İşçi ve Havuz Problemleri

İşçi problemleri, belirli bir işi yapma süresi bilinen kişilerin birlikte veya sırayla çalışma durumlarını inceleyen problemlerdir. Bu problemlerin çözümünde en temel kural şudur: İşin tamamı her zaman 1 olarak kabul edilir.

Verim Kavramı

İşin tamamı = 1   |   Verim = 1 / Süre   |   Verim × Süre = 1

Bir işçi bir işi 4 günde bitiriyorsa, bu işçinin bir günlük verimi 1/4'tür. Yani her gün işin dörtte birini yapar. 2 günde işin 2/4 = 1/2'sini, 3 günde işin 3/4'ünü yapar.

Adım Adım Örnek 1

Soru: Ali bir işi 5 günde bitirmektedir. Ali bu işin 3/5'ini kaç günde yapar?

1. Ali'nin bir günlük verimi: 1/5
2. Ali'nin t günde yaptığı iş: t × 1/5 = t/5
3. Koşul: t/5 = 3/5
4. t = 3 gün
5. Kontrol: 3 gün × 1/5 = 3/5. Doğru.

Adım Adım Örnek 2

Soru: Fatma bir işin 1/3'ünü 6 saatte yapmaktadır. Fatma bu işin tamamını kaç saatte yapar?

1. İşin 1/3'ü 6 saatte yapılıyorsa, tamamı (3/3) için: 6 × 3 = 18 saat
2. Alternatif: Verim = (1/3) / 6 = 1/18. Tamamı = 1 / (1/18) = 18 saat
3. Kontrol: 1/18 × 18 = 1. Doğru.

Adım Adım Örnek 3

Soru: Bir işçi bir işin 2/3'ünü 8 günde yapmaktadır. Bu işin tamamını kaç günde yapar?

1. 2/3'ü 8 günde → tamamı için orantı kurarız: (2/3) / 8 = 1 / t
2. Kesri ters çevir çarp: t = 8 × 3/2 = 12 gün
3. Kontrol: Verim = 1/12. 8 günde yapılan = 8/12 = 2/3. Doğru.

İşçi problemlerinin en klasik tipi, iki işçinin birlikte çalışma süresini bulmaktır. Temel ilke: birlikte çalışırken verimler toplanır.

Birlikte Çalışma Formülü

1/a + 1/b = 1/t   →   t = (a × b) / (a + b)

Burada a ve b tek başlarına çalışma süreleri, t birlikte çalışma süresidir.

Adım Adım Örnek 1

Soru: Eda bir işi 4 günde, Büşra aynı işi 2 günde yapmaktadır. İkisi birlikte bu işi kaç günde bitirir?

1. Eda'nın verimi: 1/4  |  Büşra'nın verimi: 1/2
2. Birlikte verim: 1/4 + 1/2 = 1/4 + 2/4 = 3/4
3. Birlikte süre: 1 / (3/4) = 4/3 gün
4. 4/3 gün = 1 gün 8 saat (1 gün = 24 saat ise) veya 4/3 gün
5. Kontrol: (4/3) × 3/4 = 1. Doğru.

Adım Adım Örnek 2

Soru: Esra bir işi 21 saatte, Hayri aynı işi 12 saatte yapmaktadır. İkisi birlikte bu işin tamamını kaç saatte bitirir?

1. Esra'nın verimi: 1/21  |  Hayri'nin verimi: 1/12
2. Birlikte verim: 1/21 + 1/12
3. Payda eşitleme (EKOK 84): 4/84 + 7/84 = 11/84
4. Birlikte süre: 1 / (11/84) = 84/11 saat ≅ 7,6 saat
5. Kontrol: (84/11) × 11/84 = 1. Doğru.

Adım Adım Örnek 3

Soru: Hakan bir işi x/5 günde, Derya aynı işi 3x/2 günde yapmaktadır. Birlikte 6 günde bitirdiklerine göre x kaçtır?

