Karışım Problemleri

Karışım problemleri, farklı yoğunluktaki (derişimdeki) maddelerin birleştirilmesi sonucu oluşan yeni karışımın yoğunluğunu veya miktarını bulmayı gerektiren problemlerdir. Bu problemlerin çözümünde en temel kural şudur: Karışıma giren saf madde miktarı korunur.

Temel Kavramlar

• Toplam miktar: Karışımın tamamının ağırlığı veya hacmi (gram, litre vb.)
• Yoğunluk (derişim): Saf maddenin karışım içindeki yüzdesi (%20 tuzlu su, %40 asit çözeltisi vb.)
• Madde miktarı: Karışımdaki saf maddenin ağırlığı veya hacmi

Temel Formül

Madde Miktarı = Toplam Miktar × Yoğunluk (ondalık)

Örneğin 500 gram %20 tuzlu suda bulunan tuz miktarı:

Tuz = 500 × 0,20 = 100 gram

Bu durumda su miktarı = 500 − 100 = 400 gramdır.

Korunum İlkesi

İki veya daha fazla karışım birleştirildiğinde:

Giren madde toplamı = Çıkan karışımdaki madde miktarı

Adım Adım Örnek

Soru: 300 gram %40 şekerli su içinde kaç gram şeker vardır?

1. Toplam miktar = 300 gram, yoğunluk = %40 = 0,40
2. Şeker miktarı = 300 × 0,40 = 120 gram
3. Su miktarı = 300 − 120 = 180 gram
4. Kontrol: 120 / 300 = 0,40 = %40. Doğru.

Karışım problemlerinin en klasik tipi, farklı yoğunluktaki iki çözeltinin birleştirilmesidir. Bu durumda yeni karışımın yoğunluğunu bulmak için korunum ilkesini uygularız.

Genel Formül

M₁ × Y₁ + M₂ × Y₂ = (M₁ + M₂) × Y_sonuç

Burada M₁, M₂ miktarları; Y₁, Y₂ yoğunlukları; Y_sonuç ise oluşan karışımın yoğunluğudur.

Adım Adım Örnek 1

Soru: 200 gram %30 tuzlu su ile 300 gram %10 tuzlu su karıştırılıyor. Oluşan karışımın tuz yoğunluğu yüzde kaçtır?

1. 1. çözeltideki tuz: 200 × 0,30 = 60 gram
2. 2. çözeltideki tuz: 300 × 0,10 = 30 gram
3. Toplam tuz: 60 + 30 = 90 gram
4. Toplam karışım: 200 + 300 = 500 gram
5. Yeni yoğunluk: 90 / 500 = 0,18 = %18
6. Kontrol: 500 × 0,18 = 90 gram tuz. 60 + 30 = 90. Doğru.

Adım Adım Örnek 2

Soru: %60 asit çözeltisi ile %20 asit çözeltisi karıştırılarak 400 gram %35 asit çözeltisi elde edilmek isteniyor. Her bir çözeltiden kaçar gram alınmalıdır?

1. %60'lık çözeltiden x gram, %20'likten (400 − x) gram alalım
2. Korunum denklemi: 0,60x + 0,20(400 − x) = 0,35 × 400
3. 0,60x + 80 − 0,20x = 140
4. 0,40x = 60
5. x = 150 gram (%60'lık)
6. 400 − 150 = 250 gram (%20'lik)
7. Kontrol: 150 × 0,60 = 90 gram asit. 250 × 0,20 = 50 gram asit. Toplam asit = 140. Toplam karışım = 400. Yoğunluk = 140/400 = 0,35 = %35. Doğru.

Adım Adım Örnek 3

Soru: 120 gram %25 şekerli su ile kaç gram %55 şekerli su karıştırılırsa %40 şekerli su elde edilir?

1. %55'lik çözeltiden x gram alalım
2. Korunum: 120 × 0,25 + x × 0,55 = (120 + x) × 0,40
3. 30 + 0,55x = 48 + 0,40x
4. 0,15x = 18
5. x = 120 gram
6. Kontrol: 120 × 0,25 = 30 g. 120 × 0,55 = 66 g. Toplam şeker = 96 g. Toplam karışım = 240 g. 96/240 = 0,40 = %40. Doğru.

Bu tip problemlerde mevcut bir karışıma saf su eklenir (yoğunluk düşer) veya karışımdan su buharlaştırılır (yoğunluk artar). Her iki durumda da saf madde miktarı değişmez.

