ana Para × Faiz Oranı × Süre   |   F = A × n/100 × t

Burada A = ana para (yatırılan miktar), n = yıllık faiz oranı (%), t = süre (yıl cinsinden). Aylık faizde süreyi 12'ye böleriz.

Bileşik Faiz Formülü

Toplam Para = Ana Para × (1 + n/100)^t

Bileşik faizde her dönem sonunda oluşan faiz anaparaya eklenir ve bir sonraki dönem bu yeni toplam üzerinden faiz hesaplanır.

Adım Adım Örnek 1 (Basit Faiz)

Soru: 100.000 TL'yi yıllık %30 basit faizle bankaya yatırıyorum. 8 ay sonra toplam param ne kadardır?

1. Ana para (A) = 100.000 TL, Faiz oranı (n) = %30, Süre = 8 ay = 8/12 yıl
2. Faiz = 100.000 × 30/100 × 8/12
3. Faiz = 100.000 × 0,30 × 2/3 = 100.000 × 0,20 = 20.000 TL
4. Toplam para = 100.000 + 20.000 = 120.000 TL
5. Kontrol: Yıllık faiz = 30.000. 8 aylık = 30.000 × 8/12 = 20.000. 100.000 + 20.000 = 120.000. Doğru.

Adım Adım Örnek 2 (Aylık Basit Faiz)

Soru: Aylık %4 basit faiz veren bir bankaya 1.000 dolar (1 dolar = 2 TL) yatıran biri, 100 ay sonra kaç TL elde eder?

1. Ana para = 1.000 dolar = 2.000 TL
2. Aylık faiz = 2.000 × 4/100 = 80 TL
3. 100 ayda toplam faiz = 80 × 100 = 8.000 TL
4. Toplam = 2.000 + 8.000 = 10.000 TL
5. Kontrol: Yıllık oran = %48. 100 ay = 100/12 yıl. Faiz = 2.000 × 48/100 × 100/12 = 2.000 × 4 = 8.000. Doğru.

Adım Adım Örnek 3 (Bileşik Faiz)

Soru: 10.000 TL yıllık %20 bileşik faizle 2 yıl bankada kalırsa toplam ne olur?

1. 1. yıl sonu: 10.000 × 1,20 = 12.000 TL
2. 2. yıl sonu: 12.000 × 1,20 = 14.400 TL
3. Toplam = 14.400 TL
4. Kontrol: Formül: 10.000 × (1,20)² = 10.000 × 1,44 = 14.400. Doğru.

Nüfus artışı problemleri, bileşik faiz mantığıyla çalışır. Bir şehrin veya ülkenin nüfusu her yıl belirli bir oranda artıyorsa, artış her yıl güncel nüfus üzerinden hesaplanır. Bu durum tam olarak bileşik artış modelidir.

Nüfus Artış Formülü

N(t) = N₀ × (1 + r/100)^t

Burada N₀ = başlangıç nüfusu, r = yıllık artış oranı (%), t = yıl sayısı.

Adım Adım Örnek 1

Soru: Bir şehrin nüfusu 200.000 kişidir ve yıllık %10 artmaktadır. 2 yıl sonra nüfus kaç olur?

1. N₀ = 200.000, r = %10, t = 2
2. 1. yıl: 200.000 × 1,10 = 220.000
3. 2. yıl: 220.000 × 1,10 = 242.000
4. Nüfus = 242.000
5. Kontrol: 200.000 × (1,10)² = 200.000 × 1,21 = 242.000. Doğru.

Adım Adım Örnek 2

Soru: Bir kasabanın nüfusu her yıl %20 artmaktadır. 3 yıl sonra nüfus 86.400 ise şu anki nüfus kaçtır?

1. N(3) = N₀ × (1,20)³ = 86.400
2. (1,20)³ = 1,20 × 1,20 × 1,20 = 1,728
3. N₀ = 86.400 / 1,728 = 50.000
4. Kontrol: 50.000 → 60.000 → 72.000 → 86.400. Doğru.

Adım Adım Örnek 3

Soru: Bir fabrikanın üretimi her yıl %25 artmaktadır. 2020'de 640 birim üretildiyse, 2018'de kaç birim üretilmiştir?

1. 2020'den 2018'e gidiyoruz: t = 2 yıl geri
2. N₀ × (1,25)² = 640
3. (1,25)² = 1,5625
4. N₀ = 640 / 1,5625 = 409,6

Tam sayı çıkmadığı için soruyu düzenleyelim:

Soru (düzeltilmiş): Fabrika üretimi her yıl %25 artmaktadır. 2020'de 1.000 birim üretildiyse, 2018'de kaç birim üretilmiştir?

1. N₀ × (1,25)² = 1.000
2. N₀ = 1.000 / 1,5625 = 640
3. Kontrol: 640 → 800 → 1.000. 640 × 1,25 = 800. 800 × 1,25 = 1.000. Doğru.

KPSS'de bazen bir ürünün bir kısmı kârlı, bir kısmı zararlı satılır veya farklı müşterilere farklı fiyatlarla satılır. Bu tür karışık kâr-zarar problemleri toplam gelir ve toplam maliyetin karşılaştırılmasıyla çözülür.

Karışık Satış Stratejisi

Maliyetin bir kısmını kârla, bir kısmını zararla satıyorsanız: Her parçanın gelirini ayrı ayrı bulun, toplayın, toplam maliyetten çıkararak net kâr/zararı hesaplayın.

Adım Adım Örnek 1

Soru: Bir esnaf 100x'e aldığı malın %60'ını %20 zararla, geri kalanını %30 kârla satıyor. Toplam kâr veya zarar yüzdesi kaçtır?