1. Hakan'ın verimi: 1/(x/5) = 5/x  |  Derya'nın verimi: 1/(3x/2) = 2/(3x)
2. Birlikte 6 günde bitmesi: (5/x + 2/(3x)) × 6 = 1
3. Payda eşitleme: 15/(3x) + 2/(3x) = 17/(3x)
4. 17/(3x) × 6 = 1 → 102/(3x) = 1 → 34/x = 1 → x = 34
5. Kontrol: Hakan: 34/5 = 6,8 gün. Derya: 3×34/2 = 51 gün. Verim: 5/34 + 2/102 = 15/102 + 2/102 = 17/102 = 1/6. Birlikte 6 günde biter. Doğru.

Havuz problemleri, işçi problemleriyle aynı mantıkta çözülür. Tek fark şudur: boşaltan musluğun verimi negatif olarak eklenir (yani çıkarılır).

Havuz Formülleri

Dolduran verim: +1/a   |   Boşaltan verim: −1/b   |   Net verim = 1/a − 1/b

Bir musluğu açtığınızda havuz doluyor, tahliye vanasını açtığınızda boşalıyor. İkisi birlikte açıksa net verime bakılır.

Adım Adım Örnek 1

Soru: Bir musluk boş havuzu 8 saatte, diğer musluk aynı havuzu 10 saatte doldurmaktadır. İki musluk birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?

1. 1. musluğun verimi: 1/8  |  2. musluğun verimi: 1/10
2. Birlikte verim: 1/8 + 1/10
3. Payda eşitleme (EKOK 40): 5/40 + 4/40 = 9/40
4. Dolma süresi: 1 / (9/40) = 40/9 ≅ 4,4 saat
5. Kontrol: (40/9) × 9/40 = 1. Doğru.

Adım Adım Örnek 2

Soru: Bir musluk havuzu 6 saatte doldurmakta, bir tahliye borusu aynı havuzu 12 saatte boşaltmaktadır. İkisi birlikte açılırsa boş havuz kaç saatte dolar?

1. Dolduran verim: +1/6  |  Boşaltan verim: −1/12
2. Net verim: 1/6 − 1/12 = 2/12 − 1/12 = 1/12
3. Dolma süresi: 1 / (1/12) = 12 saat
4. Kontrol: 12 saatte dolduran: 12/6 = 2 havuz doldurur. Boşaltan: 12/12 = 1 havuz boşaltır. Net: 2 − 1 = 1 havuz. Doğru.

Adım Adım Örnek 3

Soru: Bir dolduran musluk havuzu x günde, bir boşaltan musluk aynı havuzu y günde boşaltmaktadır. Birlikte açıldığında 20 günde havuz doluyorsa ve x = 12 ise y kaçtır?

1. Net verim: 1/12 − 1/y = 1/20
2. 1/y = 1/12 − 1/20
3. Payda eşitleme (EKOK 60): 5/60 − 3/60 = 2/60 = 1/30
4. y = 30
5. Kontrol: 1/12 − 1/30 = 5/60 − 2/60 = 3/60 = 1/20. Doğru.

KPSS'de sıkça karşılaşılan bir soru tipi, iki işçinin birlikte başlayıp belirli bir süre sonra birinin bırakması ve kalan işi diğerinin tek başına bitirmesidir.

Çözüm Stratejisi

1. Her işçinin verimini bul (1/süre)
2. Birlikte çalışılan sürede yapılan toplam işi hesapla
3. Kalan işi bul: 1 − yapılan iş
4. Kalan işi tek kişinin verimiyle böl → kalan süre

Adım Adım Örnek 1

Soru: Eda bir işi 4 günde, Büşra aynı işi 2 günde yapmaktadır. İkisi birlikte 1 gün çalıştıktan sonra Eda işi bırakıyor. Kalan işi Büşra kaç günde bitirir?

1. Eda'nın verimi: 1/4  |  Büşra'nın verimi: 1/2
2. 1 günde birlikte yapılan: 1/4 + 1/2 = 3/4
3. Kalan iş: 1 − 3/4 = 1/4
4. Büşra tek başına: (1/4) / (1/2) = 1/4 × 2 = 1/2 gün
5. Kontrol: 1 gün birlikte: 3/4. Büşra 1/2 günde: 1/2 × 1/2 = 1/4. Toplam: 3/4 + 1/4 = 1. Doğru.

Adım Adım Örnek 2

Soru: Levent bir işi 18 günde, Kübra aynı işi 6 günde yapmaktadır. İkisi birlikte 2 gün çalıştıktan sonra Levent işi bırakıyor. Kübra kalan işi kaç günde bitirir?