Su Ekleme Kuralı

Suyun yoğunluğu = %0 → Su eklenince madde miktarı sabit kalır, toplam miktar artar, yoğunluk düşer.

Adım Adım Örnek 1 (Su Ekleme)

Soru: 400 gram %30 tuzlu suya kaç gram su eklenirse %20 tuzlu su elde edilir?

1. Mevcut tuz miktarı: 400 × 0,30 = 120 gram
2. Eklenecek su: x gram (yoğunluğu %0)
3. Yeni toplam miktar: 400 + x
4. Tuz miktarı değişmez: 120 gram
5. Koşul: 120 / (400 + x) = 0,20
6. 120 = 0,20 × (400 + x)
7. 120 = 80 + 0,20x
8. 0,20x = 40 → x = 200 gram su
9. Kontrol: 120 / (400 + 200) = 120 / 600 = 0,20 = %20. Doğru.

Su Buharlaştırma Kuralı

Su buharlaştırılınca madde miktarı sabit kalır, toplam miktar azalır, yoğunluk artar.

Adım Adım Örnek 2 (Su Buharlaştırma)

Soru: 600 gram %15 tuzlu sudan kaç gram su buharlaştırılırsa %25 tuzlu su elde edilir?

1. Mevcut tuz miktarı: 600 × 0,15 = 90 gram
2. Buharlaşan su: x gram
3. Yeni toplam miktar: 600 − x
4. Tuz miktarı değişmez: 90 gram
5. Koşul: 90 / (600 − x) = 0,25
6. 90 = 0,25 × (600 − x)
7. 90 = 150 − 0,25x
8. 0,25x = 60 → x = 240 gram su
9. Kontrol: 90 / (600 − 240) = 90 / 360 = 0,25 = %25. Doğru.

Adım Adım Örnek 3 (Saf Madde Ekleme)

Soru: 500 gram %20 tuzlu suya kaç gram saf tuz eklenirse %50 tuzlu su elde edilir?

1. Mevcut tuz miktarı: 500 × 0,20 = 100 gram
2. Eklenecek saf tuz: x gram (yoğunluğu %100)
3. Yeni toplam miktar: 500 + x
4. Yeni tuz miktarı: 100 + x
5. Koşul: (100 + x) / (500 + x) = 0,50
6. 100 + x = 0,50 × (500 + x)
7. 100 + x = 250 + 0,50x
8. 0,50x = 150 → x = 300 gram saf tuz
9. Kontrol: Toplam tuz = 100 + 300 = 400. Toplam karışım = 500 + 300 = 800. 400/800 = 0,50 = %50. Doğru.

Alaşım problemleri, iki veya daha fazla metalin eritilerek karıştırılması sonucu oluşan yeni alaşımın saflık oranını veya miktarını bulmayı gerektirir. Mantık, çözelti problemleriyle tamamen aynıdır.

Alaşım Formülü

Alaşım₁ × Oran₁ + Alaşım₂ × Oran₂ = Toplam Alaşım × Yeni Oran

Adım Adım Örnek 1

Soru: %80 altın içeren 150 gramlık bir alaşım ile %50 altın içeren 250 gramlık bir alaşım eritilerek karıştırılıyor. Yeni alaşımın altın yüzdesi kaçtır?

1. 1. alaşımdaki altın: 150 × 0,80 = 120 gram
2. 2. alaşımdaki altın: 250 × 0,50 = 125 gram
3. Toplam altın: 120 + 125 = 245 gram
4. Toplam alaşım: 150 + 250 = 400 gram
5. Yeni altın yüzdesi: 245 / 400 = 0,6125 = %61,25
6. Kontrol: 400 × 0,6125 = 245 gram altın. 120 + 125 = 245. Doğru.

Adım Adım Örnek 2

Soru: Bir kuyumcu %75 altın içeren bir alaşıma saf altın ekleyerek %90 altın içeren 200 gram alaşım elde etmek istiyor. Başlangıçta kaç gram %75'lik alaşım kullanmalıdır?

1. %75'lik alaşımdan x gram, saf altından (200 − x) gram
2. Saf altının yoğunluğu = %100
3. Korunum: 0,75x + 1,00(200 − x) = 0,90 × 200
4. 0,75x + 200 − x = 180
5. −0,25x = −20
6. x = 80 gram (%75'lik alaşım)
7. Saf altın = 200 − 80 = 120 gram
8. Kontrol: 80 × 0,75 = 60 g altın. 120 × 1,00 = 120 g altın. Toplam = 180. 180/200 = 0,90 = %90. Doğru.