1. Toplam maliyet = 100x
2. %60'ı = 60x'lik kısım → %20 zararla satış = 60x × 0,80 = 48x
3. %40'ı = 40x'lik kısım → %30 kârla satış = 40x × 1,30 = 52x
4. Toplam satış = 48x + 52x = 100x
5. Kâr/Zarar = 100x − 100x = 0 → Başa baş
6. Kontrol: 48x + 52x = 100x = Maliyet. Ne kâr ne zarar. Doğru.

Adım Adım Örnek 2 (Bardak Problemi)

Soru: Bir satıcı tanesi 40 kuruştan 600 bardak alıyor. Bir kısmı kırılıyor. Sağlam bardakları tanesi 55 kuruştan satarak %10 kâr elde ediyor. Kaç bardak kırılmıştır?

1. Toplam maliyet = 600 × 40 = 24.000 kuruş
2. %10 kâr = 24.000 × 10/100 = 2.400 kuruş
3. Toplam satış geliri = 24.000 + 2.400 = 26.400 kuruş
4. Sağlam bardak sayısı = y. Satış = 55y = 26.400
5. y = 26.400 / 55 = 480 sağlam bardak
6. Kırılan = 600 − 480 = 120 bardak
7. Kontrol: 480 × 55 = 26.400. Maliyet = 24.000. Kâr = 2.400. 2.400/24.000 = %10. Doğru.

Adım Adım Örnek 3 (Hileli Terazi)

Soru: Bir satıcı her 4 kilogramlık ürünü 2,5 kilogram olarak tartıp satıyor. Böylece 2,5 liradan aldığı ürünü gerçekte kilogramı kaç liraya satmış oluyor?

1. 4 kg ürünü 2,5 kg gibi gösteriyor
2. Müşteri 2,5 kg aldığını sanıyor ama aslında 4 kg alıyor
3. 4 kg'ın maliyeti = 4 × 2,5 = 10 TL
4. Satış fiyatı (müşterinin ödediği) = 2,5 × 2,5 = 6,25 TL

Burada satıcı zarar ediyor gibi görünüyor. Soruyu tersten düşünelim:

Düzeltilmiş yaklaşım: Satıcı 4 kg ürünü terazide 2,5 kg gösteriyorsa, her 2,5 kg'lık satışta aslında 4 kg veriyor. Kilogram başı maliyet 2,5 TL ise:

1. 2,5 kg satış fiyatı = 2,5 × birim fiyat (müşteriye sunulan)
2. Ama gerçekte 4 kg veriyor = 4 × 2,5 = 10 TL maliyet
3. Bu tip soruları "eksik tartan" olarak düşünün: 4 kg yerine 2,5 kg gösteriyorsa %37,5 eksik tartıyor

KPSS'de yüzde, kâr-zarar, faiz ve nüfus artışı konularından her yıl en az 2 soru gelir. Bu bölümde en sık karşılaşılan soru tiplerini ve hızlı çözüm stratejilerini özetliyoruz.

Sık Sorulan Soru Tipleri

Soru Tipi	Çözüm Stratejisi	Sıklık
Kâr/zarar yüzdesi bulma	Maliyet 100x al, satışı bul, farkı hesapla	Her yıl
Ardışık artış/azalış	Başlangıcı 100 al, sırayla çarp	Her yıl
Kâr+indirim kombinasyonu	Maliyet 100x, kâr ekle, indirim uygula	Sık
Çürüme/kırılma problemi	Tablo kur: tane/fiyat/toplam	Sık
Basit faiz hesaplama	F = A × n/100 × t formülü	Orta
Nüfus artışı	Bileşik faiz formülü	Orta

Adım Adım Örnek 1 (Market İndirim Problemi)

Soru: Market alışverişinde toplam 45 TL tutan ürünlere, 50 TL üzeri alışverişte 5 ürüne 2'şer TL indirim uygulanıyor. Bir ürün daha alan müşteri toplam 43 TL ödüyor. Son alınan ürünün fiyatı kaç TL'dir?

1. Önceki ürünler toplamı = 45 TL
2. Son ürünün fiyatı = x TL. Toplam = 45 + x (bu 50'yi geçmeli)
3. 5 ürüne 2'şer TL indirim = 5 × 2 = 10 TL indirim
4. Ödenen = 45 + x − 10 = 35 + x
5. 35 + x = 43 → x = 8 TL
6. Kontrol: 45 + 8 = 53 TL (50 üzeri, koşul sağlandı). 53 − 10 = 43 TL. Doğru.

Adım Adım Örnek 2 (Domates ve Buğday)

Soru: Buğdaydan üretilen unun miktarı buğdayın %60'ı kadardır. 312 kg hamur elde etmek için kaç kg buğday kullanılmalıdır? (Hamur = un miktarı kadar)

1. Buğday = x kg olsun
2. Un = buğdayın %60'ı = 0,60x
3. Hamur = un miktarı = 0,60x (sorudaki varsayım)
4. 0,60x = 312 → x = 312 / 0,60 = 520 kg
5. Kontrol: 520 × 0,60 = 312. Doğru.

KPSS'de Zaman Yönetimi

Yüzde ve kâr-zarar soruları ortalama 60-90 saniyede çözülmelidir. Hızlı çözüm için:

1. Maliyeti 100x olarak al: Kesirli işlemlerden kurtul
2. Tablo kur: Alış-satış bilgilerini düzenle
3. Kâr = Satış − Maliyet: Bu formülü refleks haline getir
4. Kontrol adımı: Bulduğun cevabı yerine koy, 5 saniye kontrol et