1. Levent'in verimi: 1/18  |  Kübra'nın verimi: 1/6
2. 2 günde birlikte yapılan: 2 × (1/18 + 1/6) = 2 × (1/18 + 3/18) = 2 × 4/18 = 8/18 = 4/9
3. Kalan iş: 1 − 4/9 = 5/9
4. Kübra tek başına: (5/9) / (1/6) = 5/9 × 6 = 30/9 = 10/3 gün (3 gün 8 saat)
5. Kontrol: Birlikte 2 gün: 4/9. Kübra 10/3 gün: (10/3) × (1/6) = 10/18 = 5/9. Toplam: 4/9 + 5/9 = 1. Doğru.

Adım Adım Örnek 3

Soru: Esra bir işi 21 saatte, Ahmet aynı işi 24 saatte yapmaktadır. Esra 7 saat, Ahmet 4 saat çalışıyor. Kalan işi Hayri (12 saatte bitiren) kaç saatte yapar?

1. Esra'nın verimi: 1/21  |  Ahmet'in verimi: 1/24  |  Hayri'nin verimi: 1/12
2. Esra'nın yaptığı: 7 × 1/21 = 7/21 = 1/3
3. Ahmet'in yaptığı: 4 × 1/24 = 4/24 = 1/6
4. Toplam yapılan: 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2
5. Kalan iş: 1 − 1/2 = 1/2
6. Hayri'nin süresi: (1/2) / (1/12) = 1/2 × 12 = 6 saat
7. Kontrol: 1/3 + 1/6 + 6/12 = 1/3 + 1/6 + 1/2 = 2/6 + 1/6 + 3/6 = 6/6 = 1. Doğru.

Bazı problemlerde işçiler eşit güçte olup gruplara ayrılır. Erkek-kadın, usta-kalfa gibi ayrımlarla verimler farklılık gösterir. Bu tip sorularda her grubun birim verimini bulup toplam denklemi kurarız.

Grup Verimi Formülü

n işçi × birim verim × süre = yapılan iş

Adım Adım Örnek 1

Soru: Eşit güçte 4 erkek bir işi 20 günde, eşit güçte 6 kız aynı işi 30 günde bitirmektedir. 2 erkek ve 3 kız birlikte bu işi kaç günde bitirir?

1. 4 erkeğin toplam verimi: 1/20. Bir erkeğin verimi: 1/80
2. 6 kızın toplam verimi: 1/30. Bir kızın verimi: 1/180
3. 2 erkek + 3 kız toplam verim: 2 × 1/80 + 3 × 1/180
4. = 2/80 + 3/180 = 1/40 + 1/60
5. Payda eşitleme (EKOK 120): 3/120 + 2/120 = 5/120 = 1/24
6. Birlikte süre: 1 / (1/24) = 24 gün
7. Kontrol: 2 erkek 24 günde: 2 × (1/80) × 24 = 48/80 = 3/5. 3 kız 24 günde: 3 × (1/180) × 24 = 72/180 = 2/5. Toplam: 3/5 + 2/5 = 1. Doğru.

Adım Adım Örnek 2

Soru: Bir usta 3 günde 2 çift ayakkabı, bir kalfa 5 günde 2 çift ayakkabı yapmaktadır. Usta ve kalfa birlikte 48 çift ayakkabıyı kaç günde yapar?

1. Ustanın bir günlük üretimi: 2/3 çift ayakkabı
2. Kalfanın bir günlük üretimi: 2/5 çift ayakkabı
3. Birlikte günlük üretim: 2/3 + 2/5 = 10/15 + 6/15 = 16/15 çift/gün
4. 48 çift için süre: 48 / (16/15) = 48 × 15/16 = 720/16 = 45 gün
5. Kontrol: 45 günde usta: 45 × 2/3 = 30 çift. Kalfa: 45 × 2/5 = 18 çift. Toplam: 30 + 18 = 48 çift. Doğru.

Adım Adım Örnek 3

Soru: İbrahim bir işi x günde, Fatma aynı işin yarısını x/2 günde bitirmektedir. İbrahim'in çalışma hızı Fatma'nın çalışma hızının 2 katı olduğuna göre İbrahim bu işi kaç günde bitirir?