Adım Adım Örnek 3

Soru: 600 gram %70 bakır ve %30 kalay içeren bir alaşımdan bir miktar eritilip yerine aynı miktarda saf kalay ekleniyor. Sonuçta alaşımdaki bakır oranı %56'ya düşüyor. Kaç gram alaşım çıkarılıp yerine kalay eklenmiştir?

1. Çıkarılan ve eklenen miktar: x gram
2. Başlangıçta bakır: 600 × 0,70 = 420 gram
3. Çıkarılan x gramlık parçadaki bakır: x × 0,70 = 0,70x
4. Kalan bakır: 420 − 0,70x (eklenen saf kalayda bakır yok)
5. Toplam alaşım hala 600 gram (x çıkarılıp x eklendi)
6. Koşul: (420 − 0,70x) / 600 = 0,56
7. 420 − 0,70x = 336
8. 0,70x = 84 → x = 120 gram
9. Kontrol: Kalan bakır = 420 − 84 = 336. 336/600 = 0,56 = %56. Doğru.

Terazi yöntemi (veya denge yöntemi), iki farklı yoğunluktaki karışımı birleştirirken denklem kurmadan miktar oranını doğrudan bulmamızı sağlayan pratik bir yöntemdir.

Yöntemin Mantığı

İki çözeltiyi karıştırarak belirli bir yoğunluk elde etmek istiyorsak, sonuç yoğunluğuna olan uzaklıklar miktarlarla ters orantılıdır:

M₁ / M₂ = |Y₂ − Y_sonuç| / |Y₁ − Y_sonuç|

Terazi Şeması

1. Çözelti	Sonuç	2. Çözelti
Y₁	Ysonuç	Y₂
|Y₁ − Ysonuç|	↔	|Y₂ − Ysonuç|
M₁ ∝ |Y₂ − Ysonuç|		M₂ ∝ |Y₁ − Ysonuç|

Önemli: Farkları çapraz yazarız. 1. çözeltinin miktarı, 2. çözeltinin farkıyla orantılıdır (ve tersi).

Adım Adım Örnek 1

Soru: %10 ve %40 tuzlu su karıştırılarak %30 tuzlu su elde ediliyor. Karışımda iki çözeltinin miktar oranı kaçtır?

1. Y₁ = %10, Y₂ = %40, Y_sonuç = %30
2. 1. çözeltinin sonuca uzaklığı: |10 − 30| = 20
3. 2. çözeltinin sonuca uzaklığı: |40 − 30| = 10
4. M₁ / M₂ = 10 / 20 = 1 / 2
5. Yani %40'lık çözeltiden, %10'lukun 2 katı kadar kullanılmalıdır.
6. Kontrol: 100 g %10'luk + 200 g %40'lık: Tuz = 10 + 80 = 90. Toplam = 300. 90/300 = 0,30 = %30. Doğru.

Adım Adım Örnek 2

Soru: %20 ve %50 şekerli su karıştırılarak 600 gram %30 şekerli su elde edilecektir. Her birinden kaçar gram alınmalıdır?

1. Farklar: |20 − 30| = 10, |50 − 30| = 20
2. M₁ / M₂ = 20 / 10 = 2 / 1 (1. çözeltiden 2 birim, 2. çözeltiden 1 birim)
3. Toplam 3 birim = 600 gram → 1 birim = 200 gram
4. %20'lik: 2 × 200 = 400 gram, %50'lik: 1 × 200 = 200 gram
5. Kontrol: 400 × 0,20 = 80. 200 × 0,50 = 100. Toplam şeker = 180. 180/600 = 0,30 = %30. Doğru.

Ardışık karışım problemleri, bir kaptan belirli miktarda sıvı alınıp yerine başka bir sıvı eklenmesi işleminin tekrarlandığı problemlerdir. Her adımda yoğunluk değişir ve işlem sayısına bağlı bir formül kullanılır.

Ardışık Karışım Formülü

Kalan madde = Başlangıç miktarı × ((Toplam − Alınan) / Toplam)ⁿ

Burada n = işlem sayısı, "Toplam" = kaptaki toplam sıvı miktarı, "Alınan" = her seferinde çıkarılan miktardır.