1. İbrahim'in verimi: 1/x
2. Fatma yarısını x/2 günde → tamamını x günde yapar → Fatma'nın verimi: 1/x
3. Ama İbrahim'in hızı Fatma'nın 2 katı dendiğine göre: 1/x = 2 × (1/Fatma süresi)
4. Fatma'nın tamamı için süresi 2x → verimi 1/(2x). İbrahim: 1/x = 2 × 1/(2x) = 1/x. Tutarlı.
5. Soruda ek bilgi verilmeli. Birlikte 12 günde bitiriyorlarsa: 1/x + 1/(2x) = 1/12
6. 3/(2x) = 1/12 → 2x = 36 → x = 18 gün
7. Kontrol: İbrahim: 1/18. Fatma: 1/36. Birlikte: 1/18 + 1/36 = 2/36 + 1/36 = 3/36 = 1/12. 12 günde biter. Doğru.

KPSS'de bazen birden fazla havuzun sırayla dolması veya farklı kapasiteli muslukların bir arada çalışması sorulur. Havuz hacmini V olarak tanımlayıp orantı ile çözeriz.

Hacim ile Çözüm

Hız (kapasite) = Hacim / Süre   |   Süre = Hacim / Hız

Adım Adım Örnek 1

Soru: Hacimleri sırasıyla 2V, 4V ve 6V olan üç havuz sırayla dolmaktadır. Bir fıskiyeden akan su ile birinci havuz 3 saatte dolmaktadır. Üç havuz toplam kaç saatte dolar?

1. Fıskiyenin hızı: 2V / 3 saat = 2V/3 (birim zamanda doldurulan hacim)
2. 2. havuz süresi: 4V / (2V/3) = 4V × 3/(2V) = 6 saat
3. 3. havuz süresi: 6V / (2V/3) = 6V × 3/(2V) = 9 saat
4. Toplam süre: 3 + 6 + 9 = 18 saat
5. Kontrol: Hız sabit 2V/3. 18 saatte doldurulan: (2V/3) × 18 = 12V. Toplam hacim: 2V + 4V + 6V = 12V. Doğru.

Adım Adım Örnek 2

Soru: Özdeş A ve C muslukları bir havuzu 15 saatte, B musluğu aynı havuzu 20 saatte doldurmaktadır. Üçü birlikte bu havuzu kaç saatte doldurur?

1. A ve C özdeş, birlikte 15 saatte → her birinin verimi: (1/15) / 2 = 1/30
2. B'nin verimi: 1/20
3. Üçü birlikte: 1/30 + 1/30 + 1/20 = 2/30 + 1/20 = 1/15 + 1/20
4. Payda eşitleme (EKOK 60): 4/60 + 3/60 = 7/60
5. Süre: 60/7 ≅ 8,6 saat
6. Kontrol: (60/7) × 7/60 = 1. Doğru.

Adım Adım Örnek 3

Soru: Bir havuzu A musluğu 15 saatte, B musluğu 12 saatte doldurmaktadır. Havuzun 9/10'u kaç saatte dolar (ikisi birlikte)?

1. A'nın verimi: 1/15  |  B'nin verimi: 1/12
2. Birlikte verim: 1/15 + 1/12 = 4/60 + 5/60 = 9/60 = 3/20
3. 9/10'unun dolma süresi: (9/10) / (3/20) = (9/10) × (20/3) = 180/30 = 6 saat
4. Kontrol: 6 × 3/20 = 18/20 = 9/10. Doğru.

Bazı KPSS sorularında muslukların veya işçilerin kapasitesi (hızı) değiştirilir ve yeni süre sorulur. Bu tip sorularda hız ile sürenin ters orantılı olduğu temel ilkesi kullanılır.

Hız-Süre Ters Orantısı

Hız × Süre = Sabit   |   Hız ↑ → Süre ↓   |   Hız ↓ → Süre ↑

Dikkat: "Arttırmak" ile "Katına Çıkarmak" Farkı

Bu ayrım KPSS'de sıkça karıştırılır:

• 3 kat arttırmak = eski + 3 × eski = 4 katına çıkarmak. Cebinde 10 TL varsa 3 kat arttır → 10 + 30 = 40 TL.
• 3 katına çıkarmak = 3 × eski. 10 TL'yi 3 katına çıkar → 30 TL.

Adım Adım Örnek 1

Soru: A musluğu bir havuzu 60 saatte doldurmaktadır. A musluğunun kapasitesi 3 kat artırılırsa havuz kaç saatte dolar?

1. Mevcut hız: V. 3 kat artırılınca: V + 3V = 4V
2. Hız 4 katına çıktı. Hız × Süre = Sabit olduğundan:
3. Yeni süre: 60 / 4 = 15 saat
4. Kontrol: 4V × 15 = 60V. V × 60 = 60V. Eşit. Doğru.

Adım Adım Örnek 2

Soru: A musluğu bir havuzu 60 saatte, B musluğu 60 saatte doldurmaktadır. A'nın kapasitesi 3 kat artırılır, B'nin kapasitesi 4 kat artırılırsa ikisi birlikte havuzu kaç saatte doldurur?

1. A'nın hızı V ise yeni hız: V + 3V = 4V → yeni süre: 60/4 = 15 saat
2. B'nin hızı V ise yeni hız: V + 4V = 5V → yeni süre: 60/5 = 12 saat
3. Birlikte: 1/15 + 1/12 = 4/60 + 5/60 = 9/60 = 3/20
4. Süre: 20/3 ≅ 6,67 saat
5. Kontrol: (20/3) × 3/20 = 1. Doğru.

Adım Adım Örnek 3

Soru: Bir işçi bir işi 100 günde bitirmektedir. Çalışma hızı %25 artırılırsa işi kaç günde bitirir?

1. Mevcut hız: V. %25 artırılınca: V + 0,25V = 1,25V = 5V/4
2. Hız 5/4 katına çıktı. Yeni süre: 100 / (5/4) = 100 × 4/5 = 80 gün
3. Kontrol: (5V/4) × 80 = 100V. V × 100 = 100V. Eşit. Doğru.

İşçi ve havuz problemleri konusunu tamamladık. KPSS'de bu konudan gelen soruların büyük çoğunluğu aşağıdaki tiplerden oluşur. Her tipi tanıyıp çözüm yolunu bilmek sınavda 1-2 dakikada doğru cevaba ulaşmanızı sağlar.

KPSS'de En Sık Çıkan Soru Tipleri

1. İki işçinin birlikte çalışma süresi: 1/a + 1/b = 1/t formülü ile direkt çözülür.
2. Birlikte başlayıp bırakma: Birlikte yapılan işi çıkar, kalanı tek kişi bitirir.
3. Grup problemi (erkek-kadın, usta-kalfa): Bir kişinin verimini bul, istenen sayıyla çarp.
4. Havuz dolum-boşaltma: Dolduran (+), boşaltan (−) olarak yazılır.
5. Kapasite (hız) değişimi: Hız × Süre = Sabit ilkesi ile çözülür.
6. İşin parçası verilip tamamı sorulma: Kesri ters çevir çarp.

Sık Yapılan Hatalar

• Hata 1: Verimleri toplamak yerine süreleri toplamak. 4 günde ve 6 günde yapan iki işçi birlikte 10 günde yapmaz! Verimler toplanır: 1/4 + 1/6 = 5/12, süre = 12/5 gündür.
• Hata 2: Boşaltan musluğu pozitif olarak eklemek. Boşaltan verim negatiftir, çıkarılır.
• Hata 3: "3 kat arttırmak" ile "3 katına çıkarmak"ı karıştırmak. 3 kat arttırmak = 4 katına çıkarmak.
• Hata 4: Birlikte çalışma süresini tek başına süreden büyük bulmak. İki kişi birlikte çalışırsa süre her zaman kısalır!
• Hata 5: Grup problemlerinde toplam verimi bir kişi verimi olarak kullanmak. 4 erkek 20 günde yapıyorsa 1 erkek 80 günde yapar, 20 günde değil!

Özet Formül Kartı

Kural	Formül / Açıklama
İşin tamamı	1 (her zaman)
Verim	1 / Süre
Birlikte çalışma	1/a + 1/b = 1/t → t = ab / (a+b)
Havuz (dolum+boşaltma)	1/dolduran − 1/boşaltan = 1/t
Hız değişimi	Hız × Süre = Sabit (ters orantı)
Parça → Tam	Kesri ters çevir çarp
k kat arttırma	(k+1) katına çıkarmak demek