Adım Adım Örnek 1

Soru: 100 litre saf sütten 20 litre alınıp yerine 20 litre su ekleniyor. Bu işlem 2 kez tekrarlanıyor. Kapta kaç litre süt kalır?

1. Başlangıç süt: 100 litre
2. Her seferinde alınan: 20 litre, toplam hacim: 100 litre
3. Oran: (100 − 20) / 100 = 80/100 = 4/5
4. 2 işlem sonra kalan süt = 100 × (4/5)² = 100 × 16/25 = 64 litre
5. Kontrol (adım adım):
6. 1. işlem: 100 litre sütten 20 litre alınır → kalan süt = 80 litre, toplam = 80. 20 litre su eklenir → toplam = 100, süt = 80.
7. 2. işlem: 100 litreden 20 litre alınır. Bu 20 litrede süt oranı = 80/100 = 0,80. Alınan süt = 20 × 0,80 = 16 litre. Kalan süt = 80 − 16 = 64 litre. Doğru.

Adım Adım Örnek 2

Soru: Bir kapta 80 litre saf alkol vardır. Kaptan 20 litre alınıp yerine su ekleniyor. Bu işlem 3 kez yapılırsa kapta kaç litre alkol kalır?

1. Başlangıç alkol: 80 litre, toplam hacim: 80 litre
2. Oran: (80 − 20) / 80 = 60/80 = 3/4
3. 3 işlem sonra kalan alkol = 80 × (3/4)³ = 80 × 27/64 = 33,75 litre
4. Kontrol (adım adım):
5. 1. işlem: 80'den 20 alınır → alkol = 60. Su eklenir → toplam = 80, alkol = 60.
6. 2. işlem: 20 litre alınır, alkol oranı 60/80 = 3/4. Alınan alkol = 20 × 3/4 = 15. Kalan = 60 − 15 = 45.
7. 3. işlem: 20 litre alınır, alkol oranı 45/80. Alınan alkol = 20 × 45/80 = 11,25. Kalan = 45 − 11,25 = 33,75. Doğru.

Adım Adım Örnek 3

Soru: 50 litre %60 tuzlu sudan 10 litre alınıp yerine saf su ekleniyor. Bu işlem 2 kez tekrarlanırsa tuzlu suyun yoğunluğu yüzde kaç olur?

1. Başlangıç tuz: 50 × 0,60 = 30 gram
2. Oran: (50 − 10) / 50 = 40/50 = 4/5
3. 2 işlem sonra kalan tuz = 30 × (4/5)² = 30 × 16/25 = 19,2 gram
4. Toplam miktar hep 50 litre kalır
5. Yeni yoğunluk = 19,2 / 50 = 0,384 = %38,4
6. Kontrol: 1. işlem sonrası tuz = 30 × 4/5 = 24. 2. işlem sonrası tuz = 24 × 4/5 = 19,2. 19,2/50 = %38,4. Doğru.

KPSS'de karışım problemleri genellikle aşağıdaki soru tipleri olarak karşımıza çıkar. Her bir tipi tanıyıp doğru yöntemi seçmek çözüm hızınızı artırır.

Soru Tipi Tablosu

Soru Tipi	Yöntem	Anahtar Özellik
İki çözelti karıştırma	Korunum denklemi veya terazi	Sonuç yoğunluk iki değer arasında
Su ekleme	Madde sabit, toplam artar	Su = %0 yoğunluk
Su buharlaştırma	Madde sabit, toplam azalır	Yoğunluk artar
Saf madde ekleme	Madde artar, toplam artar	Saf madde = %100 yoğunluk
Alaşım	Korunum (saflık oranı)	Çözelti mantığı ile aynı
Ardışık karışım	((T − A) / T)n formülü	İşlem sayısı üs olarak kullanılır
Miktar oranı bulma	Terazi yöntemi	Çapraz farklar → oran

Özet Formül Tablosu

Kural	Formül / Açıklama
Madde miktarı	Miktar × Yoğunluk
Korunum	M₁Y₁ + M₂Y₂ = (M₁+M₂) × Ys
Su yoğunluğu	%0 (madde miktarı değişmez)
Saf madde yoğunluğu	%100
Terazi	M₁/M₂ = |Y₂−Ys| / |Y₁−Ys|
Ardışık karışım	Kalan = Başlangıç × ((T−A)/T)n
Sonuç yoğunluk aralığı	Her zaman Y₁ ile Y₂ arasında